分形与音乐
数学的艺术——将数学与艺术相结合的教学设计方案
数学与艺术结合的意义
促进跨学科交流与合作 激发创新思维和想象力 拓展艺术表现形式和语言 提高数学素养和审美能力
数学与艺术结合的案例
分形艺术：通过计算机算法生成复杂的几何图形，展示自然与数学的完美结合。
数学在建筑设计中的应用：如巴塞罗那的米拉之家，利用数学公式设计出独特的曲线结构。
音乐与数学的关联：音符间的频率关系和节奏遵循数学原理，创造出和谐的音乐作品。 数学在绘画中的应用：如蒙德里安的抽象画，通过几何图形和色彩的组合，表达艺术 的平衡和和谐。
效益分析：分析 实施方案的经济、
社会效益
经验总结：总结 实施过程中的经 验教训，为今后
工作提供借鉴
改进建议：针对 实施过程中存在 的问题，提出改
进措施
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实施案例分析
案例二：数学在音乐创作中 的应用
案例三：数学在计算机算法 中的应用
案例一：数学在建筑设计中 的应用
案例四：数学在经济预测中 的应用
未来发展方向与展望
数学教育资源 的共享与普及
数学与其他学 科的交叉融合
创新教学理念 和方法的应用
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多媒体资源：利用多媒体资 源，如PPT、视频等辅助教
学
教材：选择合适的数学教材， 确保内容准确、完整
网络资源：利用网络资源， 如数学教育网站、在线课程
等
教学评价与反馈
评价方式：考试、 作业、课堂表现 等多维度评价
反馈内容：针对 学生表现给予及 时、具体的指导
和建议
评价标准：明确、 具体、可操作的 评价标准
《三国演义》叙事结构的数学模型及其普适性——分形视角下的文学初探
《三国演义》叙事结构的数学模型及其普适性——分形视角下的文学初探牛景丽【摘要】“分形”在自然界中无所不在,同时亦广泛存在于人类艺术领域对“美”的创造之中.计算表明,小说《三国演义》的叙事结构高度暗合以黄金分割律为迭代原则的分形结构,其数学模型为Xn+1=1.618×Xn-Co这一模型同样适用于戏曲《西厢记》、《牡丹亭》、《桃花扇》.这表明《三国演义》所呈现的“黄金分形”结构不是孤立的事件,而是一种无意识的对美的结构艺术的普遍追求,是优秀叙事文学作品在创作中为追求叙事效果和节奏美感自然呈现的一种一般性规律.分形可以成为叙事文学创作的指导性理论与文学研究的一般性方法.【期刊名称】《文学与文化》【年(卷),期】2018(000)001【总页数】12页(P102-113)【关键词】《三国演义》;叙事结构;分形;黄金分割【作者】牛景丽【作者单位】河北工业大学文法学院【正文语种】中文一题目缘起与分形简介这一题目的产生缘于笔者在阅读科普著作《蝴蝶效应之谜——走近分形与混沌》①张天蓉：《蝴蝶效应之谜——走近分形与混沌》，清华大学出版社，2013年。
时受到启发而产生的疑问：文学作品中是否也存在分形结构？分形（fractal）是数学的一个分支，是随着20世纪70年代以来计算机的发展而迅猛崛起的一门新科学，其数学基础是分形几何，但其应用却远远超出了数学范畴，几乎遍及自然科学和社会科学的各个领域——物理学、生物与生命科学、建筑学、经济学、社会学乃至语言学等等。
首先介绍一下分形几何的基本原理。
来看两个简单分形图的生成方法：科赫（Koch）曲线：将一段单位直线逐次按原则变换，则有：图1 科赫曲线生成示意图图（1）是第1次变换的结果，称之为1次迭代，图（2）是将图（1）中各线段依据变换原则进行第2次变换的结果，称之为2次迭代，依此类推。
用n表示迭代次数，则随着n的增大，图形越来越复杂。
原理上迭代次数是无限的，即n趋于无穷大。
数学与艺术结合的例子
数学与艺术结合的例子数学与艺术是两个看似截然不同的领域，一个注重逻辑推理和精确计算，一个强调创造力和情感表达。
然而，它们之间存在着紧密的联系和相互影响。
数学为艺术提供了智力思维和结构框架，而艺术则将数学的抽象概念转化为可视化的形式。
下面将列举十个以数学与艺术结合的例子，展示它们之间的奇妙交织。
1. 黄金分割比例与艺术构图黄金分割比例是一种比例关系，可以用数学的方式表示为1：1.618。
这一比例在艺术构图中被广泛运用，能够产生视觉上的和谐与美感。
例如，著名画家达·芬奇的作品《蒙娜丽莎》中，脸部的构图就运用了黄金分割比例，使画面更加平衡和美观。
2. 幾何學与建筑设计几何学是数学的一个分支，研究图形的形状、大小、位置和相互关系。
在建筑设计中，几何学被广泛应用于建筑物的结构、立面和空间布局。
例如，拜占庭建筑中的圆顶、哥特式建筑中的尖拱和现代建筑中的几何造型，都是几何学与艺术相结合的产物。
3. 透视与绘画透视是一种数学原理，用于在平面上创造出三维的视觉效果。
在绘画中，透视可以使画面更加真实和立体。
艺术家通过运用透视原理，使观者感受到距离和深度。
例如，文艺复兴时期的绘画大师达·芬奇和拉斐尔就善于运用透视原理创作具有空间感和逼真度的作品。
4. 对称与图案设计对称是数学中的一个概念，指物体的两部分在某个中心或轴线处完全相同。
在艺术中，对称被广泛应用于图案设计，能够产生平衡和谐的效果。
例如，古希腊建筑中的对称立面、中国传统绘画中的对称构图等，都是对称与艺术结合的典型例子。
5. 分形与艺术创作分形是一种数学形式，具有无限复制和自相似的特点。
在艺术创作中，分形被用于创造出错综复杂的图像和纹理。
例如，荷兰艺术家埃舍尔的作品中经常出现各种分形形式，使观者感受到无穷无尽的变化和细节。
6. 色彩理论与绘画色彩理论是一门研究色彩的科学，通过对颜色的组合和对比，可以产生不同的视觉效果和情感表达。
