高级中学立体几何证明方法及例题
高考数学-立体几何证明方法总结及经典3例
高考数学-立体几何证明方法总结及经典3例例1：平行类证明【平行类证明方法总结】线线平行的证明方法：三线间平行的传递性，三角形中位线，平行四边形对边平行且相等，梯形的上下底平行，棱柱圆柱的侧棱平行且相等，两平行面被第三面所截交线平行，成比例（相似）证平行等等。
线面平行的证明方法：面外线与面内线平行，两面平行则面内一线与另面平行等等面面平行的证明方法：面内相交线与另面平行则面面平行，三面间平行的传递性等等。
【例】正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP=DQ.求证：PQ∥面BCE.证法一：如图（1），作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N,连接MN,因为面ABCD∩面ABEF=AB,则AE=DB. 又∵AP=DQ, ∴PE=QB.又∵PM ∥AB ∥QN, ∴AE PE AB PM =,BD BQDC QN =. ∴DCQNAB PM =. ∴PM ∥QN.四边形PMNQ 为平行四边形. ∴PQ ∥MN.又∵MN ⊂面BCE ，PQ ⊄面BCE ， ∴PQ ∥面BCE. 证法二：如图(2)，连结AQ 并延长交BC 或BC 的延长线于点K ，连结EK. ∵AD ∥BC, ∴QKAQQB DQ =.又∵正方形ABCD 与正方形ABEF 有公共边AB ，且AP=DQ ， ∴PEAPQK AQ =.则PQ ∥EK.∴EK ⊂面BCE ，PQ ⊄面BCE. ∴PQ ∥面BCE. 例2：垂直类证明 【垂直类证明方法总结】证垂直的几种方法：勾股定理、等腰（边）三角形三线合一、菱形对角线、矩形（含正方形）、90o 、相似三角形（与直角三角形）、圆直径对的圆周角、平行线、射影定理（三垂线定理）、线面垂直、面面垂直等【例】如图所示，ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面分别交SB SC SD ，，于E F G ，，． 求证：AE SB ⊥，AG SD ⊥．证明：∵SA ⊥平面ABCD ，∴SA BC ⊥． ∵AB BC ⊥， ∴BC ⊥平面SAB ． 又∵AE ⊂平面SAB ， ∴BC AE ⊥． ∵SC ⊥平面AEFG ， ∴SC AE ⊥． ∴AE ⊥平面SBC ． ∴AE SB ⊥．同理证AG SD ⊥． 例3：向量法解立体几何类 【量法解立体几何类公式总结】 基本公式若),,(),,,(222111z y x b z y x a ==，则①212121z z y y x x b a ++=⋅ ；②222222212121||,||z y x b z y x a ++=++=；③212121z z y y x x b a ++=⋅④222222212121212121,cos z y x z y x z z y y x x b a ++⋅++++>=<夹角公式：||||cos 2121n n n n ⋅=θ距离公式：||||n n AB CD d == 【例】已知两个正四棱锥P －ABCD 与Q －ABCD 的高都为2，AB ＝4． （1）证明：PQ ⊥平面ABCD ； （2）求异面直线AQ 与PB 所成的角； （3）求点P 到面QAD 的距离．简解：（1）略；（2）由题设知，ABCD 是正方形，且AC ⊥BD ．由（1），PQ ⊥平面ABCD ，故可分别以直线CA DB QP ，，为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系（如图1），易得(2202)(0222)AQ PB =--=-，，，，，，1cos 3AQ PB AQ PB AQ PB<>==，． 所求异面直线所成的角是1arccos 3．（3）由（2）知，点(022(22220)(004)D AD PQ -=--=-，，，，，，，，设n =（x ，y ，z ）是平面QAD 的一个法向量，则00AQ AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，n n 得200x z x y +=+=⎪⎩，，取x ＝1，得(112)-，n =．点P 到平面QAD 的距离22PQ d ==n n．立体几何证明经典习题平行题目1、P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点.求证：PC∥面BDQ.2、如图（1），在直角梯形P1DCB中，P1D//BC，CD⊥P1D，且P1D=8，BC=4，DC=46，A是P1D的中点，沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置（如图（2）），使二面角P—CD—B成45°，设E、F分别是线段AB、PD的中点.求证：AF//平面PEC；垂直题目3、如图2，P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．求证：BC⊥平面PAC．4、如图2，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD向量法解立体几何题目5、在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，EA⊥EB1．已知2AB=，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝3π．求二面角A－EB1－A1的平面角的正切值．立体几何证明经典习题答案1、证明：如图，连结AC交BD于点O.∵ABCD是平行四边形，∴A O=O C.连结O Q，则O Q在平面BDQ内，且O Q是△APC的中位线，∴PC∥O Q.∵PC在平面BDQ外，∴PC∥平面BDQ.2、证明：如图，设PC中点为G，连结FG，1CD=AE，则FG//CD//AE，且FG=2∴四边形AEGF是平行四边形∴AF//EG，又∵AF⊄平面PEC，EG⊂平面PEC，∴AF//平面PEC3、证明：在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D．∵平面PAC⊥平面PBC，且两平面交于PC，AD⊂平面PAC，且AD⊥PC，∴AD⊥平面PBC．又∵BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC．∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA ⊥BC ． ∵AD ∩PA =A ， ∴BC ⊥平面PAC ．4、证明：取AB 的中点Ｆ，连结CF ，DF ． ∵AC BC =，∴CF AB ⊥．∵AD BD =，（等腰三角形三线合一） ∴DF AB ⊥． 