高级中学立体几何证明方法及例题

1. 空间角与空间距离

在高考的立体几何试题中，求角与距离是必考查的问题，其中最主要的是求线线角、线面角、面面角、点到面的距离，求角或距离的步骤是“一作、二证、三算”，即在添置必要的辅助线或辅助面后，通过推理论证某个角或线段就是所求空间角或空间距离的相关量，最后再计算。

2. 立体几体的探索性问题

立体几何的探索性问题在近年高考命题中经常出现，这种题型有利于考查学生归纳、判断等方面的能力，也有利于创新意识的培养。近几年立体几何探索题考查的类型主要有：（1）探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么？（2）探索结论，即在给定的条件下命题的结论是什么。

对命题条件的探索常采用以下三种方法：（1）先观察，尝试给出条件再证明；（2）先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性；（3）把几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件。

对命题结论的探索，常从条件出发，再根据所学知识，探索出要求的结论是什么，另外还有探索结论是否存在，常假设结论存在，再寻找与条件相容还是矛盾。

（一）平行与垂直关系的论证

由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。

1. 线线、线面、面面平行关系的转化：

⇒a c

//)

αβ

αγβγ

//,//I I ==⇒⎫⎬⎭

a b a b

面面平行性质

线面平行性质

a a

b a b

////αβαβ⊂=⇒⎫⎬⎪

⎭

⎪I 面面平行性质1

αβαβ

////a a ⊂⇒⎫

⎬

⎭

面面平行性质

αγβγαβ

//////⎫⎬

⎭⇒

2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：

面面垂直判定

面面垂直定义

αβαβαβI =--⇒⊥⎫

⎬⎭

l l ，且二面角成直二面角

3. 平行与垂直关系的转化：

线线∥线面⊥面面∥线面垂直判定2面面平行判定2

面面平行性质3

a b

a

b

//

⊥

⇒⊥

⎫

⎬

⎭

α

α

a

b

a b

⊥

⊥

⇒

⎫

⎬

⎭

α

α

//

a

a

⊥

⊥

⇒

⎫

⎬

⎭

α

β

αβ

//

αβ

α

β

//

a

a

⊥

⊥

⎫

⎬

⎭

a

4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。”

5. 唯一性结论：

1. 三类角的定义：

（1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90°

（2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90°

（时，∥或）

θαα

=︒⊂

0b b

（3）二面角：二面角的平面角θ，0°＜θ≤180°

2. 三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算”

即：（1）找出或作出有关的角；

（2）证明其符合定义；

（3）指出所求作的角；

（4）计算大小。

（三）空间距离：

求点到直线的距离，经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线，然后在相关三角形中求解。

求点到面的距离，一般找出（或作出）过此点与已知平面垂直的平面利用面面垂直的性质求之也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离，直线与平面的距离，面面距离都可转化为点到面的距离。

【典型例题】

（一）与角有关的问题

例1. （1）如图，E 、F 分别为三棱锥P —ABC 的棱AP 、BC 的中点，PC ＝10，AB ＝6，EF ＝7，则异面直线AB 与PC 所成的角为（ ）

A. 60°

B. 45°

C. 30°

D. 120°

解：取AC 中点G ，连结EG 、FG ，则

EG PC FG AB

∥∥，==1212

∴∠EGF 为AB 与PC 所成的角

在△EGF 中，由余弦定理，

cos ∠··EGF EG FG EF EG FG =+-=+-⨯⨯=-

222222

253725312

∴AB 与PC 所成的角为180°－120°＝60° ∴选A

（2）已知正四棱锥以棱长为1的正方体的某个面为底面，且与该正方体有相同的全面

积，则这一正四棱锥的侧棱与底面所成的角的余弦值为（ ）

A B C D .

.

.

.

1313

36

33

2626

解：

设正四棱锥的高为，斜高为h h h '=

+⎛⎝ ⎫⎭

⎪

2

2

12

由题意：12411216122

22⨯⨯+⎛⎝ ⎫

⎭⎪

⎛⎝ ⎫

⎭⎪⎪+=⨯h

∴h 2

6=

∴侧棱长PB h OB =+=+⎛⎝ ⎫⎭

⎪

=

22

2

62226

2

∴∠cos PBO OB

PB

=

==2

226

213

13

∴选A

（）如图，在正方体中，为上的一个定点，为3111111ABCD A B C D P A D Q -

A B E F CD EF 11上的任意一点，、为上任意两点，且的长为定值，有下列命题：

①点P 到平面QEF 的距离为定值； ②直线PQ 与平面PEF 所成的角为定值； ③二面角P —EF —Q 的大小为定值； ④三棱锥P —QEF 的体积为定值

其中正确命题的序号是___________。