重点高中自主招生考试必备【数学】

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1. 2010徽合肥168中学宏志班招生试题 (2)
2. 2010安徽蚌埠重点高中自主招生试题及答案 (6)
3.2010长郡中学理科实验班招生数学试题及答案 (14)
4. 2011年北京市四中自主招生数学试题及答案 (19)
5. 2011黄冈中学自主招生数学试题及答案 (24)
6.2011湖北襄阳市高中优录数学试题及答案 (30)
7.2011某师大附中自主招生数学试题及答案 (35)
【1】
2010安徽合肥168中学宏志班自主招生
数学试题
【卷首语】亲爱的同学们，欢迎参加一六八中学自主招生考试，希望你们凝神静气，考出水平！开放的一六八中学热忱欢迎你们！本学科满分为
120分，共17题；建议用时90分钟。

得分评卷人
一、填空题（本大题共
12小题，每小题
5分，共60分）
1、计算
28
= .
2、分解因式：)1()
1(y y x x =
.
3、函数1
1
4
x x
y
中，自变量x 的取值范围是
.
4、已知样本数据
x 1，x 2，…，x n 的方差为1，则数据10x 1＋5，10x 2＋5，…，10x n ＋5的方
差为.
5、函数x x
y 322
的图像与坐标轴的三个交点分别为（
a, 0）(b, 0)（0, c)，则a+b+c
的值等于
.
6、在同一平面上，⊙
1O 、⊙2O 的半径分别为
2和1，1O 2O ＝5，则半径为9且与⊙1O 、
⊙2O 都相切的圆有
个．
7、一个直角三角形斜边上的两个三等分点与直角顶点的两条连线段长分别为
3 cm 和
4 cm ，
则斜边长为
cm .
8、用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：
题号一
二
总
分
得
分
则第10个图案中有白色地面砖块.
9、将函数2
x y
的图像平移，使平移后的图像过
C （0，-2），交x 轴于A 、B 两点，并且△ABC
的面积等于4，则平移后的图像顶点坐标是.
10、如图，平行四边形
ABCD 中，P 点是形内一点，且△
PAB 的面积等于8 cm 2
，△PAD 的
面积等于7 cm 2，
，△PCB 的面积等于12 cm 2，则△PCD 的面积是cm 2.
（第10题图）
（第11题图）
11、一个由若干个相同大小的小正方体组成的几何组合体，
其主视图与左视图均为如图所示
的3 × 3的方格，问该几何组合体至少需要的小正方体个数是.
12、正△ABC 内接于⊙O ，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，延长
DE 交⊙O 与F, 连接BF 交
AC 于点P,则PA
PC .
得分
评卷人
二、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）
13、已知（a+b ）∶(b+c)∶(c+a)=7∶14∶9
求：①a ∶b ∶c
②
bc
c
ab a 2
2
14、一辆客车,一辆货车和一辆小轿车在同一条直线上同时同向行驶
,客车在前,小轿车在后,货车在客车与小轿车之间，走了1分钟,小轿车追上了货车
;又走了6分钟,小轿车追上了
客车.再过8分钟,货车追上了客车.设出发时客车与货车的距离为
a ，货车与小轿车的距
离为b,求a : b 的值
15、在Rt △ABC 中，斜边AB ＝5厘米，BC ＝a 厘米，AC ＝b 厘米，a ＞b ，且a 、b 是方程
2
(1)40x
m x m 的两根，
⑴求a 和b 的值；
⑵△A'B'C'与△ABC 开始时完全重合，然后让△ABC 固定不动，将△A'B 'C'以1厘米/秒的速度沿BC 所在的直线向左移动.
ⅰ)设x 秒时△A 'B 'C'与△ABC 的重叠部分的面积为y 平方厘米（y ＞0），求y 与x 之间的
函数关系式,并写出x 的取值范围；ⅱ)几秒时重叠部分的面积等于
38
平方厘米？
16、已知A （5，0），点B 在第一象限内，并且
AB 与直线l :x y
4
3平行，AB 长为8.
（1）求点B 的坐标. （2）点P 是直线l:x y
4
3上的动点，求△PAB 内切圆的最大面积
. A
B
C
M A'
B'
C'
A(5,0)
B
x
O
y
l:x
y 43
17、已知半径为r 的⊙1O 与半径为R 的⊙2O 外离，直线DE 经过1O 切⊙2O 于点E 并交⊙1
O 于点A 和点D , 直线CF 经过2O 切⊙1O 于点F 并交⊙2O 于点B 和点C, 连接AB 、CD, （1）[以下ⅰ）、ⅱ）两小题任选一题
]
ⅰ) 求四边形ABCD 的面积
ⅱ) 求证：A 、B 、E 、F 四点在同一个圆上（2）求证：AB //DC
F E
B
A
D
O 2
C
O 1
【2】
2010安徽蚌埠是重点高中自主招生
（数学）测试题
◆注意事项：
1. 本卷满分150分，考试时间
120分钟；
2. 所有题目必须在答题卷上作答，否则不予计分。

一、选择题（每小题5分，共30分。

每小题均给出了
A 、
B 、
C 、
D 的四个选项，其中有且
只有
一个选项是正确的，不填、多填或错填均得０分）1、有一正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的
结果如图所示。

