第2部分 离散信号与离散系统的频谱分析(1)
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数字信号处理
第 二 部分
数字信号处理多媒体教学系统
离散信号与离散系统的频谱分 析
2003。3 第2版
版权所有：武晓春
1
几种变换之间的关系
离散信号
x ( n)
n
x(nT ) (t nT )
频域表示 S域表示
Z域表示
X ( z)
n
x(nT ) z
22
当 n 2 时有原点、 z 1 和 z 0.5 三个极点。
x(0) Re s[ X ( z) z 1 ]z0 Re s[ X ( z) z 1 ]z1 Re s[ X ( z) z 1 ]z0.5 6 8 13(0.5)0 1 x(1) Re s[ X ( z) z 0 ]z0 Re s[ X ( z) z 0 ]z1 Re s[ X ( z) z 0 ]z0.5 2 8 13(0.5)1 3.5
例：求
X ( z)
z 的 Z 反变换。 2 3z 4 z 1
1 z 1 z c1 c2 3 解： X ( z ) 2 1 1 1 1 1 1 z z (1 z )(1 3 z ) (1 z ) (1 1 z ) 3
1 1 3 4 1 1 3 3
1 1 1 解得： ， c1 c2 0 ， c2 1 c c c 1 2 3 1 3 2 2
，根据不同的 ROC 得反变换。 X ( z ) 的极点为 z1 1 ， z2 1 3
1 1 n （1） ROC : z 1 得右边因果序列： x(n) 1 u ( n ) 2 2 ( 3 ) u(n) 1 1 1 n （2） ROC : 1 z 1 得双边序列： x ( n ) u ( n 1 ) 2 2 ( 3 ) u(n) 3 1 1 1 n （3） ROC : z 1 得左边序列： x ( n ) u ( n 1 ) 2 2 ( 3 ) u(n 1) 3
n
可见，同一个解析函数在不同的收敛域 可能表示不同的序列的Z变换。 所以，在说明某解析函数是某个序列 的Z变换时，要同时给出收敛域。
5
2、收敛域定义及特性： 定义：使序列x(n) 的Z变换X(z) 收敛的复平面上所有 Z的集合，称为该Z 变换的收敛域。记为ROC (Region of Convergence)。 不同特点的序列和其收敛域的关系： （1）有限长序列：
n | x ( n ) z |
n
0 n 0 例如： x(n) a u(n 1) 其中 u(n 1) 求 X(z) 1 n 0 1 z m n n n n X ( z ) a u(n 1) z a z ( ) n n m 1 a za z X ( z) 当 z a 时： 1 z a z a 4
序列范围 当 n1 n n2
X ( z ) x(n) z
n n1
n2
n
，则： ROC： 0 | z | ROC： 0 | z |
6 ROC： 0 | z |
当 n1 0, n2 0 时：(双边有限序列) 当 n2 n1 0 时：(右边有限序列) 当 0 n2 n1 时：(左边有限序列)
z2 例。求 X ( z ) 2 ROC: | z | 1 的 Z 反变换。 z 1.5 z 0.5 c1 c2 X ( z) z 解： z ( z 1)(z 0.5) z 1 z 0.5 X ( z) X ( z) c1 [( z 1) ] z 1 2 ， c 2 [( z 0.5) ] z 0.5 1 Z Z n 查表得： x(n) 2u(n) (0.5) u(n) 18
7
（3）左边序列：
n n1 ，其 Z 变换为： X ( z )
n
x ( n) z
n1
n
如果 X(z)在 z=z0 处收敛，则它在 |z|<|z0| 处处收敛。 假设 z0 是它幅度最小的极点。 则当 n1 0 时： ROC： z0 | z | 0 某圆内除原点 当 n1 0 时： ROC： z0 | z | 0 某圆内包括原点
（2）右边序列：
n n1 ，其 Z 变换为：
X ( z ) x(n) z
n n1
n
如果 X(z)在 z=z0 处收敛，则它在 |z|>|z0| 处处收敛。 假设 z0 是它幅度最大的极点。 则当 n1 0 时： ROC： z0 | z | 某圆外除无穷远点 当 n1 0 时： ROC： z0 | z | 某圆外包括无穷远点
