对称美在数学解题教学中的应用
感受对称美的力量——谈对称及其在初等数学中的应用
点， 则会破坏这种对偶性． 再如 在高等数学 的研究 中 ， 人 们经常采用 以 ｅ 为底的 自然对数 ， 而不是 以 ｌ ０为底的常
用对 数 ， 中的原 因之一 就是 出于对称性 的考 虑 ， 过 其 通
指数的增长数与幂的增长数对称性 的追求 ， 十分 自然地 导致 了 自然对数的引进． 近代代数 中 占有关键 地位 的 在
对称现象真是不胜枚举． 已知三边长求 三角形 的面积 在
的 出发 点 ， 又是 探索解 题思路 的精 良武器． 我们可 以利
用 问题涉及 的数学对 象本 身具 有 的某 种对 称 因素 去解 答 问题 ， 当有些 问题给 出的数学对 象原来 不具有什 么对
公式 中， 我国南宋数学家秦九韶 和古希腊 数学家 海伦都 推导 出了公式 ， 由于海伦公式 具有对称 、 但 整齐 的美感 ， 容易记忆 ， 因而更 易 为人 所 接 受． 称 给 人 以均 衡 、 对 完
事物的合理性． 著名物理学家李政道 在回答 毛泽东 的提 问： 为什么 ‘ “ 对称 ’ 是你 的一种指导思想 ， 是你观点 的核 心” ， 时 曾指 出： 我所说 的对 称 ， “ 就是 平衡 ， 它是指 世界
上一切事物 ， 都处在它该处 的位置上 ” ．
个无穷远点 ， 我们就在平 面的直 线与点 之间建立 了对
面 面．
得到圆满解决 的． 正所谓 “ 山重水复 疑无路 ， 暗花明 又 柳
一
村” 其实这句话本身就体现 了对称． ， 爱因斯坦理 论 的
理性基 础是对 于对称性 的威力 的深刻理解 ， 正是在 此基
础之上 ， 它才 得 出 了这 个 理 论 的实 际 的 物 理 结 果 — — 相
对称性在数学教学中的应用
对称性在数学教学中的应用在数学教学中利用数学问题的对称性不仅有助于找到简洁优美的解法，也有利于学生思维水平的提高。
更重要的是可以在学习数学的同时欣赏数学美，正如古代哲学家普洛克拉斯曾说：“哪里有数学，哪里就有美。
”而对称美是数学美的基本内容和重要体现，因此在数学教学中，教师要有意识地揭示数学中的对称美，培养学生的美感，利用对称性提高学生解决问题的能力。
本文以例题为主，主要论述对称性在函数，几何等方面的应用，让学生充分认识对称性的作用，认识对称美。
运用对称性可以锻炼学生的思维，拓展学生的视野，丰富学生的想象，提高学习效果。
一、对称的概念“对称”一词，译自希腊语，其含义是“和谐”“美观”，原义指“在一些物品的布置时出现的般配与和谐”。
我国老一辈数学家段学复教授也说过：“对称，照字面来讲，就是两个东西相对而又相称(或者说相仿、相等)。
因此，把这两个东西互换一下，好像没动一样。
”在现实世界中，形式上和内容上的对称性，广泛地存在于客观事物之中，既有轴对称、中心对称、镜面对称等等的空间对称，又有周期、节奏和旋律的时间对称。
对称美，作为数学美的主要表现形式之一，其数学的实质就是自然物的和谐性在量和量的关系上最直观的表现，是组元的一个构形在其自同构变换群作用下具有的不变性。
从狭义上说，对称是指通常意义下的几何对称和代数对称；从广义上讲，对称还包含对偶、匀称等方面的内容，及各种数学概念、公式、定理间的对称思想。
二、函数中的对称性问题1.函数自身的对称性。
（1）利用奇偶函数的对称性解题。
众所周知，奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称，只要掌握这些知识的内涵，就能得到处理这些问题的思路把看似复杂的问题简单化。
例1设（fx）是R上的奇函数，且（fx+3）=-（fx），当0≤时（fx）=x，求（f2008）。
解：因为y=（fx）是定义在R上的奇函数，所以点（0，0）是其对称中心，又（fx+3）=-（fx）=（f-x）=（f0-x），所以直线是y=（fx）的对称轴，故y=（fx）是周期为6的周期函数，所以（f2008）=（f6×335-2）=f（-2）=-（f3-1）=（f-1）=-（f1）=-1。
谈中学数学中的对称美
谈中学数学中的对称美【摘要】简要论述中学数学阶段，数学中的对称美的体现和应用。
教学中不仅要引导学生在数学形式上去欣赏关注，更重要的是要让学生自觉的运用对称思想去解决某些具体问题，体验对称思想在数学发现和寻求解题突破中的作用。
【关键词】数（式）中几何图形中数学定理中解题中对称的含义比较广泛，从狭义上说，是指通常意义上的几何对称和代数对称；在广义上讲，还包括对偶、匀称、均衡、平衡、不变性、和谐统一等方面的内容。
从这样的角度认识对称，才能领悟数学的美——它是高度严谨和合理而达到的和谐，那是一种令人神怡的内在和谐——这种合理与和谐，是作为数学科学的广义对称。
在中学数学教学内容中，体现了丰富的形与数的形象对称与抽象对称。
中学数学解题方法中也渗透了对称的思想。
对称性是数学美的最重要的特征。
在教学中，如果能提高学生的数学审美能力，必能进一步激发他们学习数学的兴趣，变苦学为乐学，达到事半功倍的效果。
下面简要谈一谈对称性在中学数学中的体现和应用。
1.数（式）中体现出的对称美数（式）中体现出的对称美，主要体现在数（式）的结构上。
例如下列公式中，a+b=b+a，ab=ba，a2-b2=（a+b）（a-b），（a±b）2 = a2±2ab+ b 2 ，a3+b 3 = （a+b）（a2-ab+b2） a与b的位置都具有对称关系，它们在公式中的地位是一样的，公式显得对称而美观。
如果学生能领悟到这点，则有助于他们记忆和运用公式，降低学习难度。
再比如轮换对称式a3+b3+c3-3abc中，a、b、c是对称的，并不是说它们各占30%，也是指它们的地位是平等的，但如果改为a3-b3+c3-3abc，a、b、c就不再对称，但a和c仍是对称的，这些需要我们仔细体会才能领悟。
2.几何图形中的对称美中学数学中学习的两个图形关于某一条直线成轴对称以及轴对称图形、中心对称图形等，是数学对称美的一种极富特色的表现形式。
这些图形匀称美观，所以在日常生活中用途非常广泛。
对称美在高等数学解题中的应用
＋
ｆ
（＋ｚ ｙ ：
ｌ 。 ＋ ～． 醐 ｙ ｙ １
． ．
一
引 言
在 数 学 史上 ，数学 美 是 数 学 发 展 的 伟 大动力， 虚数 的 引入 ， 欧 几 何 的 创 立 ， 非 射 影几何的诞生 ， 微积分的严格化 ， 无不体现 了 数 学 美 对 数 学 发 现 与发 展 的 指 导 作 用 。 数学美的表现常有 简单 、 对称 、 统一、 奇异 等重要特征 。 这些特征渗透在数学的理论 、 语 言、 定理 公式 、 方法 技 巧 及数 学 的 实 际 应 用之中。 对称是 最能给人以 美感的一种形 式。 对称 性 在数 学 上表 现 为 图形 或 数式 的 对称 ， 概 念 、 题 、 则 或结 构 的 对 偶 、 应 等 等 。 命 法 对 毕达 哥 拉 斯 就 曾经 说 过 “ 切 立 体 图形 中 一 最 美 的是 球 形 ，一 切 平 面 图形 中 最 美 的 是 圆 形 ” 就 是 因 为 它们 是 对 称 的 图形 。数 学 ， 中 的有 些 问题 ， 当我 们 用 对 称 的 眼 光 去 观 察时 ， 不但能给我们 以美感 ， 且能够找到 而 简 洁漂 亮 的 解 法 。 下 面 我 就 以 一 些 例 子 来 说说 对 称 的 妙 用 。
因 为 积分 区域 Ｄ关 ＝ ＦＸ轴对 称 ，又 ｙ ３
因此
，
，
是奇函数，所以 Ｊ 西 ＝ ０，同理， 以
ｄ ，，－ ｘｂ －０
，
Ｉ ＋ （ ＋’ 西 ＝Ｉ Ｉ ） ， Ｉ １
～
Ｄ
＝詈 一
） ｏ
即得 证 。
由此 可知 ，积分 中借助于 图形的对称 性可获得简捷的解题途径 。
论数学的对称美在数学学习中的意义