如果记
6的对面的数字为
a ，2的对面的数字为
b ，那么b a 的值为
A ．3
B ．7
C ．8
D ．11
2、右图是某条公共汽车线路收支差额
y 与乘客量x 的图像（收支差额=车票收入-支出费用）
由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出两条建议：建议（1）是不改变车
票价格，减少支出费用；建议（2）是不改变支出费用，提高车票价格。

下面
给出四个图像（如图所示）则
A ．①反映了建议（2），③反映了建议（1）
B ．①反映了建议（1），③反映了建议（2）
C ．②反映了建议（
1），④反映了建议（
2）
D ．④反映了建议（
1），②反映了建议（
2）
3、已知函数
))((3n x m x y ，并且b a,是方程0))((3n x
m x 的两个根，则
实数b a n m ,,,的大小关系可能是 A ．n b a m
B ．b n a m
C ．n b m a
D ．b
n m a 1 1
x
y
O
A
1 1
x
y
O A 1 1
x
y
O
y
1 1
x
O A
A 1 1
x
y
O ①②③④
O
D
C
B
A
F
E
D
C
B
A
4、记n S =n a a a 2
1
，令1
2n
n
S S S T n
，称n T 为1a ，2a ，……，n a 这列数的
“理想数”。

已知1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为2004，那么8，1a ，2a ，……，500a 的“理
想数”为A ．200４
B ．2006
C ．2008
D ．2010
5、以半圆的一条弦BC （非直径）为对称轴将弧
BC 折叠后
与直径AB 交于点D ，若3
2DB
AD ，且
10AB ，则CB 的
长为A ．
54B ．3
4C ．
2
4D ．4
6、某汽车维修公司的维修点环形分布如图。

公司在年初分配给A 、B 、C 、D 四个维修点某
种配件各50件。

在使用前发现需将
A 、
B 、
C 、
D 四个维修点的这批配件分别调整为
40、
45、54、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行。

那么要完成上述调整，最少的调动件次（n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n ）为
A ．15
B ．16
C ．17
D ．18
二、填空题(每小题6分,共48分) 7、若x 表示不超过x 的最大整数（如
33
22
,3等），则
2001
20002001
1
3
23
12
12
1_________________。

8、在
ABC 中，E D 、分别是AC BC 、上的点，CD BD CE AE
2,2，
BE AD 、交于点F ，若3ABC
S ，则四边形DCEF 的面积为________。

9、有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各三面，在每种颜色的旗帜上分别标有号码1、2、3，现任意抽取
3面，它们的颜色与号码均不相同的概率是
___________。

x
y
E
O
D
C
B
A
10、已知抛物线bx x y 2
2
1经过点A(4,0)。

设点C （1，-3）
，请在抛物线的对称轴上确定一点D,使得
CD AD 的值最大，则D 点的坐标为＿＿＿＿＿＿＿。

11、三角形纸片内有100个点，连同三角形的顶点共103个点，其中任意三点都不共线。

现以这些点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，则这样的三角形的个数为__________。

12、已知点（1，3）在函数)0(x x
k y
的图像上。

正方形
ABCD 的边
BC 在x 轴上，点E 是对角线BD 的中点，函数
)0(x
x k y
的图像又
经过
A 、E 两点，则点E 的横坐标为__________。

13、按下列程序进行运算（如图）
规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为一次运算。

若
5x ，则运算进行_______
次才停止；若运算进行了
5次才停止,则x 的取值范围是________________。

14、给你两张白纸一把剪刀。

你的任务是：用剪刀剪出下面给定的两个图案，你可以将纸片任意折叠，但只能沿直线剪一刀
,要得到下面两个图案，在不实际折叠的情况下，想象一
下，该如何折叠？用虚线画出折痕，用实线画出剪的这一刀
(分别在旁边的白纸上画出来
)
图1 图2
三、解答题（本大题共5小题，276181412121）
15、已知：如图在Rt △ABC 中，斜边AB ＝5厘米，BC ＝a 厘米，AC ＝b 厘米，a ＞b ，
且a 、b 是方程2
(1)40x
m x m 的两根。

输入
是
乘以3
减去2
大于244
停止
否
X
⑴求a 和b 的值；⑵
C B A 与ABC 开始时完全重合，然后让
ABC 固定不动，将C B A 以1厘
米/秒的速度沿
BC 所在的直线向左移动。

①设x 秒后C B A 与ABC 的重叠部分的面积为
y 平方厘米，
求y 与x 之间的函数关系式
,并写出x 的取值范围；
②几秒后重叠部分的面积等于
8
3平方厘米？
16、已知⊙
O 过点D （3，4）,点H 与点D 关于x 轴对称，过H 作⊙O 的切线交x 轴于点
A 。

⑴求
HAO sin 的值；
⑵如图，设⊙O 与x 轴正半轴交点为P ，点E 、F 是线段OP 上的动点（与点P 不重合），连接并延长DE 、DF 交⊙O 于点B 、C ，直线BC 交x 轴于点G ，若
DEF 是
以
EF 为底的等腰三角形，试探索
CGO sin 的大小怎样变化，请说明理由。

