高中数学(人教A)选修2-1课件：3.2.1直线的方向向量和平面的法向量
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成才之路 ·数学
人教A版 ·选修2-1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章 空间向量与立体几何
第三章 3.2 立体几何中的向量方法
第1课时 直线的方向向量和平面的法向量
1 自主预习学案 2 典例探究学案 3 巩固提高学案
自主预习学案
• 1．理解直线的方向向量，平面的法向量．
• 2．能够利用直线的方向向量和平面的法向量 处理线面的位置关系．
量来讨论直线的位置关系，那么在空间向量 中我们能否用直线的方向向量与平面的法向 量来讨论空间线面的位置关系呢？
• 新知导学
• 4．空间直线与平面的位置关系可以用直线的 方向向量与平面的法向量的位置关系来研究 ．
Байду номын сангаас
• 设直线l、m的方向向量分别为a、b，平面α
、β的法向量分别为u、v，当l，m不重合，α
• 重点：平面的法向量． • 难点：利用向量知识处理立体几何问题．
直线的方向向量与平面的法向量
• 温故知新 • 1．回想在平面向量中，怎样求一条直线的方
向向量．
• 思维导航 • 1．怎样确定空间一条直线的方向向量？ • 2．一点A和一个方向可以确定一条直线吗？
类似的，一点A和一个方向能确定一个平面 吗？这个方向对平面有何特殊意义？
• (4)l⊥α⇔_a∥_u______存⇔在k_∈_R，_使_a_＝_ku____________
_．
u∥v
存在k∈R，使u＝kv
• (5)α∥β⇔__u_⊥_v____⇔u·_v＝_0________________ ___；
• (6)α⊥β⇔________⇔__________． • 注：①由前提知la⊄α，b，u，v都是非零向量．
的平面唯一确定．
• 通过平面的法向量能研究直线与平面的平行 、垂直、平面与平面的平行、垂直、线面角 、二面角及距离问题等，应用非常广泛．
• 牛刀小试
• 1．若a＝(1,2,3)是平面α的一个法向量，则下 列向量中能作为平面α的法向量的是( )
• A．(0,1,2)
B．(3,6,9)
• C．(－1，－2,3) D．(3,6,8)
• 3．直线l经过点A(0,1，－1)、B(1,0,2)，则l 的一个方向向量e＝__________．
• [答案] (1，－1,3)(或e＝λ(1，－1,3)且λ≠0 中任选一个即可)
直线的方向向量与平面的法向量在研究空间 线面位置关系中的应用
• 思维导航 • 4．在平面向量中，我们可以用直线的方向向
A．x＝6，y＝15
B．x＝3，y＝125
C．x＝10，y＝15
• [答案] D
D．x＝10，y＝225
[解析] ∵l1∥l2，∴a∥b， ∴52＝4x＝5y，∴xy＝ ＝12205， .
5．(2013·四川省成都七中期末)已知直线 l 过点 P(1,0，－
1)且平行于向量 a＝(2,1,1)，平面 α 过直线 l 与点 M(1,2,3)，则
O→P＝__x_a＋__y_b____． 这样，点 O 与向量 a，b 不仅可以确定平面 α 的位置，还 可以具体表示出 α 内的任意一点．
• 3．用平面的法向量表示空间中平面的位置．
如图所示，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a
叫做平面α的__________．
法向量
给定一点A和一个向量a，那么过点A以向量a为法向量
典例探究学案
根据方向向量确定两直线位置关系
设 a、b 分别是不重合直线 l1、l2 的方向向量， 根据下列条件判断 l1、l2 的位置关系．
α与β不重合
• ②用(1)证明线线平行时，必须指明l与m不重 合；用(3)证明线面平行时必须说明_______ ；用(5)证明二面平行时，必须说明 ________________．
牛刀小试
4．已知向量 a＝(2,4,5)，b＝(5，x，y)分别是直线 l1、l2 的 方向向量，若 l1∥l2，则( )
平面 α 的法向量不．可．能．是( A．(1，－4,2)
) B．(14，－1，12)
C．(－14，1，－12)
D．(0，－1,1)
• [答案] D
[解析] 因为P→M＝(0,2,4)，直线 l 平行于向量 a，若 n 是平 面 α 的法向量，则必须满足nn··aP→＝M＝0 0 ，把选项代入验证，只 有选项 D 不满足，故选 D．
• 3．怎样确定一个平面的法向量．