又CFDF F =，∴AB ⊥平面CDF ． ∵CD ⊂平面CDF ，∴CD AB ⊥． 又CD BE ⊥，BEAB B =，∴CD ⊥平面ABE ，CD AH ⊥． ∵AH CD ⊥，AH BE ⊥， CD BE E =，∴ AH ⊥平面BCD ．5、以B 为原点，分别以BB 1、BA 所在直线为y 轴、z 轴，过B 点垂直于平面AB 1的直线为x 轴建立空间直角坐标系．由于BC ＝1，BB 1＝2，AB BCC 1＝3π，∴在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有B （０，０，０）、AB 1（０，2，０）、102c ⎫-⎪⎪⎝⎭，、1302C ⎫⎪⎪⎝⎭，，．设0E a ⎫⎪⎪⎝⎭，且1322a -<<， 由EA ⊥EB 1，得10EA EB =，即3202a a ⎛⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎝⎭，， 233(2)2044a a a a =+-=-+=，∴13022a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 即12a =或32a =（舍去）．故1022E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，． 由已知有1EA EB ⊥，111B A EB ⊥，故二面角A －EB 1－A 1的平面角θ的大小为向量11B A 与EA 的夹角．因11(00B A BA ==，122EA ⎛=-- ⎝ 故11112cos 3EA B A EA B A θ==，即tan θ=。
必修2立体几何证明题详解（五篇）
必修2立体几何证明题详解（五篇）第一篇：必修2 立体几何证明题详解迎接新的挑战!必修2 证明题一．解答题（共3小题）1．（2006•北京）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点．（1）求证：PB∥平面AEC；（2）求二面角E﹣AC﹣B的大小．考点：三垂线定理；直线与平面平行的判定。
分析：（1）欲证PB∥平面AEC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PB与平面AEC内一直线平行即可，连BD交AC于点O，连EO，则EO是△PDB的中位线则EO∥PB，满足条件；（2）取AD的中点F，连EF，FO，根据定义可知∠EOF是二面角E﹣AC﹣D的平面角，在△EOF中求出此角，而二面角E﹣AC﹣B与二面角E﹣AC﹣D互补．解答：解：（1）由PA⊥平面ABCD可得PAAC又AB⊥AC，所以AC⊥平面PAB，所以AC⊥PB连BD交AC于点O，连EO，则EO是△PDB的中位线，∴EO∥PB ∴PB∥平面AEC（2）取AD的中点F，连EF，FO，则EF是△PAD的中位线，∴EF∥PA又PA⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD同理FO是△ADC的中位线，∴FO∥AB，FO⊥AC由三垂线定理可知∠EOF是二面角E﹣AC﹣D的平面角．又FO=AB=PA=EF∴∠EOF=45°而二面角E﹣AC﹣B与二面角E﹣AC﹣D互补，故所求二面角E﹣AC﹣B的大小为135°．点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及二面角等有关知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．2．如图，已知∠BAC在平面α内，P∉α，∠PAB=∠PAC，求证：点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上．考点：三垂线定理。
专题：作图题；证明题。
分析：作PO⊥α，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为O，E，F，连接OE，OF，OA，证明Rt△AOE≌Rt△AOF，然后得到点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上．解答：证明：作PO⊥α，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为O，E，F，连接OE，OF，OA，∵⇒Rt△PAE≌Rt△PAF⇒AE=AF，∵，又∵AB⊥PE，∴AB⊥平面PEO，∴AB⊥OE，同理AC⊥OF．欢迎加入高一数学组联系电话:***迎接新的挑战!必修2 证明题在Rt△AOE和Rt△AOF，AE=AF，OA=OA，∴Rt△AOE≌Rt△AOF，∴∠EAO=∠FAO，即点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上．点评：本题考查三垂线定理，考查学生逻辑思维能力，是基础题．3．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AA1=3．（I）求证：A1C⊥BD；（II）求直线A1C与侧面BB1C1C所成的角的正切值；（III）求二面角B1﹣CD﹣B的正切值．考点：三垂线定理；直线与平面所成的角；与二面角有关的立体几何综合题。
高中数学立体几何证明题汇总
高中数学立体几何证明题汇总立体几何常考证明题1.已知四边形ABCD是空间四边形，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点。
1）证明EFGH是平行四边形。
2）已知BD=23，AC=2，EG=2，求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。
2.如图，已知空间四边形ABCD中，BC=AC,AD=BD，E 是AB的中点。
1）证明AB垂直于平面CDE。
2）证明平面CDE垂直于平面ABC。
3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中点。
证明A1C平行于平面BDE。
4.已知三角形ABC中∠ACB=90，SA垂直于面ABC，AD垂直于SC。
证明AD垂直于面SBC。
5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，O是底面ABCD对角线的交点。
1）证明C1O平行于面AB1D1.2）证明AC1垂直于面AB1D1.6.正方体ABCD-A1B1C1D1中。
1）证明AC垂直于平面B1D1D。
2）证明BD1垂直于平面ACB1.7.正方体ABCD-A1B1C1D1中。
1）证明平面A1BD平行于平面B1DC。
2）已知E、F分别是AA1、CC1的中点，证明平面EB1D1平行于平面FBD。
8.四面体ABCD中，AC=BD，E、F分别为AD、BC的中点，且EF=AC/2，∠XXX。