17、青海玉树发生7.1级强震，为使人民的生命财产损失降到最低，部队官兵发扬了连续作
战的作风。

刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令：一分队立即出发前往距营地30千米
的
A 镇，二分队因疲劳可在营地休息
)30(a
a 小时再往A 镇参加救灾。

一分队出发后得
知，唯一通往A 镇的道路在离营地
10千米处发生塌方，塌方地形复杂，必须由一分队用
1
小时打通道路。

已知一分队的行进速度为
b 千米/时，二分队的行进速度为
)4(a 千米/时。

⑴若二分队在营地不休息，问要使二分队在最短时间内赶到A 镇，一分队的行进速度
至少为多少千米/时？
⑵若
b =4千米/时，二分队和一分队同时赶到
A 镇，二分队应在营地休息几小时？
A
B
C
M
A'
B'
C'
x
y
H
A
D
O
O C
P F
y
G
D
E x
B
图4
18、如图1、2是两个相似比为
1：2的等腰直角三角形，将两个三角形如图
3放置，小
直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合。

⑴在图3中，绕点D 旋转小直角三角形，使两直角边分别与BC AC 、交于点F E,，
如图4。

求证：
2
2
2
EF BF
AE
；
⑵若在图3中，绕点C 旋转小直角三角形，使它的斜边和CD 延长线分别与AB 交于
点F E 、，如图5，此时结论2
2
2
EF BF
AE
是否仍然成立？若成立，请给出证明；若
不成立，请说明理由。

⑶如图，在正方形ABCD 中，F E 、分别是边CD BC 、上的点，满足CEF 的周长
等于正方形
ABCD 的周长的一半，AF AE 、分别与对角线BD 交于N M 、，
试问线段BM 、MN 、DN 能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，
请说明理由。

19、定义：在平面内，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量。

平面向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。

其中大小
D
图1
B
A
C
图2
D A
C
B
图3
F
E D B
A
C
N
F
M E
B
D
A
C A
D B
F
E
图5
C
图二
相等，方向相同的向量叫做相等向量。

如以正方形ABCD 的四个顶点中某一点为起点
,另一个顶点为终点作向量,可以作出8
个不同
的向量:AB 、BA 、AC 、CA 、AD 、DA 、BD 、DB （由于AB 和DC 是相等向量，因此只算一个）。

⑴作两个相邻的正方形(如图一)。

以其中的一个顶点为起点
,另一个顶点为终点作向量
,
可以作出不同向量的个数记为
)2(f ，试求)2(f 的值；
⑵作n 个相邻的正方形(如图二)“一字型”排开。

以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为
)(n f ，试求)(n f 的值；
…
共n 个正方形⑶作
32个相邻的正方形(如图三)排开。

以其中的一个顶点为起点
,另一个顶点为终点
作向量, 可以作出不同向量的个数记为
)32(f ，试求)32(f 的值；
三
⑷作n m
个相邻的正方形(如图四)排开。

以其中的一个顶点为
起点，另一个顶点为终点作向量
, 可以作出不同向量的个数记为
)(n m f ，试求)(n m f 的值。

图一
共n 个正方形相连
共m 个正方形相连
图四
2010年普通高中自主招生考试（数学）测试题参考答案和评分标准
一、选择题(每小题5分，共30分)
1、B
2、B
3、D
4、C
5、A
6、B 二、填空题（每小题6分，共48分）
7、2000
8、2
19、
14
110、(2,-6) 11、201 12、
6
13、 4 ,
4
,114、
（本题的答案不唯一，其它画法相应给分）三、解答题（本大题共
5小题，27618141212
1）
15、⑴a =4，b=3
⑵①y=
638
32
x x
(0
x 4)
②经过3秒后重叠部分的面积等于8
3平方厘米。

16、⑴（2）试探索
CGO sin 的大小怎样变化，请说明理由.
解：当E 、F 两点在OP 上运动时（与点P 不重合），CGO sin 的值不变过点D 作EF DM 于M ，并延长DM 交O 于N ，连接ON ，交BC 于T 。

因为DEF 为等腰三角形，EF DM ，所以DN 平分BDC
所以弧BN=弧CN ，所以BC OT ，所以MNO
CGO 所以CGO sin =5
3sin ON
OM MNO
即当
E 、
F 两点在OP 上运动时（与点P 不重合），CGO sin 的值不变。

17、⑴一分队的行进速度至少为
3
20千米/时。

⑵要使二分队和一分队同时赶到A 镇，二分队应在营地不休息。

5
3sin
AO
HO HAO
18、⑴在图4中，由于
BD AD ，将AED 绕点D 旋转180，得
D E B ，
E B AE
、D E ED。

连接F
E 90
CAB
ABC
E
AB ABC
E
FB 在F E B Rt 中有2
2
2
F E BF B E 又
FD 垂直平分E
E E
F EF
代换得
2
2
2
EF
BF
AE
在图5中，由
BC AC ，将AEC 绕点C 旋转90，得C
E B E
C CE
E B AE ,连接F
E 90
CAB
ABC
E
CB ABC
E
FB 在
F E B Rt 中有2
2
2
F
E B
F B
E 又可证CE
F ≌F E C ，得E F EF V
代换得
2
2
2
EF
BF
AE
(3)将ADF 绕点A 瞬时针旋转90，得ABG ，且AG
AF GB FD ,因为
CEF 的周长等于正方形
ABCD 周长的一半，所以
,
BE CE
FD
CF
CB
CD
CF
EF
CE
化简得EG EF
从而可得
AEG ≌AEF ，
推出
45
EAG
EAF
此时该问题就转化为图5中的问题了。