新知导学 1．空间中任意一条直线 l 的位置可 以由 l 上一个_定__点_A___以及一个_定__方_向____ 确定．如图所示，点 A 是直线 l 上一点， 向量 a 表示直线 l 的方向(方向向量)，O 是空间任一点．在直线 l 上取A→B＝a，那 么对于直线 l 上任意一点 P，一定存在实数 t，使得 A→P＝t___A→_B___或O→P＝(1－t)O→A＋tO→B．
• [答案] B
• [解析] ∵a＝(1,2,3)，
• ∴向量(3,6,9)＝3(1,2,3)＝3a，
• ∴向量(3,6,9)能作为平面α的法向量．
• 2．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α 的法向量为u＝(－2,0，－4)，则( )
• A．l∥α B．l⊥α • C．l⊂α D．l与α斜交 • [答案] B • [解析] ∵u＝－2a，∴u∥a，∴l⊥α．
、β不重合a且∥b l、m不存在在k∈平R，面使aα＝、kb β内时，有
• (1)l∥m⇔_a_⊥_b ____a⇔·b＝_0__________________
___；
a⊥u
a·u＝0
• (2)l⊥m⇔_______⇔__________；
• (3)l∥α⇔________⇔__________；
• 这样，点A和向量a不仅可以确定直线l的位置 ，还可以具体表示出l上的任意一点．
• 依据直线的方向向量可以确定直线平行的条 件P→Q，计算两条直线所成的角，研究线面的平 行与垂直等．
• 在直线上任取两点P、Q，可得到直线的一个 方向向量__________．
2．空间中平面 α 的位置可以由 α 内两条__相__交______直线来 确定． 设这两条直线相交于点 O，它们的方向向量分别为 a 和 b，P 为平面 α 上任意一点，由平面向量基本定理可知，存 在有序实数对(x，y)，使得
人教A版 ·选修2-1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章 空间向量与立体几何
第三章 3.2 立体几何中的向量方法
第1课时 直线的方向向量和平面的法向量
1 自主预习学案 2 典例探究学案 3 巩固提高学案
自主预习学案
• 1．理解直线的方向向量，平面的法向量．
• 2．能够利用直线的方向向量和平面的法向量 处理线面的位置关系．
量来讨论直线的位置关系，那么在空间向量 中我们能否用直线的方向向量与平面的法向 量来讨论空间线面的位置关系呢？
• 新知导学
• 4．空间直线与平面的位置关系可以用直线的 方向向量与平面的法向量的位置关系来研究 ．
Байду номын сангаас
• 设直线l、m的方向向量分别为a、b，平面α
、β的法向量分别为u、v，当l，m不重合，α
• 重点：平面的法向量． • 难点：利用向量知识处理立体几何问题．
直线的方向向量与平面的法向量
• 温故知新 • 1．回想在平面向量中，怎样求一条直线的方
向向量．
• 思维导航 • 1．怎样确定空间一条直线的方向向量？ • 2．一点A和一个方向可以确定一条直线吗？
类似的，一点A和一个方向能确定一个平面 吗？这个方向对平面有何特殊意义？
• (4)l⊥α⇔_a∥_u______存⇔在k_∈_R，_使_a_＝_ku____________
_．
u∥v
存在k∈R，使u＝kv
• (5)α∥β⇔__u_⊥_v____⇔u·_v＝_0________________ ___；
• (6)α⊥β⇔________⇔__________． • 注：①由前提知la⊄α，b，u，v都是非零向量．
的平面唯一确定．
• 通过平面的法向量能研究直线与平面的平行 、垂直、平面与平面的平行、垂直、线面角 、二面角及距离问题等，应用非常广泛．
• 牛刀小试
• 1．若a＝(1,2,3)是平面α的一个法向量，则下 列向量中能作为平面α的法向量的是( )
• A．(0,1,2)
B．(3,6,9)
• C．(－1，－2,3) D．(3,6,8)
• 3．直线l经过点A(0,1，－1)、B(1,0,2)，则l 的一个方向向量e＝__________．
• [答案] (1，－1,3)(或e＝λ(1，－1,3)且λ≠0 中任选一个即可)
直线的方向向量与平面的法向量在研究空间 线面位置关系中的应用
• 思维导航 • 4．在平面向量中，我们可以用直线的方向向
A．x＝6，y＝15
B．x＝3，y＝125
C．x＝10，y＝15
• [答案] D
D．x＝10，y＝225
[解析] ∵l1∥l2，∴a∥b， ∴52＝4x＝5y，∴xy＝ ＝12205， .
