弹簧振子经验公式拟合的可信赖度分析

Ａｕ ．， ２ ２ ｇ ０１ Ｖｏ ． ＮＯ ４ １３１ ．
弹 簧振 子经 验 公 式 拟 合 的可信 赖 度 分 析
彭厚德
（ 长江师范学院物理学 与电子工程学 院，重庆 涪陵 ４ ８０ ） ０ １０
［ 摘
要］ 文章 通过 对 弹簧振 子经验 公 式拟合 的 回归 分析 ， 明 利 用 简单 的 实验 手段 也 可 以得 说
因为 ６ 。＝ｌａ， ：ａ， ＝Ｊ， Ａ，【３ ｖ ｂ ， ６ Ｂ故 ０， 的值 为 ／
Ａ ＝ ６． ７ ６１７ ５，Ｌ＝ 一 ０ ４ ９ ８ ７， ２ ９ ９ ７１０ Ｏ ． ９ ６
Ｔ ＝ ６ ２ ９ ６１ ７１ ５ｋ一・ 鲫 ｍ。 。。 ．７９ ７ ０ 。 ・ 。
２订
一 （ ２ １） ２ ２ 显 著 性和精 度分 析 ．
／ ３＝ ０ ５ ０ ０ ６ ４ ． ０ ３ ２
根 据 上 述 数 据 和 计 算 结 果 ， 据 表 １ 显 著 根 ， 度分析 计算 结果 如表 ７所 示 ．
表 ７ 计 算 数 据
则 弹 簧振子 的周 期公 式为
振 子经验 公式 拟合 的可信 赖度 分析 方法 ．
值 ｙ（ ｔ＝１２３ … ， ， ，， Ⅳ）差异 分 为两部 分 ， 由 自 即
变量 取值 的不 同与 除 此 之 外 的 其 他 因 素 的 影 响． 由于此 差异 来 自于各 观测 值 与观 测 值 的算 术 平均 值之 差 ， 为 总变差 ： 称
１ １ 回归方 程的获 得 ． 设 因变量 Ｙ与另 外 个 自变 量 的某 种 内 在联 系是 线性 的 ， 过实 验得 到 Ⅳ组数 据 （ ＝ 通 ｔ
［ 收稿 日期 】０ ２—０ ２ ２ １ ４— ０
自由度 为 １ Ｑ称 为残余 平 方 和 ， 映 了 除 和 Ｙ ； 反
［ 作者简介］ 彭厚德（ ９ ６一） 男 ， １５ ， 重庆涪陵人 ， 实验师 ， 主要从事电工电路新技术 方面的研究
１ 对 弹 簧振 子公式 的实验拟 合 ， 然 实验 方 ） 虽 案 并不 复杂 ， 实验 器 材 要 求 不 高 ， 获 得 的结 果 但
精 度却 非 常 高 ， 且 利 用 科 学 的 方 法 进 行 了 检 并
［］ ５ 陈希 明， 潘娜娜 ， 宇． 阻力任 意摆 角下 配重复摆 潘 无 振动 的数值研 究 ［ ］ 重庆 文理 学院 学报 ： Ｊ． 自然科 学
非 线性 的其 他 因素影 响很 小．
较， 如果 前者 大 大 地 大 于后 者 ， 明所 得 到 的方 说 程 中各个 变 量 之 间 的 内在 联 系 已经 被 准 确 地 反
映出来 ， 而其他干扰因素的影 响很小 ， 结果可信 赖度很高． 这个 比较可利用 Ｆ检验来完成． 根据
对 于多 元线 性 回归分 析 ， 按 照表 １ 示 方 可 所 法 计算 ．
其正 规 方程 ， 计算 出 系数 ｂ ， 一， 。ｂ ｂ 而 得 到 回
归方 程． １ ２ 回归分析 可信 赖度 的统 计检 验 ．