由前面的结论知：
2
2
2
DN BM
MN
，再由勾股定理的逆定理知：
线段
BM 、MN 、DN 可构成直角三角形。

19、⑴14)2(f ⑵2
6)
(n
n f ⑶)32(f =34 ⑷
)(n m f =2（n m
）+4（mn ）
【3】
长郡中学2010理科实验班招生考试数学试卷
一．选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题4分，共32分）
1.已知
113x
y
，则
5334xy x y x
y
xy
的值等于。

2．计算：20062006×2007+20072007×20082006×200720072007×20082008
=。

3．函数
32
1
x
x x y ，当x =
时，
y 有最小值，最小值等于
．
4．如图，△ABC 中，∠A 的平分线交BC 于D ，若AB=6 cm ，
AC=4 cm ，∠A=60°，则AD 的长为
cm ．
5．甲上岳麓山晨练，乙则沿着同一条路线下山，他们同时出发，相遇后甲再上走16分钟，
乙再下走9分钟，各自到达对方的出发地. 那么甲上山和乙下山的速度之比等于
6．如果关于x 的方程01
2122
a
x a
x
有一个小于1的正数根，那么实数
a 的
取值范围是
.
7．实数x 、y 满足x 2－2x －4y ＝5，记t ＝x －2y ，则t 的取值范围为___________________．
8．两个任意大小的正方形，都可以适当剪开，拼成一个
较大的正方形，如用两个边长分别为a ，b 的正方形
拼成一个大正方形. 图中Rt △ABC 的斜边AB 的长等
于
（用a ，b 的代数式表示）.
二．选择题：（每小题4分，本题满分32分）
9．．若3
2
10x
x
x ，则26
27
x
x
+ …+x x
11
+ …+27
26
x x
的值是（
）
（A ）1 （B ）0 （C ）-1 （D ）2
10．用橡皮筋把直径为10cm 的三根塑料管紧紧箍住，这条拉紧的橡皮筋的长度（精确到
0.1
等于
（
）
（A ）94.2 cm
（B ）91.4 cm
（第4题）
A
B
C
D a
b
B
C
A
第8题
（C ）61.4 cm
（D ）56.4 cm
11、李姐在超市买了4包酸奶和4包鲜奶，共付款a 元，后来她退了2包酸奶，再买4包
鲜奶，收银员找还给她
b 元（0<b<a ）. 每包酸奶的价格是（
）
（A ）
6
a 元
（B ）
6
b 元（C ）
6
b
a 元（D ）
6
b
a 元12．定义：定点A 与⊙O 上的任意一点之间的距离的最小值称为点
A 与⊙O 之间的距离．现有一矩形ABCD 如图，AB=14cm ，
BC=12cm ，⊙K 与矩形的边AB 、BC 、CD 分别相切于点
E 、
F 、
G ，则点A 与⊙K 的距离为（）
（A ）4cm
（B ）8cm
（C ）10cm
（D ）12cm
13．国际象棋决赛在甲乙两名选手之间进行，比赛规则是：共下
10局棋，每局胜方得1
分，负方得0分，平局则各得0.5分，谁的积分先达到
5.5分便夺冠，不继续比赛；
若10局棋下完双方积分相同，
则继续下，直到分出胜负为止.下完8局时，甲4胜1平.
若以前8局棋取胜的频率为各自取胜的概率，那么在后面的两局棋中，甲夺冠的概率是（
）
（A ）
2
1（B ）
8
5（C ）
64
45（D ）
64
4914．若
a b c t b
c
c
a
a
b
，则一次函数2
y tx
t 的图象必定经过的象限是（
）
（A ）第一、二象限（B ）第一、二、三象限（C ）第二、三、四象限（D ）第三、四象限
15、如图，直线x ＝1是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的对称轴，则有
（
）
（A ）a ＋b ＋c ＞0
（B ）b ＞a ＋c （C ）abc ＜0 （D ）c ＞2b
16．已知x 、y 、z 是三个非负实数，满足3x ＋2y ＋z ＝5，
x ＋y －z ＝2，若S ＝2x ＋y －z ，则S 的最大值与最小值的和为（
）
（A ）5
（B ）6
（C ）7
（D ）8
三．解答题：（每题12分，满分36分）
17 。

通过实验研究，专家们发现：初中生听课的注意力指标数是随老师讲课时间的变化而
变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散。

学生注意力指标数y 随时间x （分钟）变化的函数图象如图所示（
y 越大表示学生注意力越集中）：当
010x 时，图象是抛物线的一部分；当
10
20
x
A
D
B C
（第12题）
K E
F G
和
2045x 时，图象是线段。

（1）当
10x 时，求y 关于x 的函数关系式；
（2）一道数学竞赛题需要讲解
24分钟，问老师能否经过适当安排使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于
36。

