角平分线、垂直平分线(含答案)
垂直平分线与角平分线--讲义
第三讲：垂直平分线与角平分线主讲教师：刘老师我们一起回顾1、垂直平分线2、角平分线重难点易错点解析垂直平分线题一：AC=AD，BC=BD，则有（）A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB角平分线题二：如图，OP平分∠AOB，P A⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（）A．P A=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP第1题第2题金题精讲题一：如图，AB=AC，AC的垂直平分线MN交AB于D，交AC于E．（1）若∠A=40°，求∠BCD的度数；（2）若AE=5，△BCD的周长17，求△ABC的周长．题二：在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，∠ABC，∠ACB的平分线交于P点，PE⊥BC于E点，求PE的长．题三：如图，AD为△ABC的角平分线，AD的中垂线交AB于点E、交BC的延长线于点F，AC于EF交于点O．（1）求证：∠3=∠B；（2）连接OD，求证：∠B+∠ODB=180°．题四：如图，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的角平分线．求证：AC+CD=AB．思维拓展题一：小傲做了一个如图所示的“风筝”骨架，其中AB=AD，CB=CD．（1）小德同学观察了这个“风筝”骨架后，他认为AC⊥BD，垂足为点E，并且BE=ED，你同意小德的判断吗？为什么？（2）设AC=a，BD=b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积．垂直平分线与角平分线课后练习题一：如图，AB是∠DAC的平分线，且AD=AC．求证：BD=BC．题二：给出以下两个定理：①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．应用上述定理进行如下推理，如图，直线l是线段MN的垂直平分线．∵点A在直线l上，∴AM=AN（）∵BM=BN，∴点B在直线l上（）∵CM≠CN，∴点C不在直线l上．这是因为如果点C在直线l上，那么CM=CN（）这与条件CM≠CN矛盾．以上推理中各括号内应注明的理由依次是（）A．②①①B．②①②C．①②②D．①②①题三：如图所示，D是∠AOB平分线上的一点，DE⊥OA，DF⊥OB，垂足分别是E，F．下列结论不一定成立的是（）A．DE=DF B．OE=OF C．∠ODE=∠ODF D．OD=DE+DF题三题四题五题六题四：如图，P是∠AOB平分线上一点，CD⊥OP于P，并分别交OA、OB于C，D，则点P到∠AOB两边距离之和（）题六：如图，AB=AC=10，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D．求：（1）∠ABD的度数；（2）若△BCD的周长是m，求BC的长．题五：已知：如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，CD平分∠ACB交边AB于点D，DE⊥BC垂足为E，BD = 2AD．求证：BE=CE．题六：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，交CD于K，交BC于E，F是BE上一点，且BF=CE．求证：FK∥AB．题七：如图，AD是△ABC的角平分线，AD的中垂线分别交AB、BC的延长线于点F、E题八：求证：（1）∠EAD=∠EDA；（2）DF∥AC；（3）∠EAC=∠B．题九：如图，△ABC的边BC的中垂线DF交△BAC的外角平分线AD于D，F为垂足，DE⊥AB于E，且AB＞AC，求证：BE-AC=AE．题十：如图，已知△ABC中，∠BAC：∠ABC：∠ACB=4：2：1，AD是∠BAC的平分线．求证：AD=AC-AB．题十一：如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于D，且CD=15，AC=30，则AB的长为．题十二：一个风筝如图所示，两翼AB=AC，横骨BF⊥AC，CE⊥AB，问其中骨AD能平分∠BAC吗？为什么？垂直平分线与角平分线---课后练习参考答案详解：∵AB 是∠DAC 的平分线，∴∠DAB =∠CAB ，在△ABD 和△ABC 中，AD ACDAB CABAB AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ABC （SAS ）．∴BD =BC题二： D ．详解：根据题意，第一个空，由垂直平分线得到线段相等，应用了性质，填①； 第二个空，由线段相等得点在直线上，应用了判定，填②； 第三个空，应用了垂直平分线的性质，填①． 所以填①②①，故选D ．题三： D ．详解：∵D 是∠AOB 平分线上的一点，DE ⊥OA ，DF ⊥OB ，∴DE =DF ，故A 选项成立，在Rt △ODE 和Rt △ODF 中，OD OD DE DF=⎧⎨=⎩，∴Rt △ODE ≌Rt △ODF （HL ），∴OE =OF ，∠ODE =∠ODF ，故B 、C 选项成立， OD =DE +DF 无法证明，不一定成立．故选D．题四： A ．详解：如图，过点P 作PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ， 则PE 、PF 分别为点P 到∠AOB 两边的距离，∵PE ＜PC ，PF ＜PD ，∴PE +PF ＜PC +PD ，∴PE +PF ＜CD ， 即点P 到∠AOB 两边距离之和小于CD ．故选A ．题五： 40°．详解：∵MN 是AC 的垂直平分线，∴AD =CD ，∴∠ACD =∠A ， ∵在Rt △ABC 中，∠B =90°，∴∠A +∠ACB =90°，∵∠BCD =10°，∴∠A +∠ACD +∠BCD =90°，即2∠A +10°=90°， 解得：∠A =40°．故答案为：40°．题六： （1）40°；（2）m -10．详解：（1）∵AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，∴AD =BD ， ∵∠A =40°，∴∠ABD =∠A =40°；（2）∵AB 的垂直平分线交AC 于D ，∴AD =BD ，∵△BCD 的周长为m ， ∴BD +DC +BC =m ，即AD +DC +BC =m ，AC +BC =m ， ∵AC =10，BC =m ，∴BC =m -10．详解：∵∠A =90°，DE ⊥BC ，CD 平分∠ACB ，∴AD =DE ，∵BD = 2AD ，∴BD =2DE ．在Rt △BDE 中，∵BD =2DE ，∴∠B =30°． 在Rt △ABC 中，∵∠A =90°，∠B =30°，∴∠ACB =60°．∵CD 平分∠ACB ， ∴∠BCD =30°．∴∠BCD =∠B ，∴BD =CD ．∵DE ⊥BC ，∴BE =CE ．题八： 见详解．详解：证明：过点K 作MK ∥BC ，∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE =∠CAE ，又∵∠ACB =90°，CD ⊥AB ，∴∠BAE +∠DKA =∠CAE +∠CEA =90°，∴∠DKA =∠CEA ， 又∵∠DKA =∠CKE ，∴∠CEA =∠CKE ，∴CE =CK ，又CE =BF ，∴CK =BF ，而MK ∥BC ， ∴∠B =∠AMK ，∴∠BCD +∠B=∠DCA +∠BCD =90°，∴∠AMK =∠DCA ， 在△AMK 和△ACK 中，∴∠AMK =∠ACK ，AK =AK ，∠MAK =∠CAK ， ∴△AMK ≌△ACK ，∴CK =MK ，∴MK =BF ，MK ∥BF ， 四边形BFKM 是平行四边形，∴FK ∥AB ．题九： 见详解详解：（1）∵EF 是AD 的中垂线，∴DE =AE ．∴∠EAD =∠EDA ．（2）∵EF 为中垂线，∴FD =F A ．∴∠FDA =∠F AD ．∵AD 平分∠BAC ，∴∠F AD =∠DAC ， 所以∠FDA =∠DAC ．∴DF ∥AC ．（3）∵∠EAD =∠EDA ，∠EAD =∠DAC +∠CAE ，∠EDA =∠B +∠BAD ， ∴∠DAC +∠CAE =∠B +∠BAD ，∵∠F AD =∠DAC ，∴∠EAC =∠B ．题十： 见详解详解：作DG ⊥AC ，连接BD 、CD ，∵AD 是外角∠BAG 的平分线，DE ⊥AB ，∴∠DAE =∠DAG ，则在△ADE 与△ADG 中，DEA DGAEAD GADAD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△ADG （AAS ），∴AE =AG ，∵DF 是BC 的中垂线，∴BD =CD ， ∴在Rt △BED 和Rt △CGD 中，DE DGBD CD =⎧⎨=⎩，∴Rt △BED ≌Rt △CGD （HL ），∴BE =CG =AC +AG ，AG =AE ，∴BE -AC =AE ．题十一： 见详解详解：在AC 上截取AE =AB ，连DE ，如图， 设∠C =x ， ∵∠BAC：∠ABC ：∠ACB =4：2：1，∴∠BAC =4x ，∠B =2x ，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠3=∠4=2x ，∵在△ABD 和△AED 中，34A B A E A D A D =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△AED （SAS ），∴∠B =∠1=2x ，∴∠1=∠4，∴DA =DE ，∵∠1=∠2+∠C ，∠C =x ，∴∠2=2x -x =x ，即∠2=∠C ，∴ED =EC ，∴DA =EC ， ∴AC =AE +EC =AB +AD ，即AD =AC -AB ．题十二： 50．详解：如图，作DE ⊥AB ，∴∠BED =90°，∴∠BED =∠C =90°，∵∠EBD =∠ABC ，∴△ABC ∽△DBE ，∴AC DEBC BE=，设BD =x ，BE =y ，则301515x y=+，30y =152+15x ，x =2y -15，在Rt △DBE 中，BD 2=DE 2+BE 2，即（2y -15）2=y 2+152，y （y -20）=0，∴y =20，AB =AE +BE =30+20=50．故答案为：50．题十三： 能平分∠BAC ．详解：中骨AD 能平分∠BAC ．理由如下：∵BF ⊥AC ，CE ⊥AB ，∴∠AFB =∠AEC =90°，又∵AB =AC ，∠BAF =∠CAE ，∴△BAF ≌△CAE ，∴AF =AE ．在Rt △AED 和Rt △AFD 中，AD =AD ，AE =AF ，∴Rt △AED ≌Rt △AFD ，∴∠EAD =∠F AD ，答：中骨AD 能平分∠BAC ．题十四： D ．详解：①在AE 取点F ，使EF =BE ．∵AB =AD +2BE =AF +EF +BE ，EF =BE ，∴AB =AD +2BE =AF +2BE ，∴AD =AF ， ∴AB +AD =AF +EF +BE +AD =2AF +2EF =2（AF +EF ）=2AE ，∴1()2A E AB A D=+，故①正确；②在AB上取点F，使BE=EF，连接CF．在△ACD与△ACF中，∵AD=AF，∠DAC=∠FAC，AC=AC，∴△ACD≌△ACF，∴∠ADC=∠AFC．∵CE垂直平分BF，∴CF=CB，∴∠CFB=∠B．又∵∠AFC+∠CFB=180°，∴∠ADC+∠B=180°，∴∠DAB+∠DCB=360-（∠ADC+∠B）=180°，故②正确；③由②知，△ACD≌△ACF，∴CD=CF，又∵CF=CB，∴CD=CB，故③正确；④易证△CEF≌△CEB，∴S△ACE-S△BCE=S△ACE-S△FCE=S△ACF，又∵△ACD≌△ACF，∴S△ACF=S△ADC，∴S△ACE-S△BCE=S△ADC，故④正确．故选D．。
线段的垂直平分线和角平分线专题训练及答案
线段的垂直平分线和角平分线专题训练及答案一、选择题（本大题共7小题，共21.0分）1.如图是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息．若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪()A. 三条角平分线的交点处B. 三条中线的交点处C. 三条高的交点处D. 三条边的垂直平分线的交点处2.下列说法错误的是()A. 等腰三角形底边上的高所在的直线是它的对称轴B. 等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴C. 等腰三角形顶角的平分线所在的直线是它的对称轴D. 等腰三角形一个内角的平分线所在的直线是它的对称轴3.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD是角平分线，DE垂直平分BC，AD=3，则AC的长为()A. 9B. 5C. 4D. 3√34.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC于E，∠BAC=124°，则∠DAE的度数为()A. 68°B. 62°C. 66°D. 56°5.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE⊥AC于点E，若BC=2m+6，DE=m+3，则△BCD的面积为()A. 2m2−18B. 2m2+12m+18C. m2+9D. m2+6m+96.如图，P是∠BAC平分线上的点，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，则下列结论：①PM=PN；②AM=AN；③△APM≌△APN；④∠PAN+∠APM=90°．其中正确结论的个数是()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个7.如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高线，E，F是AD的三等分点，若△ABC的面积为12，则图中△BEF的面积为()A. 2B. 3C. 4D. 6二、解答题（本大题共10小题，共80.0分）8.直线OA，OB表示两条相互交叉的公路，点M，N表示两个蔬菜种植基地．现要建一个蔬菜批发市场P，要求它到两条公路的距离相等，且到两个蔬菜基地的距离也相等，请用尺规作图说明市场的位置．9.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于点E.已知AB=10cm，求△DEB的周长．10.如图，已知AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且BE=CF，试判断BD和CD的数量关系，并说明理由．11.如图，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶．奶站应建在什么地方才能使A，B到它的距离相等？12.A，B，C这3个村庄的位置如图所示，每两个村庄之间有公路相连，村民希望共同投资建一个货运中转站，使中转站的位置到3个村庄的距离相等．请你利用尺规作图确定中转站的位置．13.如图，四边形ABCD为矩形台球桌面，现有一白球M和黑球N，应怎样去打白球M，才能使白球M撞击桌边AB后反弹击中黑球N？请你画出白球M经过的路线．14.如图，在△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，D，E分别是AB，AC边上的点，且BD=CE.试说明MD=ME．15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3.∠CAB的平分线交BC于点D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E．(1)求∠B度数．(2)求DE的长．16.如图，已知∠ABC，射线BC上一点D.求作：等腰三角形PBD，使线段BD为等腰三角形PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等(保留作图痕迹，但不要求写作法)．17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．(1)请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；②过点D作AC的垂线，垂足为点E．(2)在(1)作出的图形中，若CB=4，CA=6，则DE=______．答案和解析1.【答案】A【解析】[分析]本题主要考查的是角平分线的性质在实际生活中的应用．由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可知是三角形三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．[详解]解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，∴凉亭应建在三角形草坪的三条角平分线的交点处．故选A．2.【答案】D【解析】[分析]本题考查了等腰三角形的性质，属于基础题，解题的关键是了解对称轴是一条直线，难度不大．根据等腰三角形性质分别判断后即可确定正确的选项．[详解]解：A.等腰三角形底边上的高所在的直线是对称轴，正确；B.等腰三角形底边上的中线所在的直线是对称轴，正确；C.等腰三角形顶角的平分线所在的直线是对称轴，正确；D.等腰三角形顶角的平分线所在的直线是对称轴，如果这个内角是底角，不一定是它的对称轴，错误．故选D．3.【答案】A【解析】[分析]根据角平分线性质得出AD=DE，证明Rt△ADB≌Rt△EDB(HL)，得BE=AB，由DE 是BC的垂直平分线，得BC=2AB，所以∠C=30°，可得CD的长，从而得AC的长．本题考查了直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．[详解]解：∵BD是角平分线，DE⊥BC，∠A=90°，∴DE=AD=3，在Rt△ADB和Rt△EDB中，∵{AD=DEBD=BD，∴Rt△ADB≌Rt△EDB(HL)，∴BE=AB，∵DE是BC的垂直平分线，∴CE=BE，∴BC=2AB，∴∠C=30°，∴CD=2DE=6，∴AC=CD+AD=6+3=9，故选：A．4.【答案】A【解析】[分析]根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，得到∠DAB=∠B，同理可得，∠EAC=∠C，结合图形计算，得到答案．本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．[详解]解：∠B+∠C=180°−∠BAC=56°，∵AB的垂直平分线交BC于D，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B，∵AC的垂直平分线交BC于E，∴EA=EC，∴∠EAC=∠C，∴∠DAE=∠BAC−(∠DAB+∠EAC)=124°−56°=68°．故选A．5.【答案】D【解析】[分析]过点D作DF⊥BC交CB的延长线于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据三角形面积公式列式，然后根据多项式乘多项式法则进行计算即可得解．本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出BC边上的高线是解题的关键．