闵行区2015学年高三数学一模(理科)
上海市五校2015届高三第一学期联合教学质量调研数学(理)试卷及答案
2014学年第一学期高三数学五校联合教学质量调研试卷（理科）考生注意：1、本试卷考试时间120分钟，试卷满分150分。
2、答题前，考生务必在试卷和答题纸的指定位置以及答题卡上准确填写学校、姓名、 考号等信息。
3、考试结束只交答题卡和答题纸。
一、填空题：（本大题共14题，每题4分，共56分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．）1．已知(3,4)P -为角α终边上的一点，则cos()πα+= ． 2．已知向量(1,2),(,2)a b x =-=，若a b ⊥，则b ＝________．3．已知集合}),2lg({2R x x x y x M ∈-==，{}N x x a = <，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是 ．4．已知幂函数()f x过点，则()f x 的反函数为1()fx -= ．5．若无穷等比数列n a {}满足：4)(lim 21=+++∞→n n a a a ，则首项1a 的取值范围为 ．6．若直线l a x y :10++=平分圆x y x y 222650+-++=的面积，则直线l 的倾斜角为 ．（用反三角函数值表示）7．已知偶函数()f x 在(],0-∞上满足：当(]12,,0x x ∈-∞且12x x ≠时，总有12120()()x x f x f x -<-，则不等式()()1f x f x -<的解集为 ． 8．如图所示为函数()()2sin f x x ωϕ=+(0,2πωϕπ>≤≤)的部分图象,其中5=AB ，那么()1f -=___________.9. 已知函数213,1()log , 1x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩ ，若对任意的R x ∈，不等式23()4f x m m ≤-恒成立，则实数m 的取值范围是 .10. 已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点),2(0y M ，若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则=OM ．11. 在正ABC ∆中，D 是BC 上的点，若1,3==BD AB ，则=⋅ ． 12．已知奇函数()f x 是定义在R 上的增函数，数列{}n x 是一个公差为2的等差数列，满足891011()()()()0f x f x f x f x +++=，则2014x 的值为 ．13．过点*1(2,0)()n N n-∈且方向向量为(2,1)的直线交双曲线224x y -=于,n n A B 两点，记原点为O ，n n OA B ∆的面积为n S ，则lim n n S →∞= ____ ____． 14. 设1271a a a ≤≤≤≤，其中1357,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，246,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是____ ____．二、选择题：（本大题共4题，每题5分，共20分，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.） 15．已知命题:12x α-≤，命题3:01x x β-≤+，则命题α是命题β成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件16．已知直线)(sin :1R x y l ∈=αα和直线c x y l +=2:2，则下述关于直线21,l l 关系的判断正确的是（ ）A. 通过平移可以重合B. 不可能垂直C. 可能与x 轴围成等腰直角三角形D. 通过绕1l 上某点旋转可以重合17．某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x =（其中[]x 表示不大于x 的最大整数）可以表示为（ ）A ．510x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ．410x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦C ．310x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ D ．10x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦18. 设,a b R ∈ ，定义运算“∧ ”和“∨ ”如下：,,a a b a b b a b ≤⎧∧=⎨>⎩，,,b a ba b a a b ≤⎧∨=⎨>⎩．若正数,,,a b c d 满足4,4ab c d ≥+≤ ，则（ ） A ．2,2a b c d ∧≥∧≤ B ．2,2a b c d ∨≥∧≤C ．2,2a b c d ∧≥∨≥D ．2,2a b c d ∨≥∨≥三、解答题：（本大题满分74分，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .）19.（本题满分12分）第1小题满分7分，第2小题满分5分．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量()()()cos ,sin m A B A B →=--，()cos ,sin n B B →=-，且35m n →→⋅=-．（1）求sin A 的值；（2）若5a b ==，求角B 的大小及向量BA 在BC 方向上的投影．20.（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知椭圆E 长轴的一个端点是抛物线212y x =的焦点，且椭圆焦点与抛物线焦点的距离是1． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若A 、B 是椭圆E 的左右端点，O 为原点，P 是椭圆E 上异于A 、B 的任意一点，直线AP 、BP 分别交y 轴于M 、N ，问ON OM ⋅是否为定值，说明理由．21.（本题满分14分）第1小题满分8分，第2小题满分6分． 等差数列{}n α的前n 项和236n S n π=，数列{}n β满足()7236n n πβ-=．同学甲在研究性学习中发现以下六个等式均成立：①221111sin cos sin cos m αβαβ+-=； ②222222sin cos sin cos m αβαβ+-=； ③223333sin cos sin cos m αβαβ+-=；④224444sin cos sin cos m αβαβ+-=； ⑤225555sin cos sin cos m αβαβ+-=；⑥226666sin cos sin cos m αβαβ+-=． （1）求数列{}n α的通项公式，并从上述六个等式中选择一个，求实数m 的值；（2）根据（1）计算结果，将同学甲的发现推广为关于任意角θ的三角恒等式，并证明你的结论．22.（本题满分16分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分． 若函数()f x 在定义域内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”． （1）已知函数()sin()(,0)2f x x x R πϕϕ=+∈<<，试判断()f x 是否为“局部奇函数”？并说明理由；（2）设()2x f x m =+是定义在[]1,1-上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围；（3）若12()423x x f x m m +=-+-为定义域R 上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围．23.（本题满分18分）第1小题满分5分，第2小题满分7分，第3小题满分6分．由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项，将每个图形的层数增加可得到这四个数列的后继项．按图中多边形的边数依次称这些数列为“三角形数列”、“四边形数列”…，将构图边数增加到n 可得到“n 边形数列”，记它的第r 项为(,)P n r ．1，3，6，10 1，4，9，16 1，5，12，22 1，6，15，28 （1）求使得(3,)36P r >的最小r 的取值； （2）试推导(,)P n r 关于n 、r 的解析式；（3）是否存在这样的“n 边形数列”，它的任意连续两项的和均为完全平方数．若存在，指出所有满足条件的数列，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．2014学年第一学期高三数学五校联合教学质量调研试卷答案 （理科）一、填空题1、352、、[)2,+∞ 4、2(0)x x ≥ 5、)8,4()4,0(⋃ 6、arctan 2π-7、1(,)2+∞ 8、2 9、1(,][1,)4-∞-⋃+∞ 10、32 11、21512、400913、8314二、选择题15、B 16、D 17、C 18、B 三、简答题19、（1）由3cos()cos sin()sin cos 5m n A B B A B B A ⋅=---==- …3分 又0A π<<，则4sin 0sin 5A A >⇒=…6分 （2）由sin sin sin sin a b b B A A B a =⇒==…7分 又4a b A B B π>⇒>⇒=…8分由余弦定理，得222352515c c c =+-⨯⨯⇒=或7-（舍） …10分 则BA −−→在BC −−→方向上的投影为cos cos 2BA B c B =⋅= …12分20、（1）根据条件可知椭圆的焦点在x 轴，且3a =， …2分 又12a c c -=⇒=，所以2225b a c =-=故椭圆E 的标准方程为22195x y +=． …6分 （2）设),(00y x P ，则22005945x y +=，且(3,0),(3,0)A B -又直线00:(3)3y PA y x x =++，直线00:(3)3y PB y x x =-- …10分 令0x = ，得：000033(0,),(0,)33y y OM ON x x -==+- 故 ⋅220022009545599y x x x --===--为定值. …14分21、（1）当1n =时，136πα=…1分当2n ≥时，()221136361836n n n S S n n n ππππα-=-=--=-…3分∵当1n =时，1α适合此式 ∴数列{}n α的通项公式为1836n n ππα=-…5分选择②，计算如下：212πβ=…6分222222sin cos sin cos m αβαβ=+-＝22sin cos sincos12121212ππππ+-＝11sin 26π-＝34…8分 （2）由（1）知，(21)(72)36366n n n n πππαβ--+=+=， 因此推广的三角恒等式为223sincos sin cos 664ππθθθθ⎛⎫⎛⎫+---=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ …10分 证明: 22sincos sin cos 66ππθθθθ⎛⎫⎛⎫+---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=22sin cos cos sin sin sin cos cos sin sin 6666ππππθθθθθθ⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2222311sin cos sin sin cos sin 442θθθθθθθθ++- =2233cos sin 44θθ+＝34…14分22、（1）()f x 为“局部奇函数”等价于关于x 的方程()()0f x f x -+=有解．即sin()sin()2cos sin 0x x x ϕϕϕ-+++==有解 …2分 因0sin 02πϕϕ<<⇒>，得cos 0()2x x k k Z ππ=⇒=+∈()f x ∴为“局部奇函数”． …4分 （2）存在实数x 满足()()0f x f x -+=，即2220xx m -++=在[1,1]-有解令12,[1,1][,2]2xt x t =∈-⇒∈，则12m t t -=+在1[,2]2t ∈上有解 …7分因为1()g t t t =+在1[,1]2上递减，在[1,2]上递增，5()2,2g t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦522,2m ⎡⎤∴-∈⎢⎥⎣⎦，故5,14m ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦…10分（3）存在实数x 满足()()0f x f x -+=，即2442(22)260x x x x m m --+-++-=在x R ∈有解 令22,[2,)x x t x R t -=+∈⇒∈+∞，且2442xx t -+=-从而22g()2280t t mt m =-+-=（*）在[2,)t ∈+∞上有解 …12分1.︒ 若(2)0g ≤，即11m -≤*）在[2,)t ∈+∞上有解2.︒ 若(2)0g >，即1m <或1m >+*）有解，则2244(28)021(2)0m m m m g ⎧∆=-->⎪>⇒+≤⎨⎪>⎩综上，所求m的取值范围为[1 ． …16分23、（1）(1)(3,)122r r P r r +=+++=…3分 由题意得(1)362r r +>, 所以，最小的9r =. …5分（2）设n 边形数列所对应的图形中第r 层的点数为r a ，则12(,)r P n r a a a =++⋅⋅⋅+ 从图中可以得出：后一层的点在2n -条边上增加了一点,两条边上的点数不变 则12r r a a n +-=-，11a =得{}r a 是首项为1公差为2n -的等差数列 则(,)[2(1)(2)]2r P n r r n =+--.（或(2)(1)2n r r r --+等） … 12分 （3）2(,1)(,)(2)21P n r P n r n r r ++=-++ …14分 显然3n =满足题意， …15分而结论要对于任意的正整数r 都成立，则2(2)21n r r -++的判别式必须为零 所以44(2)0n --=，得3n =故满足题意的数列为“三角形数列”. …18分。
上海市五校联考2015届高三数学上学期质检试卷理(含解析)
上海市五校联考2015届高三上学期质检数学试卷（理科）一、填空题：（本大题共14题，每题4分，共56分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．）1．（4分）已知P（﹣3，4）为角α终边上的一点，则cos（π+α）=．2．（4分）已知向量，若，则=．3．（4分）已知集合M={x|y=lg（2x﹣x2），x∈R}，N={x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是．4．（4分）已知幂函数f（x）过点，则f（x）的反函数为f﹣1（x）=．5．（4分）若无穷等比数列{a n}满足：，则首项a1的取值范围为．6．（4分）若直线l：ax+y+1=0平分圆x2+y2﹣2x+6y+5=0的面积，则直线l的倾斜角为．（用反三角函数值表示）7．（4分）已知偶函数f（x）在（﹣∞，0]上满足：当x1，x2∈（﹣∞，0]且x1≠x2时，总有，则不等式f（x﹣1）＜f（x）的解集为．8．（4分）如图所示为函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，≤φ≤π）的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，那么f（﹣1）=．9．（4分）已知函数f（x）=，若对任意的x∈R，不等式f（x）≤m2﹣m 恒成立，则实数m的取值范围为．10．（4分）已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y），若点M 到抛物线焦点的距离为3，则|OM|=．11．（4分）在正三角形ABC中，D是BC上的点．若AB=3，BD=1，则=．12．（4分）已知奇函数f（x）是定义在R上的增函数，数列{x n}是一个公差为2的等差数列，且满足f（x8）+f（x9）+f（x10）+f（x11）=0．则x2014=．13．（4分）过点且方向向量为（2，1）的直线交双曲线x2﹣y2=4于A n，B n两点，记原点为O，△OA n B n的面积为S n，则=．14．（4分）设 1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是．二、选择题：（本大题共4题，每题5分，共20分，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.）15．（5分）已知命题α：|x﹣1|≤2，命题β：≤0，则命题α是命题β成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）已知直线l1：y=xsinα和直线l2：y=2x+c，则直线l1与l2（）A．通过平移可以重合B．不可能垂直C．可能与x轴围成等腰直角三角形D．通过绕l1上某点旋转可以重合17．（5分）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=（表示不大于x的最大整数）可以表示为（）A．y= B．y= C．y= D．y=18．（5分）设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b=a∨b=若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则（）A．a∧b≥2，c∧d≤2B．a∧b≥2，c∨d≥2C．a∨b≥2，c∧d≤2D．a∨b≥2，c∨d≥2三、解答题：（本大题满分74分，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.）19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，（1）求sinA的值；（2）若，b=5，求角B的大小及向量在方向上的投影．20．（14分）已知椭圆E长轴的一个端点是抛物线y2=12x的焦点，且椭圆焦点与抛物线焦点的距离是1．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若A、B是椭圆E的左右端点，O为原点，P是椭圆E上异于A、B的任意一点，直线AP、BP分别交y轴于M、N，问是否为定值，说明理由．21．（14分）等差数列{αn}的前n项和S n=n2，数列{βn}满足βn=．同学甲在研究性学习中发现以下六个等式均成立：①sin2α1+cos2β1﹣sinα1cosβ1=m；②sin2α2+cos2β2﹣sinα2cosβ2=m；③sin2α3+cos2β3﹣sinα3cosβ3=m；④sin2α4+cos2β4﹣sinα4cosβ4=m；⑤sin2α5+cos2β5﹣sinα5cosβ5=m；⑥sin2α6+cos2β6﹣sinα6cosβ6=m．（Ⅰ）求数列{αn}的通项公式；（Ⅱ）试从上述六个等式中选择一个，求实数m的值；（Ⅲ）根据（Ⅱ）的计算结果，将同学甲的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．22．（16分）若函数f（x）在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．（1）已知函数，试判断f（x）是否为“局部奇函数”？并说明理由；（2）设f（x）=2x+m是定义在上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；（3）若f（x）=4x﹣m2x+1+m2﹣3为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．23．（18分）由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项，将每个图形的层数增加可得到这四个数列的后继项．按图中多边形的边数依次称这些数列为“三角形数列”、“四边形数列”…，将构图边数增加到n可得到“n边形数列”，记它的第r项为P（n，r）．（1）求使得P（3，r）＞36的最小r的取值；（2）试推导P（n，r）关于n、r的解析式；（3）是否存在这样的“n边形数列”，它的任意连续两项的和均为完全平方数．若存在，指出所有满足条件的数列，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．上海市五校联考2015届高三上学期质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14题，每题4分，共56分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．）1．（4分）已知P（﹣3，4）为角α终边上的一点，则cos（π+α）=．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用任意角的三角函数的定义，诱导公式求得要求式子的值．解答：解：∵P（﹣3，4）为角α终边上的一点，∴x=﹣3，y=4，r=|OP|=5，∴cos（π+α）=﹣cosα=﹣=﹣=，故答案为：．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．2．（4分）已知向量，若，则=．考点：平面向量数量积的运算；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：利用斜率的垂直求出x，得到向量，然后求模即可．解答：解：向量，若，∴，∴x=4，==．故答案为：．点评：本题考查斜率的数量积的应用，向量的模的求法，考查计算能力．3．（4分）已知集合M={x|y=lg（2x﹣x2），x∈R}，N={x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是分析：设幂函数f（x）=xα，（α为常数）．由于幂函数f（x）过点，代入解得，可得f（x）=，由y=解得x=y2，把x与y互换即可得出反函数．解答：解：设幂函数f（x）=xα，（α为常数）．∵幂函数f（x）过点，∴，解得．∴f（x）=，由y=解得x=y2，把x与y互换可得y=x2．∴f（x）的反函数为f﹣1（x）=x2（x≥0）．故答案为：x2（x≥0）．点评：本题考查了反函数的求法、幂函数的定义，属于基础题．5．（4分）若无穷等比数列{a n}满足：，则首项a1的取值范围为（0，4）∪（4，8）．考点：数列的极限．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：依题意知|q|＜1且q≠0，由=4⇒q=1﹣∈（﹣1，1），从而可求得a1的取值范围．解答：解：依题意知|q|＜1且q≠0，∴S n=，∴=，∴，∴q=1﹣∈（﹣1，1），q≠0，即﹣1＜﹣1＜1且﹣1≠0，解得0＜a1＜4或4＜a1＜8．故答案为：（0，4）∪（4，8）点评：本题考查数列的求和与数列的极限，求得q=1﹣是关键，考查转化思想与运算能力，属于中档题．6．（4分）若直线l：ax+y+1=0平分圆x2+y2﹣2x+6y+5=0的面积，则直线l的倾斜角为π﹣arctan2．（用反三角函数值表示）考点：直线与圆的位置关系；直线的倾斜角．专题：计算题；直线与圆．分析：由题意可得，直线l：ax+y+1=0过圆心（1，﹣3），求出a，即可求出直线l的倾斜角．解答：解：由题意可得，直线l：ax+y+1=0过圆心（1，﹣3）．故有a﹣3+1=0，解得a=2，∴k=﹣2，∴直线l的倾斜角为π﹣arctan2．故答案为：π﹣arctan2．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，体现了转化的数学思想，得到直线l：ax+y+1=0过圆心（1，﹣3）是解题的关键，属于中档题．7．（4分）已知偶函数f（x）在（﹣∞，0]上满足：当x1，x2∈（﹣∞，0]且x1≠x2时，总有，则不等式f（x﹣1）＜f（x）的解集为{x|x＞}．考点：函数单调性的性质；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，所以f（x）在上单调递减，所以f（x）在上单调递减，所以f（x）在8．（4分）如图所示为函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，≤φ≤π）的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，那么f（﹣1）=2．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数的值．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：由函数图象经过点（0，1），代入解析式得sinφ=，解出φ=．根据A、B两点之间的距离为5，由勾股定理解出横坐标的差为3，得函数的周期T=6，由此算出ω=，得出函数的解析式，从而求出f（﹣1）的值．解答：解：∵函数图象经过点（0，1），∴f（0）=2sinφ=1，可得sinφ=，又∵≤φ≤π，∴φ=．∵其中A、B两点的纵坐标分别为2、﹣2，∴设A、B的横坐标之差为d，则|AB|==5，解之得d=3，由此可得函数的周期T=6，得=6，解之得ω=．∴函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（x+），可得f（﹣1）=2sin（﹣+）=2sin=2．故答案为：2点评：本题给出正弦型三角函数的图象，确定其解析式并求f（﹣1）的值．着重考查了勾股定理、由y=A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式等知识，属于中档题．9．（4分）已知函数f（x）=，若对任意的x∈R，不等式f（x）≤m2﹣m 恒成立，则实数m的取值范围为或m≥1．考点：函数恒成立问题．专题：不等式的解法及应用．分析：求出分段函数的最大值，把不等式f（x）≤m2﹣m恒成立转化为m2﹣m大于等于f（x）的最大值恒成立，然后求解不等式得到实数m的取值范围．解答：解：对于函数f（x）=，当x≤1时，f（x）=；当x＞1时，f（x）=＜0．∴要使不等式f（x）≤m2﹣m恒成立，则恒成立，即或m≥1．故答案为：或m≥1．点评：本题考查了恒成立问题，训练了分段函数的最值的求法，考查了数学转化思想方法，是中档题．10．（4分）已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y），若点M 到抛物线焦点的距离为3，则|OM|=．考点：抛物线的简单性质；两点间的距离公式．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意设抛物线的方程为y2=2px（p＞0），利用抛物线的定义可得|MF|=2+=3，解得p=2，从而得到抛物线的方程．由此算出点M的坐标为（2，），再利用两点间的距离公式即可算出|OM|的值．解答：解：∵抛物线经过点M（2，y），∴抛物线的开口向右．设抛物线的方程为y2=2px（p＞0），∵点M（2，y）到抛物线焦点F的距离为3，∴根据抛物线的定义，得|MF|=2+=3，解得p=2，由此可得抛物线的方程为y2=4x．将点M坐标代入抛物线方程，得y2=4×2=8，解得y=，M坐标为（2，）．∴|OM|==2．故答案为：点评：本题已知抛物线上横坐标为2的点到焦点的距离为3，求该点到抛物线顶点的距离．着重考查了抛物线的定义与标准方程、两点间的距离公式等知识，属于中档题．11．