例、求 X ( z) 1 3z 1 5z 2 3z 3 z 4 的逆 Z 变换。 解：根据幂级数系数的对应关系得：
ROC : 0 | z |
x(n) (n) 3 (n 1) 5 (n 2) 3 (n 3) (n 4)
0
Βιβλιοθήκη Baidu20
如果积分式为有理分式： X ( z ) z 处有 s 阶极点。 则：
Re s[ X ( z ) z
n 1
n 1
( z ) ( z zk ) s
，即在 zk
] z zk
1 d s 1( z ) [ ] z zk s 1 ( s 1)! dz
21
1 2 z 1 z 3 例：求 X ( z ) ROC : z 1 的 Z 反变换。 1 1 (1 z )(1 0.5 z ) z3 2z 2 1 3 解：分子，分母各乘 z 得： X ( z) z ( z 1)(z 0.5) ( z 3 2 z 2 1) z n2 由留数法得 x(n) Re s[ ]z zk ( z 1)(z 0.5) R
则：
x(0) lim X ( z )
z
（ 7） X ( z )
的导数：
若 x(n) X ( z )
ROC : R
dX ( z ) 则： n x(n) -z dz
ROC : R
13
（8）帕斯瓦尔定理：
若 x(n) X ( z) 则：
1 1 | x ( n ) | X( z ) d z 2j 2 2 2 c
17
如果 X ( z ) 只有一阶极点，则可分解分式得：
N X ( z ) N Ck （部分分式） ， x ( n) Ck ( z k ) n u ( n) z k 1 k 1 z z k 其中： z k 为 X ( z ) 的单在位圆内一阶极点。 ( z zk ) X ( z) , zk ] [ X ( z )] z zk 。 系数 Ck Res[ z z
（2）时移特性：
Z[x(n)] X ( z )
-n0
ROC : R 则：
1 k
Z[x(n - n )] z [ X ( z ) - x(k ) z ]
0 k - n0
11
（3）频移特性：
Z[x(n)] X ( z )
则： Z[e
jn
ROC : R
x(n)] X ( z e j )
n n
z X(z) z-b bz X(z) 1 - bz
ROC : z b ROC : z 1 b
所以对于 x（n） ， 当 0<|b|<1 时： ROC :| b || z | 1 | b | 。当 | b | 1 时，ROC 不 存在。 9
z2 ∞
z1
结论：双边序列的Z变换收敛域一般是Z平面上的圆环。单 边序列的情况下，内环可能为原点；外环可能为无穷远点。也 10 可能是整个Z平面，也可能没有收敛域； 。
19
（3） 留数法：
x ( n)
1 2j n 1 X ( z ) z dz c
c 为收敛域内围绕原点的闭
曲线。
留数计算方法：
x(n)
1 2j n 1 n 1 X ( z ) z dz Re s [ X ( z ) z ]z zk c R
如果：在 z0 处有 1 阶极点。 则： Re s[ X ( z) z n1 ]z z ( z0 )
15
（2）部分分式法
序列的 Z 变换常可表示成有理分式： X ( z) P( z) Q( z) 。 对于工程上使用的离散信号序列（因果序列） ， 为了保证在 z 处收敛，多项式 Q( z ) 的阶次 N 应高 于 P( z ) 的阶次 M。 可以先把 X ( z ) 用部分分式法分解成低次分式之 和，再求各低次分式的反变换的叠加等于 x(n) 。
8
（4）双边序列：
综合以上两种情况可以知道双边序列的收敛收敛域为： ROC： z1 | z | z2 。Z 平面上的圆环。
例： x(n) b
n
b 为实数，讨论其 Z 变换的收敛域。
讨论：把序列分解成两序列之和， x(n) bnu(n) bnu(n 1) 对 b u ( n) 对 b u (n 1)
n
例如： x(n) a nu(n)
X ( z)
n
a u(n) z
n
a n 0 z
n
1 z X ( z) a 1 z za
z a
3