[详解]解：如图，过点D作DF⊥BC交CB的延长线于F，∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，∴DE=DF，∴△BCD的面积=12·BC·DF=12(2m+6)(m+3)=m2+6m+9．故选D．6.【答案】A【解析】[分析]利用角平分线的性质结合全等三角形的判定与性质分析得出答案．此题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，正确得出△APM≌△APN 是解题关键．[详解]解：∵P是∠BAC平分线上的点，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，∴∠MAP=∠NAP，∠AMP=∠ANP=90°，PM=PN，故①正确在△APM和△APN中{∠MAP=∠NAP ∠AMP=∠ANP AP=AP,∴△APM≌△APN(AAS)，故③正确，∴AM=AN，故②正确，∠APM=∠APN，∵∠PAN+∠APN=90°，∴∠PAN+∠APM=90°，故④正确，综上所述：正确的有4个．故选A．7.【答案】A【解析】[分析]本题考查了等腰三角形的性质及轴对称性质；利用对称发现并利用△ABD和△ACD的面积相等是正确解答本题的关键．由图，根据等腰三角形是轴对称图形知，△ABD和△ACD的面积相等，再根据点E、F，依此即可求解．是AD的三等分点，可得△BEF的面积为△ACD的面积的13[详解]解：∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，S△ABC=12，BC，S△ABD=6，∴BD=CD=12∵点E、F是AD的三等分点，AD，∴EF=13S△BEF=1S△ABD=2．2故选A．8.【答案】解：如图：P为所求做的点．【解析】本题考查了基本作图，理解角的平分线以及线段的垂直平分线的作图是关键．连接MN，先画出∠AOB的角平分线，然后再画出线段MN的中垂线．这两条直线的交点即为所求．9.【答案】解：∵AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE．又∵AD=AD，∴Rt△ACD≌△RtAED．∴AE=AC，∴△DEB的周长=DE+DB+EB=CD+DB+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=10cm．【解析】本题主要考查的是全等三角形的判定及性质，角平分线的性质等有关知识，由题意根据AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB，∠C=90°，得到CD=DE，然后利用全等三角形的判定及性质得到AE=AC，最后利用三角形的周长公式进行求解即可．10.【答案】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠E=∠DFC=90°．在△BED和△DFC中，DE=DF，∠E=∠DFC，BE=CF，∴△BED≌△DFC(SAS)，∴BD=CD．【解析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法(即SSS、SAS、ASA、AAS和HL)和全等三角形的性质(即对应边、对应角相等)是解题的关键．由角平分线的性质可得DE=DF，再结合条件可证明Rt△BED≌Rt△CFD，即可求得BE=CF.11.【答案】解：连接AB，作AB的垂直平分线，与街道的交点为P，点P即为所求作的点．【解析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知此点P在AB的垂直平分线上即可解答，12.【答案】解：如图，【解析】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．利用线段垂直平分线的性质进而得出AB，AC的垂直平分线进而得出交点，得出M即可．13.【答案】解：如图所示，作点N于AB的对称点N′，连接N′M，与AB相交于点O，连接MO，NO，就是白球路线．【解析】此题考查了轴对称作图，作点N于AB的对称点N′，连接N′M，与AB相交于点O，连接MO，NO，就是白球路线．14.【答案】证明：△ABC中，∵AB=AC，∴∠DBM=∠ECM．∵M是BC的中点，∴BM=CM．在△BDM和△CEM中，，∴△BDM≌△CEM(SAS)，∴MD=ME．【解析】本题主要考察等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质.根据等腰三角形的性质可证∠DBM=∠ECM，可证△BDM≌△CEM，可得MD=ME，即可解题．15.【答案】解：(1)∵DE是AB的垂直平分线，∴DA=DB，∴∠B=∠DAB．∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB．∵∠C=90°，∴3∠CAD=90°，∴∠CAD=30°，∴∠B=30°；(2)∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD⊥AC，BD，∴CD=DE=12∵BC=3，∴CD=DE=1．【解析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟悉掌握是关键．(1)由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得∠B=∠CAD=∠DAB=30°；(2)根据角平分线的性质即可得到结论．16.【答案】解：如图，△PBD即为所求作的三角形【解析】【分析】本题考查尺规作图.根据角平分线的性质及线段垂直平分线的性质作图即可.作∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线交于点P，则△PBD为所求作的等腰三角形．作∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线交于点P，则△PBD为所求作的等腰三角形．【解答】解：∵点P到∠ABC两边的距离相等，∴点P在∠ABC的平分线上，∵线段BD为等腰△PBD的底边，∴PB=PD，∴点P在线段BD的垂直平分线上，∴点P是∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线的交点．17.【答案】解：(1)如图所示；(2)解：∵DC是∠ACB的平分线，∴∠BCD=∠ACD，∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DE//BC，∴∠EDC=∠BCD，∴∠ECD=∠EDC，∴DE=CE，∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC =AEAC，设DE=CE=x，则AE=6−x，∴x4=6−x6，解得：x=125，即DE=125，故答案为：12．5【解析】本题考查了角的平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，基本作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．(1)以C为圆心，任意长为半径画弧，交BC，AC两点，再以这两点为圆心，大于这两点的线段的一半为半径画弧，过这两弧的交点与C在直线交AB于D即可，根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法可作出垂线即可；(2)根据平行线的性质和角平分线的性质推出∠ECD=∠EDC，进而证得DE=CE，由DE//BC，推出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可推得结论．。
部编数学八年级上册专题22角平分线和垂直平分线结合(解析版)含答案
专题22 角平分线和垂直平分线结合1．如图，△ABC 是等腰三角形，AB ＝AC ，∠BAC ＝45°，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，过点B 作BE ⊥AC 于点E ，AD ，BE 交于点F ，H 为AB 的中点，连接EH ，CH ，FH ，则下列说法正确的个数为（ ）①∠BAD ＝∠CBE ；②EH ⊥AB ；③CE ＝12AF ；④AE ＝CE +CF ；⑤S △EFH ＝S △EHC ．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质可得22.5,67.5BAD CAD ABC ACB Ð=Ð=°Ð=Ð=°，再根据直角三角形的性质可得22.5CBE Ð=°，由此可判断①；先判断出Rt ABE △是等腰直角三角形，再根据等腰三角形的三线合一即可判断②；先根据三角形全等的判定定理证出BCE AFE @V V ，根据全等三角形的性质可得BC AF =，在AE 上截取GE CE =，连接BG ，从而可得BG BC =，再根据等腰三角形的性质可得67.5,45BGC CBG Ð=°Ð=°，从而可得12<CE BC ，据此可判断③；先根据等腰三角形的三线合一可得AD 垂直平分BC ，从而可得BF CF =，再证出Rt CEF V 是等腰直角三角形，从而可得CE EF =，然后根据线段和差可得AE BE CE CF ==+，即可判断④；过点H 作HM AC ^于点M ，作HN BE ^于点N ，先根据等腰三角形的三线合一可得EH 平分AEB Ð，再根据角平分线的性质可得HM HN =，然后根据三角形的面积公式即可判断⑤．【详解】解：,45,AB AC BAC AD BC =Ð=°^Q ，122.5,67.52BAD CAD BAC ABC ACB \Ð=Ð=Ð=°Ð=Ð=°，BE AC ^Q ，9022.5CBE ACB \Ð=°-Ð=°，BAD CBE \Ð=Ð，说法①正确；,45BE AC BAC ^Ð=°Q ，Rt ABE \V 是等腰直角三角形，AE BE =，H Q 为AB 的中点，EH AB \^（等腰三角形的三线合一），说法②正确；在BCE V 和AFE △中，22.590CBE FAE BE AE CEB FEA Ð=Ð=°ìï=íïÐ=Ð=°î，()BCE AFE ASA \@V V ，BC AF \=，如图，在AE 上截取GE CE =，连接BG ，则BE 垂直平分CG ，BG BC \=，67.5,18045BGC BCG CBG BGC BCG \Ð=Ð=°Ð=°-Ð-Ð=°，BGC CBG \Ð>Ð，2BC CG CE \>=，即12<CE BC ，12CE AF \<，说法③错误；,AB AC AD BC =^Q ，AD \垂直平分BC ，BF CF \=，22.5BCF CBF \Ð=Ð=°，45EFC BCF CBF \Ð=Ð+Ð=°，Rt CEF \V 是等腰直角三角形，CE EF =，BE EF BF CE CF \=+=+，又AE BE =Q ，AE CE CF \=+，说法④正确；如图，过点H 作HM AC ^于点M ，作HN BE ^于点N ，Rt ABE Q V 是等腰直角三角形，EH 是AB 边上的中线，EH ∴平分AEB Ð（等腰三角形的三线合一），HM HN \=，1122EFH EHC S S EF HN CE HM \=×=×=V V ，说法⑤正确；综上，说法正确的个数为4个，故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、线段垂直平分线的判定与性质、角平分线的性质等知识点，熟练掌握各判定定理与性质是解题关键，较难的是⑤，通过作辅助线，利用到角平分线的性质定理．2．如图，BAC Ð的角平分线与BC 的垂直平分线DG 交于点,,D DE AB DF AC ^^，垂足分别为E F 、，若9,10AF BC ==，则ABC V 的周长为（ ）A ．19B ．28C ．29D ．38【答案】B【解析】【分析】连接BD 、DC ，证△BDE ≌△CDF ，可得CF=BE ，根据角平分线性质可知AE=AF ，即可求周长．【详解】解：连接BD 、DC ，∵AD 平分∠ BAC ，,DE AB DF AC ^^，∴DE=DF ，∵AD=AD ，∴Rt △ADE ≌Rt △ADF ，∴AE=AF=9，∵DG 垂直平分BC ，∴BD=DC ，∴Rt △BDE ≌Rt △CDF ，∴BE=CF ，ABC V 的周长=AB+AC+BC=AF-CF+AE+BE+BC=2AF+BC=28，故选：B ．【点睛】本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是依据已知条件，恰当作辅助线，构造全等三角形．3．如图，∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于点F，交AB于点G．有下列结论：①GA＝GP；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④FP＝FC，其中正确的结论有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】【分析】①根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结论；②根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可求出结论；③根据线段垂直平分线的性质即可得结果；④根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结果．【详解】解：①∵AP平分∠BAC，∴∠CAP＝∠BAP，∵PG∥AD，∴∠APG ＝∠CAP ，∴∠APG ＝∠BAP ，∴GA ＝GP ；②∵AP 平分∠BAC ，∴P 到AC ，AB 的距离相等，∴S △PAC ：S △PAB ＝AC ：AB ，③∵BE ＝BC ，BP 平分∠CBE ，∴BP 垂直平分CE （三线合一），④∵∠BAC 与∠CBE 的平分线相交于点P ，可得点P 也位于∠BCD 的平分线上，∴∠DCP ＝∠BCP ，又∵PG ∥AD ，∴∠FPC ＝∠DCP ，∴∠FPC ＝∠BCP ，∴FP ＝FC ，故①②③④都正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和定义，平行线的性质，垂直平分线的判定，等腰三角形的性质，根据角平分线的性质和平行线的性质解答是解题的关键．4．如图，ABC V 中，60BAC Ð=°，ABC Ð、ACB Ð的平分线交于E ，D 是AE 延长线上一点，且120BDC Ð=°．下列结论：①120Ð=°BEC ；②DB DE =；③2BDE BCE Ð=Ð．其中所有正确结论的序号有（ ）．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】D【解析】【详解】分析：根据三角形内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB ，再根据角平分线的定义求出∠EBC+∠ECB ，然后求出∠BEC=120°，判断①正确；过点D 作DF ⊥AB 于F ，DG ⊥AC 的延长线于G ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DF=DG ，再求出∠BDF=∠CDG ，然后利用“角边角”证明△BDF 和△CDG 全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=CD ，再根据等边对等角求出∠DBC=30°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义求出∠DBE=∠DEB ，根据等角对等边可得BD=DE ，判断②正确，再求出B ，C ，E 三点在以D 为圆心，以BD 为半径的圆上，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠BDE=2∠BCE ，判断③正确．详解：∵60BAC Ð=°，∴18060120ABC ACB Ð+Ð=°-°=°，∵BE 、CE 分别为ABC Ð、ACB Ð的平分线，∴12EBC ABC Ð=Ð，12ECB ACB Ð=Ð，∴11()1206022EBC ECB ABC ACB Ð+Ð=Ð+Ð=´°=°，∴180()18060120BEC EBC ECB Ð=°-Ð+Ð=°-°=°，故①正确．如图，过点D 作DF AB ^于F ，DG AC ^的延长线于G ，∵BE 、CE 分别为ABC Ð、ACB Ð的平分线，∴AD 为BAC Ð的平分线，∴DF DG =，∴36090260120FDG Ð=°-°´-°=°，又∵120BDC Ð=°，∴120BDF CDF Ð+Ð=°，120CDG CDF Ð+Ð=°．∴BDF CDG Ð=Ð，∵在BDF V 和CDG V 中，90BFD CGD DF DGBDF CDG Ð=Ð=°ìï=íïÐ=Ðî，∴BDF V ≌()CDG ASA V ，∴DB CD =，∴1(180120)302DBC Ð=°-°=°，∴30DBC DBC CBE CBE Ð=Ð+Ð=°+Ð，∵BE 平分ABC Ð，AE 平分BAC Ð，∴ABE CBE Ð=Ð，1302BAE BAC Ð=Ð=°，根据三角形的外角性质，30DEB ABE BAE ABE Ð=Ð+Ð=Ð+°，∴DEB DBE Ð=Ð，∴DB DE =，故②正确．∵DB DE DC ==，∴B 、C 、E 三点在以D 为圆心，以BD 为半径的圆上，∴2BDE BCE Ð=Ð，故③正确，综上所述，正确结论有①②③，故选D ．点睛：本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，圆内接四边形的判定，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半性质，综合性较强，难度较大，特别是③的证明．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题5．已知：△ABC 是三边都不相等的三角形，点P 是三个内角平分线的交点，点O 是三边垂直平分线的交点，当P 、O 同时在不等边△ABC 的内部时，那么∠BOC 和∠BPC 的数量关系是___．【答案】4360BOC BPC Ð=Ð-°【解析】【分析】根据三角形角平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到2180BAC BPC Ð=Ð-°；再根据三角形垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到2BOC BAC Ð=Ð，进而得出BOC Ð和BPC Ð的数量关系．【详解】解：BP Q 平分ABC Ð，CP 平分ACB Ð，12PBC ABC \Ð=Ð，12PCB ACB Ð=Ð，180()BPC PBC PCB \Ð=°-Ð+Ð180(=°-11)22ABC ACB Ð+Ð1180()2ABC ACB =°-Ð+Ð1180(180)2BAC =°-°-Ð1902BAC =°+Ð，即2180BAC BPC Ð=Ð-°；如图，连接AO ．Q 点O 是这个三角形三边垂直平分线的交点，OA OB OC \==，OAB OBA \Ð=Ð，OAC OCA Ð=Ð，OBC OCB Ð=Ð，1802AOB OAB \Ð=°-Ð，1802AOC OAC Ð=°-Ð，360()BOC AOB AOC \Ð=°-Ð+Ð360(18021802)OAB OAC =°-°-Ð+°-Ð，22OAB OAC=Ð+Ð2BAC=Ð2(2180)BPC =Ð-°4360BPC =Ð-°，故答案为：4360BOC BPC Ð=Ð-°．【点睛】本题考查了三角形的垂直平分线与角平分线，熟练掌握三角形的垂直平分线与角平分线的性质是解题的关键．三、解答题6．同学们，等边三角形、等腰直角三角形都是最常见的几何图形．