18．如图，点P 是圆上一动点，弦
AB=
3cm ，PC 是
APB 的平分线，BAC=30。

（1）当
PAC 等于多少度时，四边形PACB 有最大面积？最大面积是多少？
（2）当PA 的长为多少时，四边形PACB 是梯形？说明你的理由。

19．已知：如图，在Rt △ABC 中，斜边AB ＝5厘米，BC ＝a 厘米，AC ＝b 厘米，a ＞b ，且a 、b 是方程2
(1)40x m x m 的两根，
⑴求a 和b 的值；
⑵△'
'
'
C B A 与△ABC 开始时完全重合，然后让△ABC 固定不动，
将△'
''C B A 以1厘米/秒的速度沿BC 所在的直线向左移动.
ⅰ)设x 秒后△'
'
'
C B A 与△ABC 的重叠部分的面积为y 平方厘米，求y 与x 之间的函数关系式,并写出x 的取值范围；ⅱ)几秒后重叠部分的面积等于
38
平方厘米？
A
B
C
M A'
B'
C'
长郡中学2010理科实验班招生考试数学参考答案
1、
25
2、0
3、-2，2
4、53
125、3：4
6、
2
11a
7、2
9t
8、
a
b a
22
9．C 10、C 11、D 12、A
13 D 14、A
15、D
16、A
17解：（1）设当
010x 时，函数的解析式为
2
y ax bx c
由图象知抛物线过
(0,20),(5,39),(10,48)三点
20255391001048c a
b
c a b
c 解得124,,20
5
5a b
c
当
10x 时，y 关于x 的函数关系式为
2
124205
5
y
x
x （010x ）
6分
（2）当
020x 时，48y 当2045x
时，28
35225
5
y
x
令36y ，则由
2
12420
36
55
x
x 解得4x
或20x
（舍去）
由
283523625
5
x
解得530
7
x
12分在上课4分钟后和530
7
分钟前，学生注意力的指标数都超过
36
18．解：（1）
PC 平分APB APC BPC
AC BC
由
3,
30AB
BAC
，求得1
AC
BC ABC
PAB
PACB S S
S
四边形ABC
S
为定值，当PAB
S
最大时，四边形PACB 面积最大
此时PC 应为圆的直径
90PAC 30APC BAC
22
PC AC
四边形PACB 的最大面积为
2
132
3()
2cm …………………6分
（2）若四边形PACB 为梯形，则当
AC PB ∥时
由（1）知1,
30
AC BC CAB
PBC
PA=BC=1
……8分
当
PA ∥BC 时，则30
PAB ABC
在
PBA 中，60APB ，30
PAB ABC
180603090
ABP 此时PA 为圆的直径，由（
1）知PA=2
当PA=1或2时，四边形PACB 为梯形
(12)
19.解:(1)∵△ABC 是Rt △且BC=a ，AC=b ，AB=5 （a>b ）
又a 、b 是方程的两根
∴
25
4010
)4(4)
1(2
2
2
b
a
m
b a m b a m m ∴(a+b)2
-2ab=25
(m-1)2
-2(m+4)=25 推出 (m-8)(m+4)=0…………. 得m 1=8 m 2=-4 经检验m=-4不合舍去∴m=8 …………
∴x 2
-7x+12=0 x 1=3 x 2=4 ∴a=4，b=3
(2) ∵△'
'
'
C B A 以1厘米/秒的速度沿BC 所在直线向左移动。

∴x 秒后BB ′=x 则B ′C ′=4-x ∵C ′M ∥AC ∴△BC ′M ∽△BCA ∴
AC
C M BC
C B ∴)
4(4
3x C
M ∴)4
(43)4
(21x x y
S
M
C B 即2
)
4(8
3x y
∴y=6383
2
x
x
(0x 4)
当y=8
3时
2
)4
(83x =
8
3x 1=3 x 2=5(不合舍去) ∴经过3秒后重叠部分的面积等于
8
3平方厘米。

【4】
北京市四中2011年自主招生考试
数学素质测试题
◆注意事项：本试题共三大题，满分120分，考试时间
120分钟。

参考公式：
3
2
2
3
3
33b ab b a a b a 2
2
3
3
b ab a b a b a 322
33
33b
ab
b
a a
b
a
2
233b
ab
a
b a
b
a
一、选择题（每小题5分，共30分。

以下每小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个
选项，其中有且只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、
多填或错填均得
0分）
1、已知80
sin cosA ，则锐角A 的取值范围是
（
）A ．
80
60A B ．
8030A C ．60
10A D ．30
10
A
2、实数
b 满足3b ，并且有实数a ，使b a
恒成立，则a 的取值范围是
A ．小于或等于3的实数
B ．小于3的实数
C ．小于或等于3的实数
D ．小于
3的实数
3、设
1x 、2x 是方程02
k x x
的两个实根，若恰有2
22
2121
2k x
x x x 成立，
则k 的值为（
）
A ．
1B ．
2
1或
1
C ．
2
1D ．
2
1或 1 4、代数式
9)12(42
2
x x
的最小值为
A ．12
B ．13
C ．14
D ．11
5、掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1至6六个数。

