高中数学(人教A)选修2-1课件：3.2.1直线的方向向量和平面的法向量
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高中数学人教版选修2-1配套课件：3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程
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2．用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、
平面与平面平行 (1)直线与直线平行 设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2或l1与l2重 v1∥v2 合⇔________.
(2)直线与平面平行
已知两个不共线向量v1，v2与平面α共面，一条直线l的一 个方向向量为 v ，则 l∥α 或 l 在 α 内 ⇔ 存在两个实数 x ， y ，使 v＝xv1＋yv2 ． _________________
(3)线段 AB 的中点 M 的向量表达式 → 设 O 是空间任一点，M 是线段 AB 的中点，则OM＝ 1 → → 2(OA＋OB) ____________________.
→ → → 名师点拨：空间三点 P，A，B 满足OP＝mOA＋nOB，且 m ＋n＝1，则 P，A，B 三共点线．
第三章 3.2 3.2.1
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第三章
空间向量与立体几何
第三章
空间向量与立体几何
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第三章
3.2 空间向量在立体几何中的应用
第三章
空间向量与立体几何
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[ 解析] ∵|a|＝ 22＋42＋x2＝6， ∴x＝± 4. 又∵a· b＝2×2＋4×y＋2×x＝0， ∴y＝－1± 2， ∴x＋y＝－3 或 1.
第三章 3.2 3.2.1
)
B．3或－1 D．1
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2018年秋高中数学人教A版选修2-1课件：3-2立体几何中的向量方法 精品
面面垂直 u v u v 0
点击
设直线l，m的方向向量分别为a ，b ， 平面 ， 的法向量分别为 u，v
探究3：夹角 (0 )
2
线线夹角 l, m的夹角为，cos
| a b|
点击 | a|| b |
线面夹角 l,的夹角为， sin | a u|
面面夹角
点击
, 的夹角为，cos
思考：
（1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？
分析: BD1 BA BC BB1
其中ABC ABB1 120，B1BC 60
（2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，
D1 A1
并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等
D
于 , 那 么有这个四棱柱的对角线的长可以 A
确定棱长吗?
C1
练习：
（1）如图4，60°的二面角的棱上有A、B两 点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面 内，且都垂直AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8， 求CD的长。
C
A B
D
图4
（2）三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三 角形，∠A1AB＝45°，∠A1AC＝60°，求二面角B-A A1-C的平面角的余弦值。
2、例题
例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为 端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个 顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？
解：如图1，设 AB AA1 AD 1，BAD BAA1 DAA1 60
化为向量问题
D1
C1
依据向量的加法法则， AC1 AB AD AA1
∴ 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。
（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？（提
人教A版高中数学选修2-1课件第三章3.2.1直线的方向向量与平面的法向量
u＝(2,0,3)； (4)直线 l 的方向向量、平面 α 的法向量分别是 a＝(3,2,1)，
u＝(－1,2，－1)．
思维突破：若直线 l 的方向向量是 u，平面 α 的法向量是 v，
则有 l∥α⇔u⊥v⇔u·v＝0；l⊥α⇔u∥v⇔u＝kv(k∈R)．
自主解答：(1)∵a＝(1,－3,－1)，b＝(8,2,2)， ∴a·b＝8－6－2＝0.∴a⊥b.∴l1⊥l2. (2)∵u＝(1,3,0)，v＝(－3,－9,0)， ∴v＝－3u.∴v∥u.∴α∥β. (3)∵a＝(1,－4,－3)，u＝(2,0,3)． ∴a·u≠0且a≠ku(k∈R)．
∴A→1O·B→D＝c＋12a＋b·(b－a) ＝c·(b－a)＋12(a＋b)·(b－a) ＝c·b－c·a＋12(b2－a2) ＝12(|b|2－|a|2)＝0. ∴A→1O⊥B→D.∴A1O⊥BD. 同理可证，A→1O⊥O→G. 又∵OG∩BD＝O，且 A1O⊄面 GBD， ∴A1O⊥面 GBD.
D．－2572，－5236，－14
题型2由直线的方向向量与平面的法向量判断线、 面的位置关系 例 2：根据下列条件，判断相应的线、面位置关系： (1)直线 l1，l2 的方向向量分别是 a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2)； (2)平面 α，β 的法向量分别是 u＝(1,3,0)，v＝(－3，－9，0)； (3)直线 l 的方向向量、平面 α 的法向量分别是 a＝(1，－4，－3)，
பைடு நூலகம்
【变式与拓展】 3．若互不重合的平面α，β的法向量分别为u＝(1，2，－2)，
v＝(－3，－6，6)，证明：α∥β.
证明：∵u＝(1，2，－2)，v＝(－3，－6，6)， ∴v＝－3u，即v∥u. 又∵u，v分别为平面α，β的法向量且α，β互不重合， ∴α∥β.
u＝(－1,2，－1)．
思维突破：若直线 l 的方向向量是 u，平面 α 的法向量是 v，
则有 l∥α⇔u⊥v⇔u·v＝0；l⊥α⇔u∥v⇔u＝kv(k∈R)．
自主解答：(1)∵a＝(1,－3,－1)，b＝(8,2,2)， ∴a·b＝8－6－2＝0.∴a⊥b.∴l1⊥l2. (2)∵u＝(1,3,0)，v＝(－3,－9,0)， ∴v＝－3u.∴v∥u.∴α∥β. (3)∵a＝(1,－4,－3)，u＝(2,0,3)． ∴a·u≠0且a≠ku(k∈R)．
∴A→1O·B→D＝c＋12a＋b·(b－a) ＝c·(b－a)＋12(a＋b)·(b－a) ＝c·b－c·a＋12(b2－a2) ＝12(|b|2－|a|2)＝0. ∴A→1O⊥B→D.∴A1O⊥BD. 同理可证，A→1O⊥O→G. 又∵OG∩BD＝O，且 A1O⊄面 GBD， ∴A1O⊥面 GBD.