（4分）在正三角形ABC中，D是BC上的点．若AB=3，BD=1，则=．考点：向量在几何中的应用．专题：计算题；数形结合；转化思想．分析：根据AB=3，BD=1，确定点D在正三角形ABC中的位置，根据向量加法满足三角形法则，把用表示出来，利用向量的数量积的运算法则和定义式即可求得的值．解答：解：∵AB=3，BD=1，∴D是BC上的三等分点，∴，∴===9﹣=，故答案为．点评：此题是个中档题．考查向量的加法和数量积的运算法则和定义，体现了数形结合和转化的思想．12．（4分）已知奇函数f（x）是定义在R上的增函数，数列{x n}是一个公差为2的等差数列，且满足f（x8）+f（x9）+f（x10）+f（x11）=0．则x2014=4009．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：根据条件关系求出数列的首项以及通项公式即可得到结论．解答：解：设x8=a，则x9=a+2，x10=a+4，x11=a+6，∴f（a）+f（a+2）+f（a+4）+f（a+6）=0，且f（a）＜f（a+2）＜f（a+4）＜f（a+6），∴f（a）＜0且f（a+6）＞0．∵奇函数关于原点的对称性可知，f（a）+f（a+6）=0，f（a+2）+f（a+4）=0．∴f（a+3）=0=f（0），即a+3=0．∴x8=﹣3．设数列{x n}通项x n=x1+2（n﹣1）．∴x8=x1+14=﹣3．∴x1=﹣17．∴通项x n=2n﹣19．∴x2014=2×2014﹣19=4009．故答案为：4009．点评：本题考查数列的性质和应用，利用函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键，解题时要认真审题，仔细解答，注意递推公式的合理运用．13．（4分）过点且方向向量为（2，1）的直线交双曲线x2﹣y2=4于A n，B n两点，记原点为O，△OA n B n的面积为S n，则=．考点：数列的极限．专题：综合题；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：依题意，可知过点（2﹣，0）的直线的斜率为，n→+∞时，点（2﹣，0）→（2，0），原问题转化为直线x﹣2y﹣2=0与双曲线x2﹣y2=4的两个交点A、B与原点O所组成的三角形的面积，利用直线与圆锥曲线的位置关系，利用弦长公式、三角形的面积公式即可求得答案．解答：解：∵过点且方向向量为（2，1），即其斜率k=，（2﹣）=2，∴当n→+∞时，点（2﹣，0）→（2，0），∴n→+∞时，△OA n B n的面积就是直线y﹣0=（x﹣2），即x﹣2y﹣2=0与双曲线x2﹣y2=4的两个交点A、B与原点O所组成的三角形的面积，设为S，由消去x得：3y2+8y=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2，=﹣，y1•y2，=0，x1+x2，=2y1+2y2，+4=﹣，∴|AB|==•=•=．又O点到直线x﹣2y﹣2=0的距离d==，∴S==|AB|•d=××=．为S n，故答案为：．点评：本题考查数列的极限，理解题意，求得（2﹣）=2，原问题转化为直线x﹣2y﹣2=0与双曲线x2﹣y2=4的两个交点A、B与原点O所组成的三角形的面积是关键，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查弦长公式，考查转化思想与综合运算能力．14．（4分）设 1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的通项公式将a6用a2表示，求出a6的最小值进一步求出a7的最小值，利用等比数列的通项求出公比的范围．解答：解：方法1：∵1=a1≤a2≤…≤a7； a2，a4，a6成公差为1的等差数列，∴a6=a2+2≥3，∴a6的最小值为3，∴a7的最小值也为3，此时a1=1且a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，必有q＞0，∴a7=a1q3≥3，∴q3≥3，q≥，方法2：由题意知1=a1≤a2≤…≤a7；中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，得，所以，即q3﹣2≥1，所以q3≥3，解得q≥，故q的最小值是：．故答案为：．点评：解决等差数列、等比数列的综合问题一般利用通项公式、前n项和公式列出方程组，解方程组求解．即基本量法．二、选择题：（本大题共4题，每题5分，共20分，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.）15．（5分）已知命题α：|x﹣1|≤2，命题β：≤0，则命题α是命题β成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：求解得出不等式命题α：﹣1≤x≤3，命题β：﹣1＜x≤3，再根据充分必要条件的定义可判断．解答：解：∵|x﹣1|≤2，∴﹣1≤x≤3，∵≤0，∴﹣1＜x≤3，∴命题α：﹣1≤x≤3，命题β：﹣1＜x≤3，∴根据充分必要条件的定义可判断：命题α是命题β成立的必要不充分条件．故选：B点评：本题考查了不等式的求解，注意分式不等式的求解，利用充分必要条件的定义可判断，属于容易题．16．（5分）已知直线l1：y=xsinα和直线l2：y=2x+c，则直线l1与l2（）A．通过平移可以重合B．不可能垂直C．可能与x轴围成等腰直角三角形D．通过绕l1上某点旋转可以重合考点：两条直线的交点坐标．专题：计算题．分析：分别找出两直线的斜率，根据正弦函数的值域得到直线l1斜率的范围，发现两直线的斜率不可能相等，所以两直线不可能平行，必然相交，故直线l1绕交点旋转可以与l2重合．解答：解：直线l1：y=xsinα的斜率为sinα，而sinα∈，即直线l1的斜率k1∈，直线l2：y=2x+c的斜率k2=2，∵k1≠k2，∴直线l1与l2不可能平行，即两直线必然相交，则直线l1与l2可以通过绕l1上某点旋转可以重合．故选D点评：此题考查了两直线的交点坐标，正弦函数的值域，以及直线斜率的求法，根据直线方程得出两直线的斜率不相等是解本题的关键．17．（5分）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=（表示不大于x的最大整数）可以表示为（）A．y= B．y= C．y= D．y=考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：压轴题．分析：根据规定10推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增加一名代表，即余数分别为7，8，9时可以增选一名代表，也就是x要进一位，所以最小应该加3．进而得到解析式．代入特殊值56、57验证即可得到答案．解答：解：根据规定10推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增加一名代表，即余数分别为7，8，9时可以增选一名代表，也就是x要进一位，所以最小应该加3．因此利用取整函数可表示为y=也可以用特殊取值法若x=56，y=5，排除C、D，若x=57，y=6，排除A；故选：B．点评：本题主要考查给定条件求函数解析式的问题，这里主要是要读懂题意，再根据数学知识即可得到答案．对于选择题要会选择最恰当的方法．18．（5分）设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b=a∨b=若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则（）A．a∧b≥2，c∧d≤2B．a∧b≥2，c∨d≥2C．a∨b≥2，c∧d≤2D．a∨b≥2，c∨d≥2考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：依题意，对a，b赋值，对四个选项逐个排除即可．解答：解：∵a∧b=，a∨b=，正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，∴不妨令a=1，b=4，则a∧b≥2错误，故可排除A，B；再令c=1，d=1，满足条件c+d≤4，但不满足c∨d≥2，故可排除D；故选C．点评：本题考查函数的求值，考查正确理解题意与灵活应用的能力，着重考查排除法的应用，属于中档题．三、解答题：（本大题满分74分，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.）19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，（1）求sinA的值；（2）若，b=5，求角B的大小及向量在方向上的投影．考点：平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数．专题：平面向量及应用．分析：（1）由数量积的坐标表示和涉及函数的公式可得=cosA=，由同角三角函数的基本关系可得sinA；（2）由正弦定理可得sinB=，结合大边对大角可得B值，由余弦定理可得c值，由投影的定义可得．解答：解：（1）由题意可得=cos（A﹣B）cosB﹣sin（A﹣B）sinB=cos=cosA=，∴sinA==；（2）由正弦定理可得，∴sinB===，∵a＞b，∴A＞B，∴B=，由余弦定理可得=，解得c=1，或c=﹣7（舍去），故向量在方向上的投影为cosB=ccosB=1×=．点评：本题考查平面向量的数量积和两角和与差的三角函数公式，属中档题．20．（14分）已知椭圆E长轴的一个端点是抛物线y2=12x的焦点，且椭圆焦点与抛物线焦点的距离是1．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若A、B是椭圆E的左右端点，O为原点，P是椭圆E上异于A、B的任意一点，直线AP、BP分别交y轴于M、N，问是否为定值，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：向量与圆锥曲线．分析：（1）求出抛物线的焦点坐标，得到椭圆的长半轴长，再由a﹣c=1求得c，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）设出P点坐标，代入椭圆方程，求出直线PA和PB的方程，取x=0求得M，N的坐标，得到向量的坐标，代入数量积公式可得为定值．解答：解：（1）由抛物线y2=12x，得焦点为（3，0），已知可知椭圆的焦点在x轴，且a=3，又a﹣c=1，则c=2，∴b2=a2﹣c2=5，故椭圆的方程为：；（2）设P（x0，y0），则，且A（﹣3，0），B（3，0），又直线PA：，直线PB：，令x=0，得：，故为定值．点评：本题考查了椭圆方程的求法，考查了平面向量的数量积运算，是中档题．21．（14分）等差数列{αn}的前n项和S n=n2，数列{βn}满足βn=．同学甲在研究性学习中发现以下六个等式均成立：①sin2α1+cos2β1﹣sinα1cosβ1=m；②sin2α2+cos2β2﹣sinα2cosβ2=m；③sin2α3+cos2β3﹣sinα3cosβ3=m；④sin2α4+cos2β4﹣sinα4cosβ4=m；⑤sin2α5+cos2β5﹣sinα5cosβ5=m；⑥sin2α6+cos2β6﹣sinα6cosβ6=m．（Ⅰ）求数列{αn}的通项公式；（Ⅱ）试从上述六个等式中选择一个，求实数m的值；（Ⅲ）根据（Ⅱ）的计算结果，将同学甲的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．考点：三角函数的化简求值；归纳推理．专题：三角函数的求值；推理和证明．分析：（Ⅰ）利用等差数列{αn}的前n项和S n=n2，分n=1与n≥2讨论，即可求得数列{αn}的通项公式；（Ⅱ）选择②，计算即可；（Ⅲ）利用两角差的余弦将所求关系式中的cos2（）及cos（）展开，利用平方关系计算即可证得结论成立．解答：（Ⅰ）解：当n=1时，α1=…（1分）当n≥2时，αn=S n﹣S n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=n﹣…（3分）∵当n=1时，a1适合此式∴数列{αn}的通项公式为a n=n﹣…（5分）（Ⅱ）解：选择②，计算如下：β2=…（6分）m=sin2α2+cos2β2﹣sinα2cosβ2=sin2+cos2﹣sin cos=1﹣sin=…（8分）（Ⅲ）证明：sin2θ+cos2（）﹣sinθcos（）…（9分）=sin2θ+（cos cosθ+sin sinθ）2﹣sinθ（cos cosθ+sin sinθ）…（10分）=sin2θ+cos2θ+sin2θ+sinθcosθ﹣sinθcosθ﹣sin2θ…（11分）=cos2θ+sin2θ=…（12分）点评：本题考查归纳推理，着重考查三角函数的化简求值，考查运算与推理证明能力，属于难题．22．（16分）若函数f（x）在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．（1）已知函数，试判断f（x）是否为“局部奇函数”？并说明理由；（2）设f（x）=2x+m是定义在上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；（3）若f（x）=4x﹣m2x+1+m2﹣3为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．考点：函数奇偶性的判断．专题：计算题；新定义；函数的性质及应用．分析：（1）运用两角和与差的正弦公式，化简f（﹣x）+f（x），再由由局部奇函数的定义，即可判断；（2）根据局部奇函数的定义，可得方程2x+2﹣x+2m=0在上有解，运用换元法，令t=2x∈，则﹣2m=t+，求出右边的最值即可；（3）根据“局部奇函数”的定义可知，（2x+2﹣x）2﹣2m⋅（2x+2﹣x）+2m2﹣8=0有解即可．设t=2x+2﹣x，则t=2x+2﹣x≥2，即有方程等价为t2﹣2m⋅t+2m2﹣8=0在t≥2时有解，设g（t）=t2﹣2m⋅t+2m2﹣8，由对称轴和区间的关系，列出不等式，解出即可．解答：解：（1）由于f（x）=sin（x+φ）（0＜φ＜），f（﹣x）=sin（﹣x+φ）=﹣sin （x﹣φ），则f（﹣x）+f（x）=sin（x+φ）﹣sin（x﹣φ）=2cosxsinφ，由于0＜φ＜，则0＜sinφ＜1，当x=时，f（﹣x）+f（x）=0成立，由局部奇函数的定义，可知该函数f（x）为“局部奇函数”；（2）根据局部奇函数的定义，f（x）=2x+m时，f（﹣x）=﹣f（x）可化为2x+2﹣x+2m=0，因为f（x）的定义域为，所以方程2x+2﹣x+2m=0在上有解，令t=2x∈，则﹣2m=t+，设g（t）=t+，则g'（t）=1﹣=，当t∈（0，1）时，g'（t）＜0，故g（t）在（0，1）上为减函数，当t∈（1，+∞）时，g'（t）＞0，故g（t）在（1，+∞）上为增函数，所以t∈时，g（t）∈．所以﹣2m∈，即m∈．（3）根据“局部奇函数”的定义可知，函数f（﹣x）=﹣f（x）有解即可，即f（﹣x）=4﹣x﹣m2﹣x+1+m2﹣3=﹣（4x﹣m2x+1+m2﹣3），∴4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2m2﹣6=0，即（2x+2﹣x）2﹣2m⋅（2x+2﹣x）+2m2﹣8=0有解即可．设t=2x+2﹣x，则t=2x+2﹣x≥2，∴方程等价为t2﹣2m⋅t+2m2﹣8=0在t≥2时有解，设g（t）=t2﹣2m⋅t+2m2﹣8，对称轴x=﹣=m，①若m≥2，则△=4m2﹣4（2m2﹣8）≥0，即m2≤8，∴﹣2，此时2，②若m＜2，要使t2﹣2m⋅t+2m2﹣8=0在t≥2时有解，则，即，解得1﹣≤m＜2，综上得，1﹣≤m..点评：本题考查新定义的理解和运用，考查方程有解的条件及二次函数的图象和性质的运用，以及指数函数的图象和性质的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．23．（18分）由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项，将每个图形的层数增加可得到这四个数列的后继项．按图中多边形的边数依次称这些数列为“三角形数列”、“四边形数列”…，将构图边数增加到n可得到“n边形数列”，记它的第r项为P（n，r）．（1）求使得P（3，r）＞36的最小r的取值；（2）试推导P（n，r）关于n、r的解析式；（3）是否存在这样的“n边形数列”，它的任意连续两项的和均为完全平方数．若存在，指出所有满足条件的数列，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．考点：归纳推理．专题：综合题；推理和证明．分析：（1）由已知可得P（3，r）=，解不等式可得最小r的取值；（2）设n边形数列所对应的图形中第r层的点数为a1，则P（n，r）=a1+a2+…+a r，进而由等差数列的前n项和公式，可得答案．（3）P（n，r+1）+P（n，r）=（n﹣2）r2+2r+1，n=3时，满足题意；而结论要对于任意的正整数r都成立，则（n﹣2）r2+2r+1的判别式必须为0，即可得出结论．解答：解：（1）由题意得：P（3，r）=1+2+…+r=令＞36即r2+r﹣72＞0，解得r＞8∴最小的r=9．（2）设n边形数列所对应的图形中第r层的点数为a1，则P（n，r）=a1+a2+…+a r，从图中可以得出：后一层的点在n﹣2条边上增加了一点，两条边上的点数不变，所以a r+1﹣a r=n﹣2，a1=1所以{a r}是首项为1公差为n﹣2的等差数列，所以P（n，r）=r+；（3）P（n，r+1）+P（n，r）=（n﹣2）r2+2r+1，n=3时，满足题意；而结论要对于任意的正整数r都成立，则（n﹣2）r2+2r+1的判别式必须为0，∴4﹣4（n﹣2）=0，∴n=3，故满足题意的数列为“三角形数列”．点评：本题考查等差数列的基本知识，递推数列的通项公式的求解等基本方法，考察抽象概括能力以及推理论证能力．。
上海市闵行区八校2015届高三上学期期末联考数学(文理)试题 Word版含答案
闵行区2014学年第一学期期末考试八校联考 高三年级 数学 学科 试卷答案（文、理科）一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，每题4分． 1. 方程2log (34)1x -=的解x .22．不等式2(1)40x k x +-+>的解集为R ,则k 的范围为 .()3,5- 3．已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若0(0)1z iz z z=≠（i 是虚数单位），则z i -4. 若一个圆锥的侧面积是底面积的3倍,则圆锥的母线与轴的夹角的大小为 (用反三角形式表示).1arcsin35. 已知n的二项展开式中,前三项系数成等差数列,则n 8 6.已知将函数sin y x =的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),再向左平移4π个单位,可得到函数()y f x =的图象,则()f x = .sin 312x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭7.有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都相邻的概率为________．158.已知过点(0,1)的直线:tan 3tan 0l x y αβ--=的一个法向量为(2,1)-，则tan()αβ+= 19. 若对任意实数x ,都有1()log (2)1x a f x e -=+≤-,则实数a 的取值范围是 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭10.如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边上再连接正方形，如此继续．若共得到1023个正方形，设起始正方形的边长为2，则最小正方形的边长为__________．13211. 设0P 是抛物线22y x =上的一点,12,M M 是抛物线上的任意两点,123,,k k k 分别是01122,,P M M M M P 的斜率,若1234k k k -+=,则0P 的坐标为(1,2).12．（理） 求函数()f x =（文）求函数2()23f x xx =-++的最小值 313.已知,αβ是平面上两个互相垂直的单位向量，且()(3)40αγβγ-⋅-=,则γ的最大值为 514（理）.已知函数()sin,2f x x π=任取,t R ∈记函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值为,t M 最小值为,(),t t t m h t M m =-则函数()h t 的值域为1⎡⎢⎣ 14.（文）已知公差为d 等差数列{}n a 满足0d >,且2a 是14,a a 的等比中项。
2015年上海市闵行区高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2015年上海市闵行区高考数学一模试卷（理科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．1．（4分）已知集合A＝{x||x﹣|＞}，U＝R，则∁U A＝．2．（4分）若复数z满足（z+2）（1+i）＝2i（i为虚数单位），则z＝．3．（4分）函数f（x）＝x cos x，若f（a）＝，则f（﹣a）＝．4．（4分）计算＝．5．（4分）设f（x）＝4x﹣2x+1（x≥0），则f﹣1（0）＝．6．（4分）已知θ∈（，π），sin﹣cos＝，则cosθ＝．7．（4分）若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为．8．（4分）已知集合M＝{1，3}，在M中可重复的依次取出三个数a，b，c，则“以a，b，c为边长恰好构成三角形”的概率是．9．（4分）已知等边△ABC的边长为3，M是△ABC的外接圆上的动点，则的最大值为．10．（4分）函数y＝|2x|+|x|取最小值时x的取值范围是．11．（4分）已知函数f（x）＝（）x，g（x）＝x，记函数h（x）＝，则函数F（x）＝h（x）+x﹣5所有零点的和为．12．（4分）已知F1、F2是椭圆Γ1：＝1和双曲线Γ2：＝1的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则mn的最大值为．13．（4分）在△ABC中，记角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，设S是△ABC的面积，若2S sin A＜（•）sin B，则下列结论中：①a2＜b2+c2；②c2＞a2+b2；③cos B cos C＞sin B sin C；④△ABC是钝角三角形．其中正确结论的序号是．14．（4分）已知数列{a n}满足：对任意n∈N*均有a n+1＝pa n+3p﹣3（p为常数，p ≠0且p≠1），若a2，a3，a4，a5∈{﹣19，﹣7，﹣3，5，10，29}，则a1所有可能值的集合为．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得5分，否则一律得0分．15．（5分）已知圆O：x2+y2＝1和直线l：y＝kx+，则k＝1是圆O与直线l 相切的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）（2﹣）8展开式中各项系数的和为（）A．﹣1B．1C．256D．﹣256 17．（5分）已知y＝f（x）是定义在R上的函数，下列命题正确的是（）A．若f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在（a，b）内有零点，则有f（a）•f（b）＜0B．若f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＞0，则其在（a，b）内没有零点C．若f（x）在区间（a，b）上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f （b）＜0，则其在（a，b）内有零点D．如果函数f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＜0，则其在（a，b）内有零点18．（5分）数列{a n}是公差不为零的等差数列，其前n项和为S n，若记数据a1，a2，a3，…，a2015的方差为λ1，数据的方差为λ2，k＝．则（）A．k＝4．B．k＝2．C．k＝1．D．k的值与公差d的大小有关．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，直线A1B与平面BB1C1C所成角的大小为arctan．求三棱锥C1﹣A1BC的体积．20．（14分）某公司生产电饭煲，每年需投入固定成本40万元，每生产1万件还需另投入16万元的变动成本，设该公司一年内共生产电饭煲x万件并全部售完，每一万件的销售收入为R（x）万元，且R（x）＝﹣，10＜x＜100，该公司在电饭煲的生产中所获年利润W（万元）．（注：利润＝销售收入﹣成本）（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（2）为了让年利润W不低于2760万元，求年产量x的取值范围．21．（14分）椭圆Γ：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，已知椭圆Γ过点P（，），且•＝0．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若椭圆上两点C、D关于点M（1，）对称，求|CD|．22．（16分）已知函数f（x）＝cos（2x﹣）+sin2x﹣cos2x+．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若存在t∈[，]满足[f（t）]2﹣2f（t）﹣m＞0，求实数m的取值范围；（3）对任意的x1∈[﹣，]，是否存在唯一的x2∈[﹣，]，使f（x1）•f （x2）＝1成立，请说明理由．23．（18分）已知数列{a n}为等差数列，a1＝2，其前n和为S n，数列{b n}为等比数列，且a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n＝（n﹣1）•2n+2+4对任意的n∈N*恒成立．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）是否存在p，q∈N*，使得（a2p+2）2﹣b q＝2020成立，若存在，求出所有满足条件的p，q；若不存在，说明理由．（3）是否存在非零整数λ，使不等式λ（1﹣）（1﹣）…（1﹣）cos＜对一切n∈N*都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．2015年上海市闵行区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．1．（4分）已知集合A＝{x||x﹣|＞}，U＝R，则∁U A＝[﹣1，4]．【解答】解：由A中不等式变形得：x﹣＞或x﹣＜﹣，解得：x＞4或x＜﹣1，即A＝（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞），∵U＝R，∴∁U A＝[﹣1，4]．故答案为：[﹣1，4]2．（4分）若复数z满足（z+2）（1+i）＝2i（i为虚数单位），则z＝﹣1+i．【解答】解：由（z+2）（1+i）＝2i，得，∴z＝﹣1+i．故答案为：﹣1+i．3．（4分）函数f（x）＝x cos x，若f（a）＝，则f（﹣a）＝﹣．【解答】解：∵f（x）＝x cos x，f（a）＝，∴f（a）＝a cos a＝，∴f（﹣a）＝﹣a cos（﹣a）＝﹣a cos a＝．故答案为：﹣．4．（4分）计算＝．【解答】解：∵＝，∴＝．∴原式＝＝．故答案为：．5．