连续掷
两次，掷得面向上的点数之和是
3的倍数的概率为
A ．36
5
B ．6
1
C ．3
1
D ．9
4
6、100
99433221A ．223300
B ．333300
C ．443300
D ．433300
学
校姓
名准
考证号（
）
（）
2
3（）
（）
二、填空题（每小题
5分，共30分）
1、多项式41162
3
x x
x 可分解为。

2、已知点),(y x p 位于第二象限，并且
62x
y
，x 、y 为整数，则点p 的个数
是。

3、已知⊙O 的半径1OA ，弦AB 、AC 的长分别是2、3，则BAC 的度数
是。

4、方程01
2008200620072x x 的较大根为a ，方程020*******
x x
的
较小根为
b ，则b
a 。

5、已知3
3
)15(4)15(4x ，则x x 123
的算术平方根是。

6、如图，在
ABC Rt 中，
90BCA
，
30BAC
，
6AB 。

将ABC 以点B 为中心逆时针旋转，使点
C 旋转
至AB 边延长线上的点C 处，那么AC 边转过的图形（图中
阴影部分）的面积是。

三、解答题（每题12分，共60分）
1、现将一个表面涂满红色的正方体的每条棱十等分，此正方体分割成若干个小正方体。

在这些小正方体中，求：
⑴两面涂有红色的小正方体的个数；
⑵任取一个小正方体，各面均无色的小正方体的概率；⑶若将原正方体每条棱
n 等分，只有一面涂有红色的小正方体的个数。

2、已知x 、
y 均为实数，且满足
17y
x
xy
，662
2
xy
y
x ，
求：代数式4
3
2
2
3
4
y xy
y
x y
x x 的值。

3、在直角ABC 中，90C ，直角边BC 与直角坐标系中的
x 轴重合，其内切圆
的圆心坐标为
)1,0(p ，若抛物线122
kx kx
y 的顶点为A 。

求：
⑴求抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向；⑵用k 表示B 点的坐标；⑶当k 取何值时，
60ABC 。

4、如图，OA 和OB 是⊙O 的半径，并且OB OA 。

P 是OA 上的任意一点，BP 的
延长线交⊙
O 于点Q ，点R 在OA 的延长线上，且RQ RP。

⑴求证：RQ 是⊙O 的切线；
⑵求证：2
2
OP
PQ
PB OB ；
⑶当
OA RA 时，试确定B 的取值范围。

5、平面上有n 个点（3n ，n 为自然数），其中任何三点不在同一直线上。

证明：一
定存在三点，以这三点作为顶点的三角形中至少有一个内角不大于
n
180。

A
B
Q
P R
O
北京市四中2011年自主招生考试
数学素质测试题答案
一、选择题（每小题5分，共30分）
题号 1 2
3 4 5 6 答案
D
C
A
B
C
B
二、填空题（每小题
5分，共30分）
1、)
12)(43)(1(x x x 2、6 3、15或754、2008 5、226、9
三、解答题（每小题12分，共60分）
1、
⑴96块（4分）⑵512.0125
64
1000512P （4分）
⑶2
)2(6n N
（4分）
2、由已知条件可知
xy 和)(y x 是方程066
172
t t 的两个实数根，
61t ，11
2
t 11
6y x
xy 或
6
11
xy y x （4分）
当11xy ，6y x 时，x 、y 是方程01162
v v 的两个根
∵
44
36
1
∴此方程没有实数根（3分）
当6xy ，11y x 时，x 、y 是方程06112
u u 的两个根∵0241212
∴此方程有实数根，这时
109
2)
(2
2
2
xy y x
y
x
∴4
22
2
3
4y
xy
y
x y x x
)
()(2
2
22
22
44y x xy y x xy y
x y
x
12499
)
()(2
22
2
2
22
y x
xy y x y x 3、
⑴∵1
22
kx kx
y
∴对称轴
1x
，易见抛物线是以ABC Rt 的直角边AC
所在直线为对称轴，由题易得)1,1(k A ，又当0x 时，1y 即抛物线过)1,0(p ，故0
k 开口向下。

（4分）
⑵如图，K AC
1OB
OB CO BC
1OB AE BD AD AB k
OB OB CE AC 由勾股定理得2
2
2
)
()1()
1(k OB OB k 1
1k k OB
OB 1
1k
k 0,1
1k k B （4分）
⑶∵60ABC ，∴3tan ABC
又3
21tan
2
k
k ABC
·A
B
C
E
D
O
P y
x
∴0
1322
k k ∴
231
k
，2
32
k 又∵0k
∴23
k
（4分）
4、
⑴证明：连结OQ ，90OQR ∴RQ 是⊙
O 的切线
（4分）
⑵证明：延长
AO ⊙O 交于点C
2
2
)
)(()
)((OP OB
OP OB
OP OB
OP OA
OP OC
PA PC PQ
PB ∴2
2
OP
PQ
PB OB
（4分）
⑶解：当OA RA 时，30R ，易得15B ，当R 与A 重合时，
45
B
∵R 是OA 延长线上的点∴R 与A 不重合∴45B 又∵OA RA ∴45B ∴4515B （4分）
5、如图，在这
n 个点中，必存在这样的两点，使其它各点均在这两点所在直线同侧，设这
两个点为1A 、2A ，其它各点按逆时针方向设为
3A 、4A 、……n A 。