证明BD垂直于平面ACD。
9.如图P是△ABC所在平面外一点，PA=PB，CB垂直于平面PAB，M是PC的中点，N是AB上的点，AN=3NB。
1）证明XXX垂直于AB。
2）当∠APB=90，AB=2BC=4时，求MN的长度。
10.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是AB、AD、C1D1的中点。
证明平面D1EF平行于平面BDG。
11.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中点。
1）证明A1C平行于平面BDE。
2）证明平面A1AC垂直于平面BDE。
12、已知矩形ABCD，PA垂直于平面ABCD，AB=2，PA=AD=4，E为BC的中点。
高级中学立体几何证明方法及其例题
由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。
1. 线线、线面、面面平行关系的转化：αβαγβγ//,//I I ==⇒⎫⎬⎭a b a b面面平行性质⎫⎬⎪⎭⎪ 面面平行性质αγβγαβ//////⎫⎬⎭⇒2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：a a OA a PO a PO a AO⊂⊥⇒⊥⊥⇒⊥αα在内射影则面面垂直判定 线面垂直定义l a l a⊥⊂⇒⊥⎫⎬⎭αα面面垂直性质，推论2αβαββα⊥=⊂⊥⇒⊥⎫⎬⎪⎭⎪I b a a b a , αγβγαβγ⊥⊥=⇒⊥⎫⎬⎪⎭⎪I a a面面垂直定义αβαβαβI =--⇒⊥⎫⎬⎭l l ，且二面角成直二面角线线∥线面⊥面面∥线面垂直判定2面面平行判定2线面垂直性质2面面平行性质3a bab//⊥⇒⊥⎫⎬⎭ααaba b⊥⊥⇒⎫⎬⎭αα//aa⊥⊥⇒⎫⎬⎭αβαβ//αβαβ//aa⊥⊥⎫⎬⎭a4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。
”5. 唯一性结论：1. 三类角的定义：（1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90°（2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90°（3）二面角：二面角的平面角θ，0°＜θ≤180°2. 三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算”即：（1）找出或作出有关的角；（2）证明其符合定义；（3）指出所求作的角；（4）计算大小。
【典型例题】（一）与角有关的问题例1. （1）如图，E、F分别为三棱锥P—ABC的棱AP、BC的中点，PC＝10，AB＝6，EF＝7，则异面直线AB与PC所成的角为（）A. 60°B. 45°C. 30°D. 120°解：取AC中点G，连结EG、FG，则EG PC FG AB∥∥，==1212∴∠EGF为AB与PC所成的角在△EGF中，由余弦定理，cos∠··EGFEG FG EFEG FG=+-=+-⨯⨯=-222222253725312∴AB与PC所成的角为180°－120°＝60°∴选A（2）已知正四棱锥以棱长为1的正方体的某个面为底面，且与该正方体有相同的全面积，则这一正四棱锥的侧棱与底面所成的角的余弦值为（）A B C D....131336332626解：设正四棱锥的高为，斜高为h h h'=+⎛⎝⎫⎭⎪2212由题意：1241121612222⨯⨯+⎛⎝⎫⎭⎪⎛⎝⎫⎭⎪⎪+=⨯h∴h26=∴侧棱长PB h OB=+=+⎛⎝⎫⎭⎪=222622262∴∠cos PBOOBPB===222621313∴选A（）如图，在正方体中，为上的一个定点，为3111111ABCD A B C D P A D Q-A B E F CD EF11上的任意一点，、为上任意两点，且的长为定值，有下列命题：①点P到平面QEF的距离为定值；②直线PQ与平面PEF所成的角为定值；③二面角P—EF—Q的大小为定值；④三棱锥P—QEF的体积为定值其中正确命题的序号是___________。
完整)高中立体几何证明平行的专题
完整)高中立体几何证明平行的专题在此文章中，存在一些格式错误和明显有问题的段落，需要进行修改和删除。
修改后的文章如下：立体几何——平行的证明例1】如图，四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，点E、F分别为棱AB、PD的中点。
求证：AF∥平面PCE。
分析：取PC的中点G，连EG，FG，则易证AEGF是平行四边形。
例2】如图，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=1+3，过A作AE⊥CD，垂足为E，G、F分别为AD、CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC。
Ⅰ）求证：BC⊥面CDE；（Ⅱ）求证：FG∥面BCD。
分析：取DB的中点H，连GH、HC，则易证FGHC是平行四边形。
例3】已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，D、E、F分别为A1A、C1C、AB的中点，M为BE的中点，AC⊥BE。
求证：（Ⅰ）C1D⊥BC；（Ⅱ）C1D∥平面B1FM。
分析：连EA，易证C1EAD是平行四边形，于是MF//EA。
例4】如图所示，四棱锥P-ABCD底面是直角梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，E为PC的中点。
证明：EB//平面PAD。
分析：取PD的中点F，连EF、AF，则易证ABEF是平行四边形。
例5】如图，已知E、F、G、M分别是四面体的棱AD、CD、BD、BC的中点，求证：AM∥平面EFG。
分析：连MD交GF于H，易证EH是△AMD的中位线。
例6】如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，E是PC的中点。
求证：PA∥平面BDE。
AEBGMFCD例7】如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，D为AC的中点。
求证：AB1//面BDC1.分析：连B1C交BC1于点E，易证ED是△B1AC的中位线。
例8】如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90，BC//AD，BE//AF，G、H分别为FA、FD的中点。
Ⅰ）证明：四边形BCHG是平行四边形；Ⅱ）C、D、F、E四点是否共面？为什么？例9】正方体ABCD-A1B1C1D1.例10：在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB=DC，E为PD中点。