（1）如图1，以等边ABC V 的边BC 为腰作等腰直角BCD △，其中90DBC Ð=°，BD BC =，点D 、点A 都是在BC 的同侧，延长BD 、CA 交于点M ，连接AD ，求MAD ∠的度数；（2）如图2，在（1）的条件下，作BN 平分DBC Ð交AC 于点N ，求证：MD CN =；（3）如图3，将图（1）的CBD V 沿着BC 翻折得到1CBD △，连接1AD ，P 为1AD 中点，连接BP 并延长交1CD 于点Q ，请猜测CQ 、BP 、PQ 三条线段之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）45MAD Ð=°；（2）见解析；（3）PQ BP CQ=+【解析】【分析】（1）ABC V 为等边三角形，BDC V 为等腰直角三角形可求；（2）作60EMA Ð=°交AD 延长线于E ，再证明AME BCN V V ≌即可求出CN DM =；（3）在PQ 上截取PG BP =连AG CG 、，得到1AB BD =，知道P 1AD 中点，可得1111,2BP AD ABP PBD ABD ^Ð=Ð=Ð，知道BP AP ^，得到AP 为BG 垂直平分线，再用角之间的关系可以推出PQ BP CQ 、、三者关系．【详解】解：（1）如图，∵ABC V 为等边三角形∴60;ABC BAC ACB AB AC BC Ð=Ð=Ð=°==∵BDC V 为等腰直角三角形∴90DBC Ð=°，BD BC BA==∴30;75DBA DAB BDA Ð=°Ð=Ð=°∴18045MAD DAB BAC Ð=°-Ð-Ð=°（2）如图，作60EMA Ð=°交AD 延长线于E∵90,60MBC ACB Ð=°Ð=°∴30;BMA ABM ACB EMAÐ=Ð=°Ð=Ð∴AB AM BC==∵BN 平分MBCÐ∴45NBC EAM Ð=Ð=°∴()AME BCN ASA V V ≌∴ME CN=603030;304575EMD EDM Ð=°-°=°Ð=°+°=°∵∴75MED MDE Ð=Ð=°∴ME DM=∴CN DM=（3）如图，在PQ 上截取PG BP =连AG CG、∵1,AB BC BD BC==∴1AB BD =∵P 为1AD 中点∴1111,2BP AD ABP PBD ABD ^Ð=Ð=Ð∵160,90,ABP CBD Ð=°Ð=°∴1150ABD Ð=°∴11175,15ABP PBD BAD AD B Ð=Ð=°Ð=Ð=°∵BP AP^∴AP 为BG 垂直平分线∴,75AG AB AC AGB ABG ==Ð=Ð=°∴180105,AGQ AGB AGC ACGÐ=°-Ð=°Ð=Ð∵1105,ACQ ACB BCD Ð=Ð+Ð=°∴AGQ ACQÐ=Ð∴AGQ AGC ACQ ACG Ð-Ð=Ð-Ð,即GCQ CHQ Ð=Ð∴GQ CQ =∴PQ PG QG PB CQ=+=+【点睛】此题考查的是等腰直角三角形的性质、三角形全等的性质和判定、垂直平分线的性质，掌握等腰直角三角形的性质和三角形全等的性质和判定，灵活作辅助线是解题的关键．7．如图，在ABC V 中，42B Ð=°，50C Ð=°，通过尺规作图，得到直线DE 和射线AF ，仔细观察作图痕迹，完成下列问题：(1)直线DE 是线段AB 的________线，射线AF 是EAC Ð的________线；(2)求EAF Ð的度数．【答案】(1)线段垂直平分；角平分(2)23°【解析】【分析】（1）根据作图痕迹判断即可；（2）根据角平分线的性质、线段垂直平分线的性质进行求解即可；(1)解：根据作图痕迹可知，直线DE 是线段AB 的线段垂直平分线；射线AF 是EAC Ð的角平分线；(2)∵DE 垂直平分AB∴AE BE=∴42BAE B Ð=Ð=°∵50C Ð=°∴180180504828BAC B C Ð=°-Ð-Ð=°-°=-°°∴884246EAC BAC BAE Ð=Ð-Ð=°-°=°∵AF 平分EACÐ∴11462322EAF EAC Ð=Ð=´°=°【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键．8．某地有两所大学和两条相交叉的公路，如图所示（点M ，N 表示大学，AO ，BO 表示公路）.现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等.（1）你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案；（2）阐述你设计的理由.【答案】（1）仓库在线段MN 的垂直平分线和∠AOB 的平分线的交点上.（2）角的平分线的性质和线段垂直平分线的性质.【解析】【详解】试题分析：（1） 连接MN ，分别以之为圆心进而画圆求解，做出其垂直平分线DE（2）再以O为圆心，任意长为半径，做角平分线考点：基本作图点评：解答本题的关键是熟练掌握几种基本变换的作图方法，准确找到关键点的对应点.9．如图，两条公路OA与OB相交于点O，在∠AOB的内部有两个小区C与D，现要修建一个市场P，使市场P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两个小区C、D的距离相等．（1）市场P应修建在什么位置？（请用文字加以说明）（2）在图中标出点P的位置（要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出结论）．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）直接利用角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质分析得出答案；（2）直接利用角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法得出答案．【详解】（1）点P应修建在∠AOB的角平分线和线段CD的垂直平分线的交点处；（2）如图所示：点P即为所求．【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质是解题关键．10．有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A，B，如下图．电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，发射塔C 应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置．（保留作图痕迹，不要求写出画法）【答案】答案作图见解析【解析】【分析】根据题意知道，点C应满足两个条件，一是在线段AB的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点C应是它们的交点．【详解】解：连接A,B两点，作AB的垂直平分线，作两直线交角的角平分线，交点有两个．（1）作两条公路夹角的平分线OD或OE；（2）作线段AB的垂直平分线FG；则射线OD，OE与直线FG的交点C1，C2就是所求的位置．考点：作图-应用与设计作图11．如图，七年级（1）班与七年级（2）班的学生分别在M、N两处参加植树劳动，现要设一个茶水供应点，使茶水供应点到两个班的距离相等（不写作法、要求保留作图痕迹）．（1）若茶水供应点P设在道路AB上，请你作出点P；（2）若茶水供应点Q设在道路AB、AC的交叉区域内，并且使点Q到两条道路的距离相等，请你作出点Q．【答案】（1）MN的垂直平分线与AB的交点；（2）∠BAC的平分线与MN的垂直平分线的交点．【解析】【详解】解：(1)线段MN的垂直平分线与AB的交点即为点P，如下图：(2)点Q是∠BAC的平分线与线段MN的垂直平分线的交点，如下图：12．请你先在BC上找一点P，使点P到AB、AC的距离相等，再在射线AP上找一点Q，使QB=QC．【答案】见解析【解析】【分析】利用网格特点作∠BAC 的平分线交BC 于P ，则根据角平分线的性质得点P 到AB 、AC 的距离相等，再利用网格特点过BC 的中点作BC 的垂线交AP 于Q ，则根据线段垂直平分线的性质得QB =QC ．【详解】解：如图，点P 和点Q 为所作．13．如图所示，已知AOB Ð和两点M 、N ，求作一点P ，使得点P 到AOB Ð的两边距离相等且PM PN =.【答案】详见解析【解析】【分析】要使点P 到AOB Ð的两边距离相等，则P 应在AOB Ð的角平分线上，要使PM PN =，则点P 在MN 的垂直平分线上，那么满足题设的点P 就是MN 的垂直平分线与AOB Ð的角平分线的交点.【详解】要使点P 到AOB Ð的两边距离相等，则P 应在AOB Ð的角平分线上，要使PM PN =，则点P 在MN 的垂直平分线上，那么满足题设的点P 就是MN 的垂直平分线与AOB Ð的角平分线的交点，作AOB Ð的角平分线C O ，再作线段MN 的垂直平分线交OC 于点P ，如图所示：【点睛】本题是对角平分线的性质和垂直平分线性质的考查，熟练掌握角平分线的性质和垂直平分线性质是解决本题的关键.14．如图，点M，N分别是∠AOB的边OA，OB上的点，OM＝3，ON＝7，在∠AOB内有一点G，到边OA，OB的距离相等，且满足GM＝GN．（1）尺规作图：画出点G（要求：保留作图痕迹）；（2）试证明：∠OMG+∠ONG＝180°；（3）若P，Q分别是射线OA，OB上的动点，且满足GP＝GQ，则当OP＝4时，OQ的长度为 ．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）4或6【解析】【分析】（1）作OP平分∠AOB，作线段MN的垂直平分线EF，EF交OP于点G，点G即为所求；（2）证明△OGK≌△OGH（AAS），推出OK＝OH，GK＝GH，由GM＝GN，∠GKM＝∠GHN＝90°，推出Rt△GKM≌Rt△GHN（HL），再利用全等三角形的性质，四边形内角和定理解决问题；（3）首先求出OK＝OH＝5，PK＝1，然后分两种情形分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）如图，点G即为所求．（2）证明：作GK⊥OA于K，GH⊥OB于H．∵∠GOK＝∠GOH，∠GKO＝∠GHO＝90°，OG＝OG，∴△OGK≌△OGH（AAS），∴OK＝OH，GK＝GH，∵GM＝GN，∠GKM＝∠GHN＝90°，∴Rt△GKM≌Rt△GHN（HL），∴∠KGM＝∠HGN，∴∠MGN＝∠KGH，∵∠KGH+∠AOB＝180°，∴∠MGN+∠AOB＝180°，∴∠OMG+∠ONG＝180°；（3）如图，∵OK＝OH，MK＝NH，∴OM+ON＝OK﹣KM+OH+HN＝2OK＝10，∴OK＝OH＝5，∵OP＝4，∴PK＝5﹣4＝1，∵GP＝GQ，∴当点Q在线段OH上时，OQ＝OP＝4，当点Q′在OH的延长线上时，OQ′＝5+1＝6，故答案为4或6．【点睛】本题考查作图−复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15．（1）如图1，利用网格线，作出三角形关于直线l的对称图形．（2）如图2，利用网格线：①在BC上找一点P，使点P到AB和AC的距离相等；②在射线AP上找一点Q，使QB=QC．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析.【解析】【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置，再顺次连接即可；（2）①借助网格作出∠CAB的角平分线，则∠CAB的角平分线与BC的交点即为所求；②借助网格作出线段BC的垂直平分线，则线段BC的垂直平分线与射线AP的交点即为所求．【详解】解：（1）如图所示：；（2）①如图所示，点P即为所求；②如图所示，点Q即为所求．【点睛】此题主要考查了作轴对称图形、角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质，正确借助网格作图是解题关键．16．已知直线l及位于其两侧的两点A，B，如图：∠．（1）在图①中的直线l上求一点Q，是直线l平分AQB（2）能否在直线l上找一点，使该点到点A，B的距离之差的绝对值最大？若能，直接在图②作出该点的位置，若不能，请说明理由．【答案】答案详见解析【解析】【详解】分析：（1）作B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l与点Q，连接BQ，由三角形全等的判定定理求出△BDQ≌△B′DQ，再由三角形全等的性质可得出；（2）根据两点之间线段最短，连接AB，线段AB交直线l于点O，则点O为所求.详解：（1）如图，作点A关于直线l的对称点A¢，连接BA¢并延长交直线l于点Q，点Q即为所求．（2）如图：作点B关于直线l的对称点B¢，连结AB¢并延长交直线l于点P，点P即为所求．点睛：此题主要考查了两点之间线段最短、线段的垂直平分线的性质及角平分线的性质，熟知各题的知识点是解题关键.17．如图，方格纸上画有AB 、CD 两条线段，按下列要求作图．（保留作图痕迹）（1）请你在图（1）中画出线段AB 关于CD 所在直线成轴对称的图形．（2）请你在图（2）中添上一条线段，使图中3条线段组成一个轴对称图形，画出所有情形．（3）如图（3），已知AOB Ð和C 、D 两点，求作一点P ，使PC PD =，且P 到AOB Ð两边的距离相等．【答案】见解析【解析】【详解】分析：（1）做BO ⊥CD 于点O ，并延长到B′，使B′O=BO ，连接AB 即可；（2）轴对称图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能完全重合．（3）作出∠AOB 的平分线；作出CD 的中垂线；找到交点P 即为所求．详解：（1）（2）如图所示：（3）如图所示：作CD 的中垂线和ADB Ð的平分线，两线交点即为点P ．点睛：1）（2）两个小题考查对称轴作图，掌握画图的方法和图形的特点是解题的关键；（3）本题考查了角平分线的作法以及垂直平分线的作法，解答此题要明确两点：（1）角平分线上的点到角的两边的距离相等；（2）中垂线上的点到两个端点的距离相等．18．（1）作图题：某学校正在进行校园环境的改造工程设计，准备在校内一块四边形花坛内栽上一棵黄桷树．如图，要求黄桷树的位置点P到边AB、BC的距离相等，并且点P到点A、D的距离也相等．请用尺规作图作出栽种黄桷树的位置点P（不写作法，保留作图痕迹）．（2）用如图（1）所示的瓷砖拼成一个正方形，使拼成的图案成轴对称图形，请你在图（2）、图（3）、图（4）中各画出一种拼法．（要求三种拼法各不相同，所画图案中的阴影部分用斜线表示）【答案】（1）图形见解析（2）图形见解析【解析】【详解】试题分析：（1）到边AB、BC的距离相等的点在∠ABC的平分线上，到点A、D的距离相等的点在线段AD 的垂直平分线上，点P即角平分线和垂直平分线的交点.（2）根据轴对称图形的法则去画即可，有多种图形．试题解析：（1）作出∠ABC的角平分线，作出线段AD的中垂线，交点即为点P.（2）所作图形如下所示：。
角平分线、垂直平分线(含答案)
5.角平分线、垂直平分线知识考点：了解角平分线、垂直平分线的有关性质和定理，并能解决一些实际问题。
精典例题：【例题】如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝300，AB 的垂直平分线EF 交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：CF ＝2BF 。
分析一：要证明CF ＝2BF ，由于BF 与CF 没有直接联系，联想题设中EF 是中垂线，根据其性质可连结AF ，则BF ＝AF 。
问题转化为证CF ＝2AF ，又∠B ＝∠C ＝300，这就等价于要证∠CAF ＝900，则根据含300角的直角三角形的性质可得CF ＝2AF ＝2BF 。
分析二：要证明CF ＝2BF ，联想∠B ＝300，EF 是AB 的中垂线，可过点A 作AG ∥EF 交FC 于G 后，得到含300角的Rt △ABG ，且EF 是Rt △ABG 的中位线，因此BG ＝2BF ＝2AG ，再设法证明AG ＝GC ，即有BF ＝FG ＝GC 。
例题图1F EC B A例题图2 G F ECB A分析三：由等腰三角形联想到“三线合一”的性质，作AD ⊥BC 于D ，则BD ＝CD ，考虑到∠B ＝300，不妨设EF ＝1，再用勾股定理计算便可得证。
以上三种分析的证明略。
例题图3D F ECB A问题图321ED CB A探索与创新：【问题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题： 三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。
如图，△ABC 中，AD 是角平分线。
求证：ACABDC BD =。
分析：要证ACABDC BD =，一般只要证BD 、DC 与AB 、AC 或BD 、AB 与DC 、AC 所在三角形相似，现在B 、D 、C 在同一条直线上，△ABD 与△ADC 不相似，需要考虑用别的方法换比。
我们注意到在比例式ACABDC BD =中，AC 恰好是BD 、DC 、AB 的第四比例项，所以考虑过C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于E ，从而得到BD 、CD 、AB 的第四比例项AE ，这样，证明ACABDC BD =就可以转化为证AE ＝AC 。
垂直平分线与角平分线(讲义及答案).
3 垂直平分线与角平分线（讲义）知识点睛垂直平分线相关定理：① 线段垂直平分线上的点到这条线段 ____________________ ; ② 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平 分线上.角平分线相关定理：① 角平分线上的点到这个角的 _____________________ ; ② 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平 分线上•精讲精练如图，在△ABC 中，AB=AC, DE 垂直平分AB,交AC 于点 E,垂足为点D.若BE+CE=n. BC=8,则△ABC 的周氏为第2题图 ZC=90% ZA=30。
，DE 是线段 AB 的垂直平分线，交AB 于点、D,交AC 于点£.若DE" 则线段AC 的长为 _________ ・ 如图，在HABC 中，DE, GF 分别是AG BC 的垂直平分线,AD=8, BG=IO ・若AD 丄CD,则DG 的长为____________ •2. 第I 题图 如图，在RtAABC3如图，AD U BC 相交于点 0, OA=OC. ZA=ZC,BE=DE ・求证；OE 垂直平分BD ・如图，BD 平分ZABC. DE 丄4B 于点E, AB=8, BC=6・S AABC - 14,则 DE= ___________ .第6题图 如图，PC 丄04于点C, PD 丄OB 于点、D,且PC 二PD, 在射线OA 上，若ZAOB=60。
，ZOP 民80。
，则ZAEP 的度数 为 •如图，在△ABC 中，ZABC 的平分线与ZACB 的平分线相交 于点O, OD 丄AB, OE 丄AC.垂足分别为点D, E.求证：OD=OE ・点£C第5题图8 已知―如图，AABC的外角ZCBD和ZBCE的平分线相交于点F,求证：点F在ZDAE的平分线上-9 如图，直线y=x+4 -tj X轴、y轴分别交于点A, B,点C在x 轴正半轴上，且OC=OB,点D位于牙轴上点C的右侧，连接BC,ZBAO和ZBCD的平分线AP, CP相交于点P,连接肿, 则ZPBC的度数为__________________ -如图，在RtAABC 中，ZC=90%在AC 和上分别截取AE. AD.使AE=AD.再分别以点D, E 为圆心，大记 DE2的长为半径作弧，两弧在ZBAC 内交于点F,作射线AF 交边 BC 于点 G 若 CG=4. AB=IQ.如图，在△A3C 中，ZB=35。
垂直平分线与角平分线(习题及答案).