论数学的对称美在数学学习中的意义摘要：人们对数学美的追求与数学的研究是同步进行的，数学的美，如同音乐家演奏的美妙旋律，画家笔下的精美作品一样。
同样是在表达美，只不过形式不同而已。
本文通过对数学的对称美的研究，希望能引起共鸣，使更多的人来关注数学美学的发展。
关键词：对称美数学思想中图分类号：O1-099 文献标识码：ATalk about the symmetrical American meaning in mathematics is studied of mathematics Summary : People's study on mathematics beautiful pursuit and mathematics is carried on in step , mathematics is beautiful, like the wonderful melody which the musician plays, the exquisite works in the works of the painter are the same. Expressing too beautifully, only forms are different. This text passes the symmetrical and beautiful research to mathematics, hope Yes to cause the sympathetic response, make more persons pay close attention to the development of mathematics aestheticsKeyword: Symmetrical an beautiful Mathematics thought1.引言“万物皆数”这是毕达哥拉斯学派的观点，的确数学的发展与人类社会的发展是密不可分的，人类对文明的追求，正是沿着挖掘事物美这条道路前进的，同样数学的发展也是追求数学美的过程。
数学教学中的对称美
数学教学中的对称美宿迁市宿城一中王林内容摘要：各科教学都就有机地对学生进行美育，在数学中蕴含着丰富的美学资源。
在教学时，教师可以运用信息技术更好地去揭示数学中的内涵美。
创设美的情境，让学生在情境中感受图形和算式的对称美，并激发学生创造对称美的作品。
运用信息技术演绎几何图形的奇特景观和奇妙的解题方法，让学生体验数学的奇异美。
还可以收集一些美的信息，让学生在阅读和欣赏时体会数学的和谐美。
关键词：对称美和谐美在全面推选素质教育的今天，审美教育受到了人们的广泛重视。
正如苏霍姆林斯基所说：“教育，如果没有美，没有艺术，那是不可思议的。
”如今语文、音乐、美术等学科开展了大量的美育活动，但是在数学方面的美育活动却很少。
数学作为教育中的一门重要学科，能够缺少美的教育吗？早在古希腊著名的思想家、数学家——柏拉图，就已经对“数学美”作了深刻的论述。
其实数学中蕴含着丰富的美学资源，从美的对象来看：有式的美、形的美、符号的美、黄金分割及比例美等；从美的表现形式来看：有对称的美、和谐美、奇异美、统一的美、简洁的美等。
在数学教学中，运用信息技术揭示这些美，能引起学生对数学美的赞叹，激发创造美的热情，培养学生的数学美感，提升学生的数学才能，现就如何揭示数学对称美、奇异美、和谐美方面谈几点做法，以求赐教。
一、创设美的情境，让学生感受数学的对称美。
“对称”既是数学概念，又是一个重要美学概念。
在数学中大量的图形和算式都形象直观体现了对称美。
1、展示美的画面，创作美的对称图形。
在教学时用多媒体展示各种美丽的对称图形，能创设一个美的情境，让学生在美的情境受到美的熏陶、理解美的价值、创造美的作品。
如轴对称图形在学生认识了轴对称图形的特征后，师：“同学们，现在正是春暖花开，外出活动的好时节，让我们一起到轴对称图形王国去走一走吧！[动画呈现：在美丽的轴对称图形王国，有漂亮的蝴蝶，可爱的小蜜蜂，逗人的青蛙等各种小动物；有0、3、8、B、E、D、Y、H、K等数字与字母：有雄伟壮丽的天安门、美丽迷人的艾菲尔铁塔，庄严肃穆的天坛、历史悠久的故宫等中外名胜古迹；还有红双喜字、树叶……]随着一幅幅美丽画面的不断变换，学生的眼睛亮了起来，赞叹之声此伏彼起，“真是太美了！”学生已经真真切切地感受到了对称图形的美，师：“正因为有了这么多对称与不对称，才让我们的世界如此五彩缤纷、美丽动人。
浅谈数学中的对称美及其应用
专题研究ZHUANTI YANJIU员缘源 数学学习与研究 2016.21◎董晓萌 李 珣 (渭南师范学院 数理学院,陕西 渭南 714099)【摘要】本文主要讨论在数学现象中的对称美,比如:数字,图形和公式的对称美等,及其在数学中的应用以及作用,对称也是连接代数与几何的关键,使代数与几何达到了完美的统一.通过学习数学中的对称美,可以增强发散性思维,并且开拓在解决数学问题中的基本思路与方法.【关键词】对称美;几何;代数;发散性思维对称,是指图形或物体对某个点、直线或平面而言,在大小、形状和排列上具有一一的对应关系,其最直观的表现就是图形的部分重叠或重合[1].对称性在数学中有非常普遍的应用,利用对称的思想来解决数学问题可以起到事半功倍的效果,对称美更是数学美中不可忽视的一部分.一、数学中对称美的基本内容及表现形式对称性在数学中也是普遍存在的,数学美是现实空间自然美的一种体现,是一种特殊的美,也具有其他科学不具有的抽象美,更是一种科学美[2].数学的美是一种天生的、协调的美,也是一种抽象的、严谨的美.这些数学美的特征:奇偶性、单调性、奇异性等等,体现在数学语言,数学理论知识,数学的定理公理公式,数学的方法技巧,以及数学在生活实际中的作用和应用.其中对称美,却是最简洁、最能给予人美感的一种体现形式,它展现了数学中的部分与部分、部分与整体之间的联系和统一,把各种数学概念和理论联系起来.对称性在数学中的具体表现为:数字的对称,图形的对称,形式或结构的对称等等.因而,对称美成为数学美中必不可少的一部分,对称性更是数学中的一种重要思想和方法,所以对称美普遍存在于数学科学中,甚至在其他自然科学及人文科学中也处处蕴含着对称的美及对称的重要作用.数学中的对称美的主要表现形式体现在图形的对称美,数字的对称美,公式的对称美,以及形式或结构的对称等方面.如果一个整数,它的每一位数字都是关于左右对称的,那么称这个数是对称数,也可以称这个数为回文数.比如121,12321,1234321等等;由于图形的对称美,代数学才得以发展和进步,更是成为一门学科.若一个图形的对称轴越多,那么这个图形就越完整,越完美;在一些数学公式中,对称美也是无处不在的.比如,加法和乘法的交换律、分配律,a +b =b +a ,ab =ba ,(a +b )c =a ×c +b ×c 等.代数中的平方差公式a 2-b 2=(a -b )(a +b ),完全平方和公式(a +b )2=a 2+2ab +b 2等;且有结构的对称美,如二项式定理(a +b )n =C 0n a n +C 1n a n -1b +…+C k n a n -k b k +…+C n n b n及杨辉三角形,是二次项系数在三角形中的一种几何排列.二、对称性在数学中的应用对称不仅给人以美感,且在数学各学科中有更广泛地应用,在代数学、方程、几何及微积分解题过程中运用对称的思想,可以使问题化繁为简[3].如解方程就是运用了对称的方法,即给等式的两边同时加上一个数或者式子,等式还是相等的,这就是对称的思想;对称性在数学几何中的体现最为直观,例如圆,球,抛物线,双曲线,都是有着很直观的对称性,运用对称的思想更是可以直观地得出结论或者结果;对称在微积分解题过程中的应用,通过具体的问题来说明.(一)对称性在微分学中的应用设函数解析式u =1x 2+y 2+z 2,证明∂2u ∂x 2+∂2u∂y 2+∂2u∂z 2=0. 