高三精选立体几何大题30题(含详细解答)
A BC第1题图ABCD第1题图立体几何大题1．如下图，一个等腰直角三角形的硬纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，CD是斜边上的高沿CD 把△ABC折成直二面角．（1）如果你手中只有一把能度量长度的直尺，应该如何确定A，B的位置，使二面角A－CD－B是直二面角？证明你的结论．（2）试在平面ABC上确定一个P，使DP与平面ABC内任意一条直线都垂直，证明你的结论．（3）如果在折成的三棱锥内有一个小球，求出小球半径的最大值．2．如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为3，侧棱长为4，连结A1B过A作AF⊥A1B垂足为F，且AF的延长线交B1B于E。
（Ⅰ）求证：D1B⊥平面AEC；（Ⅱ）求三棱锥B—AEC的体积；（Ⅲ）求二面角B—AE—C的大小的正弦值.3．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为1，点M在BC上，△AMC1是以M为直角顶点的等腰直角三角形.（I）求证：点M为BC的中点；（Ⅱ）求点B到平面AMC1的距离；（Ⅲ）求二面角M—AC1—B 的正切值. 4．如图，已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2，AB=1，F是CD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积；（Ⅲ）求二面角C-BE-D 的正切值．5．已知：ABCD是矩形，设PA=a，PA⊥平面ABCD.M、N分别是AB、PC的中点.（Ⅰ）求证：MN⊥AB；（Ⅱ）若PD=AB，且平面MND⊥平面PCD，求二面角P—CD—A的大小；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求三棱锥D—AMN的体积.6．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、M、N分别为棱DD1、AB、BC的中点。
（I）求二面角B1—MN—B的正切值；（II）证明：PB⊥平面MNB1；（III）画出一个正方体表面展开图，使其满足“有4个正方形面相连成一个长方形”的条件，并求出展开图中P、B两点间的距离。
高中数学立体几何常考证明题汇总
新课标立体几何常考证明题汇总令狐采学1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H分别是边,,,AB BC CD DA 的中点（1） 求证：EFGH 是平行四边形 （2）若BD=AC=2，EG=2。
求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。
证明：在ABD ∆中，∵,E H 分别是,AB AD 的中点∴1//,2EH BD EH BD = 同理，1//,2FG BD FG BD =∴//,EH FG EH FG =∴四边形EFGH 是平行四边形。
(2) 90° 30 °考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角 2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。
求证：（1）⊥AB 平面CDE;（2）平面CDE ⊥平面ABC 。
证明：（1）BC AC CE AB AE BE =⎫⇒⊥⎬=⎭同理，AD BD DE AB AE BE =⎫⇒⊥⎬=⎭又∵CE DE E ⋂=∴AB ⊥平面CDE （2）由（1）有AB ⊥平面CDE又∵AB ⊆平面ABC ，∴平面CDE ⊥平面ABCAH GF E D CB AEDBC考点：线面垂直，面面垂直的判定3、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点， 求证：1//A C 平面BDE 。
证明：连接AC 交BD 于O ，连接EO ， ∵E 为1AA 的中点，O 为AC 的中点 ∴EO 为三角形1A AC 的中位线∴1//EO AC 又EO 在平面BDE 内，1A C 在平面BDE 外 ∴1//A C 平面BDE 。
考点：线面平行的判定4、已知ABC ∆中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ． 证明：90ACB ∠=∵°BC AC ∴⊥又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥ BC ∴⊥面SAC又,SC AD SC BC C ⊥⋂=AD ∴⊥面SBC 考点：线面垂直的判定5、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点.求证：(１)C1O∥面11AB D ；(2)1AC ⊥面11AB D ． 证明：（1）连结11A C ，设11111A CB D O ⋂=，连结1AO∵1111ABCD A B C D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形 ∴A1C1∥AC 且 11A C AC =又1,O O 分别是11,A C AC 的中点，∴O1C1∥AO 且11O C AO =11AOC O ∴是平行四边形 111,C O AO AO ∴⊂∥面11AB D ，1C O ⊄面11AB D ∴C1O∥面11AB D（2）1CC ⊥面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥又1111A C B D ⊥∵， 1111B D AC C ∴⊥面111AC B D ⊥即 同理可证11A C AD ⊥， 又1111D B AD D ⋂=AED 1CB 1DCBASDCB AD 1ODBA C 1B 1A 1C∴1A C ⊥面11AB D考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定 6、正方体''''ABCD A B C D -中，求证：（1）''AC B D DB ⊥平面；（2）''BD ACB ⊥平面.考点：线面垂直的判定7、正方体ABCD —A1B1C1D1中．(1)求证：平面B1D1C ；(2)若E 、F 分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD ．证明：(1)由B1B∥DD1，得四边形BB1D1D 是平行四边形，∴B1D1∥BD，又BD 平面B1D1C ，B1D1⊂平面B1D1C ，∴BD∥平面B1D1C ． 