在绘画中，艺术家运用色彩理论来创造出丰富多样的色彩效果。
《音乐中的数学之美》课件
目 录
• 音乐与数学的联系 • 音乐中的节奏与数学 • 音乐中的和声与数学 • 音乐中的旋律与数学 • 音乐中的结构与数学
01
音乐与数学的联系
音乐中的数学元素
音阶与数学
音阶是音乐中的基本元素，与数 学中的比例和数值关系密切相关
。
和声与数学
和声是音乐中不同音符之间的配合 ，可以通过数学原理来解释其和谐 性。
符长度的旋律。
节奏的对称性与数学
对称性的概念
对称性是指物体或图形在 某种变换下保持不变的特 性。在音乐中，对称性表 现为节奏的重复和镜像。
对称性的数学描述
通过数学符号和公式，可 以描述节奏的对称性，例 如使用群论来描述音乐中 的对称变换。
对称性的音乐应用
在音乐创作中，对称性被 广泛运用，例如使用镜像 对称来创造复杂的节奏模 式。
03
音乐中的和声与数学
和声的数学原理
和声的数学基础
和声学是研究音乐中和谐音的学问，其基础在于数学。音符的频率、音程（如 升降2度）都可以用数学公式精确表示，从而揭示了音乐中和谐音的内在规律 。
音阶的数学模型
音阶是音乐的基础，每个音阶都有特定的频率比例。例如，大调音阶遵循 1:1:1:1:1:1:1的比例，这种比例可以用数学公式来表示，从而揭示了音阶的和谐 性。
02
音乐中的节奏与数学
节奏的数学表达
节奏的数学表达
通过数学公式和模型，可以精确 地描述音乐的节奏和节拍，例如 使用数学函数来描述音符的长度
和间隔。
节奏的数学分析
通过数学分析方法，可以深入了 解节奏的结构和特征，例如使用 傅里叶变换来分析音乐的频谱。
节奏的数学合成
分形音乐计算机生成技术研究
快 就 引起 了 许 多 学 科 的 关 注 ． 是 由于 它 不 仅 在 理 论 上 ． 且 在 这 而
经济 、 工 、 化 计算 机
文献『， 中， ｌ １ 音乐学者从音乐科学 的角度出发， ２ 分析了音 乐具 有分
形 性 ， 别 是 我 国 的 古琴 音 乐 ， 着 明显 的分 形 特 征 。从 自然 科学 特 有 的角 度 来 分 析 音 乐 ， 首 音 乐 的音 符 音 阶随 时 间的 变 化 可 以看 成 一
规 则 、 离 破 碎 等 意 义 ． 形 几 何 学 是 一 门 以非 规则 几 何 肜 态 为 支 分 研 究 对 象 的几 何 学 。 由于 不 规 则 现 象 在 自然 界 是 普遍 存 在 的 ， 因 此 分 形 几 何 又 称 为 描 述 大 自然 的 几 何学 。 分 形 几 何 建 立 以 后 ， 很
中图分类号 ： Ｐ ７ Ｔ ３
文献标识码 ： Ａ
文章编号：０ ９ ３ ４ （０ ７０ — ０ ４ — １ ０ — ０ ４２ ０ ）７ ２ ２ ０ ２
ＳＨＥＮ ａ —ｅ Ｘｉｏ—ｆｎｇ
Ｔｈ ｕ ｙ ｏ ｎ ｒｔ ｇ Ｆｒｃａ ｓｃ ｂ ｍｐｕｅ ｃ ｎ ｌｇ ｅＳｔｄ ｆＧｅ ｅａ ｉ ａ ｔ ｌ ｎ Ｍｕ ｉ ｙ Ｃｏ ｔｒ Ｔｅ ｈ ｏｏ ｙ
分形在艺术中的运用
分形在艺术中的运用
分形图形在艺术中的运用源于20世纪80 年代，并由于其自我无限的复杂结构而被广泛应用于平面设计、影像创作中。
分形图形能让艺术作品形成一种抽象效果，使得观众在沉浸其中时深刻地感知作品中所暗含的意义。
这种独特的效果也带给观众一种新鲜的视觉体验，形成艺术家与观众之间的交流。
分形图形如今也广泛应用于多媒体影像、音乐等。
除了艺术创作，分形图形也被用于受人敬重的科学领域，例如地理学、数学、统计学等。
分形地形和分形集合可以用来模拟各种复杂的现象，从而改进熟知的地理和统计数据。
因此，分形在科学上也具有重要的意义。
在日常生活中，人们也更常见到分形图形的运用，例如在照片滤镜中的味道分形，或者品牌识别的造型等。
这些都是通过分形图形来表达每个品牌独特的主题和特色，增加视觉记忆，同时也增加了观赏艺术品的乐趣性。
从“混沌一分形与音乐”谈起——浅谈古琴音乐中的混沌与分形
从“ 混沌 一 分形与音乐 ’ ’ 谈起
— —
浅谈古琴音乐 中的混沌与分形
徐君千年 ， 其人文特性及音 乐特征 ， 显现 出似像非像 ， 混沌一体 的 自然天 趣， 那种 自觉意识和情感表现 ， 那种 至于 自然而超越 自然似是 非是的混沌意境 与 宇宙混 为一体 。本文重点介绍古琴的传谱与不 同琴人的打谱和 第二创作 ， 力图 揭示古琴音 乐中混沌分形 的某种默 契与跨越历 史与 时间的 自相似性 。 ［ 关 键 词 ］古 琴 音 乐／ 混 沌／ 分 形
乐府新声（ 沈阳音 乐学院学报 ） ２ ０ １ ３年第 １ 期
Ｔ Ｈ Ｅ ＮＥ Ｗ ＶＯ Ｉ Ｃ Ｅ Ｏ Ｆ Ｙｕ Ｂ—Ｆ Ｕ （ Ｔ ｈ ｅ Ａ ｃ ａ ｄ ｅ ｍｉ ｃ Ｐ ｅ ｒ ｉ ｏ ｄ ｉ ｃ ａ ｌ ｏ ｆ Ｓ ｈ ｅ ｎ ｙ ａ ｎ ｇ Ｃ ｏ ｎ ｓ ｅ ｒ ｖ ａ ｔ ｏ ｒ ｙ ｏ ｆ Ｍｕ ｓ ｉ ｃ ）
系在一起 ， 以致古琴音 乐有 着浓郁 的人史 陛。
古琴 的人文性 ， 不仅体现 在中国的传统文化属性 上， 也体现在文人的 自 娱性和修身养性上 。历代诸多 的文人和琴人 为它 所 陶醉 ， 为它演绎了无数的故事 。在琴人眼里古琴音乐有着显著而独到之处 ， 它绵延几千年 、 传谱三千首 。它音色丰富 ， 节奏 自由， 表现虚实结合 、 若隐若现、 不即不离 。不同传谱互 相关 联， 似象非象 ， 混沌一体 。 还自 然于天趣 。 本人将试 图通过这一新
和古 人所说 的“ 意远” 。 那种创造 的“ 第二形象” 是什么呢 ？我以为 ， 这是琴人还 听觉形象于天然想象 的途径 ， 捉到了这“ 第二形
象” 并通过意 匠手段表达 于音中。
