自动控制原理第12讲(对数频率特性)
自动控制原理 频率特性
• 频率特性的概念：
A sin ωt
Φ ( jω )
A Φ ( jω ) sin(ωt + ∠Φ ( jω ))
Φ ( jω )
sin t
Φ ( j1) sin(t + ∠Φ ( j1))
Φ ( jω )
3 sin 2t
3 Φ ( j 2) sin(2t + ∠Φ ( j 2))
第五章频率特性
奈魁斯特判据
• 奈氏曲线如何判断稳定性
两步：
１）右半平面开环极点数 ２）逆时针绕临界点圈数
－１
相位余（裕）量和幅值余量
1 h
－１
如何判断稳定性？ 如何利用频率特性分析确定系统临界参数 如何计算系统相位余量和幅值余量 如何从开环频率绘制闭环频率特性 如何从开环频率特性确定传递函数（最小相 位系统） • 频率特性曲线与表达式间的关系 • • • • •
第六章 控制系统校正
• • • • 为何要校正？ 校正的方式？ 串联超前校正的原理及步骤 串联滞后校正的原理及步骤
频率特性几何表示方法：
开环和闭环频率特性的绘制方法
２）极坐标系：幅相曲线 ３）对数坐标下：对数幅频特性和对数相频特性＝波特图
开环和闭环频率特性主要作用：
幅相曲线
G ( jω ) ∠G ( jω )
对数频率特性＝＝波特图
闭环频率特性 输入=>输出频率特性
奈魁斯特判据
• 奈氏曲线如何判断稳定性 • 幅相曲线如何判断稳定性 • 波特图如何判断稳定性
7)系统结构如图，当输入为2sint时，测得稳态输出为： 4sin(t－450),计算系统单位阶跃作用下超调
ωn2 s(s + 2ξωn )
自动控制原理 第五章第四节对数频率特性(上)
⑹ 振荡环节
G ( j )
=
1−
2 n2
1 + j2
n
L() = −20lg [1 − 2 ]2 + [2 ]2
2 n
n
( ) =
−
arctan
2
n
1
-2Βιβλιοθήκη 2 n−360
+
arctan 2
n
1
-
2
2 n
1
L( ) 0
n
( ) 0 − 3 6 0
1
n
L() −40lg( n )
( ) −180
5.4 对数频率特性(Bode图)（上）
⑺ 二阶复合微分
G ( j )
=
1−
2
2 n
+
j2
n
L( ) = 20lg
[1
−
2
2 n
]2
+
[2
n
]2
( ) =
2
arctan
n 2
1
-
2 n
2
360 − arctan
n 2
1
-
2 n
5.4 对数频率特性(Bode图)（上） ⑻ 延迟环节 G(j ) = e−j
G(j) = j
L( ) = 20 lg ( ) = 90
G(j) = 1 j
L( ) = −20lg ( ) = −90
5.4 对数频率特性(Bode图)（上）
⑷ 惯性环节
G(j) = 1 +1 + jT
L( ) = −20lg 1 + 2T2
− arctanT
( ) = − 180 + arctan T
自动控制原理考试知识点
5.频率特性:线性定常系统在正弦输入信号作用下，其稳态输出与输入的复数比与频率ω的关系图形表示方式1）极坐标图（又称奈氏图，幅相频率特性曲线）2）对数频率特性图（Bode图）—工程上应用最多】由两张图构成：一张是对数幅频图，一张是对数相频图。
微分方程:最基本直接的方法，时域数学模型
传递函数:复域数学模型，古典控制理论中最为重要，工程上用得最多
1.数学模型图形表示: 框图（方框图、动态结构图)
信号流程图
频率特性:频域数学模型
X1.一般以最大超调量、调整时间和稳态误差来评价系统响应的平稳性、快速性和稳态精度。
X2.传递函数定义为:在初始条件为零时，输出量的拉氏变换式与输入量的拉氏变换式之比。
记作G（s）=Y（s）/U（s）
X3单回路控制系统主要由四个基本环节组成，即被控对象(简称对象)、测量变送装置、控制器和执行器.
7.连续系统中，每处的信号都是时间t的连续函数，这种信号称为连续信号或模拟信号。
离散系统中，至少有一处或几处的信号是时间t的离散函数，称其为离散信号。
采样定理：采样频率要大于信号最高频率的2倍，才能无失真的保留信号的完整信息。
4.