D．－2572，－5236，－14
题型2由直线的方向向量与平面的法向量判断线、 面的位置关系 例 2：根据下列条件，判断相应的线、面位置关系： (1)直线 l1，l2 的方向向量分别是 a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2)； (2)平面 α，β 的法向量分别是 u＝(1,3,0)，v＝(－3，－9，0)； (3)直线 l 的方向向量、平面 α 的法向量分别是 a＝(1，－4，－3)，
பைடு நூலகம்
【变式与拓展】 3．若互不重合的平面α，β的法向量分别为u＝(1，2，－2)，
v＝(－3，－6，6)，证明：α∥β.
证明：∵u＝(1，2，－2)，v＝(－3，－6，6)， ∴v＝－3u，即v∥u. 又∵u，v分别为平面α，β的法向量且α，β互不重合， ∴α∥β.
新人教A版(选修2-1)3.2《立体几何中的向量方法》(第1课时)ppt课件
→1， 1.如图， 在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中， 试判断向量AA →1，CC →1，DD → 1，A → → → → BB 1A，B1B，C1C，D1D与平面 ABCD 的位 置关系是什么？与平面 ABCD 满足此种关系的向量还有 吗？它们的共同特点是什么？
2.在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中． (1)棱 AB，DC，D1C1，A1B1 之间的位置关系 是什么？它们的方向向量之间又有什么关系？ (2)棱 A1B1，B1C1，C1D1，D1A1 与平面 ABCD 有什么样的位置关系？它们的方向向量与平面 ABCD 的法向量之间 又有什么关系？ (3)平面 ABCD 和平面 A1B1C1D1 的位置关系是什么？它们的法 向量之间又有什么关系？
•
已知正方体 ABCD － A1B1C1D1 的棱长 为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证： • (1)FC1∥平面ADE； • (2)平面ADE∥平面B1C1F.
• • • •
由题目可获取以下主要信息： ①ABCD－A1B1C1D1为正方体且棱长为2； ②E、F分别是BB1、DD1的中点． 解答本题可先建系，求出直线的方向向量和平 面的法向量，再利用方向向量和法向量间的关 系判定线面、面面平行．
1 2 －2 解析： ∵α∥β，∴ ＝ ＝ k .∴k＝4. －2 －4
• 答案： C
• 3．已知直线l1的一个方向向量为(－7,3,4)，直 线l2的一个方向向量为 (x ，y,8)，且l1∥l2，则x ＝________，y＝________.
－7 3 4 解析： ∵l1∥l2，∴ ＝ ＝ ， x y 8 ∴x＝－14，y＝6.
• 3．2 立体几何中的向量方法
• 第1课时 空间向量与平行关系
高中数学 3.2.1立体几何中的向量方法课件 新人教A版选修2-1
包法 括向 线量 在为 面n 内 ，(面a 2 面,b 2 平,c 行2 ) 包,则 括面面重合.
l / / e n 0 a 1 a 2 b 1 b 2 c 1 c 2 0 ;
第十页，编辑于星期五：十点 三十六分。
例4 如图，已知矩形 ABCD和矩形 ADEF所在平面互相垂直，点
M, N 分别在对角线 BD, AE上，且 BM1BD,AN1AE，
所以 D 1F平 面 ADE
第十三页，编辑于星期五：十点 三十六分。
稳固性训练1
1.设 a , b 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下
列条件,判断l1,l2的位置关系.
(1)a (2,1,2),b(6,3,6) 平行
(2)a (1,2,2),b(2,3,2)
垂直
(3)a (0,0,1),b(0,0,3)
第二十二页，编辑于星期五：十点 三十六分。
平行、垂直、夹角等位置关系.
那么如何用直线的方向向量表示空间两 直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的 夹角呢？如何用平面的法向量表示空间两平 面平行、垂直的位置关系以及它们二面角的 大小呢？
第九页，编辑于星期五：十点 三十六分。
三、平行关系：
设直线 l1 , l2 的方向向量分别为 e1 , e2 ，平面 1 ,2 的法向量分别为 n1, n2 ，则
稳固性训练3
1、设平面 的法向量为(1,2,-2),平面 的法向量为(-
2,-4,k),假设 // ，那么k=
；假设
那么 k=
。
2、 l，//且 的方l 向向量为(2,m,1)，平面的法向
量为(1,1/2,2),那么m=
.
3(1、,1假/2,设l2),且的l方向向，量那为么(m2,=1,m),平面
l / / e n 0 a 1 a 2 b 1 b 2 c 1 c 2 0 ;
第十页，编辑于星期五：十点 三十六分。
例4 如图，已知矩形 ABCD和矩形 ADEF所在平面互相垂直，点
M, N 分别在对角线 BD, AE上，且 BM1BD,AN1AE，
所以 D 1F平 面 ADE
第十三页，编辑于星期五：十点 三十六分。
稳固性训练1
1.设 a , b 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下
列条件,判断l1,l2的位置关系.
(1)a (2,1,2),b(6,3,6) 平行
(2)a (1,2,2),b(2,3,2)
垂直
(3)a (0,0,1),b(0,0,3)
第二十二页，编辑于星期五：十点 三十六分。
平行、垂直、夹角等位置关系.
那么如何用直线的方向向量表示空间两 直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的 夹角呢？如何用平面的法向量表示空间两平 面平行、垂直的位置关系以及它们二面角的 大小呢？
第九页，编辑于星期五：十点 三十六分。
三、平行关系：
设直线 l1 , l2 的方向向量分别为 e1 , e2 ，平面 1 ,2 的法向量分别为 n1, n2 ，则
稳固性训练3
1、设平面 的法向量为(1,2,-2),平面 的法向量为(-
2,-4,k),假设 // ，那么k=
；假设
那么 k=
。
2、 l，//且 的方l 向向量为(2,m,1)，平面的法向
量为(1,1/2,2),那么m=
.