那种来 自 于自 然而超越 自 然， 似 是非是的混沌 意境 。 而宇宙本来就是混沌 一体 ， 由于人类才把世间的事物， 分得清清楚楚 ，
数学的旋律拆解音乐的数学结构
数学的旋律拆解音乐的数学结构音乐与数学，这两个看似迥然不同的领域，在某种程度上却有着密不可分的联系。
数学蕴含着一种抽象推理和逻辑思维，而音乐则以旋律和和谐为表达方式，然而，当我们深入探究时，会惊讶地发现，数学与音乐之间存在着深层次的关联，它们共享着一种数学结构的内在美。
一、音乐中的数学元素1. 节拍和节奏音乐中的节拍和节奏是构成旋律和韵律的基本元素。
节拍和节奏之间存在着一种严谨的数学关系。
节拍是音乐中的基本单位，通过以规律的时间间隔排列，形成节奏的变化。
例如，4/4拍中的四分音符代表一个节拍，而整个小节由四个四分音符组成，形成统一有序的节奏结构。
这种数学的规律性使得音乐的节奏感更加强烈和准确。
2. 音高和音程音乐中的音高与音程体现了数学中的数值关系。
音高是音乐中不同音符的高低音频特征，而音程则是不同音高之间的距离关系。
数学上，音程可以用频率比值来表示，例如一个八度的音程，即两个音高频率之比为2:1。
这种数值之间的关系构成了音乐中和声的结构。
3. 调式和和弦调式和和弦是音乐中体现和声美感的基础。
调式是一组音符按照严格的音程关系进行组合而成的音阶。
例如，C大调音阶就是按照全全半全全全半的音程关系排列而成。
和弦则是在调式的基础上，将多个音符按照固定的音程组合而成的。
这种音程关系的数学结构在和弦的构建中起到了至关重要的作用。
二、数学与音乐之间的契合1. 数学的谐波理论谐波理论是数学与音乐之间最为契合的地方之一。
谐波理论指出，任何一个音的声波信号都可以看作是由一系列不同频率的谐波波形叠加而成的。
这种数学上的物理原理，正是音乐中和声的基础。
和声实质上是不同频率的声波在时间和空间上的叠加效果，通过不同频率信号的合成，音乐才能够产生多样而和谐的音乐效果。
2. 黄金分割比例与音乐的美感黄金分割比例是一种数学上的比例关系，常用符号φ表示，其近似值约为1.618。
这个数值在艺术领域被广泛运用，而音乐也不例外。
许多音乐作品中，演奏者、作曲者会故意运用黄金分割比例来展现音乐的美感和和谐之感。
音乐的分形几何(物理的旋律)
第34卷第6期2018年6月科技通报BULLETIN OF SCIENCE AND TECHNOLOGYVol．34No．6Jun．2018音乐的分形几何（物理的旋律）杨明明（中国人民大学艺术学院音乐系，北京100872）摘要：音乐评论家将巴赫的音乐与数学的精确性进行了比较。
对于一个具有求知欲的学者来说数学与精确的定义是一个亟待解决的问题。
本文目的在于研究说明在某种程度上曼德勃罗的分形几何和数学的精确，这两者在双对数坐标图中是存在偏差的。
关键词：巴赫音乐；分形几何；双对数坐标图中图分类号：O29文献标识码：A文章编号：1001－7119（2018）06－0023－04DOI ：10.13774/j．cnki．kjtb．2018.06.006Fractal Geometry of Music （Melody of Physics ）Yang Mingming（Lecturer ，the School of Arts ，Ｒenmin University ，Beijing 100872，China ）Abstract ：Music critics have compared Bach ＇s music to the precision of mathematics．What “mathematics ”and what “precision ”are the questions for a curious scholar．The purpose of this short note is to suggest that the mathematics is ，at least in part ，Mandelbrot＇s fractal geometry and the precision is the deviation from a log-log linear plot．Keywords ：bach ’s music ；fractal geometry ；log-log plot 收稿日期：2017－07－01作者简介：杨明明（1973－），女，讲师，硕士，研究方向：音乐表演。
分形结构在声学表征中的应用价值讨论
分形结构在声学表征中的应用价值讨论声学表征是研究声音的特征和性质的一个领域，涉及到声音的产生、传播和接收等方面。
分形结构在声学表征中的应用价值引发了广泛的讨论。
分形结构是指一种具有自相似性的形状或图形，它在声学表征中的应用可以提供独特的信息和优势。
分形结构在声学表征中的应用可以从多个方面进行讨论。
首先，分形结构可以用于声音的分析和特征提取。
声音信号是一种随时间变化的波形信号，而分形结构的特点是具有自相似性。
通过分析声音信号的分形结构，可以提取出声音的分形维数等特征，进而对声音进行分类和识别。
这对于语音识别、音乐分类等应用具有重要意义。
其次，分形结构在声学表征中的应用可以用于声音合成和重构。
通过分析现有的声音样本的分形结构特征，可以生成新的具有相似结构的声音样本。
这在音乐创作和声音设计领域具有潜在的应用价值。
通过引入分形结构，可以为声音合成和重构带来更多的创造性和变化性，丰富声音的表达和呈现。
第三，分形结构在声学表征中的应用可以用于声音的压缩和传输。
声音文件通常具有较大的数据量，而分形结构具有一种自我相似性的特点，给了我们将复杂的声音信号压缩成更小的文件大小的可能性。