获得 回归方 程后 ， 不一 定 能说 明该 回归 方 并 程正 确表 明 了各 变 量之 间 的内在 关 系． 这必 须 通 过对该 回归方程 的统 计检 验才 能说 明其 正确 性 ． 对 于 回归方 程 的统计 检验 ， 先 应将 各 观 测 首
［ ］ 士昌， 婕． 于弹簧振子 实验 中实验 条件 的讨论 ６詹 徐 关 ［ ］杭 州师 范学院学报 ，０ ６ ２ ：１ １７ Ｊ． ２０ （ ） １４— １． ［ ］ 玉霞， ７鄢 吕建伟 ， 宦强 ，等． 弹簧振子 实验方法的运用
报 ，９ ９ ６ ：６— ８ １９ （ ） ２ ２ ．
［］ ２ 程光明 ， 石代 蓉 ， 陈希 明． 线性 对称 三弹 簧振子 振动
可以忽略不计． 这意味着（２ 式 中给出的弹簧振 １） 子各 变量 之 间 的关 系是 准确 的．
的数值研 究 ［ ］ 重 庆 文理 学院 学报 ： Ｊ． 自然科 学版 ，
上 式 中 ， Ｏ ／ ３个 待 定 系数 ． 是 一 个 非 线 Ａ、ｔ３为 、 这 性 关 系． 了方 便 进 行 最 小 二 乘 法 处 理 ， （ 为 对 ９）
１＝ ｌｋ ｂ ｇ ，２＝卢，２ ＝ ｌｍ； ｇ
则 （０ １ ）式可 写成
式做 线性化 处 理得
Ｔ ＝ｌ ＋ｏｇ ｇ ａ ｔ ｋ＋／ｇ ｌ ３ ｍ． １
２ １ 弹簧 振子经 验公 式 的获 得 ． 由力学 可知 ， 簧振子 的周 期 与 下 列 因素 弹
５ ２
有 关 ：） 簧 的劲 度 系数 ｋ２ 弹 簧 振子 的质 量 １弹 ；）
ｍ． 假设 弹簧 振子 的 函数 关 系式 为 可
Ｔ＝
， ．
（） ９
Ｙ ＝ ｌ Ｔ， ０ ＝ ｌＡ， １ ＝ ， ｇ ｂ ｇ ｂ
Ｑ：∑ （ 乡 ＝ｚ ｂ ． ）其 与 （ ）式 计 算 结果 比较 ． 将 ６
判 断 回归方 程是 否显 著 ， 决 于 和 Ｑ的大小 比 取
若 Ｆ ＞Ｆ ， 则认为在该显著水平 上回归显著，
即因变 量与 自变 量之 间 的关 系 应该 是线 性 的 ， 且
在对 弹簧 振子 的研究 中 ， 人们 的研究 主要集 中在 ： ） 簧质 量对 振 动 系统 的影 响 问题 ¨－ ； １弹 ２
１２ …， ） 且其关系为 ，， Ⅳ ，
＝
ｂ ｏ＋ｂ １＋ｂｘ ｌ ２２＋… ＋ｂ ｘ （ ） Ｍ 肼． １
２ 从 不 同角度 定 量 分 析 弹 簧 质量 对 振 动 系 统 的 ）
到很 好 的 实验 结 果 ； 出了可信赖 度分 析 的一般 方 法 ， 出对 实验 中获得 的 经验 公 式必 须经过 给 指
可信 赖度 分 析 才能证 明其 正确性 和 可靠性 ． 、 ［ 键词 ］ 关 弹簧振 子 ； 可信赖 度分 析 ； 验 Ｆ检 ［ 中图分 类号 ］ ４— ３ ［ Ｏ ３ 文献标 志码 ］ ［ Ａ 文章 编号 ］６ ３—８１ （０ ２ ０ ０ ５ ０ １７ ０ ２ ２ １ ）４— ０ ０— ５
表 １ 多元 线 性 回归 分 析 计 算 方 法
回归方程 显 著性 的 检 验可 使 用 残 余平 方 和 对 回归平 方 和的 Ｆ检 验进 行 ， １中 Ｆ为 Ｆ检验 表
的数 学统计 量 ：
Ｆ＝ 一 ： 。 ‘ ． 、 （） ／ ７
／二 二 二—Ｍ 一１ Ｎ ’