3(1、,1假/2,设l2),且的l方向向，量那为么(m2,=1,m),平面
2018学年高中数学选修2-1课件：3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量 精品
阶
阶
段
段
一
三
3.2 空间向量的应用
3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量 学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1．理解直线的方向向量和平面的法向量．(重点) 2．会用待定系数法求平面的法向量．(难点) 3．平面法向量的设法．(易错点)
[基础·初探] 教材整理 1 直线的方向向量 阅读教材 P99 上半部分，完成下列问题． 我们把直线 l 上的向量 e(e≠0)以及_与__e_共__线____的非零向量叫做直线 l 的 _方__向__向__量___．
(3)给定空间中任意一点 A 和非零向量 a，就可以确定惟一一条过点 A 且平 行于向量 a 的直线．
(4)表示同一条直线的方向向量，由于它们的模不一定相等，因此，它们不 一定相等；虽然这些方向向量都与直线平行，但它们的方向不一定相同，还可 能相反．
探究 2 过空间任意一定点 P，能否作出平面 α 的法向量？能作几条？ 【提示】 由于过空间任意一点 P，有且仅有一条直线 PO 垂直于平面 α， 因此，过空间任意一点都能作出平面 α 的法向量． 由于直线 PO 的方向向量有无数个，因此，过点 P 的平面 α 的法向量也有无 数个． 探究 3 求平面法向量的坐标时，为什么只构建两个方程求解？ 【提示】 根据线面垂直的判定定理可知，只要直线垂直于该平面内的任 意两条相交直线，它就垂直于该平面，也就垂直于该平面内的任意直线，因此， 求法向量的坐标只要满足两个方程就可以了．
求平面的法向量
如图 3-2-1，ABCD 是直角梯形，∠ABC＝90°，
SA⊥平面 ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝12，求平面 SBA
与平面 SCD 的法向量． 【精彩点拨】 因为与平面垂直的向量为平面的法向
阶
段
段
一
三
3.2 空间向量的应用
3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量 学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1．理解直线的方向向量和平面的法向量．(重点) 2．会用待定系数法求平面的法向量．(难点) 3．平面法向量的设法．(易错点)
[基础·初探] 教材整理 1 直线的方向向量 阅读教材 P99 上半部分，完成下列问题． 我们把直线 l 上的向量 e(e≠0)以及_与__e_共__线____的非零向量叫做直线 l 的 _方__向__向__量___．
(3)给定空间中任意一点 A 和非零向量 a，就可以确定惟一一条过点 A 且平 行于向量 a 的直线．
(4)表示同一条直线的方向向量，由于它们的模不一定相等，因此，它们不 一定相等；虽然这些方向向量都与直线平行，但它们的方向不一定相同，还可 能相反．
探究 2 过空间任意一定点 P，能否作出平面 α 的法向量？能作几条？ 【提示】 由于过空间任意一点 P，有且仅有一条直线 PO 垂直于平面 α， 因此，过空间任意一点都能作出平面 α 的法向量． 由于直线 PO 的方向向量有无数个，因此，过点 P 的平面 α 的法向量也有无 数个． 探究 3 求平面法向量的坐标时，为什么只构建两个方程求解？ 【提示】 根据线面垂直的判定定理可知，只要直线垂直于该平面内的任 意两条相交直线，它就垂直于该平面，也就垂直于该平面内的任意直线，因此， 求法向量的坐标只要满足两个方程就可以了．
求平面的法向量
如图 3-2-1，ABCD 是直角梯形，∠ABC＝90°，
SA⊥平面 ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝12，求平面 SBA
与平面 SCD 的法向量． 【精彩点拨】 因为与平面垂直的向量为平面的法向
高中数学 3-2-1 空间向量与平行关系课件 新人教A版选修2-1
(3)①∵u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)， ∴u·a＝－6＋8－2＝0， ∴u⊥a，∴l⊂α 或 l∥α. ②∵u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)，u＝－14a， ∴u∥a，∴l⊥α. ③∵u＝(4,1,5)，a＝(2，－1,0)，∴u 与 a 不共 线，也不垂直，∴l 与 α 斜交．
图2
证明：方法一：以D为原点，DA，DC，DD1所在 直线分别为x，y，z轴建立如图2所示的空间直角坐标 系．
设正方体的棱长为2， 则A(2,0,0)，D1(0,0,2)，C(0,2,0)， B(2,2,0)，O1(1,1,2)，
∴A→D1＝ (－ 2, 0,2)，C→D1 ＝(0，－ 2,2)， B→O1＝ (－ 1，－ 1,2)， ∴B→O1＝12A→D1＋12C→D1， ∴B→O1与A→D1、C→D1共面， ∴B→O1∥平面 ACD1.又 BO1⊄平面 ACD1， ∴BO1∥平面 ACD1.
[点评] 用向量法证明线面平行常用三种方法：一 是证明直线上某个向量与平面内某一向量共线；二是 证明直线上的某个向量与平面内的两个不共线向量共 面，且不在平面内；三是证明直线上某个向量与平面 的法向量垂直．
迁移体验3 如图6，在长方体OAEB－O1A1E1B1中， OA＝3，OB＝4，OO1＝2，点P在棱AA1上，且AP＝ 2PA1，点S在棱BB1上，且SB1＝2BS，点Q、R分别是 O1B1、AE的中点，求证：PQ∥RS.
图3
解析：∵AD、AB、AS 是两两垂直的线段， ∴以 A 为原点，以射线 AD、AB、AS 所在直 线为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立坐标系， 则 A(0,0,0)、D(12，0,0)、C(1,1,0)，S(0,0,1)， A→D＝(12，0,0)是平面 SAB 的法向量，
人教A版高中数学选修2-1课件高二：3-2-1直线的方向向量和平面的法向量
探索延拓创新 命题方向 用向量讨论立体几何中的平行或垂直问题
[例 4] 三条直线 a、b、c，若 a∥b，a∥c，求证 b∥c.
[证明] 设 a、b、c 的方向向量分别为 e1、e2、e3，
∵a∥b，∴存在 k∈R，使 e2＝ke1， ∵a∥c，∴存在实数 m，使 e1＝me3，
∴e2＝(km)e3，
[答案] (1，－1,3)(或 e＝λ(1，－1,3)且 λ≠0 中任选一个即 可)
课后强化作业（点此链接）
[分析] 设 l1、l2 的方向向量分别为 a，b，则 l1∥l2 或 l1 与 l2 重合⇔a∥b，l1⊥l2⇔a⊥b.