分析:先是关于u 对于x 求导得出∂u∂x,然后再对于x 求导得出∂2u∂x 2,同理得出∂2u ∂y 2和∂2u ∂z 2,因为x ,y ,z 是关于自变量对称的,所以只需算出一个即可证明.(二)对称性在积分学中的应用对称性在积分学中有着重要的应用,且有如下结论:命题一:设f (x )在[-a ,a ]上连续,(1)若f (-x )=-f (x ),则有∫a-af (x )d x =0;(2)若f (-x )=f (x ),则有∫a-af (x )d x =2∫af (x )d x.命题二:如果有一个积分区域D ,并且这个区域D 是关于x 轴对称的,而且f (x ,y )在D 上也是连续的,则(1)若f (x ,-y )=-f (x ,y ),则有∬Df (x ,y )d σ=0;(2)若f (x ,-y )=f (x ,y ),则有∬Df (x ,y )d σ=2∬D 1f (x ,y )d σ,其中D 1是D 中对应于y ≥0的部分,即D 1={(x ,y )∈D |y ≥0}.三、结 论对称不仅给人以直观美的享受,更是一种重要的数学思想,数学思维模式和方法[4].在数学解题过程中利用对称关系,也是常用的一种解题技巧.用对称的思想和思维解题,可以使问题简单、明了化,可以将抽象问题具体化,从而降低解题的难度,达到事半功倍的效果,更重要的是可以培养学生的发散性思维,展现数学中的自然美,加深学生对数学对称方法和应用技巧的理解,提高学生的数学思维和数学应用能力.【参考文献】[1]夏向阳.数学的对称观及其在教学中的应用[J ].数学学报,2010(8):75-77.[2]陈攀.浅论数学中的美[J ].数学理论与应用,2009(5):9-13.[3]吴振奎,刘舒强.数学中的美—数学美学初探[M ].天津:天津教育出版社,1997:35-48.[4]陈自高.数学中的对称美与应用[J ].科学教育论坛,2006(5):242-254.. All Rights Reserved.。
对称优美,寻找答案——幼儿园大班数学活动教案
对称优美，寻找答案——幼儿园大班数学活动教案近日，本幼儿园大班开展了一项别开生面的数学活动——对称优美，寻找答案。
这次活动旨在让孩子们通过观察、模仿、比较、探索等方式，感受对称美，理解对称性质，培养观察、想象、创造、解决问题的能力，以及激发他们的兴趣、自信和积极性。
活动一：对称饰品在活动前，老师们已为孩子们准备好了各种彩色宣纸、图案剪纸、珠链、花边、绸带、毛线等材料。
在班里摆放好各种对称饰品模板，如蝴蝶、花朵、星星、月亮、车辆飞机等。
孩子们可以自由地选择材料和模板，将它们剪、挂、缀、织、编、绣成各种五彩缤纷、对称优美的饰品。
在操作过程中，老师们鼓励孩子们多观察、多比较、多反思，如何使饰品对称、均衡、美观。
不同颜色和形状的装饰剪纸、珠链等，需要经过孩子们灵活运用、摆弄和调整，才能变成更符合个人理念，具有吸引力的艺术品。
活动二：对称图形此活动是通过图卡的方式，引导孩子们认识对称图形，学习对称性质，提高空间认知和品味审美。
在活动开始前，老师们已在班里的墙上、地上贴着各种对称图形，如矩形、正方形、三角形、圆形、星形等。
每个孩子会拿到一张对称图卡，上面都带有有意思的图案。
孩子们需要通过多种方式，将图案对称起来，才算完成本次任务。
孩子们可以把持卡，挖空、折叠、留白、转化，使图形上下左右同样，达到对称的效果，同时促进孩子们的观察力、动手能力、空间想象力和团队合作能力。
活动三：对称游戏此游戏通过多人互动，既让孩子们娱乐，也培养了团队协作和竞争意识。
游戏内容是将一个花坛根据对称原则，分成左右两半，左右两组分别是蝴蝶、蜜蜂、草坪、花朵、锅碗瓢盆等素材，每个素材都有自己的价值，每组在游戏结束时会得到相应的奖励。
游戏规则是孩子们通过座位抽签，分成左右两组，每组有一个指导员，负责组织组员观察、分析、制定对称方案，然后在规定时间内，完成对称花坛，达到评分的标准。
通过游戏，增强孩子们的角色自信、策略思考和口头表达能力，充实了他们的娱乐生活和团队精神。
对称思想在数学问题中的应用
对称思想在数学问题中的应用作者：高晓亮来源：《收藏界·名家探索》2018年第04期数学问题中，对称是一类较常见的问题。
如数的对称、式的对称、图形的对称，而利用对称的性质来解决有关数学问题又是数学思想方法的重要体现。
教学中常常启发学生用对称思想思考数学问题，对增强学生解决数学问题的能力，启迪心智，大有裨益。
一、对称性的概念对称在词典上的解释，对称指的是物体或图形相对的两边的各个部分，在大小、形状和排列上具有一一对应的关系。
“对称”一词代表着平衡、比例和谐的意思，而这又与优美、庄重、和谐、平等联系在一起。
我国曾有老一辈的数学家这样对对称作出解释：“对称，照字面来讲，就是两个东西既相对而又相称（或者说相仿、相等）。
因此，把这两个东西的位置互相换一下，就好像没有动过一样”。
在现实世界中，形式上和内容上的对称性，普遍的存在于客观事物中，既有轴对称、中心对称、镜面对称等等的空间对称事物，又有像节奏、旋律和周期这样的时间对称事物。
从数学角度来分的对称有轴对称和中心对称，中外许许多多的著名建筑物，例如北京天坛祈年殿、北京的天安门、北京的人民大会堂、法国的凡尔赛宫、埃菲尔铁塔、巴黎圣母院、凯旋门、希腊的宙斯神殿、雅典娜神殿、印度的泰姬陵、埃及的狮身人面像、埃及金字塔、澳大利亚的悉尼歌剧院、日本的蒲群市和平纪念塔，都表现了数学中的对称美，这些建筑都是结合了数学中的轴对称和中心对称的特点所设计出来的。
因此，对称不仅能给人以美的享受，还能让我们从中学到对称的知识，有助于我们全面和谐发展的落实，我们还可以利用对称的思想方法找到对称的基点，处理好社会中存在的各种“非对称”矛盾，使其能够回到对称的和谐自然。
二、对称性在数学解题中的应用1、对称性在几何中的应用几何图形的对称美在数学中表现是比较普遍的，几何的对称不仅仅是图形大小，形状的对称，更重要的是它们存在着位置的对称。
如果我们能够在解题中充分的利用对称这一有力工具，这将会缩小解题的难度，同样能够培养学生的思维能力。
数学中的对称美完整版
数学中的对称美HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】数学中的对称美对称性是数学美的最重要的特征。
几何中的轴对称、中心对称，代数中的许多运用都能给人以美感。
发掘学生对数学的审美能力，这对引发学生的数学兴趣和学习上都有很大的帮助。
许多数学教师在教学中关注怎样利用数学中的对称美,提高学生学习数学的兴趣,提高解题的能力。
我认为,数学教师在教学中,更要注意引导学生利用对称美提出问题,进行数学创新。
这样做,有利于学生跳出题海,掌握学习的主动权。
一：代数中的对称美：常出现在规律运算、数列运算、函数运算中例如1：“回文数”是一种数字，也是一种对称数。
如:98789，这个数字正读是98789，倒读也是98789，正读倒读一样，所以这个数字就是回文数。
解：我们最常见的一组算式：1×1=111×11=12111×111=12321?1111×1111=1234321从上述计算中得出对称规律可得：例如2、计算：1 + 2 + 3 +┅ + 100引导学生利用数学对称美来解。
解：设x = 1 + 2 + 3 + ┅ + 100①倒过来x = 100 + 99 + ┅ + 1②① + ② 得?2x = 101 × 100∴ x = 5050即：1 + 2 + 3 + ┅ + 100 = 5050例如3、已知正比例函数与反比例函数的一个交点是（2，3），则另一个交点是（，）.分析：因为正比例函数与反比例函数都是关于原点中心对称图形，从而它们的交点也是关于原点中心对称。