（4分）设f（x）＝4x﹣2x+1（x≥0），则f﹣1（0）＝1．【解答】解：由4x﹣2x+1＝0，得（2x）2﹣2•2x＝0，即2x＝0（舍）或2x＝2，解得x＝1．∴f﹣1（0）＝1．故答案为：1．6．（4分）已知θ∈（，π），sin﹣cos＝，则cosθ＝．【解答】解：∵θ∈（，π），sin﹣cos＝，∴1﹣sinθ＝，∴sinθ＝，∵θ∈（，π），∴cosθ＝﹣＝﹣．故答案为：．7．（4分）若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为．【解答】解：根据题意，圆锥的底面面积为π，则其底面半径是1，底面周长为2π，又，∴圆锥的母线为2，则圆锥的高，所以圆锥的体积××π＝．故答案为．8．（4分）已知集合M＝{1，3}，在M中可重复的依次取出三个数a，b，c，则“以a，b，c为边长恰好构成三角形”的概率是．【解答】解：集合M＝{1，3}，在M中可重复的依次取出三个数a，b，c，基本事件总数n＝23＝8，“以a，b，c为边长恰好构成三角形”包含的基本事件个数m＝5，∴“以a，b，c为边长恰好构成三角形”的概率：p＝．故答案为：．9．（4分）已知等边△ABC的边长为3，M是△ABC的外接圆上的动点，则的最大值为．【解答】解：如图，＝＝3||cos∠BAM，设OM是外接圆⊙O的半径为3×＝，则当且同向时，则取得最大值．所以3||cos∠BAM＝3（+OM）＝；故答案为：．10．（4分）函数y＝|2x|+|x|取最小值时x的取值范围是．【解答】解：y＝|2x|+|x|＝|1+log 2x|+|log2x|＝f（x）．当x≥1时，f（x）＝1+2log2x≥1，当且仅当x＝1时取等号；当0＜x1时，f（x）＝﹣1﹣2log2x≥1，当且仅当x＝时取等号；当时，f（x）＝1，因此时等号成立．综上可得：函数f（x）取最小值1时x的取值范围是．故答案为：．11．（4分）已知函数f（x）＝（）x，g（x）＝x，记函数h（x）＝，则函数F（x）＝h（x）+x﹣5所有零点的和为5．【解答】解：∵函数f（x）＝（）x，g（x）＝x，关于直线y＝x对称，记函数h（x）＝，∴可知h（x）关于直线y＝x对称．∵y＝x与y＝5﹣x，交点为A（2.5，2.5）∴y＝5﹣x，与函数h（x）交点关于A对称，x1+x2＝2×＝5∴函数F（x）＝h（x）+x﹣5，的零点．设h（x）与y＝5﹣x交点问题，可以解决函数F（x）＝h（x）+x﹣5零点问题．故函数F（x）＝h（x）+x﹣5所有零点的和为5．故答案为：5．12．（4分）已知F1、F2是椭圆Γ1：＝1和双曲线Γ2：＝1的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则mn的最大值为．【解答】解：设|PF1|＝s，|PF2|＝t，由题意可得公共焦点为知F1（﹣2，0），F2（2，0），即有c＝2，在三角形PF1F2中，由余弦定理可得4c2＝s2+t2﹣2st cos60°即s2+t2﹣st＝16，由椭圆的定义可得s+t＝2m（m＞0），由双曲线的定义可得s﹣t＝2n（n＞0），解得s＝m+n，t＝m﹣n．即有16＝（m+n）2+（m﹣n）2﹣（m+n）（m﹣n）＝m2+3n2≥2mn，即有mn≤．当且仅当m＝n，取得最大值．故答案为：．13．（4分）在△ABC中，记角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，设S是△ABC的面积，若2S sin A＜（•）sin B，则下列结论中：①a2＜b2+c2；②c2＞a2+b2；③cos B cos C＞sin B sin C；④△ABC是钝角三角形．其中正确结论的序号是④．【解答】解：∵2S sin A＜（•）sin B，∴2×bc sin A×sin A＜ca cos B sin B，∴可得：bc sin A sin A＜ac sin B cos B，又由正弦定理可得：b sin A＝a sin B＞0，则cos B＞sin A＞0，可得：B是锐角，①若A为锐角，而cos B＝sin（90°﹣B），故有sin（90°﹣B）＞sin A，即90°﹣B＞A，则A+B＜90°，∠C＞90°，∴由余弦定理可得：cos∠C＝＜0，即有：c2＞a2+b2，故②正确，∴由余弦定理可得：cos∠A＝＞0，可得a2＜b2+c2，故①正确；∴△ABC是钝角三角形，故④正确；∵cos B cos C﹣sin B sin C＝cos（B+C）＝﹣cos A＜0，故③不正确；②若A为钝角，∠C＜90°，∴由余弦定理可得：cos∠C＝＞0，即有：c2＜a2+b2，故②不正确，∴由余弦定理可得：cos∠A＝＜0，可得a2＞b2+c2，故①不正确；∴△ABC是钝角三角形，故④正确；∵cos B cos C﹣sin B sin C＝cos（B+C）＝﹣cos A＞0，故③正确；综上可得：④正确．故答案为：④．14．（4分）已知数列{a n}满足：对任意n∈N*均有a n+1＝pa n+3p﹣3（p为常数，p ≠0且p≠1），若a2，a3，a4，a5∈{﹣19，﹣7，﹣3，5，10，29}，则a1所有可能值的集合为{﹣1，﹣3，﹣67}．【解答】解：（1）取a2＝﹣19，a3＝﹣7时，﹣7＝﹣19p+3p﹣3，解得p＝，a4＝不成立；（2）取a2＝﹣19，a3＝﹣3时，﹣3＝﹣19p+3p﹣3，解得p＝0，a4＝﹣3，此时a1＝﹣3；（3）取a2＝﹣19，a3＝5时，5＝﹣19p+3p﹣3，解得p＝﹣，a4＝5×（﹣）+3×（﹣）﹣3＝﹣7，，不成立；（4）取a2＝﹣19，a3＝10时，10＝﹣19p+3p﹣3，解得p＝﹣，a4＝10×（﹣）+3×（﹣）﹣3＝﹣，不成立；（5）取a2＝﹣19，a3＝29时，29＝﹣19p+3p﹣3，解得p＝﹣2，a4＝29×（﹣2）+3×（﹣2）﹣3＝﹣67，不成立；（6）取a2＝﹣7，a3＝﹣3时，﹣3＝﹣7p+3p﹣3，解得p＝0，a4＝﹣3，此时a3＝﹣3；（7）取a2＝﹣7，a3＝5时，得5＝﹣7p+3p﹣3，解得p＝﹣2，∴a4＝﹣2×5﹣3×2﹣3＝﹣19，a5＝﹣19×（﹣2）﹣3×2﹣3＝29，∴﹣7＝﹣2a1﹣3×2﹣3，解得a1＝﹣1；（8）取a2＝﹣7，a3＝10时，10＝﹣7p+3p﹣3，解得p＝﹣，，不成立；（9）取a2＝﹣7，a3＝29时，29＝﹣7p+3p﹣3，解得p＝﹣8，a4＝29×（﹣8）+3×（﹣8）﹣3＝﹣259，不成立；（10）取a2＝﹣7，a3＝﹣19时，﹣19＝﹣7p+3p﹣3，解得p＝4，a4＝﹣19×4+3×4﹣3＝﹣67，不成立；（11）取a2＝﹣3，a3＝﹣19时，﹣19＝﹣3p+3p﹣3，不成立；（12）取a2＝﹣3，a3＝﹣7时，﹣7＝﹣3p+3p﹣3，不成立；（13）取a2＝﹣3，a3＝5时，5＝﹣3p+3p﹣3，不成立；（14）取a2＝﹣3，a3＝10时，10＝﹣3p+3p﹣3，不成立；（15）取a2＝﹣5，a3＝29时，29＝﹣3p+3p﹣3，不成立；（16）取a2＝5，a3＝﹣19时，﹣19＝5p+3p﹣3，解得p＝﹣2，a4＝﹣19×（﹣2）+3×（﹣2）﹣3＝29，a5＝29×（﹣2）+3×（﹣2）﹣3＝﹣67，不成立；（17）取a2＝5，a3＝﹣7时，﹣7＝5p+3p﹣3，解得p＝﹣，＝﹣1，不成立；（18）取a2＝5，a3＝﹣3时，﹣3＝5p+3p﹣3，解得p＝0，a4＝﹣3，此时a1＝﹣3；（19）取a2＝5，a3＝10时，10＝5p+3p﹣3，解得p＝，，不成立；（20）取a2＝5，a3＝29时，29＝5p+3p﹣3，解得p＝4，a4＝29×4+3×4﹣3＝125，不成立；（21）取a2＝10，a3＝﹣19时，﹣19＝10p+3p﹣3，解得p＝﹣，，不成立；（22）取a2＝10，a3＝﹣7时，﹣7＝10p+3p﹣3，解得p＝﹣，a4＝﹣7×（）+3×（﹣）﹣3＝﹣，不成立；（23）取a2＝10，a3＝﹣3时，﹣3＝10p+3p﹣3，解得p＝0，a4＝﹣3，此时a1＝﹣3；（24）取a2＝10，a3＝5时，5＝10p+3p﹣3，解得p＝，a4＝＝，不成立；（25）取a2＝10，a3＝29时，29＝10p+3p﹣3，解得p＝，a4＝29×+3×﹣3＝，不成立；（26）取a2＝29，a3＝﹣19时，﹣19＝29p+3p﹣3，解得p＝﹣，＝5，，29＝﹣﹣3×，解得a1＝﹣67；（27）取a2＝29，a3＝﹣7时，﹣7＝29p+3p﹣3，解得p＝﹣，a4＝﹣7×（﹣）+3×（﹣）﹣3＝﹣，不成立；（28）取a2＝29，a3＝5时，5＝29p+3p﹣3，解得p＝，a4＝5×+3×﹣3＝1，不成立；（29）取a2＝29，a3＝10时，10＝29p+3p﹣3，解得p＝，a4＝10×＝，不成立；（30）取a2＝29，a3＝﹣3时，﹣3＝29p+3p﹣3，解得p＝0，a4＝﹣3，此时a1＝﹣3．综上所述，a的集合为{﹣1，﹣3，﹣67}．故答案为：{﹣1，﹣3，﹣67}．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得5分，否则一律得0分．15．（5分）已知圆O：x2+y2＝1和直线l：y＝kx+，则k＝1是圆O与直线l 相切的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵圆O与直线l相切，∴圆心到直线的距离d＝＝1，∴k＝±1，∴k＝1是圆O与直线l相切的充分不必要条件．故选：B．16．（5分）（2﹣）8展开式中各项系数的和为（）A．﹣1B．1C．256D．﹣256【解答】解：令二项式（2﹣）8中的x＝1，得到展开式中各项的系数的和为（2﹣1）8＝1∴展开式中各项的系数的和为1故选：B．17．（5分）已知y＝f（x）是定义在R上的函数，下列命题正确的是（）A．若f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在（a，b）内有零点，则有f（a）•f（b）＜0B．若f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＞0，则其在（a，b）内没有零点C．若f（x）在区间（a，b）上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f （b）＜0，则其在（a，b）内有零点D．如果函数f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＜0，则其在（a，b）内有零点【解答】解：①y＝x2，在（﹣1，1）内有零点，但是f（﹣1）•f（1）＞0，故A 不正确，②y＝x2，f（﹣1）•f（1）＞0，在（﹣1，1）内有零点，故B不正确，③若f（x）在区间（a，b）上的图象是一条连续不断的曲线，f（a）＝﹣1，f（b）＝1，在（a，b）恒成立有f（x）＞0，可知满足f（a）•f（b）＜0，但是其在（a，b）内没有零点．故C不正确．所以ABC不正确，故选：D．18．（5分）数列{a n}是公差不为零的等差数列，其前n项和为S n，若记数据a1，a2，a3，…，a2015的方差为λ1，数据的方差为λ2，k＝．则（）A．k＝4．B．k＝2．C．k＝1．D．k的值与公差d的大小有关．【解答】解：由题意，数据a1，a2，a3，…，a2015的平均数为＝a1008，所以λ1＝[（a1﹣a1008）2+（a2﹣a1008）2+…+（a2015﹣a1008）2]＝•（12+22+…+10072）．数据，，，…，的平均数为a1+d，所以λ2＝[（﹣a1﹣d）2+（﹣a1﹣d）2+…+（﹣a1﹣d）2]＝•（12+22+…+10072）．所以k＝＝2，故选：B．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，直线A1B与平面BB1C1C所成角的大小为arctan．求三棱锥C1﹣A1BC的体积．【解答】解法一：∵A1C1⊥B1C1，A1C1⊥CC1，B1C1∩C1C＝C1，∴A1C1⊥平面BB1C1C，∴∠A1BC1是直线A1B与平面BB1C1C所成的角．设CC1＝y，，∴，∴．法二：如图，建立空间直角坐标系，设CC1＝y．得点B（0，2，0），C1（0，0，y），A1（2，0，y）．则，平面BB 1C1C的法向量为．设直线A1B与平面BB1C1C所成的角为θ，则，∴．20．（14分）某公司生产电饭煲，每年需投入固定成本40万元，每生产1万件还需另投入16万元的变动成本，设该公司一年内共生产电饭煲x万件并全部售完，每一万件的销售收入为R（x）万元，且R（x）＝﹣，10＜x＜100，该公司在电饭煲的生产中所获年利润W（万元）．（注：利润＝销售收入﹣成本）（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（2）为了让年利润W不低于2760万元，求年产量x的取值范围．【解答】解：（1）当10＜x＜100时，W＝xR（x）﹣（40+16x）＝4360﹣﹣16x．（2）4360﹣﹣16x≥2760，所以x2﹣100x+2500≤0（x≠0），所以（x﹣50）2≤0，所以x＝50．21．（14分）椭圆Γ：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，已知椭圆Γ过点P（，），且•＝0．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若椭圆上两点C、D关于点M（1，）对称，求|CD|．【解答】解：（1）由于椭圆Γ过点，即有，解得a2＝2，又•＝0，则以AP为直径的圆恰好过右焦点F2，又，得，，即有，而b2＝a2﹣c2＝2﹣c2，所以c2﹣2c+1＝0得c＝1，故椭圆Γ的方程是．（2）法一：设点C、D的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则，且x1+x2＝2，y1+y2＝1，由，得：（x1+x2）（x1﹣x2）+2（y1+y2）（y1﹣y2）＝0，即，所以CD所在直线的方程为，将，代入x2+2y2＝2得，即有x1+x2＝2，x1x2＝．．法二：设点C、D的坐标分别为（x1，y1）、（2﹣x1，1﹣y1），则，两等式相减得，将，代入x2+2y2＝2得，则有．22．（16分）已知函数f（x）＝cos（2x﹣）+sin2x﹣cos2x+．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若存在t∈[，]满足[f（t）]2﹣2f（t）﹣m＞0，求实数m的取值范围；（3）对任意的x1∈[﹣，]，是否存在唯一的x2∈[﹣，]，使f（x1）•f （x2）＝1成立，请说明理由．【解答】解：（1）＝，函数f（x）的最小正周期T＝π，（2）当时，，，存在，满足F（t）﹣m＞0的实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1）．（3）存在唯一的，使f（x1）•f（x2）＝1成立．当时，，，设，则a∈[﹣1，1]，由，得．所以x2的集合为，∵，∴x2在上存在唯一的值使f（x1）•f（x2）＝1成立．23．（18分）已知数列{a n}为等差数列，a1＝2，其前n和为S n，数列{b n}为等比数列，且a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n＝（n﹣1）•2n+2+4对任意的n∈N*恒成立．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）是否存在p，q∈N*，使得（a2p+2）2﹣b q＝2020成立，若存在，求出所有满足条件的p，q；若不存在，说明理由．（3）是否存在非零整数λ，使不等式λ（1﹣）（1﹣）…（1﹣）cos＜对一切n∈N*都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【解答】解（1）法1：设数列{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q．∵a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n＝（n﹣1）•2n+2+4，令n＝1，2，3分别得a1b1＝4，a1b1+a2b2＝20，a1b1+a2b2+a3b3＝68，又a1＝2，∴，即，解得：或．经检验d＝2，q＝2符合题意，不合题意，舍去．∴．法2：∵①则（n≥2）②①﹣②得，，又a1b1＝4，也符合上式，∴，由于{a n}为等差数列，令a n＝kn+b，则，∵{b n}为等比数列，则（为常数），即（qk﹣2k）n2+（bq﹣kq﹣2b+2k）n﹣qb＝0恒成立，∴q＝2，b＝0，又a1＝2，∴k＝2，故；（2）假设存在p，q∈N*满足条件，则（4p+4）2﹣2q＝2020，化简得4p2+8p﹣501＝2q﹣2，由p∈N*得，4p2+8p﹣501为奇数，∴2q﹣2为奇数，故q＝2．得4p2+8p﹣501＝1，即2p2+4p﹣251＝0，故，这与p∈N*矛盾，∴不存在满足题设的正整数p，q；（3）由a n＝2n，得，设，则不等式等价于（﹣1）n+1λ＜b n.，∵b n＞0，∴b n+1＞b n，数列{b n}单调递增．假设存在这样的实数λ，使得不等式（﹣1）n+1λ＜b n对一切n∈N*都成立，则①当n为奇数时，得；②当n为偶数时，得，即．综上，，由λ是非零整数，知存在λ＝±1满足条件．。
2015年上海市闵行区高考一模数学试卷(文科)【解析版】
2015年上海市闵行区高考数学一模试卷（文科）一.填空题1．（3分）已知集合A＝{x||x﹣|＞}，U＝R，则∁U A＝．2．（3分）若复数z满足（z+2）（1+i）＝2i（i为虚数单位），则z＝．3．（3分）函数f（x）＝x cos x，若f（a）＝，则f（﹣a）＝．4．（3分）计算＝．5．（3分）若x满足4x＝8，则x＝．6．（3分）已知θ∈（，π），sin﹣cos＝，则cosθ＝．7．（3分）若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为．8．（3分）口袋中有形状、大小相同的3只白球和1只黑球，现一次摸出2只球，则摸出的两球颜色不相同的概率是．9．（3分）已知正方形ABCD的边长为2，M是正方形四边上的动点，则的最大值为．10．（3分）函数y＝|log22x|+|log2x|的最小值为．11．（3分）已知函数f（x）＝（）x，g（x）＝x，记函数h（x）＝，则方程h（x）＝2的解为．12．（3分）已知F1、F2是椭圆Γ1：＝1和双曲线Γ2：＝1的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则mn的最大值为．13．（3分）在△ABC中，记角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若＜0，则下列结论中：①△ABC是钝角三角形；②a2＞b2+c2；③cos B cos C＞sin B sin C；④sin B＞cos C；其中错误结论的序号是．14．（3分）已知数列{a n}满足：对任意n∈N*均有a n+1＝pa n+3p﹣3（p为常数，p ≠0且p≠1），若a2，a3，a4，a5∈{﹣19，﹣7，﹣3，5，10，29}，写出一个满足条件的a1的值为．二.选择题15．（3分）已知圆O：x2+y2＝1和直线l：y＝kx+，则k＝1是圆O与直线l 相切的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件16．（3分）（2﹣x）8展开式中各项系数的和为（）A．﹣1B．1C．256D．﹣256 17．（3分）已知y＝f（x）是定义在R上的函数，下列命题正确的是（）A．若f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在（a，b）内有零点，则有f（a）•f（b）＜0B．若f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＞0，则其在（a，b）内没有零点C．若f（x）在区间（a，b）上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f （b）＜0，则其在（a，b）内有零点D．如果函数f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＜0，则其在（a，b）内有零点18．（3分）数列{a n}是公差d不为零的等差数列，其前n项和为S n，若记数据a1，a2，a3，…，a2015的方差为λ1，数据，，，…，的方差为λ2，则（）A．λ1＞λ2B．λ1＝λ2C．λ1＜λ2D．与的大小关系与公差的正负有关三.解答题19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，三棱锥A1﹣ABC的体积为，求直线A1B与CC1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．20．某公司生产电饭煲，每年需投入固定成本40万元，每生产1万件还需另投入16万元的变动成本，设该公司一年内共生产电饭煲x万件并全部售完，每一万件的销售收入为R（x）万元，且R（x）＝﹣，10＜x＜100，该公司在电饭煲的生产中所获年利润W（万元）．（注：利润＝销售收入﹣成本）（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（2）为了让年利润W不低于2760万元，求年产量x的取值范围．21．椭圆Γ：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，已知椭圆Γ上的点P（，）到F1、F2的距离之和为2；（1）求椭圆Γ的方程；（2）若椭圆上两点C、D关于点M（1，）对称，求直线CD的方程．22．已知函数f（x）＝sin2x+（sin2x﹣cos2x）+；（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若存在t∈[，]满足[f（t）]2﹣2f（t）﹣m＝0，求实数m的取值范围；（3）求证：任意的x1∈[﹣，]，存在唯一的x2∈[﹣，]，使f（x1）•f （x2）＝1成立．23．已知数列{a n}为等差数列，满足a n+a n+1＝4n+2（n∈N*），其前n项和为S n，数列{b n}为等比数列，且a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n＝（n﹣1）•2n+2+4对任意n∈N*的恒成立；（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）是否存在p，q∈N*，使得（a2p+2）2﹣b q＝392成立，若存在，求出所有满足条件的p，q，若不存在，说明理由；（3）记集合M＝{n|≥λ，n∈N*}，若M中共有5个元素，求实数λ的取值范围．2015年上海市闵行区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）已知集合A＝{x||x﹣|＞}，U＝R，则∁U A＝[﹣1，4]．【解答】解：由A中不等式变形得：x﹣＞或x﹣＜﹣，解得：x＞4或x＜﹣1，即A＝（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞），∵U＝R，∴∁U A＝[﹣1，4]．故答案为：[﹣1，4]2．（3分）若复数z满足（z+2）（1+i）＝2i（i为虚数单位），则z＝﹣1+i．【解答】解：由（z+2）（1+i）＝2i，得，∴z＝﹣1+i．故答案为：﹣1+i．3．（3分）函数f（x）＝x cos x，若f（a）＝，则f（﹣a）＝﹣．【解答】解：∵f（x）＝x cos x，f（a）＝，∴f（a）＝a cos a＝，∴f（﹣a）＝﹣a cos（﹣a）＝﹣a cos a＝．故答案为：﹣．4．（3分）计算＝．【解答】解：原式＝＝．故答案为：．5．（3分）若x满足4x＝8，则x＝．【解答】解：∵x满足4x＝8，∴22x＝23，∴2x＝3，解得x＝．故答案为：．6．（3分）已知θ∈（，π），sin﹣cos＝，则cosθ＝．【解答】解：∵θ∈（，π），sin﹣cos＝，∴1﹣sinθ＝，∴sinθ＝，∵θ∈（，π），∴cosθ＝﹣＝﹣．故答案为：．7．（3分）若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为．【解答】解：根据题意，圆锥的底面面积为π，则其底面半径是1，底面周长为2π，又，∴圆锥的母线为2，则圆锥的高，所以圆锥的体积××π＝．故答案为．8．（3分）口袋中有形状、大小相同的3只白球和1只黑球，现一次摸出2只球，则摸出的两球颜色不相同的概率是．【解答】解：口袋中有形状、大小相同的3只白球和1只黑球，现一次摸出2只球，基本事件总数n＝＝6，摸出的两球颜色不相同，包含的基本事件个数m＝＝3，∴摸出的两球颜色不相同的概率是p＝＝＝．故答案为：．9．（3分）已知正方形ABCD的边长为2，M是正方形四边上的动点，则的最大值为4．【解答】解：以A为坐标原点，以AB方向为x轴正方向，以AD方向为y轴负方向建立坐标系，∵正方形ABCD的边长为2，∴＝（2，0），M为正方形边界一点，设M（x，y），则0≤x≤2，0≤y≤2，＝（x，y），则＝2x≤4，当M在BC上时取得最大值4；故答案是：4．10．（3分）函数y＝|log22x|+|log2x|的最小值为1．【解答】解：函数y＝|log22x|+|log2x|＝|1+log2x|+|﹣log2x|≥|1+log2x﹣log2x|＝1．故答案为：1．11．（3分）已知函数f（x）＝（）x，g（x）＝x，记函数h（x）＝，则方程h（x）＝2的解为x＝．【解答】解：记f（x）与g（x）的图象交点的横坐标为x＝x0，∵f（）＝＝＜1＝，∴x0∈（，1），函数h（x）的图象如图所示：∴h（x）＝2＝，解得：x＝，故答案为：x＝．12．（3分）已知F1、F2是椭圆Γ1：＝1和双曲线Γ2：＝1的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则mn的最大值为．【解答】解：设|PF1|＝s，|PF2|＝t，由题意可得公共焦点为知F1（﹣2，0），F2（2，0），即有c＝2，在三角形PF1F2中，由余弦定理可得4c2＝s2+t2﹣2st cos60°即s2+t2﹣st＝16，由椭圆的定义可得s+t＝2m（m＞0），由双曲线的定义可得s﹣t＝2n（n＞0），解得s＝m+n，t＝m﹣n．即有16＝（m+n）2+（m﹣n）2﹣（m+n）（m﹣n）＝m2+3n2≥2mn，即有mn≤．当且仅当m＝n，取得最大值．故答案为：．13．（3分）在△ABC中，记角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若＜0，则下列结论中：①△ABC是钝角三角形；②a2＞b2+c2；③cos B cos C＞sin B sin C；④sin B＞cos C；其中错误结论的序号是④．【解答】解：△ABC中，∵＜0，则∠A为钝角，故①、②正确．再根据cos A＝﹣cos（B+C）＝﹣cos B cos C+sin B sin C＜0，化简可得cos B cos C＞sin B sin C，故③正确．根据B+C＜，可得0＜B＜﹣C＜，∴sin B＜sin（﹣C）＝cos C，即sin B ＜cos C，故④错误，故答案为：④．14．（3分）已知数列{a n}满足：对任意n∈N*均有a n+1＝pa n+3p﹣3（p为常数，p ≠0且p≠1），若a2，a3，a4，a5∈{﹣19，﹣7，﹣3，5，10，29}，写出一个满足条件的a1的值为﹣1．【解答】解：取a2＝﹣7，a3＝5，得5＝﹣7p+3p﹣3，解得p＝﹣2，∴a4＝﹣2×5﹣3×2﹣3＝﹣19，a5＝﹣19×（﹣2）﹣3×2﹣3＝29，∴﹣7＝﹣2a1﹣3×2﹣3，解得a1＝﹣1．故答案为：﹣1．二.选择题15．（3分）已知圆O：x2+y2＝1和直线l：y＝kx+，则k＝1是圆O与直线l 相切的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵圆O与直线l相切，∴圆心到直线的距离d＝＝1，∴k＝±1，∴k＝1是圆O与直线l相切的充分不必要条件．故选：B．16．（3分）（2﹣x）8展开式中各项系数的和为（）A．﹣1B．1C．256D．﹣256【解答】解：令二项式（2﹣x）8中的x＝1，得到展开式中各项的系数的和为（2﹣1）8＝1．∴展开式中各项的系数的和为1故选：B．