5-D-S证据理论方法
D-S证据理论相关内
D-S证据理论
• D-S证据理论是关于证据和可能性推理的理 论.它主要处理证据加权和证据支持度问题, 并且利用可能性推理来实现证据的组合.从 数学角度来讲,证据理论是概率论的一种推 广.对应于概率论中的分布函数和概率密度 分函数,D-S证据理论中定义了信任函数和基 本概率分配.
D-S证据理论中的相关概念
D-S证据理论
信任函数满据理论
基础函数m的计算公式
基于D-S证据理论知识融合方法 应用于企业失败预警的实现流程
D-S证据理论相关内容整理
信息熵
• Shannon 借鉴了热力学的概念，把信息中排 除了冗余后的平均信息量称为“信息熵”， 并给出了计算信息熵的数学表达式。 • 香农用信息熵的概念来描述信源的不确定 度。
信息熵
• 所谓信息熵，是一个数学上颇为抽象的概 念，在这里不妨把信息熵理解成某种特定 信息的出现概率。而信息熵和热力学熵是 紧密相关的。根据Charles H. Bennett对 Maxwell's Demon的重新解释，对信息的销 毁是一个不可逆过程，所以销毁信息是符 合热力学第二定律的。而产生信息，则是 为系统引入负（热力学）熵的过程。所以 信息熵的符号与热力学熵应该是相反的。
zeta评分模型概述zeta信用风险模型zetacreditriskmodel是继z模型后的第二代信用评分模型变量由原始模型的五个增加到了7个适应范围更宽对不良借款人的辨认精度也大大提logistic回归又称logistic回归分析是一种广义的线性回归分析模型常用于数据挖掘疾病自动诊断经济预测等领域
信息熵
• 一般而言，当一种信息出现概率更高的时 候，表明它被传播得更广泛，或者说，被 引用的程度更高。我们可以认为，从信息 传播的角度来看，信息熵可以表示信息的 价值。
D-S证据理论方法
c 1
M1( A1)M 2 ( A2 )
M1( A1)M 2 ( A2 )
A1 A2
A1 A2
9
多个概率分配数的合成规则
多个概率分配函数的正交和
定义为：
其中
M () 0, A
M ( A) c1
M i ( Ai ), A
Ai A 1 in
c 1 Mi ( Ai ) Mi ( Ai )
4
基本概率分配函数
定义1 基本概率分配函数 M M : 2 [0, 1]
设函数 M 是满足下列条件的映射： ① 不可能事件的基本概率是0，即 M () 0 ；
② 2 中全部元素的基本概率之和为1，即 M ( A) 1, A
则称 M 是 2上的概率分配函数，M(A)称为A的基本概率数， 表示对A的精确信任。
15
一个实例
假设空中目标可能有10种机型，4个机型类（轰炸机、大 型机、小型机、民航），3个识别属性（敌、我、不明）。
下面列出10个可能机型的含义，并用一个10维向量表示 10个机型。对目标采用中频雷达、ESM和IFF传感器探测， 考虑这3类传感器的探测特性，给出表5-1中所示的19个有意 义的识别命题及相应的向量表示。
16
表5-1 命题的向量表示
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
机型 我轰炸机 我大型机 我小型机1 我小型机2 敌轰炸机1 敌大型机 敌小型机1 敌轰炸机2 敌小型机2 民航机
Am Ak 1 j J
cs 1
M sj ( Am )
M sj ( Am )
Am 1 j J
Am 1 j J
14
中心式计算的步骤
② 对所有传感器的融合结果再进行融合处理，即
应用证据理论(D-S方法)解多传感器数据融合问题
应用证据理论(D-S方法)解多传感器数据融合问题宁云晖;田盛丰;宁培泰【期刊名称】《系统工程与电子技术》【年(卷),期】2001(23)3【摘要】How to use Dempster-Shafer (D-S) method to solve multi-sensor data fusion problems is analyzed in this paper. Based on basic probability assignment of target type decided by multiple sensors, new sensor data are added continually, and believe function and plausibility function are update, finally the destination of decision of target type is arrived. By comparing the D-S method with other data fusion methods (such as Bayes method), we can see that the D-S method is feasible and advanced.%应用证据理论(D-S方法)，解在多传感器条件下的数据融合问题。
具体方法是根据多个传感器对目标类型判断的基本概率分配函数，不断添加新的传感器数据，更新信任函数和似然函数，最终判断目标类型。
并且将D-S方法与其它数据融合方法(如Bayes方法)进行了比较，说明了D-S方法的优越性和先进性。