上例说明序列的Z变换可能在某个区域内收敛，在收敛域 中其Z变换可以表示成一个解析函数。根据级数收敛的条件， X(z)收敛的条件是级数绝对可和。
n
X (e j )
n
x(nT ) e jn
X (s)
n
sTn x ( nT ) e
X (e j ) X ( z ) | z e
z e j
j
X ( s ) X ( z ) | z e sT z e sT s
1 T
j ln( z )
3、Z变换的性质： 材）
（1）线性：
(相关的证明自己查阅相关教
Z[ x1 (n)] X1 ( z) ROC : R1 Z[x2 (n)] X 2 ( z) ROC : R 2 则： Z[ax1 (n) bx2 (n)] aX1 ( z) bX2 ( z )
ROC : R1 R 2
ROC : R
（4）卷积特性：
Z[x1 (n)] X1 ( z) ROC : R1 Z[x2 (n)] X 2 ( z) ROC : R 2 则： Z[x1 (n) x2 (n)] X1 ( z) X 2 ( z)
ROC : R1 R 2
12
（6）初值特性：
x(n) 0 n 0 （因果序列）
对 n 2 ，只有 z 1 和 z 0.5 两个一阶极点。
z 3 2 z 2 1 n1 z 3 2 z 2 1 n1 x(n) Re s[]z 0.5 Re s[ ]z 1 [ z ]z 1 [ z ]z 0.5 z ( z 0.5) z ( z 1) 8 13(0.5) n
n
-
X(e ) d
j
2
物理意义：序列能量=频谱能量
14
4、Z反变换 （1）幂级数法
根据X(z)和 ROC 求x(n)。
对因果序列，因为 X ( z )
n 1 z x ( n ) z X ( z ) 。 将 按 的幂级 n 0
数展开，其系数即 x(n) 。对一般序列要结合收敛域与序列形式的关 系来决定。
ln( z )
2
离散信号的Z变换 为了将离散系统的差分方程的解法，转换成代数解法引入Z 变换。 Z变换的定义及其收敛域
1、定义： 记为：
X ( z)
n
n j 其中 x ( n ) z z x jy re
X ( z ) Z[ x(n)]
a 为常数（实数或复数）求 X(z)
第 二 部分
数字信号处理多媒体教学系统
离散信号与离散系统的频谱分 析
2003。3 第2版
版权所有：武晓春
1
几种变换之间的关系
离散信号
x ( n)
n
x(nT ) (t nT )
频域表示 S域表示
Z域表示
X ( z)
n
x(nT ) z
22
当 n 2 时有原点、 z 1 和 z 0.5 三个极点。
x(0) Re s[ X ( z) z 1 ]z0 Re s[ X ( z) z 1 ]z1 Re s[ X ( z) z 1 ]z0.5 6 8 13(0.5)0 1 x(1) Re s[ X ( z) z 0 ]z0 Re s[ X ( z) z 0 ]z1 Re s[ X ( z) z 0 ]z0.5 2 8 13(0.5)1 3.5
例：求
X ( z)
z 的 Z 反变换。 2 3z 4 z 1
1 z 1 z c1 c2 3 解： X ( z ) 2 1 1 1 1 1 1 z z (1 z )(1 3 z ) (1 z ) (1 1 z ) 3
1 1 3 4 1 1 3 3
1 1 1 解得： ， c1 c2 0 ， c2 1 c c c 1 2 3 1 3 2 2
，根据不同的 ROC 得反变换。 X ( z ) 的极点为 z1 1 ， z2 1 3
1 1 n （1） ROC : z 1 得右边因果序列： x(n) 1 u ( n ) 2 2 ( 3 ) u(n) 1 1 1 n （2） ROC : 1 z 1 得双边序列： x ( n ) u ( n 1 ) 2 2 ( 3 ) u(n) 3 1 1 1 n （3） ROC : z 1 得左边序列： x ( n ) u ( n 1 ) 2 2 ( 3 ) u(n 1) 3
n
可见，同一个解析函数在不同的收敛域 可能表示不同的序列的Z变换。 所以，在说明某解析函数是某个序列 的Z变换时，要同时给出收敛域。
5