17．（3分）已知y＝f（x）是定义在R上的函数，下列命题正确的是（）A．若f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在（a，b）内有零点，则有f（a）•f（b）＜0B．若f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＞0，则其在（a，b）内没有零点C．若f（x）在区间（a，b）上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f （b）＜0，则其在（a，b）内有零点D．如果函数f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）•f（b）＜0，则其在（a，b）内有零点【解答】解：①y＝x2，在（﹣1，1）内有零点，但是f（﹣1）•f（1）＞0，故A 不正确，②y＝x2，f（﹣1）•f（1）＞0，在（﹣1，1）内有零点，故B不正确，③若f（x）在区间（a，b）上的图象是一条连续不断的曲线，f（a）＝﹣1，f（b）＝1，在（a，b）恒成立有f（x）＞0，可知满足f（a）•f（b）＜0，但是其在（a，b）内没有零点．故C不正确．所以ABC不正确，故选：D．18．（3分）数列{a n}是公差d不为零的等差数列，其前n项和为S n，若记数据a1，a2，a3，…，a2015的方差为λ1，数据，，，…，的方差为λ2，则（）A．λ1＞λ2B．λ1＝λ2C．λ1＜λ2D．与的大小关系与公差的正负有关【解答】解：由题意，数据a1，a2，a3，…，a2015的平均数为＝a1008，所以λ1＝[（a1﹣a1008）2+（a2﹣a1008）2+…+（a2015﹣a1008）2]＝•（12+22+…+10072）．数据，，，…，的平均数为a1+d，所以λ2＝[（a1﹣a1﹣d）2+（a2﹣a1﹣d）2+…+（a2015﹣a1﹣d）2]＝•（12+22+…+10072）．所以λ1＞λ2，故选：A．三.解答题19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，三棱锥A1﹣ABC的体积为，求直线A1B与CC1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【解答】解：根据已知条件；∴AA1＝4；又AB＝；AA1⊥AB；∴在Rt△ABA1中tan；；∵AA1∥CC1；∴∠AA1B是直线A1B和CC1所成角，并且该角为．20．某公司生产电饭煲，每年需投入固定成本40万元，每生产1万件还需另投入16万元的变动成本，设该公司一年内共生产电饭煲x万件并全部售完，每一万件的销售收入为R（x）万元，且R（x）＝﹣，10＜x＜100，该公司在电饭煲的生产中所获年利润W（万元）．（注：利润＝销售收入﹣成本）（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（2）为了让年利润W不低于2760万元，求年产量x的取值范围．【解答】解：（1）当10＜x＜100时，W＝xR（x）﹣（40+16x）＝4360﹣﹣16x．（2）4360﹣﹣16x≥2760，所以x2﹣100x+2500≤0（x≠0），所以（x﹣50）2≤0，所以x＝50．21．椭圆Γ：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，已知椭圆Γ上的点P（，）到F1、F2的距离之和为2；（1）求椭圆Γ的方程；（2）若椭圆上两点C、D关于点M（1，）对称，求直线CD的方程．【解答】解：（1）∵椭圆Γ上的点P（，）到两焦点F1、F2的距离之和为2，∴＝1，2a＝2，a2＝b2+c2，解得a＝，b＝1，c＝1．∴椭圆Γ的方程为；（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），设P是直线CD上的任意一点，可得＝1，＝，＝（x≠1）．∵＝1，＝1，相减可得：+（y1+y2）（y1﹣y2）＝1，∴1+＝0，（x1≠x2）．∴＝0，化为x+y﹣＝0，当x＝1时也成立．∴直线CD的方程为x+y﹣＝0．22．已知函数f（x）＝sin2x+（sin2x﹣cos2x）+；（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若存在t∈[，]满足[f（t）]2﹣2f（t）﹣m＝0，求实数m的取值范围；（3）求证：任意的x1∈[﹣，]，存在唯一的x2∈[﹣，]，使f（x1）•f （x2）＝1成立．【解答】解：（1）函数f（x）＝sin2x+（sin2x﹣cos2x）+＝＝sin（2x﹣）+，所以函数的最小正周期为；T＝π；（2）由于，所以：，设：F（x）＝[f（t）]2﹣2f（t）＝（f（t）﹣）2﹣2∈[﹣2，﹣1]，存在t∈[，]满足[f（t）]2﹣2f（t）﹣m＝0，所以：m的取值范围为：m∈[﹣2，﹣1]（3）对任意的x1∈[﹣，]，存在唯一的x2∈[﹣，]，使f（x1）•f（x2）＝1成立，当时，使f（x1）f（x2）＝1成立．当时，，所以：，）+．则：∈[﹣1，1]，设：（a∈[﹣1，1]），由．解得：或，所以x2的解集为：{x2|或}（k∈Z）．由于，所以：，由于函数在此区间内有严格的单调性．所以：存在唯一的x2∈[﹣，]，使f（x1）•f（x2）＝1成立．23．已知数列{a n}为等差数列，满足a n+a n+1＝4n+2（n∈N*），其前n项和为S n，数列{b n}为等比数列，且a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n＝（n﹣1）•2n+2+4对任意n∈N*的恒成立；（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）是否存在p，q∈N*，使得（a2p+2）2﹣b q＝392成立，若存在，求出所有满足条件的p，q，若不存在，说明理由；（3）记集合M＝{n|≥λ，n∈N*}，若M中共有5个元素，求实数λ的取值范围．【解答】解：（1）∵数列{a n}为等差数列，满足a n+a n+1＝4n+2（n∈N*），得，解得d＝2，a1＝2，∴a n＝2+（n﹣1）×2＝2n．由a1b1+a2b2+a3b3+…+a n﹣1b n﹣1+a n b n＝（n﹣1）•2n+1，可得a1b1+a2b2+a3b3+…+a n﹣1b n﹣1＝（n﹣2）•2n﹣1+1（n≥2），两式相减可得a n b n＝n•2n﹣1，∴b n＝＝2n．（2）假设存在p，q∈N*，使得（a2p+2）2﹣b q＝392成立．∵（a2p+2）2﹣b q＝392，∴（4p+4）2﹣2q＝392，∴16（p+1）2＝392+2q，∴（p+1）2＝，∵，∴p＝4，q＝3．（3）∵d＝2，a1＝2，∴＝n2+n，M＝{n|≥λ，n∈N*}，∵M＝{n|，n∈N*}中共有5个元素，∴当n＝1时，λ≤＝1，当n＝2时，λ≤＝，当n＝3时，λ≤＝，当n＝4时，λ≤＝，当n＝5时，λ≤＝，当n＝6时，λ＞＝，∴．。
【VIP专享】闵行区2015年高三数学理科二模试卷(附详细答案)
x1、x2
2
,
2
，能使
f
(x1)
f (x2 ) 成立的条件的序号是
10．已知数列{an}满足 an1 an2 2an 2 1(n N ) ，则使不等式 a2015 2015 成立的所有正整数 a1 的集
合为
11．斜率为
2
．
2 的直线与焦点在 x 轴上的椭圆 x2 y2 1(b 0) 交
3．双曲线 x2 y2 1的两条渐近线的夹角的弧度数为
4 12
4．若 cos 4 ，且 0, ，则 tg
5
2
5．在极坐标系中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线 4cos 于 A 、 B 两点，则 AB =
6．已知等比数列an满足 a2 2, a3 1 ，则 nlim(a1a2 a2a3 anan1) =
．
1
6.培养学生观察、思考、对比及分析综合的能力。过程与方法1.通过观察蚯蚓教的学实难验点，线培形养动观物察和能环力节和动实物验的能主力要；特2征.通。过教对学观方察法到与的教现学象手分段析观与察讨法论、，实对验线法形、动分物组和讨环论节法动教特学征准的备概多括媒，体继课续件培、养活分蚯析蚓、、归硬纳纸、板综、合平的面思玻维璃能、力镊。子情、感烧态杯度、价水值教观1和.通过学理解的蛔1虫.过观适1、察于程3观阅 六蛔寄.内列察读 、虫生出蚯材 让标容生3根常蚓料 学本教活.了 据见身： 生，师的2、解 问的体巩鸟 总看活形作 用蛔 题线的固类 结雌动态业 手虫 自形练与 本雄学、三： 摸对 学动状习人 节蛔生结4、、收 一人 后物和同类 课虫活构请一蚯集 摸体 回并颜步关 重的动、学、蚓鸟 蚯的 答归色学系 点形教生生让在类 蚓危 问纳。习从 并状学理列学平的害 题线蚯四线人 归、意特出四生面体以形蚓、形类 纳大图点常、五观玻存 表及动的鸟请动文 本小引以见引、察璃现 ，预物身类 3学物明 节有言及的、导巩蚯上状 是防的体之生和历 课什根蚯环怎学固蚓和， 干感主是所列环史 学么据蚓节二样生练引牛鸟 燥染要否以举节揭 到不上适动、区回习导皮类 还的特分分蚯动晓 的同节于物让分答。学纸减 是方征节布蚓物起 一，课穴并学蚯课生上少 湿法。?广的教， 些体所居归在生蚓前回运的 润；4泛益学鸟色生纳.靠物完的问答动原 的4蛔，处目类 习和活环.近在成前题蚯的因 ？了虫以。标就 生体的节身其实端并蚓快及 触解寄上知同 物表内特动体结验和总利的慢我 摸蚯生适识人 学有容点物前构并后结用生一国 蚯蚓在于与类 的什，的端中思端线问活样的 蚓人飞技有 基么引进主的的考?形题环吗十 体生行能着 本特出要几变以动，境？大 节活的1密 方征本“特节化下物.让并为珍 近习会形理切 法。课生征有以问的小学引什稀 腹性态解的 。2课物。什游题主.结生出么鸟 面和起结蛔关观题体么戏：要利明蚯？类 处适哪构虫系察：的特的特用确蚓等 ，于些特适。蛔章形殊形征板，这资 是穴疾点于可虫我态结式。书生种料 光居病是寄的们结构，五小物典， 滑生？重生鸟内学构，学、结的型以 还活5要生类部习与.其习巩鸟结的爱 是如原活生结了功颜消固类构线鸟 粗形何因的存构腔能色化练适特形护 糙态预之结的，肠相是系习于点动鸟 ？、防一构现你动适否统。飞都物为结蛔。和状认物应与的行是。主构虫课生却为和”其结的与题、病本理不蛔扁的他构特环以生？8特乐虫形观部特8征境小理三页点观的动位点梳相组等、这；，哪物教相，理适为方引些2鸟，育同师.知应单面导鸟掌类结了；？生识的位学你握日构解2互.。办特生认线益特了通动手征观识形减点它过，抄；察吗动少是们理生报5蛔？物，与的解.参一了虫它和有寄主蛔与份解结们环些生要虫其。蚯构都节已生特对中爱蚓。会动经活征人培鸟与飞物灭相。类养护人吗的绝适这造兴鸟类？主或应节成趣的为要濒的课情关什特临？就危感系么征灭来害教；？；绝学，育，习使。我比学们它生可们理以更解做高养些等成什的良么两好。类卫动生物习。惯根的据重学要生意回义答；的3.情通况过，了给解出蚯课蚓课与题人。类回的答关：系线，形进动行物生和命环科节学动价环值节观动的物教一育、。根教据学蛔重虫点病1.引蛔出虫蛔适虫于这寄种生典生型活的线结形构动和物生。理二特、点设；置2.问蚯题蚓让的学生生活思习考性预和习适。于穴居生活的形态、结构、生理等方面的特征；3.线形动物和环节动物的主要特征。
2015年上海市闵行区高考数学二模试卷(文科)含详解
2015年上海市闵行区高考数学二模试卷（文科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．1．（4分）用列举法将方程log3x+log3（x+2）=1的解集表示为．2．（4分）若复数z满足z•（1+i）=2（其中i为虚数单位），则|z+1|=．3．（4分）双曲线=1的两条渐近线的夹角的弧度数为．4．（4分）若cosα=，且α∈（0，π），则tan=．5．（4分）二项式（2x﹣1）5的展开式中，x2项的系数为．6．（4分）已知等比数列{a n}满足a2=2，a3=1，则=．7．（4分）如果实数x，y满足线性约束条件，则z=x+y﹣2的最小值等于．8．（4分）空间一线段AB，若其主视图、左视图、俯视图的长度均为，则线段AB的长度为．9．（4分）给出条件：①x1＜x2，②|x1|＞x2，③x1＜|x2|，④x12＜x22．函数f（x）=|sinx|+|x|，对任意，能使f（x1）＜f（x2）成立的条件的序号是．10．（4分）已知数列{a n}满足（a n+1﹣1）2=a n2﹣2a n+2（n∈N*），则使a2015＞2015成立的正整数a1的一个值为．11．（4分）斜率为的直线与焦点在x轴上的椭圆x2+=1（b＞0）交于不同的两点P、Q．若点P、Q在x轴上的投影恰好为椭圆的两焦点，则该椭圆的焦距为．12．（4分）函数f（x）=log a x+ax2﹣2在区间（0，1）内无零点，则实数a的范围是．13．（4分）已知点P是半径为1的⊙O上的动点，线段AB是⊙O的直径．则的取值范围为．14．（4分）已知函数f（x）=，g（x）=，若对任意的x1，x2∈R，均有f（x1）≤g（x2），则实数k的取值范围是．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得5分，否则一律得0分．15．（5分）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．a2＜ab B．﹣ab＜﹣b2C．D．16．（5分）从4个不同的独唱节目和2个不同的合唱节目中选出4个节目编排一个节目单，要求最后一个节目必须是合唱，则这个节目单的编排方法共有（）A．14种B．48种C．72种D．120种17．（5分）函数y=sinx的定义域为[a，b]，值域为[﹣1，]，则b﹣a的最大值是（）A．πB．C．D．2π18．（5分）如图，已知直线l⊥平面α，垂足为O，在△ABC中，BC=2，AC=2，AB=2，点P是边AC的中点．该三角形在空间按以下条件作自由移动：（1）A∈l，（2）C∈α．则|+|的最大值为（）A．2B．2C．1+D．三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）如图，已知圆锥的底面半径为r=10，点Q为半圆弧的中点，点P 为母线SA的中点．若PQ与SO所成角为，求此圆锥的全面积与体积．20．（14分）设三角形ABC的内角A、B、C所对的边长分别是a、b、c，且B=．若△ABC不是钝角三角形，求：（1）角C的范围；（2）的取值范围．21．（14分）某油库的设计容量是30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油m万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x个月的需求量y（万吨）与x的函数关系为y=（p＞0，1≤x≤16，x∈N*），并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．（1）试写出第x个月石油调出后，油库内储油量M（万吨）与x的函数关系式；（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定m 的取值范围．22．（16分）已知两动圆和（0＜r＜4），把它们的公共点的轨迹记为曲线C，若曲线C与y轴的正半轴的交点为M，且曲线C上的相异两点A、B满足：=0．（1）求曲线C的方程；（2）若A的坐标为（﹣2，0），求直线AB和y轴的交点N的坐标；（3）证明直线AB恒经过一定点，并求此定点的坐标．23．（18分）各项均为正数的数列{b n}的前n项和为S n，且对任意正整数n，都有2S n=b n（b n+1）．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）如果等比数列{a n}共有2015项，其首项与公比均为2，在数列{a n}的每相邻两项a k与a k+1之间插入k个（﹣1）k b k（k∈N*）后，得到一个新的数列{c n}．求数列{c n}中所有项的和；（3）如果存在n∈N*，使不等式成立，求实数λ的范围．2015年上海市闵行区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．1．（4分）用列举法将方程log3x+log3（x+2）=1的解集表示为{1} ．【考点】51：函数的零点．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；5J：集合．【分析】由对数运算知方程可化为x（x+2）=3，且x＞0；从而解出解，再用列举法表示即可．【解答】解：∵log3x+log3（x+2）=1，∴log3x（x+2）=1，且x＞0；∴x（x+2）=3，且x＞0；解得，x=1；故答案为：{1}．【点评】本题考查了对数的运算与化简，同时考查了集合的表示法，属于基础题．2．（4分）若复数z满足z•（1+i）=2（其中i为虚数单位），则|z+1|=．【考点】A8：复数的模．【专题】11：计算题；5N：数系的扩充和复数．【分析】先求出复数z，再求|z+1|．【解答】解：∵复数z满足z•（1+i）=2，∴z==1﹣i，∴|z+1|=|2﹣i|=．故答案为：．【点评】本题考查复数的化简，考查复数的模，比较基础．3．（4分）双曲线=1的两条渐近线的夹角的弧度数为．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出双曲线=1两条渐近线的方程，得到直线的倾斜角，即可得到结论．【解答】解：双曲线=1的两条渐近线的方程为：y=±x，所对应的直线的倾斜角分别为，∴双曲线=1的两条渐近线的夹角等于．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查直线的倾斜角，属于基础题．4．（4分）若cosα=，且α∈（0，π），则tan=．【考点】GW：半角的三角函数．【专题】56：三角函数的求值．【分析】根据半角的正切公式进行求解即可．【解答】解：∵cosα=，且α∈（0，π），∴sinα=，则tan===，故答案为：．【点评】本题主要考查半角的正切公式的应用，比较基础．5．（4分）二项式（2x﹣1）5的展开式中，x2项的系数为﹣40．【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】直接写出二项展开式的通项，由x得次数为2求得r，则x2项的系数可求．【解答】解：二项式的通项=，由r=2，得x2项的系数为．故答案为：﹣40．【点评】本题考查了二项式定理，考查了二项式的系数，是基础的计算题．6．（4分）已知等比数列{a n}满足a2=2，a3=1，则=8．【考点】89：等比数列的前n项和．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，利用等比数列的通项公式可得：q，a1，利用=，即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2=2，a3=1，∴a1q=2，=1，解得q=，a1=4，∴===8．故答案为：8．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、数列极限，考查了计算能力，属于中档题．7．（4分）如果实数x，y满足线性约束条件，则z=x+y﹣2的最小值等于﹣3．【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=﹣x可得当直线经过点A（﹣2，1）时，z取最小值，代值计算可得．【解答】解：作出线性约束条件所对应的可行域（如图），变形目标函数可得y=﹣x+2+z，平移直线y=﹣x可知，当直线经过点A（﹣2，1）时，截距2+z取最小值，z取最小值，代值计算可得z的最小值为z=﹣2+1﹣2=﹣3故答案为：﹣3．【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．8．（4分）空间一线段AB，若其主视图、左视图、俯视图的长度均为，则线段AB的长度为．【考点】L7：简单空间图形的三视图．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】根据三视图得出，正方体的体对角线，符合题意，根据图形求解即可．【解答】解：∵空间一线段AB，若其主视图、左视图、俯视图的长度均为，∴把它放到正方体中研究得出：可判断出正方体的棱长为1，体对角线为，∴线段AB为故答案为：．【点评】本题考查了简单几何体的三视图的知识，构建常见的几何体，镶嵌其中即可，属于中档题，需要很好的空间思维能力．9．（4分）给出条件：①x1＜x2，②|x1|＞x2，③x1＜|x2|，④x12＜x22．函数f（x）=|sinx|+|x|，对任意，能使f（x1）＜f（x2）成立的条件的序号是④．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】由函数的解析式可得f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，函数f（x）在[﹣，0]上是减函数，在[0，]上是增函数，从而求得对任意，都有f（x1）＜f（x2）成立的条件．【解答】解：由于函数f（x）=|sinx|+|x|为偶函数，它的图象关于y轴对称，函数f（x）在[﹣，0]上是减函数，在[0，]上是增函数，要使对任意，都有f（x1）＜f（x2），只有x12＜x22 ，故答案为：④．【点评】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，函数的图象特征，属于中档题．10．（4分）已知数列{a n}满足（a n+1﹣1）2=a n2﹣2a n+2（n∈N*），则使a2015＞2015成立的正整数a1的一个值为2015．【考点】8H：数列递推式．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】由数列递推式得到数列{}是以为首项，以1为公差的等差数列，由等差数列的通项公式求得通项后再由a2015＞2015求得正整数a1的一个值．﹣1）2=a n2﹣2a n+2，得【解答】解：由（a n+1，则数列{}是以为首项，以1为公差的等差数列，∴，则，即，取，由a2015＞2015，得，即，∵a1是正整数，∴a1≥2015．故答案为：2015．【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特性，是中档题．11．（4分）斜率为的直线与焦点在x轴上的椭圆x2+=1（b＞0）交于不同的两点P、Q．若点P、Q在x轴上的投影恰好为椭圆的两焦点，则该椭圆的焦距为．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】画出图形，结合图形，得出直线与椭圆两交点坐标，根据两点间的斜率公式，求出焦距；【解答】解：由题意知：直线与椭圆两交点的横坐标为﹣c，c，纵坐标分别为﹣，，∴由直线的斜率为，可得=转化为：2b2=ac，2（a2﹣c2）=ac，a=1，即2c2+﹣2=0，解得c=，（负根舍去）∴椭圆的焦距为：；故答案为：．【点评】本题考查了椭圆的几何性质及直线的斜率公式和离心率公式的应用问题，也考查了点到直线的距离公式的应用问题，是中档题．12．（4分）函数f（x）=log a x+ax2﹣2在区间（0，1）内无零点，则实数a的范围是（1，2] ．【考点】52：函数零点的判定定理．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】分0＜a＜1与a＞1两种情况讨论，从而由函数零点判定定理及函数的单调性判断实数a的范围．【解答】解：若0＜a＜1时，f（x）=log a x+ax2﹣2在定义域内连续，且f（x）→+∞，f（1）=0+a﹣2＜0，故函数f（x）=log a x+ax2﹣2在区间（0，1）内有零点；若a＞1时，函数f（x）=log a x+ax2﹣2在区间（0，1）上是增函数，且f（x）→﹣∞，故只需使f（1）≤0，即a﹣2≤0，故a≤2，故实数a的范围是（1，2]；故答案为：（1，2]．【点评】本题考查了函数单调性的判断与应用及函数零点判定定理的应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于基础题．13．（4分）已知点P是半径为1的⊙O上的动点，线段AB是⊙O的直径．则的取值范围为[﹣4，4] ．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】以AB所在直线为x轴，圆心O为原点，建立如图所示的直角坐标系xOy．设A（﹣1，0），B（1，0），P（m，n），求出向量AB，PA，PB的坐标，运用向量的数量积的坐标表示和点在圆上的性质，即可得到所求范围．【解答】解：以AB所在直线为x轴，圆心O为原点，建立如图所示的直角坐标系xOy．设A（﹣1，0），B（1，0），P（m，n），则=（m+1，n），=（m﹣1，n），=（2，0），即有=2（m+1）+2（m﹣1）=4m，由﹣1≤m≤1，可得﹣4≤4m≤4．即有的取值范围是[﹣4，4]．故答案为：[﹣4，4]．【点评】本题考查向量的数量积的坐标表示，同时考查坐标法的运用和点在圆上的性质，属于中档题．14．（4分）已知函数f（x）=，g（x）=，若对任意的x1，x2∈R，均有f（x1）≤g（x2），则实数k的取值范围是．【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用．【分析】对任意的x1，x2∈R，均有f（x1）≤g（x2）可化为f（x）max≤g（x）min，由基本不等式可知g（x）min=﹣；再分段讨论确定函数f（x）可能的最大值，从而可得+k≤﹣，从而解得．【解答】解：若对任意的x1，x2∈R，均有f（x1）≤g（x2），则f（x）max≤g（x）min，当x=0时，g（x）=0，当x＞0时，g（x）＞0，当x＜0时，g（x）＜0，故g（x）min在（﹣∞，0）上取得，g（x）==≥=﹣（当且仅当x=﹣1时，等号成立）；故g（x）min=﹣；当x＞1时，f（x）=﹣+x＜﹣；当x≤1时，f（x）=﹣x2+x+k=﹣（x﹣）2++k；故f（x）max≤g（x）min可化为+k≤﹣，故k≤﹣；故答案为：．【点评】本题考查了分段函数的应用及基本不等式在求最值中的应用，同时考查了恒成立问题，属于中档题．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得5分，否则一律得0分．15．（5分）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．a2＜ab B．﹣ab＜﹣b2C．D．【考点】R3：不等式的基本性质．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】利用不等式的基本性质即可得出．【解答】解：对于A：由a＜b＜0，得：a2＞ab，故A错误；对于B：若a＜b＜0，则﹣a＞﹣b＞0，b＜0，∴﹣ab＜﹣b2，故B正确；对于C：由a＜b＜0，两边同除以ab得：＜，即＞，故C错误；对于D：0＜＜1，＞1，故D错误；故选：B．【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．16．（5分）从4个不同的独唱节目和2个不同的合唱节目中选出4个节目编排一个节目单，要求最后一个节目必须是合唱，则这个节目单的编排方法共有（）A．14种B．48种C．72种D．120种【考点】D3：计数原理的应用．【专题】12：应用题；5O：排列组合．【分析】要求最后一个节目必须是合唱，有2种方法，前3个节目，共有=60种方法，利用乘法原理可得结论．【解答】解：要求最后一个节目必须是合唱，有2种方法，前3个节目，共有=60种方法，所以这个节目单的编排方法共有2×60=120种方法．故选：D．【点评】本题考查计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．17．（5分）函数y=sinx的定义域为[a，b]，值域为[﹣1，]，则b﹣a的最大值是（）A．πB．C．D．2π【考点】HW：三角函数的最值．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】由题意结合三角函数的图象，取值可得．