【总页数】4页(P98-101)【作者】宁云晖;田盛丰;宁培泰【作者单位】海军装备论证研究中心系统所,;北方交通大学,;海军装备论证研究中心系统所,【正文语种】中文【中图分类】TP212【相关文献】1.D-S证据理论在多传感器数据融合中的应用 [J], 黄瑛;陶云刚;周洁敏;苏登军2.基于D-S证据理论的多传感器数据融合 [J], 崔智军;王庆春3.基于D-S证据理论的多传感器数据融合监控系统 [J], 赵立波;王平4.D-S证据理论中冲突问题的解决方法 [J], 王杨;刘以安;张强5.用D-S证据理论方法实现多传感器数据融合 [J], 孙慧影;张彦军;崔平远因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
《改进D-S证据理论的决策融合算法研究及应用》
《改进D-S证据理论的决策融合算法研究及应用》篇一一、引言在当今信息化时代，多源信息融合技术在决策支持系统、智能控制系统以及机器智能领域的应用日益广泛。
其中，决策融合算法作为多源信息融合的核心技术之一，对于提高决策的准确性和可靠性具有重要意义。
D-S（Dempster-Shafer）证据理论作为一种重要的决策融合算法，因其能够处理不确定性和不完全性信息而备受关注。
然而，传统的D-S证据理论在某些情况下仍存在融合精度不高、计算复杂度大等问题。
因此，本文旨在研究改进D-S证据理论的决策融合算法，并探讨其在实际应用中的效果。
二、D-S证据理论概述D-S证据理论是一种基于概率论的决策融合算法，通过将不同来源的证据进行融合，得到一个全局决策结果。
它能够处理不确定性和不完全性信息，具有一定的容错性和鲁棒性。
然而，传统的D-S证据理论在处理复杂问题时仍存在一些问题，如易陷入局部最优解、计算复杂度大等。
三、改进的D-S证据理论决策融合算法针对传统D-S证据理论的不足，本文提出了一种改进的决策融合算法。
该算法通过引入新的权重分配策略、优化基本概率分配函数以及采用多级融合策略等方法，提高了算法的融合精度和计算效率。
具体来说，我们的算法主要分为以下步骤：1. 权重分配策略：我们设计了一种基于证据可靠性的权重分配策略，根据不同来源证据的可靠性和重要性程度，为其分配不同的权重。
这样可以在一定程度上减少因不同来源证据质量差异导致的融合误差。
2. 优化基本概率分配函数：我们通过引入新的基本概率分配函数，对原始数据进行预处理和归一化处理，以减少数据噪声和冗余信息对融合结果的影响。
此外，我们还采用了概率平滑技术，以避免因某些事件的概率过于集中而导致的信息损失。
3. 多级融合策略：我们采用了多级融合策略，将原始数据进行多级融合处理。
这样可以更好地整合不同来源的信息，提高算法的容错性和鲁棒性。
在每一级融合过程中，我们都会根据上一步的融合结果进行下一级的权重分配和基本概率分配函数的调整。
DS证据理论
第三，概率函数是一个单值函数，信任函数是一个集合变量 函数，信任函数可以更加容易表达“粗略”信息。
证据理论的基本概念
设U是表示X所有取值的一个论域集合，且所有在U内的元素间是互不相容的，则称U为X的识别框架。 论域：科学理论中的研究对象，这些对象构成一个不空的集合，称为论域。
❖ 难以辨识所合成证据的模糊程度，由于证据理论中的证据模糊主要来自于各子集的模糊度。根据信息论的观 点，子集中元素个数越多，子集的模糊度越大。
证据 2：样本空间 {o1, o2 , o3 , o4}，两个证据分别为 m1 和 m2 ， 为证据中的未知部分，考 虑下面两种情况
1、 设 A {o1} ， B {o1 o2} ， m1(o1) 0.9 ， m1 () 0.1； m2 (o1, o2 ) 0.7 ， m2 () 0.3，根据组合规则，组合结果为： m(o1 ) 0.9 ， m(o1, o2) 0.07 ，
信任函数值＝似然函数值＝组合后的mass函数值 即， Bel({Peter}) = Pl({Peter}) = m12({Peter}) = 0
Bel({Paul}) = Pl({Paul}) = m12({Paul}) = 1 Bel({Mary}) = Pl({Mary}) = m12({Mary}) = 0
0.01 0.01 0.01 0.98 0.01 0.01 0.02
（1）计算关于Peter的组合mass函数
m1
m2({Peter})
1 K
B
m1(B)m2(C)
C{Peter}
基于D-S证据理论的几种组合算法的研究
（ Ａ ） ： ∑（ 一 １ ） Ｉ Ａ － Ｂ Ｉ Ｂ ｅ ｆ （ Ｂ ） （ Ｖ Ａ ＠ ）
． ． ． ， ． ．
（ ３ ）
Ａ ９ｅ２ ｎ ＝ｍ
在处理 由不知道所引起 的不 确定性 的基本 概率赋值时 ． Ｙ ａ ｇ ｅ ｒ 把 从这种意义上说 ｊ ． 基本概率赋值和信任 数精 确地传递同样的信 代表 冲突的 ｑ （ ） 加 到了 ｑ （ ＠ ） 上， 从而转化成 Ｙ ａ ｇ ｅ ｒ 规则下 的基本 概率 息。 如果识别框架 ０的一个子集 为 Ａ， 且ｍ （ Ａ ） ＞ Ｏ ， 则称 ＠的子集 Ａ为 赋值 ｍ ｒ （ Ｏ ） 。 这样 做的后果显然是增大 了不确定性。 则Ｙ ａ ｇ ｅ ｒ 规则下的 信任函数 Ｂ ｅ ｌ 的焦元 。 信任 函数的全部焦元 的并集成 为信任 函数 的核 组合公式如下 ： （ ｃ ０ ｒ ｅ ） 。设 ＠ 为一识别框架 ， 定义 函数 Ｐ １ ： ２ ＿ ÷ Ｉ Ｏ ， １ ］ 。
Ａ， Ｂ ｅ ２ ０
，
析和对 比。
１ ． 基本概 念ｎ 日
设 ＠ 为识别框架 ， 则函数 ｍ ： ２ ｏ 满足 ：
ｍ（ 中） ＝ Ｏ
ｎ