3,过渡过程的四种基本形式(1)非振荡的单调过渡过程被控变量在给定值的某一侧作缓慢变化，没有来回波动，最后稳定在某一数值上(2)衰减振荡过程被控变量上下波动，但幅度逐渐减小，最后稳定在某一数值上(3)等幅振荡过程被控变量始终在某一幅值的上下波动(4)发散振荡过程被控变量上下波动，幅度逐渐变大。
(第12讲) 最小相位系统和非最小相位系统伯特图求参数
σ
σ
1 1 T T1
1
1
T1
T
图5-18最小相位系统和非最小相位系统的零-极点分布图
对于最小相位系统，其传递函数由单一的幅值曲线唯一确定。 对于非最小相位系统则不是这种情况。
14
第十四页，编辑于星期二：二十二点 四十一分。
相同的幅值特性
非最小相位系统
最小相位系统
图5-19
1 jT 1 jT1 和
1 jT 的相角特性 1 jT1
15
第十五页，编辑于星期二：二十二点 四十一分。
在具有相同幅值特性的系统中，最小相位传递函数（系统）的相角 范围，在所有这类系统中是最小的。任何非最小相位传递函数的相 角范围，都大于最小相位传递函数的相角范围
最小相位系统，幅值特性和相角特性之间具有唯一的对应关 系。
2
2
1
3
24
第二十四页，编辑于星期二：二十二点 四十一 分。
30
G(s) K s(Ts1)
-20dB/dec
20
2
转，角频率为 2 斜率为
10
0
4d 0/B de的c 直线
与，/或其延长线与0分
-10
贝线的交点为 3
-20
由此得到 1KvK -30
2 -40dB/dec
1
3
2
1 T
2 3
K T
20
第二十页，编辑于星期二：二十二点 四十一分。
静态位置误差常数的确定
R(s) + -
E(s)
G(s)
C(s)
假设系统的开环传递函数为
G (s)s K (( T T 1 1 ss 1 1 ))T T (2 (2 ss 1 1 )) (( T T n m ss 1 ) 1 )
自动控制原理第12讲(对数频率特性)
G( S ) H ( S ) Gi ( S )
i 1
N
设典型环节频率特性
系统开环频率特性
Gi ( j ) Ai ( )e
( )
N
ji ( )
N
G ( j ) H ( j ) A( )e
N i 1
[ Ai ( )]e
i 1
低频时的对数幅值曲线是一条0分贝的直线
1 低频段 ， L( ) 20lg T
2T 2＋1 20lg1 0(dB)
1 1 2 ， L( ) 20 lg [1 1 ] 20 lg 2 3.01 （dB） 转角频率 2 T
高频段
1 ， L( ) 20lg T
横坐标刻度先疏后密
纵坐标均按线性分度 L( ) 20 lg A( ) 20 lg G( j ) 横坐标是角速率 按 lg 分度 10倍频程，用dec 表示
L() dB 20 10 0 -10 -20 -30 -40
lg
rad s
10 -2
10 -1
10
0
2 34
10
1
2
10 -1
100
10
1
3
Bode图的坐标形式(相频特性)
L() dB
20 10 0 -10 -20 -30 -40 900 450 00 -450 -900
-1350
lg
rad s
( )
0
完 整 图 二 lg 合 rad s 一
1
4
-1800
10 -2
10 -1
100
10
Bode图的坐标形式(对数频率特性)
自动控制原理课件17 5-3对数频率特性
系统开环对数频率特性的特点(2)
• 2）开环对数幅频特性经过一个转折频率，其斜率要发生 变化，其高频段最终的斜率为-20*(n-m)dB/dec，开环对 数相频特性最终相角为-（n-m）*900。 3）开环对数幅频特性曲线与横坐标轴的交点频率，称为 截止频率或穿越频率，用wc表示。 即在该频率下，L（w）=0
L1 ( )
0
0.1 0.2
0.5 1
10
1
-1 -0.7
2 3
-0.3 0
L4 () L3 ()
1
L2 ()
L（） L1()L2 ()L3()L4 ()L5 ()
L1() 20lg 6.25
L2
(
)
20
lg
1 s
6.25 Wk (s) s(5s 1)(2s 1)(s 1)
L3
(
)
20
lg
1 5s
§ 5-3对数频率特性
二．典型环节的对数频率特性
（一）比例环节 W ( j) K Ke j0 L() 20lg K,() 0
0.1 1 Ψ(ω)
10 ω ω
L(w是) 一条等高度等于 的20直lg线k
Ｋ＞１时 L() ；0 Ｋ＜１时， L(；) 0
Ｋ＝１时 L() 0
相频特性是一条 () 直0线0 。
L(2 ) L(1) 20lg 2T (20lg 1T ) 20(lg2T lg 1T )
20 lg
2 1
20lg10
20dB dec
为一斜率为-20dB/dec的直线。
这样其对数幅频特性可用两条渐近线近似表示
自动控制原理
可见，开环对数幅频特性等于各环节对数幅频特性 之和；系统开环相频等于各环节相频之和。 将各环节对数幅频特性用其渐近线代替，以及对数 运算的优点（乘除运算对数化后变为加减），可以 很容易绘制出开环对数频率特性。
图5-19
例 5-2的Bode图
例 已知系统的开环传递函数，试绘制系统的 开环Bode图。
系统开环包括了五个典型环节
ω2=2 rad/s
ω4=0.5 rad/s
ω5=10 rad/s
例 绘制开环传递函数
K G( s) (1 s)(1 10s)
的零型系统的Bode图。
解 系统开环对数幅频特性和相频特性分别
解 系统开环频率特性
10 G ( j ) H ( j ) (1 j )(1 j 0.1 ) 10(1 0.12 2 ) 10 1.1 j 2 2 2 (1 )(1 0.1 ) (1 2 )(1 0.1 2 )
ω 由0→∞变化时，找几个特殊点：
设反馈控制系统如图5-21所示，其开环传递 函数为: G(s)H(s) 开环频率特性为: G(jω)H(jω) 在绘制开环极坐标曲线时，可将G(jω)H(jω) 写成实频和虚频形式 G(jω)H(jω) = p(ω) + jθ(ω)
图5-21 反馈控制系统
或写成极坐标形式
G( j ) H ( j ) A( )e j ( )
2. 系统开环对数幅频特性有如下特点
①
低频段的斜率为－20νdB/dec，ν为开环系统中所包 含的串联积分环节的数目。
第12讲 对数与对数函数(课件)高考数学大一轮复习核心题型讲与练+易错重难点专项突破(新高考版)
3
2
所以( ) m 与( ) n 均为方程 t 2＋ t －1＝0的实数根，由 t 2＋ t －1＝0，解得 t ＝
3
2
3
2
3
2
3
2
因为( ) m ＞0，( ) n ＞0，所以( ) m ＝( ) n ＝
所以 m ＝ n ， ＝
6
4
3
2
＝( ) m ＝
−1+ 5
2
−1+ 5
2
，故选B.
3
2
−1+ 5
∴ f ( x )是偶函数，∴由 f (ln x )＋ f (－ln x )＜2可得2 f (ln x )＜2，即 f (ln x )＜1.
当 x ＞0时， f ( x )＝log2 x ＋ x 2.∵ y ＝log2 x 和 y ＝ x 2在(0，＋∞)上都是单调递增的，
1
∴ f ( x )在(0，＋∞)上单调递增，又 f (1)＝1，∴｜ln x ｜＜1且ln x ≠0，∴ ＜ x ＜e且 x ≠1，
＜1时相反.
(2)研究 y ＝ f (log ax )型的复合函数的单调性，一般用换元法，即令 t ＝log
ax ，则只需研究
注意
t ＝log ax 及 y ＝ f ( t )的单调性即可.
研究对数型复合函数的单调性，一定要坚持“定义域优先”原则，
否则所得范围易出错.