【解答】解：∵函数y=sinx的定义域为[a，b]，值域为[﹣1，]，∴不妨取a=，b=，此时可得b﹣a的最大值为，故选：B．【点评】本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的最值，属基础题．18．（5分）如图，已知直线l⊥平面α，垂足为O，在△ABC中，BC=2，AC=2，AB=2，点P是边AC的中点．该三角形在空间按以下条件作自由移动：（1）A∈l，（2）C∈α．则|+|的最大值为（）A．2B．2C．1+D．【考点】91：向量的概念与向量的模．【专题】35：转化思想；5A：平面向量及应用．【分析】将问题转化为求平面内两点间的距离最大问题：以O为原点，OA为y 轴，OC为x轴建立直角坐标系，设∠ACO=θ，B（x，y），求出O、C两点间的最大距离即可．【解答】解：以O为原点，OA为y轴，OC为x轴建立直角坐标系，如图所示；∵+=，∴|+|=||，又∵AC=BC=2，AB=2，∴△ABC是Rt△；设∠ACO=θ，B（x，y），则：x=ACcosθ+CBsinθ=2cosθ+2sinθ，y=BCcosθ=2cosθ；∴x2+y2=4cos2θ+8sinθcosθ+4sin2θ+4cos2θ=2cos2θ+4sin2θ+6=2sin（2θ+φ）+6，当sin（2θ+φ）=1时，x2+y2最大，为2+6，此时||的值最大，为1+．故选：C．【点评】本题考查了平面向量的应用问题，也考查了转化思想的应用问题，解题时应根据题意，建立适当的坐标系，利用两点间的距离公式进行计算，是综合性题目．三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）如图，已知圆锥的底面半径为r=10，点Q为半圆弧的中点，点P 为母线SA的中点．若PQ与SO所成角为，求此圆锥的全面积与体积．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】11：计算题．【分析】由题意和几何体的特征，取OA的中点H，连接PH，QH，利用线面垂直和勾股定理求出母线长和圆锥的高．再代入全面积公式和体积公式求值．【解答】解：取OA的中点H，连接PH，QH，则PH∥SO，且PH=SO，∴PH⊥平面AQB，∵PQ与SO所成角为，∴∠QPH=，在直角三角形△QOH中，∵点Q为半圆弧的中点，r=10，∴QH=5，在直角三角形△PHQ中，=tan=1，则PH=5，即SO=10，在直角三角形△SOA中，SA==10，∴圆锥的全面积S=πr2+πr•SA=100π+100π=100π（1+），圆锥的体积V=πr2•SO=π×100×10=，【点评】本题考查了求圆锥的全面积和体积，主要根据几何体的结构特征、直角三角形、题中的条件，求出锥体的母线长和高，进而求出对应的值，考查了分析和解决问题的能力．20．（14分）设三角形ABC的内角A、B、C所对的边长分别是a、b、c，且B=．若△ABC不是钝角三角形，求：（1）角C的范围；（2）的取值范围．【考点】HP：正弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】（1）由三角形内角和定理可得，由即可求得C的范围．（2）由正弦定理及两角和的正弦函数公式化简可得=1+，由角C的范围，即可求得的取值范围．【解答】解：（1）因为，…（2分）由得：…（4分）（2）…（6分）=（）…（10分）当时，当时，，…（12分）所以=．…（14分）【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，正弦定理及两角和的正弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．21．（14分）某油库的设计容量是30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油m万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x个月的需求量y（万吨）与x的函数关系为y=（p＞0，1≤x≤16，x∈N*），并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．（1）试写出第x个月石油调出后，油库内储油量M（万吨）与x的函数关系式；（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定m 的取值范围．【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【专题】12：应用题；51：函数的性质及应用．【分析】（1）利用前4个月，区域外的需求量为20万吨，求出p，可得y=10（1≤x≤16，x∈N*），即可求出第x个月石油调出后，油库内储油量M（万吨）与x的函数关系式；（2）由题意0≤mx﹣x﹣10+10≤30（1≤x≤16，x∈N*），分离参数求最值，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意，20=，∴2p=100，∴y=10（1≤x≤16，x∈N*），∴油库内储油量M=mx﹣x﹣10+10（1≤x≤16，x∈N*）；（2）∴0≤M≤30，∴0≤mx﹣x﹣10+10≤30（1≤x≤16，x∈N*），∴（1≤x≤16，x∈N*）恒成立．；设=t，则≤t≤1，．由≤（x=4时取等号），可得m≥，由20t2+10t+1=≥（x﹣16时取等号），可得m≤，∴≤m≤．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数的最值，确定函数解析式，正确分离参数求最值是关键．22．（16分）已知两动圆和（0＜r＜4），把它们的公共点的轨迹记为曲线C，若曲线C与y轴的正半轴的交点为M，且曲线C上的相异两点A、B满足：=0．（1）求曲线C的方程；（2）若A的坐标为（﹣2，0），求直线AB和y轴的交点N的坐标；（3）证明直线AB恒经过一定点，并求此定点的坐标．【考点】J3：轨迹方程；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设两动圆的公共点为Q，利用条件列出|QF1|+|QF2|=4（＞|F1F2|）．利用椭圆的定义求解曲线C的方程．（2）通过，求出k MA，k MB，直线MB：y=﹣2x+1，然后求解B的坐标，求出AB的方程，然后求解即可．（3）求出M（0，1），设A（x1，y1），B（x2，y2），通过当AB的斜率不存在时，求出．当AB的斜率存在时，设直线AB：y=kx+m，联立方程组：，通过韦达定理以及，求出m，然后求解直线AB恒过定点．【解答】解：（1）（文理）设两动圆的公共点为Q，则有：|QF1|+|QF2|=4（＞|F1F2|）．由椭圆的定义可知Q的轨迹为椭圆，．所以曲线C的方程是：．…（4分）（2）由条件，知道k MA k MB=﹣1，∵M（0，1），A（﹣2，0）∴k MA=，k MB=﹣2，得直线MB：y=﹣2x+1，…（6分）解方程组可得，…（8分），直线AB：，所以交点．…（10分）（3）由题意可知：M（0，1），设A（x1，y1），B（x2，y2），当AB的斜率不存在时，易知满足条件的直线AB为：x=0过定点…（6分）当AB的斜率存在时，设直线AB：y=kx+m，联立方程组：，把②代入①有：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0…（8分）③，④，因为，所以有x1•x2+（kx1+m﹣1）（kx2+m﹣1）=0，，把③④代入整理：，（有公因式m﹣1）继续化简得：（m﹣1）（5m+3）=0，或m=1（舍），综合斜率不存在的情况，直线AB恒过定点．…（10分）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，轨迹方程的求法，直线恒过定点的求法，考查分析问题解决问题的能力．23．（18分）各项均为正数的数列{b n}的前n项和为S n，且对任意正整数n，都有2S n=b n（b n+1）．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）如果等比数列{a n}共有2015项，其首项与公比均为2，在数列{a n}的每相邻两项a k与a k+1之间插入k个（﹣1）k b k（k∈N*）后，得到一个新的数列{c n}．求数列{c n}中所有项的和；（3）如果存在n∈N*，使不等式成立，求实数λ的范围．【考点】8E：数列的求和；8K：数列与不等式的综合．【专题】54：等差数列与等比数列；59：不等式的解法及应用．【分析】（1）运用数列的通项和前n项和的关系，结合等差数列的定义和通项公式，即可得到；（2）运用等比数列的求和公式和数列求和方法：分组求和，即可得到所求；（3）运用参数分离可得，运用基本不等式和单调性，分别求出不等式左右两边的最值，即可得到所求范围．【解答】解：（1）当n=1时，由2S1=b1（b1+1）得b1=1，当n≥2时，由2S n=b n（b n+1），2S n﹣1=b n﹣1（b n﹣1+1）得（b n+b n﹣1）（b n﹣b n﹣1）=b n+b n﹣1因数列{b n}的各项均为正数，所以b n﹣b n﹣1=1，所以数列{b n}是首项与公差均为1的等差数列，所以数列{b n}的通项公式为b n=n．（2）数列{a n}的通项公式为，数列{c n}共有2015+1+2+…+2014=1008×2015项，其所有项的和为S1008=（2+22+…+22015）+（﹣1+22﹣32+42﹣…20132+20142）×2015=2（22015﹣1）+[3+7+…+4027]=22016﹣2+×1007=22016+2015×1007﹣2=22016+2029103；（3）由，得，记因为，当取等号，所以取不到，当n=3时，的最小值为（n∈N*）递减，的最大值为B1=6，所以如果存在n∈N*，使不等式成立实数λ应满足A3≤λ≤B1，即实数λ的范围应为．【点评】本题考查数列的通项和前n项和的关系，主要考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用，同时考查不等式存在性问题转化为求最值问题，具有一定的难度和综合性．。
上海市闵行区2015届高三下学期质量调研考试(二模)数学理试题
闵行区2015学年第二学期高三年级质量调研考试数 学 试 卷（理科）（满分150分，时间120分钟）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、准考证号、姓名等填写清楚．2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．3．本试卷共有23道试题．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．1．用列举法将方程33log log (2)1x x ++=的解集表示为 ． 2．若复数z 满足(1i)2z ⋅+=（其中i 为虚数单位），则1z += ．3．双曲线221412x y -=的两条渐近线的夹角的弧度数为 .4．若4cos 5α=，且()0,απ∈，则tg 2α= ．5．在极坐标系中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线4cos ρθ=于A 、B 两点，则AB = .6．已知等比数列{}n a 满足232,1a a ==，则12231lim ()n n n a a a a a a +→+∞+++= .7. 设二项式(31)n x +的展开式的二项式系数的和为p ，各项系数的和为q ，且1264p q +=，则n 的值为 .8． m 是从集合{}1,0,1,2,3-中随机抽取的一个元素,记随机变量ξcos()3m π=⋅,则ξ的数学期望E ξ= .9．给出条件：①12x x <，②12x x >，③12x x <，④2212x x <．函数()sin f x x x =+，对任意12,22x x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦、，能使12()()f x f x <成立的条件的序号是 ．10．已知数列{}n a 满足21221()n n n a a a n *+=-++∈N ，则使不等式20152015a >成立的所有正整数1a 的集合为 ．11．斜率为22的直线与焦点在x 轴上的椭圆2221(0)y x b b +=>交于不同的两点P 、Q .若点P 、Q 在x 轴上的投影恰好为椭圆的两焦点，则该椭圆的焦距为 .学校_______________________ 班级__________ 准考证号_________ 姓名______________ …………………………密○………………………………………封○………………………………………○线…………………………ABDy xCP NMO12．函数2()log (1)8a f x x a x =++-在区间()0,1内无零点，则实数a 的范围是 . 13．如图，已知点(2,0)P ，且正方形ABCD 内接于O ：221x y +=，M 、N 分别为边AB 、BC 的中点.当正方形ABCD 绕圆心O 旋转时，PM ON ⋅的取值范围为 ．14．已知函数2131()1log 12x x k x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，2()ln(2)()1xg x a x a x =++∈+R ，若对任意的{}12,|,2x x x x x ∈∈>-R ，均有12()()f x g x ≤，则实数k 的取值范围是 ．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得5分，否则一律得0分． 15．如果0a b <<，那么下列不等式成立的是 ( )(A) 2a ab <. (B) 2ab b -<-. (C)11a b <. (D) b a a b>. 16．从4个不同的独唱节目和2个不同的合唱节目中选出4个节目编排一个节目单， 要求最后一个节目必须是合唱，则这个节目单的编排方法共有 ( )(A) 14种. (B) 48种. (C)72种. (D) 120种. 17．函数sin y x =的定义域为[],a b ，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a -的最大值是( )(A) π. (B) 34π. (C) 35π. (D) π2.18． 如图，已知直线l ⊥平面α，垂足为O ，在ABC △ 中，2,2,22BC AC AB ===，点P 是边AC 上的动点. 该三角形在空间按以下条件作自由移动：(1)A l ∈， (2)C α∈.则OP PB +的最大值为 ( )(A) 2. (B) 22. (C) 15+. (D) 10.ABlCαPOPSAQOB三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）如图，已知圆锥的底面半径为10r =，点Q 为半圆弧AB 的中点，点P 为母线SA 的中点．若直线PQ 与SO 所成的角为4π，求此圆锥的表面积．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分10分．设三角形ABC 的内角A B C 、、所对的边长分别是a b c 、、，且3B π=．若ABC △不是钝角三角形，求：(1) 角C 的范围；(2)2ac的取值范围．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油m 万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x 个月的需求量y （万吨）与x 的函数关系为*2(0,116,)y px p x x =>≤≤∈N ，并且前4个月，区域外的需求量为20万吨． （1）试写出第x 个月石油调出后，油库内储油量M （万吨）与x 的函数关系式；（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定m 的取值范围．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3) 小题满分6分．已知两动圆2221:(3)F x y r ++=和2222:(3)(4)F x y r -+=-（04r <<），把它们的公共点的轨迹记为曲线C ,若曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，且曲线C 上的相异两点A B 、满足：0MA MB ⋅=．(1) 求曲线C 的方程；(2)证明直线AB 恒经过一定点，并求此定点的坐标； (3)求ABM △面积S 的最大值．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分7分，第(3)小题满分7分．各项均为正数的数列{}n b 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有2(1)n n n S b b =+． （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）如果等比数列{}n a 共有(2,)m m m *≥∈N 项，其首项与公比均为2，在数列{}n a 的每相邻两项i a 与1i a +之间插入i 个*(1)()i i b i -∈N 后，得到一个新的数列{}n c ．求数列{}n c 中所有项的和； （3）如果存在n *∈N ，使不等式 1111(1)n n n n b n b b b λ+++≤+≤+成立，求实数λ的范围闵行区2014学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准（文理）一. 填空题 1．{}1； 2．5； 3．3π； 4．13； 5．（理）23，（文）40-； 6．（理）323 ，（文）8； 7．（理）4，（文）3-；8．(理)110，(文) 3；9．④；10．(理) {}|2015,n n n *≥∈N ，(文) 2015等； 11．2； 12．(文理) (]1,2；13．（理）2,2⎡⎤-⎣⎦，（文）[]4,4-；14．（文理）3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．二. 选择题 15． B ； 16． D ； 17．B ； 18． C ． 三. 解答题19．[解] 取OA 的中点M ,连接PM ,又点P 为母线SA 的中点所以//PM OS ，故MPQ ∠为PQ 与SO 所成的角．………………………2分 在Rt MPQ △中，4MPQ π∠=，PM QM =，………………………4分由点Q 为半圆弧AB 的中点知 OQ AB ⊥， 在Rt MOQ △中，10,555OQ OM MQ ==⇒=故55PM =，所以105OS =，=106SA ． ………………………8分 所以2S 100r ππ==底，101061006S r SA πππ=⋅=⨯⨯=侧………………10分1001006100(16)S S S πππ=+=+=+全底侧．…………………………………12分20．[解] （1）因为23A C π+=，23A C π=- …………………………………2分 由0,022C A ππ<≤<≤得：62C ππ≤≤…………………………………4分（2）24sin sin 2sin sin a R A A c R C C== …………………………………6分 2sin()sin 3cos 3cos 1sin sin sin B C C C C C C C++===+（62C ππ≤≤）……………10分 当2C π=时，23cos 11sin a Cc C=+= PSAQO BM当62C ππ≤<时，(]2311,4tan a c C=+∈ …………………………………12分 所以2a c []311,4tan C=+∈. …………………………………14分21．[解](1)由条件得20242100p p =⋅⇒=，所以*10(116,)y x x x =≤≤∈N 2分1010M mx x x =--+，（*116,x x ≤≤∈N ）． …………………………………6分（２）因为030M ≤≤，所以()*10100116,101030mx x x x x mx x x ⎧+--≥⎪≤≤∈⎨+--≤⎪⎩N 恒成立 ………………………8分()*10101116,20101m x x x x m x x ⎧≥-++⎪⎪⇒≤≤∈⎨⎪≤++⎪⎩N 恒成立 ………………………10分 设1t x=，则：114t ≤≤ 221010111420101m t t t m t t ⎧≥-++⎛⎫⇒≤≤⎨ ⎪≤++⎝⎭⎩恒成立， 由221711010110()1224m t t t t ⎛⎫≥-++=--+≤≤ ⎪⎝⎭恒成立得 72m ≥（4x =时取等号） ………………………12分 212010114m t t t ⎛⎫≤++≤≤ ⎪⎝⎭恒成立得194m ≤（16x =时取等号） 所以71924m ≤≤． ………………………14分22．[解]（1）（文理）设两动圆的公共点为Q ，则有：12124()QF QF F F +=>．由椭圆的定义可知Q 的轨迹为椭圆，2,3a c ==．所以曲线C 的方程是：2214x y +=．…4分 （2）（理）证法一：由题意可知：(0,1)M ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ,当AB 的斜率不存在时，易知满足条件0M AM B ⋅=的直线AB 为：0x =过定点3(0,)5N - ………………………6分当AB 的斜率存在时，设直线AB ：y kx m =+，联立方程组：2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩①②，把②代入①有：222(14)8440k x kmx m +++-=……………8分 122814km x x k -+=+③，21224414m x x k -⋅=+④，因为0MA MB ⋅=，所以有1212(1)(1)0x x kx m kx m ⋅++-+-=，221212(1)(1)()(1)0k x x k m x x m +⋅+-++-=，把③④代入整理：22222448(1)(1)(1)01414m kmk k m m k k--++-+-=++，（有公因式m -1）继续化简得： (1)(53)0m m --=，35m -=或1m =（舍）， 综合斜率不存在的情况，直线AB 恒过定点3(0,)5N -． ………………………10分 证法二：（先猜后证）由题意可知：(0,1)M ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ,如果直线AB 恒经过一定点，由椭圆的对称性可猜测此定点在y 轴上，设为(0,)N m ； 取特殊直线:1MA y x =+，则直线MB 的方程为1y x =-+，解方程组22141x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得点83(,)55A --，同理得点83(,)55B -，此时直线AB 恒经过y 轴上的点3(0,)5N -（只要猜出定点的坐标给2分）……2分 下边证明点3(0,)5N -满足条件0MA MB ⋅= 当AB 的斜率不存在时，直线AB 方程为：0x =，点 A B 、 的坐标为(0,1)±，满足条件0MA MB ⋅=；………………………8分 当AB 的斜率存在时，设直线AB ：35y kx =-，联立方程组：221435x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩①②，把②代入①得：222464(14)0525k k x x +--= 122245(14)k x x k +=+③，1226425(14)x x k -⋅=+④， 所以1212121288(1)(1)()()55MA MB x x y y x x kx kx ⋅=⋅+--=⋅+--21212864(1)()525k k x x x x =+-++ 2226482464(1)052525(14)5(14)k k k k k -=+⋅-⋅+=++………………………10分 （文）由条件0MA MB ⋅=，知道1MA MB k k =-,(0,1)M ，(2,0)A -∴MA k =12,MB k =2-,得直线MB : 21y x =-+, ………………………6分 解方程组221421x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩可得1615(,)1717B -, ……………………………8分 310AB k =-,直线AB :33105y x =--, 所以交点3(0,)5N -． ……………………………10分（3）（理）ABM △面积MNA MNB S S S =+△△=1212MN x x -=212124()45x x x x +-⋅ 由第(2)小题的③④代入，整理得：22322542514k S k +=⋅+……………………………12分 因N 在椭圆内部，所以k R ∈,可设22542t k =+≥，23249t S t =+32(2)94t t t=≥+ ……………………………14分92542t t +≥，∴6425S ≤(0k =时取到最大值)．所以ABM △面积S 的最大值为6425． …………………………………………16分（注：文科第（3）小题的评分标准参照理科第（2）小题） 23． [解] （1）（文理）当1n =时，由1112(1)S b b =+得11b = …………1分当2n ≥时，由2(1)n n n S b b =+，1112(1)n n n S b b ---=+得111()()n n n n n n b b b b b b ---+-=+因数列{}n b 的各项均为正数，所以11n n b b --= ………………………………3分 所以数列{}n b 是首相与公差均为1等差数列所以数列{}n b 的通项公式为n b n =． ………………………………4分 （2）（理）数列{}n a 的通项公式为2n n a = ……………………5分 当21(2,)m k k k *=-≥∈N 时，数列{}n c 共有(21)12(22)(21)k k k k -++++-=-项，其所有项的和为22122222(21)(222)[1234(23)(22)]k k k S k k --=++++-+-+---+-2122(21)[37(45)]22(21)(1)k k k k k -=-++++-=-+--11(1)222m m m +=-+- ………………………………8分 当2()m k k *=∈N 时，数列{}n c 共有212(21)(21)k k k k ++++-=+项，其所有项的和为22(21)(21)2(21)k k k k k S S k +-=+--2222122(21)(1)2(21)2(21)2k k k k k k k k +=-+--+--=---11(1)222m m m +=--+- ……………………………11分（文）数列{}n a 的通项公式为2n n a = …………………………5分 数列{}n c 中一共有2015123201410082015+++++=⨯项，其所有项的和为220152222210082015(222)[123420132014]S ⨯=++++-+-+--+……8分20152016340272(21)(37114027)2210072+=-+++++=-+⋅ 20162016220151007222029103=+⨯-=+ ……………………………11分（3）（理）由1111(1)n n n n b n b b b λ+++≤+≤+得 2111,1,2,3,1(1)n n n n n λ+≤≤+=++ ……………………………13分记211,1,1,2,3,1(1)n n n n A B n n n +==+=++由12,(1)(2)n n nA A n n n +--=++211(1)n B n =++递减（或12223(1)(2)n n n B B n n ++-=++）………………………15分 得123,A A A >= 345A A A <<<，123B B B >>>所以实数λ的范围为[]21,A B ,即55,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦． ……………………………18分 (文) 由11820(1)(1)n n n n n b n b b b λ++⎛⎫++≤+≤+ ⎪⎝⎭得 28201,1,2,3,(1)n n n n λ+≤≤+=+ ……………………………13分记2820,1,1,2,3,(1)n n A n B n n n =+=+=+因为842n A n n =+≥，当22n =取等号，所以8n A n n=+取不到42 当3n =时，8n A n n =+的最小值为3253A = 2201(1)nB n =++（n *∈N ）递减，2201(1)n B n =++的最大值为16B =…………15分 所以如果存在n *∈N ，使不等式 11820(1)(1)n n n n n b n b b b λ++⎛⎫++≤+≤+ ⎪⎝⎭成立 实数λ应满足31A B λ≤≤，即实数λ的范围应为17,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦．………………………18分。