２ ． ２ Ｙ ａ ｇ ｅ ｒ 组合规则 对于证据 冲突 的问题 ， Ｙ ａ ｒ 修改 Ｄ — ｓ 组合 规则 ，提出 了一个 与 基本 概率分 配 函数 （ Ｂ ａ ｓ ｉ ｃ Ｐ ｒ ｏ ｂ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ Ａ ｓ ｓ ｉ ｇ ｎ ｍ ｅ ｎ ｔ Ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ． 用 ｍ表 示１ 不 同 的概 念 ：基 础 概 率 分 配 函数 （ Ｇ ｏ ｒ ｕ ｎ ｄ Ｐ ｒ ｏ ｂ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｖ Ａ ｓ ｓ ｉ ｇ ｎ ｍ ｅ ｎ ｔ Ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ， 用ｑ 表示） 。这两者 的主要 区别有两点 ： 一 是归一化 因子 ； 二
D-S证据理论在目标识别与检测中的应用研究的开题报告
D-S证据理论在目标识别与检测中的应用研究的开题报告一、研究背景目标识别与检测一直是计算机视觉领域的研究热点和难点之一。
在实际应用中，目标的形态、尺寸、角度等因素的变化、遮挡、噪声的干扰以及光照变化等因素，均会影响目标识别与检测的精度和有效性。
因此，如何提高目标识别与检测的鲁棒性和准确性一直是该领域研究的难点之一。
在目标识别与检测中，D-S证据理论被广泛应用。
该理论可以有效地解决遮挡、多尺度、多视角等问题，提高目标检测与识别的准确性和鲁棒性。
因此，本研究将探究D-S证据理论在目标识别与检测中的应用。
二、研究内容本研究旨在探究D-S证据理论在目标识别与检测中的应用，并针对该领域中存在的一些问题进行探讨。
具体研究内容如下：（1）D-S证据理论的原理与基本概念。
（2）研究目标识别与检测中存在的问题，并探讨D-S证据理论如何解决这些问题。
（3）在实际应用中，通过实验对D-S证据理论在目标识别与检测中的应用进行验证。
（4）对研究结果进行总结和分析。
三、研究目标本研究的目标是深入阐述D-S证据理论在目标识别与检测中的应用，并从理论和实践两个层面，解决目标识别与检测中的常见问题，论证D-S证据理论的有效性。
同时，本研究旨在推动目标识别与检测领域的研究进展。
四、研究方法本研究采用理论分析和实验验证相结合的研究方法。
首先，通过文献综述分析目标识别与检测中存在的问题及D-S证据理论的研究现状。
然后，探讨D-S证据理论在目标识别与检测中的应用。
最后，设计实验验证D-S证据理论在目标识别与检测中的有效性。
五、研究意义本研究旨在提高目标识别与检测的准确性和鲁棒性，更好地满足实际应用需求。
通过探讨D-S证据理论在目标识别与检测中的应用，本研究为相关领域的研究提供理论基础和实验验证结果，推动该领域的研究进展。
D-S证据理论方法
M(民航)=0.00228/0.229=0.01
M(不明)=0.000403/0.229=0.00176
21
分布式计算方法
传感器1
M 1 j ( Ak )
同
周
传感器2
M 2 j ( Ak )
期
融
传感器S
M S j ( Ak )
合
M1 ( Ak )
融 M 2 ( Ak ) 合 M ( Ak )
中 心
传感器1
传感器2
传感器n
命题的证据区间 命题的证据区间 命题的证据区间
证
据
组
合
最终判决规则
规
则
基于D-S证据方法的信息融合框图
融合 结果
11
单传感器多测量周期可信度分配的融合
设 M j ( A表k )示传感器在第
j( 个j 测1量,.周..,期J )对命题
Ak
(k 1, ,的K可) 信度分配值，则该传感器依据 个周期的测量积n累对命题 的
( A) PI(A) Bel( A)
对偶（Bel(A) ,Pl(A)）称为信任空间。
7
证据区间和不确定性
信任区间
0
Bel(A)
支持证据区间
Pl(A)
拒绝证据区间
拟信区间
信任度是对假设信任程度的下限估计—悲观估计； 似然度是对假设信任程度的上限估计—乐观估计。
8
5.4 D-S证据理论的合成规则
5 D-S证据理论方法
5.1 D-S证据理论的诞生、形成和适用领域 5.2 D-S证据理论的优势和局限性 5.3 D-S证据理论的基本概念 5.4 D-S证据理论的合成规则 5.5 基于D-S证据理论的数据融合
D_S证据理论数据融合方法在目标识别中的应用
蓝金辉, 等: D 2S 证据理论数据融合方法在目标识别中的应用
55
断命题是否成立, 得到决策结果。 2. 2 多传感器系统的D -S 数据融合结构
由于多个证据结合的计算可以用两个证据结合 的计算递推得到, 图 2 是多个证据结合的计算可以 用两个证据结合的计算递推得到的结构等效图, 在 多传感器系统数据融合中, 由于数据量很大, 所以采 用由两个证据结合的计算递推得到的结构。
图 1 D -S 方法用于多传感器系统数据融合方法
在多传感器系统数据融合中, 先初始化一次对 基本可信度的分配。然后, 每当收到一则传感器的报 警信息, 就进行一次基本可信度的分配, 再用D em p2 ster 合成法则得到新的基本可信度的分配。 当不断 有信息传回时, 这种对基本可信度的分配便得以继 续。 最后, 依照各命题的可信度和似真度等指标, 判
0, A = <;
m (A ) =
6 m 1 (A i)m 2 (B j )
A i IB j = A
, A ≠ <.