同理A1D∥平面B1D1C ．而A1D∩BD＝D ，∴平面A1BD∥平面B1CD ．(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．取BB1中点G ，∴AE∥B1G． 从而得B1E∥AG，同理GF∥AD．∴AG∥DF．∴B1E∥DF．∴DF∥平面EB1D1．∴平面EB1D1∥平面FBD ．考点：线面平行的判定（利用平行四边形）8、四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且22EF AC =， A 1AB 1C 1C D 1D GE FNMPCB A90BDC ∠=，求证：BD ⊥平面ACD证明：取CD 的中点G ，连结,EG FG ，∵,E F 分别为,AD BC 的中点，∴EG 12//AC =12//FG BD =，又,AC BD =∴12FG AC =，∴在EFG ∆中，222212EG FG AC EF +== ∴EG FG ⊥，∴BD AC ⊥，又90BDC ∠=，即BD CD ⊥，AC CD C ⋂= ∴BD ⊥平面ACD考点：线面垂直的判定,三角形中位线，构造直角三角形9、如图P 是ABC ∆所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，N 是AB 上的点，3AN NB = （1）求证：MN AB ⊥；（2）当90APB ∠=，24AB BC ==时，求MN 的长。
高中立体几何证明题
高中立体几何证明题一、线面平行的证明题1已知正方体ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}，E，F分别是AB，BC的中点，求证：EF∥平面A_{1}C_{1}D。
解析1. 连接AC。
- 在 ABC中，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF∥ AC。
2. 正方体ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中：- AC∥ A_{1}C_{1}。
- 由EF∥ AC和AC∥ A_{1}C_{1}可得EF∥ A_{1}C_{1}。
- 又A_{1}C_{1}⊂平面A_{1}C_{1}D，EFnot⊂平面A_{1}C_{1}D。
- 根据线面平行的判定定理，所以EF∥平面A_{1}C_{1}D。
题2在三棱柱ABC - A_{1}B_{1}C_{1}中，D是AB的中点，求证：AC_{1}∥平面CDB_{1}。
解析1. 连接BC_{1}，交B_{1}C于点E。
- 在三棱柱ABC - A_{1}B_{1}C_{1}中，E为BC_{1}的中点。
2. 因为D是AB的中点：- 所以在 ABC_{1}中，DE∥ AC_{1}。
- 又DE⊂平面CDB_{1}，AC_{1}not⊂平面CDB_{1}。
- 根据线面平行的判定定理，可得AC_{1}∥平面CDB_{1}。
二、线面垂直的证明题3在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD是正方形，PA = PB = PC = PD，求证：PA⊥平面ABCD。
解析1. 连接AC，BD交于点O，连接PO。
- 因为底面ABCD是正方形，所以O为AC，BD中点。
- 又PA = PC，PB = PD，根据等腰三角形三线合一的性质：- 可得PO⊥ AC，PO⊥ BD。
- 而AC∩ BD = O，AC⊂平面ABCD，BD⊂平面ABCD。
- 根据直线与平面垂直的判定定理，所以PO⊥平面ABCD。
- 又PA = PB = PC = PD，AO = BO = CO = DO，所以 PAO≅ PBO≅ PCO ≅ PDO。
完整版高一数学常考立体几何证明的题目及答案
实用标准文案ABCD BDBC?AC,AD?EAB1、如图，已知空间四边形中，的中点。
是，ABC?CDE?AB A 。
2（求证：1））平面平面平面CDE; （EBCD AADABCD?ABCE是中，2、如图，在正方体的中点，11111AD//ACBDE1平面求证：。
1CB1EADo90??ACB SC?ADABCSA?ABC?,中、已知,,面3BCS SBC?AD面求证：．DBA C DABCD?ABC ABCDO.，是底、已知正方体对角线的交点41111D1C1ACABDD?AB(2)；O∥面)．求证：(１ C面1B111111A1 D C OBA'D'C'ABCD?A'B中，求证：5、正方体DB''DAC?平面B；）（1'ACB?平面'BD. （2）DC中．、正方体ABCD—AB61111DC11；BD(1)求证：平面A∥平面BDC111BA11 ，、EF分别是AACC．FBD∥平面的中点，求证：平面EBD若(2)F1111EG C D精彩文档A B 实用标准文案2o AC?EF90??BDCBC,FBD,E,ADAC?ABCD，的中点，中，，分别为且7、四面体2ACD?BD求证：平面ABCD?ABCDCDDEF GADABF E∥平面、、8、如图，在正方体、求证：平面分别是的中点、中，.1111111BDG.AACDABCD?ABE中，、如图，在正方体的中点是.911111//CABDE（1）求证：平面；1?ACABDE（2）求证：平面平面.1BCABCDABCDE4?AB?2PA?PA?AD为，、已知是矩形，，，平面的中点．10PAEDE?；1）求证：平面（PAEDP（与平面2）求直线所成的角．060?DAB?a ABCDP?ABCD，的菱且边长为中，底面形是11、如图，在四棱锥ABCDPADPAD垂直于底面是等边三角形，且平面侧面．?GBGPADAD为的中点，求证：平面（1）若；PBAD?（．2）求证：AOCCABCD??ABCDM，求证：O交BD中，为于点的中点，AC在正方体平面MBD．12、如图1,111111ADAC，＝BD，BC－三图13、如２，在棱锥ＡBCD中，＝ AH⊥BE．于Ｈ作足为，⊥作BECDＥ垂，⊥：求证AH平．面BCD精彩文档．实用标准文案求证平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形．14．(12分). EFGHEFGH，AB∥截面已知：如图，三棱锥S—ABC，SC∥截面是平行四边形．求证：截面EFGH2＝＝AN和AC上的点，AMNABCD的棱长为a，M、分别为AB已知正方体，如图．a 15．(12分)ABCD —1111113；BBCC(1)求证：MN∥面11MN(2)求的长．分，Q＝ACB120°，PEB＝BC＝＝2DC＝2，∠ACEBDC)(2009·16．(12分浙江高考)如图，⊥平面ABC，∥DC，AB的中点．别为AE，；PQ证明：∥平面ACD(1) 所成角的正弦值．AD与平面ABE(2)求的中点．BDF、分别是AB、EBDADCDCBABCD)(1217．分如图，在四面体中，＝，⊥，点.ACDEF(1)求证：直线∥面精彩文档．实用标准文案BCDEFC⊥平面（2）平面.ABCD BD??BCAC,ADEAB是，1、如图，已知空间四边形的中点。