[解析] (1)显然有 b＝3a，即 a∥b， ∴l1∥l2(或 l1 与 l2 重合)． (2)a·b＝－2＋6－4＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2. (3)显然 b＝－4a，即 a∥b，故 l1∥l2(或 l1 与 l2 重合)．
[解析] 设平面 ABC 的一个法向量为 n＝(x，y，z)， 由题意A→B＝(－1,1,0)，B→C＝(1,0，－1)．
∵n⊥A→B且 n⊥B→C，
∴nn··BA→ →CB＝ ＝－ x－x＋ z＝y0＝0 ， 令 x＝1 得 y＝z＝1. ∴平面 ABC 的一个法向量为 n＝(1,1,1)．
直线 a 与 b 的方向向量分别为 e＝(2,1，－3)和 n＝(－1,1，
－13)，则 a 与 b 的位置关系是( )
A．平行
B．垂直
C．相交
D．重合
[答案] B
[解析] ∵e·n＝2×(－1)＋1×1＋(－3)×(－13)＝－2＋1 ＋1＝0，∴e⊥n，∴a⊥b.
命题方向 利用法向量研究两平面位置关系
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高中数学人教A版选修2-13.2.1直线的方向向量和平面的法向量.docx
3.2.1直线的方向向量和平面的法向量1．若平面α、β的法向量分别为a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，3，b ＝(－1，2,6)，则( ) A ．α∥βB ．α与β相交但不垂直C ．α⊥βD ．α∥β或α与β重合2．直线l 1、l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，3,2)，则( )A ．l 1∥l 2B ．l 1与l 2相交，但不垂直C ．l 1⊥l 2D ．不能确定3．在如图所示的坐标系中，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，给出下列结论：①直线DD 1的一个方向向量为(0,0,1)．②直线BC 1的一个方向向量为(0,1,1)．③平面ABB 1A 1的一个法向量为(0,1,0)．④平面B 1CD 的一个法向量为(1,1,1)．其中正确的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．若a ＝(1,2,3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量的是( )A ．(0,1,2)B ．(3,6,9)C ．(－1，－2,3)D ．(3,6,8) 5．如果一条直线l 与平面α内的两条直线垂直，那么l 与α的位置关系是A ．平行B ．垂直C．l⊂αD．不确定6．平面的一条斜线和这个平面所成的角θ的范围是()A．0°<θ<180°B．0°≤θ≤90°7．已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2，0)，则平面α的一个法向量是________(写出一个即可)．8．已知空间直角坐标系O－xyz中的点A(1,1,1)，平面α过点A并且与直线OA 垂直，动点P(x，y，z)是平面α内的任一点，则点P的坐标满足的条件为________．9．在底面为正方形的四棱锥P－ABCD中，E是PC中点，求证：P A∥平面EDB.10．如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面边长为22，侧棱长为4，E，F分别是棱AB、BC的中点，EF∩BD＝G.求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1.3.2.1直线的方向向量和平面的法向量1． [答案] D[解析] ∵b ＝－2a ，∴b ∥a ，∴α∥β或α与β重合．2． [答案] C[解析] ∵a ·b ＝0，∴a ⊥b ，∴l 1⊥l 2.3． [答案] C[解析] DD 1∥AA 1，＝(0,0,1)；BC 1∥AD 1，＝(0,1,1)，直线AD ⊥平面ABB 1A 1， AD ＝(0,1,0)；C 1点坐标为(1,1,1)，与平面B 1CD 不垂直，∴④错．4．[答案] B[解析] 因为(3,6,9)＝3(1,2,3)＝3a ，即向量(3,6,9)与a 平行，故(3,6,9)能作为平面γ的法向量．5． [答案] D[解析] 直线和平面可能的位置关系是平行，垂直，在平面内，故选D.6．[答案] D[解析] 由斜线和平面所成的角定义知选D.7． [答案] 形如(2k ，k,0) (k ≠0)的都可以[解析] 因为A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)，所以AB ＝(1，－2，－4)，AC ＝(2，－4，－3)．设平面α的法向量是n ＝(x ，y ，z )，依题意，应有n ·AB ＝0且n ·AC ＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －4z ＝0，2x －4y －3z ＝0.解得z ＝0且x ＝2y . 令y ＝1，则x ＝2，所以平面α的一个法向量是n ＝(2,1,0)．(答案不唯一)8． [答案] x ＋y ＋z ＝3[解析] 由题意知，OA ⊥α，直线OA 的方向向量＝(1,1,1)，因为P ∈α，∴OA ⊥AP ，∴(1,1,1)·(x －1，y －1，z －1)＝0，∴x ＋y ＋z ＝3.9． [证明] 设DA ＝a ，DC ＝b ，DP ＝c ，则DE ＝12(b ＋c )， DB ＝12(a ＋b )， PA ＝a －c ，∵PA ＝2DB －2DE ，∴PA 与DE 、DB 共面，∵DB 、DE 不共线，P A ⊄平面BDE .∴P A ∥平面BDE .10． [解析] 以D 为原点，DA 、DC 、DD 1分别为x 轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系，由题意知：D(0,0,0)，B1(22，22，4)，E(22，2，0)，F(2，22，0)，1B E＝(0，－2，－4)，EF＝(－2，2，0)．设平面B1EF的一个法向量为n＝(x，y，z)．则n·1B E＝－2y－4z＝0，n·EF＝－2x＋2y＝0.解得x＝y，z＝－24y，令y＝1得n＝(1,1，－24)，又平面BDD1B1的一个法向量为AC＝(－22，22，0)而n·AC＝1×(－22)＋1×22＋(－24)×0＝0即n⊥AC.∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.。
高中数学人教A版选修2-1第三章立体几何中的向量法课件
高中数学人教A版选修2-1第三章立体 几何中 的向量 法课件 高中数学人教A版选修2-1第三章立体 几何中 的向量 法课件
例1. 如图所示, 正方体的棱长为1 (1)直线OA的一个方向向量坐标为___(_1,_0_,_0_)___ (2)平面OABC 的一个法向量坐标为__(_0_,0__,1_)____ (3)平面AB1C 的一个法向量坐标为__(_-_1,_-1_,1_)____
2、点到平面的距离
解：如图，以点D为原点，DA为 x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立 空间直坐标系O-xyz.