6 1 -
m 1 (A i)m 2 (B j )
A i IB j = <
(2)
对于多个信度函数的合成, 设B el1, …, B eln是同 一识别框架 ( 上的信度函数, m 1, …, m n 是对应的 基本可信度分配, 如果 B el1 + B eln 存在且基本可 信度分配为m , 则
Abstract: D ata fusion based on reasoning m ethod is app lied to reso lve veh icle target recognition p roblem s. T he basic concep ts and theo ry of D emp ster2Shafer evidence reasoning app lied to data fusion are analyzed in detail. T he m ethod is app lied to m ultisenso r data fusion fo r veh icle target recognition. Experim en tal results show that the data fusion result is better than that of a single senso r and that the D 2S data fusion m ethod is effective. Key words: evidence reason ing; data fusion; target recogn ition
证据理论方法详解
第五章证据理论（Evidence Theory）方法在本章§1，我们将讨论一种被称之为登普斯特-谢弗（Dempster-Shafer）或谢弗-登普斯特（Shafer-Dempster）理论（简称D-S理论或证据理论）的不精确推理方法。
这一理论最初是以登普斯特（Dempster，1967年）的工作为基础的，登普斯特试图用一个概率区间而不是单一概率数值去建模不确定性. 1976年，谢弗（Shafer，1976年）在《证据的数学理论》一书中扩展和改进了登普斯特工作. D-S理论具有好的理论基础。
确定性因子能被证明是D-S 理论的一种特殊情形。
在§2我们将描述一种简化的证据理论模型MET1 . 在§3我们将给出支持有序命题类问题的具有凸函数性质的简化证据理论模型。
围绕证据理论的一些新的研究工作，将在第六章介绍。
§1D-S理论（Dempster-Shafer Theory）●辨别框架（Frames of Discernment）D-S理论假定有一个用大写希腊字母Θ表示的环境（environment），该环境是一个具有互斥和可穷举元素的集合：Θ = { θ1 , θ2 , ⋯, θn }术语环境在集合论中又被称之为论域（the universe of discourse）。
一些论域的例子可以是：Θ = { airliner , bomber , fighter }Θ = { red , green , blue , orange , yellow }Θ = { barn , grass , person , cow , car }注意，上述集合中的元素都是互斥的。
为了简化我们的讨论，假定Θ是一个有限集合。
其元素是诸如时间、距离、速度等连续变量的D-S 环境上的研究工作已经被做。
理解Θ的一种方式是先提出问题，然后进行回答。
假定Θ = { airliner , bomber , fighter }提问1：“这军用飞机是什么？”；答案1：是Θ的子集{ θ2 , θ3 } = { bomber , fighter }提问2：“这民用飞机是什么？”；答案2：是Θ的子集{ θ1} = { airliner }，{ θ1} 是单元素集合。
一种改进的D-S证据理论合成方法
ｔ ｎｒ ｌｓ Ｓ ｍｕａｉｎｒｓ ｌ ｈ ｗ ａ ｅｉ ｒｖ ｄ ｃ ｍｂｎ ｔ ｎｍｅｈ ｄｉ ｒ ｖ ｓｔｅｒｌ ｂ ｌ ｎ ａｉｎ ｌ ｆ ｉ ｕｅ ． ｉ ｌｔ ｕｔ ｓ ｏ ｔ ｔ ｈ ｏ ｏ ｅ ｓ ｈ ｔ ｍｐ ｏ ｅ ｏ ｉａｉ ｔ ｏ ｏ ｍｐ ｏ ｅ ｈ ｅｉ ｉｔ ａ ｄ ｒｔ ａｉ ｏ ａ ｉ ｙ ｏ ｔ ｙ
Ｃｏ ｕ ｅ ｎ ｉｅｒｎ ｎ ｐｉａｉｎ， ０ ２ ４ （ ０ ：５ －５ ． ｍｐ ｔｒ ｇｎ ｅｉｇａ ｄＡｐ ｌ ｔ ｓ ２ １ ， ８ ２ ） １ ０１ ３ Ｅ ｃ ｏ
Ａｂｓ ｒ ｃ ：Ｔｈｅｐ ｐ ｒｐ ｏ ｏｓ ｓａ ｍｐ ｏ ｅ ｏ ｉ ｔｏ ｅｈ ａ ｅ ｎ ｗｅｇ ｔａ ｄ ｍ ａ ｉ ， ｔａｔ ａ ｅ ｒ ｐ ｅ ｎ ｉ ｒ ｖ ｄ ｃ ｍｂ ｎａｉ ｎ ｍ ｔ ｏｄ ｂ ｓ ｄ ｏ ｉ ｈ ｎ ｔ ｘ ｗｈｉｈ ｃ ｎ ｒ ｄ ｃ ｈｅ ｒ ｃ ａ ｅ ｕ ｅ ｔ
摘 要： 针对 Ｄ ｓ — 证据理论计算量大和不能有效合成高度 冲突证据的不足， 出一种基于加权和矩阵运 算的证 提 据组合方法。该方法通过引入权重 系数 区分不同证据在数据融合 中的重要程度 ， 因此能有效合成 高度 冲突的 证据。同时， 在证据合成过程 中通过 引入矩阵运 算， 有效地降低 了算法的计算量 。仿真结果表 明， 与传统的基 于Ｄ ｓ ． 证据理论的多传感器数较 小的计 算量 。 关键词 ： 证据理论； 矩阵运算； 权； 证据合成； 数据融合
DS证据理论 _浙大
本章的主要参考文献（续4）
浙江大学研究生《人工智能》课件
第五章 D-S证据理论
(Chapter5 D-S Evidential Theory )
徐从富(Congfu Xu) PhD, Associate Professor
Email: xucongfu@ Institute of Artificial Intelligence, College of Computer Science, Zhejiang University, Hangzhou 310027, P.R. China