垂直平分线与角平分线（习题）➢复习巩固1.到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条中线的交点B．三条高的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条角平分线的交点2.如图，在△ABC 中，AF 平分∠BAC，AC 的垂直平分线交BC于点E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C 的度数为．第2 题图第3 题图3.如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于点E，若S△ABC=6，AB=4，AC=3，则线段DE 的长为．4.如图，P 是∠AOB 平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D，连接CD．求证：OP 是CD 的垂直平分线．5.如图，点P 为锐角∠ABC 内一点，点M 在边BA 上，点N 在边BC 上，且PM=PN，∠BMP+∠BNP=180°．求证：BP 平分∠ABC．16.如图，点D 在边AC 上，∠ABD+∠ABC =180°，CE 平分∠ACB 交AB 于点E，连接DE．求证：DE 平分∠ADB．7.如图，在△ABC 中，AB=AC，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：①作∠BAC 的平分线AM 交BC 于点D；②作边AB 的垂直平分线EF，EF 与AM 相交于点P；③连接PB，PC．若∠ABC=70°，则∠BPC 的度数为．8.如图，已知△ABC（AC＜BC），求作：（不写作法，保留作图痕迹）（1）BC 边上的高；（2）在BC 上确定一点P，使PA+PC=BC．9.如图，已知线段a，利用尺规求作以a 为底、以2a 为高的等腰三角形．（不写作法，保留作图痕迹）10.如图，有三幢公寓楼分别建在点A，点B，点C 处，AB，AC，BC 是连接三幢公寓楼的三条道路，要修建一超市P，按照设计要求，超市要在△ABC 的内部，且到A，C 的距离必须相等，到两条道路AC，AB 的距离也必须相等，请利用尺规作图确定超市P 的位置．（不写作法，保留作图痕迹）【参考答案】➢复习巩固1. D2. 24°3. 12 74.证明略；提示：先证Rt△POC≌Rt△POD（HL），得到OC=OD，由“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”求证5.证明略；提示：过点P 分别作PD⊥AB 于D，PE⊥BC 于E，先证△PMD≌△PNE（AAS），得到PD=PE，再由“在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”求证6.证明略；提示：过点E 分别作EF⊥AC 于F，EH⊥BD 于H，EG⊥BC 于G，证EF=EG=EH，求证7. 80°8.作图略提示：（1）过直线外一点作已知直线的垂线；（2）作线段AB 的垂直平分线9.作图略10.作图略提示：作线段AC 的垂直平分线和∠CAB 的角平分线；。
角平分线和中垂线
角平分线和中垂线类型1：角平分线【例题1】如图，∠BAC＝30°，AP平分∠BAC，GF垂直平分AP，交AC于F，Q为射线AB上一动点，若PQ的最小值为3，则AF的长为__________．【答案】6．（提示：）【例题2】如图，已知点E为矩形ABCD的边CB延长线上一点，且D到直线AE的距离DF＝DC，下列结论：①∠AEB＝∠EDC；②AE＝BC，③AF＝AB；④若BC，则点F在线段BC的垂直平分线上，其中正确的结论有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B．（提示：②④正确．∵DF＝DC，DF⊥EF，DC⊥BC，∴∠1＝∠2，∵AD∥BC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2＝∠3，∴AE＝AD＝BC，∴②正确；设DC＝1，BCFD＝1，ADRt△F AD中，AF＝1，∴AF＝FD，∴点F在线段BC的垂直平分线上，∴④正确）【例题3】如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D，∠MDN的两边分别与AB、AC相交于M、N两点，且∠MDN＋∠BAC＝180°．若AD＝6，∠BAC＝60°，则四边形AMDN的面积为_________．【答案】（提示：作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE＝DF，又∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴∠AED＝∠AFD＝90°，又∵AD＝AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴AE＝AF；∵∠MDN＋∠BAC＝180°，∴∠AMD＋∠AND＝180°，又∵∠DNF＋∠AND＝180°∴∠EMD＝∠FND，又∵∠DEM＝∠DFN，DE＝DF，∴△DEM≌△DFN，∴S△DEM＝S△DFN，∴S四边形AMDN＝S四边形AEDF，∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，∴∠DAF＝30°，∴Rt△ADF中，DF＝3，AF＝，∴S△ADF＝12AF×DF＝12×3，∴S四边形AMDN＝S四边形A EDF＝2×S△ADF＝ABCGFPQQPGABCF MABCDEF32FEDCBA1AB CDNM MNFEDCBA【例题4】如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD是∠BAC的平分线，AC＝√6，若点P是AD上一动点，且作PN⊥AC于点N，则PN＋PC的最小值是__________．（提示：过点P作PE⊥AB于点E，当C、P、E三点共线时，PE＋PC＝CE最小）【例题5】如图，在△ABC中，AC＝BC，点D在AB上，AD＝AC，且∠BCD＝12∠A，若△BCD的面积是20，则CD的长为____________．【答案】．（提示：如图，作AH⊥CD于H，BM⊥CD交CD的延长线于M．∵AC＝AD，AH⊥CD，∴∠CAH＝∠DAH，CH＝DH，∵∠CAH＋∠ACH＝90°，∠BCD＝12∠CAD＝∠CAH，∴∠BCD＋∠ACH＝90°，∴∠ACB＝90°，∵∠AHC＝∠M＝90°，∴∠ACH＋∠BCM＝90°，∠BCM＋∠CBM＝90°，∴∠ACH＝∠CBM，∵AC＝BC，∴△AHC≌△CMB（AAS），∴CH＝BM，∴CH＝DH＝BM，设BM＝CH＝DH＝m，∵S△BCD＝12CD·BM，∴12·2m·m＝20，∴m＝，∴CD＝2m＝4）【例题6】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，点D是BC边上的点，CDACD 沿直线AD折叠，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是_________．【答案】3PNDCBA ABCDEFNPDCBAA BCDMHEDC BAP【例题7】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，点D，E，F分别是线段AC，AB，DC的中点，下列结论：①△EFB为等边三角形；②S四边形DFBE＝12S△ACB；③AE；④AC＝8DG；其中正确的是_____________．【答案】①②③④．（提示：根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，结合等边三角形的判定定理，即可判断①；根据三角形的中线等分三角形的面积，即可判断②；先推出BF＝AE，结合含30°角的直角三角形的性质，即可判断③；根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可判断④）【例题8】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，分别过点A 作AE∥BC，过点B作BE∥AD，AE与BE相交于点E．若CD＝2，则四边形ADBE的面积是_____________．【答案】＋8．（提示：如图，过D作DF⊥AB于F，∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，∴DF＝CD＝2．∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°，∴△BDF是等腰直角三角形，∴BF＝DF＝2，BD＝BC＝CD＋BD＝2＋AC＝BC＝2＋AE∥BC，BE∥AD，∴四边形ADBE是平行四边形，∴AE＝BD＝ADBE的面积＝BD•AC＝2＋2）＝8）【例题9】如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AD的垂直平分线交AB于点F，则△DEF的面积为____________．【答案】6－（提示：∵AD是△ABC的角平分线，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠CAD＝∠EAD，DE＝CD，AE＝AC＝2，∵AD的垂直平分线交AB于点E，∴AF＝DF，∴∠ADF＝∠EAD，∴∠ADF ＝∠CAD，∴AC∥DE，∴∠BDE＝∠C＝90°，∴△BDF、△BED是等腰直角三角形，设DE＝x，则EF ＝BE＝x，BD＝DF＝2－x，在Rt△BED中，DE2＋BE2＝BD2，∴x2＋x2＝（2－x）2，解得x1＝－2－2（负值舍去），x2＝－2＋，∴△DEF的面积为（－2＋2＋）÷2＝6－A BCDEFGABCDEFEDC BAFEDC BA【例题10】如图所示，△ABC 的两条外角平分线AP 、CP 相交于点P ，PH ⊥AC 于H ．若∠ABC ＝60°，则下面的结论：①∠ABP ＝30°；②∠APC ＝60°；③PB ＝2PH ；④∠APH ＝∠BPC ，其中正确结论的个数是（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】D ．（提示：如图，作PM ⊥BC 于M ，PN ⊥BA 于N ．∵∠PAH ＝∠PAN ，PN ⊥AD ，PH ⊥AC ，∴PN ＝PH ，同理PM ＝PH ，∴PN ＝PM ，∴PB 平分∠ABC ，∴∠ABP ＝12∠ABC ＝30°，故①正确，∵在Rt △PAH 和Rt △PAN 中，PA ＝PA ，PN ＝PH ，∴△PAN ≌△PAH ，同理可证，△PCM ≌△PCH ，∴∠APN ＝∠APH ，∠CPM ＝∠CPH ，∵∠MPN ＝180°－∠ABC ＝120°，∴∠APC ＝12∠MPN ＝60°，故②正确，在Rt △PBN 中，∵∠PBN ＝30°，∴PB ＝2PN ＝2PH ，故③正确，∵∠BPN ＝∠CPA ＝60°，∴∠CPB ＝∠APN ＝∠APH ，故④正确）【例题11】如图，BH 是△ABC 的角平分线，BA ＝BC ＝10，AC ＝12，P ，D 分别是BH 和AB 上的任意一点，连接PA ，PC ，PD ，CD ．给出下列结论：①PA ＝PC ；②PA ＋PD ≥CD ；③PA ＋PD 的最小值是485；④若PA 平分∠BAC ，则△APH 的面积为12．其中正确的是（ ）．A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④ 【答案】A ．（提示：∵BA ＝BC ，BH 是角平分线，∴BH ⊥AC ，AH ＝CH ，∴PA ＝PC ，故①正确；∴PA ＋PD ＝PD ＋PC ≥CD ，故②正确；根据垂线段最短可知，当CD ⊥AB 时，C ，P ，D 共线时，PA ＋PD 的值最小，最小值为CD ，在Rt △ABH 中，AB ＝10，AH ＝6，BH ＝8，由等积法可知CD ＝4.8，∴PA ＋PD 的最小值为4.8，故③正确；如图，过点P 作PT ⊥AB 于T ．在△PAT 和△PAH 中，∠PTA ＝∠PHA ＝90°，∠PAT ＝∠PAH ，PA ＝PA ，∴△PAT ≌△PAH （AAS ），∴AT ＝AH ＝6，PT ＝PH ，设PT ＝PH ＝x ，在Rt △PTB 中，则有（8－x ）2＝x 2＋42，∴x ＝3，∴S △APH ＝＝9，故④错误）类型2：垂直平分线【例题12】如图，△ABC 的面积为9cm 2，AP 垂直∠ABC 的平分线BP 于P ，则△PBC 的面积为__________．PH A BCD EEDCBA H MP NHA BCDPPDCBAHT【答案】4.5cm 2．（提示：延长AP 交BC 于点D ，∵BP 平分∠ABC ，AP ⊥BP ，∴AP ＝PD ，∴S △ABP ＝S △DBP ，S △APC ＝S △DPC ，∴S △BPC ＝9÷2＝4.5cm 2）【例题13】如图，已知在△ABC 中，BC ＝6，AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于点M 、N ，若MN ＝2，则△AMN 的周长是__________．【答案】10．（提示：依题意AN ＝CN ，AM ＝BM ，∴AM ＋AN ＝BC ＋MN ＝6＋2＝8，△AMN 的周长＝8＋2＝10）【例题14】如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，AD 的垂直平分线交AB 于点E ，交AC 于点G ，交BC 的延长线于点F ，连接AF 、DE ，下列结论：①△AEF ≌△DEF ；②CF ＝AF －CD ；③DE ∥AC ；④△AEG 为等边三角形，其中正确的结论有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C ．（提示：①②③正确．∵EF 垂直平分AD ，∴△AEF ≌△DEF （SSS ），∴①正确；∵△AEF ≌△DEF ，∴∠1＝∠3，又∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴DE ∥AC ，∴③正确；∵EF 垂直平分AD ，∴AF ＝DF ，∴CF ＝AF －CD ，∴②正确）类型3：解答题【例题15】如图，△ABC 中，点D 在边BC 的延长线上，∠ACB ＝100°，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，过点E 作EH ⊥BD ，且∠CEH ＝50°． （1）求∠ACE 的度数；（2）求证：AE 平分∠CAE ；（3）若AC ＋CD ＝14，AB ＝8.5，且S △ACD ＝21，求△ABE 的面积．【答案】（1）∠ACE ＝40°；（2）略；（3）S △ABE ＝514． （提示：（3）S △ACD ＝S △ACE ＋S △CED ）A BCD EMN ABCDEFG321A BCDEFGHFED C BAABC DE FH。
线段的垂直平分线、角平分线经典习题及答案#精选、
3.线段的垂直平分线4.角平分线例1：（1）在△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线交AB 于N ，交BC 的延长线于M ，∠A ＝040，求∠NMB 的大小（2）如果将（1）中∠A 的度数改为070，其余条件不变，再求∠NMB 的大小（3）你发现有什么样的规律性？试证明之.（4）将（1）中的∠A 改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改例2：在△ABC 中，AB 的中垂线DE 交AC 于F ，垂足为D ，若AC=6，BC=4，求△BCF 的周长。
例3：如图所示，AC=AD ，BC=BD ，AB 与CD 相交于点E 。
求证：直线AB 是线段CD 的垂直平分线。
AC DEBA B C NM AB C N M AB CN M例4：如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=1200，D、F分别为AB、AC的中点，，，E、G在BC上，BC=15cm，求EG的长度。
⊥⊥DE AB FG ACAB E G C例5:：如图所示，Rt△ABC中，，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F。
求证：BE垂直平分CD。
CEFA D B例6:：在⊿ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作直线M N∥BC，与F，求证：OE=OF例7、如图所示，AB>AC，∠A的平分线与BC的垂直平分线相交于D，自D作DE AB⊥于，求证：BE=CF。
E，DF AC FAEB M CFD答案如下：例1：解：（1）∵∠B= 1/2（180°-∠A）=70°，∴∠M=20°；（2）同理得，∠M=35°；（3）规律是：∠M的大小为∠A大小的一半，即：AB的垂直平分线与底边BC 所夹的锐角等于∠A的一半．证明：设∠A=α，则有∠B= 1/2（180°-α），∠M=90°- 1/2（180°-α）= 1/2α．（4）改为钝角后规律成立．上述规律为：等腰三角形一腰的垂直平分线与底边相交所成的锐角等于顶角的一半．例2：解：连接BF，由线段的垂直平分线的性质可得，FB＝FA又因为AC＝AF+CF ＝6，所以BF+CF＝6△BCF的周长＝BC+CF+BF＝4+6＝10例3：证明：因为AC=AD所以A在线段CD的垂直平分线上又因为BC=BD所以B在线段CD的垂直平分线上所以直线AB是线段CD的垂直平分线例4：解：作AH⊥BC于H，HC=15/2∵等腰∴∠ACB=∠ABC=30°∴AC=2EC/根号3EC=5根号3∵F为AC中点∴FC=5/2根号3∵FG⊥AC∴CG=5同理，BE=5∴EG=5例5：证明：∵DE⊥AB，∠ACB＝90∴∠BDE＝∠ACB＝90∵BD＝BC，BE＝BE∴△BCE≌△BDE （HL）∴∠CBE＝∠DBE∵BF＝BF∴△BCF≌△BDF （SAS）∴∠BFC＝∠BFD，CF＝DF∵∠BFC+∠BFD＝180∴∠BFC＝∠BFD＝90∴BE⊥CD∴BE垂直平分CD例6：解：∵MN∥BC，∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠GCF，又已知CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，∴∠OCE=∠BCE，∠OCF═∠GCF，∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，∴EO=CO，FO=CO，∴EO=FO．例7：证明：连接DC，DB∵点D在BC的垂直平分线上∴DB=DC∵D在∠BAC的平分线上∴DE=DF∵∠DFC=∠DEB∴△DCF≌△DEB∴CF=BE最新文件仅供参考已改成word文本。
中考数学复习----《角的平分线与线段的垂直平分线》知识点总结与专项练习题(含答案解析)
中考数学复习----《角的平分线与线段的垂直平分线》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.角平分线的定义：角的内部把角平均分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。
2.角平分线的性质：①平分角。
②角平分线上任意一点到角两边的距离相等。
3.角平分线的判定：角的内部到角两边相等的点一定在角平分线上。