角度1
例3
比较大小
1
(1)[2021新高考卷Ⅱ]若 a ＝log52， b ＝log83， c ＝ ，则( C
f (－ln x )＜2的解集为(
1
D
1
A. ( ，1)
自动控制原理-频率法
5.3 典型环节的频率特性
（2）幅相频率特性
W (j)11 jT P()jQ ()
式中 P() 1 1T22
Q() T 1T22
5.3 典型环节的频率特性
（3）对数频率特性
W (j)11 jT1 T 1 2 2j1 T T 2 2
1
ejarctanT
1T22
L()20lgA ()20lg11 T2220lg1T22 ()arctanT
5.1 频率特性的基本概念
W(j)A()ej
W (j)A()ej
xcw ()A 0 1 ejtA 0 2ejt
ejtejt
xcw(t)A( )
2j
Xr
A()XrsintXcsint
其中：
Xc A()Xr
A()Xc W(j)
Xr
() W (j)
5.1 频率特性的基本概念
频率特性与传递函数之间的关系
制； ❖ 由开环幅频特性和相频特性表达式，用计
算法绘制。 ❖ 由开环频率特性的实部和虚部表达式，用
计算法绘制。
5.4 系统开环频率特性的绘制
（1） 0型系统的开环幅相频率特性
① 开环传递函数
m
KK (Tis 1)
WK (s)
i1 n
，nm
(Tj 1)
5.3 典型环节的频率特性
惯性环节的对数频率特性（Bode图）
5.3 典型环节的频率特性
3. 积分环节频率特性
（1）传递函数
W(s) Xc(s) 1 Xr (s) s
（2）幅相频率特性
W( j) 0 j 1
P() 0
Q() 1
或写成 W(j)0j 1 1ej2
5.3 典型环节的频率特性
第12讲 对数(解析版)新高一数学暑假衔接课(苏教版2019必修第一册)
第12讲对数知识点一对数的概念与性质1．对数的概念一般地，如果a b ＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作log a b N =，其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数．2．常用对数与自然对数3．对数的基本性质(1)负数和0没有对数；(2)log a 1＝0(a ＞0，且a ≠1)；(3)log a a ＝1(a ＞0，且a ≠1)；(4)log a a N ＝N (a ＞0，a ≠1，N ＞0).4．指数式与对数式的互化(其中a ＞0，且a≠1).知识点二对数的运算性质1．若a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，n ∈R ，那么：(1)log a (MN )＝log log a a M N +；(2)log aMN＝log log a a M N -；(3)log a M n ＝log a n M ．2．对数运算中的常见公式及推广知识点二换底公式1．换底公式：log log log c a c NN a=（0,1,0,0,1a a N c c >≠>>≠）.2．换底公式的推论3．对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式？4．你能用换底公式和对数的运算性质推导出结论log n mN M =log N M n吗？考点一：指数式与对数式的互化例1将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．(1)3－2＝19；－2＝16；(3)13log 27＝－3；(4)64＝－6.【解析】(1)∵3－2＝19，∴log 319＝－2.(2)－2＝16，∴log 1416＝－2.(3)∵13log 27＝－3－3＝27.(4)∵64＝－6，∴(x )－6＝64.【总结】变式将下列指数式与对数式互化．(1)log 216＝4；(2)x ＝6；(3)43＝64；(4)3－3＝127.【解析】(1)因为log 216＝4，所以24＝16.(2)因为x ＝6，所以(3)6＝x .(3)因为43＝64，所以log 464＝3.(4)因为3－3＝127，所以log 3127＝－3.考点二：对数的计算例2求下列各式中的x 的值．(1)log 64x ＝－23；(2)log x 8＝6；(3)lg 100＝x ；(4)－ln e 2＝x .【解析】(1)x ＝()2364-＝()2334-＝4－2＝116.(2)x 6＝8，所以x ＝()166x＝168＝()1362＝122＝2.(3)10x ＝100＝102，于是x ＝2.(4)由－ln e 2＝x ，得－x ＝ln e 2，即e －x ＝e 2.所以x ＝－2.【总结】变式求下列各式中x 的值．(1)log x 27＝32；(2)log 2x ＝－23；(3)x ＝log 2719.【解析】(1)由log x 27＝32，可得x 32＝27，∴x ＝2723＝(33)23＝32＝9.(2)由log 2x ＝－23，可得x ＝232-.∴x 23＝314＝322.(3)由x ＝log 2719，可得27x ＝19，∴33x ＝3－2，∴x ＝－23.考点三：对数的性质例3求下列各式中x 的值．(1)log 2(log 5x )＝0；(2)log 3(lg x )＝1；(3)log 3(log 4(log 5x ))＝0.【解析】(1)∵log 2(log 5x )＝0，∴log 5x ＝20＝1，∴x ＝51＝5.(2)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝31＝3，∴x ＝103＝1000.(3)由log 3(log 4(log 5x ))＝0可得log 4(log 5x )＝1，故log 5x ＝4，∴x ＝54＝625.【总结】变式求下列各式中x 的值．(1)log 3(log 4(log 5x ))＝1【解析】由log 3(log 4(log 5x ))＝1可得，log 4(log 5x )＝3，则log 5x ＝43＝64，所以x ＝564.(2)3log 3(log 4(log 5x ))＝1【解析】由3log 3(log 4(log 5x ))＝1可得log 4(log 5x )＝1，故log 5x ＝4，所以x ＝54＝625.考点四：对数的运算性质例4求下列各式的值．(1)log 2(47×25)；(2)lg5100；(3)lg 14－2lg73＋lg 7－lg 18；(4)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.