通过提取和利用声音信号的分形结构，可以实现对声音数据的高效压缩和传输，降低存储和传输成本。
此外，分形结构在声学表征中的应用还可以用于声音的增强和修复。
在实际应用中，我们经常会遇到噪声干扰、声音质量不佳或损坏等问题。
通过分析声音信号的分形结构，我们可以根据自相似性原理对原始声音信号进行修复和增强。
这对于语音增强、语音恢复等应用具有重要价值。
然而，分形结构在声学表征中的应用也存在一些挑战和限制。
首先，分形结构的分析和处理过程相对复杂，需要较大的计算资源和算法支持。
其次，分形结构的应用受到数据采集和信号处理等环节的限制，特别是在实时应用和大规模数据处理方面存在一定的困难。
此外，分形结构在某些特定声音类型的表征中可能效果不佳，需要与其他声学特征结合使用才能获得更好的结果。
基于分形维数的音乐自动分类方法
基于分形维数的音乐自动分类方法孙博文;张艳鹏;赵振国;高超;孟繁博【摘要】音乐的自动分类是现代检索技术的一个研究内容,也是音乐可视化研究中亟待解决的问题.近年来,音乐的分形性质已得到了广泛的研究.本文是从分形的角度对音乐的自动分类问题进行研究,提出了一种基于分形维数的音乐自动分类方法:通过对不同风格音乐的分形维数的计算与比较,确定音乐分类的范围指标,然后利用此指标作为依据对音乐进行自动分类.本文通过实验证明此方法具有使用简单、高效和高准确率的特点.【期刊名称】《软件》【年(卷),期】2012(033)003【总页数】3页(P19-21)【关键词】分形技术;分形维数;音乐自动分类【作者】孙博文;张艳鹏;赵振国;高超;孟繁博【作者单位】哈尔滨理工大学计算中心,哈尔滨150080;哈尔滨理工大学计算机科学与技术学院,哈尔宾150080;哈尔滨理工大学计算机科学与技术学院,哈尔宾150080;哈尔滨理工大学计算机科学与技术学院,哈尔宾150080;哈尔滨理工大学应用科学学院,哈尔滨 150080【正文语种】中文【中图分类】TP3910 引言随着计算机技术和通信技术的飞速发展，各式各样的信息急速的增长，人们也时时刻刻的能接触到大量多媒体形式的内容，如图像、音频、视频等。
但是随着数据量的快速增长，如何自动对这类内容进行快速管理就成为了一个亟待解决的问题。
特别是对身边大量的音乐信息，人们需要快速高效的方法对它们进行分类和管理，以便更好的应用在音乐推荐、KTV点唱及在线选歌等诸多领域中。
伴随着语音识别技术的火热发展，许多其它领域的方法被应用到音乐分类领域之中。
然而，由于音乐的多样性和不确定性，基本上所有的方法与大规模的实际应用都还有不小的距离。
目前绝大多数音频分类算法集中在两方面——音频的特征提取以及根据音频特征进行分类。
现有的音频特征算法有：短时过零率、时域的短时能量、谱质心分析、频域带宽等，还有基于听觉感受的MFCC(Mel-frequency cepstral coefficients)梅尔倒频谱系数等。
音乐节奏中的分形结构分析
音乐节奏中的分形结构分析一、音乐节奏中的分形结构概述音乐节奏是音乐作品中不可或缺的组成部分，它通过时间的组织和变化，为音乐赋予了动态和生命力。
在音乐节奏的研究中，分形结构的概念逐渐受到重视。
分形是一种自相似的几何形状，其特点是在不同的尺度上展现出相似的模式。
音乐节奏中的分形结构，指的是在不同时间尺度上，音乐节奏的组织和变化呈现出相似性，这种相似性是音乐节奏美感和复杂性的重要来源。
1.1 分形结构在音乐节奏中的表现音乐节奏的分形结构主要表现在以下几个方面：首先是节奏模式的重复性，即在不同时间尺度上，相同的节奏模式会重复出现；其次是节奏变化的层次性，音乐节奏的变化不是单一的，而是具有多个层次，每个层次上的节奏变化都可能呈现出分形特征；最后是节奏的动态性，音乐节奏不是静态的，而是随着时间的推进而不断变化和发展，这种动态性在分形结构中得到了体现。
1.2 分形结构对音乐节奏的影响分形结构对音乐节奏的影响是多方面的。
首先，它增加了音乐节奏的复杂性和丰富性，使得音乐作品具有更高的艺术价值；其次，分形结构使得音乐节奏更加具有动态性，能够更好地表达音乐的情感和意境；此外，分形结构还有助于音乐节奏的学习和理解，通过分析节奏的分形特征，可以更深入地理解音乐作品的结构和内涵。
二、音乐节奏中的分形结构分析方法对音乐节奏中的分形结构进行分析，需要采用一定的方法和工具。
这些方法和工具可以帮助我们更准确地识别和理解音乐节奏中的分形特征。
2.1 音乐节奏的数学模型音乐节奏的数学模型是分析分形结构的基础。
这些模型通常基于时间序列分析，将音乐节奏转化为数学表达式，从而便于进行定量分析。
常见的数学模型包括周期性模型、非线性模型等，它们能够从不同角度描述音乐节奏的特征。
2.2 分形维数的计算分形维数是衡量分形结构复杂性的一个重要指标。
在音乐节奏分析中，可以通过计算节奏序列的分形维数来评估其分形特征。
分形维数的计算通常采用盒维数法、相关维数法等方法，这些方法能够从不同角度反映节奏序列的自相似性。
分形用途及意义
分形用途及意义分形是指一种通常由几何图形或动态系统生成的特殊图形，具有自相似性质。
这种自相似性使得分形能够在各种尺度上表现出相似的结构和形态。
分形理论不仅在数学和物理学领域中得到了广泛的应用，而且在生物学、地理学、经济学、艺术和文学等领域也得到了广泛的研究和应用。
分形的应用可谓是广泛而深远的，下面我们将对分形的用途及意义进行详细分析。
首先，分形在科学领域中具有重要的应用价值。
在数学和物理学领域，分形理论被广泛应用于描述自然界中的各种复杂现象，如云雾的形态、河流的分布、山脉的形态等。
分形结构能够更好地描述这些复杂现象的特征，并且为科学家提供了一种更为直观和有效的分析方法，有助于深入理解自然界的规律。
