闵行区2015学年高三数学一模(理科)

闵行区2015学年第一学期高三年级期末调研试卷

数 学 试 卷（理科）

（满分150分，时间120分钟）

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格 内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．若复数z 满足i 3i z =-（i 为虚数单位），则||z = .2

2．若全集U =R ，函数2

1x y =的值域为集合A ，则U A =ð .)0,(-∞ 3．方程4260x

x

--=的解为 .2log 3x =

4．函数()cos()sin sin()cos x x

f x x x π-=π+的最小正周期T = .π

5．不等式x x

>4

的解集为 .)2,0(

6．若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于 .15π

7．已知ABC △中，43AB i j =+ ，34AC i j =-+

，其中i j 、是基本单位向量，则

ABC △的面积为 .

25

2

8．在2017年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试.小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选科方案有 种.10 9．若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且861086

S S =+，则2lim n n S n →∞= . 5

10．若函数()2

x a

f x -=()a ∈R 满足(1)(1)f x f x +=-，且()f x 在[,)m +∞上单调

递增，则实数m 的最小值等于 . 1

11．若点P 、Q 均在椭圆22

22

:11

x y a a Γ+=-(1)a >上运动，12F F 、是椭圆Γ的左、右焦点，则122PF PF PQ +-

的最大值为 .2a

12．已知函数14

cos 042()log (3)1 4x x f x x x π

⎧≤≤⎪=⎨-+>⎪⎩，

，

，若实数a b c 、、互不相等，且满足

)()()(c f b f a f ==，则a b c ++的取值范围是 .(8 23)，

13．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为

b a

和d c （*

,,,a b c d ∈N ）,学校_______________________ 班级__________ 准考证号_________ 姓名______________ …………………………密○………………………………………封○………………………………………○线…………………………

则

b d

a c ++是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道 3.14159π=⋅⋅⋅，若令31491015<π<，则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3116

105

<π<，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为 .227

14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意n ∈*N ，1(1)32

n

n n n S a n =-++-且

1()()0n n a p a p +--<恒成立，则实数p 的取值范围是 .311,44⎛⎫

- ⎪⎝⎭

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答

题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．若,a b ∈R ，且0ab >，则“a b =”是“

2b a

a b

+≥等号成立”的（ A ）. (A) 充要条件 (B) 充分不必要条件 (C) 必要不充分条件 (D) 既非充分又非必要条件 16．设2345()2510105f x x x x x x =+++++，则其反函数的解析式为（ C ）.

(A) 511y x =+- (B) 511y x =-- (C) 511y x =-+- (D) 511y x =--- 17．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为c b a ,,，满足

a b c c

b a b c

-+≤+-，则角A 的范围是（ B ）. (A)0,

π⎛

⎤

⎥6⎝⎦ (B) 0,π⎛⎤ ⎥3⎝⎦ (C) ,π

⎡⎫π⎪⎢6⎣⎭ (D) ,π

⎡⎫

π⎪⎢3⎣⎭

18．函数()f x 的定义域为[]1,1-，图像如图1所示；函数()g x 的定义域为[]1,2-，图像如图2所示.{}

(())0A x f g x ==,{}

(())0B x g f x ==,则A B 中元素的个数为（ C ）. (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编

号的规定区域内写出必要的步骤．

19.（本题满分12分）

A 1

B 1

C 1

x y -1 O

1 2 1

图2 x y -1 O 1 1 -1 图1

如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱⊥1AA 底面ABC ，12AA AB ==，

1BC =,BAC π∠=

6，D 为棱1AA 中点，证明异面直线11B C 与CD 所成角为π

2

，并求三棱柱111ABC A B C -的体积．

[证明] 在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱⊥1AA 底面ABC ，11//BC B C ，

BCD ∴∠或它的补角即为异面直线11B C 与CD 所成角，…………………………2分 由2AB =，1BC =,BAC π∠=

6以及正弦定理得sin ACB ∠=1，ACB π

∴∠=2

即BC AC ⊥，…………4分

又1BC AA ∴⊥，11BC ACC A ∴⊥面，…………6分

BC CD ∴⊥………………8分

所以异面直线11B C 与CD 所成角的为

2

π

．…………………… 10分 三棱柱111ABC A B C -的体积为11

31232

ABC V S AA =⋅=⋅⋅⋅=△． …………12分

20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分8分，第（2）小题满分6分．

如图，点A 、B 分别是角α、β的终边与单位圆的交点，02

βαπ

<<

<<π． （1）若3

=4

απ，()2cos 3αβ-=，求sin 2β的值；

（2）证明：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+．

[解]（1）方法一: ()2

cos 3

αβ-=，

1)(cos 2)22cos(2--=-∴βαβα=9

1

- …3分

3

=4απ，即9

1)223cos(

-=-βπ， ………………………………6分 9

1

2sin =∴β． ………………………………8分

方法二: ()2cos 3αβ-=

，3=4απ，即3

2

sin 22cos 22=+-

ββ， …………3分 O

x

y

A

B