取x=1,得y=1,z=1 设点A到平面PQL的距离为d
课堂小结：
三角 线线所成角，余弦不要绝对值； 线面所成角，正弦加上绝对值； 面面所成角，余弦加上绝对值， 若要去掉绝对值，符号看图来决定！
1、线面平行
高中数学人教A版选修2-1第三章立体 几何中 的向量 法课件
2、线面垂直
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3、面面平行
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高中数学人教A版选修2-1第三章立体 几何中 的向量 法课件
例2.在空间直角坐标系中,已知A(3，0,0), B(0，4，0),C(0，0，2),试求平面ABC的 一个法向量.
注意：法向量不唯一
高中数学人教A版选修2-1第三章立体 几何中 的向量 法课件
三、直线与平面、平面与平面的 平行与垂直的判断
高中数学人教A版选修2-1第三章立体 几何中 的向量 法课件 高中数学人教A版选修2-1第三章立体 几何中 的向量 法课件
高中数学人教A版选修2-1练习课件：3-2-1 直线的方向向量及平面的法向量
[思路分析]
→ → 由点的坐标可得 BD 、 CA 的坐标，利用向量平
行的充要条件求得D点坐标．
[完美作答] 由题意可设点D的坐标为(x,0，z)，)．
x－2＝0， ∵BD∥CA，∴ z＝5， x＝2， ∴ z＝5，
.
1. 直线的方向向量与平面的法向量是否唯一？各有几条？ 它们各自之间的关系是怎样的？ 提示：都不唯一．各有无数条，直线的方向向量都是平行 向量，平面的法向量都是平行向量．
2. 量？
证明过程中，如何确定直线的方向向量和平面的法向
提示：实际应用中，直线的方向向量即把线段看作有向线 段时表示的向量．平面的法向量一般可建系后用待定系数法求 出．
→ 知，存在有序实数对(x，y)，使得 OP ＝xa＋yb，这样点O与方向 向量a，b不仅可以确定平面α的位置，还可以具体表示出α上的 任意点．
2. 关于平面的法向量的理解 所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向 量，显然一个平面的法向量也有无数个，它们是共线向量．在 实际应用中，根据题意可以选取单位向量或各坐标为整数的向 量作为法向量． 在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向 量且经过点A的平面是唯一确定的．
(4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平 面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单 的作为平面的法向量． 注意：平面的法向量一定是非零向量，赋值时，要保证 n≠(0,0,0).
No.1 例1
直线的方向向量 已知O为坐标原点，四面体OABC的顶点A(0,3,5)，
B(2,2,0)，C(0,5,0)，直线BD∥CA，并且与坐标平面xOz相交于点 D，求点D的坐标．
7．设直线 l 的方向向量是 u＝(a1，b1，c1)，平面 α 的法向量
高中数学第三章3.2立体几何中的向量方法3.2.1直线的方向向量及平面的法向量课件新人教A版选修2_1
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
[解析] (1)A→B＝12，2，72－－12，0，12＝(1,2,3)，13，23，1＝13(1,2,3)＝13 A→B，又因为与A→B共线的非零向量都可以作为直线 l 的方向向量．故选 A.
(2)由题意可设点 D 的坐标为(x,0，z)，
3．2.1 直线的方向向量及平面 的法向量
课前自主预习
课前自主学习
课堂合作研究
随堂基础巩固
课后课时精练
1．用向量表示直线的位置
直线 l 上一点 A
条件 表示直线 l 方向的向量 a(即直线 l 的□01 方向向量 )
在直线 l 上取 A→B＝a，那么对于直线 l 上任意一点 P，
形式
一定存在实数 t 使得A→P＝
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
3．空间中平行、垂直关系的向量表示 设直线 l，m 的方向向量分别为 a，b，平面 α，β 的法向量分别为 u，v， 则
线线平行 l∥m⇔ □06 a∥b ⇔□07 a＝kb(k∈R)
线面平行 l∥α⇔ □08 a⊥u ⇔ □09 a·u＝0
面面平行 α∥β⇔ □10 u∥v ⇔ □11 u＝kv(k∈R)
□02 tA→B
作用
定位置 定点
点 A 和向量 a 可以确定直线的位置 可以具体表示出 l 上的任意一点
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
2．用向量表示平面的位置 (1)通过平面 α 上的一个定点和两个向量来确定
条件 平面 α 内两条 □03 相交 直线的方向
向量 a，b 和交点 O 对于平面 α 上任意一点 P，存在有序实
2019-2020年新版高中数学人教A版选修2-1课件：第三章空间向量与立体几何 3.2.1
①a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3);
②a=(5,0,2),b=(0,4,0).
(2)设u,v分别是两个不同的平面α,β的法向量,判断α,β的位置关系:
①u=(1,-1,2),v=
3,2,-
1 2
;
②u=(0,3,0),v=(0,-5,0).
(3)设u是α的法向量,a是直线l的方向向量,判断α,l的位置关系:
(4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
在利用上述步骤求解平面的法向量时,方程组
������·������ = 0, ������·������ = 0
有无数多个解,只需给 x,y,z 中的一个变量赋一个值,即可确定平面的
一个法向量;赋的值不同,所求平面的法向量就不同,但它们是共线向
量.注意赋值不能为零.
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
①由平面与平面平行的判定定理可知,要证明面面平行,只要转
化为证明相应的线面平行、线线平行即可.
②若能求出平面α,β的法向量u,v,则要证明α∥β,只需证明u∥v即
可.
题型一
题型二
题型三
利用向量方法判定线、面的位置关系
【例1】 (1)设a,b分别是两条不同的直线l1,l2的方向向量,判断l1,l2 的位置关系:
证明a⊥u,即a·u=0.
