第3章 逻辑代数与逻辑函数

A=1
C=0 B=1
五.卡诺图化简 1. 化简依据： • 图中任何2=21个为1的相邻项可以合并为1个与项，并消去 一个变量； • 任何4=22个为1的相邻项可以合并为1个与项，消去2个变量； • 任何2K个为1的相邻项可以合并为1个与项，消去K个变量。 2. 化简步骤: • 将为1的相邻项（方格）尽可能多的圈出，每个圈内1的个 数满足2k； • 方格1可以重复使用,每个圈要有新1； • 必须圈完所有的1，独立1对应一个最小项； • 将所有包围圈内的最小项合并成对应与项，然后相加得到 最简与或表达式。
四. 逻辑函数的卡诺图表示 1. 由逻辑函数真值表直接画出的卡诺图
BC A 00 01 11 10 1 1 3 0 2 0 0 0
1 4 0 5 1 7 1 6 1
真值表输入变量每一行对应一个最小项，即对应卡 诺图中的一个方格，将最小项取值（即输出变量取值） 填入卡诺图对应方格中，即构成相应的卡诺图。
2.消去合并项：
3.消去因子:
例 F=ABC+ABC =A(BC+BC)=A 例 F=AB+AC+BC
=AB+(A+B)C=AB+ABC=AB+C
4.添加项配项：
例 F=AB+BC+BC+AB =AB+BC+BC+AB+AC =AB+BC+AC
•对较简单逻辑函数用代数化简很方便。对较复杂的逻辑 函数化简不但要求熟练掌握逻辑代数的基本公式，而且 需要一些技巧，特别是较难掌握获得代数化简后的最简 逻辑表达式的方法。
三. 基本运算规则
1．运算顺序 •在逻辑代数中，运算优先顺序为:先算括号，再是非运算， 然后是与运算，最后是或运算。 2．代入规则 •在逻辑等式中，如果将等式两边出现某一变量的位置都代之 以一个逻辑函数，则等式仍然成立。这就是代入规则。 例如，已知 A B A B 。若用Z=A· C代替等式中的A，根据代 入规则，等式仍然成立，即
例：根据真值表写出函数T1和T2的与或表达式和与非表达式。 解： 输入 A B C 输出 T1 输出 T2
T1 ABC ABC ABC
T1 ABC ABC ABC
T2 ABC ABC ABC
T2 ABC ABC ABC
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1
一. 基本公式
1.变量与常数的计算公式： A· 0=0 A· 1=A A+1=1 A+0=A A + 1= Ā A + 0=A 2.变量与变量的计算： A· A=A A+A=A A· A=0 A+A=1 A=A A + A=0 A + A=1
二. 基本运算定律
1.交换律：A B=B A A+B=B+A A + B=B + A 2.结合律：A(B C)=(A B)C (A+B)+C=A+(B+C) (A + B) + C=A + (B + C) 3.分配律：A(B＋C)=AB＋AC A(B+C)=AB+AC A＋(B C)=（A＋B)(A＋C) 4.吸收律：A(A+B)=A A+AB=A AB+AB=A ĀB+A=A+B AB+ĀC+BC= AB+ĀC 5.反演律(摩根定律)：AB=A+B A+B=A B • 以上这些定律可以用基本公式或真值表进行证明。 • 例1 利用基本公式证明AB+ĀC+BC=AB+ĀC。 证：左边=AB+ĀC+(A+Ā)BC=AB+ĀC+ABC+ĀBC =AB ( 1+C ) + Ā C ( 1+B ) =AB+ Ā C=右边 • 如果AB+ĀC+BCEFG=?