4.角平分线的尺规作图：具体步骤：①以角的顶点O为圆心，一定长度为半径画圆弧，圆弧与角的两边分别交于两点M、N。
如图①。
②分别以点M与点N为圆心，大于MN长度的一半为半径画圆弧，两圆弧交于点P。
如图②。
③连接OP，OP即为角的平分线。
5.线段的垂直平分线的定义：过线段的中点且与线段垂直的直线是这条线段的垂直平分线。
6.垂直平分线的性质：①垂直且平分线段。
②垂直平分线上任意一点到这条线段两个端点的距离相等。
7.垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上。
8.垂直平分线的吃规作图：具体步骤：①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、N。
如图①②连接MN，过MN的直线即为线段的垂直平分线。
如图②练习题1、（2022•鄂尔多斯）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（）A．2 B．2C．4 D．4+2【分析】过点E作EH⊥OA于点H，根据角平分线的性质可得EH＝EC，再根据平行线的性质可得∠ADE的度数，再根据含30°角的直角三角形的性质可得DE的长度，再证明OD＝DE，即可求出OD的长．【解答】解：过点E作EH⊥OA于点H，如图所示：∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，∴EH＝EC，∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，∵DE∥OB，∴∠ADE＝30°，∴DE＝2HE＝2EC，∵EC＝2，∴DE＝4，∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，∴∠DEO＝15°，∴∠AOE＝∠DEO，∴OD＝DE＝4，故选：C．2、（2022•北京）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S △ACD＝．【分析】过D点作DH⊥AC于H，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DH＝1，然后根据三角形面积公式计算．【解答】解：过D点作DH⊥AC于H，如图，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DH⊥AC，∴DE＝DH＝1，∴S△ACD＝×2×1＝1．故答案为：1．3、（2022•黑龙江）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝．【分析】过点D作DE⊥AB于E，利用勾股定理列式求出AB，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，然后根据△ABC的面积列式计算即可得解．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∵AD平分∠CAB，∴CD＝DE，∴S△ABC＝AC•CD+AB•DE＝AC•BC，即×6•CD+×10•CD＝×6×8，解得CD＝3．故答案为：3．4、（2022•宜昌）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为（）A．25 B．22 C．19 D．18【分析】根据题意可知MN垂直平分BC，即可得到DB＝DC，然后即可得到AB+BD+AD ＝AB+DC+AD＝AB+AC，从而可以求得△ABD的周长．【解答】解：由题意可得，MN垂直平分BC，∴DB＝DC，∵△ABD的周长是AB+BD+AD，∴AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC，∵AB＝7，AC＝12，∴AB+AC＝19，∴△ABD的周长是19，故选：C．5、（2022•湖北）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：①四边形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC•EF＝CF•CD；④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根据题意分别证明各个结论来判断即可．【解答】解：根据题意知，EF垂直平分AC，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴AE＝AF＝CF＝CE，即四边形AECF是菱形，故①结论正确；∵∠AFB＝∠FAO+∠ACB，AF＝FC，∴∠FAO＝∠ACB，∴∠AFB＝2∠ACB，故②结论正确；∵S四边形AECF＝CF•CD＝AC•OE×2＝AC•EF，故③结论不正确；若AF平分∠BAC，则∠BAF＝∠FAC＝∠CAD＝90°＝30°，∴AF＝2BF，∵CF＝AF，∴CF＝2BF，故④结论正确；故选：B．33．（2022•鄂尔多斯）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线DE交AB于点D，连接DC，若AB＝3.7，AC＝2.3，则△ADC的周长是．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得BD＝CD，进一步即可求出△ADC的周长．【解答】解：∵边BC的垂直平分线DE交AB于点D，∴BD＝CD，∵AB＝3.7，AC＝2.3，∴△ADC的周长为AD+CD+AC＝AB+AC＝6，故答案为：6．34．（2022•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC 于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE＝EC，从而可得∠EAC＝∠C，然后利用三角形内角和定理可得∠EAC+∠C＝80°，进行计算即可解答．【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠C，∵∠ABC＝90°，∠BAE＝10°，∴∠EAC+∠C＝180°﹣∠BAE﹣∠ABC＝80°，∴∠EAC＝∠C＝40°，故答案为：40°．。
专题05 角平分线与垂直平分线(知识点串讲)(解析版)
专题05 角平分线与垂直平分线知识网络重难突破一、角平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.注意：三角形的三条角平分线交于一点，到三边的距离相等.典例1．（2021·广东八年级期中）如图，点P是ABC内一点，PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB，且PD PE PF==，则点P是（）A．ABC三边垂直平分线的交点B．ABC三条角平分线的交点C．ABC三条高所在直线的交点D．ABC三条中线的交点【答案】B【分析】连接PA、PB、PC，根据角平分线的性质可知：角平分线上的点到角两边的距离相等，进而即可得到答案．【解析】解：连接PA、PB、PC．∵PD ＝PF ，∴PB 是∠ABC 的角平分线，同理PA 、PC 分别是∠BAC ，∠ACB 的角平分线，故P 是△ABC 角平分线交点，故选：B ．【点睛】本题考查了角平分线的判定定理，能熟记角平分线判定定理是解此题的关键，注意：在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上；角平分线上的点到角两边的距离相等．典例2．（2021·重庆江北区·巴川中学校七年级期末）如图，在△ABC 中，AC ＝5，AB ＝7，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AC ，DE ＝2，则△ABC 的面积为（ ）A ．14B ．12C ．10D ．7【答案】B 【分析】过点D 作DF ⊥AB 于点F ，利用角平分线的性质得出2DE DF ==，将ABC 的面积表示为,ABD ADC 面积之和，分别以AB 为底，DF 为高，AC 为底，DE 为高，计算面积即可求得．【解析】过点D 作DF ⊥AB 于点F ，∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，∴2DF DE ==,∴ABC ABD ACD S S S =+ 1122AB DF AC DE =+ 11725222=⨯⨯+⨯⨯ 7512=+=,故选：B ．【点睛】本题考查角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，熟记性质作出辅助线是解题关键．二. 角平分线的判定角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，通常连接角的顶点和该点就能得到角平分线.典例1.如图，ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D ，连接AD ．求证：AD 是BAC ∠的外角平分线．【答案】见解析．【分析】作DE BA ⊥交BA 的延长线于E ，DF AC ⊥于F ，DG BH ⊥于G ，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到DE DG =，DF DG =，继而根据角平分线的判定解题．【解析】证明：作DE BA ⊥交BA 的延长线于E ，DF AC ⊥于F ，DG BH ⊥于G ，DB 平分ABC ∠、DC 平分ACH ∠,DE DG ∴=，DF DG =，DE DF ∴=，又DE BA ⊥，DF AC ⊥，AD ∴是BAC ∠的外角平分线．【点睛】本题考查角平分线的判定与性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．三、角平分线的尺规作图角平分线的作法：①以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点C, 交OB 于点D ；②分别以C ，D 为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部交于点E ；③画射线OE ，射线OE 即为∠AOB 的平分线.注意：（2）中画弧时，半径一定要大于的长，否则两弧没有交点.典例1．（2021·宁夏石嘴山市·八年级期末）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若15AB =，ABD ∆的面积是30，则CD 的长为__________【答案】4【分析】过点D 作AB 的垂线交AB 于点E ，根据角平分线的性质可得CD DH =，再根据三角形的面积即可求出DH ，从而求出结论．【解析】解：如图，过点D 作AB 的垂线交AB 于点E ，由题意可得：AD 平分BAC ∠，∵DH AB ⊥，90C ∠=︒∴CD DH =，∵15AB =，ABD △的面积为30， ∴1302AB DH ⨯⨯=，即115302DH ⨯⨯=， ∴4DH =，∴4CD =，故答案为：4．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．典例2．（2021·山东青岛市·八年级期末）已知：如图，∠ABC 及边BC 上一点D ．求作：点P ，使点P 在∠ABC 内部，点P 到∠ABC 两边的距离相等，且P 到D 点的距离最短.【答案】见解析【分析】利用基本作图，先作∠ABC 的平分线，再过D 点作角平分线的垂线得到P 点．【解析】解：如图，点P 为所作．【点睛】本题考查了作图-基本作图，熟练掌握基本作图（作已知角的角平分线；过一点作直线的垂线）是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和垂线段最短．四. 垂直平分线的性质1. 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．2. 性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.3. 三角形的三边的垂直平分线交于一点，该点到三个定点的距离相等典例1．（2021·四川八年级期末）如图，有A、B、C三个居民点，现要选址建一个新冠疫苗接种点方便居民接种疫苗，要求接种点到三个居民点的距离相等，接种点应建在（）A．ABC的三条中线的交点处B．ABC三边的垂直平分线的交点处C．ABC三条角平分线的交点处D．ABC三条高所在直线的交点处【答案】B【分析】根据垂直平分线的性质判断即可．【解析】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．则接种点应建在△ABC三条边的垂直平分线的交点处．故选：B．【点睛】本题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；此题是一道实际应用题，做题时，可分别考虑，先满足到两个居民点的距离相等，再满足到另两个居民点的距离相等，交点即可得到．典例2．（2021·浙江八年级期末）如图，在ABC 中，,AB AC m AB ==的垂直平分线交AC 于G ，BC n =，则的BGC 周长是（ ）A ．2mB ．m n +C ．m n -D ．2n【答案】B 【分析】根据垂直平分线的性质得AG =BG ，AD =BD ，则利用等线段代换得到△BGC 的周长．【解析】解：∵DG 垂直平分AB ，∴AG =BG ，AD =BD ，∴△BGC 的周长=BG +CG +BC =AG +CG +BC =AC +BC =m +n ，故选B ．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．五. 垂直平分线的判定垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，通常要找到这样的两个点，根据“两点确定一条直线”来判定这条直线是已知直线的垂直平分线。
角平分线与垂直平分线的性质
角平分线与垂直平分线的性质一、角平分线1.定义：从一个角的顶点出发，把这个角平分成两个相等的小角的一条射线，称为这个角的角平分线。
（1）一个角只有一条角平分线；（2）角平分线上的任意一点，到这个角的两边的距离相等；（3）角的角平分线与这个角的两边构成等腰三角形；（4）角的角平分线与这个角的对边平行。
二、线段的垂直平分线1.定义：在线段的中点垂直于线段的一条直线，称为线段的垂直平分线。
（1）线段的垂直平分线唯一；（2）线段的垂直平分线垂直于线段；（3）线段的垂直平分线将线段平分成两个相等的部分；（4）线段的垂直平分线上的任意一点，到线段的两个端点的距离相等。
三、角平分线与垂直平分线的联系1.圆的角平分线和垂直平分线都是圆的半径；2.圆的直径的垂直平分线也是圆的角平分线；3.线段的垂直平分线是线段的角平分线的垂直平分线。
4.求角的度数：利用角的角平分线和已知角的度数，可以求解未知角的度数；5.证明线段相等：利用线段的垂直平分线，可以证明线段相等；6.证明三角形全等：利用三角形的角平分线和垂直平分线，可以证明三角形全等；7.求解几何图形的面积：利用角平分线和垂直平分线的性质，可以求解几何图形的面积。
以上是关于角平分线与垂直平分线的性质的详细介绍，希望对您有所帮助。
习题及方法：1.习题：求证：在一个等腰三角形中，底角的角平分线与顶角的角平分线相等。
（1）画出等腰三角形ABC，其中AB=AC，BC为底边；（2）分别画出底角B和顶角A的角平分线，交于点D；（3）连接BD和AD；（4）利用等腰三角形的性质，得到∠ABC=∠ACB；（5）利用角平分线的性质，得到∠ABD=∠CBD和∠ADB=∠ADC；（6）根据∠ABC=∠ACB和∠ABD=∠CBD，得到∠ADB=∠ADC；（7）因此，底角的角平分线与顶角的角平分线相等。
2.习题：求证：一个三角形的角平分线与这个三角形的外接圆相切。
（1）画出三角形ABC；（2）画出三角形ABC的外接圆，圆心为O；（3）分别画出三角形ABC的三个角的角平分线，交于点D、E、F；（4）连接OD、OE、OF；（5）利用角平分线的性质，得到OD=OE=OF；（6）利用圆的性质，得到OD垂直于AC，OE垂直于AB，OF垂直于BC；（7）因此，三角形的角平分线与这个三角形的外接圆相切。
线段的垂直平分线、角平分线经典习题及答案
线段的垂直平分线、角平分线经典习题及答案由于A、B都在CD的垂直平分线上，所以直线AB是CD的垂直平分线。
证毕。
例4：解：连接EF，由于AB=AC，所以∠BAC=60°，∴∠DEG=30°，∠GFC=60°，又因为DE⊥AB，FG⊥AC，所以DEGF是一个菱形，且DG=GF=7.5cm，所以EG=2DGsin30°=7.5cm。
例5：证明：因为BD=BC，所以∠XXX∠CBD，又因为BE⊥CD，CF⊥BD，所以∠BEC=∠BCF，所以BE平分∠XXX，CF平分∠CBD，又因为∠XXX∠CBD，所以BE和CF都平分∠BCD，即BE垂直平分CD。
证毕。
例6：证明：连接OF，OE，MN，∵MN∥BC，∴∠EOF=∠ACB，又∠XXX∠EOM+∠MOF，∠XXX∠EOM+∠EOF，∴∠MOF=∠ACB-∠EOF，又因为EF是AC的角平分线，∴∠XXX∠EAF，又因为EF是AC的外角平分线，∴∠XXX∠XXX，∴∠MOF=∠ACB-∠XXX，又因为OE⊥AC，OF⊥AC，所以OE=OF，证毕。
例7：证明：连接AD，因为AD是∠A的平分线，所以∠EAD=∠FAD，又因为BD=BC，所以∠XXX∠DCB，又因为AD⊥DE，所以∠EDB=90°-∠XXX，又因为DF⊥CF，所以∠XXX°-∠DCB，所以∠EDB=∠XXX，又因为∠EAD=∠FAD，所以三角形ADE与三角形ADF全等，所以DE=DF，又因为BE⊥DE，CF⊥DF，所以BE=DEsin∠EDB=DFsin∠FDC=CF，证毕。
例4：根据题意，作AH垂直BC于点H，可以得到HC 的长度为15/2.由于△ABC是等腰三角形，所以∠ACB=∠ABC=30°。
根据正弦定理，可以求得AC的长度为5√3.由于F是AC的中点，所以FC的长度为5/2√3.根据勾股定理，可以得到CG和BE的长度都为5.因此，EG的长度也为5.例5：由于DE垂直于AB，而∠ACB=90°，所以∠BDE=∠ACB=90°。
垂直平分线与角平分线综合 练习题(带答案))
