第2讲 概率及其运算性质

时门试开的概率是几？
解：⒈试过还会再试：
P(A1 )
ห้องสมุดไป่ตู้
7*7*1 8*8*8

49 512
⒉试过就不再试。
P(A2
)
7 8
* *
6*1 7*6

1 8
摸彩要争先恐后吗
注意在醉汉开门问题的后一种情况中，他第一 次就试开了的概率到第八次才试开的概率都是 1/8=0.125。 这说明摸彩没有必要争先恐后，除了心理上的 差别外，第一与最后摸的机会是均等的。
P(A1A2...)=P(A1)+P(A2)+... (3.1)
二、等可能概型(古典概型)
§1中所说的试验E1:抛一枚硬币, 观察正反两面出现的情 况, E4:掷一枚骰子, 观察出现的点数, 它们具有两个共同
的特点: 1,试验的样本空间只包含有限个元素; 2,试验中每个基本事件发生的可能性相同. 具有上面两个特点的试验称为等可能概型, 也称为古典概 型.
历史上的掷硬币试验
试验者 德.摩尔根
抛掷次数
n
正面出现次数m
正面出现频率
m/n
2048
1061
0.518
蒲丰
4040
2048
0.5069
皮尔逊
12000
6019
0.5016
皮尔逊
24000
12012
0.5005
维尼
30000
14994
0.4998
大量实验证实, 当重复试验的次数增大时, 频率fn(A)
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（四）
—— 概率论与数理统计
第二讲 概率及其运算性质
脚本编写：肖庆丰
教案制作：肖庆丰
第一章 随机事件及其概率
本章学习要求： ❖ 理解随机事件的概念，掌握事件之间的关系与运算。 ❖ 理解事件频率的概念，理解概率的古典定义。 ❖ 掌握概率的基本性质及概率加法定理。 ❖ 理解条件概率的概念，掌握概率的乘法定理，了解事
例1 将n只球随机地放入N(Nn)个盒子中去, 试求每个盒子
至多有一只球的概率(设盒子的容量不限).
解 将n只球放入N个盒子, 每种放法是一基本事件, 共有
NN...N=Nn种不同放法, 而每个盒子中至多放一只球共 有N(N-1)...[N-(n-1)]种不同放法, 因而所求概率为
p

呈现出稳定性, 逐渐稳定于某个常数, 我们称之为事
件A的概率, 这叫大数定律. 但是从纯数学的角度看, 概率无非是赋予事件A的一个实数.
因此, 从纯数学的观点看问题, 只要对每个事件赋予 一个满足一定性质的实数就行, 是不关心概率在实际 中的情况的. 数学对实际的应用, 都属于某种方式的 数学建模.
333

2000 6

334,
P(A)
333 . 2000
由于
2000 8

250,故得
P(B)
250 2000
.
又由于一个数同时能被6与8整除, 就相当于
能被24整除, 因此, 由
83

2000 24

84,得
P(AB)
83 2000
于是所求概率为
p

1

333 2000

250 2000

a
a
b
值得注意的是P(B)与i无关, 即k个人取球, 尽
管取球的先后次序不同, 各人取到白球的概率
是一样的, 大家机会相同. 另外还值得注意的
是放回抽样的情况与不放回抽样的情况下P(B)
是一样的.
醉汉开门问题
醉汉手中有一串外观相似的钥匙(共八只)，但其中只有
一只是开大门的，他只好随机地试，问他试到第三把
由(3.1)式得
P(A1 A2 A n ) P A k P(A k )
k1 k1
n
P(A k ) 0 P(A1 ) P(A2 ) P(A n ). k1
性质3 设A,B是两个事件, 若AB, 则有
P(B-A)=P(B)-P(A)
性质5(逆事件的概率) 对任一事件A, 有
P(A) 1 P(A).
证 因A A S,且AA ,因此
1 P(S) P(A A) P(A) P(A).
性质6(加法公式) 对任意两事件A,B有
P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB).
(3.5)
证 因AB= A(B-AB), 且A(B-AB)=f, ABB, 故由(3.2)
球可以是其余a b 1只球中的任意k 1只,共有
(a

b

1)(a

b

2)
[a

b

1
(k

1)
1]

