人教版 解直角三角形知识点总结与例题

知识点总结：

一、锐角三角函数的定义

锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），（余割csc）都叫做角A的锐角三角函数。

正弦（sin）等于对边比斜边，余弦（cos）等于邻边比斜边

正切（tan）等于对边比邻边；余切（cot）等于邻边比对边

正切与余切互为倒数，互余角的三角函数间的关系。

sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,

tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα.

同角三角函数间的关系

平方关系：tanα=sinα/cosα，sin2α+cos2α=1

·积的关系：

·倒数关系： ta nα·cotα=1 ；sinα·cscα=1；cosα·secα=1 直角三角形ABC中,

角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边

正切等于对边比邻边, 余切等于邻边比对边

三角函数值

（1）特殊角三角函数值

（2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。

（3）④tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，tanA 的值越大。

（i）锐角三角函数值都是正值

（ii）当角度在0°～90°间变化时，

正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）

余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）

正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）

余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）

（iii）当角度在0°≤α≤90°间

变化时，

0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0,

当角度在0°<α<90°间变化时，

tanα>0, cotα>0.

特殊的三角函数值

二、解直角三角形

勾股定理，只适用于直角三角形（外国叫

“毕达哥拉斯定理”）

a^2+b^2=c^2, 其中a和b分别为直角三角形两直角边，c为斜边。

勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。比如：3，4，5。他们分别是3，4和5的倍数。常见的勾股弦数有：3，4，5；6，8，

10；等等.

直角三角形的特征

⑴直角三角形两个锐角互余；

⑵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

⑶直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半；

⑷勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即： 在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，则a 2+b 2=c 2；

⑸勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，则这个三角形是直角三角形，即：在△ABC 中，若a 2+b 2=c 2，则∠C ＝90°；

⑹射影定理：AC 2=

AD AB ,BC 2=BD AB ,CD 2=DA DB ．

锐角三角函数的定义：

如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，

∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a,b,c , 则sinA =a c ,cosA =b c ,tanA =a

b

,

解直角三角形（Rt △ABC ,∠C ＝90°）

⑴三边之间的关系：a 2+b 2=c 2．

⑵两锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝90°．． ⑶边角之间的关系：sinA =

A a c ∠的对边＝斜边,cosA = A b

c

∠的邻边＝斜边．

tanA =

A a A b ∠∠的对边＝的邻边,cotA = A b

A a

∠∠的邻边＝的对边．

⑷解直角三角形中常见类型：

① 知一边一锐角．②已知两边．③解直角三角形的应用．

三、例题讲解： 选择题

1.已知A ∠是锐角，且2

1

sin =A ，那么=A tan （ ） A ．2

2 B.2

3 C ．33 D ．3

2.若把一个直角三角形的两条直角边都扩大n 倍，（n 是大于1的自然数），则两个锐角的三角函数值（ ）

A ．都变大为原来的n 倍

B ．都缩小为原来的n

1

C ．不变化

D ．各个函数值变化不一致

3.如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D.下列条件中，能证明 △ABC 是直角三

角形的有（）

①∠A+∠B=90°②222

AB AC BC

=+③AC CD

AB BD

=④

2

CD AD BD

=⋅

A. ①②③

B. ②③④

C. ①②④

D. ①②③④

4、sinA=，∠A=( )

A.30°

B.60°

C.20°

D.45°

5、如图，在△ABC中，∠C＝90°,若AB＝5，AC＝4，则sin∠B＝

A. 3

5

B.

4

5

C.

3

4

D.

4

3

6.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的坡度i=1：3，则坡角的大小为（）

A.60°

B.30°

C.45°

D.无法确定

填空题

1.如图3，已知在直角三角形ABC中，∠C=90°,AC=53,BC=5,则∠B=________度.

2、课外活动小组测量学校旗杆的高度，如图4，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB在地面上的投影BC长为24米，则旗杆AB的高度是___________米.（保留根号形式）