验 中 ， ４种 不 同 的 弹 簧 组 成 ４个 弹簧 振子 ， 取 对
其振 动周 期 、 量进 行 测 量 ， 量 数 据 如 表 ２一 质 测
表 ５所示 ．
表 ２ 弹 簧 振 子 质 量 测 量 数 据
５１
表 ３ 弹簧振子劲度 系数
表 ４ 弹 簧 振 子 周 期
表 ５ 弹 簧振 子 质 量
令
多＝ｂ ＋ｂ １ ２２ ０ ｌ ＋ｂ ． ｘ
（Ｏ １）
（１ １）
根据多元线性回归的最小二乘法原理 ， 计算
结 果如 表 ６所示 ．
表 ６ 回 归 计 算
按 照 多元 回归分 析法 可得 回归方 程 为
多：０ ７７５ ．９９７—０４９ ６ｘ ＋０５０ ３４ｘ． ．９ ８７ １ ．００ ６２２
２ １ ，１ ２ ： ０ ２ ３ （ ）４ ４ ． ０— ４
［］ ３ 张忠厚． 实际弹簧振 子 的振 动 问题 ［ ］ 辽 宁工程技 Ｊ．
３ 结 论
综 上所 述 ， 以得 到如 下结论 ： 可
术 大学 学报 ，０ ０ ２ ） １３—１５ ２ １ （ ９ ：７ ７．
［ ］ 利 民． ４谢 弹簧 振 子 运 动 的 实 际 动 力 学 分 析 ［ ］ 上 海 Ｊ． 师 范 大 学 学报 ，０ ２ ２ ：１ ９ ． ２０ （ ） ９ — ５
５ ０
的线性关 系 之外 的一 切 因素对 Ｙ的变差 的作用 ，
其 自由度为 Ｎ 一１ 且 ，
Ｆ检 验规 则有 ： Ｆ＝ ‘ ． （） ６
Ｕ＝∑ （ 一 ） ｂ 多 ＝ ｌ ，
‘； ｌ
， ｖ
在 给定 显著 水平 时 ， 根据 ｕ和 Ｑ的 自由度 由
Ｓ ＝ Ｕ ＋Ｑ ．
（） ３
（） ４
将（ ） ３ 式展 开 ， 同时考 虑 到交叉 项为零 ， 有 ： 则 其 中 ， 称 为 回归平 方 和 ， 映 了在 Ｙ的总 变 差 反 中由于 和 Ｙ的线性 关 系 引起 Ｙ的变 化部 分 ， 其
信赖 度 的统计 检验 以及 因素分 析等 问题 ＿ Ｊ ｌ ．
版 ，０ ２ ３ （ ）４ ４ ． ２ １ ，１ １ ：５— ９
验 ， 分证 明 了所 得表 达式 的正 确 性． 充 这说 明 ， 可 以利用 简单 的 实 验 得 到 物 理 规律 ． 是 ， 得 到 但 对 结 果 只有经 过科 学 、 观 的检验 后 才能 表 明其 正 客
确性．
（） ８
２ 弹簧振 子经验 公式 的获得 及 可信 赖度
分 析
利用 焦利 氏秤 测量 弹簧 振子 的相 关参 数． 实
和一元 回归 一样 ， Ｆ ≥ Ｆ （ Ｎ —Ｍ 一１ 当 。 Ｍ， ）时 ， 认 为 回归 方程在 口水 平 上显著 ． 多元 回归方程 的预报精 度由残余标准差给定 ：
由于 Ｆ ＝９ ． ９＞Ｆ ０１（ ， ）＝８ ０ 因此 ２３ ｏ ２９ ． ２，
．
回归 方程是 ００ ．１水 平 上 显 著． （ ） 可 得 ， 由 ８式 标
准差 为
√一一＝０ Ⅳ 一‘ １… ３
Ｆ检验 表 明 ： ００ 在 ．１显 著水 平 上 ， 回归平 方
５３
和远 大 于残余 平 方 和 ， 回归 高 度显 著 ； 除 弹簧 而 振 子各 变量 之 间 的关 系 以外 的 其他 因 素 的影 响