所以另一个交点是（－2，－3）.例如4、如图，请写出△ABC中各顶点的坐标．在同一坐标系中画出直线m：x=•-1，并作出△ABC关于直线m对称的△A′B′C′．若P（a，b）是△ABC中AC边上一点，•请表示其在△A′B′C′中对应点的坐标．分析：直线m：x=-1表示直线m上任意一点的横坐标都等于-1，因此过点（-1，0）•作y轴的平行线即直线m．画出直线m后，再作点A、C关于直线m的对称点A′、C′，•而点B在直线m上，则其关于直线m对称的点B′就是点B本身．解：（1）△ABC中各顶点的坐标分别是A（1，4）、B（-1，1）、C（2，-1）（2）如右图，过点（-1，0）作y轴的平行线m，即直线x=-1．（3）如右图，分别作点A、B、C关于直线m对称的点A′（-3，4）、B′（-1，1）、C′（-4，-1），并对顺次连接A′、B′、C′三点，则△A′B′C′即为所求．（4）观察发现三组对称点的纵坐标没有变化．而横坐标都可以表示为2×（-1）•减去对应点的横坐标．所以点P的对应点的坐标为（-2-a，b）。
数学论文数学中的对称美及应用资料
谈数学中的对称美与在解题中的应用吴恋，数学计算机科学学院摘要本文首先讨论了数和式中的对称美.其次运用对称思想来解决数学问题.在数学问题的解题过程中，巧妙地构造对称美，从整体上把握问题的实质，优化解题过程.先是就对称在微积分中的应用，列举了一些重要的结论及其在解题中的具体应用.再研究了几何图形中的对称美.然后讨论了数学中其它方面的对称美.特别是对称在记忆数学公式和数学方法中的应用.最后探讨了对称思想在数学教学中的应用，通过在数学教学中落实对称的数学美的思想方法，从而促进学生形成学习数学知识的良好的、积极的情感行为，更好地理解数学知识，提高学生解决数学问题的能力.关键词：对称；数学美；轮换对称性；积分区间；对称性原理；数学思想1引言1.1对称美对称性的感受逐惭成为一项美学准则，广泛应用于建筑、造型艺术、绘画以及工艺美术的装饰之中.你可以从许多中、外著名的建筑、艺术珍品中看到.天坛的建筑、天安门的建筑、颐和园长廊的建筑以及各种花瓶、古人饮酒的爵和各种花边等等是旋转对称、左右对称和平移对称的典型例子.这些对称美给人以匀称、均衡、连贯、流畅的感受，因而体现着一种娴静、稳重、庄严.在现实世界中,既有形态各异的自然对称,又有巧夺天工的人工对称,它们构成了一幅人与自然和谐的优美画卷.因此,对称是宇宙和自然界的基本属性,也是事物适应周围环境而生存发展和繁衍生息的自然规律,充分展现出事物协调环境、自我完善的、和谐的自然美.1.2数学中的对称美美，不仅存在于艺术、文学中，存在于大自然以及社会生活中，而且也存在于自然科学中，存在于数学之中.早在两千多年前，古代哲学家、数学家普洛克拉斯曾说过：“哪里有数，哪里就有美.”这就是说，数学中也充满了美的因素.作为一门科学，数学在其内容结构上和方法上都具有自身的某种美，即数学美.数学美的内容非常丰富，包括普适美、对称美、简洁美、比例美、和谐美、奇趣美等特性.其中对称性是数学美的重要特性之一，正如德国著名的数学家和物理学家魏尔所说的：“美和对称性紧密相连”.数学对称美是数学美的重要组成部分,它普遍存在于初等数学与高等数学的各个分支，在数学研究中有着重要的作用,一直是数学们长期追求的目标，有时甚至把它作为一种尺度，是数学创造与发现的美学方法之一.在数学中，不少的概念与运算，都是由人们对于“对称”问题的探讨派生出来的.数学中众多的轴对称，中心对称图形和等量关系都被赋予了平衡、协调的对称美.对于数学概念，也是一分为二地成对出现的：整－分，奇－偶，和－差，曲－直，方－圆，分解－组合，平行－交叉，正比例－反比例……，都显得那么的稳定、和谐、协调、平衡，如此地奇妙动人.2数和式的对称美2.1数的对称美在数学中，如果一个整数，它的各位数字是左右对称的，我们就称这个数是对称数.例如：1234321、123321等.对称数可以分为奇位对称数和偶位对称数.奇位对称数是指位数是奇数的对称数，奇位对称数位数最中间的那个数字称为对称轴数.偶位对称数是指位数是偶数的对称数，偶位对称数没有对称轴数.产生对称数的方法有很多种：(1) 形如11、111、1111、……的数的平方数是对称数.如：1×9+2=11 12×9+3=111 ...............123456789×9+10=1111111111(2)某些自然数与它的逆序数相加，得出的和再与和的逆序数相加，连续进行下去，也可得到对称数. 如：475475+574=1049 1049+9401=10450 10450+05401=15851 15851也是对称数.美的主要形式就是秩序，匀称和确定性，上面的几个式子就巧妙的体现了数和式中的对称美.可以看出，数学与美学是紧密相连，相辅相成的. 2.2式的对称美如果在代数式中，把任意的两个字母对换，代数式仍然保持不变，像这样的代数式就称为是对称代数式或对称式.如：223223,2,33x y z x xy y x x y xy y +++++++,互换式子中的,x y ,得到的式子仍然成立.在对称式中，字母是对称的，地位是平等的. 在二项式定理：00111222222110()n n n n k n k kn n n n n nn n n n n n n a b C a b C a b C a b C a b C a b C ab C a b -------+=+++++++中，如果把当1,2,n n =的二项式展开式的系数列成如下：11 1 12 1 13 3 1 14 6 4 1 15 10 10 5 1 16 15 20 15 6 10n C 1n C 2n C 3n Cn n C这就是著名的“杨辉三角”，它是宋朝数学家杨辉的杰作.杨辉三角是我国数学发展史上的一个成就，它反映的就是数学美的对称性.在代数学中，也存在着漂亮的对称式，如：初等对称多项式：112212131112n n n nn n x x x x x x x x x x x x x x σσσ-=+++⎧⎪=+++++⎪⎨⎪⎪=⎩， 它在解题中也有广泛的应用.其中在运用初等对称多项式解题时联系最紧密的就是根与系数的关系定理：对于n 次多项式11110()n n n n f x a x a x a x a --=++++的n 个根12,,,n x x x有如下关系：1122121311012(1)n n nn n n nn n n n a x x x a a xx x x x x x x a a x x x a ---⎧+++=-⎪⎪⎪+++++=⎪⎨⎪⎪⎪=-⎪⎩由此定理可以非常简便的求出关于多项式根的对称多项式的值.例1.设1a ，2a ，3a 是方程0876523=-+-x x x 的三个根，计算：))()((233121233222222121a a a a a a a a a a a a ++++++（*）的值.解：令3211a a a ++=σ. 3132212a a a a a a ++=σ， 3213a a a =σ， 则 561=σ,572=σ,583=σ. 再将（*）式化为初等对称多项式的多项式，得：))()((233121233222222121a a a a a a a a a a a a ++++++ =323312221σσσσσ--=-6251679. 由上面的例子可以看出，对称性在数学中是广泛存在的，数学与对称是紧密相连的.3对称美在数学中的应用3.1对称在数学解题中的应用解题是一门艺术，对称性是艺术的一个非常重要的要素，如果在解题的过程中注意到对称性，那么就可以减少一些繁琐的计算，化难为易，提高解题的效率，达到事半功倍的效果.微分与积分也是一对具有对称美的事物，而对称性的方法也是微积分计算中常用的方法.3.1.1对称在微分学中的一些结论与应用定理：（1）若(,)(,)u x y u y x =，则(,)(,)y x u x y u y x =；(2) 若(,)(,)u x y u y x =-，则(,)(,)y x u x y u y x =-.因此若求出x u ，则可直接写出y u ，xx u 与yy u 的关系，也是如此. 例2.