【解析】(1)log 2(47×25)＝log 247＋log 225＝7log 24＋5log 22＝7×2＋5×1＝19.(2)lg5100＝lg 10015＝15lg 100＝15×2＝25.(3)lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18＝lg (2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg (32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.(4)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.【总结】变式已知ab ＞0，有下列四个等式：①lg (ab )＝lg a ＋lg b ；②lg ＝lg a －lg b ；③12lg 2＝lg ；④lg (ab )＝1log ab 10，其中正确的是________．【答案】③【解析】①②式成立的前提条件是a ＞0，b ＞0；④式成立的前提条件是ab ≠1.只有③式成立．考点五：对数换底公式的应用例5计算：(1)log 29·log 34；(2)log 52×log 79log 513×log 734.【解析】(1)由换底公式可得，log 29·log 34＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3lg 2·2lg2lg 3＝4.(2)原式＝log 52log 513×log 79log 734＝13log 9＝lg 2lg 13×13lg 9lg 4＝12lg 2－lg 3×2lg 323lg 2＝－32.【总结】变式若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x 等于()A ．9B ．19C ．25D ．125【答案】D【解析】log 513·log 36·log 6x ＝－log 53·log 36·log 6x ＝－log 5x ，则log 5x ＝－2，则x ＝5－2＝125.故选D.考点六：对数的综合应用例6已知log 189＝a ，18b ＝5，求log 3645.(用a ，b 表示)【解析】因为18b ＝5，所以b ＝log 185.所以log 3645＝log 1845log 1836＝log 18（5×9）log 18（2×18）＝log 185＋log 189log 182＋log 1818＝a ＋b 1＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b 2－log 189＝a ＋b 2－a .【总结】求解与对数有关的各种求值问题的三个注意点(1)利用对数的定义可以将对数式转化为指数式；(2)两边同时取对数是将指数式化成对数式的常用方法；(3)对数的换底公式在解题中起着重要的作用，能够将不同底的问题转化为同底问题，从而使我们能够利用对数的运算性质解题．变式（1）已知log 189＝a ，18b ＝5，求log 1845？(用a ，b 表示)【解析】因为18b ＝5，所以log 185＝b ，所以log 1845＝log 189＋log 185＝a ＋b .（2）已知log 94＝a ，9b ＝5，求log 3645.(用a ，b 表示)【解析】因为9b ＝5，所以log 95＝b .所以log 3645＝log 945log 936＝log 9（5×9）log 9（4×9）＝log 95＋log 99log 94＋log 99＝b ＋1a ＋1.考点七：利用对数运算解决实际问题例6某种汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t 的变化规律是μ＝μ0e －λt ，其中μ0、λ是正常数．经检测，当t ＝2时，μ＝0.9μ0，则当稳定性系数降为0.5μ0时，该种汽车已使用的年数为________(结果精确到1，参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771).【答案】13【解析】由0.9μ0＝μ0e －2λ＝μ0(e －λ)2，得e －λ＝0.9，令0.5μ0＝μ0(e －λ)t ，得0.5＝(0.9)t ，两边取常用对数，得lg 0.5＝t 2lg 0.9，故t ＝2lg 0.5lg 0.9＝2lg 2－1lg 910＝－2lg 22lg 3－1＝2lg 21－2lg 3≈13.【总结】变式有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2020年为3000万吨，2021年增长率约为50%.有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从________年开始，快递业产生的包装垃圾超过30000万吨(参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771).【答案】2026【解析】第n 年(2021为第一年)包装垃圾为3000×1.5n ，令3000×1.5n ＞30000，解得n ＞log 1.510＝1lg 3－lg 2≈10.1761≈5.68.又n 为整数，所以从2026年开始快递业产生的包装垃圾超过30000万吨．1．(多选)下列指数式与对数式互化正确的有() A．e0＝1与ln1＝0B．log39＝2与912＝3C．138 ＝12与log812＝－13D．log77＝1与71＝7【答案】ACD【解析】log39＝2化为指数式为32＝9，故B错误．A、C、D正确．2．在b＝log a－2(5－a)中，实数a的取值范围是()A．(－∞，2)∪(5，＋∞)B．(2，5)C．(2，3)∪(3，5)D．(3，4)【答案】C【解析】－a＞0，－2＞0，－2≠1，解得2<a<3或3<a<5.3．已知a23＝49(a＞0)，则log23a＝()A．2B．3C．12D．13【答案】B【解析】由a 23＝49，得a323，所以log23a＝log233＝3.4．若log5x＝2，log y8＝3，则x＋y＝________．【答案】27【解析】∵log5x＝2，∴x＝52＝25.∵log y8＝3，∴y3＝8，∴y＝2，∴x＋y＝27. 5．已知x＝log23，求23x－2－3x2x－2－x的值．【解析】（方法1）∵23x＝(2log23)3＝33＝27，2－3x＝(2x)－3＝(2log23)－3＝3－3＝127，2x＝2log23＝3，2－x＝12x＝13，∴原式＝27－1273－13＝919.