高中数学中的立体几何证明案例详细步骤与演绎
高中数学中的立体几何证明案例详细步骤与演绎立体几何是数学中的一个重要分支，它研究的是三维空间中的图形和变换关系。
在高中数学中，立体几何的证明是一个重要的部分，它既考察了学生对几何图形性质的理解，同时也培养了学生的逻辑推理和分析问题的能力。
本文将以几个典型的立体几何证明案例为例，详细介绍其步骤与演绎。
一、案例1：平行四边形的性质证明平行四边形是一种特殊的四边形，它的对边是平行的。
我们来证明平行四边形的一个性质：对角线互相平分。
证明过程如下：1. 过平行四边形ABCD的顶点A和C分别作BD和AC的垂线，设分别交于点E和F；2. 由平行线性质，得到AE // CF和DE // AF；3. 观察△ADE和△CFE，可以发现它们是全等三角形；4. 因此，AE = CF，DE = AF，即对角线互相平分。
二、案例2：立体图形的相似性质证明相似是几何中一个重要的概念，它描述了两个图形在形状上的相似程度。
我们来证明两个立体图形相似的性质：对应边成比例。
证明过程如下：1. 设立体图形A和B，它们的形状相似，记作A ~ B；2. 假设A的一个边长为a，B对应的边长为b；3. 观察A和B的对应边，可以发现它们的长度比为a : b；4. 因此，对应边成比例,即A ~ B。
三、案例3：球的体积公式证明球是一种典型的立体图形，它表现了三维空间中的旋转对称性。
我们来证明球的体积公式：V = (4/3)πr³。
证明过程如下：1. 设球的半径为r；2. 将球划分为无数个小圆柱，每个小圆柱的截面都是圆；3. 假设一个小圆柱的高为h，半径为r；4. 计算小圆柱的体积，即V₁ = πr²h；5. 通过对所有小圆柱体积求和，得到球的体积，即V = ∑V₁；6. 由于球的位置对称性，每个小圆柱的高都是2r，即h = 2r；7. 求和化简得到V = ∑(πr²h) = ∑(πr²·2r) = 2πr³；8. 由于无数个小圆柱填满整个球，因此球的体积为V = 2πr³；9. 化简得到V = (4/3)πr³，即球的体积公式成立。
高中数学立体几何常考证明题
立体几何常考证明题汇总1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点 （1） 求证：EFGH 是平行四边形（2） 若BD=AC=2，EG=2。
求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。
考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。
求证：（1）⊥AB 平面CDE;（2）平面CDE ⊥平面ABC 。
考点：线面垂直，面面垂直的判定3、如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 是1AA 的中点， 求证： 1//AC 平面BDE 。
考点：线面平行的判定 AED 1CB 1DAAH G FEDCBAEDBC4、已知ABC ∆中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ．考点：线面垂直的判定5、已知正方体1111ABCD A BC D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1AC ⊥面11AB D ． 考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定6、正方体''''ABCD A B C D -中，求证：（1）''AC B D DB ⊥平面；（2）''BD ACB ⊥平面. 考点：线面垂直的判定7、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ． 考点：线面平行的判定（利用平行四边形） SDCBAD 1ODB AC 1B 1A 1CA18、如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 是1AA 的中点.（1）求证：1//AC 平面BDE ； （2）求证：平面1A AC ⊥平面BDE .考点：线面平行的判定（利用三角形中位线），面面垂直的判定9、已知A B C D 是矩形，PA ⊥平面A B C D ，2AB =，4PA AD ==，E 为BC 的中点． （1）求证：DE ⊥平面PAE ；（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角．考点：线面垂直的判定,构造直角三角形10、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是060DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ． （1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； （2）求证：AD PB ⊥；（3）求二面角A BC P --的大小．考点：线面垂直的判定,构造直角三角形,面面垂直的性质定理，二面角的求法（定义法）巩固练习1．如图，四面体ABCD 中，BCD AD 平面⊥， E 、F 分别为AD 、AC 的中点，CD BC ⊥．求证：（1）BCD EF 平面// （2）ACD BC 平面⊥．2、如图，棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中， （1）求证：AC ⊥平面B 1D 1DB; （2）求证：BD 1⊥平面ACB 1 （3）求三棱锥B-ACB 1体积．3、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点.求证：（１） C 1O ∥面11AB D （2 ）1AC ⊥面11AB D ． D 1ODB AC 1B 1A 1CD 1C 1B 1A 1CDBA4. 如图，P 为ABC ∆所在平面外一点，⊥PA 平面ABC ，︒=∠90ABC ，PB AE ⊥于E ，PC AF ⊥于F求证：（1）⊥BC 平面PAB ；（2）⊥AE 平面PBC ； （3）⊥PC 平面AEF ．5、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点。
立体几何证明题目
立体几何证明题目一、直线与平面平行的证明题目1：在正方体ABCD - A_1B_1C_1D_1中，E为DD_1的中点，求证：BD_1∥平面AEC。
解析：1. 连接BD交AC于O点。
- 在正方体中，底面ABCD是正方形，根据正方形对角线的性质，对角线互相平分，所以O为BD的中点。