2015年上海市高三年级六校联考理科数学(最新含答案201503)
2015年上海市高三年级六校联考数学试卷（理科）2015年3月（完卷时间120分钟，满分150分）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求将最终结果直接填写答题纸上相应的横线上，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1、已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，4sin 5α=，则tan α=________.2、已知集合{}1,A m =-，{}|1B x x =>，若AB ≠∅，则实数m 的取值范围是________.3、设等差数列{}n a 的前项和为n S ，若911a =，119a =，则19S =________.4、若()()2i i a ++是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 的值为________.5、抛物线24y x =的焦点到双曲线2214x y -=的渐近线的距离是6、执行右图的程序框图，如果输入6i =，则输出的S 值为________.7、不等式1011ax x <+对任意R x ∈恒成立，则a 的取值范围是8、若n a 是()()*2,2,nx n n x +∈≥∈N R 展开式中2x项的系数，则2323222lim n n n a a a →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪⎝⎭________. 9、已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为23π的扇形，则此圆锥的体积为________.10、若点(,)P x y 在曲线cos ,2sin ,x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数，θ∈R ）上，则yx 的取值范围是________.11、从0,1,2,,9⋅⋅⋅这10个整数中任意取3个不同的数作为二次函数()2f x ax bx c =++的系数，则使得()12f ∈Z 的概率为________. 12、已知点F 为椭圆:C 2212x y +=的左焦点，点P 为椭圆C 上任意一点，点Q 的坐标为()4,3，则PQ PF +取最大值时，点P 的坐标为________.13、已知A 、B 、C 为直线l 上不同的三点，点O ∉直线l ，实数x 满足关系式220x OA xOB OC ++=，有下列命题：①20OB OC OA -⋅≥；② 20OB OC OA -⋅<；③ x 的值有且只有一个； ④x 的值有两个；⑤点B 是线段AC 的中点． 则正确的命题是________.14、已知数列{}n a 的通项公式为52n n a -=，数列{}n b 的通项公式为n b n k =+，设nn nb c a ⎧=⎨⎩,,,,n n n n a b a b ≤>若在数列{}n c 中，5n c c ≤对任意*n ∈N 恒成立，则实数k 的取值范围是________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应的正确代号用2B 铅笔涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．（C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 16、下列函数中，既是偶函数，又在区间()1,2内是增函数的为（ ）（A ）2log y x = （B ）cos 2y x = （C ）222x x y --= （D ）22log 2xy x -=+ 17、已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m β⊥的是（ ）（A ）αβ⊥且m α⊂≠（B ）αβ⊥且mα∥（C ）m n 且n β⊥ （D ）m n ⊥且αβ18、对于函数()f x ，若存在区间[],A m n =，使得(){},y y f x x A A =∈=， 则称函数()f x 为“可等域函数”，区间A 为函数()f x 的一个“可等域区间”． 给出下列4个函数： ①()sin 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭；②()221f x x =-； ③()12x f x =-；④()()2log 22f x x =-．其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为（ ）（A ）①②③ （B ）②③ （C ）①③ （D ）②③④ 三、解答题（本大题共5题，满分74分）每题均需写出详细的解答过程． 19、（本题满分12分）本题共有2小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分． 在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且1cos 22A C +=． （1）若3a =，b =c 的值；（2）若())sin sin f A AA A =-，求()f A 的取值范围．20、（本题满分14分）本题共有2小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分．如图，几何体EF ABCD -中，CDEF 为边长为2的正方形，ABCD 为直角梯形，AB CD ，AD DC ⊥，2AD =，4AB =，90ADF ∠=．21、（本题满分14分） 本题共有2小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分． 为了保护环境，某工厂在国家的号召下，把废弃物回收转化为某种产品，经测算，处理成本y （万元）与处理量x （吨）之间的函数关系可近似的表示为：250900y x x =-+，且每处理一吨废弃物可得价值为10万元的某种产品，同时获得国家补贴10万元．（1）当[]10,15x ∈时，判断该项举措能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，请求出国家最少补贴多少万元，该工厂才不会亏损？ （2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？A22、（本题满分16分）本题共有3小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分．已知数列{}n a 中，11a =，对任意的*k ∈N ，21k a -、2k a 、21k a +成等比数列，公比为k q ；2k a 、21k a +、22k a +成等差数列，公差为k d ，且12d =．（1）写出数列{}n a 的前四项； （2）设11k k b q =-，求数列{}k b 的通项公式； （3）求数列{}k d 的前k 项和k D ．23、（本题满分18分）本题共有3小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分．如图，圆O与直线20x +=相切于点P ，与x 正半轴交于点A，与直线y =在第一象限的交点为B . 点C 为圆O 上任一点，且满足OC xOA yOB =+，动点(),D x y 的轨迹记为曲线Γ．（1）求圆O 的方程及曲线Γ的方程； （2）若两条直线1:l y kx =和21:l y x k=-分别交曲线Γ于点A 、C 和B 、D ，求四边形ABCD 面积的最大值，并求此时的k 的值．（3）证明：曲线Γ为椭圆，并求椭圆Γ2015年上海市高三年级 六校联考数学试卷（理科）答案一、填空题1. 43-2. ()1,+∞3. 1904. 125. 6. 21 7. (]4,0- 8. 89. 310. (),3,⎡-∞+∞⎣11. 419012. ()0,1- 13．①③⑤ 14．[]5,3--二、选择题15. C 16. A 17. C 18. B三、解答题 19.解：（1）在△ABC 中，A B C π++=． 所以coscos 22A C B π+-=1sin 22B ==． 26B π=，所以3B π=． ………………3分由余弦定理2222cos b a c ac B =+-， 得2320c c -+=．解得1c =或2c =． ………………6分（2）()sin sin )f A AA A =-1cos 2222AA -=-1sin 262A π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. ………………9分由（1）得3B π=，所以23A C π+=，20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则32,662A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭. ∴sin 2(1,1]6A π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭.∴()31,22f A ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦.∴()f A 的取值范围是31,22⎛⎤- ⎥⎝⎦. ………………12分20. 解：（1）解法一：在CD 的延长线上延长至点M 使得CD DM =,连接,,ME MB BD . 由题意得，AD DC ⊥，AD DF ⊥，,DC DF ⊂≠平面CDEF ，∴AD ⊥平面CDEF ，∴AD DE ⊥，同理可证DE ⊥面ABCD . ∵ //CD EF ，CD EF DM ==，∴EFDM 为平行四边形， ∴//ME DF .则MEB ∠（或其补角）为异面直线DF 和BE所成的角. ………………3由平面几何知识及勾股定理可以得ME BE BM ===M在MEB △中，由余弦定理得222cos 2ME BE BM MEB ME BE +-∠==⋅．∵ 异面直线的夹角范围为0,2π⎛⎤⎥⎝⎦， ∴ 异面直线DF 和BE所成的角为． ………………7分解法二：同解法一得,,AD DC DE 所在直线相互垂直，故以D 为原点，,,DA DC DE 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，………………2分 可得()()()()0,0,0,0,2,2,2,4,0,0,0,2D F B E ， ∴ (0,2,2),(2,4,2)DF BE ==--，得22,26DF BE ==设向量,DF BE 夹角为θ，则022422cos DF BE DF BEθ⋅-+⋅-+⋅⋅===⋅∵ 异面直线的夹角范围为0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦，∴ 异面直线DF 和BE 所成的角为． ………………7分（2）如图，连结EC ，过B 作CD 的垂线，垂足为N ，则BN ⊥平面CDEF ，且2BN =. ∵EF ABCD V -E ABCD B ECF V V --=+ ……………11分1133ABCD EFC S DE S BN =⋅+⋅△△ 1111(42)222223232=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅ 163=. ∴ 几何体EF ABCD -的体积为163.……14分21. 解：（1）根据题意得，利润P 和处理量x 之间的关系：(1010)P x y =+-22050900x x x =-+-270900x x =-+-………………2分 ()235325x =--+，[10,15]x ∈.∵35[10,15]x =∉，()235325P x =--+在[10,15]上为增函数，可求得[300,75]P ∈--. ………………5分 ∴ 国家只需要补贴75万元，该工厂就不会亏损． …………7分 （2）设平均处理成本为90050y Q x x x ==+- ………………9分 5010≥=， ………………11分N当且仅当900x x=时等号成立，由0x > 得30x =． 因此，当处理量为30吨时，每吨的处理成本最少为10万元． ………………14分22. 解：（1）由题意得 2213322a a a a a ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，2222a a =+，22a =或21a =-. ……2分故数列{}n a 的前四项为1,2,4,6或1,1,1,3-. ………………4分 （2）∵21221,,k k k a a a -+成公比为k q 的等比数列，212223,,k k k a a a +++成公比为1k q +的等比数列∴212k k k a a q +=，22211k k k a a q +++=又∵22122,,k k k a a a ++成等差数列，∴212222k k k a a a ++=+. 得21212112k k k k k a a a q q ++++=+，112k kq q +=+， ………………6分 111k k kq q q +-=-， ∴1111111k k k k q q q q +==+---，111111k k q q +-=--，即11k k b b +-=. ∴ 数列数列{}k b 为公差1d =等差数列，且11111b q ==-或111112b q ==--. ……8分∴()111k b b k k =+-⋅=或32k b k =-. ………………10分（3）当11b =时，由（2）得11,1k k k k b k q q k+===-. 221211k k a k a k +-+⎛⎫= ⎪⎝⎭，()22222121321121231121111k k k k k a a a k k a a k a a a k k +-+--+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()2121k k kaa k k q +==+，()2121231,2k k k k k k k k a d a a k D q +++=-==+=. ………………13分 当112b =-时，同理可得42k d k =-，22k D k =. ………………16分解法二：（2）对1,1,1,3,-这个数列，猜想()*2123N m m q m m -=∈-， 下面用数学归纳法证明：ⅰ）当1m =时，12111213q ⋅-==-⋅-，结论成立.ⅱ）假设()*N m k k =∈时，结论成立，即2123k k q k -=-. 则1m k =+时，由归纳假设，222121212121,2323k k k k k k a a a a k k -+---⎛⎫== ⎪--⎝⎭. 由22122,,k k k a a a ++成等差数列可知()()()222122122121223k k k k k k a a a a k ++--+=-=⋅-，于是221212121k k k a k q a k ++++==-， ∴ 1m k =+时结论也成立.所以由数学归纳法原理知()*2123N m m q m m -=∈-. ………………7分 此时1132112123k k b k k q k ===-----.同理对1,2,4,6,这个数列，同样用数学归纳法可证1k k q k+=. 此时11111k k b k k q k===+--.∴k b k =或32k b k =-. ………………10分（3）对1,1,1,3,-这个数列，猜想奇数项通项公式为()22123k a k -=-. 显然结论对1k =成立. 设结论对k 成立，考虑1k +的情形. 由（2），()211,23k k q k k k -=≥∈-N 且21221,,k k k a a a -+成等比数列， 故()()22222121212123212323k k k k a a k k k k +---⎛⎫⎛⎫=⋅=-⋅=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，即结论对1k +也成立. 从而由数学归纳法原理知()22123k a k -=-.于是()()22321k a k k =--（易见从第三项起每项均为正数）以及21242k k k d a a k +=-=-，此时()22422k D k k =++-=. ………………13分对于1,2,4,6,这个数列，同样用数学归纳法可证221k a k -=，此时()22121,1k k k k a k k d a a k +=+=-=+.此时()()32312k k k D k +=++++=. ………………16分 23. 解：（1）由题意圆O 的半径1r ==，故圆O 的方程为221x y +=. ………………2分 由OC xOA yOB =+得，()22OC xOA yOB =+， 即222222cos60OC x OA y OB xy OA OB =++，得221x yxy ++=（,x y ⎡∈⎢⎣⎦）为曲线Γ的方程.（未写,x y 范围不扣分）…4分（2）由221y kx x y xy =⎧⎨++=⎩得E ⎛⎫，F ⎛⎫ ⎝，所以EF =MN ==. ………6分 由题意知12l l ⊥ ，所以四边形EMFN 的面积12S EF MN =⋅.2S ====，∵ 221224k k ++≥=，∴223S S ≥=≤. ………………8分 当且仅当221k k=时等号成立，此时1k =±.∴ 当1k =±时，四边形EMFN ………………10分（3）曲线Γ的方程为221x y xy ++=（,x y ⎡∈⎢⎣⎦），它关于直线y x =、y x =-和原点对称，下面证明：设曲线Γ上任一点的坐标为()00,P x y ，则2200001x y x y ++=，点P 关于直线y x =的对称点为()100,P y x ，显然2200001y x y x ++=，所以点1P在曲线Γ上，故曲线Γ关于直线y x =对称，同理曲线Γ关于直线y x =-和原点对称.可以求得221x y xy ++=和直线yx =的交点坐标为12,B B ⎛ ⎝⎭⎝⎭221x y xy ++=和直线y x =-的交点坐标为()()121,1,1,1A A --，1OA =1OB ===. 在y x=-上取点12,3333F F ⎛⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭下面证明曲线Γ为椭圆：ⅰ）设(),P x y 为曲线Γ上任一点，则12PF PF +=======（因为43xy ≤）12A A ==.即曲线Γ上任一点P 到两定点12,F F ⎛ ⎝⎭⎝⎭的距离之和为定值ⅱ）若点P 到两定点12,3333F F ⎛⎛-- ⎝⎭⎝⎭的距离之和为定值可以求得点P 的轨迹方程为221x y xy ++=（过程略）.故曲线Γ是椭圆，其焦点坐标为12,F F ⎛ ⎝⎭⎝⎭. ………………18分 第（3）问说明：1. ⅰ）、ⅱ）两种情形只需证明一种即可，得5分；2. 直接写出焦点12,F F 的坐标给3分，未写出理由不扣分.。
【KS5U解析】上海市闵行区八校联考2015届高三上学期期末数学试卷(文理合卷)版含解析
20．（ 5 分）若曲线 C 在顶点为 O 的角 α的内部， A 、 B 分别是曲线 C 上相异的任意两点， 且 α≥∠ AOB ，我们把满足条件的最小角 α叫做曲线 C 相对点 O 的 “确界角 ”．已知 O 为坐标
原点，曲线 C 的方程为 y=
，那么它相对点 O 的 “确界角 ”等于（）
A．
B．
为 25 的样本，应抽取女生的人数为（）
A ．20
B． 15
C． 12
D． 10
19．（5 分）函数 f1（ x）= ， f2（ x ）=
数 f 2015（ x ）是（） A ．奇 函数但不是偶函数 C． 既 是奇函数又是偶函数
，…，fn+1（ x）=
，…，则函
B ． 偶 函数但不是奇函数 D ． 既 不是奇函数又不是偶函数
的最小值．
14．（ 4 分）已知 、 是平面内两个相互垂直的单位向量，且（ 3 ﹣ ）?（ 4 ﹣ ） =0，则 | |的最大值为．
15．（ 4 分）已知函数 f （x） =sin x，任取 t∈R，记函数 f （x ）在区间上的最大值为 M t， 最小值为 mt， h（ t） =M t﹣ mt，则函数 h（ t）的值域为． 16．（ 4 分）已知公差为 d 等差数列 {a n} 满足 d＞ 0，且 a2 是 a1， a4 的等比中项．记 bn=a （n∈N +），则对任意的正整数 n 均有 + +…+ ＜ 2，则公差 d 的取值范围是．
B，C，且 A1，A 2 分别为椭圆的左顶点
和右顶点， 设直线 A1C 与 A 2B 交于点 P（ x 0，y0），求证： 点 P（ x0，y0）在双曲线 ﹣ =1
上； （3）在（ 2）的条件下，过点 P 作斜率为
上海市六校2015届高三第一次联考数学(文理)试题 Word版含答案
上海市数学散装同步试卷（六校联考）学校___________ 班级_________ 学号__________ 姓名__________ 成绩_________满分150分，考试时间120分钟一. 填空题 (本大题满分60分）本大题共有10题，只要求直接填写结果，每题填对得6分，否则一律得零分. 1. 若R 为全集，4{|0}1x A x x +=≥-，{|13}B x x =+>，则R A C B = . 2. 若直线1l 的法向量为()1,1n = ，直线2l 的方向向量为()1,2d =-，则两条直线的夹角为 .3. 在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴为始边作锐角α，它的终边与单位圆相交于点A ，且点A 的横坐标为513，则tan()2απ-的值为 . 4.（理）已知函数2()42()xx f x a x R +=-+∈有两个零点，实数a 的取值集合为A ，且对于任意a A ∈，不等式223x x a -<+恒成立，则x 的取值范围是 . （文）过点(1,2)且倾斜角α满足sin cos 2sin 2cos αααα+=--的直线的方程为 .5. 设ABC ∆的内角A BC 、、所对的边长分别为a b c 、、，且满足2222s i n 2a b c a b C+-=，则C ∠= . 6.（理）下列命题正确的序号为 .①若lim(12)nn x →∞-存在，则实数x 的取值范围是(0,1)；②公比为q 的等比数列{}n a 满足11a =，则奇数项的前n 项和为2211nq q--； ③数列{}n a 满足22(1)n n n a a +=-，且1236a a +=则lim 4n n S →∞=.（文）已知函数2()42()x x f x a x R +=-+∈有两个零点，实数a 的取值范围是 . 7.（理）定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212(,0]()x x x x ∈-∞≠、，有2121()[()()]0x x f x f x --<，且1()03f =，则不等式18(log )0f x >的解集为 . （文）下列命题正确的序号为 .①若lim(12)nn x →∞-存在，则实数x 的取值范围是(0,1)；②公比为q 的等比数列{}n a 满足11a =，则其前n 2项和为qq n--112；③数列{}n a 的前n 项和14-=n n S ，则{}n a 的通项为134n n a -=⨯.8.若函数()y f x =存在反函数1()y f x -=，且函数2()xy f x =-的图像过点(2,1)，则函数1()y f x x -=-的图像一定过点 .9.（理）函数()y f x =的图像如图所示，在区间[,]a b 上可找到(2)n n ≥个不同的数12,,,n x x x ，使得1212()()()n nf x f x f x x x x ===，则n 的所有可能取值组成的集合为 .（文）定义在R 上的偶函数()f x 满足：在(,0]-∞上是减函数，且(3)0f =，则不等式2(log )0f x >的解集为 .10.（理）设函数()f x 的定义域为D ，若存在非零常数L 使得对于任意()x M M D ∈⊆ 有x L D +∈且()()f x L f x +≥，则称()f x 为M 上的L 高调函数. 对于定义域为R 的奇函数()f x ，当0x ≥时，22()f x x a a =--，若()f x 为R 上的4高调函数，则实数a的取值范围是 .（文）对于集合M ，定义函数1()1M x Mf x x M-∈⎧=⎨∉⎩；对于两个集合A B 、，定义集合{|()()1}A B A B x f x f x ∆=⋅=-.已知{2,4,6,8,10}A =，{1,2,4,8,12}B =，则用列举法写出集合A B ∆的结果为 .二.选择题 (本大题满分15分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得 5分，否则一律得零分. 11. 不等式1x >成立是11x<成立的 【 】 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件12.某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费用为2万元，由于设备老化，以后每一年的维护费都比上一年增加2万元.为使该设备的年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为 【 】A.7B.8C.9D.1013.已知数列{}n a 满足2n n a =，在该数列的第1项与第2项之间插入1个1，在第2项与第3项之间插入2个1，…，在第n 项与第1n +项之间插入n 个1，…，由这些数构成新数列{}n b ，则数列{}n b 的前2014项和为 【 】A.6221951+ B.6221950+ C.6321951+ D.6321950+三．解答题 (满分75分)本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 14.（本题满分12分，第一小题7分，第二小题5分），(cos ,1)b x =- ，且()()f x a b b =+⋅ ，（1）求()f x 的解析式及单调区间；（2）求()()f x a b b =+⋅ 在.15.（本题满分14分）如图，平行四边形ABCD 中，，45oBAD ∠=，M 是BC 的中点，将平行四边形沿EF 折叠，使得A 与M 重合，求折痕EF 的长以及AFM∆的面积．16.（本题满分15分，第一小题6分，第二小题9分） 已知幂函数22()()p p f x xp Z -++=∈在(0,)+∞上是增函数，（1）求()g x 的解析式；（2）指出函数()g x 的奇偶性和单调性，并选择一个单调区间给出证明过程.17.（本题满分16分，第一小题8分，第二小题8分）在小商品批发市场，某种小礼品当双十一即将来临时，价格呈上涨趋势。