设()xy u e x y =-，求出x u ，y u ，xx u ，yy u . 解：2()(1)xy xy xy x u e y x y e e xy y =-+=-+，223(1)(2)xy xy xy xx u e y xy y e y e xy y y =-++=-+.对称的有：2(1)xy y u e x xy =--，32(2)xy yy u e x x y x =--. 3.1.2对称在积分学中的一些结论和应用3.1.2.1在重积分计算中，经常利用多元函数的轮换对称性来解题.轮换对称性的定义:若积分区域或被积函数的表达式中,将其变量x,y,z 按下列次序:x →y;y →z;z →x 后,其表达式均不变,则称积分区域或被积函数关于变量x,y,z 具有轮换对称性. 定理1：(二重积分的坐标轮换对称性)如果区域D 的边界曲线方程是关于x,y 地位对称，(,)f x y 在D 上连续,则(,)(,)DDf x y dxdy f y x dxdy =⎰⎰⎰⎰定理2：(三重积分的坐标轮换对称性)如果有界闭区域Ω的边界曲面的方程关于x,y,z 地位对称,()f u 在Ω上连续,则()()()f x dxdydz f y dxdydz f z dxdydz ΩΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.由此，可以推广到：定理3：(n 重积分的坐标轮换对称性)如果n 维有界闭区域V 的边界曲面的方程关于12,,,n x x x 地位对称，()f u 在V 上连续,则112()n f x dx dxdx ⎰⎰⎰⎰=212()n f x dx dxdx ⎰⎰⎰⎰=12()nn f x dx dxdx =⎰⎰⎰⎰例3.计算三重积分2()()f x dxdydz x y z dxdydz ΩΩ=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰，其中Ω是0,0,0x a y a z a ≤≤≤≤≤≤所围成正方形(a 为一大于0的实数).解：2222()(222)I x y z dxdydz x y z xy xz yz dxdydzΩΩ=++=+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰中被积函数及积分区域都有轮换对称性.所以222xd x d y d z y d x d y d zz d x d y d zΩΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，xydxdydz xzdxdydz yzdxdydz ΩΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，故2(36)I x xy dxdydz Ω=+⎰⎰⎰260005(36)2a a adz dy x xy dx a =+=⎰⎰⎰.3.1.2.2 利用积分区间的对称性和被积函数的奇偶性，可简化定积分的计算. 定理：设()f x 是[]b a ,上的连续函数，则通过变换x a b t =+-，可得：()baf x dx ⎰=()baf a b x dx +-⎰[]22()()a b af x f a b x dx +=++-⎰这就是积分区间的对称原理.特别地，当()()f x f a b x =+-时，有()ba f x dx ⎰22()ab af x dx +=⎰.例4.求积分2π⎰.解：由于()f x =0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有界，且只有可去间断点2x π=,故定积分存在.由积分区间对称原理可得：原积分201121()2dx x ππ⎡⎤⎢⎥=+⎥⎥+-⎣⎦⎰220011224dx dx πππ===⎰⎰. 若被积函数是非奇非偶时，通过适当的换元或拆项等方法也可转化为对称区间的积分问题.把积分区间的对称性原理推广到二元函数积分中，可以得到结论： 结论1：设D 关于y 轴对称,则(,)Df x y dxdy ⎰⎰12(,)(,)0(,)D f x y dxdy f x y x f x y x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰若关于变量为偶函数若关于变量为奇函数’ 其中1D 是D 的右半部分:1{(,)|(,),0}D x y x y D x =∈≥且.结论2：设D 关于x 轴对称,则(,)Df x y dxdy ⎰⎰12(,)(,)0(,)D f x y dxdy f x y y f x y y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰若关于变量为偶函数若关于变量为奇函数’ 其中1D 是D 的上半部分:1{(,)|(,),0}D x y x y D y =∈≥且.结论3：设D 关于x 轴和y 轴均对称，且(,)f x y 关于变量x 和变量y 均为偶函数，则1(,)4(,)DD f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰⎰⎰其中1D 是D 在第一象限的部分：1{(,)|(,),0,0}D x y x y D x y =∈≥≥且. 结论4：设D 关于原点对称,则(,)Df x y dxdy ⎰⎰122(,)2(,),(,)(,)0(,)(,)D D f x y dxdy f x y dxdy f x y f x y f x y f x y ⎧=--=⎪=⎨⎪--=-⎩⎰⎰⎰⎰如果如果 其中1{(,)|(,),0}D x y x y D x =∈≥且,2{(,)|(,),0}D x y x y D y =∈≥且. 结论5：设D 关于直线y=x 对称，则(,)(,)DDf x y dxdy f y x dxdy =⎰⎰⎰⎰特别地，当12(,)()()f x y f x f y =时,1212()()()()DDf x f y dxdy f y f x dxdy =⎰⎰⎰⎰.例5.计算二重积分2(751)DI x x y d σ=+++⎰⎰,其中22:1D x y +≤.解：D 关于x 轴和y 轴均对称,而75x y 和分别关于变量x 和y 为奇函数,故(75)0Dx y d σ+=⎰⎰,所以：22(1)D D DI x d x d d σσσ=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰212005(cos )4d r rdr πθθππ=+=⎰⎰.同样地，将它应用到三重积分中.例6.计算三重积分()x z dxdydz Ω+⎰⎰⎰,其中Ω是由曲面z =与z =.解:Ω关于坐标面x=0对称,且关于变量x 为奇函数,故0xdxdydz Ω=⎰⎰⎰.所以()x z dxdydz zdxdydz ΩΩ+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰21240cos *sin 8d d r r dr πππθϕϕϕ==⎰⎰⎰.例10.计算三重积分222222ln(1)1V z x y z dxdydz x y z ++++++⎰⎰⎰, 其中{}222(,,)|1V x y z x y z =++≤.解:积分区域V 是以原点O(0,0,0)为中心的单位球域,所以V 关于xoy 平面对称，被积函数222222ln(1)(,,)1z x y z f x y z x y z +++=+++是关于z 的奇函数, 故由对称性知222222ln(1)01Vz x y z dxdydz x y z +++=+++⎰⎰⎰. 由上可见，在解决微积分问题时，巧妙应用对称性的观点去解题，可以使运算过程更加的快捷、流畅，计算结果更加的精确. 