（方法2）∵x ＝log 23，∴2x ＝3，∴23x －2－3x2x －2－x ＝（2x ）3－（2x ）－32x －（2x ）－1＝33－3－33－3－1＝27－1273－13＝919.6．求值：lg 4＋lg 25＝()A ．100B ．10C ．2D ．1【答案】C【解析】lg 4＋lg 25＝lg (4·25)＝lg 102＝2lg 10＝2.故选C.7．已知log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m 等于()A ．92B ．9C ．18D ．27【答案】B【解析】∵log 34·log 48·log 8m ＝lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg m lg 8＝lg mlg 3＝2，∴lg m ＝2lg 3，∴m ＝9.8．(多选)设a ＞0且a ≠1，m ，n 是正整数，则()A ．log a (mn )＝log a m ＋log a n B ．log＝log amlog a n C ．log a n m ＝n log a m D ．log a m n ＝n log a m 【答案】AD【解析】由对数的运算性质可得log a (mn )＝log a m ＋log a n ，故A 正确；log＝log a m －log a n ，故B 错误；log a n m ＝1nlog a m ，故C 错误；log a m n ＝n log a m ，故D 正确．故选A 、D9．已知a 2＝1681(a ＞0)，则log 23a ＝________．【答案】2【解析】由a 2＝1681(a ＞0)得a ＝49，所以234log 9＝2232log 3⎛⎫⎪⎝⎭＝2.10．已知a,b 是方程log 3x 3＋log 273x ＝－43的两个根，试给出关于a,b 的一个结论________．【答案】a ＋b ＝1081(答案不唯一)【解析】根据换底公式有log 33log 33x ＋log 33x log 327＝－43，即11＋log 3x ＋1＋log 3x 3＝－43.令1＋log 3x ＝t ，则1t ＋t 3＝－43，解得t ＝－1或t ＝－3.所以1＋log 3x ＝－1或1＋log 3x ＝－3，解得x ＝19或x ＝181.故a ＋b ＝1081.1．若lg x ＝lg a ＋2lg b －3lg c ，则x ＝()A ．a ＋2b －3cB ．a ＋b 2－c 3C ．ab 2c 3D ．2ab 3c【答案】C【解析】∵lg x ＝lg a ＋2lg b －3lg c ＝lg ab 2c 3，∴x ＝ab 2c 3.故选C.2．方程9x －6·3x －7＝0，则x ＝()A ．log 37B ．log 73C ．7D ．－1【答案】A【解析】设3x ＝t (t ＞0)，则原方程可化为t 2－6t －7＝0，解得t ＝7或t ＝－1(舍去)，即3x ＝7.∴x ＝log 37.3．若log x 7y ＝z ，则()A ．y 7＝x zB ．y ＝x 7zC ．y ＝7x zD ．y ＝z 7x【答案】B【解析】由log x 7y ＝z ，得x z ＝7y ，∴(7y )7＝(x z )7，则y ＝x 7z .4．设a ＝log 32，则log 38－2log 36用a 表示的形式是()A ．a －2B ．3a －(1＋a )2C ．5a －2D ．－a 2＋3a －1【答案】A【解析】∵a ＝log 32，∴log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋1)＝3a －2(a ＋1)＝a －2.5．方程lg (x 2－1)＝lg (2x ＋2)的根为()A ．－3B ．3C ．－1或3D ．1或－3【答案】B【解析】由lg (x 2－1)＝lg (2x ＋2)，得x 2－1＝2x ＋2，即x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.经检验x ＝－1不合题意，所以原方程的根为x ＝3.6．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中某类物质的原子总数N 约为1050.则下列各数中与MN最接近的是(参考数据：lg 3≈0.48)()A ．1093B ．10113C ．10123D ．10133【答案】C【解析】因为M ≈3361，N ≈1050，所以lg M ≈361×lg 3，lg N ≈50，lgM N ＝lg M －lg N ≈361×0.48－50≈123，所以MN≈10123.故选C.7．(多选)下列指数式与对数式互化正确的是()A ．54＝625与log 4625＝5B ．10－2＝0.01与lg 0.01＝－2C －4＝16与log －416＝12D ．912＝3与log 93＝12【答案】BD【解析】对于A ，54＝625可化为log 5625＝4，故不正确；对于B ，10－2＝0.01可化为lg 0.01＝－2，故正确；对于C －4＝16可化为log 1216＝－4，故不正确；对于D ，912＝3可化为log 93＝12，故正确．故选B 、D.8．(多选)下列运算正确的是()A ．2log 1510＋log 150.25＝2B ．log 427·log 258·log 95＝98C ．lg 2＋lg 50＝2D ．((2log2-－(log 22)2＝－54【答案】BCD【解析】对于A ，2log 1510＋log 150.25＝log 15102＋log 150.25＝log 1525＝－2，故A 错误；对于B ，log 427·log 258·log 95＝32log 23·32log 52·12log 35＝98·lg 3lg 2·lg 2lg 5·lg 5lg 3＝98，故B 正确；对于C ，lg 2＋lg 50＝lg (2×50)＝2，故C 正确；对于D ，((2log 2－(log 22)2＝(2log 2＝－1－14＝－54，故D 正确．故选B 、C 、D.9．若a ＝lg 2，b ＝lg 3，则2100b a -的值为________．【答案】43【解析】∵a ＝lg2，∴10a ＝2.∵b ＝lg3，∴10b ＝3，∴2100ba -＝（10a ）210b＝43.10．若log m 2＝a ，log m 3＝b ，则2a b m+的值为________．【答案】18【解析】因为log m 2＝a ，log m 3＝b ，所以m a ＝2，m b ＝3，即2a bm +＝m a ×(m b )2＝2×32＝18.11．