March 10, 2002第一稿 September 25, 2006第四次修改稿
Outline
本章的主要参考文献 证据理论的发展简况 经典证据理论 关于证据理论的理论模型解释 证据理论的实现途径 基于DS理论的不确定性推理 计算举例
本章的主要参考文献
[1] Dempster, A. P. Upper and lower probabilities induced by a multivalued mapping. Annals of Mathematical Statistics, 1967, 38(2): 325-339. 【提出 证据理论的第一篇文献】 [2] Dempster, A. P. Generalization of Bayesian Inference. Journal of the Royal Statistical Society. Series B 30, 1968:205-247. [3] Shafer, G. A Mathematical Theory of Evidence. Princeton University Press, 1976. 【证据理论的第一本专著，标志其正式成为一门理论】 [4] Barnett, J. A. Computational methods for a mathematical theory of evidence. In: Proceedings of 7th International Joint Conference on Artificial Intelligence(IJCAI-81), Vancouver, B. C., Canada, Vol. II, 1981: 868-875. 【第一篇将证据理论引入AI领域的标志性论文】
第5.6节 证据理论(D-S理论)
空间U
2008-2009学年第1学期
第5.6节 证据理论
23
例（续）
m1({b1}, {b2}, {b3})
确定单元素子集的m值
= (f1(A1)c1, f1(A1)c2, f1(A1)c3)
= (0.4×0.1, 0.4×0.2, 0.4×0.3)=(0.04, 0.08, 0.12)
2008-2009学年第1学期
第5.6节 证据理论
10
信任函数Bel（Belief）
Bel：2U→[0,1] Bel(A)是A及其子集的信任总和。
B2 A 证据幂集 B1
Bel ( A)
B A
m( B)
Bel(Φ)=0；Bel(U)=1
Bel类似概率密度函数，比基本概率分配函数m 更具全局性。
第5.6节 证据理论
Pl(A)
1
18
5.6.3 规则的不确定性
规则是两个集合之间因果关系的表达； 规则A→B，A={a1,a2,…,ak}，B={b1,b2,…,bk} 用向量(c1,c2,…,ck)表示A→B的不确定度，这里
ci ≥0，0 ≤ i ≤ k，且∑ci≤1 。
2008-2009学年第1学期
m(Φ) = 0；
A2U
m(A) 1
m代表mass
A属于U且A≠U，则m(A)表示A的精确信任度； 若A=U，则m(A)表示这个概率值不知该如何分配。
U={a, b, c}，为{a}和{a, b}指定了信任度0.1和0.2，剩
下的0.7不知该怎样分配给其他子集，则m(U)=0.7。
证据理论
（2）信任函数
信任函数也称信度函数（Belief function）。
在识别框架上基于BPA m的信任函数定义为：
Bel ( A)
B A
m(B)
（3）似然函数
似然函数也称似然度函数 (Plausibility function) 。
在识别框架上基于BPA m的似然函数定义为：
Pl ( A)
2、基本概念
设是一个识别框架，或称假设空间。
（1）基本概率分配 基本概率分配：Basic Probability Assignment，简称 BPA。在识别框架上的BPA是一个2 [0, 1]的函数m， 称为mass函数。并且满足 m() = 0 且
A
m( A) 1
其中，使得m(A)>0的A称为焦元(Focal elements)。
0.98 0.01 0 0.01
0 0.01 0.98 0.01
0.49 0.015 0.49 0.005
【解】：首先，计算归一化常数K。
K 1
B C
m1 ( B) m2 (C )
1 [m1 ( Peter ) m2 ( Paul ) m1 ( Peter ) m2 ( Mary ) m1 ( Paul ) m2 ( Mary )] 1 (0.98 0.01 0.98 0.98 0.01 0.98) 0.02
the Dempster-Shafer theory to fuzzy sets. IEEE Trans. on Systems, Man, and Cybernetics, 1990, 20(3): 559-570.】
6、证据理论在中国的发展情况
段新生：在1993年出版了一本专门论述证据理论的专 著《证据理论与决策、人工智能》。【注：由于此书出版时间较
DS证据理论
适用领域：信息融合、专家系统、情报分析、法律 案件分析、多属性决策分析，等等。
4、证据理论的局限性
要求证据必须是独立的，而这有时不易满足
证据合成规则没有非常坚固的理论支持，其合理 性和有效性还存在较大的争议
计算上存在着潜在的指数爆炸问题
5、证据理论的发展概况
“Zadeh悖论”：对证据理论的合成公式的合理性进行 质疑。 例子：利用Dempster证据合成规则对两个目击证人 （W1, W2）判断某宗“谋杀案” 的三个犯罪嫌疑人（Peter, Paul, Mary）中究竟谁是真正的凶手，得到的结果（认定Paul 是凶手）却违背了人的常识推理结果，Zadeh认为这样的结果 无法接受。 m1() Peter Paul Mary 0.99 0.01 0.00 m2() 0.00 0.01 0.99 m12() 0.00 1.00 0.00