3.2 对称在数学中的其他应用对称是形式美的显著特征,就数学而言,不仅让枯燥抽象的数学公式变得容易记忆,而且也是数学命题证明必不可少的一种方法. 3.2.1利用对称性记忆公式在数学分析中,斯托克斯公式有一种形式表示法:sin sin sin c s Pdx Qdy Rdz ds x yz PQR αβγδδδδδδ⎛⎫⎪ ⎪++= ⎪⎪⎝⎭⎰⎰⎰ 其中P,Q,和R 为连续可微函数,S 为逐片光滑的有界双侧曲面,C 为包围S 的逐段光滑的简单闭曲线,(sin ,sin ,sin )αβγ为曲面S 在点(,,)x y z 处的单位法向量,方向为逆时针,这个公式的右边是用第一型曲面积分表示的,被积函数是一个三阶行列式.若取xy 平面上的平面区域D 作曲面S,并取上侧,则斯托克斯公式右侧的三阶行列式为001x y x yz P Q PQR δδδδδδδδδδ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭于是斯式公式就变成了格林公式,由此可见,格林公式是斯式公式的特例. 类似地,奥式公式可表示为(sin ,sin ,sin )(,,)(,,)(,,)SVP Q R ds P Q R dv x y zδδδαβγδδδ=⎰⎰⎰⎰⎰ 其中S 是包围V 的逐片光滑曲面,P,Q,R 在S+V 上是连续可微的,(sin ,sin ,sin )αβγ为曲面S 上点(,,)x y z 处的单位法向量.不难看出,斯式公式和奥式公式都是由三个矢量(P,Q,R),(sin ,sin ,sin )αβγ,及(,,)x y zδδδδδδ所决定的. 上述一些形式上的对称性,是数学分析中追求对称形式美的有利证据.一些望而生怯的公式由于有了对称美,变得非常容易记忆了. 3.2.2数列解题中的的对称思想在数列解题中,存在着大量的对称思想,无论是等差数列还是等比数列,都含有丰富的对称之美.我们知道：只要m n p q +=+，其中,,,m n p q N ∈，就有 （ⅰ）m n p q a a a a +=+（等差数列）（ⅱ）m n p qa a a a =（等比数列）利用这个数量关系来处理有关数列问题，常常能化繁为简. 例11.（１）已知{}n a 为等差数列，且23101148a a a a +++=，求67?a a +=（２）已知{}n a 为等比数列，2435460,225n a a a a a a a >++=，求35?a a +=解：（１）∵21131067()()482()a a a a a a +++==+,∴6724a a +=（２）∵2224333465,a a a a a a a a ===,∴223355225a a a a ++= ∵20a >,∴355a a +=例12.在等差数列中，69121520a a a a +++=，求20S .解：∵691215651202()2()a a a a a a a a +++=+=+∴201202()20S a a =+=由此可以看出，如果在等差数列中，由条件不能具体的求出1a 和d ，但可以求出1a 和d 的组合式，而所求的量往往可以用这个组合式来表示，那么就用“整体代值”的方法将值求出，同样的方法也可以用在等比数列中.3.3 对称美与数学教学人们常说：“成功的教学给人以一种美的享受”.而长期以来，在数学教学中，人们总是重视基础知识和基本技能的传授与训练，而忽视了美育的渗透，不善于发现数学本身所特有的美，不注意用数学美来感染诱发学生的求知欲望，激发他们的学习兴趣，不重视引导学生发现数学美，鉴赏数学美，以致使一些学生感到数学抽象枯燥，失去学好的信心.心理学研究表明：没有丝毫兴趣的强制性学习，将会扼杀学生探求真理的欲望.因此，只有学生热爱数学，才能产生积极而又持久的求学劲头.我国数学家徐利治认为：“数学教学的目的之一是使学生获得对数学的审美能力，即能增进学生对数学美的主观感受能力.”数学的教学过程不仅仅是学生个体的认识过程和发展过程，而且也是在教师指导下的一种特殊审美过程.因此在教学过程中，应当把数学美的内容通过教学过程的设计向学生揭示出来，从而使学生认识到数学的内容是美的，并且充分运用数学美的诱发力引起学生浓厚的学习兴趣、强烈的求知欲望，使抽象、高深的数学知识得以形象化、趣味化，使学生从心理上愿意接近它、接受它，直到最终热爱它.对称美是数学中最普遍的一种美.图形的对称、式子的对称和解题方法的对称等，都能给人以匀称的美感，用对称的观点去处理数学问题，往往可以从问题的一部分联想起与此对称的另一部分，从而采取补全的方法，使之构成一种整体的对称美，使问题化繁为简，化难为易.在数学教学过程中，充分发掘教材中的对称式的美，运算中的对称美、函数中的对称美、几何图形中的对称美，激发学生对数学美的体验，使学生从数学的显性美提高到对数学隐性美的认识，从感性认识上升到理性认识，使学生对所学的知识更易于接受，便于理解，培养学生爱好数学、认识数学美的兴趣.在数学问题的求解过程中，充分运用对称的数学美的思想方法，可以使学生感受到对称美，增强求知欲，使数学问题的解决更加简捷明快，从而提高了学生的直觉思维能力和形象思维能力，开拓解题新思路，进而提高了学生解决问题的能力和对数学思想方法的领悟，使学生由此而产生学习数学的兴趣.在数学解题过程中,若能积极挖掘问题中隐含的对称性,巧妙地利用对称性,可使复杂的问题变得条理清楚,脉络分明,能化难为易、化繁为简.例如对于数列中的若干项的和或积的问题,如果能对其结构进行对称性的分析,将数学的对称美与题目的条件或结论相结合,就能构建一组互相关联的对偶式,从而确定解题的总体思路或入手方向.其实质是让美的启示、美的追求在解题过程中成为宏观指导力量,使问题的解决过程更加简洁明快.数学中蕴涵着丰富的美，除了对称美以外，还有很多.把数学美的和谐对称、简单统一等特征融贯在教学的整个过程中，可以发展学生思维的灵活性、发散性、深刻性、独创性等诸方面的能力就得到培养和提高.使学生在美的享受中，获得知识，理解知识，掌握知识.结术语数学并不等于美学，但是数学中却真实地蕴藏着丰富的美学内涵，而对数学内在美的追寻探索，又会使人们更迅速、更确切的洞悉数学的真谛.对称美是数学美的重要特征之一，对称美是一个广阔的主题，数学则是它根本.我们应该更深刻地掌握我们的所学专业知识，积极地去理解数学，学好数学，这样才能更好的走向工作岗位，取得成功.参考文献：[1]钱双平.对称性在高等数学解题中的应用---数学美学方法的应用，云南电大学报，2004,6(2):62-63.[2]马锐.数学中的对称美,昆明冶金高等专科学校学报,2004,20(2):35.[3]周齐明.在数学教学中应加强数学美的教育，六安师专学报，1999，15（4）.[4]杨琴，杨联华.探求高等数学中的对称美，景德镇高专学报，2005，20（4）.[5]陈自高.数学中的对称美与应用，中国科技信息，2006,(5).[6]胡本荣.从对称性看数学中的美学，达县师范高等专科学校学报，2004，14（2）.[7]钱双平.对称性在高等数学解题中的应用，2004，6（2）.[8]窦丹.“对称思想”对学生数学能力的培养和作用：[硕士学位论文],东北师范大学，2005.[9]赵博.数学美与中学数学教学：[硕士学位论文]，武汉：华中师范大学，2004.。
数学对称美及其在解题中的应用
＝、 数学对称夔在证躺不等式中的皮胄 ｌ 对 千一浆 盼绺誉锋 ｕ 式， 如槊我们把撼 任 ｒ问题 的本质 ， 则能 使我 们的憨维和推理过橼熙 滴晰 筒游 ， 诫 明起来就简单多 了 例２ ： 波 ， ６ ， ＃ ＞０｝ 凡 十 ６ 十 １ 求证 （ １ ＋ 螂 ） （ １ ＋ ） （ ｊ ＋ ）
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数学中的对称美
