第三章 直线与方程

k y2 y1 x2 x1
答：成立，因为分子为0，分母不为0，所 以K=0 .
想一想?
2、当直线垂直于x轴，上述公式还适用吗？
y
y2
P2 (x2, y2 )
y1
P1(x1, y1)
o
x
k y2 y1 x2 x1
答：不成立，因为分母为0.
直线的斜率公式
综上所述，我们得到经过两点P1(x1, y1),
解：
直线AB的斜率k AB
2 1 3 (4)
1 7
直线BC的斜率
kBC
1 (1) 40
1 2
直线CA的斜率
kCA
1 2 03
1
数 形 kAB 0 ∴直线AB的倾斜角为锐角，
∵ kBC 0 ∴直线BC的倾斜角为钝角，
∵ kCA 0 ∴直线CA的倾斜角为锐角。
例1 、如图，已知A(3,2)、B(-4,1)、C(0,-1)，求直 线AB、BC、CA的斜率，并判断这 些直线的倾斜角 是什么角？ 变式1：点B的坐标改为（- 4，2），此时直线AB的 斜率和倾斜角分别是多少？
0
y=x在第三象限的图像上，
点B在 y=x在第一象限的
图像的下方，于是可得斜率 A(-m,-m)
yx
B(b,a) x
k AB kOB
即证 a m a .
bm b
例2、在平面直角坐标系中，画出经过原点且
斜率分别为1，-1，2和-3的直线 l1, l2 , l3及l4 。
y
l3
解：（待定系数法）
斜率为0 倾斜角为0 .
变式2：点B的坐标改为（3，1），此时直线AB的 斜率和倾斜角分别是多少？
斜率不存在 倾斜角为 .
2
学以致用
已知 a、b、m 都是正实数，并且 a b，
a 求证：b
m m
a b
.
y
证明 : 如图，在平面直角坐标系内，
设点 A m,m, 点 Bb, a ，
由m>0和0<a<b知点A在
基基准准，，xx轴轴正正向向的与单直位线向l量向与上直方线向l之向间上所方成向的
的角单位叫向做量直之线间的所倾成斜的角角. 叫做直线的倾斜角.
y
倾斜l 角的向量法定义
oP
x
标出下列直线的倾斜角
y
l
p
o x
y
ly
p
o x
o p x
l
y
p
l
o
x
规定：当直线和x轴平行或重合时，它的倾斜角为0.
看图说话:直线倾斜角的范围
第三章 直线与方程
❖ 1、自学课件； ❖ 2、可脱离课本，达到最好的教学效果； ❖ 3、祝各位同学练就融会贯通的能力！
3.1直线的倾斜角与斜率
3.1.1直线的倾斜角和斜率
开场白
论数形结合:
数与形,本是相倚依, 焉能分作两边飞; 数缺形时少直觉, 形少数时难入微; 数形结合百般好, 隔离分家万事休; 切莫忘, 几何代数统一体, 永远联系, 切莫分离.
l1 设直线上另一点A1(1,y)
A3 A1
O A2
lA44 l2
则：k y 0 1 y 1
1 0
x 所以过原点和A1 (1,1) 画直线即可
说明：也可设其它特殊点
反思小结，画龙点睛
同学们这节课有何收获？
联 倾斜角与斜率 姻 关 系 形与数的联姻
结束语：
华罗庚论数形结合:
数与形,本是相倚依, 焉能分作两边飞; 数数缺缺形形时时少少直直觉觉, , 形形少少数数时时难难入入微微;; 数形结合百般好, 隔离分家万事休; 切莫忘, 几何代数统一体, 永远联系, 切莫分离.
y
P1(x1, y1)
y P1(x1, y1)
P2(x2, y2 )
o
x
(3)
P2 (x2, y2 )
o (4)
x
k tan y1 y2 y2 y1 x1 x2 x2 x1
想一想?
1、当直线平行于x轴，上述公式还适用吗？
y
P1(x1, y1)
P2 (x2, y2 )
x1 o x2 x
斜拉桥 楼 梯
仁
皇
坡
度阁 效
果
图
在生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”
表示倾斜面的“坡度”（倾斜程度），即
D
C升
高
量
A 前进量
B
升高量
坡度= 前进量
设直线的倾斜程度为 k
kAC
BC AB
tan
kAD
BD AB
tan
直线的斜率
我们把一条直线的倾斜角 a 的正切值叫做
这条直线的斜率. 常用小写字母 k 表示,即
a
0,
2
2
,
=0 k =0
0
＜
＜
2
k>0
递增
2
k不存在
2 k<0 递增
探究二 斜率公式
已知直线上两点：P1（x1，y1）， P2（x2，y2），
如何求斜率k tan, (其中x1 x2 ) ？
y
P1P2 (x2 x1, y2 y1)
OP P2(x2, y2) P1P2 (x2 x1, y2 y1)
P2 (x2, y2 ) (x1 x2 )的直线的斜率公式：
和谐 k y2 y1 (或k y1 y2 )
x2 x1
x1 x2
P2 P1
P1 P2
倾斜角 联姻 斜率
(形)
(数)
学以致用，举一反三
例1 、如图，已知A(3,2)、B(-4,1)、C(0,-1)，求
直线AB、BC、CA的斜率，并判断这 些直线 的倾斜角是什么角？
华罗庚
玩玩看
小游戏：黄金矿工
想想看
游戏成功过关的秘诀是什么？
提提问问12：：在那平么面过直一角点坐可标以系画内多，少如条何直确线定？一条 直线呢？
y
l
Q P
o
x
提提问问43：：过这一些点直再线加有什何么异条同件点就？可以确定直线？
直线倾斜角的定义：
当当直直线线l l与与xx轴轴相相交交时时，，我我们们取取xx轴轴作作为为
k tan
思考：（1）是否所有的直线都有倾斜角？
（2）是否所有的直线都有斜率？
kБайду номын сангаас
倾斜角为 的直线,斜率不存在.
2
o
a
探究一 倾斜角与斜率的关系
完成下表，并描点.
0
6
4
3
2
23
3 5
46
k
0
3 3
1
3
不存
在 3
1
3 3
k
k tan
0,
2
2
,
0
2
a
倾斜角与斜率的关系
k
k tan
0
/2
[0, )
辨一辨:你认为下列说法对吗？ 1、在平面直角坐标系内，每一条直线都有
一个确定的倾斜角与它对应。 对
2、在平面直角坐标系内，每一个倾斜角都对
应于唯一的一条直线。
错
结论:在平面直角坐标系内，
一点+倾斜角 确定一条直线
倾斜程度 倾斜角 (形)
生活中有关倾斜程度的问题
飞机起飞 炮 弹 射 击
P
P1(x1, y1)
根据正切函数的定义：
o
x
y y
tan 2 1
锐角
x2 x1
y
OP P1P2 (x2 x1, y2 y1)
P2 (x2, y2 )
根据正切函数的定义：
P
o
钝角
P1(x1, y1)
x
k tan y2 y1
x2 x1
思考：当 p1 p2 的位置对调时，k 值又如何 呢？