人教版 解直角三角形知识点总结与例题

知识点总结：
一、锐角三角函数的定义
锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），（余割csc）都叫做角A的锐角三角函数。

正弦（sin）等于对边比斜边，余弦（cos）等于邻边比斜边
正切（tan）等于对边比邻边；余切（cot）等于邻边比对边
正切与余切互为倒数，互余角的三角函数间的关系。

sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,
tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα.
同角三角函数间的关系
平方关系：tanα=sinα/cosα，sin2α+cos2α=1
·积的关系：
·倒数关系： ta nα·cotα=1 ；sinα·cscα=1；cosα·secα=1 直角三角形ABC中,
角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边
正切等于对边比邻边, 余切等于邻边比对边
三角函数值
（1）特殊角三角函数值
（2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。

（3）④tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，tanA 的值越大。

（i）锐角三角函数值都是正值
（ii）当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
（iii）当角度在0°≤α≤90°间
变化时，
0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0,
当角度在0°<α<90°间变化时，
tanα>0, cotα>0.
特殊的三角函数值
二、解直角三角形
勾股定理，只适用于直角三角形（外国叫
“毕达哥拉斯定理”）
a^2+b^2=c^2, 其中a和b分别为直角三角形两直角边，c为斜边。

勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。

比如：3，4，5。

他们分别是3，4和5的倍数。

常见的勾股弦数有：3，4，5；6，8，
10；等等.
直角三角形的特征
⑴直角三角形两个锐角互余；
⑵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
⑶直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半；
⑷勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即： 在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，则a 2+b 2=c 2；
⑸勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，则这个三角形是直角三角形，即：在△ABC 中，若a 2+b 2=c 2，则∠C ＝90°；
⑹射影定理：AC 2=
AD AB ,BC 2=BD AB ,CD 2=DA DB ．
锐角三角函数的定义：
如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，
∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a,b,c , 则sinA =a c ,cosA =b c ,tanA =a
b
,
解直角三角形（Rt △ABC ,∠C ＝90°）
⑴三边之间的关系：a 2+b 2=c 2．
⑵两锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝90°．． ⑶边角之间的关系：sinA =
A a c ∠的对边＝斜边,cosA = A b
c
∠的邻边＝斜边．
tanA =
A a A b ∠∠的对边＝的邻边,cotA = A b
A a
∠∠的邻边＝的对边．
⑷解直角三角形中常见类型：
① 知一边一锐角．②已知两边．③解直角三角形的应用．
三、例题讲解： 选择题
1.已知A ∠是锐角，且2
1
sin =A ，那么=A tan （ ） A ．2
2 B.2
3 C ．33 D ．3
2.若把一个直角三角形的两条直角边都扩大n 倍，（n 是大于1的自然数），则两个锐角的三角函数值（ ）
A ．都变大为原来的n 倍
B ．都缩小为原来的n
1
C ．不变化
D ．各个函数值变化不一致
3.如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D.下列条件中，能证明 △ABC 是直角三
角形的有（）
①∠A+∠B=90°②222
AB AC BC
=+③AC CD
AB BD
=④
2
CD AD BD
=⋅
A. ①②③
B. ②③④
C. ①②④
D. ①②③④
4、sinA=，∠A=( )
A.30°
B.60°
C.20°
D.45°
5、如图，在△ABC中，∠C＝90°,若AB＝5，AC＝4，则sin∠B＝
A. 3
5
B.
4
5
C.
3
4
D.
4
3
6.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的坡度i=1：3，则坡角的大小为（）
A.60°
B.30°
C.45°
D.无法确定
填空题
1.如图3，已知在直角三角形ABC中，∠C=90°,AC=53,BC=5,则∠B=________度.
2、课外活动小组测量学校旗杆的高度，如图4，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB在地面上的投影BC长为24米，则旗杆AB的高度是___________米.（保留根号形式）
3． 一人乘雪橇沿坡比1∶3的斜坡笔直滑下，滑下的距离s （米） 与时间t （秒）间的关系为2102s t t =+，若滑到坡底的时间为4秒， 则坡角的度数是 0， 此人下降的高度为 米。

4、计算：sin30°=_________.
5．（1）002sin30cot 45-= ，
（2）在△ABC 中，∠C ＝90°，如果5tan 12
A =，那么cos
B =
6、在Rt ABC △中，9032C AB BC ∠===°，，，则cos A 的值是
7.已知,如下图，在Rt ABC △中，902,3BAC AC BD ∠=⊥==°，AD BC, 则222AB AC AD ++=
8.如图，一水库迎水坡AB 的坡度1i =︰3，则该坡的坡角α= .
9． 如图：在Rt △ABC 中，090C ∠=，030A ∠=，在AC 上取一点D ，使得CD BC =，
则sin ABD ∠= ．
F
E
D C
B
A
第16题图
D
B
第17题图
解答题
1、计算：221
sin 30cos 45tan 603
︒+︒-︒
2、(8分)已知：∠A 是锐角，且3sin 5
A =，求22tan cot A A +的值
3、(8分)某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点C 处有生命迹象，已知废墟一侧地面上探测点A 、B 相距4m ，探测线与地面的夹角分别是30º和60º，试确定生命所在点C 的深度(结果精确到0.1m ，参考数据：2≈1.414，：3≈1.732)．
4、如图6，厦门海关缉私艇在点0
出发现正北方向海里的A 处有一艘可疑船只，测得它正以60海里/时的速度向正东方向航行，随即调整方向，按北偏东
60°的方向追赶，准备在B 处迎头拦截.
为多少？（保留根号形式） （7分） 5、（本题满分8分）我市准备在相距2千米的A 、B 两工厂间修一条笔直的公路，
但在B 地北偏东60°方向、A 地北偏西45°方向的C 处，有一个半径为0.6千米的住宅小区（见下图），问修筑公路时，这个小区是否有居民需要搬迁？
（参考数据：41.12≈， 73.13≈）
6、. (本题满分8分)
如图，海上有一灯塔P ，在它周围4千米内有暗礁，一艘轮船以每小时9千米的速度由东向西行驶，行至A 处测得灯塔P 在它的北偏西75︒，继续行驶一小时到达B 处，又测得灯塔P 在它的北偏西60︒，试问：若客轮不改变航向，是否有触礁的危险？ （参考数据：2
6115sin +=
︒, 2
63215cos ++=︒,
3
2115tan +=
︒, 3215cot +=︒; 4.12≈,7.13≈,4.26≈）
075
060
A
B
P
北
北
7．(本题满分10分)
如图，格点图中的每个小方格都是边长为1的正方形． 在建立平面直角坐标系后，点A （-2，0），B （2，0）．(下列画图要求均为格点图形且不得超出已给格点图)
（1）画出Rt △ABC ，使得2
1
tan =∠CAB ，并写出C 点坐标___________；
（2）把（1）中Rt △ABC 以点A 为位似中心放大，使放大前后对应边长的比为
第22题图
2：3，•画出△C B A ''的图形;
(3)是否存在点D ，使得在Rt △ACD 中满足2
1
tan =∠CAD ，若存在，请写出D 点坐标___________；若不存在，说明理由.
x
B A y
O。