若log 12x ＝m ，log 14y ＝m ＋2，求x 2y的值．【解析】∵log 12x ＝mm＝x ，x 22m.∵log 14y ＝m ＋2m ＋2＝y ，y2m ＋4.∴x 2ym ＋42m －（2m ＋4）－4＝16.12．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足L ＝4＋lg V ．已知某同学视力的五分记录法的数据为3.9，则其视力的小数记录法的数据约为(1010≈1.259)()A ．1.5B ．1.2C ．0.8D ．0.6【答案】C【解析】因为L ＝4＋lg V ，即V ＝10L －4，所以当L ＝3.9时，V ＝10－0.1＝1100.1≈0.8.故选C.13．若log 2(log 3x )＝log 3(log 4y )＝log 4(log 2z )＝0，则x ＋y ＋z 的值为()A ．9B ．8C ．7D ．6【答案】A【解析】∵log 2(log 3x )＝0，∴log 3x ＝1，∴x ＝3.同理y ＝4，z ＝2.∴x ＋y ＋z ＝9.故选A.14．利用对数恒等式a log a N ＝N(a ＞0，且a ≠1，N ＞0).计算：－1＋log 0.54＝________；(2)23＋log 23＋32－log 39＝________．【答案】(1)8(2)25【解析】(1)0.51log 412-+⎛⎫⎪⎝⎭＝112-⎛⎫ ⎪⎝⎭·12log 412⎛⎫ ⎪⎝⎭＝2×4＝8.(2)23log 32+＋32log 93-＝23×2log 32＋32log 933＝8×3＋99＝25.15．已知log 23＝a ，则4a ＋4－a 的值为________．【答案】829【解析】因为log 23＝a ，所以4a ＋4－a ＝2log 34＋2log 34-＝()2log 322＋()2log 322-＝()22log 32＋()log 3222-＝32＋3－2＝829.16．求x 的值．(1)()()2221log 321x x x -+-＝1；(2))1log＝x .【解析】(1)由()()2221log321xx x -+-＝1x 2＋2x －1＝2x 2－1，x 2＋2x －1＞0，x 2－1＞0且2x 2－1≠1，解得x ＝－2.(2)x ＝)1log)1log))1log1-＝1.17．设实数a ，b ，c 为正数，且满足a 2＋b 2＝c 2，log ＝1，log 8(a ＋b －c )＝23，求实数a ，b ，c 的值．【解析】由log ＝1得1＋b ＋ca＝4，即b ＋c ＝3a ，由log 8(a ＋b －c )＝23得a ＋b －c ＝823＝4，又a 2＋b 2＝c 2，∴a ＝6，b ＝8，c ＝10.18．已知log a b ＝log b a (a ＞0，且a ≠1；b ＞0，且b ≠1)，试探究a 与b 的关系，并给出证明．【解析】a ＝b 或a ＝1b .证明如下：设log a b ＝log b a ＝k ，则b ＝a k ，a ＝b k ，所以b ＝(b k )k ＝bk 2，因为b ＞0，且b ≠1，所以k 2＝1，即k ＝±1.当k ＝－1时，a ＝1b；当k ＝1时，a ＝b .所以a ＝b 或a ＝1b.。
自动控制原理名词解释
1.控制概念（1）开环控制：开环控制是最简单的一种控制方式。
它的特点是，按照控制信息传递的路径，控制量与被控制量之间只有前向通路而没有反馈通路。
闭环控制：凡是将系统的输出量反送至输入端，对系统的控制作用产生直接的影响，都称为闭环控制系统或反馈控制系统。
复合控制：是开、闭环控制相结合的一种控制方式。
（2）反馈：指将系统的输出返回到输入端并以某种方式改变输入，进而影响系统功能的过程，即将输出量通过恰当的检测装置返回到输入端并与输入量进行比较的过程。
（3）传递函数：在零初始条件下，系统输出信号的拉手变换与输出信号的拉氏变换的比。
（4）被控对象：指需要给以控制的机器、设备或生产过程。
执行机构：一种能提供直线或旋转运动的驱动装置，它利用某种驱动能源并在某种控制信号作用下工作。
（5）线性化：a条件：连续且各阶导数存在 b方法：工作点附近泰勒级数展开。
2.时域指标（1）上升时间tr：响应从终值10%上升到终值90%所需时间；对有振荡系统亦可定义为响应从零第一次上升到终值所需时间。
上升时间是响应速度的度量。
峰值时间tp：响应超过其终值到达第一个峰值所需时间。
调节时间ts：响应到达并保持在终值内所需时间。
（2）超调量σ%：响应的最大偏离量h(tp)与终值h(∞)之差的百分比。
振荡次数：是在阶跃信号作用下，系统在达到指定deta范围下，系统所震荡的总次数。
（3）动态降落：系统稳定运行时，突然加一个扰动量N，在过度过程中引起输出量的最大降落值Cmax称为动态降落。
恢复时间：系统从波动回复到稳态时候所需要的时间。
（4）稳态误差：对单位负反馈系统，当时间t趋于无穷大时，系统对输入信号响应的实际值与期望值（即输入量）之差的极限值，称为稳态误差，它反映系统复现输入信号的（稳态）精度。
3.频域特性（1）频率特性：对于线性系统来说，当输入信号为正弦信号时，稳态时的输出信号是一个与输入信号同频率的正弦信号，不同的只是其幅值与相位，且幅值与相位随输入信号的频率不同而不同。
东大14秋学期《自动控制原理Ⅰ》在线作业2答案
14秋学期《自动控制原理Ⅰ》在线作业2
一,单选题
1. 最大超调量越大，说明系统过渡过程越不平稳。
A. 是
B. 否
正确答案：A
2. 最大超调量反映了系统的快速性。
A. 是
B. 否
正确答案：B
3. 开环对数频率特性的高频段反映了系统的快速性和抗干扰能力。
（）
A. 是
B. 否
正确答案：A
4. 只有给定量是自动控制系统的输入量。
A. 是
B. 否
正确答案：B
5. 调节时间的长短反映了系统过渡过程时间的长短，它反映了系统的快速性。
A. 是
B. 否
正确答案：A
6. 传递函数分母中s的最高阶次表示系统的阶数。
A. 是
B. 否
正确答案：A
7. 震荡环节一般具有（）储能元件。
A. 零个
B. 一个
C. 两个
D. 三个
正确答案：C
8. 在典型二阶系统中，（）时为临界阻尼状态。
A.。
自动控制原理5第二节对数频率特性
19
② 一阶微分： A(w) 1 T 2w2，(w) tg1Tw
一阶微分环节的波德图
L(w) 20lg 1 T 2w2 对数幅频特性（用渐近线近似）：
低频段渐近线：当Tw 1时，A(w) 1， 20 log A(w) 0 高频段渐近线：当Tw 1时，A(w) Tw，L(w) 20 log Tw
第二节 对数频率特性
1
一、对数频率特性曲线（波德图，Bode图）