数学中的对称“美”陈春艳对称,顾名思义,就是两个事物(或同一事物的两个方面)相对而又相称.如果A 、B 是具有对称性的两个事物(或同一事物的两个方面), 那么把A 、B 交换顺序,其结果不变,这就是对称原理．“对称”不仅是中学数学内容中一个重要的概念，更是一种重要的思想方法。
在“对称”中往往体现出数学的“美”来。
充分利用对称原理，可使我们在解决问题时多一条有效的通道，而且常能起到化繁为简，出奇制胜的效果。
本文在就对称性原理在中学数学中应用的几个方面作一些介绍，从中体会一下数学上的对称之美及对称性应用之妙。
一、 利用关系式中变元的对称“如果一个关系式中任何两个字母互换位置后关系式不变，则称它是关于这些字母的对称式，如122=+y x ，ab cc a b c b a +++++等。
当问题中的变元具有这种对称性，变形或运算的每一步都是对称的，则这些变元在结果中的地位也必然是对称的”。
这就是对称性原理之一。
例1 方程组⎪⎩⎪⎨⎧==++=++③xyz ②zx yz xy ①z y x 6116 ( )(A) 1 (B) 2(C) 3(D) 6分析： 显然方程组关于z y x ,,对称，其结果也应关于z y x ,,对称。
若方程只有一组解，则必有z y x ==,此时由① 有2===z y x ，代入②、③皆不成立，所以(A)错。
若方程有两组解，则与方程组关于z y x ,,具有的对称性矛盾，所以(B)也不对。
若方程有三组解，则z y x ≠=应成立,此时由①，x z 26-=，代入②得0131232=+-x x ,但由于012<-=∆，此方程无解，(C)也错。
故应选(D)。
例 2 已知),,2,1(0n i x i =≥且π=+++n x x x 21，求n x x x sin sin sin 21+++ 的最大值。
分析：显然式子关于n x x x ,,,21 对称，观察21sin sin x x +可知： 因为2co s 2sin2sin sin 212121x x x x x x -+=+只有在21x x =时才能取得最大值，即当21x x ≠时，21sin sin x x +不可能取得最大值，所以由对称性知，在n x x x ,,,21 中，只要有两数不等，n x x x sin sin sin 21+++ 就不会取得最大值，所以当nx x x n π==== 21y时，n x x x sin sin sin 21+++ 有最大值nn πsin。
对称美在高等数学中的应用
关键 词 ： 学 美 ； 称 美 ； 称 性 数 对 对
中 图分 类 号 ： ６ 文 献 标识 码 ： （４ １ Ａ 引言
古希 腊 哲 学 家 、 学 家 普 洛 克 拉 斯 曾 分 ， 普 遍存 在 于 数 学 的各 个 分 支 。 数 它 说 ： 哪 里 有 数 学 ， 里 就 有 美 ， 里 就有 “ 哪 哪 发现 … … ” 学美 是 数 学 科 学 的 本 质 力量 数
丰 富 ， 称 美 是数 学 美 的一 个 重 要 组成 部 导 数 的 运 算 法 则 ， ｕ ｖ ： ｖ， ｕ）＝ 对 （＋ ） ｕ＋ （ｖ
例 １ 古人 发 现 的“ 辉 三 角 ”又 称 杨 ，
方法和教 学模 式等在很大程度 上成 为了
５基础教 育设施不完善。 、 在扩招政策 教育的重要制度。同时， 促进师生之 间的
教 学 研 究 的盲 区 ， 致 于 最 后 形 成 了“ 以 大 执 行 的 十 年 中 ， 育 体 制 改变 ， 校 缺 乏 沟通与合作 ， 教 学 把学生参与教授科研项 目作 学教 师 什 么 都 研 究 ， 是 不 研 究 自己 的教 经 费 ， 就 导致 基 础 硬 件 设 施 落 后 ， 新 速 度 为 教学 的一 个 环 节来 抓 ， 学 生 参 与 到 理 更 使
３“ 、 脱节。教师 是教学活动 的 、教 学” １ 了解 学生学习期望和需求。 、 通过不 学 服 务 质 量保 障机 构 ， 构 人 员 由 各 高校 机 组 织 者 、 学 内容 的 呈现 者 和 知 识 的传 播 定 期 的 问卷 调 查 和构 建 网络 互 动 平 台 （ 教 如 教 师 担 任 ， 促 各校 教学 服 务 质量 建 设 及 督 者 。 生 是 教学 服 务 的接 受 者 。 者 之 间 学 校 论坛 ） 了解 学 生求 知 需 求 及 期 望 ； 学 两 ， 时 其相关的交流合作 。
浅谈数学中的对称美与应用
浅 谈数 学 中 的对称 美 与 应 用
文 ／袁 卫 红
对称 美是数学美 的重要组成部分 ， 它普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支。 对 称 美在数学解题 中有重要的应用 ， 发学生在解题过程 中注意到对称 性 ， 启 则可以以简驭 繁 ， 化难为易 ，提高解题效 率 ，达 到事半功倍的效果。
现 了数学美对数学发现与发展的指导 作用。数学美一般表现 为 与 积 分 矩 阵 与 逆 矩 阵 等 ，这 些 互逆 运算 都可 以 看作 一 种 对 简单 、 对称 、 统一、 奇异等重要特征。这些特征 渗透在数学 的理 称 关 系 。 论、 语言 、 定理 、 公式 、方法技Ｉ 及数学 的实际应用之中。比如 从函数角度看 ．函数与反函数也 可视 为一种 对称 ”还有 ，
１ 在 函数 中 的应 用 例 ４ （０ ８ 国一 ９ ２０ 全 ）设 奇 函数 ｆｘ 在 （ ， ｏ ） 为增 函 （） ０ ＋ ｏ 上
数 且 ｆ１： ．则不等式 二— 且 （） ｏ Ｏ
Ｘ
＜ ０的解集为 （ ） 的解集为
代入 ②、③皆不成立 ，所 以（ 错。 Ａ）
若 方程 有 两组 解 ， 与 方程 组 关 于 Ｘ Ｙ Ｚ 有 的 对 称 性 矛 则 ．．具
在 数学 史 上 ， 学 美 是 数 学 发展 的伟 大 动 力 。 数 的 引 入 ， 几 何 中得 到体 现 ， 数 学 的知 识 体 系 中 同样 有 着 广 泛 的体 现 。 数 虚 在 从 非 欧几 何 的 创 立 ，射 影 几 何 的 诞 生 ．微 积 分 的严 格 化 ，无不 体 运 算 角 度 看 ：加 与 减 乘 与 除 、 幂 与开 方 、 数 与对 数 微 分 乘 指
中的有些问题 ，当我们用对称 的眼光去观察时 ，不但能给我们 应 的有对偶原理 。在射影几何 中 ．点和直线之 间建立 了对偶关
数学中的对称美
在 我们学 习数学知识过程 中，时常会遇 到利 用图形 的对 称 、数 字的对称 以及公 式的对称来解决 实际 的数 学难 题 ，这也
是数学 中对称 美的主要表现形式。数 字对称是 以一个数字为 中 心 ，其 两 边 的 数 字 成 对应 关 系 。例如 ：９８７８９，９８７６７８９，９８７６５６７８９
（．二）圆锥 曲 线 中 的 求值 问题
在 我们 数学课程 中，时常会利 用对 称性质 来解 决圆锥 曲
线 数形 问题 ，不仅 能 提 高 我 们 的 做 题 效 率 ，还 能 实 现 将 繁 琐 的
问题 简单化 ，从而实现求解的 目的。例如 ：把椭 圆 ＋ ＝１
Ｄ
ｌ０
的长轴 ＭＮ 分成平均 ８份 ，并将 Ｘ轴与每个分 点作 垂直于椭
称性质 ，这样 的解决 方法不仅 能 简化 解决过程 ，提 高我们 的做
题 效 率 ，还 能 加 深 我 们 对 椭 圆相 关知 识 的 理 解 ，进 一 步发 现 数
学 中的 对 称 关。
（三）数 形 结 合 的 求值 问题
数形结合 求值是 我们数学课程常遇 到的问题 ，并且 对于
我 们学生 而言存在 着一定 的解题难度 。而利用 图形 的对称性
求 ｃｏｓ（— －）＋ｃｏ８（— 一）＋ｃｏｓ（—兰垩一）的值。首先，设要求解的
｜
｜
／
值 为 ｘ。其 次 ，根据 构 造 三 角 函 数 对偶 式 定论 得 出 ，ｃｏｓ与 ｓｉｎ转