⑴当
n
A A A n 180
2180
12时，连n
A A 2在
n A A A 21中，
n A A A A A A A A A n
n n
1802180
122
112则
n A A A 12、21A A A n 中必有一个角不大于
n
180（6分）
⑵当
n A A A n
180
218012时，
n
A A A A A A A A A A A A n
n 1802180
115
144
133
12则在这2n 个角中，必有一个角不大于
n
180设
n
A A A i
i 180
1
1，则
11i i A A A 即为所求三角形。

（6分）
A 1
A 2
A n
·A 3
·A 4
·A n-1
【5】
2011年黄冈中学自主招生考试数学试卷
一、填空题（
408
5分）
1、方程组
262
11
3
3
y x y x 的解是
2、若对任意实数x 不等式b ax
都成立，那么a 、b 的取值范围为
3、设
21x ，则2212
x
x x
的最大值与最小值之差为
4、两个反比例函数
x
y 3，x
y
6在第一象限内的图象点
1P 、2P 、3P 、…、2007P 在反
比例函数x
y
6上，它们的横坐标分别为
1x 、2x 、3x 、…、2007x ，纵坐标分别是1、
3、5…共2007个连续奇数，过1P 、2P 、3P 、…、2007P 分别作y 轴的平行线，与x y
3的图象交点依次为
)','(111y x Q 、)','(222y x Q 、…、),('2007
'2007
2007y
x
Q ，则
2007
2007Q P 5、如右图，圆锥的母线长是
3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，从A 点出发绕侧面
一周，再回到A 点的最短的路线长是6、有一张矩形纸片
ABCD ，9AD
，12AB ，将纸片折叠使A 、C 两点重合，那么折
痕长是7、已知
3、a 、
4、b 、5这五个数据，其中
a 、
b 是方程0232
x x
的两个根，则
这五个数据的标准差是8、若抛物线1422
p px x
y
中不管p 取何值时都通过定点，则定点坐标为
二、选择题（4085分）
9、如图，
ABC 中，D 、E 是BC 边上的点，1:2:3::EC
DE BD ，M 在
AC 边上，2:1:MA CM ，BM 交AD 、AE 于H 、G ，则
GM HG BH ::等于
(
)
A 、1:2:3
B 、1:3:5
C 、
5
:12:25D 、
10
:24:5110、若一直角三角形的斜边长为
c ，内切圆半径是r ，则内切圆的面积与三角形面积之比是(
) A 、
r
c
r 2B 、
r
c r
C 、r c r
2D 、
2
2
r
c
r 11、抛物线2
ax y
与直线1x
，2x
，1y ，2y
围成的正方形有公共点，
则实数a
的取
值
范
围
是
( )
A 、
1
4
1a B 、
2
2
1a C 、
1
2
1a D 、
2
4
1a 12、有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔
3支，练习本7本，圆珠笔1支共需15
.3元；若购铅笔4支，练习本10本，圆珠笔1支共需2.4元，那么，购铅笔、练习本、圆
珠笔各
1
件共
需
(
)
A 、2.1元
B 、05.1元
C 、95.0元
D 、9.0元
13、设关于x 的方程09)2(2
a
x
a
ax
，有两个不相等的实数根1x 、2x ，且
1
x 12
x ，
那
么
实
数
a
的取值范围是
(
)
A 、11
2a
B 、
5
27
2a
C 、
5
2a
D 、
11
2a 14、如图，正方形
ABCD 的边1AB
，
和
都是以
1为半径的圆弧，则无阴影部分的
两部分的面积之差是( )
A 、
1
2
B 、4
1
C 、
13
D 、6
1
15、已知锐角三角形的边长是2、3、x ，那么第三边x 的取值范围是
(
) A 、5
1
x B 、
13
5x C 、
5
13x D 、
15
5x
16、某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了
%x ，第三季度的产值又比第二季度的
产值增长了%x ，则第三季度的产值比第一季度增长了
（
）
A 、%2x
B 、%
21
x C 、%%)1
(x x ?D 、%
%)2(x x ?三、解答题
17、（15分）设m 是不小于
1的实数，关于x 的方程033)2(22
2
m m
x m x
有
两个不相等的实数根1x 、2x ，（1）若2
1x 62
2
x ，求m r 值；（2）求
2
2
2
12
1
11x mx x mx 的最大值。

18、（15分）如图，开口向下的抛物线
a ax
ax
y 1282
与x 轴交于A 、B 两点，抛物
线上另有一点C 在第一象限，且使OCA ∽OBC ，
（1）求OC 的长及AC
BC 的值；（2）
设直线
BC 与y 轴交于P 点，点C 是BP 的中点时，求直线BP 和抛物线
的解析式。

19、（15分）某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准
备每周（按
120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰
箱至少生产
60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表
家电名称空调
彩电
冰箱
工
时
213141产值（千元）
432
问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少（以千元为单位）？
20、（10分）一个家庭有
3个孩子，（1）求这个家庭有2个男孩和1个女孩的概率；（2）求
这个家庭至少有一个男孩的概率。