2、收敛域定义及特性： 定义：使序列x(n) 的Z变换X(z) 收敛的复平面上所有 Z的集合，称为该Z 变换的收敛域。记为ROC (Region of Convergence)。 不同特点的序列和其收敛域的关系： （1）有限长序列：
n | x ( n ) z |
n
0 n 0 例如： x(n) a u(n 1) 其中 u(n 1) 求 X(z) 1 n 0 1 z m n n n n X ( z ) a u(n 1) z a z ( ) n n m 1 a za z X ( z) 当 z a 时： 1 z a z a 4
序列范围 当 n1 n n2
X ( z ) x(n) z
n n1
n2
n
，则： ROC： 0 | z | ROC： 0 | z |
6 ROC： 0 | z |
当 n1 0, n2 0 时：(双边有限序列) 当 n2 n1 0 时：(右边有限序列) 当 0 n2 n1 时：(左边有限序列)
z2 例。求 X ( z ) 2 ROC: | z | 1 的 Z 反变换。 z 1.5 z 0.5 c1 c2 X ( z) z 解： z ( z 1)(z 0.5) z 1 z 0.5 X ( z) X ( z) c1 [( z 1) ] z 1 2 ， c 2 [( z 0.5) ] z 0.5 1 Z Z n 查表得： x(n) 2u(n) (0.5) u(n) 18
7
（3）左边序列：
n n1 ，其 Z 变换为： X ( z )
n
x ( n) z
n1
n
如果 X(z)在 z=z0 处收敛，则它在 |z|<|z0| 处处收敛。 假设 z0 是它幅度最小的极点。 则当 n1 0 时： ROC： z0 | z | 0 某圆内除原点 当 n1 0 时： ROC： z0 | z | 0 某圆内包括原点
（2）右边序列：
n n1 ，其 Z 变换为：
X ( z ) x(n) z
n n1
n
如果 X(z)在 z=z0 处收敛，则它在 |z|>|z0| 处处收敛。 假设 z0 是它幅度最大的极点。 则当 n1 0 时： ROC： z0 | z | 某圆外除无穷远点 当 n1 0 时： ROC： z0 | z | 某圆外包括无穷远点
例、求 X ( z) 1 3z 1 5z 2 3z 3 z 4 的逆 Z 变换。 解：根据幂级数系数的对应关系得：
ROC : 0 | z |
x(n) (n) 3 (n 1) 5 (n 2) 3 (n 3) (n 4)
0
Βιβλιοθήκη Baidu20
如果积分式为有理分式： X ( z ) z 处有 s 阶极点。 则：
Re s[ X ( z ) z
n 1
n 1
( z ) ( z zk ) s
，即在 zk
] z zk
1 d s 1( z ) [ ] z zk s 1 ( s 1)! dz
21
1 2 z 1 z 3 例：求 X ( z ) ROC : z 1 的 Z 反变换。 1 1 (1 z )(1 0.5 z ) z3 2z 2 1 3 解：分子，分母各乘 z 得： X ( z) z ( z 1)(z 0.5) ( z 3 2 z 2 1) z n2 由留数法得 x(n) Re s[ ]z zk ( z 1)(z 0.5) R
则：
x(0) lim X ( z )
z
（ 7） X ( z )
的导数：
若 x(n) X ( z )
ROC : R
dX ( z ) 则： n x(n) -z dz
ROC : R
13
（8）帕斯瓦尔定理：
若 x(n) X ( z) 则：
1 1 | x ( n ) | X( z ) d z 2j 2 2 2 c
17
如果 X ( z ) 只有一阶极点，则可分解分式得：
N X ( z ) N Ck （部分分式） ， x ( n) Ck ( z k ) n u ( n) z k 1 k 1 z z k 其中： z k 为 X ( z ) 的单在位圆内一阶极点。 ( z zk ) X ( z) , zk ] [ X ( z )] z zk 。 系数 Ck Res[ z z
（2）时移特性：
Z[x(n)] X ( z )
-n0
ROC : R 则：
1 k
Z[x(n - n )] z [ X ( z ) - x(k ) z ]
0 k - n0
11
（3）频移特性：