2. 连接OE。
- 因为E为DD_1的中点，在三角形BD_1D中，O是BD中点，E是DD_1中点，根据三角形中位线定理，中位线平行于第三边且等于第三边的一半，所以OE∥ BD_1。
3. 又因为OE⊂平面AEC，BD_1not⊂平面AEC。
- 根据直线与平面平行的判定定理，如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行，所以BD_1∥平面AEC。
二、平面与平面平行的证明题目2：已知四棱锥P - ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点M，N分别在PA，BD上，且PM:MA = BN:ND。
求证：平面MNQ∥平面PBC（设AC∩ BD = Q，连接MQ、NQ）。
解析：1. 因为四边形ABCD是平行四边形，AC∩ BD = Q，所以AQ = QC，BQ=QD。
- 由于PM:MA = BN:ND，在三角形PAQ中，(PM)/(MA)=(BN)/(ND)，可得MQ∥ PC。
- 理由是：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
2. 在三角形ABD中，(BN)/(ND)=(PM)/(MA)，可得NQ∥ AD。
- 又因为底面ABCD是平行四边形，AD∥ BC，所以NQ∥ BC。
3. 因为MQ∥ PC，MQnot⊂平面PBC，PC⊂平面PBC，根据直线与平面平行的判定定理，可得MQ∥平面PBC。
- 同理，NQ∥ BC，NQnot⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，可得NQ∥平面PBC。
4. 又因为MQ∩ NQ = Q，MQ⊂平面MNQ，NQ⊂平面MNQ。
- 根据平面与平面平行的判定定理，如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，所以平面MNQ∥平面PBC。
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1. 空间角与空间距离在高考的立体几何试题中，求角与距离是必考查的问题，其中最主要的是求线线角、线面角、面面角、点到面的距离，求角或距离的步骤是“一作、二证、三算”，即在添置必要的辅助线或辅助面后，通过推理论证某个角或线段就是所求空间角或空间距离的相关量，最后再计算。
2. 立体几体的探索性问题立体几何的探索性问题在近年高考命题中经常出现，这种题型有利于考查学生归纳、判断等方面的能力，也有利于创新意识的培养。
近几年立体几何探索题考查的类型主要有：（1）探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么？（2）探索结论，即在给定的条件下命题的结论是什么。
对命题条件的探索常采用以下三种方法：（1）先观察，尝试给出条件再证明；（2）先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性；（3）把几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件。
对命题结论的探索，常从条件出发，再根据所学知识，探索出要求的结论是什么，另外还有探索结论是否存在，常假设结论存在，再寻找与条件相容还是矛盾。
（一）平行与垂直关系的论证由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。
1. 线线、线面、面面平行关系的转化：⇒a c//)αβαγβγ//,//I I ==⇒⎫⎬⎭a b a b面面平行性质线面平行性质a ab a b////αβαβ⊂=⇒⎫⎬⎪⎭⎪I 面面平行性质1αβαβ////a a ⊂⇒⎫⎬⎭面面平行性质αγβγαβ//////⎫⎬⎭⇒2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：面面垂直判定面面垂直定义αβαβαβI =--⇒⊥⎫⎬⎭l l ，且二面角成直二面角3. 平行与垂直关系的转化：线线∥线面⊥面面∥线面垂直判定2面面平行判定2面面平行性质3a bab//⊥⇒⊥⎫⎬⎭ααaba b⊥⊥⇒⎫⎬⎭αα//aa⊥⊥⇒⎫⎬⎭αβαβ//αβαβ//aa⊥⊥⎫⎬⎭a4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。
”5. 唯一性结论：1. 三类角的定义：（1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90°（2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90°（时，∥或）θαα=︒⊂0b b（3）二面角：二面角的平面角θ，0°＜θ≤180°2. 三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算”即：（1）找出或作出有关的角；（2）证明其符合定义；（3）指出所求作的角；（4）计算大小。
（三）空间距离：求点到直线的距离，经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线，然后在相关三角形中求解。
求点到面的距离，一般找出（或作出）过此点与已知平面垂直的平面利用面面垂直的性质求之也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离，直线与平面的距离，面面距离都可转化为点到面的距离。
【典型例题】（一）与角有关的问题例1. （1）如图，E 、F 分别为三棱锥P —ABC 的棱AP 、BC 的中点，PC ＝10，AB ＝6，EF ＝7，则异面直线AB 与PC 所成的角为（ ）A. 60°B. 45°C. 30°D. 120°解：取AC 中点G ，连结EG 、FG ，则EG PC FG AB∥∥，==1212∴∠EGF 为AB 与PC 所成的角在△EGF 中，由余弦定理，cos ∠··EGF EG FG EF EG FG =+-=+-⨯⨯=-222222253725312∴AB 与PC 所成的角为180°－120°＝60° ∴选A（2）已知正四棱锥以棱长为1的正方体的某个面为底面，且与该正方体有相同的全面积，则这一正四棱锥的侧棱与底面所成的角的余弦值为（ ）A B C D ....131336332626解：设正四棱锥的高为，斜高为h h h '=+⎛⎝ ⎫⎭⎪2212由题意：1241121612222⨯⨯+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪+=⨯h∴h 26=∴侧棱长PB h OB =+=+⎛⎝ ⎫⎭⎪=222622262∴∠cos PBO OBPB===222621313∴选A（）如图，在正方体中，为上的一个定点，为3111111ABCD A B C D P A D Q -A B E F CD EF 11上的任意一点，、为上任意两点，且的长为定值，有下列命题：①点P 到平面QEF 的距离为定值； ②直线PQ 与平面PEF 所成的角为定值； ③二面角P —EF —Q 的大小为定值； ④三棱锥P —QEF 的体积为定值其中正确命题的序号是___________。