5．(2013·四川省成都七中期末)已知直线 l 过点 P(1,0，－
1)且平行于向量 a＝(2,1,1)，平面 α 过直线 l 与点 M(1,2,3)，则
O→P＝__x_a＋__y_b____． 这样，点 O 与向量 a，b 不仅可以确定平面 α 的位置，还 可以具体表示出 α 内的任意一点．
• 3．用平面的法向量表示空间中平面的位置．
如图所示，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a
叫做平面α的__________．
法向量
给定一点A和一个向量a，那么过点A以向量a为法向量
典例探究学案
根据方向向量确定两直线位置关系
设 a、b 分别是不重合直线 l1、l2 的方向向量， 根据下列条件判断 l1、l2 的位置关系．
α与β不重合
• ②用(1)证明线线平行时，必须指明l与m不重 合；用(3)证明线面平行时必须说明_______ ；用(5)证明二面平行时，必须说明 ________________．
牛刀小试
4．已知向量 a＝(2,4,5)，b＝(5，x，y)分别是直线 l1、l2 的 方向向量，若 l1∥l2，则( )
平面 α 的法向量不．可．能．是( A．(1，－4,2)
) B．(14，－1，12)
C．(－14，1，－12)
D．(0，－1,1)
• [答案] D
[解析] 因为P→M＝(0,2,4)，直线 l 平行于向量 a，若 n 是平 面 α 的法向量，则必须满足nn··aP→＝M＝0 0 ，把选项代入验证，只 有选项 D 不满足，故选 D．
• 3．怎样确定一个平面的法向量．
新知导学 1．空间中任意一条直线 l 的位置可 以由 l 上一个_定__点_A___以及一个_定__方_向____ 确定．如图所示，点 A 是直线 l 上一点， 向量 a 表示直线 l 的方向(方向向量)，O 是空间任一点．在直线 l 上取A→B＝a，那 么对于直线 l 上任意一点 P，一定存在实数 t，使得 A→P＝t___A→_B___或O→P＝(1－t)O→A＋tO→B．
• [答案] B
• [解析] ∵a＝(1,2,3)，
• ∴向量(3,6,9)＝3(1,2,3)＝3a，
• ∴向量(3,6,9)能作为平面α的法向量．
• 2．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α 的法向量为u＝(－2,0，－4)，则( )
• A．l∥α B．l⊥α • C．l⊂α D．l与α斜交 • [答案] B • [解析] ∵u＝－2a，∴u∥a，∴l⊥α．
、β不重合a且∥b l、m不存在在k∈平R，面使aα＝、kb β内时，有
• (1)l∥m⇔_a_⊥_b ____a⇔·b＝_0__________________
___；
a⊥u
a·u＝0
• (2)l⊥m⇔_______⇔__________；
• (3)l∥α⇔________⇔__________；
• 这样，点A和向量a不仅可以确定直线l的位置 ，还可以具体表示出l上的任意一点．
• 依据直线的方向向量可以确定直线平行的条 件P→Q，计算两条直线所成的角，研究线面的平 行与垂直等．
• 在直线上任取两点P、Q，可得到直线的一个 方向向量__________．
2．空间中平面 α 的位置可以由 α 内两条__相__交______直线来 确定． 设这两条直线相交于点 O，它们的方向向量分别为 a 和 b，P 为平面 α 上任意一点，由平面向量基本定理可知，存 在有序实数对(x，y)，使得