21、（15分）如图，已知⊙O 和⊙'O 相交于A 、B 两点，过点A 作⊙'O 的切线交⊙O 于
点C ，过点B 作两圆的割线分别交⊙O 、⊙'O 于E 、F ，EF 与AC 相交于点P ，（1）
求证：PF PC PE PA ??；
（2）求证：PB
PF PC
PE 2
2；（3）当⊙
O 与⊙'O 为等圆时，
且
5:4:3::EP CE PC 时，求PEC 与FAP 的面积的比
值。

黄冈中学2011自主招生数学试卷参考答案及评分标准
一、1、
261
1y x 或
28
22
2y x 2、0a 0b 3、14、
2
40135、3
36、4
457、
2
8、)
33,4(二、9～16 DBDB DABD
三、17、（15分）
解：
方程有两个不相等的实数根
44)33(4)
2(42
2
m m m
m 1
m 由题意知：
1
1m （
1
）
6
10102)33(2)
2(42)(2
2
2
2
12
212
2
2
1
m m m m
m x x x x x x 2
17
5
m
1
1
m 2
17
5
m
（2）
2
2
212
111x mx x mx m
m m m m
m x x x x x x x x m 22
3
2121212
22
1
)
2882()
1)(1()]
([2
5)
2
3(2)13(2)
1()
13)(1(22
2
2
m m m
m m m m
m m )
11
(m
1
m
y 取最大值为1018、（15分）
解：（1）由题设知0a
，且方程01282
a ax ax
有两二根6
,221
x x 于是6
,2OB
OA
OCA ∽OBC
122
?OB
OA OC
即3
2OC
而
32
2OC
OB
S S
AC BC OCA OBC
故
3
AC
BC （2）因为C 是BP 的中点
BC
OC
从而
C 点的横坐标为3
又32OC )3,3(C 设直线BP 的解析式为b kx
y
，因其过点)0,6(B ，)3,3(C ，则有b
k
b k 33
603
233b
k 3
233x
y
又点)3,3(C 在抛物线上
a
a a
122493
3
3a
抛物线解析式为：3
43
383
32
x
x
y 19、（15分）
解：设每周应生产空调、彩电、冰箱的数量分别为
x 台、y 台、z 台，则有
60
)
3(12190
120
41312
1360z y x
z
y
x
z y x 总产值x
x y x y x z y x z y x A 1080)3(720)2()(223460
z 300
y
x
而360
3y
x 300
3360x
x 30
x
1050
A 即
30
x 270
y
60
z 20、（10分）
解：用
B 和G 分别代表男孩和女孩，用“树状图”列出所有结果为：
这个家庭有
2个男孩和1个女孩的概率为
8
3。

这个家庭至少有一个男孩的概率
8
7。

21、（15分）
解：（1）证明：连结
AB CA 切⊙'O 于A F
CAB E
CAB
F
E
CE
AF //PA
PC PF
PE PF
PC PE PA ??①（2）证明：在⊙
O 中，PC
PA PE
PB ??②
①×②得
PF
PC PA PB
PE PA ????2
2
PB
PF PC
PE 2
2
（3）连结
AE ，由（1）知PEC ∽PFA ，而5
:4:3::EP CE PC 5
:4:3::PF FA PA 设x
EP x CE
x PC 5,4,32
2
2
CE
PC
EP 2
2
2
FA
PA
PF
90
CAF C AE 为⊙O 的直径，AF 为⊙'O 的直径
⊙O 与⊙
'O 等圆
y AF AE
42
2
2
AE CE AC
2
2
2
)4()
4()
33(y x y x 即
718252
2y xy x 即0
)
)(725(y x y x 25
7y
x 625
49:2
2y
x S S
FAP
ECP
【5】
2011年湖北襄阳市优录考试
数学试题
一、填空题：（每小题5分，共50分）
1.如图，在数轴上A,B 两点表示的数分别是－1和
2，点B 与点C 关于原点对称，则线段
AC 的
长是____________. 2.已知1,2y x
，则代数式
y
x
y y
x
x 2·
y
x
y
x xy 112的值为
_____________.
3.“五一”期间，某市教育工会举行了中学生篮球友谊赛，
获得男子篮球冠军队的五名主力
队员的身高如下表：
队员编号 1 2 3 4 5 身高（单位：厘米）
168
170
172
171
169
则他们身高的方差是_________厘米2
.
4.市招委在确定每年推荐招生考试的抽考科目时，采用随机抽签方式进行.即做六个相同的
签，分别写上思品、历史、地理、物理、化学、生物六个科目，从中随机抽取两个签，这
两个签所写的科目即为当年抽考科目,今年抽考的是地理和生物
.2012年抽考科目仍然为
地理和生物的概率是
____________.
5.如图，（1）对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折
痕EF ，把纸片展平；（2）再一次折叠纸片，使
A 点落在EF 上，
并使折痕经过点
B ，得到折痕BM ,同时得到了线段
BN ，过N
作NH ⊥BC 于H ,则∠NBC 的度数是___________. 6.一个圆锥的侧面积是底面积的
2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数是
________.
7.点A ),(11y x ，B ),(22y x , C )4,2(是双曲线x
k y 上的三个点，若
1x ＞2x ＞0，
则1y ，2y 的大小关系是___________________.
得分
评卷人
A
B
C 第1题
A B
C
D E F
M
N 第 5 题
H。