抽放有效半径的确定

有效抽放半径的确定

预抽煤层瓦斯是防治矿井瓦斯超限和煤与瓦斯突出的重要措施，在一定程度上缓解了煤矿煤层开采的瓦斯问题，是矿井安全生产的重要保证，但如果抽放钻孔参数布置不合理，预抽时间不足等因素，将会影响煤层瓦斯预抽效果，从而起不到应有的瓦斯治理效果。因此，正确掌握煤层瓦斯合理的预抽参数，是煤矿瓦斯抽放的关键。

瓦斯抽放参数中，主要是指不同煤层的抽放半径，而煤层抽放半径与煤层的原始瓦斯压力、瓦斯含量、透气性系数、钻孔瓦斯流量衰减系数、抽放负压以及抽放钻孔直径等众多因素有关。

1抽放半径测算原理

在本次测算原理分析中，拟采用渗流理论的方法确定钻孔的抽放有效半径。

1.1基本假设

① 钻孔周围初始瓦斯压力均匀分布，为煤层原始瓦斯压力，P 0（MPa ） ② 钻孔周围煤层渗透率各向同性，其值为K （达西） ③ 瓦斯解吸过程是等温过程

④ 瓦斯渗流过程质量守恒，且符合达西定律（Darcy Law ）

⑤ 1.2取如图1的宽度取单位宽度在t 度为v r ρ度为：

r

v v r r ∂∂+

)(ρρ元体的瓦斯量为：

dt dr r

dr r M v v r r )).((22∂+

+=ρπ （1 -2）

在dt 时间内流出单元体的瓦斯量为：

dr rr M v r ).(21ρπ= （1-3） 则在dt 时间内，单元体内的瓦斯质量的增量为：

dt r dt dr r

dr r M M M v v v r r r ).(2))

()((212ρπρρπ-∂∂++=-=∆

将上式整理并略去高阶无穷小量，得：

drdt r r r M v v r r ⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎣⎡+∂∂=∆)(1)(2ρρπ （1-4）

从瓦斯含量变化的角度看，dt 时间内单元体的瓦斯质量变化量为： dt t w

rdr M ∂∂=∆)2('πρ （1-5）

式中 ρ––––压力为P 时的瓦斯气体密度；

r,dr ––––为单元体的半径及半径增量；

v r

——瓦斯径向流动的线速度；

t

w

∂∂——单元体瓦斯含量随时间的变化率。 由瓦斯流动过程中的质量守恒有M M ∆=∆'，则联立（1-4）、（1-5）两式得： t w

r r v v r r ∂∂=+∂∂ρρρ)(1)( （1-6） 式（1-6）即为径向流场瓦斯渗流的连续性方程。

根据达西定律（Darcy Law ）有 r k v r ∂∂=ρμ. （1-7） 式中 k ––––钻孔周围煤层渗透率（达西）； μ––––瓦斯动力粘度系数；

r

p ∂∂––––钻孔周围瓦斯沿径向的压力梯度。

根据气体状态方程有：

p p

a a .ρρ= （1-8）

式中 ρ，ρa ––––分别为瓦斯压力为p ，p a 时的瓦斯密度。

根据瓦斯含量方程有：

ρ).1(n c bp

abp W ++= （1-9）

式中 W ––––压力为p 时，煤层的瓦斯含量；

a ––––煤吸附瓦斯的最大值，m 3/t ；

b ––––煤吸附瓦斯的常量；

n ––––单位体积煤中所含游离瓦斯体积或为煤体孔隙率，m 3/m 3；

c ––––煤值指标，c=1—A

d —M ad ；

A d ––––灰份； M ad ––––水份。

将（1-7）、（1-8）、（1-9）式代入（1-6）式并经数学整理可以得到如下微分方程：

t

p r p

r r p p s ∂∂=∂∂+∂∂2222

2)2).(( （1-10）

式中 )

1()2(...2)(2

bp bp p abc n p p a p s +++=λ

（1-11），

式中λ––––煤层透气性系数，p a

k

μλ2=

（1-10）式即为钻孔抽放情况下，钻孔周围瓦斯流动的非稳定径向渗流的动力学控制方程。

1.3模型的定解问题的解析解

要求解（1.2-10）式动力控制方程需要确定方程的定解条件。 该问题的初值条件为： 当t=0(a

当r=a (t>0)时 p=p 1

当r=R 0 (t>0)时 0=∂∂r

p

其中，R 0为钻孔抽放的影响半经；P 1为钻孔的气体压力。 所以该问题的定解问题为

⎪⎪⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎪⎪⎬⎫

>=>=<<=∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂===)

0()0()(2).(0

10002

22220

0t p p t p p R r a p p t

p r p r r p p s R r

a

r t (1-12) (1-12)式所确定的定解方程为二阶二元非线性偏微分方程，要求解该方程是比较困难的，可以通过计算机进行数值法求解，然而我们为了分析钻孔的抽放影

响半径，必须寻求瓦斯压力以及压力梯度r p

∂∂的连续函数表达式，所以不能通过

计算机进行数值求解，由此，必须对模型的定解问题求其解析解。

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛

-+=t s a r erf p p p t r p .2)ln()(),(02120212 (t≥0 r≥a) (1-13) 对于半无限煤层瓦斯径向流场的定解(1-12)作恰当的数学化简和函数变换，可用拉普拉斯变换法求出其解析解为：

式中 erf （u ）为概率积分函数，⎰-

=

u

d u erf e

2

)(ξξπ

(1-14)

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡+++-=

=)1()2(..)(8)(02

0002

000p b p b p abc n a R p p p s s a λ

(1-15)

(1-13)式即为抽放钻孔周围瓦斯压力分布规律表达式。

根据(1-13)式中钻孔周围瓦斯压力分布规律，当r 趋近于R 0时，p 趋近于p 0，

即当r 趋近于R 0时r

p

∂∂趋近于0

由（1-13）、（1-14）、（1-15）式求出r

p

∂∂表达式如下：

e

t s a r

r

t

p a p p r p s ⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛-=∂∂-02ln 2

002

1201

.

2)(π

(1-16) 因此，只要知道了式中的参数，就能确定除其抽放钻孔的有效半径。