垂直平分线与角平分线综合 题集一、垂直平分线（1）（2）1.如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且．若，求的度数．若周长，，求长．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）∵垂直平分，垂直平分，∴，∴，∵，∴，∴．∵周长，，∴，即，∴．【标注】【知识点】作三角形的高，中线和角平分线（1）（2）2.的两边和的垂直平分线分别交于点、．若，求的周长．若，求．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）∵边、的垂直平分线分别交于、，∴，，∴的周长．∵的两边，的垂直平分线分别交于，，∴，，∴，．∵，①∴．∵，∴，即．②由①②组成的方程组．解得，故答案为：．【标注】【知识点】三角形的周长与面积问题3.在中，，，的垂直平分线交于，的垂直平分线交于．求证：．【答案】证明见解析．【解析】连接、，∵，，∴，∵的垂直平分线交于，的垂直平分线交于，∴，，∴，，，∵，∴，∴是等边三角形，∴，∴．【标注】【知识点】等边三角形的构造4.已知中，是的平分线，的垂直平分线交的延长线于．求证：．【答案】证明见解析．【解析】∵是的平分线，∴，∵是的垂直平分线，∴，，∵，，∴．【标注】【能力】推理论证能力【知识点】线段的垂直平分线的性质定理【知识点】角分线性质定理5.中，是线段的垂直平分线，垂足为点，是上一点，．求证：点在线段的垂直平分线上．【答案】（1）证明见解析．【解析】（1）连接，是线段的垂直平分线，，，，在的垂直平分线上．【标注】【知识点】线段的和差的证明【知识点】线段的垂直平分线的性质定理【知识点】线段的垂直平分线的判定定理【知识点】等边三角形的性质【思想】数形结合思想【能力】运算能力【能力】推理论证能力6.如图，四边形中，的垂直平分线与的垂直平分线交于点，且．求证：点一定在的垂直平分线上．【答案】证明见解析．【解析】连接、，∵点是、的垂直平分线的交点，∴，，又∵，∴，∴点一定在的垂直平分线上．【标注】【知识点】作线段的垂直平分线（1）（2）7.如图，已知等腰三角形中，，点、分别在边、上，且，连接、，交于点．判断与的数量关系，并说明理由．求证：过点、的直线垂直平分线段．【答案】（1）（2）相等，证明见解析．证明见解析．【解析】（1）（2）．在和中，，∴≌，∴．∵，∴，由（）可知，∴，∴，∵，∴点、均在线段的垂直平分线上，即直线垂直平分线段．【标注】【知识点】线段的垂直平分线的性质定理【知识点】SAS【知识点】全等三角形的对应边与角【能力】推理论证能力二、角平分线8.如图，平分，于，于，，．若，则．【答案】【解析】∵平分，，，∴，∵，，∴，即，解得．故答案为：．【标注】【知识点】角分线性质定理9.如图，在中，，平分，，，则点到的距离为．【答案】【解析】∵，，∴．∵平分，，∴点到的距离等于，即点到的距离等于．【标注】【知识点】角分线性质定理A. B. C. D.10.如图，的三边、、的长分别，，，是三条角平分线的交点，则（ ）．【答案】C 【解析】∵是三条角平分线的交点，∴点到各边的距离相等，即、、的高相等，∵、、的长分别，，，∴，故答案为．【标注】【知识点】与中线或等分线有关的等积变换A.B.C.D.11.如图，三条公路把、、三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ）．在、两边高线的交点处在、两边中线的交点处在、两内角平分线的交点处在、两边垂直平分线的交点处【答案】C 【解析】内角平分线上的点到，距离相等，内角平分线上的点到，距离相等，∴要到三条公路距离相等，应在，内角平分线交点处满足到，，距离相等．故选．【标注】【知识点】角分线性质定理A. B. C. D.12.如图，点是的两外角平分线的交点，下列结论：①；②点到、的距离相等；③点到的三边的距离相等；④点在的平分线上．以上结论正确的个数是（）．【答案】C【解析】如图，过点作于，作于，作于，∵点是的两外角平分线的交点，，，∴点在的平分线上，故②③④正确，只有点是的中点时，，故①错误，综上所述，正确的是②③④．【标注】【知识点】角分线性质定理【知识点】角平分线判定定理三、角分线的角度模型（1）（2）（3）（4）13.完成下列各题：如图 ，、分别是中和的平分线，则与的关系是 (直接写出结论)．如图 ，、分别是两个外角和的平分线，则与的关系是 ，请证明你的结论.如图 ，、分别是一个内角和一个外角的平分线，则与的关系是 ，请证明你的结论.利用以上结论完成以下问题：如图，已知：，点 、 分别是射线、上的动点，的外角的平分线与角的平分线相交于点，猜想的大小是否变化？请证明你的猜想．图图图图【答案】（1）（2）（3）（4）. ..的大小没有变化，证明见解析.【解析】（1）理由如下：如图 ，∵ ,,分别是,的角平分线，∴ ,∴．（2）（3）（4）图如图 ，∵ 平分 ，∴ ，同理可证： ,∴ ,∵ ,∴,∴ .图∵ 平分 ， 平分 ，∴ ,∵ 是 的外角，∴ ,∵ 是 的外角，∴ ,∴．根据⑶可得： ，∵ ，∴ ，∴ 的大小不会变化始终为 ．【标注】【知识点】三角形-内角角分线；三角形-外角角分线；三角形-内外角角分线（1）（2）（3）14.回答下列问题．探索发现：如图，在中，点是内角和外角的角平分线的交点，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想．图迁移拓展：如图，在中，点是内角和外角的等分线的交点，即，，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想．图应用创新：已知，如图，、相交于点，、、的角平分线交于点，，，则 ．图【答案】（1），证明见解析．（2）（3），证明见解析．【解析】（1）（2）（3）∵点是内角和外角的角平分线的交点，∴，，∵是的外角，∴，∴∴∵是的外角，∴，∴．∵是的外角，∴，∴，∵，，∴，∵是的外角，∴，∴．∵、、的角平分线交于点，∴由（）的结论知，，，∴，故答案为：．【标注】【知识点】三角形-内外角角分线（1）15.阅读下面的材料，并解决问题：已知在中，．如图(1)，、的角平分线交于点，则可求得．如图(2)，、的三等分线交于点、，则 ．如图(3)，、的等分线交于点、、……，则．；(用含的代数式)（2）（3）图图图如图，，、的三等分线交于点、，若，，求的度数；（要求写出解答过程）如图，，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，，求的度数为 （不要求写出解答过程）．【答案】（1）（2）（3）; ;．【解析】（1）（2）（3）是的外角，，、是的三等分线，，在中，，又是的平分线，，．只需抓住加．则等分，下面两个小角之和为，．【标注】【知识点】三角形-内角角分线。
角平分线与垂直平分线练习(较难题型)
角平分线与垂直平分线练习(较难题型)1.如图1，点H在QR边上，PH所在的直线是△PQR的对称轴，且PQ≠QR。
设HM∥PR，交PQ于点M。
下列结论中正确的是：①HM=PM；②HM=QM；③M是PQ的中点；④HM平分∠PHQ；⑤HM⊥PQ。
答案：①、④、⑤。
2.如图2，在△ABC中，直线l为BC边的垂直平分线，直线l与∠XXX的角平分线相交于点P。
已知∠ACP=15°，∠BAC=100°。
求∠ABP的度数。
答案：∠ABP=35°。
3.如图3，在△ABC中，∠C=90°，AD为角平分线，BC=32cm，4.如图4，将△ABC绕顶点A旋转到△ADE的位置，BC 与DE相交于点F。
下列结论中正确的有：①BC=DE；③FA 平分∠CFD；④∠CAE=∠BAD；⑤∠CAE=∠BFD；⑥AC=CF。
答案：①、③、④。
5.(1) 如图，在△ABC中，ED垂直平分AB，交AC于点D，交AB于E，AC=5，BC=4.求△BCD的周长。
答案：△BCD的周长为12.2) 如图，在△ABC中，DE⊥BC，交AC于点E，垂足为D。
已知BC=10cm，△ABE的周长为15cm，△XXX的周长为25cm。
判断D是否是BC的中点。
答案：D不是BC的中点。
6.(1) 如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，∠BAC=120°。
AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点G，垂足分别为D，F。
求∠EAG的度数和△AEG的周长。
答案：∠EAG=30°，△AEG的周长为24.2) 如图，在△ABC中，BC=12，∠BAC=100°。
AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点G。
求∠EAG的度数和△AEG的周长。
答案：∠EAG=40°，△AEG的周长为24.3) 如图，在△ABC中，BC=12，∠BAC=70°。
八年级数学专项练习——垂直平分线与角平分线(含答案解析)
八年级数学专项练习——垂直平分线与角平分线（含答案解析）1.如图，P为△ABC内一点，过点P的线段MN分别交AB、BC于点M、N，且M、N分别在PA、PC的中垂线上．若∠ABC=80°，则∠APC的度数为（）A．120°B．125°C．130°D．135°2.如图所示，已知AB=AB1，A1B1=B1B2，A2B2=B2B3，A3B3=B3B4…，以此规律操作下去，若∠B=50°，则∠A n-1B n B n-1（n≥2）的度数为（）A．B．C．D．3.如图，∠BAC=120°．若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°4.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线PD与BC的垂直平分线PE交于点P，垂足分别为D，E，连接PA，PB，PC，若∠PAD=45°，则∠ABC=.5.如图，已知BD平分∠ABC，AD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，BC=12cm,AB=6cm,那么AE的长度为cm.6.△ABC的外角∠DAC的平分线交BC的垂直平分线线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．⑴求证：BD=CE；⑵若AB=5cm，AC=10cm，求AD长.答案解析1.解：∵∠ABC=80°，∴∠BMN+∠BNM=180°-80°=100°，∵M、N分别在PA、PC的中垂线上，∴MA=MP，NC=NP，∴∠MPA=∠MAP，∠NPC=∠NCP，∴∠MPA+∠NPC=12（∠BMN+∠BNM）=50°，∴∠APC=180°-50°=130°，故选：C．2.解：在△ABB1中，AB=AB1，∠B=50°，∴∠AB1B=50°，∵A1B1=B1B2，∠AB1B是△A1B1B2的外角，3.解：∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，∴PA=PB，QA=QC，∴∠B=∠PAB，∠C=∠QAC，∵∠BAC=120°，∴∠B+∠C=60°，∴∠PAB+∠QAC=60°，∴∠PAQ=60°，故选：D．4.解：∵AC的垂直平分线PD与BC的垂直平分线PE交于点P，∴PA=PB=PC，∴∠PCA=∠PAD=45°，∠PAB=∠PBA，∠PCB=∠PBC，∵∠PCA+∠PAD+∠PAB+∠PBA+∠PCB+∠PBC=180°，∴∠PAB+∠PBA+∠PCB+∠PBC=90°，∴∠PBC+∠PBA=45°，∴∠ABC=45°，故答案为：45．5.解：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE=DF，又∵AD=CD，∴Rt△ADE≌Rt△DFC（HL），∴AE=CF，∴Rt△BDE≌Rt△BDF（HL），∴BE=BF，∵BE=AB+AE=6+AE，∴BF=6+AE．∴BC=6+AE+CF=12，即12=6+2AE，解得：AE=3（cm），故答案为：3cm.6.⑴证明：如图，连接BP、PC．∵PQ垂直平分线段BC，∴PB=PC，∵∠PAD=∠PAE，PD⊥AD，PE⊥AE，∴PD=PE，∠PDB=∠PEC=90°，在Rt△PBD和Rt△PCE中，∴Rt△PBD≌Rt△PCE（HL），∴BD=CE．⑵解：在Rt△APD和Rt△APE中，∴Rt△APD≌Rt△APE，∴AD=AE，设AD=AE=x,∵△PBD≌△PCE，∴BD=EC，∴AB+AD=AC-AE，∴5+x=10-x,∴x=2.5，∴AD=2.5．。
角平分线与线段垂直平分线(教师版)
第二节：角平分线与垂直平分线一.学情分析1．点D在△ABC的边BC上，△ABD和△ACD的面积相等，则AD是（）A．中线B．高线C．角平分线D．中垂线【解答】解：∵点D在△ABC的边BC上，△ABD和△ACD的面积相等，∴AD是△ABC的中线，故选：A．2．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，∠BAC＝124°，则∠DAE的度数为（）A．68°B．62°C．66°D．56°【解答】解：∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝56°，∵AB的垂直平分线交BC于D，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠B，∵AC的中垂线交BC于E，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠C，∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝124°﹣56°＝68°，故选：A．3．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点D，△ABD的周长为16cm，AC为5cm，则△ABC的周长为（）A．24cm B．21cm C．20cm D．无法确定【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA＝DC，∵△ABD的周长为16cm，∴AB+BD+DA＝AB+BD+DC＝AB+BC＝16，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝21，故选：B．4．如图，在△ABC中，∠C＝90°∠ABC的平分线BD交AC于点D，若BD＝10厘米，BC ＝8厘米，DC＝6厘米，则点D到直线AB的距离是（）A．6cm B．8cm C．10cm D．14cm【解答】解：过D作DE⊥AB，交AB于点E，∵BD平分∠ABC，DC⊥CB，DE⊥BA，∴DE＝DC＝6厘米，则点D到直线AB的距离是6厘米，故选：A．5．如图，已知∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于点C，EG⊥OA于点G，若EC＝3，则OF长度是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵∠AOE＝∠BOE＝15°，EC⊥OB于点C，EG⊥OA于点G，∴CE＝EG＝3，∵EF∥OB，∴∠COE＝∠OEF＝15°∴∠EFG＝15°+15°＝30°，∠EOF＝∠OEF，∴OF＝EF＝2EG＝2×3＝6．故选：D．6．如图，在△ABC中，∠B＝90°，点O是∠CAB、∠ACB平分线的交点，且BC＝4cm，AC＝5cm，则点O到边AB的距离为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【解答】解：∵点O为∠CAB与∠ACB的平分线的交点，∴点O在∠ACB的角平分线上，∴点O为△ABC的内心，过O作OP⊥AB，连接OB，S△ABC＝＝OP•（AB+BC+AC），又∵AC＝5，BC＝4，△ABC为直角三角形，∠B＝90°∴AB＝3，∴×3×4＝•OP（3+4+5），解得：OP＝1．故选：A．7．如图，已知BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E、点F，若∠A+∠BCD ＝180°，则AD与CD的数量关系是AD＝CD．【解答】解：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF，∠AED＝∠CFD＝90°．∵∠A+∠BCD＝180°，∠BCD+∠DCF＝90°，∴∠A＝∠DCF．∴△ADE≌△CDF（AAS）．∴AD＝CD．故答案为AD＝CD．8．初二两个班的学生分别在M、N两处劳动，现要在道路AB、AC的交叉区域内设一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，且使PM＝PN，尺规作图找出符合条件的点P．【解答】解：如图，点P即为所求．二、重难点基础知识分析1.角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.2.角的平分线的判定角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB3.角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.1（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点2C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.4.三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：1P 234,,P P P △ABC 的内心为，旁心为，这四个点到△ABC 三边所在直线距离相等.5.角平分线四大基本模型：已知P 是∠MON 平分线上一点，(l)若PA ⊥OM 于点A ，如图(a)，可以过P 点作PB ⊥ON 于点B ，则PB=PA.可记为“图中有角平分线，可向两边作垂线”．(2)若点A 是射线OM 上任意一点，如图(b)，可以在ON 上截取OB=OA ，连接PB ，构造△OPB ≌△OPA.可记为“图中有角平分线，可以将图对折看，对称以后关系现”．(3)若AP ⊥OP 于点P ，如图(c)，可以延长AP 交ON 于点B ，构造△AOB 是等腰三角形，P 是底边AB 的中点，可记为“角平分线加垂线，三线合一试试看”．(4)若过P 点作PQ ∥ON 交OM 于点Q ，如图(d)，可以构造△POQ 是等腰三角形，可记为“角平分线十平行线，等腰三角形必呈现”．(a)O(b)O(c)三、题型分析题型一：等距离转化问题例1．如图，点P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OA，垂足为D，若PD＝2，则点P 到边OB的距离是（）A．4 B．C．2 D．1【解答】解：如图，作PE⊥OB于E，∵点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PE＝PD＝2，故选：C．例2．如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝4，则AC的长是（）A．5 B．6 C．8 D．7【解答】解：作DH⊥AC于H，如图，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DH⊥AC，∴DH＝DE＝2，∵S△ABC＝S△ADC+S△ABD，∴×2×AC+×2×4＝9，∴AC＝5．故选：A．例3．如图，△ABC中，AD是角平分线，BE是△ABD中的中线，若△ABC的面积是24，AB＝5，AC＝3，则△ABE的面积是（）A．15 B．12 C．7.5 D．6【解答】解：如图过点D作DF⊥AB，DG⊥AC，垂足分别为F、G，∵AD是角平分线，∴DF＝DG，设DF＝DG＝h，S△ABC＝S△ABD+S△ADC24＝AB•DF+AC•DG∴5h+3h＝48解得h＝6，∴S△ABD＝×5×6＝15∵BE是△ABD中的中线，∴S△ABE＝S△BDE＝S△ABD＝7.5．故选：C．例4．如图（1），Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F（1）求证：CE＝CF．（2）将图（1）中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置，使点E′落在BC 边上，其它条件不变，如图（2）所示．试猜想：BE′与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论．【解答】（1）证明：∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠EAD，∵∠ACB＝90°，∴∠CAF+∠CFA＝90°，∵CD⊥AB于D，∴∠EAD+∠AED＝90°，∴∠CFA＝∠AED，又∠AED＝∠CEF，∴∠CFA＝∠CEF，∴CE＝CF；（2）猜想：BE′＝CF．