A
k1 a b1
种取法,
于是B中包含a

A
k1 a b1
个基本事件,故得
P(B)
a

A
k1 a b1
A
k a
b

a(a b 1)!(a b k)! (a b k)!(a b)!
件的独立性概念。 ❖ 掌握贝努利概型和二项概率的计算方法。
第一章 随机事件及其概率
第二节 概率及其运算性质
一、统计概率 二、古典概型 三、概率的性质
每一个事件都有它的发生概率
即给定事件A, 存在着一个正数P 与之对应, 称之为事件A的概 率, 记作P(A)或P{A}.
最高的发生概率为1, 表示必然发生. 最低的概率为0, 表示不可能发生. 而一般的随机事件的概率介于0与1之间. 这里只是概率的数学上的规定, 其实就是任何一个事件到实数 轴上的[0,1]区间的映射. 但怎样获得切合实际的一个事件的概率呢?
例3 在1~2000的整数中随机地取一个数, 问取到的数即不
能被6整除, 又不能被8整除的概率是多少?
解 设A为事件"取到的数能被6整除", B为事件"取到的
数能被8整除", 则所求概率为
由于 故得
P(A B) P(A B) 1 P(A B)
1 [P(A) P(B) P(AB)]

B A
例5 产品有一, 二等品及废品3种, 若一, 二等品率分别为 0.63及0.35, 求产品的合格率与废品率.
解 令事件A表示产品为合格品, A1,A2分别表示一,二等 品. 显然A1与A2互不相容, 并且A=A1+A2, 则 P(A)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)
=0.63+0.35=0.98
(3.3)
P(B)P(A)
(3.4)
证 由AB知B=A(B-A), 且A(B-A)=f, 再由概率的
有限可加性, 得
P(B)=P(A)+P(B-A),
又由概率的非负性1, P(B-A)0知
P(B)P(A).
性质4 对于任一事件A,
P(A)1
证 因AΩ, 由性质3得
P(A)P(Ω)=1
设试验的样本空间为Ω={e1,e2,...,en}. 由于在试验中 每个基本事件发生的可能性相同, 即有
P({e1})=P({e2})=...=P({en}). 又由于基本事件是两两互不相容的, 于是
1=P(Ω)=P({e1}{e2}...{en})=
P({e1})+P({e2})+...+P({en})=nP({ei}),
C
3 7

43 1 2

3

1 7
2 6
3 5
18 35
P(A3 )
C
3 4
C
3 7

432 765
4 35
根据加法法则得P(A 2

A3 )
P(A2 )
P(A 3
)
22 35
50个产品中有46个合格品与4个废品, 从中一次抽 例7
取3个, 求其中有废品的概率.


a(a
1) (a r!

r

1),
a 0


1.
例如
3π

(π)(π 1)(π 3!
2)

π(π
1)(π 3!
2)
例2 袋中有a只白球, b只红球, k个人依次在袋中
取一只球, (1)作放回抽样; (2)作不放回抽样, 求
第i(i=1,2,...,k)个人取到白球(记为事件B)的概 率(ka+b).
P(A)=1-P(A)=1-0.98=0.02
注意此题并非古典概型题.
例6 一个袋内装有大小相同的7个球, 4个是白球, 3个为 黑球. 从中一次抽取3个, 计算至少有两个是白球的概率.
解 设事件Ai表示抽到的3个球中有i个白球(i=2,3), 显然A2
与A3互不相容, 且
P(A2 )
C
2 4
C13
n1
由概率的非负性知,P(φ) 0,故由上式知
P(φ) 0.
性质2(有限可加性) 若A1,A2,...,An是两两互不相容的
事件, 则有
P(A1A2...An)=P(A1)+P(A2)+...+P(An) (3.2)
证 令An+1=An+2=...=f, 即有AiAj=f, ij, i,j=1,2,....
解 (1) 放回抽样的情况, 显然有
P(B)
a
a
b
(2) 不放回抽样的情况. 各人取一只球, 每种
取法是一基本事件,共有
(a