化值为：ｙ＝ｓｍ（— ）＋ｓｍ（—笔一）＋ｓｉｎ（ ）。最后，通过计算
｜
ｌ
巧用数学对称美解题
争（ Ａ ＋ ＋ ＋≥ ・ ＋＋ Ａ Ａ 手 ）
例 ２试 比较 ２０￣ 与 ２０￣ 的大小． ０６￣ ０７ ７
分 析 这 两个数 都是 相 ３大的 ，直接 计算 不能进 － ＇ 行 比较 ． 不妨 先从 比较 小的数 开始探 究 ，如 １＜ 我们 ２
２ ， ２ ＜３ ， ３ ＞４ ， ４ ＞５ ３ ４ ５
， １＿Ｊ ‘
部分之 间的 匀称和 对等． 学上 常常表现为数 式或 在数 图形的对称 ，命题 或结构的对 偶或对应． 学解题 在数
过程 中，若能积极挖掘 问题 中隐含的对称性 ，巧妙地
（≥３ ｎ ）成立 据不等式 两边 的对称 结构可知 ，只要 艮
证明， ） 在 ≥３上为单调减 函数即可． （ ＝ 证明 因为 １ ２，３３，３ ４，４＞ ６，…， ２ ’ ＜ ４ ｓ ５，５ ＜ ２ ＞ ＞
、
巧 用数 式结构 对称 解题
证明当 ｎ 时 ， ‘１＿ Ｊ
成立 ． 造 函数 ， ： 构 （） 、 ，（） 令
数 式结构的对称 ，必将 蕴含 着解法 （ 证法 ）的对 称． ，具有相 同结构特征的数 式具有 同等 的地 位 ， 从而 处理的手法 『将相 同． 学中的对称 美的角度 出发 ， 必 从数 常能优化解题 思路和 简化解题 过程． 例 １已知 ｘｙｚａ 、Ｙ ∈ ＋ ＋＝ ， 、： Ｒ，求证 ： ２ ＋ Ｘ
几何 上平 面的情形 有直线 对称 （ 对称 ）和点 对称 轴 （ 中心对称 ） ；空间的情形 除了直线和点对称外 ，还有 平面对称 ． 正方体 、球 等都是点 、线、面的对称 图形． 在 处理几何 有关 问题 时，若能 充分 利 用图形的 对称
性 ，添加适 当的辅 助线或整体补形 ，能使解题过程大
高等数学中的对称美及其应用
其 中ｃ ｇ 、ｏｆ 、ｃｓ 、为直 线 的方 向余 弦 ； ０ 搿 ｃｚ ｉ 。ｐ 同时他把 曲面 方 程ｚ 写成 对称形 式 ： Ｙｚ 一 。这 样写不 仅美观 ， 雾 ，｛ ０ 同时便
于 书 写 与 记 忆 。又 如 《 解析 几何 》 中 的 圆 柱 、 圆锥 、旋 转 曲面 、 椭球 面 等这 些 图形 都有 鲜 明的对 称性 ， 直观 地 给人 以美 的享受 。 在微分 学 中也有 大量 的对称现 象存 在 。如有 限与 无限 ， 穷小与 无 无穷 大 ， 连续 与 间断 ， 曲线 的凹 凸等概念 前后呼应 ， 成对 出现 ； 从函数 角 度看， 函数 与反 函数也可 认为是 一种 “ 对称 ” 而且 它们 的 图形 在几 何 ， 上 也是 对称 的 ； 从运 算 关 系角 度看 ， 微分 和积 分也 可 视作 是 “ 称 ” 对 关 系 ； 多元复合 函数求偏 导数时 ； 以利 用函数关 于 自变量 的对称性 在 可 简便 计算 。 对 称性 在 积 分学 中的 应 用更 是 极 为 常见 。 在定 积 分 、重 积 分 、 曲线积分 、 曲面积分 的计算 中 ， 果合理利 用对称性 ， 如 则可 以大大地简 化 计算 ， 达到 事半 功 倍 的效果 。
支。
由于 函数关 于 自变量 的对称 性 ， 以 所
ｌ ３ 矿 ｙ０ 黧
一 ７
扩 １
０
一 ７
，
０
一 十 ７ ‘
因此 ＋ ０・
笛卡 尔创 建的解析 几何学可 以说是美 学思想在 数学领域 的成功运 用 。在 这种坐标 几何学 中 ， 代数方程与 几何 图形之 间建立 了一种 对称 ， 使代数 与几何化 为一体 ， 成完美 的统 一 。 Ｃ ｕ ｈ 达 ｏ ｃ ｙ总喜欢把 空 间里
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对称美在数学解题教学中的应用
济水一中郑艳霞
初中数学课本上讲过轴对称，中心对称等，而且这些对称的数学名词，抽象于大千世界，现实生活中的对称现象比比皆是，自然形成的，人类创造的，把世界装扮的无比美丽。
然而，对称不仅仅是一种现象，也是一种思想，一种哲学思想。
20多年前，毛主席会见李政道博士时，毛主席问，为什么“对称”是您的一种指导思想；李政道先生回答，我所说的对称，是平衡，是指世上万物，一切都处在它应该处在的位置上。
他还表演了一个小演示：他把一张纸倾斜着，让一支笔向下滚去，在笔滚动过程中，他把值得倾斜方向改变，使笔滚了回来……他说：有“去”，就有“回”，“去”与“回”就是一个对称。
就像有“矛”就有“盾”，矛和盾是对立的，但有互相依存，共存于一个统一体内，依据一定条件向对方转化。
这是一种思想--------广义对称思想。
(孙维刚的理论)，如果我们能把这种思想运用在我们的教学中，可使思维高瞻远瞩。
下面举例谈谈我的浅显认识。
如图，已知∠A=30°，∠C=25°，试求∠ADC的度数
解法一：延长AD交BC于点E，再根据三角形外角的性质很容易解决。
若延长CD交AB于一点，也完全可以解决，因为线段AD
和CD所处的地位是平衡的，即对称的，所以他们应有相同的作用。
解法二：过点D作BC的平行线交AB于点E，再利用平行线的性质和三角形外角的知识容易解决。
显然，线段AB的地位和BC是平衡的，对称的，所以过点D作线段AB的平行线，会起到同样的效果。
解法三：过点A作DC的平行线交BC的延长线于点E，在根据平行线的性质和三角形的内角和容易解决。
同样，发现线段AD 和线段CD的地位是平衡的，对称的，以及点A和点C的位置也是平衡的，对称的，所以过点C作AD的平行线交BA的延长线于一点，会起到一样的效果。
再来看，解法二和解法三，看起来是两种不同的解法，其实有着千丝万缕的联系，初中研究的是凸多边形，不研究凹多边形，就像“去”和“回”，凸和凹也是一个对称，它们的地位是平衡的，就是对称的，线段AB和CD是凸出去的边，线段AD 和CD凹进去的边，它们的地位是平衡的，对称的，所以有同样的功能。
再让我们宏观观察上述解法，可以统一为割补法，“割”和“补”也是一种对称，能割就能补。
如图:AC平分∠BAD，CE⊥AB，BC=CD，∠ADC+∠B=180°。
试探究线段2AE与AB、AD的数量关系。
解法一：由于已知条件中，有角平分线，所以根据角平分线的性质，马上想到过点C作AD的垂线段，在角平分线的两边构造对称全等。
其实，我们也可以这样思考：观察图形，发现线段AD和线段AB平等的位居于角平分线的两侧，它们是对称的，既然线段AB上已经有了垂线段CE，线段AD上也应有垂线段，起到补短的作用。
解法二：进一步思考，我们还可以在长线段AB上构造出和线段AD一样的线段，从而在角平分线AC两旁构造对称全等。
起到了截长的作用。
解法三：以CE为对称轴在CE 的左边构造和△CEB全等的三角形。
（可归为截长）
解法四：还是以CE 为对称轴在CE的右边构造和△ACE全等的三角形。
（可归为补短）
以上解法看似不同，其实可以归一，尽管构造的角度不同，都充分利用了图形中隐含部分线段或图形的对称性在添加辅助线构造对称全等，也与我们常说的截长补短呼应，而“截长”与“补短”也是一种对称。
1998年，据说在北京大学学生中间风靡一本书叫《可怕的对称》（作者美国阿.热），这是阐释“对称”如何奠定现代物理学上的思想和美学的基础的第一本书。
通过这本书，我们可以从身边左右对称的活生生的形式深入到大自然基本规律的深刻而抽象的对称，展现了“对称”是如何规划大自然的宏伟构造的。
人类研究的各个领域，无不来源于这个世界，这个世界的“对称”
即平衡、和谐无处不在。
数学的美就体现在它的高度的严谨和合理而达到内在和谐，这种合理和和谐，正是数学科学的广义的对称。
在数学教学中，数学思想的建构无比重要，是授人以渔的一个方向。
刚看到“广义对称”这个名词，我是无知的，反复阅读、思考，并结合具体教学有了以上朦胧而又浅显的认识，那是远远不够的，还要在今后的工作中细细品味，思考，方能略知一二，为发展学生思维，培养学生强大的头脑服务。