此外，分形理论还被广泛应用于信号处理、图像处理、数据压缩等领域，为相关技术的发展做出了重要贡献。
其次，分形对于生物学领域也有着重要的意义。
生物体内的血管、树木的分枝、植物的叶片等都呈现出明显的分形结构，分形理论被应用于分析这些生物体的形态特征和生长规律，为研究生物体的结构与功能提供了新的视角和方法。
分形理论的研究还为生物进化和生物多样性等问题提供了新的启示，为生物学领域的研究开辟了新的方向。
第三，分形在地理学领域也有着重要的应用价值。
地球表面的山脉、河流、湖泊等自然地貌都呈现出分形结构，分形理论被应用于分析地理信息系统中的地形数据、地貌特征等，为地理学家提供了一种更为有效和直观的分析工具，有助于更好地理解地球表面的形态特征和演化规律。
此外，分形还被应用于气候模拟、自然灾害预测等方面，为地理学的研究和实践提供了新的方法和技术支持。
第四，分形在经济学领域也具有重要的意义。
金融市场中的价格波动、股票价格的涨跌、经济指标的变动等都呈现出分形结构，分形理论被应用于分析经济现象的复杂性和随机性，为经济学家提供了一种更为有效和直观的分析工具，有助于更好地理解经济现象的特征和规律。
此外，分形还被应用于金融风险管理、商业预测等方面，为经济学的研究和实践提供了新的方法和技术支持。
几何里的艺术家——分形几何
几何里的艺术家——分形几何分形几何是一个结合了数学和艺术的领域，它研究的是自相似的图案和结构。
分形的概念最早由法国数学家勒谢德雷于20世纪70年代提出。
他认为自然界中存在着许多看似无规律的现象，如云朵的形状、山脉的轮廓、树的分枝等，但这些现象却具有某种规律性。
通过数学的方法，勒谢德雷研究了这些现象背后的规律，并将其命名为“分形”。
分形几何的一个重要特点就是自相似性。
自相似是指一个物体的一部分与整体非常相似。
树的分枝和整棵树的形状非常相似，云朵的一小块与整个云朵的形状也非常相似。
这种自相似性使得分形图案可以无限地重复下去，越往细节处观察，越能发现新的图案。
分形几何的应用非常广泛。
在科学领域，分形几何可以用来研究各种现象，如地理地貌的形成、动植物的生长规律等。
在工程领域，分形几何可以用来设计更高效的网络、建筑和交通系统等。
在艺术领域，分形几何可以用来创作各种艺术作品，如绘画、雕塑和音乐。
分形几何在艺术创作中的应用非常有意思。
艺术家可以利用分形几何的原理，创造出各种奇妙的图案和结构。
他们可以通过数学软件生成分形图案，然后再加以修改和装饰，使其更具艺术效果。
艺术家还可以利用分形几何的自相似性，创作出逐渐放大或缩小的图案，使观众感受到无限的延伸和变化。
分形几何作品可以以各种形式呈现。
在绘画中，艺术家可以使用分形图案来创造各种纹理和形状。
在雕塑中，艺术家可以使用分形几何的结构来构建复杂的雕塑作品。
在音乐中，艺术家可以利用分形几何的规律来创作出奇妙的音乐作品，如迭代曲线和分形序列。
分形几何是一个充满艺术魅力的领域。
它的研究和应用为我们揭示了自然界和人类社会中的规律和美丽。
分形几何作品以其奇妙和无限的形式给人带来了无尽的想象空间，使我们更好地了解和欣赏世界的复杂性和多样性。
数学与音乐的巧妙结合PPT课件
06
结论
数学与音乐结合的意义
数学与音乐在结构上具有共通性
数学和音乐都是抽象的学科，它们在结构、形式和规律上有很多相似之处。通过将数学和音乐结合起来，可以更深入 地理解它们的内在联系和美感。
促进跨学科交流与合作
数学与音乐的结合有助于打破学科壁垒，促进不同领域之间的交流与合作。这种跨学科的研究有助于产生新的思想和 创意，推动科学和艺术的发展。
数学与音乐的巧妙结合ppt课 件
目
CONTENCT
录
• 引言 • 数学与音乐的历史渊源 • 数学在音乐中的应用 • 音乐在数学中的应用 • 数学与音乐的创新结合 • 结论
01
引言
主题简介
数学与音乐
两个看似截然不同的领域，却有着千丝万缕的联系 。
历史背景
自古希腊时期，数学与音乐就开始相互交织，共同 发展。
增强情感体验
音乐可以引发学生的情感共鸣 ，使学生在学习数学的过程中 更好地理解和体验数学的美感 和价值。
音乐在解决数学问题中的应用
音乐与数列
音乐中的音符排列与数列有着密切的联系。通过研究音符排列的规律，可以深入理解数列的概念和应 用。
音乐与几何
音乐的节奏和旋律可以形象地表现几何图形和空间结构。通过音乐的表现方式，可以更直观地理解几 何学中的概念和问题。
音乐与算法
音乐的演奏过程可以看作是一种算法的执行过程。通过研究音乐的演奏方法，可以启发新的算法设计 和实现方式，为解决数学问题提供新的思路和方法。
05
数学与音乐的创新结合
数字音乐的发展
80%
数字音乐制作
利用数字技术进行音乐创作和制 作，包括数字音频工作站、合成 器和采样器等工具。
100%
分形学原理及应用
分形学原理及应用分形学是一种描述自然现象的数学理论，其核心原理是“自相似性”，即自然界中很多事物都有相似的形态和结构，如树叶的分支、云朵的形状、岩石的形态等，这些事物都有很强的自相似性。
通过分形学的研究，可以深入了解事物之间的相互关系，从而推动技术和科学的发展。
分形学的基本原理是一些简单形态的反复复制和缩放，从而形成复杂的图形和结构。
这种缩放可以进行无限次，因此分形图形是无穷大的，即便只看其中的一部分，也可以看到图形中具有类似整体的形态。
对于这些分形图形，我们可以通过数学公式进行描述和模拟，从而进一步了解它们的特点和本质。
分形学在很多领域都有应用，其中最为明显的是在自然科学领域。
例如，通过分形图形的研究，可以深入了解植物的生长规律、地质学中岩石的形成过程、气象学中天气模型等。
此外，分形学还被应用于医学、神经科学、艺术等领域。
在医学领域，分形学被应用于研究人体的生理过程和疾病的形成机理。