证明：如图，过点E作EG⊥AC于G，连接EE′，又∵AF平分∠CAB，ED⊥AB，EG⊥AC，∴ED＝EG，由平移的性质可知：D′E′＝DE，∴D′E′＝GE，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠DCB＝90°∵CD⊥AB于D，∴∠B+∠DCB＝90°，∴∠ACD＝∠B，在△CEG与△BE′D′中，，∴△CEG≌△BE′D′（AAS），∴CE＝BE′，由（1）可知CE＝CF，∴BE′＝CF．例5．△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于D，且CD＝15，AC＝30，求AB的长．【解答】解：如图，作DE⊥AB，∴∠BED＝90°，∴∠BED＝∠C＝90°，∵∠EBD＝∠ABC，∴△ABC∽△DBE，∴＝，设BD＝x，BE＝y，则＝，30y＝152+15x，x＝2y﹣15，在Rt△DBE中，BD2＝DE2+BE2，即（2y﹣15）2＝y2+152，y（y﹣20）＝0，∴y＝20，AB＝AE+BE＝30+20＝50．故答案为：50．针对练习：1．在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于E，且AC ＝8cm，则△ADE的周长为（）A．6cm B．8cm C．10cm D．不能确定【解答】解：∵CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC，∠B＝90°，∴DE＝DB，又∵CD＝CD，∠B＝∠CED＝90°，∴Rt△BCD≌Rt△ECD（HL），∴CE＝CB，又∵AB＝BC，∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝AD+DB+AE＝AB+AE＝BC+AE＝CE+AE＝AC＝8cm，故选：B．2．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P 是BC边上一动点，则DP长的最小值为（）A．1 B．6 C．3 D．12【解答】解：过点D作DH⊥BC交BC于点H，如图所示：∵BD⊥CD，∴∠BDC＝90°，又∵∠C+∠BDC+∠DBC＝180°，∠ADB+∠A+∠ABD＝180°∠ADB＝∠C，∠A＝90°，∴∠ABD＝∠CBD，∴BD是∠ABC的角平分线，又∵AD⊥AB，DH⊥BC，∴AD＝DH，又∵AD＝3，∴DH＝3，又∴点D是直线BC外一点，∴当点P在BC上运动时，点P运动到与点H重合时DP最短，其长度为DH长等于3，即DP长的最小值为3．故选：C．3．如图，在Rt△ABC中，BD是角平分线，若CD＝4，AB＝12，则△ABD的面积是（）A．48 B．24 C．16 D．12【解答】解：作DE⊥AB于点E，如右图所示，∵在Rt△ABC中，BD是角平分线，DC⊥BC，DE⊥AB，CD＝4，AB＝12，∴DC＝DE＝4，∴△ABD的面积是：＝24，故选：B．4．如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PG ∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP．下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB ＝PC：PB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF．其中正确的有（）A．①②④B．①③④C．②③④D．①③【解答】解：∵PA平分∠CAB，PB平分∠CBE，∴∠PAB＝∠CAB，∠PBE＝∠CBE，∵∠CBE＝∠CAB+∠ACB，∠PBE＝∠PAB+∠APB，∴∠ACB＝2∠APB；故①正确；过P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PS⊥BC于S，∴PM＝PN＝PS，∴PC平分∠BCD，∵S△PAC：S△PAB＝（AC•PN）：（AB•PM）＝AC：AB；故②不正确；∵BE＝BC，BP平分∠CBE∴BP垂直平分CE（三线合一），故③正确；∵PG∥AD，∴∠FPC＝∠DCP∵PC平分∠DCB，∴∠DCP＝∠PCF，∴∠PCF＝∠CPF，故④正确．本题正确的有：①③④故选：B．5．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（）A．24 B．30 C．36 D．42【解答】解：过D作DH⊥AB交BA的延长线于H，∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，∴DH＝CD＝4，∴四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD＝AB•DH+BC•CD＝×6×4+×9×4＝30，故选：B．6．如图，△ABC中，AB＝8，BC＝10，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，若DE ＝4，则三角形ABC的面积为36 ．【解答】解：过D作DF⊥BC，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE＝4，∴DF＝4，∴△ABC的面积＝△ABD的面积+△DBC的面积＝，故答案为：367．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝10cm，△ABD的面积为20cm2，则CD的长为 4 cm．解：设点D到AB的距离为h，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，∴h＝CD，∴△ABD的面积＝AB•h＝×10×h＝20cm2．∴h＝4cm，∴CD＝4cm，故答案为：4cm8．如图，在△ABC中，∠B＝90°，点O是∠CAB、∠ACB平分线的交点，且BC＝4cm，AC＝5cm，则点O到边AB的距离为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm解：∵点O为∠CAB与∠ACB的平分线的交点，∴点O在∠ACB的角平分线上，点O为△ABC的内心，过O作OP⊥AB，连接OB，S△ABC＝＝OP•（AB+BC+AC），又∵AC＝5，BC＝4，△ABC为直角三角形，∠B＝90°∴AB＝3，∴×3×4＝•OP（3+4+5），解得：OP＝1．故选：A．9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，AD⊥BC于D，BF平分∠ABC 交AC于F，AD于E，则线段AE的长为（）2A．3 B．C．1.8 D．4【解答】解：如图作EH⊥AB于H．在Rt△ABC中，∵AB＝6，BC＝10，∴AC＝＝8，∵AD⊥BC，∴AD＝＝，∴BD＝＝，∵∠EBH＝∠EBD，∠EHB＝∠EDB，BE＝BE，∴△EBH≌△EBD（AAS），∴BH＝BD＝，DE＝HE，设AE＝x，则DE＝EH＝﹣x，在Rt△AEH中，∵AE2＝AH2+EH2，∴x2＝（）2+（﹣x）2，∴x＝3，∴AE＝3，故选：A．10．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是30．【解答】解：过点D作DE⊥BA的延长线于点E，如图所示．∵BD平分∠ABC，∴DE＝DC＝4，∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD，＝AB•DE+BC•CD，＝×6×4+×9×4，＝30．故答案为：30．11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∠ABC的平分线交边AC于点D，延长BD至点E，且BD＝2DE，连接AE．（1）求线段CD的长；（2）求△ADE的面积．【解答】解：（1）过点D作DH⊥AB，垂足为点H，∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，∴DH＝DC＝x，则AD＝3﹣x．∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，∵，∴，∴，即CD＝；（2），∵BD＝2DE，∴，∴．题型二:角平分线判定与角度数计算问题例1．如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，则∠ADB的度数为（）A．54°B．50°C．48°D．46°【解答】解：如图所示，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DF＝DE，又∵∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，∴∠ACB＝92°，∠DCF＝44°，∴CD平分∠BCF，又∵DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，∴DF＝DG，∴DE＝DG，∴BD平分∠CBE，∴∠DBE＝∠CBE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC，∴∠ADB＝∠DBE﹣∠BAD＝（∠CBE﹣∠BAC）＝∠ACB＝×92°＝46°，故选：D．例2．已知，如图，点B、C分别在射线OA、OD上，AB＝CD，△PAB的面积等于△PCD 的面积求证：OP平分∠AOD．【解答】证明：作PE⊥AB于E，PF⊥CD于F，∵△PAB的面积等于△PCD的面积，AB＝CD，∴PE＝PF，∵PE＝PF，PE⊥AB，PF⊥CD，∴OP平分∠AOD．针对练习：1．如图所示，已知∠ADC+∠ABC＝180°，DC＝BC．求证：点C在∠DAB的角平分线上．【解答】证明：如图，作CE⊥AB，CF⊥AD的延长线，垂足分别为E、F，∴∠BEC＝∠DFC＝90°，∵∠ADC+∠ABC＝180°，∠ADC+∠CDF＝180°，在△CBE和△CDF中，，∴△CBE≌△CDF（AAS），∴FC＝EC，∴点C在∠DAB的角平分线上．2．在△ABC中，AE、BF是角平分线，交于O点．（1）如图1，AD是高，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的度数．（2）如图2，若OE＝OF，AC≠BC，求∠C的度数．（3）如图3，若∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，S△CEF＝4，求S△AOB．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵∠C＝70°，∴∠DAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°；∵∠BAC＝50°，∠C＝70°，∴∠BAO＝25°，∠ABC＝60°，∵BF是∠ABC的角平分线，∴∠ABO＝30°，∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣25°﹣30°＝125°；（2）连接OC，∴AE、BF是角平分线，交于O点，∴OC是∠ACB的角平分线，∴∠OCF＝∠OCE，过O作OM⊥BC，ON⊥AC，则OM＝ON，在Rt△OEM与Rt△OFN中，，∴Rt△OEM≌Rt△OFN，（HL），∴∠EOM＝∠FON，∴∠MON＝∠EOF＝180°﹣∠C，∵AE、BF是角平分线，∴∠AOB＝90°+∠ACB，即90°+∠ACB＝180°﹣∠ACB，∴∠ACB＝60°；（3）∵∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，∴AB＝＝10，∵AE是角平分线，∴＝，∴BE＝5，CE＝3，∵S△CEF＝EC•CF＝×3•CF＝4，∴CF＝，∴AF＝，∵S△ABC＝BC•AC＝×8×6＝24，∴S△ABF＝S△ABC﹣S△BCF＝24﹣×8×＝，∵AE平分∠BAC，∴＝3，∴＝3，∴S△AOB＝×＝10．3．在平面直角坐标系中，OA＝OB，P A⊥PB．（1）如图1，当P在第一象限时，求证：OP平分∠BP A．（2）如图2，当P在第四象限时，直接写出∠OP A的度数．【解答】解：（1）∵P A⊥PB，∴∠BOA＝∠APB＝90°，∴点A，O，B，P四点共圆，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∴∠OP A＝∠OBA＝45°，∴∠BPO＝90°﹣45°＝45°，∴∠BPO＝∠APO，∴OP平分∠BP A；（2）∵P A⊥PB，∴∠BOA＝∠APB＝90°，∴点A，O，B，P四点共圆，∵OA＝OB，∴∠OBA＝45°，∴∠OP A＝180°﹣∠OBA＝135°．4．如图，△ABC中，∠C＝Rt∠，AD平分∠BAC交BC于点D，BD：DC＝2：1，BC ＝7.8cm，求D到AB的距离．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵BD：DC＝2：1，BC＝7.8cm，∴CD＝×7.8＝2.6cm，∵AD平分∠BAC，∴DE＝CD＝2.6cm，即D到AB的距离2.6cm．题型三：三角形的角平分线及三角形内心例1．点O是△ABC中∠BCA，∠ABC的平分线的交点，已知△ABC的面积是12，周长是8，则点O到边BC的距离是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：如图所示，过O作OE⊥AB，OF⊥AC，连接AO，∵点O是△ABC中∠BCA，∠ABC的平分线的交点，∴OE＝OD＝OF，∵△ABC的面积是12，周长是8，∴AB×OE+BC×OD+AC×OF＝12，即×8×OD＝12，即OD＝3，故选：C．例2．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，O为△ABC角平分线的交点，若△ABO的面积为20，则△ACO的面积为（）A．12B．15C．16D．18【解答】解：∵点O是三条角平分线的交点，∴点O到AB，AC的距离相等，∴△AOB、△AOC面积的比＝AB：AC＝8：6＝4：3．∵△ABO的面积为20，∴△ACO的面积为15．故选：B．针对练习：1．如图所示，等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交BC于D，过D作DE⊥AB于E，若CD＝b，BD＝a，那么AB的长度是（）A．a+b B．a+2b C．2a+b D．2a+2b【解答】解：∵CA＝CB，∠C＝90°，∴∠B＝45°，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴∠EDB＝∠B＝45°，∴ED＝EB，∵DA平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，∴CD＝DE＝EB＝b，∵DC＝DE，AD＝AD，∠C＝∠AED＝90°，∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），∴AE＝AC＝BC＝a+b，∴AB＝AE+BE＝a+2b，故选：B．2．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线BO，CO相交于点O，连接AO，过点O 作EF∥BC交AB，AC于点E，F，AB＝5，AC＝4（1）求△AEF的周长；（2）若点O到BC距离为4，且三角形ABC的周长比三角形OBC周长多4，求△OAB的面积．【解答】解：（1）∵∠ABC与∠ACB的角平分线BO，CO相交于点O，∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB，∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，∴∠EOB＝∠EBO，∠FOC＝∠FCO，∴OE＝BE，OF＝CF，∵AB＝5，AC＝4，∴△AEF的周长是AE+EF+AF＝AE+BE+CF+AF＝AB+AC＝5+4＝9；（2）过O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，∵BO平分∠ABC，∴OM＝ON，∵点O到BC距离为4，∴OM＝ON＝4，∵AB＝5，∴△OAB的面积是＝＝10．3．在△ABC中，AD是它的角平分线．（1）如图1，求证：S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝BD：CD；（2）如图2，E是AB上的点，连接ED，若BD＝3，BE＝CD＝2，AE＝2CD，求证：△BED是等腰三角形；（3）在图1中，若3∠BAC＝2∠C，∠ADB＞∠B＞∠BAD，直接写出∠BAC的取值范围40°＜∠BAC＜60°．证明：（1）如图1，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵AD平分∠BAC，∴DE＝DF，∴＝＝＝＝；S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝BD：CD；（2）如图2，由（1）知：AB：AC＝BD：CD；∵AE＝2CD＝4，∴，AC＝4＝AE，∵∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，∴△AED≌△ACD（SAS），∴ED＝CD＝2，∵BE＝2，∴BE＝DE＝2，∴△BED是等腰三角形；（3）设∠BAD＝x，则∠BAC＝2x，∵3∠BAC＝2∠C，∴∠C＝3x，∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝4x，∵∠ADB＞∠B＞∠BAD，∴4x＞180﹣5x＞x，解得：20°＜x＜30°，∴40°＜∠BAC＜60°．故答案为：40°＜∠BAC＜60°．4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是△ABC的一条角平分线．点O是BD 上一点，过点O分别作AC、BC的垂线，垂足分别为F、E，连接OC、OA，若∠FCO＝45°，求证：点O在∠BAC的平分线上．【解答】证明：作OH⊥AB于H，∵BD是△ABC的一条角平分线．OE⊥BC，OM⊥AB，∴OE＝OH，∵∠ACB＝90°，∠FCO＝45°，∴CO平分∠ACB，∵OE⊥BC，OF⊥AC，∴OE＝OF，∴OF＝OH，∴点O在∠BAC的平分线上．5．（1）如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则有相等关系DE＝DF，AE＝AF．（2）如图2，在（1）的情况下，如果∠MDN＝∠EDF，∠MDN的两边分别与AB、AC相交于M、N两点，其它条件不变，那么又有相等关系AM+AN＝2AF，请加以证明．（3）如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC 交BC于D，∠MDN＝120°，ND∥AB，求四边形AMDN的周长．