Z[x(n)] X ( z )
则： Z[e
jn
ROC : R
x(n)] X ( z e j )
n n
z X(z) z-b bz X(z) 1 - bz
ROC : z b ROC : z 1 b
所以对于 x（n） ， 当 0<|b|<1 时： ROC :| b || z | 1 | b | 。当 | b | 1 时，ROC 不 存在。 9
z2 ∞
z1
结论：双边序列的Z变换收敛域一般是Z平面上的圆环。单 边序列的情况下，内环可能为原点；外环可能为无穷远点。也 10 可能是整个Z平面，也可能没有收敛域； 。
19
（3） 留数法：
x ( n)
1 2j n 1 X ( z ) z dz c
c 为收敛域内围绕原点的闭
曲线。
留数计算方法：
x(n)
1 2j n 1 n 1 X ( z ) z dz Re s [ X ( z ) z ]z zk c R
如果：在 z0 处有 1 阶极点。 则： Re s[ X ( z) z n1 ]z z ( z0 )
15
（2）部分分式法
序列的 Z 变换常可表示成有理分式： X ( z) P( z) Q( z) 。 对于工程上使用的离散信号序列（因果序列） ， 为了保证在 z 处收敛，多项式 Q( z ) 的阶次 N 应高 于 P( z ) 的阶次 M。 可以先把 X ( z ) 用部分分式法分解成低次分式之 和，再求各低次分式的反变换的叠加等于 x(n) 。
8
（4）双边序列：
综合以上两种情况可以知道双边序列的收敛收敛域为： ROC： z1 | z | z2 。Z 平面上的圆环。
例： x(n) b
n
b 为实数，讨论其 Z 变换的收敛域。
讨论：把序列分解成两序列之和， x(n) bnu(n) bnu(n 1) 对 b u ( n) 对 b u (n 1)
n
例如： x(n) a nu(n)
X ( z)
n
a u(n) z
n
a n 0 z
n
1 z X ( z) a 1 z za
z a
3
上例说明序列的Z变换可能在某个区域内收敛，在收敛域 中其Z变换可以表示成一个解析函数。根据级数收敛的条件， X(z)收敛的条件是级数绝对可和。
n
X (e j )
n
x(nT ) e jn
X (s)
n
sTn x ( nT ) e
X (e j ) X ( z ) | z e
z e j
j
X ( s ) X ( z ) | z e sT z e sT s
1 T
j ln( z )
3、Z变换的性质： 材）
（1）线性：
(相关的证明自己查阅相关教
Z[ x1 (n)] X1 ( z) ROC : R1 Z[x2 (n)] X 2 ( z) ROC : R 2 则： Z[ax1 (n) bx2 (n)] aX1 ( z) bX2 ( z )
ROC : R1 R 2
ROC : R
（4）卷积特性：
Z[x1 (n)] X1 ( z) ROC : R1 Z[x2 (n)] X 2 ( z) ROC : R 2 则： Z[x1 (n) x2 (n)] X1 ( z) X 2 ( z)
ROC : R1 R 2
12
（6）初值特性：
x(n) 0 n 0 （因果序列）
对 n 2 ，只有 z 1 和 z 0.5 两个一阶极点。
z 3 2 z 2 1 n1 z 3 2 z 2 1 n1 x(n) Re s[]z 0.5 Re s[ ]z 1 [ z ]z 1 [ z ]z 0.5 z ( z 0.5) z ( z 1) 8 13(0.5) n
n
-
X(e ) d
j
2
物理意义：序列能量=频谱能量
14
4、Z反变换 （1）幂级数法
根据X(z)和 ROC 求x(n)。
对因果序列，因为 X ( z )
n 1 z x ( n ) z X ( z ) 。 将 按 的幂级 n 0
数展开，其系数即 x(n) 。对一般序列要结合收敛域与序列形式的关 系来决定。
ln( z )
2
离散信号的Z变换 为了将离散系统的差分方程的解法，转换成代数解法引入Z 变换。 Z变换的定义及其收敛域
1、定义： 记为：
X ( z)
n
n j 其中 x ( n ) z z x jy re
X ( z ) Z[ x(n)]
a 为常数（实数或复数）求 X(z)