Bode图由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线组成。 ⒈波德图坐标(横坐标是频率，纵坐标是幅值和相角)的分度：
横坐标(称为频率轴)分度：它是以频率w 的对数值 logw 进行 线性分度的。但为了便于观察仍标以w 的值，因此对w 而言是 非线性刻度。w 每变化十倍，横坐标变化一个单位长度，称为 十倍频程(或十倍频)，用dec表示。类似地，频率w 的数值变化
来计算只能求出±90°之间的值(tg-1函数的主值范围)，也就是
说当 w ( 1 , ) 时，用计算器计算的结果要经过转换才能得到 。 即当 w (T1 , ) 时，用计算器计算的结果要减180°才能得到 。
T
或用下式计算
(w) tg1 Tw 1 2 tg1 Tw 1 2
17
微分环节的频率特性
(w) K
0 180
K 0 K 0
180
7
K 0
⒉ 积分环节的频率特性：G(s) K
s
频率特性：
G( jw )
K
j
K
K
e2
jw w w
积分环节的Bode图
L(w) / dB
40 20w ) tg1( K 0)
w
2
L(w) 20log A(w) 20log K
自动控制原理--典型环节的频率特性
j 1
0j 1
Im
0
Re
0
积分与微分环节
L(dB) 40
积分环节
0
微分环节
40
( )
90
微分环节
0 90
积分环节
20dB / dec
20dB / dec
6
三、微分环节
传递函数: G s s
频率特性:
G(j)
j
ej
π 2
➢1. 幅频特性 A及相频特性
A ,
A
( )
0
1
T
4
2
L,
0
1
T 3dB
4
20lg 2T 2 1
2
近似曲线 精确曲线
对数幅频特性和相频特性：
L() 20 lg 1 (T )2 () tg1 T
0 L0 0
1 L 20 lg 1 3
T
2
4
L
2
L()(dB) 0 0.1 5
10 15 20
0.2
0.3 0.4
0.6 0.8 1
T
2
34
6 8 10
七、一阶不稳定环节
传递函数: G s 1
Ts 1
➢1. 幅相频率特性
频率特性: G j 1
jT 1
G j
1
jT 1
1
1 T2
T
j1 T2
U
jV
U
1 2
2
V
2
1 2
2
一阶不稳定系统的幅相频
率特性是一个为（-1，j0）
为圆心，0.5为半径的半圆。
180O 90O
Im
1
(自动控制原理)对数频率特性
2
幅角
幅角表示信号增益和衰减的程度，通常用以描述系统的衰减特性。
3
角度解释
在Bode图中，相角和幅角以不同的曲线表示，用于描述系统对不同频率的响应。
频率响应的应用
系统稳定性
通过分析频率响应，我们可以判断系统在不同频率下的稳定性。
滤波器设计
频率响应可以帮助我们设计滤波器，以实现特定的频率特性。
系统优化
3 如何表示频率响应？
常用的方法是使用Bode图，它可以清晰地展示系统的增益和相位特性。
频率响应的定义
增益频率响应
增益频率响应描述了系统在不同频率下的信 号增益变化情况。
相位频率响应
相位频率响应描述了系统在不同频率下信号 的相位变化情况，通常以角度表示。
Bode图的介绍
什么是Bode图？
Bode图是一种图形化表示频率响应的工具，可以 同时展示增益和相位角随频率的变化。
Bode图的作用
通过查看Bode图，我们可以快速了解系统对不同 频率的输入信号的响应特性。
Bode图的绘制方法
1 手绘Bode图
通过计算系统的传递函数，可以手动绘制Bode图。
2 使用电子工具
现代控制系统软件可以自动生成Bode图，提高绘制效率。
相角和幅角的解释
1
相角
相角表示信号相对于参考信号的延迟或提前的角度。
通过调整频率响应，我们可以优化系统的性能，使其更好地满足要求。
频率响应的实例及演示
电路示例
通过展示具体的电路实例，我们可以演示频率响 应在实际系统中的应用。
仿真演示
借助仿真软件，我们可以模拟系统的频率响应， 并进行交互式的演示。
(自动控制原理)对数频率 特性
《自动控制原理》课程教学大纲
《自动控制原理》课程教学大纲课程编号：21311104总学时数：72（理论60，实验12）总学分数：4.5课程性质：专业必修课适用专业：电气工程及其自动化一、课程的任务和基本要求：本课程的主要任务是培养学生掌握自动控制系统的构成、工作原理和各件的作用;掌握建立控制系统数学模型的方法。
掌握分析与综合线性控制系统的三种方法：时域法、根轨迹法和频率法。
掌握计算机控制系统的工作原理以及分析和综合的方法。
了解非线性控制系统的分析和综合方法。
建立起以系统的概念、数学模型的概念、动态过程的概念。
通过课程的学习使学生掌握分析、测试和设计自动控制系统的基本方法。
结合各种实践环节，进行自动控制领域工程技术人员所需的基本工程实践能力的训练。
从理论和实践两方面为学生进一步学习自动控制专业的其他专业课如:过程控制、数字控制、智能控制、控制系统设计等打下必要的专业技术基础。
自动控制原理课程是自动控制专业学生培养计划中承上启下的一个关键环节，因此该课程在自动控制专业的教学计划中占有重要的位置。
二、基本内容和要求：1. 基础知识（1）人工控制和自动控制（2）开环控制系统（3）闭环控制系统（4）反馈控制系统的组成、分类和性能指标要求：了解控制理论的发展史、开环控制系统与闭环控制系统、反馈控制系统的组成、分类和性能指标。
2. 单变量线性定常系统的数学描述（1）系统的动态特性（2）单变量线性定常系统的数学描述（3）典型环节及其传递函数（4）控制系统方块图（5）信号流图（6）非线性微分方程线性化要求：控制系统微分方程的建立，传递函数的基本概念和定义，传递函数的性质，基本环节及传递函数，控制系统方框图及其绘制，方框图的变换规则，典型系统的方框图与传递函数，方框图的化简，用梅森增益公式化简信号流图。
3. 单变量线性定常系统的性能指标（1）单变量线性定常系统的输出响应（2）单变量线性定常系统的稳定性（3）劳斯稳定判据（4）控制系统的瞬态特性（5）控制系统的稳态特性（6）动态误差系数要求：掌握线性定常系统的瞬态特性和稳态特性，掌握劳斯判据。
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2
27
2 2 2 (1 2 ) ( 2 ) n n
②与0分贝线交点频率？斜率？
[+20]
0.1 0.2 [+20] 1 2 [+20] 10 20
20 0dB -20
-40
100
11
（4）惯性环节
传递函数： G（S）
1 TS＋1
1 1 频率特性：G( j ) Tj 1 T 2 2 1
e
对数幅频特性
相频特性
L( ) 20lg 1 2T 2
?