2015年上海市闵行区高考数学二模(理科)试卷
闵行区2014学年第二学期高三年级质量调研考试数 学 试 卷（理科）（满分150分，时间120分钟）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、准考证号、姓名等填写清楚．2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．3．本试卷共有23道试题．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．1．已知集合35|22A x x ⎧⎫=->⎨⎬⎩⎭，U =R ，则U A =ð ． 2．若复数z 满足(2)(1)2z i i ++=（i 为虚数单位），则z = ．3．函数()cos f x x x =,若1()2f a =，则()f a -= ．4．计算 22lim 2nn C n n→∞=+ ．5．设)0(24)(1≥-=+x x f x x ,则=-)0(1f.6．已知2πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，，sin cos 22θθ-=cos θ= ．7. 若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为 .8．已知集合{1,3}M =，在M 中可重复的依次取出三个数,,a b c ，则“以,,a b c 为边长恰好构成三角形”的概率是 ．9．已知等边ABC △的边长为3，M 是ABC △的外接圆上的动点，则AB AM ⋅的最大值为 ．10．函数1122log y =x 的取值范围是 ．11．已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,12()log g x x =,记函数(),()()()(),()()g x f x g x h x f x f x g x ≤⎧=⎨>⎩，则函数()()5F x h x x =+-所有零点的和为 .12．已知12F F 、是椭圆22122:14x y m m Γ+=-和双曲线22222:14x y n n Γ-=-的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，则mn 的最大值为 . 13．在ABC △中，记角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，设S 是ABC △ 的面积，若2sin ()sin S A BA BC B <⋅，则下列结论中： ①222a b c <+； ②222c a b >+；③cos cos sin sin B C B C >； ④ABC △是钝角三角形． 其中正确．．结论的序号是 ． 14．已知数列{}n a 满足：对任意n *∈N 均有133n n a pa p +=+-（p 为常数，0p ≠且1p ≠），若{}2345,,,19,7,3,5,10,29a a a a ∈---，则1a 所有可能值的集合为 ．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得5分，否则一律得0分．15．已知圆22:1O x y +=和直线:l y kx =+1k =是圆O 与直线l 相切的（ ）(A)充要条件. (B)充分不必要条件.(C)必要不充分条件. (D)既不充分也不必要条件.16． 8(2-展开式中各项系数的和为 ( )(A) 1-. (B)1. (C)256. (D)256-. 17．已知)(x f y =是定义在R 上的函数，下列命题正确的是 ( )(A)若()f x 在[],a b 上的图像是一条连续不断的曲线，且在(),a b 内有零点，则有()()0f a f b ⋅<.(B)若()f x 在[],a b 上的图像是一条连续不断的曲线，且有()()0f a f b ⋅>，则其在(),a b 内没有零点.(C)若()f x 在(),a b 上的图像是一条连续不断的曲线，且有()()0f a f b ⋅<，则其在(),a b 内有零点.(D)若()f x 在[],a b 上的图像是一条连续不断的曲线且单调，又()()0f a f b ⋅<成立，则其在(),a b 内有且只有一个零点.18．数列{}n a 是公差不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，若记数据1232015,,,,a a a a ⋅⋅⋅的方差为1λ，数据3201512,,,,1232015S S S S ⋅⋅⋅的方差为2λ，12k λλ=.则 ( )(A) 4k =. (B) 2k =. (C) 1k =. (D) k 的值与公差d 的大小有关.三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，90,2ACB AC BC ∠=== ，直线B A 1与平面C C BB 11所成角的大小为55arctan．求三棱锥11C A BC -的体积.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．某公司生产电饭煲，每年需投入固定成本40万元，每生产1万件还需另投入16万元的变动成本．设该公司一年内共生产电饭煲x 万件并全部销售完，每一万件的销售收入为()R x 万元，且2440040000()10100R x x x x =-<<，，该公司在电饭煲的生产中所获年利润为W (万元). （注：利润=销售收入-成本）(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (万件)的函数解析式； (2)为了让年利润W 不低于2760万元，求年产量x 的取值范围．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的左右焦点分别为12F F 、，上顶点为A ，已知椭圆Γ过点4(,)33bP ，且220F A F P ⋅= ．（1）求椭圆Γ的方程；CB1C 1B1AA（2）若椭圆上两点C D 、关于点1(1,)2M 对称，求||CD ．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3) 小题满分6分．已知函数22π()cos 2sin cos 3f x x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）若存在,123t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦满足2[()]()0f t t m -->，求实数m 的取值范围； （3）对任意的1,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，是否存在唯一的2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使12()()1f x f x ⋅=成立，请说明理由.23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分．已知数列{}n a 为等差数列，12a =，其前n 和为n S ，数列{}n b 为等比数列， 且2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+对任意的n *∈N 恒成立. （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）是否存在,p q *∈N ，使得222()2020p q a b +-=成立，若存在，求出所有满足条件的,p q ；若不存在，说明理由. （3）是否存在非零整数λ，使不等式112111(1)(1)(1)cos 2n n a a a a πλ+--⋅⋅⋅⋅⋅⋅-<对一切n *∈N 都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.闵行区2014学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准一. 填空题 1．[]1,4-； 2．1i -+； 3．12-； 4．14； 5．（理）1，（文）32； 6．54-； 7．33π；8．(理)58，(文)12；9．(理)，(文)4； 10．(理) 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，(文) 1； 11．（理）5，(文) 14x =；12．13．(文理) ④；14．（理）{}1,3,67---，（文）1-或3-或67- 二. 选择题 15． B ； 16． B ； 17．D ； 18． A ． 三. 解答题 19．（文） 11111183323A ABC BC V S AA BC AC AA -=⋅=⋅⋅⋅⋅=△A 11822411323AA AA =⋅⋅⋅⋅=⇒= ………………………………4分11//BB CC ， 11A BB ∴∠是直线B A 1与直线1CC 所成的角 ……6分11111tan A B A BB BB ∴∠===………………………10分11arctanA BB ∴∠= 所以直线B A 1与1CC所成的角为 ………………12分 19．（理）法一： 1111111A C B C A C CC ⊥⊥ ，，⊥∴11C A 平面C C BB 11，11BC A ∠∴是直线B A 1与平面C C BB 11所成的角．…………………4分 设1CC y =1BC ==11111tan 4A C A BC y BC ∴∠===⇒=， ……………8分所以111111111111183323C A BC A C BC C BC V V S A C BC CC A C --==⋅=⋅⋅⋅⋅=△．…12分 法二：如图，建立空间直角坐标系，设1CC y =． 得点(020)B ，，1(00)C y ，，，1(20)A y ，，． 则1(22)A B y =--，，， 平面C C BB 11的法向量为(100)n =，，． …………………4分设直线B A 1与平面C C BB 11所成的角为θ，则11sin 4A B n y A B n θ⋅===⇒=⋅，……………8所以11111111111113323C A BC A C BC C BC V V V S A C BC CC A C --===⋅=⋅⋅⋅⋅=△．…12分20． (1) 40000()(1640)164360W xR x x x x=-+=--+10100x <<，……6分 (2) 解400001643602760W x x=--+≥ ………………12分得2(50)0x -≤时， 所以50x =.答：为了让年利润W 不低于2760万元，年产量50x =. …………………14分 21．（文）（1） 2a a =⇒=………………3分将点P 的坐标代入方程22212x y b +=得281199b +=⇒21b = ………6分 所以椭圆Γ的方程为2212x y +=．…………………………………7分 （2）法一：设点C D 、的坐标分别为1122(,)(,)x y x y 、则2222112222,22x y x y +=+=，且12122,1x x y y +=+= ………9分 由2222112222,22x y x y +=+=得：12121212()()2()()0x x x x y y y y +-++-=121212122()2()01y y x x y y x x --+-=⇒=-- ………………12分所以直线CD 的方程为32y x =-+………………14分 法二：设点C D 、的坐标分别为1122(,)(,)x y x y 、设直线CD 的方程为1(1)2y k x =-+ ………………9分 将1(1)2y k x =-+代入2222x y += 得22223(21)(42)2202k x k k x k k +--+--= 由212242221k kx x k -+==+得1k =- ………………12分 所以直线CD 的方程为32y x =-+ ………………14分 21．（理）(1)因为椭圆Γ过点4(,)33b P ,所以2161199a+=,解得22a = ……3分又以AP 为直径的圆恰好过右焦点2F ，所以220F A F P ⋅=又24(,),(,0),(0,)33b P Fc A b得2(,)F A c b =- ，24(,)33bF P c =- ，所以24()033b c c --+=而22222b a c c =-=-，所以2210c c -+=得1c = ………………6分故椭圆Γ的方程是2212x y +=． ………………………………7分 （2）法一：设点C D 、的坐标分别为1122(,)(,)x y x y 、， 则2222112222,22x y x y +=+=，且12122,1x x y y +=+= ………9分 由2222112222,22x y x y +=+=得：12121212()()2()()0x x x x y y y y +-++-=121212122()2()01y y x x y y x x --+-=⇒=--所以CD 所在直线的方程为32y x =-+………………11分 将32y x =-+代入2222x y +=得253602x x -+=12||||CD x x =-=== ………14分 法二：设点C D 、的坐标分别为1111(,)(2,1)x y x y --、，………9分则2222111122,(2)2(1)2x y x y +=-+-=两等式相减得1132y x =-+ ………………11分 将32y x =-+代入2222x y +=得253602x x -+=12||||CD x x =-===．……14分22．（1）（文理）221()cos 22sin cos 2f x x x x x =++-1πcos 22cos 2sin 226x x x x ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，……………2分 函数()f x 的最小正周期T π= ………………………………4分（2）当,123t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，20,62t ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，π()sin 216f t t ⎛⎫⎤=-∈+ ⎪⎦⎝⎭6分[]22()[()]()[()22,1F t f t t f t ⇒=-=--∈-- …………………8分（理）存在,123t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦满足()0F t m ->的实数m 的取值范围为(),1-∞-.……10分 （文）存在,123t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦满足()0F t m -=的实数m 的取值范围为[]2,1--.……10分 （3）（理）存在唯一的2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使12()()1f x f x ⋅=成立. ………………12分 （文理）当1,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，12,622x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，11π()sin 216f x x ⎛⎫⎤=--+ ⎪⎦⎝⎭2211π()sin 21()6f x x f x ⎛⎫⎤==--+ ⎪⎦⎝⎭[]21π1sin 2=1,16()x f x ⎛⎫⇒--- ⎪⎝⎭ ………………14分设11()a f x -=，则[]1,1a ∈-，由2πsin 2=6x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 得22ππ22arcsin 2=2arcsin ,66x k a x k a k πππ-=+-+-∈Z 或 所以2x 的集合为2221π17π|arcsin +arcsin +,212212x x k a x k a k ππ⎧⎫=+⋅=-⋅∈⎨⎬⎩⎭Z 或 ∵1π17π5arcsin +,arcsin +6212332126a a ππππ-≤⋅≤≤-⋅≤∴2x 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上存在唯一的值21πarcsin 212x a =⋅+使12()()1f x f x ⋅=成立. 16分23．（文） （1）法1：由142()n n a a n n *++=+∈N 得12236,10a a a a +=+= 所以31242a a d d -==⇒=，所以12a =故2,n a n = ……………………………2分 因为2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+ ① 对任意的n *∈N 恒成立则1112233-1-1(2)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+（2n ≥） ② ①-②得12(2)n n n a b n n +=⋅≥又114a b =，也符合上式，所以12()n n n a b n n +*=⋅∈N所以2n n b = ……………………………4分 法2：由于{}n a 为等差数列，令n a kn b =+， 又142()n n a a n n *++=+∈N ，所以(1)2242()kn b k n b kn b k n k *++++=++=+∈N所以24,222,0k k b k b =+=⇒==故2n a n = ………………2分 因为2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+ ① 对任意的n *∈N 恒成立则1112233-1-1(2)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+（2n ≥） ② ①-②得12(2)n n n a b n n +=⋅≥又114a b =，也符合上式，所以12()n n n a b n n +*=⋅∈N所以2n n b = ……………………………4分 （2）假设存在,p q *∈N 满足条件，则244)2392q p +-=（ 化简得2324472q p p -+-= ……………………………6分由p *∈N 得22447p p +-为奇数，所以32q -为奇数，故3q =得22244712240p p p p +-=⇒+-= ……………………8分 故46()p p ==-或舍去所以存在满足题设的正整数=4,=3p q ． ……………………………10分（3）易得2n S n n =+，则22n nn S n n b +=， ……………………12分 下面考察数列2()2nn nf n +=的单调性，因为2211(1)1(1)(2)(1)()222n n n n n n n n n f n f n +++++++-+-=-=……………14分 所以3n ≥时，(1)()f n f n +<，又(1)1,f =3(2)(3)2f f ==，5(4),4f =15(5),16f = 21(6),32f =……………………………16分 因为M 中的元素个数为5，所以不等式,nnS n b λ*≥∈N 解的个数为5， 故λ的取值范围是2115,3216⎛⎤⎥⎝⎦. ……………………………18分 23．（理） （1）法1：设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q 。
上海市十三校2015届高三第一次联考数学(理)试题word版含答案
高三学科测试 数学试题（理科）考斯时间 120分钟 满分150分一、填空题：（本大题56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1、已知集合1{|0},{|12}1x A x B x x x -=<=-<+，则B C A = 2、椅子tan 2α=-，则sin 3cos sin cos αααα-=+ 3、在复平面中，复数2(1)(3i i i++是虚数单位）对应的点在第 象限 4、函数()2sin 3f x x =+的最小正周期是5、已知函数()22(2)2x x f x f x x ⎧≥=⎨+<⎩，则2(log 3)f =6、已知()351log log 2014f x a a b x =++，若12015()20142014f =，则(2014)f =7、满足2arccos()arccos(2)x x >的实数x 的取值范围是 8、设n a是(1(2,3,4,)n n = 的展开式中x 的一次项的系数，若11(1)n n n n a b a +++=，则nb 的最小值是 9、若存在整数x 使221x x mx<成立，则实数m 的取值范围是10、某班班会准备从甲、乙等7名学生中选4名学生发言，要求甲、乙至少有一人参加，那么不同的发言顺序的种数为 （用数字作答）11、已知函数()2(0)f x x k x k k =-+->，若当34x ≤≤时，()f x 能取到最小值，则实数k 的取值范围是 12、已知数列{}n a 中，1112,1n n a a a +==-+，若k 是5的倍数，且2k a =，则k = 13、如果一个正整数能表示为连个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，则区间[]1,200内的所有“神秘数”之和为14、已知0m >，12m ≠，直线1:l y m =与函数2log y x =的图象从左至右相交于点,A B ，直线24:1l y m =+与函数2log y x =的图象从左至右相交于点,C D ，记线段AC 和BD 在x 轴上的投影程长度分别为,a b ，当m 变化时，ba的最小值是二、填空题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，Ian 高代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。
上海市闵行区高三数学上学期期末质量调研考试(一模)试
闵行区2015学年第一学期高三年级质量调研考试数 学 试 卷（理科）（满分150分，时间120分钟）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、准考证号、姓名等填写清楚．2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．3．本试卷共有23道试题．一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格 内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．若复数z 满足i 3i z =-（i 为虚数单位），则||z = .22．若全集U =R ，函数21x y =的值域为集合A ，则U A =ð .)0,(-∞ 3．方程4260xx--=的解为 .2log 3x = 4．函数()cos()sin sin()cos x x f x x xπ-=π+的最小正周期T = .π5．不等式x x>4的解集为 .)2,0( 6．若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于 .15π7．已知ABC △中，43AB i j =+u u u r r r ，34AC i j =-+u u u r r r，其中i j r r 、是基本单位向量，则ABC △的面积为 .2528．在2017年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试.小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选科方案有 种.109．若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且861086S S =+，则2lim n n Sn →∞= . 5 10．若函数()2x af x -=()a ∈R 满足(1)(1)f x f x +=-，且()f x 在[,)m +∞上单调递增，则实数m 的最小值等于 . 111．若点P 、Q 均在椭圆2222:11x y a a Γ+=-(1)a >上运动，12F F 、是椭圆Γ的左、右焦点，则122PF PF PQ +-u u u r u u u u r u u u r的最大值为 .2a12．已知函数14cos 042()log (3)1 4x x f x x x π⎧≤≤⎪=⎨-+>⎪⎩，，，若实数a b c 、、互不相等，且满足)()()(c f b f a f ==，则a b c ++的取值范围是 .(8 23)，13．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和dc （*,,,a b c d ∈N ）,则b d a c++是x 的更为精确的不足近似学校_______________________ 班级__________ 准考证号_________ 姓名______________ …………………………密○………………………………………封○………………………………………○线…………………………值或过剩近似值.我们知道 3.14159π=⋅⋅⋅，若令31491015<π<，则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3116105<π<，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为 .22714．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意n ∈*N ，1(1)32nn n n S a n =-++-且1()()0n n a p a p +--<恒成立，则实数p 的取值范围是 .311,44⎛⎫-⎪⎝⎭二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．若,a b ∈R ，且0ab >，则“a b =”是“2b aa b+≥等号成立”的（ A ）. (A) 充要条件 (B) 充分不必要条件 (C) 必要不充分条件 (D) 既非充分又非必要条件 16．设2345()2510105f x x x x x x =+++++，则其反函数的解析式为（ C ）.(A) 511y x =+-511y x =- (C) 511y x =-+-511y x =--17．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为c b a ,,，满足a b c cb a b c-+≤+-，则角A 的范围是（ B ）. (A)0,π⎛⎤ ⎥6⎝⎦ (B) 0,π⎛⎤ ⎥3⎝⎦ (C) ,π⎡⎫π⎪⎢6⎣⎭ (D) ,π⎡⎫π⎪⎢3⎣⎭18．函数()f x 的定义域为[]1,1-，图像如图1所示；函数()g x 的定义域为[]1,2-，图像如图2所示.{}(())0A x f g x ==,{}(())0B x g f x ==,则A B I 中元素的个数为（ C ）.(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19.