材力第章作业题解答

第5章 应力状态分析

5－1 木制构件中的微元受力如图所示，其中所示的角度为木纹方向与铅垂方向的夹角。试求：

1．面内平行于木纹方向的切应力；

2．垂直于木纹方向的正应力。

15a 4MP

15-y'x'τx'

x'σa

1.6MP x

图 1

解：平行于木纹方向切应力

6.0))15(2cos(0))15(2sin(2

)6.1(4=︒-⨯⋅+︒-⨯---=''y x τMPa

垂直于木纹方向正应力

84.30))15(2cos(2

)6.1(42

)6.1(4-=+︒-⨯---+-+-='x σMPa

5-2 结构中某点处的应力状态为两种应力状态的叠加结果。试求叠加后所得应力状态的主应力、面内最大切应力和该点处的最大切应力。

y

σσxy

τx

=

图 2

解： 叠加[]⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡︒-⨯--+==--+==⎥⎦⎤

⎢

⎣⎡︒-⨯--+-++=MPa 30))45(2sin(2)30(5070MPa 1010)3050(0MPa 90))45(2cos(2)30(502)30(5080xy y x σσσ 主应力0

MPa 0MPa 100304)]100(90[212109022231=⎩⎨⎧=⨯+-±+=⎭⎬⎫σσσ

面内及该点：502

1002

||||3

1max max

=-=

-=='σσττMpa

y α

σ0

σA B

αx

(a)

习题5-3图

习题5-5图

A B

p

3p

3

60p 2p

2

(a)

2

σD

C

E

O

1

σσ

120τ

)

32(p p,-)

3,2(p p r

(b)

(b)

(a) 150140

300

90

(a-1)

140MPa

240MPa

yx

τ

(b-1)

40MPa

200MP

1590

5-3 已知平面应力状态的最大正应力发生在与外力作用的自由表面AB 相垂直的面上，其值为0σ。试求应力分量x σ、y σ和xy τ。 解：ασα

ασσσ200

cos 2

2cos 10))(2cos(2

2

=+=

+-⨯+

=

x ασσα

σσσ2000sin 2

2cos 1=-=

-=x y ασαστ2sin 2

))(2sin(200-=-⨯=xy

5-4 p 为单位面积上的力）。试求该点处的主应力。

解：应力圆半径p p

r 260sin 3=︒

=

p p p r p OC 32

1

2260cos 2=+=︒+=

⎪⎩⎪

⎨⎧==-==+=053

21σσσp r OC p r OC

5-5 试确定图示应力状态中的最大正应力和最大切应力。图中应力的单位为MPa 。

习题5-7图

习题5-6图

习题5-7图

解：图（a ）：⎪

⎩⎪⎨⎧=⎩⎨⎧=-⨯+-±+=

MPa

90MPa 50MPa

390)150(4)140300(21214030022231σσσ

170250390max =-=τMPa

图（b ）：⎪

⎩⎪⎨⎧-=⎩⎨⎧-=-⨯+-±+=

MPa

90MPa 50MPa

290)150(4)40200(2124020032221σσσ

1902

)90(290231max =--=-=σστMPa

5-6 对于图示的应力状态，若要求其中的最大切应力max τ＜160MPa ，试求xy τ取何值。

解：1．当半径r ＞OC

2

1402404)140240(2

122+>+-xy τ

即 >||xy τ时 （1）

⎩⎨⎧+-±+=2

23

14)140240(212140240xy

τσσ 16041002

122

231

max <+=-=xy τσστ 解得||xy τ<152MPa （2）

由（1）、（2）知，显然不存在。 2．当r ＜OC

2

1402404)140240(212

2+>+-xy τ 即 ||xy τ＜时

⎪⎩

⎪⎨⎧=+-++=

04)140240(2

1214024032

21στσxy 16041004

1438022

231max <++=-=xy

τσστ 解得||xy τ＜120MPa 所以，取||xy τ＜120MPa 。

9.2669.126140-=--=OC MPa 9.2662

)

140(-=-+y σ

8.393-=y σMPa

5-7 液压缸及柱形活塞的纵剖面如图所示。缸体材料为钢，E = 205GPa ，ν= 。试求当内压p = 10MPa 时，液压缸内径的改变量。

解：缸体上

0=轴σ

1152

2)450(10=⨯-⨯=环σMPa