0 1 0 1 0 1 0 1
1 1 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 1 1
3.2 逻辑函数的卡诺图化简法
一. 最小项 • 在含有三个输入变量A、B、C的逻辑函数中， A、B、C 的所有取值可以构成8种不同状态，用变量表示为8个乘 积项：ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC， 它们统称为逻辑函数的最小项。
•特点： 1.每个乘积项都有三个变量，原、反变量均可； 2.每个乘积项中，同一原、反变量只能出现1次； 3. n个原变量的最小项最多有2n个。
• 性质： 对变量的任一取值，只有一个最小项为1； 两个最小项之积为0；全部最小项之和为1。
二. 最小项(标准)表达式
对于某种逻辑关系，用真值表来表示是唯一的，用前 面讨论的逻辑表达式来表示可以有多个表达式。如果用最小 项之和组成的表达式来表示，也是唯一的。用最小项表示的 逻辑函数称为最小项(标准)表达式，其表达式是唯一的。 例：F=ABC+ABC+ABC 最小项表达式还可简写为F=∑mi，式中mi表示最小项， 下标i是最小项值为1时对应变量的十进制数值。 上例可写为F（A,B,C）= m1+m6+m7 =∑m(1,6,7)= ∑ (1,6,7)
F(A,B,C,D) =∑m(4,6,8,9,10,12,13,14)+∑d(0,2,5)
CD AB 00 01 11 10 0 0 2 1 0 3 × 00 × 4 × 5 0 6 01 1 7 1 1 13 1 15 1 11 12 0 14 10 1 8 1 9 11 1 0 10
F = D + AC
四. 逻辑函数的卡诺图表示 2. 由逻辑函数表达式画出的卡诺图 例：画出F=AB+C+ABC 的卡诺图。
BC A 00 01 11 10 0 1 0 0 1
1 1 0 1 1
解：先写标准表达式，再画卡诺图 F=AB(C+C)+C(A+A)(B+B)+ABC =ABC+ABC+ABC+ABC+ABC =∑m(7,6,4,2,0)
三. 卡诺图
B A 0 0 0 1 2
1 1 3
BC A 00 01 11 10 0 0 1 3 2 1 4 5 7 6
三变量
CD AB 00 01 11 10 0 1 3 2 00 4 5 7 6 01 11 12 13 15 14 10 8 9 11 10
四变量
二变量
(1)每方格代表一个最小项，方格内的数字表示相应最小项 的下标，最小项的逻辑取值填入相应方格； (2)卡诺图方格外的字母和数字为输入变量及其相应变量取 值，变量取值的排序不能改变； (3)相邻的2个方格称为逻辑相邻项（简称相邻项），相邻项 中只有1对变量互为反变量，而其余变量完全相同。 (4)卡诺图一列中最上和最下2个方格是相邻项；一行中最左 和最右2个方格是相邻项。
F A BC ABC ABC AB BC AB BC
0 1100 1 1 0 0 1100
0 1110 0 0 1 0 0110
0 1100 1 0 0 0 1100
B( A C ) B A C 3)画出逻辑电路
YZ X 00 01 11 10 0 1 1
CD AB 00 01 11 00 01 1 11 1 1 1 10 1 1 10
1
1 1
1 1
BC A 00 01 11 10 0
1 1
1
1
1
F3=∑(4,5,6,7) =A
六. 含有无关项的化简 约束项(不允许或不会出现的最小项)和任意项(最小 项可任意取值)统称为无关项。常用∑d表示。 无关项在卡诺图中用×表示，既可看作1，也可看作0， 视具体情况而定。例如：
之外，表达逻辑函数的另一种方法。逻辑电路图更接 近于逻辑电路设计的工程实际。 • 由于采用的逻辑门不同，实现逻辑函数的电路形式也 不同。
例：已知某电路的输入A、B、C及输出F波形如图所示， 试分析该电路的逻辑功能，（1）用与非门画出其等效的 逻辑电路，（2）用或非门画出其等效的逻辑电路。 0 0111 1 0 0 0 1110 解：1)在波形图标出对应的逻辑值 2)写出逻辑表达式并化简
输 出 F 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 × × × × × ×