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°，在△ADE和△ADF中，，∴△ADE≌△ADF（AAS），∴DE＝DF，AE＝AF；（2）解：AM+AN＝2AF；证明如下：由（1）得DE＝DF，∵∠MDN＝∠EDF，∴∠MDE＝∠NDF，在△MDE和△NDF中，，∴△MDE≌△NDF（ASA），∴ME＝NF，∴AM+AN＝（AE+ME）+（AF﹣NF）＝AE+AF＝2AF；（3）由（2）可知AM+AN＝2AC＝2×6＝12，∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交BC于D，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，∵ND∥AB，∴∠ADN＝∠BAD＝30°，∴∠CAD＝∠ADN，∴AN＝DN，在Rt△CDN中，DN＝2CN，∵AC＝6，∴DN＝AN＝×6＝4，∵∠BAC＝60°，∠MDN＝120°，∴∠CDE＝∠MDN，∴DM＝DN＝4，∴四边形AMDN的周长＝12+4×2＝20．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D 作DE∥BC交AB于点E，过点E作EF⊥BD交BD于点G，交BC于点F．（1）若BE＝4，求AD的长；（2）求证：FC＝2AD．【解答】（1）解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵DE∥BC，∴∠BDE＝∠CBD，∴∠ABD＝∠BDE，∴EB＝ED＝4，∵AB＝AC，∠A＝90°，∴∠ABC＝∠C＝45°，∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ABC＝45°，∴AD＝DE＝2；（2）证明：连接DF，作DH⊥BC于H，在△BGE和△BGF中，，∴△BGE≌△BGF，∴BE＝BF，∴DE＝BF，又DE∥BC，∴四边形EBFD是平行四边形，∴DF∥BE，∴∠DFC＝∠ABC＝45°，又∠C＝45°，∴FC＝2DH，∵BD平分∠ABC，DA⊥AB，DH⊥BC，∴DH＝AD，∴FC＝2AD．7．已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝AC＝AD，∠DAC＝∠ABC．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）若∠DAC＝45°，OA＝1，求OC的长．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠DAC＝∠ABC，∴∠DAC＝∠ACB．∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD．又∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD．∴∠ABD＝∠CBD．∴BD平分∠ABC；（2）解：过点O作OE⊥BC于E，∵∠DAC＝45°，∠DAC＝∠ABC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠B AC＝90°，∵BD平分∠ABC，∴OE＝OA＝1．在Rt△OEC中，∠ACB＝45°，OE＝1，∴OC＝．8．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，则＝吗？请说明理由．【解答】解：＝，理由如下：过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，过点A作AH⊥BC于点H，如图所示．∵AD平分∠BAC，∴DE＝DF．∵S△ABD＝AB•DE＝BD•AH，S△ACD＝AC•DF＝CD•AH，∴＝＝＝．题型四：角平分线几种模型例1．（1）如图（a）所示，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AD⊥BD，AE⊥CE，垂足分别为D、E，连接DE，求证：DE＝（AB+BC+AC）；（2）如图（b）所示，BD、CE分别是△ABC的内角平分线，其他条件不变，DE与△ABC三边有怎样的数量关系？并证明这个数量关系；（3）如图（c）所示，BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，其他条件不变，DE与△ABC三边又有怎样的数量关系？并证明这个数量关系．【解答】解：（1）如图1，分别延长AE、AD交BC于H、K，在△BAD和△BKD中，∵，∴△BAD≌△BKD（ASA），∴AD＝KD，AB＝KB，同理可证，AE＝HE，AC＝HC，∴DE＝HK，又∵HK＝BK+BC+CH＝AB+BC+AC，∴DE＝（AB+AC+BC）；（2）DE＝（AB+AC﹣BC）．证明：如图2，分别延长AE、AD交BC于H、K，在△BAD和△BKD中，∵，∴△BAD≌△BKD（ASA），∴AD＝KD，AB＝KB，同理可证，AE＝HE，AC＝HC，∴DE＝HK，又∵HK＝BK﹣BH＝AB+AC﹣BC，∴DE＝（AB+AC﹣BC）；（3）图3的结论为DE＝（BC+AC﹣AB）．证明：分别延长AE、AD交BC或延长线于H、K，在△BAD和△BKD中，∵，∴△BAD≌△BKD（ASA），∴AD＝KD，AB＝KB同理可证，AE＝HE，AC＝HC，∴DE＝KH又∵KH＝BC﹣BK+HC＝BC+AC﹣AB．∴DE＝（BC+AC﹣AB）．例2．如图，已知AC∥BD，AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，点E在线段CD上．（1）求∠AEB的度数；（2）求证：CE＝DE．【解答】解：（1）∵AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD＝180°．∵AE平分∠CAB，∴∠EAB＝∠CAB．同理可得∠EBA＝∠ABD．∴∠EAB+∠EBA＝90°，∴∠AEB＝90°；（2）如图，在AB上截取AF＝AC，连接EF，在△ACE和△AFE中，∴△ACE≌△AFE（SAS）．∴CE＝FE，∠CEA＝∠FEA．∵∠CEA+∠DEB＝90°，∠FEA+∠FEB＝90°，∴∠DEB＝∠FEB．在△DEB和△FEB中∴△DEB≌△FEB（ASA）．∴ED＝EF．∴ED＝CE．例3．（1）已知：在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于E、F两点（如图1）．图中共有5个等腰三角形，分别是△ABC，△AEF，△DEB，△DFC，△BDC；EF与BE、CF之间的关系是EF＝BE+CF．（2）若将（1）中“△ABC，AB＝AC”改为“若△ABC为不等边三角形”，其余条件不变（如图2），则图中共有2个等腰三角形，分别是△BDE，△CFD；EF与BE，CF之间的关系是EF＝BE+CF．（3）已知：如图3，D在△ABC外，AB＞AC，且BD平分∠ABC的外角∠ACG，过D点作DE∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则EF与BE、CF之间有何关系？写出你的结论，并加以证明（4）已知：如图4，点D在△ABC外，BD，CD分别平分△ABC的外角∠GBC和∠HCB，过点D作DE∥BC，分别交BG，CH于E，F两点，则EF与BE，CF之间存在怎样的关系？写出你的结论，并加以证明．【解答】解：（1）BE+CF＝EF．理由如下：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD，∴∠DBC＝∠DCB，∴DB＝DC∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB，∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD，∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠BCD，∴BE＝DE，CF＝DF，AE＝AF，∴等腰三角形有△ABC，△AEF，△DEB，△DFC，△BDC共5个，∴BE+CF＝DE+DF＝EF，即BE+CF＝EF，故答案为：5，△ABC，△AEF，△DEB，△DFC，△BDC，BE+CF＝EF．（2）BE+CF＝EF，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD，∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD，∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠BCD，∴BE＝DE，CF＝DF，∴等腰三角形有△BDE，△CFD，∴BE+CF＝DE+DF＝EF，即BE+CF＝EF，故答案为：△BDE，△CFD，BE+CF＝EF；（3）BE﹣CF＝EF，由（1）知BE＝ED，∵EF∥BC，∴∠EDC＝∠DCG＝∠ACD，∴CF＝DF，又∵ED﹣DF＝EF，∴BE﹣CF＝EF；（4）BE+CF＝EF，∵BD平分∠EBC，CD平分∠ECB，∴∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD，∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD，∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠BCD，∴BE＝DE，CF＝DF，∴BE+CF＝DE+DF＝EF，∴BE+CF＝EF．针对练习：1．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是△ABC的角平分线，E是AB上一点，且AE＝AD，连接ED，作EF⊥BD于F，连接CF．则下面的结论：①CD＝CF；②∠EDF＝45°；③∠BCF＝45°；④若CD＝4，AD＝5，则S△ADE＝10．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∵∠AED＝∠ABD+∠BDE，∴2∠ABD+2∠BDE+∠A＝180°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABD，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∴2∠BDE＝90°，∴∠BDE＝45°，∵EF⊥DF，∴∠EFD＝90°，∴∠FDE＝∠FED＝45°，故②正确，延长EF交BC于H，连接CD．∵∠FBE＝∠FBH，BF＝BF，∠BFE＝∠BFH，∴△BFE≌△BFH（ASA），∴EF＝FH，∵DF⊥EH，∴DE＝DH，∴∠DEH＝∠DHE＝45°，∵∠DFH+∠DCH＝180°，∴D，F，H，C四点共圆，∴∠DCF＝∠DHF＝45°，∴∠FCB＝45°，故③正确，作DM⊥AB于M，∵BD平分∠ABC，DC⊥BC，DM⊥AB，∴DM＝DC＝4，∵AE＝AD＝5，∴S△ADE＝•AE•DM＝10，故④正确，无法判断CF＝CD，故①错误，故选：C．2．已知：如图，在△ODC中，∠D＝90°，CE是∠DCO的角平分线，且OE⊥CE，过点E 作EF⊥OC于点F，猜想：线段EF与OD之间的数量关系，并证明．【解答】解：如图，延长CD和OE，交于H，过E点作EG⊥HD，∵EC是∠DCO的平分线，且EC⊥OE，∴由∠CEO＝∠CEH＝90°，CE＝CE，∠OCE＝∠HCE可得，△OCE≌△HCE，∴OE＝EH，∵EG⊥HD，OD⊥HD，∴EG∥OD，∴EG是△OHD的中位线，∴EG＝OD，又∵EC是∠DCO的平分线，EG⊥HD，EF⊥OC，∴EG＝EF，∴EF＝OD．3．等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，∠B的平分线交AC于D，过点C向BD作垂线，并与BD延长线交于点E，求证：BD＝2CE．。
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5.角平分线、垂直平分线
知识考点：
了解角平分线、垂直平分线的有关性质和定理，并能解决一些实际问题。
精典例题：
【例题】如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝300，AB 的垂直平分线EF 交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：CF ＝2BF 。
分析一：要证明CF ＝2BF ，由于BF 与CF 没有直接联系，联想题设中EF 是中垂线，根据其性质可连结AF ，则BF ＝AF 。
问题转化为证CF ＝2AF ，又∠B ＝∠C ＝300，这就等价于要证∠CAF ＝900，则根据含300角的直角三角形的性质可得CF ＝2AF ＝2BF 。
分析二：要证明CF ＝2BF ，联想∠B ＝300，EF 是AB 的中垂线，可过点A 作AG ∥EF 交FC 于G 后，得到含300角的Rt △ABG ，且EF 是Rt △ABG 的中位线，因此BG ＝2BF ＝2AG ，再设法证明AG ＝GC ，即有BF ＝FG ＝GC 。
例题图1
F E
C B A
例题图2
G F E
C
B A
分析三：由等腰三角形联想到“三线合一”的性质，作AD ⊥BC 于D ，则BD ＝CD ，考虑到∠B ＝300，不妨设EF ＝1，再用勾股定理计算便可得证。
以上三种分析的证明略。
例题图3
D F E
C
B A
问题图
3
2
1E
D C
B A
探索与创新：
【问题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题：
三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。
如图，△ABC 中，AD 是角平分线。
求证：
AC
AB
DC BD =。
分析：要证
AC
AB
DC BD =
，一般只要证BD 、DC 与AB 、AC 或BD 、AB 与DC 、AC 所在三角形相似，现在B 、D 、C 在同一条直线上，△ABD 与△ADC 不相似，需要考虑用别的方法换比。
我们注意到在比例式
AC
AB
DC BD =
中，AC 恰好是BD 、DC 、AB 的第四比例项，所以考虑过C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于E ，从而得到BD 、CD 、AB 的第四比例项AE ，这样，证明
AC
AB
DC BD =
就可以转化为证AE ＝AC 。
证明：过C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于E
CE ∥AD ⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩
⎪
⎨⎧∠=∠∠=∠∠=∠⇒E 13
221⇒∠E ＝∠3⇒AE ＝AC CE ∥AD ⇒
AE
AB
DC BD =
∴AC
AB
DC BD =
（1）上述证明过程中，用了哪些定理（写出两个定理即可）；
（2）在上述分析、证明过程中，主要用到了三种数学思想的哪一种？选出一个填入后面的括号内（ ）
①数形结合思想 ②转化思想 ③分类讨论思想 答案：②转化思想
（3）用三角形内角平分线性质定理解答问题：已知AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，AB ＝5 cm ，AC ＝4 cm ，BC ＝7 cm ，求BD 的长。
答案：
9
35cm 评注：本题的目的主要在于考查学生的阅读理解能力。
跟踪训练：
一、填空题：
1、如图，∠A ＝520，O 是AB 、AC 的垂直平分线的交点，那么∠OCB
＝ 。
2、如图，已知AB ＝AC ，∠A ＝440，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，则∠DBC ＝ 。
第1题图
O
C
B
A
第2题图
N
M
D
C
B A
第3题图
E
D
C
B
A
第4题图
E
A
B C
D
3、如图，在△ABC 中，∠C ＝900，∠B ＝150，AB 的中垂线DE 交BC 于D 点，E 为垂足，若BD ＝8，则AC ＝ 。
4、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，DE 是AB 的垂直平分线，△BCE 的周长为24，BC ＝10，则AB ＝ 。
5、如图，EG 、FG 分别是∠MEF 和∠NFE 的角平分线，交点是G ，BP 、CP 分别是∠MBC 和∠NCB 的角平分线，交点是P ，F 、C 在AN 上，B 、E 在AM 上，若∠G ＝680，那么∠P ＝ 。
填空第5题图
G
P
M E
B N
C F
A 选择第1题图
F
E
D
C
B
A
选择第2题图
4
32
1
D
C
B A
二、选择题：
1、如图，△ABC 的角平分线CD 、BE 相交于点F ，且∠A ＝600，则∠BFC 等于（ ） A 、800 B 、1000 C 、1200 D 、1400
2、如图，△ABC 中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，若∠D ＝360，则∠C 的度数为（ ） A 、820 B 、720 C 、620 D 、520
3、某三角形有一个外角平分线平行于三角形的一边，而这三角形另一边上的中线分周长为2∶3两部分，若这个三角形的周长为30cm ，则此三角形三边长分别是（ ） A 、8 cm 、8 cm 、14cm B 、12 cm 、12 cm 、6cm C 、8 cm 、8 cm 、14cm 或12 cm 、12 cm 、6cm D 、以上答案都不对
4、如图，Rt △ABC 中，∠C ＝900，CD 是AB 边上的高，CE 是中线，CF 是∠ACB 的平分线，图中相等的锐角为一组，则共有（ ）
A 、0组
B 、2组
C 、3组
D 、4组
5、如果三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（ ） A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、不能确定 三、解答题：
1、如图，Rt △ABC 的∠A 的平分线与过斜边中点M 的垂线交于点D 。
求证：MA ＝MD 。
选择第4题图
E
F D
C
第1题图
M
D
C
B
A
2、在△ABC 中，AB ≠AC ，D 、E 在BC 上，且DE ＝EC ，过D 作DF ∥BA 交AE 于点F ，DF ＝AC ，求证：AE 平分∠BAC 。
第2题图
E F
D C
B A
3、如图，在△ABC 中，∠B ＝22.50，∠C ＝600，AB 的垂直平分线交BC 于点D ，BD ＝
26，AE ⊥BC 于点E ，求EC 的长。
第3题图
E F
D C
B A
4、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝900，AC ＝BC ，D 为BC 的中点，CE ⊥AD ，垂足为E ，BF ∥AC 交CE 的延长线于点F ，求证AB 垂直平分DF 。
第4题图
E
F
D
C
B
A
参考答案
一、填空题：
1、380；
2、240；
3、4；
4、14；
5、680 二、选择题：CBCDB 三、解答题：
1、过A 作AN ⊥BC 于N ，证∠D ＝∠DAM ；
2、延长FE 到G ，使EG ＝EF ，连结CG ，证△DEF ≌△CEG
3、连结AD ，DF 为AB 的垂直平分线，AD ＝BD ＝26，∠B ＝∠DAB ＝22.50 ∴∠ADE ＝450，AE ＝2
2
AD ＝2622 ＝6 又∵∠C ＝600
∴EC ＝
323
63
==
AE
4、证△ACD ≌△CBF。