b)(a

b

1)
(a

b

k

1)
A
k ab
个基本事件,
且由于对称性知每个基本事件发生的可能性相同.
当事件B发生时,第i个人取的应是白球,它可以是
a只白球中的任一只,有a种取法.其余被取的k 1只
一、统计概率
(一)频率 定义 在相同条件下, 进行了n次试验, 在这n次 试验中, 事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数. 比值nA/n 称为事件A发生的频率, 并记成fn(A).
由定义, 易见频率具有下述基本性质:
1, 0fn(A)1; 2, fn(Ω)=1; 3, 若A1,A2,...,Ak是两两互不相容的事件, 则 fn(A1A2...Ak)=fn(A1)+fn(A2)+...+fn(An).
因而, n个人中至少有两人生日相同的概率为
1

365

364

(365 365n

n

1)
关于组合
n个元素中取m个(1

m

n)的组合数记作C
m n
或记作
n m
,因此C
m n


n m


n! m!(n m)!
而对于任意实数a以及非负整数r,定义

a r
P({ei })
1 n
,
i
1,2,
,n.
若事件A包含k个基本事件, 即
A {ei1 }{ei2 } {eik }
这里i1,i2,...,ik是1,2,...,n中某k个不同的数. 则有
A包含的基本事件数 S中基本事件的总数
(4.1)
(4.1)式就是等可能概型中事件A的概率的计算公式
及(3.3)得
P(AB)=P(A)+P(B-AB)
=P(A)+P(B)-P(AB).
(3.5)式还可推广到多个事件, 例如, 设A,B,C为任意三个事件,
则有
P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)
-P(BC)-P(AC)+P(ABC)
(3.6)
经常有一些概率论的较难的题, 直接计算某事件的
解 设事件A表示取到的3个中有废品, 则事件A的
逆为取到的3个产品中没有废品更好计算一些,
因此有
P(A)
C
3 46
C
3 50

46 45 44 50 49 48
(二) 概率 定义 设E是随机试验, Ω是它的样本空间, 对 于E的每一事件A赋予一个实数, 记为P(A), 称为事件A的概 率, 如果集合函数P(•)满足下列条件: 1、非负性: 对于每一个事件A, 有P(A)0; 2、规范性: 对于必然事件Ω, 有P(Ω)=1; 3、可列可加性:设A1,A2,...是两两互不相容事件, 即对于 ij, AiAj=f, i,j=1,2,..., 则有

83 2000


3 4
.
三、概率的性质
性质1
P(f)=0.
证 令An=f(n=1,2,...), 则

An φ,且AiAj φ,i j,i,j 1,2,
n1
由概率的可列可加性得
P(φ) P An P(An ) P(φ).
n1 n1
N(N
1) (N Nn
n
1)
A
n N
Nn
生日问题
许多问题和本例有相同的数学模型. 例如, 假设每人的生 日在一年365天的任一天是等可能的, 即都等于1/365, 则
随机选取n(365)个人, 他们的生日各不相同的概率为
365 364 (365 n 1) 365n
概率困难, 因此考虑先求此事件的逆事件的概率
例4 掷3次硬币, 求至少一次正面朝上的概率. 解: 假设A={至少一次正面}, 则
A={全是反面}, 只包含一个基本事件.
基本事件总数为23=8, 因此
P(A)
1 8
则P(A) 1
P(A)
1
1 8

7 8
如果BA, 则P(B-A)=P(B)-P(A) 这是因为, 如果BA, 则必有B=A+(B-A), 而A与B-A互不相容, 因此 P(B)=P(A)+P(B-A)