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.1空间向量与平行关系课件新人教A版选修21
(1)设 n1＝(x1，y1，z1)是平面 ADE 的法向量，则 n1⊥D→A，n1⊥A→E， 即nn11· ·AD→→EA＝＝22yx11＋＝z01，＝0，得xz11＝＝－0，2y1， 令 z1＝2，则 y1＝－1，所以 n1＝(0，－1，2)． 因为F→C1·n1＝－2＋2＝0，所以F→C1⊥n1． 又因为 FC1⊄平面 ADE，所以 FC1∥平面 ADE．
(2)D→B＝(2，2，0)，D→E＝(1，0，2)． 设平面 BDEF 的一个法向量为 n＝(x，y，z)． ∴nn··DD→→BE＝＝00，， ∴2x＋x＋22z＝y＝0，0，∴yz＝＝－－12x， x. 令 x＝2，得 y＝－2，z＝－1． ∴n＝(2，－2，－1)即为平面 BDEF 的一个法向量．
【自主解答】 以点 A 为原点，AD、AB、AS 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、z 轴，建立如图所示的坐标系，则 A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1， 0)，D12，0，0，S(0，0，1)．
(1)∵SA⊥平面 ABCD， ∴A→S＝(0，0，1)是平面 ABCD 的一个法向量．
第九页，共47页。
图322
【解】 设正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2，则 D(0，0，0)，B(2， 2，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，E(1，0，2)．
(1)连接 AC，因为 AC⊥平面 BDD1B1，所以A→C＝(－2，2，0)为平面 BDD1B1 的一个法向量．
第十五页，共47页。
－x1＋4z1＝0， 即32y1＋4z1＝0. 令 x1＝1，得 z1＝14，y1＝－23．
第二十八页，共47页。
nn22· ·DD→→EF＝＝00，，即32x2y＋2＋34y2z＋2＝40z2，＝0， 令 y2＝－1，得 z2＝38，x2＝32． ∴n1＝1，－23，14，n2＝32，－1，38， ∴n1＝23n2，即 n1∥n2， ∴平面 AMN∥平面 EFBD．
高中数学人教版选修2-1配套课件：3.2.2平面的法向量与平面的向量表示
第三章 3.2 3.2.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·选修2-1
名师点拨： 两条直线所成的角可以通过这两条直线的方 向向量的夹角求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹 角是钝角时，应取其补角作为两直线所成的角．
第三章 3.2 3.2.2
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第三章 3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示
第三章
空间向量与立体几何
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课前自主预习
课堂典例讲练
方法警示探究 思想方法技巧
易错疑难辨析
课后强化作业
第三章 3.2 3.2.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·选修2-1
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[ 解析]
设单位法向量为 n＝(x，y，z)，
→ → AB＝(－1,1,0)，AC＝(－1,0,1)． → n· AB＝－x＋y＝0， → AC＝－x＋z＝0， n· 2 2 2 x ＋y ＋z ＝1， 3 3 3 解得 n＝± ( 3 ， 3 ， 3 )．
第三章 3.2 3.2.2
第三章 3.2 3.2.2
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1.用向量运算证明两直线垂直，或求两直线所成的角
(1)设两条直线所成的角为θ(锐角)，则直线方向向量间的 相等或互补 ； 夹角与θ______________
(2)设直线l1和l2的方向向量分别为 v1和v2，直线l1与l2的夹 v1⊥v2，cosθ＝______________. |cos<v1，v2>| 角为θ，则l1⊥l2⇔________
人教A版高中数学选修2-1课件3.2第2课时空间向量与垂直关系
2．若直线l的方向向量为a＝(－1,0，－2)，平面α的法向量 为u＝(4,0,8)，则( )
A．l∥α
B．l⊥α
C．l⊂α
D．l与α斜交
解析： ∵a∥u，∴l⊥α.
答案： B
3．已知 A→B ＝(1,5，－2)， B→C ＝(3,1，z)，若 A→B ⊥ B→C ， B→P ＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x＝________，y ＝________，z＝________.
解析： 由A→B⊥B→C得3＋5－2z＝0 ∴z＝4，∴B→C＝(3,1,4)． ∵BP⊥平面ABC ∴B→P·A→B＝ B→P·B→C＝0 ， 即x－1＋5y＋6＝ x－1＋y－12＝0 ，
解得xy＝ ＝4－70175
答案：
40 7
－175
4
4．如图所示，在正方体ABCD－ A1B1C1D1中，E，F分别是B1B、DC的中点，
∴A→1O·B→D＝c＋12a＋12b·(b－a) ＝c·(b－a)＋12(a＋b)·(b－a) ＝c·b－c·a＋12(b2－a2)＝12(|b|2－|a|2)＝0. ∴A→1O⊥B→D，∴A1O⊥BD. 同理可证，A→1O⊥O→G， ∴A1O⊥OG. 又∵OG∩BD＝O，且A1O⊄平面GBD， ∴A1O⊥平面GBD.
证明： 以A为原点，AB，AD，AA1所在 直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空 间直角坐标系A－xyz.设正方体的棱长为2，则 A(0,0,0)，
B(2,0,0)，D(0,2,0)，A1(0,0,2)，E(1，1,0)，C1(2,2,2)． (1)A→C1＝(2,2,2)，B→D＝(－2,2,0) A→C1·B→D＝(2,2,2)·(－2,2,0) ＝2×(－2)＋2×2＋2×0＝0 ∴A→C1⊥B→D，∴AC1⊥BD.
人教A版高中数学选修2-1课件第三章3.2第二课时空间向量与垂直关系
AC ＝(－1，－1,1)· (－2,2,0)＝2－2＋0＝0， EF ·
∴ EF ⊥ AB1 ， EF ⊥ AC ， ∴EF⊥AB1，EF⊥AC. 又 AB1∩AC＝A， ∴EF⊥平面 B1AC.