（本题满分12分） 如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱⊥1AA 底面ABC ，12AA AB ==，1BC =,BAC π∠=6，D 为棱1AA 中点，证明异面直线11B C 与CD 所成角为π2，并求三棱柱111ABC A B C -的体积． CDA 1B 1C 1x y -1 O 1 2 1图2 x y -1 O 1 1 -1 图1[证明]Q 在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱⊥1AA 底面ABC ，11//BC B C ，BCD ∴∠或它的补角即为异面直线11B C 与CD 所成角，…………………………2分 由2AB =，1BC =,BAC π∠=6以及正弦定理得sin ACB ∠=1，ACB π∴∠=2即BC AC ⊥，…………4分又1BC AA ∴⊥，11BC ACC A ∴⊥面，…………6分BC CD ∴⊥………………8分所以异面直线11B C 与CD 所成角的为2π．…………………… 10分 三棱柱111ABC A B C -的体积为1131232ABC V S AA =⋅=⋅⋅⋅=△． …………12分20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分8分，第（2）小题满分6分．如图，点A 、B 分别是角α、β的终边与单位圆的交点，02βαπ<<<<π． （1）若3=4απ，()2cos 3αβ-=，求sin 2β的值；（2）证明：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+．[解]（1）方法一:Θ()2cos 3αβ-=，1)(cos 2)22cos(2--=-∴βαβα=91- …3分Θ3=4απ，即91)223cos(-=-βπ， ………………………………6分912sin =∴β． ………………………………8分方法二:Θ()2cos 3αβ-=，3=4απ，即32sin 22cos 22=+-ββ， …………3分 322cos sin =-∴ββ，两边平方得，982sin 1=-β ……………………………6分 912sin =∴β． …………………………………8分 （2）[证明]由题意得，)sin ,(cos αα=OA ，)sin ,(cos ββ=OB OB OA ⋅∴=βαβαsin sin cos cos + ………………10分又因为与夹角为βα-1==OB OA⋅∴)cos()βαβα-=-OB OA ………………………12分 综上cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+成立． ……………………………14分OxyAB21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分．某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路1l 、2l ，海岸边界MPN 近似地看成一条曲线段.为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB ，且直线AB 与曲线MPN 有且仅有一个公共点P （即直线与曲线相切），如图所示．若曲线段MPN 是函数ay x=图像的一段，点M 到1l 、2l 的距离分别为8千米和1千米，点N 到2l 的距离为10千米，以1l 、2l 分别为x y 、轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，设点P 的横坐标为p .（1）求曲线段MPN 的函数关系式，并指出其定义域；（2）若某人从点O 沿公路至点P 观景，要使得沿折线OAP 比沿折线OBP 的路程更近，求p 的取值范围.[解]（1）由题意得(1,8)M ，则8a =，故曲线段MPN 的函数关系式为8y x=，4分 又得4(10,)5N ，所以定义域为[]1,10. ……………………………6分（2）8(,)P p p ，设8:()AB y k x p p -=-由8()8y k x p p y x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得22(8)80kpx kp x p +--=，22222(8)32(8)0kp kp kp ∆=-+=+=, …………8分22880,kp k p ∴+=∴=-，得直线AB 方程为288()y x p p p-=--， ………10分 得16(0,)(2,0)A B p p、，故点P 为AB 线段的中点， 由2168220p p p p--=⋅>即280p -> …………………………12分 得22p >时，OA OB <，所以，当2210p <≤时，经点A 至P 路程最近. 14分22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2) (3)小题满分各6分．已知椭圆Γ的中心在坐标原点，且经过点(1,)2，它的一个焦点与抛物线2:4y x E =的焦点重合． （1）求椭圆Γ的方程；（2）斜率为k 的直线l 过点()1,0F ，且与抛物线E 交于A B 、两点，设点(1,)P k -，PAB △的面积为3k 的值；xyAB MNPO大海1l2l（3）若直线l 过点()0,M m （0m ≠），且与椭圆Γ交于C D 、两点，点C 关于y 轴的对称点为Q ，直线QD 的纵截距为n ，证明：mn 为定值.[解]（1）设椭圆的方程为()222210x y a b a b +=>>，由题设得222219141a ba b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，…2分 2243a b ⎧=∴⎨=⎩，∴椭圆Γ的方程是22143x y += …………………………4分 （2）设直线:(1)l y k x =-，由2(1),4,y k x y x =-⎧⎨=⎩得22222(2)0k x k x k -++= l 与抛物线E 有两个交点，0k ≠，216(1)0k ∆=+>，则4242224(44)44(1)1k k k k AB k k++-+=⋅+= …………………………6分 (1,)P k -到l 的距离231k d k =+，又43PABS =△,222314(1)4321kk k k +∴⋅⋅=+ 22433k k =+，故3k =±． ………………………10分（3）Q ()()1122,,,C x y D x y ，点C 关于y 轴的对称点为11(,)Q x y -， 则直线211121:()y y CD y y x x x x --=--，设0x =得121211212121()x y y x y x ym y x x x x --=-=--直线211121:()y y QD y y x x x x --=++，设0x =得121211212121()x y y x y x yn y x x x x -+=+=++14分222221122221x y x y mn x x -∴=-，又2211143x y +=，2222143x y +=22113(4)4y x ∴=-，22223(4)4y x =- 22222222211221122222212133(4)(4)443x x x x x y x y mn x x x x ⋅--⋅--∴===--．………………………16分 23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分．已知数列{}n a 的各项均为整数，其前n 项和为n S ．规定：若数列{}n a 满足前r 项依次成公差为1的等差数列，从第1r -项起往后依次成公比为2的等比数列，则称数列{}n a 为“r 关联数列”． （1）若数列{}n a 为“6关联数列”，求数列{}n a 的通项公式；（2）在（1）的条件下，求出n S ，并证明：对任意n ∈*N ，66n n a S a S ≥；（3）已知数列{}n a 为“r 关联数列”，且110a =-，是否存在正整数,()k m m k >，使得121121?k k m m a a a a a a a a --++++=++++L L 若存在，求出所有的,k m 值；若不存在，请说明理由．[解]（1）Θ{}n a 为“6关联数列”，∴{}n a 前6项为等差数列，从第5项起为等比数列,4,51516+=+=∴a a a a 且256=a a ， 即24511=++a a ，解得31-=a …………2分 54,42,5n n n n a n --≤⎧∴=⎨≥⎩（或554,54,62,62,7n n n n n n n a n n --⎧-≤-≤⎧==⎨⎨≥≥⎩⎩）． ……………………4分 （2）由（1）得2417,42227,5n n n n n S n -⎧-≤⎪=⎨⎪-≥⎩（或22441717,5,6222227,627,7n n n n n n n n n S n n --⎧⎧-≤-≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪-≥-≥⎩⎩） …………………………………6分{}2345:3,2,1,0,1,2,2,2,2,2,n a ---L ，{}:3,5,6,6,5,3,1,9,25,n S ------L {}:9,10,6,0,5,6,4,72,400,n n a S --L，可见数列{}n n a S 的最小项为666a S =-，证明：541(4)(7),522(27),6n n n n n n n n a S n --⎧--≤⎪=⎨⎪-≥⎩，列举法知当5n ≤时，min 55()5n n a S a S ==-； ………………………………………8分当6n ≥时，)6(27)2(2525≥⋅-⋅=--n S a n n n n ，设52n t -=，则{}22,2,,2,m t ∈L L，222749272()2272648n n a S t t t =-=--≥⋅-⋅=-． ……………………10分（3）Q {}n a 为“r 关联数列”，且110,1,2a d q =-==11(2)12,11r r a a r d r a r -∴=+-=-=-，1213rr a r a -=∴=Q2121112111,12,12,222,13256,13n n n n n n n n n a S n n --⎧⎧-≤-≤⎪⎪∴==⎨⎨≥⎪⎪-≥⎩⎩…………………………12分 ①当12k m <≤时，由221211212222k k m m -=-得(k )(k )21(k )m m m +-=- 21,,12,k m k m m k +=≤>，129m k =⎧∴⎨=⎩或1110m k =⎧⎨=⎩．②当12m k >>时，由1111256256k m ---=-得m k =，不存在 ………………14分③当12,12k m ≤>时，由21112125622m k k --=-，102221112m k k -=-+ 当1k =时，10*292,m m N -=∉；当2k =时，10*274,m m N -=∉； 当3k =时，10*258,m m N -=∉；当4k =时，10*244,m m N -=∉； 当5k =时，105*22,15m m N -==∈；当6k =时，10*222,m m N -=∉； 当7k =时，10*214,m m N -=∉；当8k =时，103*22,13m m N -==∈； 当9k =时，10222,12m m -==舍去；当10k =时，1022,11m m -==舍去当11k =时，1022,11m m -==舍去；当12k =时，10222,12m m -==舍去……16分综上所述，∴存在155m k =⎧⎨=⎩或138m k =⎧⎨=⎩或129m k =⎧⎨=⎩或1110m k =⎧⎨=⎩． …………………18分。
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闵行区2015学年第一学期高三年级期末调研试卷数 学 试 卷（理科）（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格 内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．若复数z 满足i 3i z =-（i 为虚数单位），则||z = .22．若全集U =R ，函数21x y =的值域为集合A ，则U A =ð .)0,(-∞ 3．方程4260xx--=的解为 .2log 3x =4．函数()cos()sin sin()cos x xf x x x π-=π+的最小正周期T = .π5．不等式x x>4的解集为 .)2,0(6．若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于 .15π7．已知ABC △中，43AB i j =+ ，34AC i j =-+，其中i j 、是基本单位向量，则ABC △的面积为 .2528．在2017年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试.小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选科方案有 种.10 9．若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且861086S S =+，则2lim n n S n →∞= . 510．若函数()2x af x -=()a ∈R 满足(1)(1)f x f x +=-，且()f x 在[,)m +∞上单调递增，则实数m 的最小值等于 . 111．若点P 、Q 均在椭圆2222:11x y a a Γ+=-(1)a >上运动，12F F 、是椭圆Γ的左、右焦点，则122PF PF PQ +-的最大值为 .2a12．已知函数14cos 042()log (3)1 4x x f x x x π⎧≤≤⎪=⎨-+>⎪⎩，，，若实数a b c 、、互不相等，且满足)()()(c f b f a f ==，则a b c ++的取值范围是 .(8 23)，13．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a和d c （*,,,a b c d ∈N ）,学校_______________________ 班级__________ 准考证号_________ 姓名______________ …………………………密○………………………………………封○………………………………………○线…………………………则b da c ++是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道 3.14159π=⋅⋅⋅，若令31491015<π<，则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3116105<π<，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为 .22714．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意n ∈*N ，1(1)32nn n n S a n =-++-且1()()0n n a p a p +--<恒成立，则实数p 的取值范围是 .311,44⎛⎫- ⎪⎝⎭二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．若,a b ∈R ，且0ab >，则“a b =”是“2b aa b+≥等号成立”的（ A ）. (A) 充要条件 (B) 充分不必要条件 (C) 必要不充分条件 (D) 既非充分又非必要条件 16．设2345()2510105f x x x x x x =+++++，则其反函数的解析式为（ C ）.(A) 511y x =+- (B) 511y x =-- (C) 511y x =-+- (D) 511y x =--- 17．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为c b a ,,，满足a b c cb a b c-+≤+-，则角A 的范围是（ B ）. (A)0,π⎛⎤⎥6⎝⎦ (B) 0,π⎛⎤ ⎥3⎝⎦ (C) ,π⎡⎫π⎪⎢6⎣⎭ (D) ,π⎡⎫π⎪⎢3⎣⎭18．函数()f x 的定义域为[]1,1-，图像如图1所示；函数()g x 的定义域为[]1,2-，图像如图2所示.{}(())0A x f g x ==,{}(())0B x g f x ==,则A B 中元素的个数为（ C ）. (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19.（本题满分12分）A 1B 1C 1x y -1 O1 2 1图2 x y -1 O 1 1 -1 图1如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱⊥1AA 底面ABC ，12AA AB ==，1BC =,BAC π∠=6，D 为棱1AA 中点，证明异面直线11B C 与CD 所成角为π2，并求三棱柱111ABC A B C -的体积．[证明] 在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱⊥1AA 底面ABC ，11//BC B C ，BCD ∴∠或它的补角即为异面直线11B C 与CD 所成角，…………………………2分 由2AB =，1BC =,BAC π∠=6以及正弦定理得sin ACB ∠=1，ACB π∴∠=2即BC AC ⊥，…………4分又1BC AA ∴⊥，11BC ACC A ∴⊥面，…………6分BC CD ∴⊥………………8分所以异面直线11B C 与CD 所成角的为2π．…………………… 10分 三棱柱111ABC A B C -的体积为1131232ABC V S AA =⋅=⋅⋅⋅=△． …………12分20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分8分，第（2）小题满分6分．如图，点A 、B 分别是角α、β的终边与单位圆的交点，02βαπ<<<<π． （1）若3=4απ，()2cos 3αβ-=，求sin 2β的值；（2）证明：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+．[解]（1）方法一: ()2cos 3αβ-=，1)(cos 2)22cos(2--=-∴βαβα=91- …3分3=4απ，即91)223cos(-=-βπ， ………………………………6分 912sin =∴β． ………………………………8分方法二: ()2cos 3αβ-=，3=4απ，即32sin 22cos 22=+-ββ， …………3分 OxyAB322cos sin =-∴ββ，两边平方得，982sin 1=-β ……………………………6分912sin =∴β． …………………………………8分（2）[证明]由题意得，)sin ,(cos αα=OA ，)sin ,(cos ββ=OB OB OA ⋅∴=βαβαsin sin cos cos + ………………10分又因为OA 与OB 夹角为βα-，1==OB OAOB OA ⋅∴=)cos()cos(βαβα-=-⋅OB OA ………………………12分 综上cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+成立． ……………………………14分21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分． 某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路1l 、2l ，海岸边界MPN 近似地看成一条曲线段.为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB ，且直线AB 与曲线MPN 有且仅有一个公共点P （即直线与曲线相切），如图所示．若曲线段MPN 是函数ay x=图像的一段，点M 到1l 、2l 的距离分别为8千米和1千米，点N 到2l 的距离为10千米，以1l 、2l 分别为x y 、轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，设点P 的横坐标为p .（1）求曲线段MPN 的函数关系式，并指出其定义域； （2）若某人从点O 沿公路至点P 观景，要使得沿折线OAP 比沿折线OBP 的路程更近，求p 的取值范围.[解]（1）由题意得(1,8)M ，则8a =，故曲线段MPN 的函数关系式为8y x =，4分 又得4(10,)5N ，所以定义域为[]1,10. ……………………………6分（2）8(,)P p p ，设8:()AB y k x p p -=-由8()8y k x p p y x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得xy AB MNPO大海1l2l22(8)80kpx kp x p +--=，22222(8)32(8)0kp kp kp ∆=-+=+=, …………8分22880,kp k p ∴+=∴=-，得直线AB 方程为288()y x p p p -=--， ………10分得16(0,)(2,0)A B p p、，故点P 为AB 线段的中点， 由2168220p p p p--=⋅>即280p -> …………………………12分得22p >时，OA OB <，所以，当2210p <≤时，经点A 至P 路程最近. 14分22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2) (3)小题满分各6分． 已知椭圆Γ的中心在坐标原点，且经过点3(1,)2，它的一个焦点与抛物线2:4y x E =的焦点重合．（1）求椭圆Γ的方程；（2）斜率为k 的直线l 过点()1,0F ，且与抛物线E 交于A B 、两点，设点(1,)P k -，PAB △的面积为43，求k 的值；（3）若直线l 过点()0,M m （0m ≠），且与椭圆Γ交于C D 、两点，点C 关于y 轴的对称点为Q ，直线QD 的纵截距为n ，证明：mn 为定值.[解]（1）设椭圆的方程为()222210x y a b a b +=>>，由题设得222219141a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，…2分2243a b ⎧=∴⎨=⎩，∴椭圆Γ的方程是22143x y += …………………………4分 （2）设直线:(1)l y k x =-，由2(1),4,y k x y x =-⎧⎨=⎩得22222(2)0k x k x k -++= l 与抛物线E 有两个交点，0k ≠，216(1)0k ∆=+>，则42422224(44)44(1)1k k k k AB k k k++-+=⋅+= …………………………6分(1,)P k -到l 的距离231k d k =+，又43PABS =△,222314(1)4321kk k k +∴⋅⋅=+ 22433k k =+，故3k =±． ………………………10分（3） ()()1122,,,C x y D x y ，点C 关于y 轴的对称点为11(,)Q x y -， 则直线211121:()y y CD y y x x x x --=--，设0x =得121211212121()x y y x y x ym y x x x x --=-=--直线211121:()y y QD y y x x x x --=++，设0x =得121211212121()x y y x y x y n y x x x x -+=+=++14分 222221122221x y x y mn x x -∴=-，又2211143x y +=，2222143x y +=22113(4)4y x ∴=-，22223(4)4y x =- 22222222211221122222212133(4)(4)443x x x x x y x y mn x x x x ⋅--⋅--∴===--．………………………16分23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分．已知数列{}n a 的各项均为整数，其前n 项和为n S ．规定：若数列{}n a 满足前r 项依次成公差为1的等差数列，从第1r -项起往后依次成公比为2的等比数列，则称数列{}n a 为“r 关联数列”．（1）若数列{}n a 为“6关联数列”，求数列{}n a 的通项公式；（2）在（1）的条件下，求出n S ，并证明：对任意n ∈*N ，66n n a S a S ≥；（3）已知数列{}n a 为“r 关联数列”，且110a =-，是否存在正整数,()k m m k >，使得121121?k k m m a a a a a a a a --++++=++++ 若存在，求出所有的,k m 值；若不存在，请说明理由．[解]（1） {}n a 为“6关联数列”，∴{}n a 前6项为等差数列，从第5项起为等比数列,4,51516+=+=∴a a a a 且256=a a ， 即24511=++a a ，解得31-=a …………2分54,42,5n n n n a n --≤⎧∴=⎨≥⎩（或554,54,62,62,7n n n n n n n a n n --⎧-≤-≤⎧==⎨⎨≥≥⎩⎩）． ……………………4分 （2）由（1）得2417,42227,5n n n n n S n -⎧-≤⎪=⎨⎪-≥⎩（或22441717,5,6222227,627,7n n n n n n n n n S n n --⎧⎧-≤-≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪-≥-≥⎩⎩） …………………………………6分{}2345:3,2,1,0,1,2,2,2,2,2,n a --- ，{}:3,5,6,6,5,3,1,9,25,n S ------ {}:9,10,6,0,5,6,4,72,400,n n a S -- ，可见数列{}n n a S 的最小项为666a S =-，证明：541(4)(7),522(27),6n n n n n n n n a S n --⎧--≤⎪=⎨⎪-≥⎩，列举法知当5n ≤时，min 55()5n n a S a S ==-； ………………………………………8分 当6n ≥时，)6(27)2(2525≥⋅-⋅=--n S a n n n n ，设52n t -=，则{}22,2,,2,m t ∈ ，222749272()2272648n n a S t t t =-=--≥⋅-⋅=-． ……………………10分（3） {}n a 为“r 关联数列”，且110,1,2a d q =-==11(2)12,11r r a a r d r a r -∴=+-=-=-，1213rr a r a -=∴=2121112111,12,12,222,13256,13n n n n n n n n n a S n n --⎧⎧-≤-≤⎪⎪∴==⎨⎨≥⎪⎪-≥⎩⎩…………………………12分 ①当12k m <≤时，由221211212222k k m m -=-得(k )(k )21(k )m m m +-=- 21,,12,k m k m m k +=≤>，129m k =⎧∴⎨=⎩或1110m k =⎧⎨=⎩．②当12m k >>时，由1111256256k m ---=-得m k =，不存在 ………………14分 ③当12,12k m ≤>时，由21112125622m k k --=-，102221112m k k -=-+当1k =时，10*292,m m N -=∉；当2k =时，10*274,m m N -=∉； 当3k =时，10*258,m m N -=∉；当4k =时，10*244,m m N -=∉； 当5k =时，105*22,15m m N -==∈；当6k =时，10*222,m m N -=∉； 当7k =时，10*214,m m N -=∉；当8k =时，103*22,13m m N -==∈； 当9k =时，10222,12m m -==舍去；当10k =时，1022,11m m -==舍去当11k =时，1022,11m m -==舍去；当12k =时，10222,12m m -==舍去……16分 综上所述，∴存在155m k =⎧⎨=⎩或138m k =⎧⎨=⎩或129m k =⎧⎨=⎩或1110m k =⎧⎨=⎩． …………………18分。