5.1
证据理论的发展简况
证据理论(Evidential Theory) Dempster-Shafer理论 Dempster-Shafer证据理论 DS (或D-S)理论
1、证据理论的名称
其它叫法：
Dempster规则 Dempster合成规则 Dempster证据合成规则
March 10, 2002第一稿 September 25, 2006第四次修改稿
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本章的主要参考文献 证据理论的发展简况 经典证据理论 关于证据理论的理论模型解释 证据理论的实现途径 基于DS理论的不确定性推理 计算举例
本章的主要参考文献
[1] Dempster, A. P. Upper and lower probabilities induced by a multivalued mapping. Annals of Mathematical Statistics, 1967, 38(2): 325-339. 【提出 证据理论的第一篇文献】 [2] Dempster, A. P. Generalization of Bayesian Inference. Journal of the Royal Statistical Society. Series B 30, 1968:205-247. [3] Shafer, G. A Mathematical Theory of Evidence. Princeton University Press, 1976. 【证据理论的第一本专著，标志其正式成为一门理论】 [4] Barnett, J. A. Computational methods for a mathematical theory of evidence. In: Proceedings of 7th International Joint Conference on Artificial Intelligence(IJCAI-81), Vancouver, B. C., Canada, Vol. II, 1981: 868-875. 【第一篇将证据理论引入AI领域的标志性论文】
DS证据理论中的证据组合
系统工程与电子技术SYSTEMS ENGINEERING ANDELECTRONICS1999 Vol.21 No.12 P.92-94D-S证据理论中的证据组合杜文吉 谢维信 摘 要 Dempster证据组合规则在D-S证据理论中将几组相互独立的证据融合，得到一组新的证据。
Dempster证据组合规则在D-S证据理论中起着十分重要的作用。
在对Dempster证据组合规则进行分析的基础上，提出了一组更加一般化的证据组合规则，即证据的逻辑运算及基于相似性加权的证据组合规则。
它们具有与Dempster证据组合规则不同的性质和应用背景。
主题词 置信界限 逻辑运算 信息交换 +证据组合 文章编号：1001-506X(1999)12-0092-03Evidence Combination Methods in D-S Evidence TheoryDu Wenji Xie Weixin（Xidian University, Electronic Engineering College，Xi'an 710071） Abstract Dempster's rule is used to combine probabilistically independent sets of evidence to improve the reliability or dependability of evidence information associated with different data sources. Dempster's rule plays a very important role in D-S evidence theory. Through analysis the property of the dempster's rule, we proposd some logic operation on sets of evidence, which is a much more generalized methods for combining probabilistically independent sets of evidence. A weighted dempster's rule of combination handling sets of evidence from various sources with different priority is also given, based on analysis of conjunctive combination defined by the min operation weighted by degree of consistency. Keywords Evidence theory Dempster combination rule Message suttching1 引 言 D-S证据理论［1］形成于60年代。
人工智能原理教案03章 不确定性推理方法3.4 证据理论(D-S Theory)
3.4 证据理论（D-S Theory）证据理论由Dempster首先提出，并由他的学生Shafer发展起来，也称D-S理论。
在专家系统的不精确推理中已得到广泛的应用, 也用在模式识别系统中。
证据理论中引入了信任函数，它满足概率论弱公理。
在概率论中，当先验概率很难获得，但又要被迫给出时，用证据理论能区分不确定性和不知道的差别。
所以它比概率论更合适于专家系统推理方法。
当概率值已知时，证据理论就成了概率论。
因此，概率论是证据理论的一个特例，有时也称证据沦为广义概率论。