法三：同法二得 AB1 ＝(0,2,2)， AC ＝(－2,2,0)，
EF ＝(－1，－1,1)．
设平面 B1AC 的法向量 n＝(x，y，z)， 则 AB1 · n＝0， AC · n＝0，
3．已知直线l与平面α垂直，直线的一个方向向量为u＝ (1,3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z＝ ________. 解析：∵l⊥α，v∥α，∴u⊥v. ∴(1,3，z)· (3，－2,1)＝0，即3－6＋z＝0，z＝3.
答案：3
4.如图所示，在正方体ABCD－
A1B1C1D1中，O为AC与BD的
交点，G为CC1的中点，求证： A1O⊥平面GBD.
证明：法一：设 A1 B 1 ＝a， A1 D 1 ＝b， A1 A ＝c， 则 a· b＝0，b· c＝0，a· c＝0. 1 而 A1O ＝ A1 A ＋ AO ＝ A1 A ＋2( AB ＋ AD ) 1 ＝c＋2(a＋b)，
BD ＝ AD － AB ＝b－a，
1 2 ＝ (b －a2＋c· a＋c· b) 2 1 2 ＝ (|b| －|a|2＋0＋0)＝0. 2 ∴ EF ⊥ AB1 ，即 EF⊥AB1.同理，EF⊥B1C. 又 AB1∩B1C＝B1，∴EF⊥平面 B1AC. 法二：设正方体的棱长为 2，以 D 为原点，以 DA，DC，DD1 所在直线分 别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空 间直角坐标系，
(1) BD1 ＝(－1，－1,1)， AC ＝(－1，1,0)，
AC ＝(－1)×(－1)＋(－1)×1＋1×0＝0， ∴ BD1 ·
∴ EF ⊥ AB1 ， EF ⊥ AC ， ∴EF⊥AB1，EF⊥AC. 又 AB1∩AC＝A， ∴EF⊥平面 B1AC.
法三：同法二得 AB1 ＝(0,2,2)， AC ＝(－2,2,0)，
EF ＝(－1，－1,1)．
设平面 B1AC 的法向量 n＝(x，y，z)， 则 AB1 · n＝0， AC · n＝0，
3．已知直线l与平面α垂直，直线的一个方向向量为u＝ (1,3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z＝ ________. 解析：∵l⊥α，v∥α，∴u⊥v. ∴(1,3，z)· (3，－2,1)＝0，即3－6＋z＝0，z＝3.
答案：3
4.如图所示，在正方体ABCD－
A1B1C1D1中，O为AC与BD的
交点，G为CC1的中点，求证： A1O⊥平面GBD.
证明：法一：设 A1 B 1 ＝a， A1 D 1 ＝b， A1 A ＝c， 则 a· b＝0，b· c＝0，a· c＝0. 1 而 A1O ＝ A1 A ＋ AO ＝ A1 A ＋2( AB ＋ AD ) 1 ＝c＋2(a＋b)，
BD ＝ AD － AB ＝b－a，
1 2 ＝ (b －a2＋c· a＋c· b) 2 1 2 ＝ (|b| －|a|2＋0＋0)＝0. 2 ∴ EF ⊥ AB1 ，即 EF⊥AB1.同理，EF⊥B1C. 又 AB1∩B1C＝B1，∴EF⊥平面 B1AC. 法二：设正方体的棱长为 2，以 D 为原点，以 DA，DC，DD1 所在直线分 别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空 间直角坐标系，
(1) BD1 ＝(－1，－1,1)， AC ＝(－1，1,0)，
AC ＝(－1)×(－1)＋(－1)×1＋1×0＝0， ∴ BD1 ·
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成才之路 ·数学
人教A版 ·选修2-1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章 空间向量与立体几何
第三章 3.2 立体几何中的向量方法
第1课时 直线的方向向量和平面的法向量
1 自主预习学案 2 典例探究学案 3 巩固提高学案
自主预习学案
• 1．理解直线的方向向量，平面的法向量．
• 2．能够利用直线的方向向量和平面的法向量 处理线面的位置关系．
量来讨论直线的位置关系，那么在空间向量 中我们能否用直线的方向向量与平面的法向 量来讨论空间线面的位置关系呢？
• 新知导学
• 4．空间直线与平面的位置关系可以用直线的 方向向量与平面的法向量的位置关系来研究 ．
Байду номын сангаас
• 设直线l、m的方向向量分别为a、b，平面α
、β的法向量分别为u、v，当l，m不重合，α
• 重点：平面的法向量． • 难点：利用向量知识处理立体几何问题．
直线的方向向量与平面的法向量
• 温故知新 • 1．回想在平面向量中，怎样求一条直线的方
向向量．
• 思维导航 • 1．怎样确定空间一条直线的方向向量？ • 2．一点A和一个方向可以确定一条直线吗？
类似的，一点A和一个方向能确定一个平面 吗？这个方向对平面有何特殊意义？
• (4)l⊥α⇔_a∥_u______存⇔在k_∈_R，_使_a_＝_ku____________
_．
u∥v
存在k∈R，使u＝kv
• (5)α∥β⇔__u_⊥_v____⇔u·_v＝_0________________ ___；
• (6)α⊥β⇔________⇔__________． • 注：①由前提知la⊄α，b，u，v都是非零向量．
的平面唯一确定．
• 通过平面的法向量能研究直线与平面的平行 、垂直、平面与平面的平行、垂直、线面角 、二面角及距离问题等，应用非常广泛．
• 牛刀小试
• 1．若a＝(1,2,3)是平面α的一个法向量，则下 列向量中能作为平面α的法向量的是( )
• A．(0,1,2)
B．(3,6,9)
• C．(－1，－2,3) D．(3,6,8)
• 3．直线l经过点A(0,1，－1)、B(1,0,2)，则l 的一个方向向量e＝__________．
• [答案] (1，－1,3)(或e＝λ(1，－1,3)且λ≠0 中任选一个即可)
直线的方向向量与平面的法向量在研究空间 线面位置关系中的应用
• 思维导航 • 4．在平面向量中，我们可以用直线的方向向
A．x＝6，y＝15
B．x＝3，y＝125
C．x＝10，y＝15
• [答案] D
D．x＝10，y＝225
[解析] ∵l1∥l2，∴a∥b， ∴52＝4x＝5y，∴xy＝ ＝12205， .