解：
F(A,B,C,D) =∑m(1,3,5,7,9) +∑d(11,12,13,14,15)
CD AB 00 01 11 00 0 1 1 01 0 1 1 0 0 × 0 × 11 × 0 0 1 × 10 10 0 0
3 4 5 6 7 8 9 无 关 项
第三章 逻辑代数 与 逻辑函数
3.1 基本逻辑运算
3.2 3.3
逻辑函数的变换和化简 逻辑函数的卡诺图化简法
3.4
逻辑函数门电路的实现
• 重点： 逻辑函数的变换和化简
3.1 基本逻辑运算
• 数字电路研究的是数字电路的输入与输出之间的因果关系， 即逻辑关系。逻辑关系一般由逻辑函数来描述。逻辑函数 是由逻辑变量A，B，C……和基本逻辑运算符号 ● (与)、+ （或）、—（非）及括号、等号等构成的表达式来表示，如： F=ĀBC+A =F(A,B,C) 式中A、B、C称为原变量， Ā称为对应的反变量，F称为逻 辑函数（F 称为F的逻辑反函数）。
例： 用卡诺图化简下列函数：
F1=ABC+ABC+ABC+ABC F2=ABC+ACD+ABCD+ABC
BC A 00 01 11 10 0 1 1 1 1 1
CD AB 00 01 11 1 1 00 01 11 1 1 10 10 1 1
1
F1=B
F2=BD+BC+ACD
练习
1
化简下列逻辑函数为最简与或函数式： F1=XYZ+XY+XYZ F2=BCD+AC+AB+BCD F3=ABC+ABC+ABC+ABC F2=AC+BC 解：F1=∑(7,5,4,6) =X
例：用8421BCD码表示的1位十进制数， 当十进制数为奇数时，电路输出为1， 十进制数 当十进制数为偶数时，电路输出为0。 0 试写出上述逻辑关系的最简与或表 1 达式 2
输入变量 A B C D 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
3.2 逻辑函数的变换和化简 一. 逻辑函数的变换
• 利用基本逻辑运算可以将同一个逻辑函数变换为不同的表 达式，一个逻辑函数通常有以下五种类型的表达式:
与或表达式：F=AB+AC (先与再或) 或与表达式：F=(A+B)(A+C) (先或再与) 与非－与非表达式：F=AB AC (又称为与非表达式) 或非－或非表达式：F=A+B+A+C (又称为或非表达式) 与或非表达式：L=AB+AC (先与再或最后非)
0 ×
0
F=D
F = AD+BCD
3.3 逻辑函数门电路的实现
• 逻辑函数经过化简之后，得到了最简逻辑表达式。根 据逻辑表达式，就可采用适当的逻辑门来实现逻辑函
数。
• 逻辑函数的实现是通过逻辑电路图表现出来的。逻辑 电路图是由逻辑符号以及其它电路符号构成的电路连
接图。逻辑电路图是除真值表，逻辑表达式和卡诺图
A B C AC B A B C 3. 反演规则 •在逻辑求F函数的反函数，只要将F式中· 与+互换，0与1互换， 原变量与反变量互换，其余符号和运算顺序不变。
例： F A BC D E
F A ( B C) D E
四. 对偶规则* • 将逻辑函数F中所有的1换成0，0换成1，·换成+，+换成·， 变量保持不变，得到的新函数F′，F′称为F的对偶式。例如 F= Ā · （B+C） F′= Ā +B· C • 变换时仍需注意保持原式中先与后或的顺序。 • 如果某个逻辑恒等式成立时，则其对偶式也成立，这就是 对偶规则。
• 如果逻辑函数中含有与非项或 或非项，应先利用反演律去掉， 再按上述方法画出卡诺图 。例
BC A 00 01 11 10 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
直接画出卡诺图
BC B=1 C=0 A 00 01 11 10 0 A=0
1
F ABC A B C
AB C ABC
•与或表达式易于从真值表直接写出，而且只需运用一次摩根 定律就可以从最简与或表达式变换为与非-与非表达式，从而 可以用与非门电路来实现。
二. 逻辑函数代数法化简
•最简与或表达式有两个特点: 1．与项(即乘积项)的个数最 少; 2．每个与项中变量的个数最少。 1.消去多余项： 例 F=AB+ABC(E+F) =AB