解：平面即是平面QEF A B CD 11∴上定点到面的距离为定值A D P A B CD 1111∴①对，②错二面角——，即面与面所成的角，且平面角∠为定P EF Q PDF A B CD PDA 111值，∴③对 因为∥，且为定值，∴为定值A B DC EF S QEF 11∆又点到平面的距离为定值，∴为定值，∴④对P QEF V P QEF -综上，①③④正确。
例2. 图①是一个正方体的表面展开图，MN 和PQ 是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将MN ，PQ 画出来，并就这个正方体解答下列各题： （1）求MN 和PQ 所成角的大小；（2）求四面体M —NPQ 的体积与正方体的体积之比；（3）求二面角M —NQ —P 的大小。
解：（1）如图②，作出MN 、PQ∵PQ ∥NC ，又△MNC 为正三角形 ∴∠MNC ＝60°∴PQ 与MN 成角为60°（）·213V V S MQ M NPQ Q PMN PMN --==∆===1621616···正方体S MQ S MQ V PMN PMDN ∆ 即四面体M —NPQ 的体积与正方体的体积之比为1：6 （3）连结MA 交PQ 于O 点，则MO ⊥PQ 又NP ⊥面PAQM ，∴NP ⊥MO ，则MO ⊥面PNQ 过O 作OE ⊥NQ ，连结ME ，则ME ⊥NQ ∴∠MEO 为二面角M —NQ —P 的平面角 在Rt △NMQ 中，ME ·NQ ＝MN ·MQ设正方体的棱长为aME a a aa MO a ===236322·，又在中，∠Rt MEO MEOMOMEaa∆sin===226332∴∠MEO＝60°即二面角M—NQ—P的大小为60°。
例3. 如图，已知四棱锥P—ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°。
（1）求点P到平面ABCD的距离；（2）求面APB与面CPB所成二面角的大小。
解：（1）作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连结OB、OA、OD，OB与AD交于点E，连结PE∵AD⊥PB，∴AD⊥OB（根据___________）∵PA＝PD，∴OA＝OD于是OB平分AD，点E为AD中点∴PE ⊥AD∴∠PEB 为面PAD 与面ABCD 所成二面角的平面角∴∠PEB ＝120°，∠PEO ＝60°又，∴·PE PO PE o====36033232sin即为P 点到面ABCD 的距离。
（2）由已知ABCD 为菱形，及△PAD 为边长为2的正三角形 ∴PA ＝AB ＝2，又易证PB ⊥BC 故取PB 中点G ，PC 中点F 则AG ⊥PB ，GF ∥BC 又BC ⊥PB ，∴GF ⊥PB∴∠AGF 为面APB 与面CPB 所成的平面角 ∵GF ∥BC ∥AD ，∴∠AGF ＝π－∠GAE 连结GE ，易证AE ⊥平面POB又，为中点PE BE G PB ==3∴∠∠PEG PEB o ==1260∴GE PE o==⨯=cos6031232在中，Rt AGE AE AD ∆==121∴∠tan GAE GE AE ==32∴∠GAE =arctan32∴∠AGF =-πarctan32所以所求二面角的大小为π-arctan32（2）解法2：如图建立直角坐标系，其中O 为坐标原点，x 轴平行于DAP B （，，），（，，）003203320PB G AG 的中点的坐标为（，，），连结033434又（，，），（，，）A C 132023320-由此得到（，，），（，，），GA PB →=--→=-13434033232BC →=-（，，）200于是·，·GA PB BC PB →→=→→=00 ∴⊥，⊥GA PB BC PB →→→→∴、的夹角为所求二面角的平面角GA BC →→θ于是··cos ||||θ=→→→→=-GA BC GA BC 277∴所求二面角大小为π-arccos277（二）与距离有关的问题例4. （1）已知在△ABC 中，AB ＝9，AC ＝15，∠BAC ＝120°，它所在平面外一点P 到△ABC 三个顶点的距离都是14，那么点P 到平面ABC 的距离是（ ）A. 13B. 11C. 9D. 7解：设点P 在△ABC 所在平面上的射影为OAB C O R∵PA ＝PB ＝PC ，∴O 为△ABC 的外心 △ABC 中，AB ＝9，AC ＝15，∠BAC ＝120°∴BC o=+-⨯⨯⨯=91529151202122cos由，∴aAR R sin ==⨯=22123273()∴PO =-=1473722（）在直三棱柱中，，，∠2221111ABC A B C AB BC BB ABC -====90E F o，、分别为、的中点，沿棱柱的表面从到两点的最短路径的AA C B E F 111长度为___________。
解：（采用展开图的方法）将平面沿旋转使两矩形与在同一平面内B BCC B B A ABB B BCC 1111111连接，则为所求的最短路径EF EF如图①，EF A E A F =+=+⎛⎝ ⎫⎭⎪=1212221322222如图②展开，EF =++⎛⎝⎫⎭⎪=+()2122722222如图③展开，EF =⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎛⎝ ⎫⎭⎪=3212132222比较这三种方式展开，可见沿表面从到的最短路径长度为。
E F 322点评：此类试题，求沿表面运动最短路径，应展开表面为同一平面内，则线段最短。
但必须注意的是，应比较其各种不同展开形式中的不同的路径，取其最小的一个。
（3）在北纬45°圈上有甲、乙两地，它们的经度分别是东经140°与西经130°，设地球半径为R ，则甲、乙两地的球面距离是（ ）A RB RC RD R ....12143213ππππ解：()由题意∠AO B o o o o136014013090=-+=（O 1为小圆圆心）又由题意O A O B R 1122==则中，∆O 1AB AB R =∴△AOB 为正三角形（O 为球心）∴∠AOB =π3∴、两点球面距离为A B R π3∴选D例5. 如图，四棱锥P —ABCD ，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、PD 中点。