例如，通过对心电图的分形分析可以研究心脏的节律和健康状态，通过对癌症断层扫描图像的分形分析可以研究肿瘤的形态和生长规律。
此外，分形学还被用于神经科学中，可以研究神经元的连接方式和神经网络的构造。
在艺术领域，分形学的原理也被用于生成艺术作品。
例如，可以通过分形生成程序来产生各种形态的图形，这些图形可以用于艺术家设计各种艺术形式，如绘画、音乐等。
同时，分形图形也具有美学价值，不少艺术家使用它们来表达自己的情感和思想。
总之，分形学是一种有广泛应用前景的数学理论，在科学、医学、艺术等领域都有着重要的作用。
通过对分形学的深入研究和应用，我们可以进一步了解自然现象和人类社会之间的关系，推进技术和科学的快速发展。
音乐中的分形艺术
分形几何及其在音乐中的应用摘要:本文介绍了分形的基本概念，分形产生的背景。
文章主要就分形在音乐中的应用做了详细的阐述。
人们经过研究发现：巴赫的作品有着数学般的精确，然而，古琴曲《幽兰》有着较巴赫《创意曲》No.1更为精确的数学。
《幽兰》曲早《创意曲》千年而作，况中国与德国又相距万里之遥，且又分属东西方两种不同的文化圈，何以二者都服从分形关系呢？关键字: 分形、音乐、古琴、巴赫分形在英文中为fractal，是美籍法国数学家B.B.Mandelbrot 用拉丁词根拼造成的，原意为“支离破碎，断裂”等。
传统的欧式几何可以解决许许多多的问题，但是自然界还有很多解析几何无法解决的问题，因为它们有着不规则的边缘和形状。
像地上的花草树木、天上的云、海里的浪花等等。
大自然中这样的物体现象举不胜举。
传统的物理学研究之中,牛顿的确定论是运动学的基础,牛顿在表达物体运动时所用的质量、加速度、惯性等概念至今仍在沿用,但是美国气象学家洛伦兹( Loren) 在通过一组微分方程组预报天气时发现: 如果将一次输入所得六位数结果四舍五入并作为第二次的输入值时, 这一步很小的误差却能造成结果的巨大差异, 另外,在1827年就发现的布朗运动其轨迹的复杂性, 岩石在受击破碎时裂纹的复杂性等, 也很难用牛顿的确定论来描述。
在化学领域里,传统化学对一些高分子的复杂空间结构很难描述,化学振动现象在量上的规律等也很难用已有的化学知识来解释。
伴随着多个学科类是问题的出现及研究,在20世纪70年代由美国科学家曼德布罗特提出了分形论。
分形具有重要的应用，下面就古琴音乐中的分形几何阐述分形的重要应用：为了研究音乐的分形几何，首先必须把它加以量化，因此撇开音乐的社会学定义不讲，现在我们从数学上给它下一个定义：音乐是具有不同音高（频率）的音的一种有序排列。
既然如此，那么这种有序的数学表达是什么？随意地敲击琴键不会产生音乐，不同音的有序排列组成了旋律，这种排列是分形的吗？如果答案是肯定的话，那么在一首音乐作品中两相邻音之间的音程 i 与其出现的几率 F 应满足下述关系：F = C/iD 或logF=C’- Dlogi即音程 i 的对数与其出现几率F的对数之间存在线性关系,也就是说以 logF 和 logi 为纵横坐标作图,则各点均应在同一直线上。
分形理论在物理声学和音乐创作中的应用
４ ８
保定学院学报
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２ 世纪７年代 中期 ， ０ Ｏ 加利福尼亚大学 的Ｖ ｓ和Ｃａｋ 利用谱密度分析完成 了一个 比较全面的音乐数学研究 【． ｏｓ ｌ ｅ ｒ ２ １
他们决定研究 音乐 的物理属性 ， 而不只是研究 音乐作品的结构． 这项 工作 是在一个 与扬 声器的 电压有关 的立体声 系统 中 ， 通过分析音频信号来完成 的． 信号 由一个计算机提供 ， 然后计算机再测量谱密度 的特性． 物 理学家 把不 同频率 成分 随机混合 而组 成的 声音 叫噪 声 ， 这些 噪声 随 时间 变化 的轨迹 都 是分形 曲线 ， 谱
相似性则是分形 的精髓． 分形 的创始人曼德勃罗引入分形 的第一篇论文是“ 国的海岸线有 多长” 答案是取决 于你 的尺子． 英 ， 在测量 中 所采用 的标度越小 ， 所测得的海岸线就越长 ， 每一次缩小测量 中所用 的标 度 ， 增加 了测得 的长度． 便 如果海岸线有
一
定的长度￡ 当测量 的标 度趋 于零时 ， ， 则海岸线 的长 度应趋于这个值 ， 但事实并非 如此 ， 当测 量 中所用 的标 度趋 于零时 ， 所测得的海岸线 的长度并不趋于某一 固定值． 这意味着海岸线的长度是测量不 出来的 Ｉ 原 因在于海岸线 ｌ Ｊ ．
度的量化研究 ．
１ 音乐的谱分析
谱密度可 以分析信号或 噪声的随机性 ， 从学术 上说 ， 一个噪声 的谱密 度 【 ｌ １ 是指单位频率 间隔内各频率成分 的
数学的音乐：将数学与音乐相结合,探索数学在音乐创作和演奏中的应用
生成具有自相似性的音乐结构，创造出独特的听觉体验。
计算机生成音乐的数学算法
算法作曲
利用数学算法和计算机程序来生 成音乐，这些算法可以基于概率 模型、神经网络、遗传算法等， 创造出多样化和创新性的音乐作
品。
音乐信息检索
数学算法在音乐信息检索中也发 挥着重要作用，如基于内容的音 乐推荐系统、音乐分类和聚类算 法等，帮助用户更方便地找到自
音乐创作
数学可以为音乐创作提供灵感和结构，例如通过算法生成旋律、节奏 和和声，或者利用数学图形和图像来创作视觉音乐。
音乐演奏
数学也可以帮助音乐家更好地演奏音乐，例如通过数学分析来改善演 奏技巧、提高音乐表现力和感染力。
计算机音乐
计算机音乐制作和数字音频处理是数学在音乐领域中的重要应用之一 ，它们可以通过算法和数学模型来生成、处理和分析音乐信号。
数学的音乐：将数学与音乐相结 合，探索数学在音乐创作和演奏 中的应用