在:8080/UGAIWWW/lectures/dempster.html 上有关于Dempster－Shafer理论的英文介绍。
在/Dse.htm上有免费的利用证据理论实现的程序Dempster Shafer Engine下载。
有兴趣的读者可以安装这一软件，看看运行效果。
这是我们已经下载下来的程序包：DempsterShaferEngine.zip。
3.4.1 证据的不确定性证据用集合来表示：如U中的每个元素代表一种疾病。
讨论一组疾病A发生的可能性时，A就变成了单元的集合。
U内元素A i间是互斥的，但Ai中元素间是不互斥的。
图3-4证据理论集合空间分布示意图t3-4_swf.htm例如U可以表示疾病空间，而每个Ai可以是一类疾病，各类疾病之间是可以交叉的（同时得多种疾病），但是各类疾病本身是不同的。
证据理论定义了多个函数值来描述证据及规则的不确定性，其中包括：分配函数、信任函数和似然函数，分别定义如下。
·基本概率分配函数m：2U→[0,1]。
m(Φ) = 0 空的为零Σm(A) = 1 全空间的和为1（A属于U）基本概率分配函数是在U的幂集2U 上定义的，取值范围是[0,1]。
基本概率函数的物理意义是：若A属于U，且不等于U，表示对A的精确信任度若A等于U，表示这个数不知如何分配·信任函数Bel：2U→[0,1]。
D-S证据理论及其改进算法研究
且 所有在 ｕ 内的元 素 间是 互 不 相容 ， 称 Ｕ 为 Ｘ 则 的识 别框架 。
收 稿 日期 ：０ ０ ５ ２ ２ １ 年 月 ９日， 回 日期 ：０ ０年 ６ ２ 修 ２１ 月 ７日
Ｃｌｓ ｎ ａ ｓ Ｎｕ ｒ ＴＰ３ １ ６ ０ ．
１ 引言
在多 传 感器 系统 中 ， 由于 传感 器 的精 度 、 系统 组成 的诸 多环节 、 部环境 以及精 度等 自身条 件 的 外 影响， 导致 系统具 有 不确 定 性 ， 低 目标 识 别 的准 降 确性， 因此需 要采 用 多 传感 器 数 据融 合 ， 用推 理 利 的方法降低其 不确定性 。 目前 ， 应用 最为广 泛 的是 Ｄ－ Ｓ证据理 论法 ， 该方 法形 成 于 ６ Ｏ年代 ， 经典 概 是 率论 的扩充形 式 ［ ］ １ 。在 证据 理 论 的表 达 式 中 ， 把 证据 的信任 函数 与概 率 的上 下限值 相联 系 ， 提供 了 不确定推理模 型 的一般框架 ， 形成 了处理 不确 定信
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黄
天
翔
1
5 D-S证据理论方法
5.1 D-S证据理论的诞生、形成和适用领域 5.2 D-S证据理论的优势和局限性 5.3 D-S证据理论的基本概念 5.4 D-S证据理论的合成规则 5.5 基于D-S证据理论的数据融合
5.1 D-S证据理论的诞生、形成和适用领域
•
诞生：源于20世纪60年代美国哈佛大学数学家A. P.
13
14 15
敌轰炸机
轰炸机 大型机
0000100100
1000100100 0100010000
6
7 8
敌大型机
敌小型机1 敌轰炸机2
0000010000
0000001000 0000000100
16
17 18
小型机
敌 我
0011001010
0000111110 1111000000
9
10
敌小型机2
22
分布式计算方法
传感器1 传感器2
M1 j ( Ak )
同
M1 ( Ak )
M 2 j ( Ak )
周
期 融
M 2 ( Ak )
融 合 中 心
M ( Ak )
传感器S
M S j ( Ak )
合
M J ( Ak )
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分布式计算步骤
① 计算每一测量周期上所获得的各个命题的融合后验可信度 分配
1 M j ( Ak ) c j M sj ( Am ), Am 1 s S
B
M ( B)
7
似然函数
定义3 命题的似然函数PI:
P I : 2 [0, 1] P I(A) 1 Bel(-A), A
PI 函数称为上限函数，表示对 A 非假的信任程度，即表示对 A 似乎可能成立的不确定性度量。
信任函数和似然函数有如下关系：
PI(A) Bel(A), A
M
j
( Am )
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基于分布式计算法的融合实例
对于上面的例子，应用分布式计算方法，容易计算得到第一 周期和第二周期的各命题的3种传感器融合的各命题的可信度分 配如下： 第一周期
M1(轰炸机)=0.038278
民航机
0000000010
0000000001
19
不明
1111111111
18
基于中心式计算法的融合实例
对于中频雷达、ESM 和 IFF传感器，假设已获得两个测量 周期的后验可信度分配数据： M11 ( {民航}, {轰炸机}, {不明} ) =（0.3, 0.4, 0.3） M12 ( {民航}, {轰炸机}, {不明} ) =（0.3, 0.5, 0.2） M21 ( {敌轰炸机1}, {敌轰炸机2}, {我轰炸机}, {不明} ) =（0.4, 0.3, 0.2, 0.1） M22 ( {敌轰炸机1}, {敌轰炸机2}, {我轰炸机}, {不明} )
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表5-1 命题的向量表示
序号 1 2 机型 我轰炸机 我大型机 向量表示 1000000000 0100000000 序号 11 12 含义 我小型机 敌小型机 向量表示 0011000000 0000001010
3
4 5
我小型机1
我小型机2 敌轰炸机1
0010000000
0001000000 0000100000
A 的不确定性由下式表示
( A) PI(A) Bel(A)
对偶（Bel(A) ,Pl(A)）称为信任空间。
8