20lgk 0dB
= 0.5
0.5＜
r n
[-40]
r = n 1 22 友情提醒: (n)= 90o
26
（7）二次微分环节
传递函数： 频率特性：
G(S ) ( ) 2 ( Sn ) 1
S 2 n
, 0 1
2 2 G( j ) ( j ) 2 ( j ) 1 1 ( ) 2 ( ) j n n n n
10 -2
10 -1
10
0
2 34
10
1
3
Bode图的坐标形式(对数幅频特性)
相频特性坐标图
纵坐标均按线性分度
横坐标刻度先疏后密
( ) i ( )
i 1
N
横坐标是角速率 按 lg 分度 10倍频程，用dec 表示
（）0
900 450 00 -450 -900 -1350 -1800
lg
rad s
10 -2
10 -1
100
10
1
4
Bode图的坐标形式(相频特性)
L() dB
20 10 0 -10 -20 -30 -40 900 450 00 -450 -900
-1350
lg
rad s
( )
0
完 整 图 二 lg 合 rad s 一
1
5
-1800
T =1
10 1
15
用渐近线表示时，引起的对数幅值误差
惯性环节L()
L()dB 40 26dB 20 0dB 0o -20 - 30o - 45o o -40 - 60 - 90o
1 ① G(s)= 0.5s+1
100 ② G(s)= s+5
②低频0分贝线重合？转角频率？
[-20] 0.1 0.2
[ Ai ( )]e
i 1
j[
i ( ) ]
i 1
幅频特性：A( ) Ai ( )， 相频特性： ( ) i ( )
i 1
N
系统开环对数幅频特性(取对数变乘为加)
L( ) 20lg A( ) 20 lg Ai ( ) Li ( )
( )
0
L( ) 20lg K
( ) 0
比例环节对数频率特性曲线6
（2）积分环节
1 （ ） K 传递函数： G G s) 1 (S S
频率特性： G （ 1 j）
1
（3）微分环节
G （ S 2 S）
j
2
e
G （ e 2 j）
j
2
对数幅频和相频特性
-40 -1 10
10
0
10
1
振荡环节对数幅频特性曲线
22
0
-20
-40
＝0.1 ＝0.2
相频特性 与 关系
deg
-60 -80 -100 -120 -140 -160
＝0.3
＝0.5 ＝0.7 ＝1.0
-180 -1 10
10
0
10
1
振荡环节对数相频特性曲线
23
14 12 10
低频时 n 转角频率 n
L( ) 20lg 1 ＋0 20lg1 0(dB)
L( ) 20 lg 0＋(2 ) 2 20 lg 2 (dB )
高频段 n
2 L( ) 20lg 2 40lg 40lg T (dB) n n 21
( ) arctan T
j arctanT lg1 0 lg 2 0.3010 lg 3 0.4771
低频时的对数幅值曲线是一条0分贝的直线
1 低频段 ， L( ) 20lg T
2T 2＋1 20lg1 0(dB)
1 1 2 ， L( ) 20 lg [1 1 ] 20 lg 2 3.01 （dB） 转角频率 2 T
13
L()
渐近线
0
Bode Diagram
-5
转角频率Corner frequency
20 dB dec
Asymptote 渐近线
Magnitude (dB)
0 dB
dec
-10 -15
精确曲线 Exact curve
-20
-25 0
L( ) 20lg 2 1
Phase (deg)
i 1 i 1 N N
2
对数幅频特性坐标图
横坐标刻度先疏后密
纵坐标均按线性分度 L( ) 20 lg A( ) 20 lg G( j ) 横坐标是角速率 按 lg 分度 10倍频程，用dec 表示
L() dB 20 10 0 -10 -20 -30 -40
lg
rad s
1 2 10 20
100
-40
②低频0分贝线重合？转角频率？
19
（6）振荡环节
传递函数：
2 n
T
1
n
0, 0 1
1 1 G( S )＝ 2 2 2 S 2 2 T S 2TS 1 S 2 n S n ( n ) 2 ( Sn ) 1
10 -2
10 -1
100
10
Bode图的坐标形式(对数频率特性)
典型环节的对数幅相频率特性 （1）比例环节
传递函数： G( s) K 频率特性 ( S j )
L ( ) dB
最小相位典型环节
K>1
0 K=1 K<1
G( j ) Ke
j 00
lg
lg
对数幅频和相频特性
＝0.1 ＝0.2 ＝0.3 ＝0.5
幅值误差 与 关系
dB
8
6 4 2 0 -2 -4 -6
＝0.7 ＝1.0
-1 0 1
10
10
10
振荡环节对数幅频曲线以渐近线 方式表示时引起的对数幅值误差
24
振荡环节L()
L()dB 40 20 0dB -20
2 n 4 G( s ) 2 2 s 2 n s n s 2 2 0.2 2s 4
1
2
10 20
[-20]
100
16
（5）一次微分环节
传递函数： G（S） TS＋ 1
频率特性： G( j ) Tj 1 T 2 2 1
对数幅频特性
相频特性
1 低频段 ， T
e
j arctanT
L( ) 20lg 1 2T 2 ( ) arctanT
0.1 0.2
1
2
10 20
100
[-40]
-40
1 20lg Am 20lg 8.14dB 2 2 1
r n 1 2 1.92
2
25
振荡环节再分析
L()dB
1 20 lg (0＜ ＜0.707) 2 2 1
1 20 lg 2
2 k n G (s) 2 S 2 S 2 n n 0＜<0.5
高频段
1 ， L( ) 20lg T
2T 2 1 20lg T (dB)
12
高频时的对数幅频特性曲线是一条斜率为-20dB/dec的直线
高频段斜率： dL( ) d (20 lg T ) 20 dB dec
取转角频率
d lg
d lg
取T 1
（ 1 ）
2
lg
rad s
8
L( ) dB
20 0
L1 ( )
20dB/dec
L2 ( )
-20dB/dec 0.1 1 10
lg
1积分环节 2微分环节
-20
对数频率 特性曲线 (
90 0
)
2
( )
9 0
1
( )
lg
9
积分环节 L( ) 1
1 1 G( j ) j 1 2 1
1
e
jtg1
( ) tg
()
L( ) 20lg 2 1
0
0
0.5
-0.97
1
2
4
5
8
20
00 -26.60 -450 -63.40 -760 -78.70 -830 -870
-3.01 -7 -12.3 -14.1 -18.1 -26
频率特性：
G ( j ) 1 1
2 2 (j ) 2 ( j ) 1 1 ( ) 2 ( ) j n n n n
1
n 1 －jtg 2 1 2 n
2
20
2 2 2 (1 2 ) (2 ) n n
e
2 2 2 对数幅频特性： L( ) 20 lg (1 2 ) ( 2 ) n n 2 n 1 相频特性： ( ) －tg 2 1 2 n