汇报人：XX 2024-01-27
• 引言 • 数学在音乐创作中的应用 • 数学在音乐演奏中的应用 • 数学在音乐分析中的应用 • 数学在音乐教育中的应用 • 结论与展望
01
引言
数学与音乐的关系
数学与音乐有着密切的联系，音乐中 的节奏、旋律、和声等元素都可以通 过数学的方式进行描述和分析。
音色和音响效果的数学描述
通过数学方法，如频谱分析和波形合成等，对音色和音响效果进行 量化和模拟。
音乐风格的数学特征提取
01
音乐风格的数学定义
尝试运用数学中的统计学习和机器学习等方法，对音乐风格进行形式化
定义和分类。
02
音乐特征的数学提取
通过数学算法，如特征提取和降维等，从音乐作品中提取出具有代表性
交响音诗《枫桥夜泊》创作特色
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利用分形曲线作曲方法说明
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1361
13 6 1
曲线纵轴作音阶（不均匀分割）；
产生旋律后再调整．
话说某些
流 行 ＝
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ流行歌曲
通 俗 ＝ 无文化品位！
• 歌词： • 内容大都粗俗颓废；歌词怪诞，语法混乱； 有将各国骂人的话 汇集成歌者。 • 旋律：低糜，消沉，无病呻吟。 • 唱法：气声，一急就数来宝，再急便扭，实在不行就下去握手。 • 文化沙漠之谬种： • 特级教师语，鲁迅语；看交响乐演出露痞子相。
“超女本质就是反个性”
• 随后，魏明伦的矛头又对准了风靡全国的超女。他认为：超 女引起的偶像崇拜，已经超出了娱乐的范畴，这种狂热是不 正常的。其本质是反个性! • 他指出，从文艺复兴到五四运动，先进文化都是从打破偶像 出发的，偶像不是个性解放的象征，恰恰是反个性的。
• “就像科学家不会把爱因斯坦当做偶像一样，现代人需要的 是先驱而不是偶像，一旦人把人当作偶像，它的负面影响就 会出来”。 • 魏明伦坦言，通过一些出版物了解到“超女”一些内幕后， 特别是目睹了成干上万的青少年高举李宇春的照片歇斯底里 地呐喊、兴奋到晕倒的场面之后，他对于超女的质疑有增无 减。 2006年3月8日《燕赵都市报》
巴蜀鬼才魏明伦
• 06年3月6日， “鬼才”魏明伦 语惊四座： • 我们的青少年正在由“审美”转 向“逐臭”，审美观由“蝴蝶化” 转为“苍蝇化”。 • 他分析了青少年当中偶像崇拜的 产生根源，对于去年火遍全国的 “超女”，魏明伦说，自己的态 度已由当初的支持转向质疑。 • “我不是站在超女的对立面，我 只是想在别人都趴在地上膜拜她 们的时候，站在高一点的地方俯 视。”
什么是音 乐 美?
• 哲学家康德把美说成是能引起快感的对象。他说一 对象是美的，不在于对象的存在，而在于自己从对 象中看出了什么。 • 黑格尔则认为美是理念的感性显现，美是理念和体 现理念的实在二者的直接统一。
• 我们倾向于把美规定为对象与主体心理模式的一种 默契与共鸣，而这种模式是由大自然与社会从古至 今长期相互作用所决定的。
《大众科技报》文章
（北京市海淀区 肖群义）
• 我并不是一概地否定流行歌曲，问题在于，目前歌坛的确存 在不少不良的倾向。
• 比如：有的歌词晦涩难懂、文理不通，有的旋律刺耳，不合 乐律。更有甚者，一些歌星一旦成名，便忘乎所以，不知自 爱，把听众歌迷对歌手的喜爱和崇拜，当作自己蔑视道德与 法律约束的资本。
S
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＝ 0 ：白 噪 音
也是最多的一种噪音，而它的波动随时间的变化最
随机，即每一时刻的点与相邻时刻的点之间完全互 不相关。
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白噪声音乐的特色
• 音乐迷茫，缥缈，如练气功时导引入静的音乐。 • 很现代派作曲家，其音乐节律波动在低频时接近 白噪声 。
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• 放浪吸毒者有之，酗酒打架者有之，假唱骗人者有之，偷税 漏税者有之，索取巨额酬金者有之，肆意毁约者有之，临场 拒演者有之……至于生活不检点，台风不严肃，缺乏社会责 任感，艺德艺风俱差的，恐怕就早已不是个别现象了！
媚俗时代的独立乐评人
摘自《南方周末》2001.11.1
• 热爱新音乐的年轻入，恐怕没有几个没读过李皖的(听者有心)、郝舫的
Voos 运 用 分 形 理 论 进 行 的 深 入 研 究
Voos 深入研究了乐曲功率谱密度曲线的维数，发 现凡是模仿粉红色噪声的音乐，其波动曲线的维数 均处于下述范围:
•
1.75 < D < 2.25
Voos 的 作 曲 实践
• 1990年，Voos 以尼罗河水位变化绘成的曲线(维数定然是 处于粉红色噪声范围内),谱了一首曲子,并请了一些专家去欣 赏。 • 专家在事先不知情的情况下一致认为，此曲虽不能与贝多芬 作品比美，但仍不失为一首的道的音乐作品。Voos为此着 实爽了几天。
• 魏明伦表情严肃地指出，在年轻一代人身上有很多倾向是值 得注意的，尤其是“老鼠爱大米”印证了他的担忧——过去 人人喊打的“老鼠”竟然取代“蝴蝶”成为爱情的意象，而 老鼠爱大米的形象从《诗经》开始就与贪婪、肮脏、腐败有 着天然的关系。“我爱你就像老鼠爱大米，这不就像贪官爱 金钱吗?”
• 他据此指出这是一个警号：年轻人的欣赏观正在由“审美” 变为“逐臭”，由“蝴蝶化”变为“苍蝇化”!