证据区间和不确定性
信任区间
0
Bel(A)
Pl(A) 拒绝证据区间 拟信区间
支持证据区间
信任度是对假设信任程度的下限估计—悲观估计； 似然度是对假设信任程度的上限估计—乐观估计。
9
后验可信度分配如何计算呢？
传感器1 传感器2
M1 j ( Ak )
不同周期融合 不同周期融合
M1 ( Ak )
M 2 j ( Ak )
M 2 ( Ak )
融 合 中 心
M ( Ak )
传感器S
M S j ( Ak )
不同周期融合 中心式计算方法
M S ( Ak )
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中心式计算的步骤
① 计算每一传感器根据各自 j 个周期的累积量测所获得的
述各种组合构成幂集 2 。
5
基本概率分配函数
定义1 基本概率分配函数 M
M : 2 [0, 1]
设函数 M 是满足下列条件的映射： ① 不可能事件的基本概率是0，即 M () 0 ； ② 2 中全部元素的基本概率之和为1，即 M ( A) 1, A 则称 M 是 2 上的概率分配函数，M(A)称为A的基本概率数， 表示对A的精确信任。
5.4 D-S证据理论的合成规则
设 M 1 和 M 2是 2 上两个概率分配函数，则其正交和
M M1 M 2 定义为：
M () 0, A M ( A) c 1
A1 A2 A
M ( A )M
1 1
2
( A2 ), A
其中
c 1
A1 A2
=（0.4, 0.4, 0.1, 0.1）
M31 ( {我}, {不明} ) =（0.6, 0.4） M32 ( {我}, {不明} ) =（0.4, 0.6）
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基于中心式计算法的融合实例
其中，Msj表示第s个传感器(s=1,2,3)在第j个测量周期(j=1,2)上对命 题的后验可信度分配函数。 c1= M11(民航) M12(民航)+ M11(民航) M12(不明)+ M11(不明) M12 (民航) + M11(轰炸机) M12(轰炸机)+ M11(不明) M12(轰)+ M11(轰) M12 (不明) + M11(不明) M12(不明) =0.24+0.43+0.06=0.73
Dempster在利用上、下限概率来解决多值映射问题方面 的研究工作。自1967年起连续发表了一系列论文，标志着 证据理论的正式诞生。
•
形成：Dempster的学生G. Shafer对证据理论做了进一步 的发展，引入信任函数概念，形成了一套基于“证据”和 “组合”来处理不确定性推理问题的数学方法，并于1976 年出版了《证据的数学理论》，这标志着证据理论正式成 为一种处理不确定性问题的完整理论。
在较大的争议；计算上存在着潜在的组合爆炸问题。
4
5.3 D-S证据理论的基本概念
D-S方法与其他概率方法的区别在于： ① 它有两个值，即对每个命题指派两个不确定度量（类似但 不等于概率）； ② 存在一个证据使得命题似乎可能成立，但使用这个证据又 不直接支持或拒绝它。 下面给出几个基本定义。
设 是样本空间， 由一些互不相容的陈述构成。这些陈
M ( A ),
i i
A
其中
c 1
Ai 1 i n
M (A ) M (A )
i i Ai 1i n i i
11
5.5 基于D-S证据理论的数据融合
传感器1 传感器2
命题的证据区间 命题的证据区间
证
传感器n
命题的证据区间
据 组 合 规 则
M ( Ak ) c 1
其中
c 1
Am Ak 1 j J
M
( Ak )
j
( Am ),
m 1,, K
Ak 1 j J
M
j
Ak 1 j J
M
j
( Ak )
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多传感器多测量周期可信度分配的融合
设 M s j ( Ak ) 表示第 s( s 1,...,S ) 个传感器在第 j ( j 1,...,n) 个测 量周期对命题 Ak (k 1,, K ) 的可信度分配 ，那么 Ak 的融合
② 对所有传感器的融合结果再进行融合处理，即
M ( Ak ) c 1
其中
Am Ak 1 s S
M ( A ),
s m
m 1,, K
c
Am 1 s S
M (A )
s m
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一个实例
假设空中目标可能有10种机型，4个机型类（轰炸机、大 型机、小型机、民航），3个识别属性（敌、我、不明）。 下面列出10个可能机型的含义，并用一个10维向量表示 10个机型。对目标采用中频雷达、ESM和IFF传感器探测， 考虑这3类传感器的探测特性，给出表5-1中所示的19个有意 义的识别命题及相应的向量表示。
适用领域：信息融合、专家系统、情报分析、法律案件分 析、多属性决策分析，等等。
3
•
5.2 D-S证据理论的优势和局限性
•
优势： 满足比Bayes概率理论更弱的条件，即不需要知道先验 概率，具有直接表达“不确定”和“不知道”的能力。
•
局限性： 要求证据必须是独立的，而这有时不易满足；证据合 成规则没有非常坚固的理论支持，其合理性和有效性还存
从而 M1 (民航)=0.24/0.73=0.32876 同理可得 M1(轰炸机)=0.43/0.73=0.58904 M2(我轰炸机2)=0.05/0.49=0.1024
M1(不明)=0.06/0.73=0.0822 M2(不明)=0.01/0.49=0.020408 M2(敌轰炸机1)=0.24/0.49=0.48979 M3(我机)=0.76/1=0.76 M2(敌轰炸机2)=0.19/0.49=0.38755 M3(不明)=0.24/1=0.24
M(轰炸机)=0.002885/0.229=0.012598 M(敌轰炸机1)=0.0789/0.229=0.34454