不同音乐文化的音调 波动S(f)随频率f 的 变化曲线
(a)巴本茨俾格米曲； (b)日本传统音乐； (c)印度古典拉嘉； (d)古老的俄罗斯民歌；
(e)美国勃鲁斯(怨曲)。
西方音乐的音调波动
(a)中世纪到1300年的优美音乐； (b)贝多芬第三交响曲； (c)德彪西钢琴曲； (d) 斯特劳施的“英雄的生涯”； (e)佩珀中士爵士乐。
分 形 音 乐 的 特 色
Hearing the Mandelbrot Set
• 自相似是分形几何的本质，有人利用这一原理来建构一些带有 自相似小段的合成音乐，主题在带有小调的三翻五次的返复循 环中重复，在节奏方面可以加上一些随机变化; • 它所创造的效果，无论在宏观上还是在微观上都能逼真地模仿 真正的音乐，尽管它听起来不那么宏伟，但至少听起来很有趣。 • 有人甚至将著名的曼德勃罗集转化为音乐，取名为《 倾听曼德 勃罗集 》，他们在曼德勃罗集上扫描，将其得到的数据转换成 钢琴键盘上的音调，从而用音乐的方式表现出曼德勃罗集的结 构，极具音乐表现力。实际上，分形音乐已成为新音乐研究的 最令人兴奋的领域了。
支配这一切的最本质的东西 又 是 什 么 ?
• 一旦这种结构稳定，学习内容就被学 习者“记”住了，学习中的反复就是 为增强这种结构的稳定性。
• 人在成长过程中，受自然与社会的作 用，使生物组织建立起对应不同知识、 不同情感的不同生化结构。 • 这些结构对外来的信息接收有强烈的 选择性，前面所说的相互锁定是指1 ／f 噪声式波动最容易引起“满足情 感”结构的兴奋。
音乐与分形
如果把一首音乐的音符音阶随时间的变化看成一种波动，则音乐 可归入科学中的噪音范畴。
沃斯的开创性研究
• 1990年, Richard Voos 发表了关于音乐功率谱定量研究结 果，他发现: • 任何音乐的功率谱密度与频率的关系皆可表为
S
f
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Voos 结合通信理论将各种音乐按照 的取值分为三种。
音乐量化规则及实例
• 首先选择粉红色噪声的的噪声曲线,再选择适当的量化尺度 对此进行量化成12音阶谱。 • 到这一步乐谱还是相对的,不能最后确定,然后找出每个音阶 积累持续时间,并按长短排序,再根据排序情况确定拟用调式。 • 做这一步的原则是将12音阶合音为7音阶之后，看这种排序 情况符合哪一种调式的音程关系,稳定性关系及倾向性关系。 • 一旦调式确定，实质上就确定了每一量值绝对音阶，即确定 了它在五线谱中或在钢琴键盘上的位臵。
王朔圈定的“四大俗”
• “四大俗” 是流行歌坛的四大天王、成龙的电影、琼瑶言 情电视剧和金庸的武侠小说——此为王朔亲笔圈定的。 • 王朔说：中国资产阶级所能产生的艺术基本上都是腐朽的， 他们可以学习最新的，但精神世界永远浸泡、沉醉在过去 的繁华旧梦之中。上述四大俗天天都在证明这一点。 • 我们自己的那些艺术家呢，莫非他们也在努力证明他们都 是短命的？有时，我真不知道该不该相信进化论。
音乐美是相对的
• 但人们公认的优美音乐何以存在?
• 这是人们“学习”或因某种崇拜或信仰而被“吸引” 的结果，因为“欣赏”音乐就是一种 “学习”过程。 • 不经过学习就可以欣赏的音乐
无 品 位 可 言
支配这一切的最本质的东西 又 是 什 么 ?
• 是由于l／f 噪声式波动能与人的思维生 化活动达到相互锁定，而人的思维生 化活动是自然与社会长期共同作用于 人并在大脑经生化反应后贮存于记忆 元中信息的再现与再反应。 • 人类由生物进化所造就的遗传信息使 脑组织能发展成与环境相匹配的暂稳 生化结构，如人们学习过程中使脑组 织发展成与学习内容相对应的生化结 构。
什么是音乐美
• 鉴此，我们认为音乐之美在于： • 当音乐波动，节奏和扬抑与审美者此时此刻的思绪情感共 鸣时； • 或与由此刺激下而产生的联想等情感反应相互共鸣时； • 或与审美者过去经历或对未来的愿望所决定的固有情感模 式相谐和时； • 音乐美是指当音乐波动，节奏和扬抑代替审美者表达了其 内心思绪时所产生的一种满足。
雪
村
• 雪村借助《东北人都是活雷锋》，推出了一个新概念音乐
评书。他把音乐评书界定在流行音乐与曲艺之间。他说， 《东北人都是活雷锋》是臭豆腐，闻着臭，吃着香。
• 当时为出国没上完北大德语系，国没出成于是就在当时还
不出名的《北京青年报》实习，由于太爱玩和选题古怪， 被领导视为非常不靠谱的一类。正当大家都在想“这孩子 今后可怎么办”时，他用雪村这个笔名开始了创作。
魏明伦（1941年-）四川内江人。 童年失学，九岁唱戏。先后任演 员、导演、编剧。 鄙人从小被梨园始祖摸了“脑 壳”。7岁学戏，9岁登场，台上 扮演生净末丑，台下自修诗词歌 赋，逐渐脱下剧装，爱上秃笔， 由“三尺戏子”转为“一介书
“要特别注意新新人类”
• 在当天的发言中，魏明伦说，我们处于一个“高科技、低人 文”的年代，社会上产生了一些“高经济、低道德”的观象， 要特别注意处于浮华时代的新新人类，因为“检验一个国家、 一个民族有无前途，就是要看年轻一代在想什么做什么”。
雪 村 的 指 责
• “我恨互联网，那是美国的文化侵略。” • “无耻而又伟大”
• 雪村不客气地把麦当娜、杰克逊称为 “ 那些地痞流氓 ”， 并声称：“小伙子舞跳得还行，不过太俗。”
• 他指责麦当娜、杰克逊是垃圾，流行音乐是商业文化，干脆 说，没文化。
雪 村 看传统文化
• 大家都离传统文化太远了，传统文化绝不是拿几个小调，拿 几个驴唇不对马嘴的词就能达到的深度; • 传统文化是种造诣、素质和文明，是种艺术，当它和商业结 合时，很多人滑向了拿中国传统开玩笑的深渊，但这些人都 是过眼云烟。