5．(2013·四川省成都七中期末)已知直线 l 过点 P(1,0，－
1)且平行于向量 a＝(2,1,1)，平面 α 过直线 l 与点 M(1,2,3)，则
O→P＝__x_a＋__y_b____． 这样，点 O 与向量 a，b 不仅可以确定平面 α 的位置，还 可以具体表示出 α 内的任意一点．
• 3．用平面的法向量表示空间中平面的位置．
如图所示，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a
叫做平面α的__________．
法向量
给定一点A和一个向量a，那么过点A以向量a为法向量
典例探究学案
根据方向向量确定两直线位置关系
设 a、b 分别是不重合直线 l1、l2 的方向向量， 根据下列条件判断 l1、l2 的位置关系．
α与β不重合
• ②用(1)证明线线平行时，必须指明l与m不重 合；用(3)证明线面平行时必须说明_______ ；用(5)证明二面平行时，必须说明 ________________．
牛刀小试
4．已知向量 a＝(2,4,5)，b＝(5，x，y)分别是直线 l1、l2 的 方向向量，若 l1∥l2，则( )
平面 α 的法向量不．可．能．是( A．(1，－4,2)
) B．(14，－1，12)
C．(－14，1，－12)
D．(0，－1,1)
• [答案] D
[解析] 因为P→M＝(0,2,4)，直线 l 平行于向量 a，若 n 是平 面 α 的法向量，则必须满足nn··aP→＝M＝0 0 ，把选项代入验证，只 有选项 D 不满足，故选 D．
• 3．怎样确定一个平面的法向量．
新知导学 1．空间中任意一条直线 l 的位置可 以由 l 上一个_定__点_A___以及一个_定__方_向____ 确定．如图所示，点 A 是直线 l 上一点， 向量 a 表示直线 l 的方向(方向向量)，O 是空间任一点．在直线 l 上取A→B＝a，那 么对于直线 l 上任意一点 P，一定存在实数 t，使得 A→P＝t___A→_B___或O→P＝(1－t)O→A＋tO→B．
• [答案] B
• [解析] ∵a＝(1,2,3)，
• ∴向量(3,6,9)＝3(1,2,3)＝3a，
• ∴向量(3,6,9)能作为平面α的法向量．
• 2．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α 的法向量为u＝(－2,0，－4)，则( )
• A．l∥α B．l⊥α • C．l⊂α D．l与α斜交 • [答案] B • [解析] ∵u＝－2a，∴u∥a，∴l⊥α．
、β不重合a且∥b l、m不存在在k∈平R，面使aα＝、kb β内时，有
• (1)l∥m⇔_a_⊥_b ____a⇔·b＝_0__________________
___；
a⊥u
a·u＝0
• (2)l⊥m⇔_______⇔__________；
• (3)l∥α⇔________⇔__________；
• 这样，点A和向量a不仅可以确定直线l的位置 ，还可以具体表示出l上的任意一点．
• 依据直线的方向向量可以确定直线平行的条 件P→Q，计算两条直线所成的角，研究线面的平 行与垂直等．
• 在直线上任取两点P、Q，可得到直线的一个 方向向量__________．
2．空间中平面 α 的位置可以由 α 内两条__相__交______直线来 确定． 设这两条直线相交于点 O，它们的方向向量分别为 a 和 b，P 为平面 α 上任意一点，由平面向量基本定理可知，存 在有序实数对(x，y)，使得
人教A版 ·选修2-1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章 空间向量与立体几何
第三章 3.2 立体几何中的向量方法
第1课时 直线的方向向量和平面的法向量
1 自主预习学案 2 典例探究学案 3 巩固提高学案
自主预习学案
• 1．理解直线的方向向量，平面的法向量．
• 2．能够利用直线的方向向量和平面的法向量 处理线面的位置关系．
量来讨论直线的位置关系，那么在空间向量 中我们能否用直线的方向向量与平面的法向 量来讨论空间线面的位置关系呢？
• 新知导学
• 4．空间直线与平面的位置关系可以用直线的 方向向量与平面的法向量的位置关系来研究 ．
Байду номын сангаас
• 设直线l、m的方向向量分别为a、b，平面α
、β的法向量分别为u、v，当l，m不重合，α
• 重点：平面的法向量． • 难点：利用向量知识处理立体几何问题．
直线的方向向量与平面的法向量
• 温故知新 • 1．回想在平面向量中，怎样求一条直线的方
向向量．
• 思维导航 • 1．怎样确定空间一条直线的方向向量？ • 2．一点A和一个方向可以确定一条直线吗？
类似的，一点A和一个方向能确定一个平面 吗？这个方向对平面有何特殊意义？
• (4)l⊥α⇔_a∥_u______存⇔在k_∈_R，_使_a_＝_ku____________
_．
u∥v
存在k∈R，使u＝kv
• (5)α∥β⇔__u_⊥_v____⇔u·_v＝_0________________ ___；
• (6)α⊥β⇔________⇔__________． • 注：①由前提知la⊄α，b，u，v都是非零向量．
的平面唯一确定．
• 通过平面的法向量能研究直线与平面的平行 、垂直、平面与平面的平行、垂直、线面角 、二面角及距离问题等，应用非常广泛．
• 牛刀小试
• 1．若a＝(1,2,3)是平面α的一个法向量，则下 列向量中能作为平面α的法向量的是( )
• A．(0,1,2)
B．(3,6,9)
• C．(－1，－2,3) D．(3,6,8)
• 3．直线l经过点A(0,1，－1)、B(1,0,2)，则l 的一个方向向量e＝__________．
• [答案] (1，－1,3)(或e＝λ(1，－1,3)且λ≠0 中任选一个即可)
直线的方向向量与平面的法向量在研究空间 线面位置关系中的应用
• 思维导航 • 4．在平面向量中，我们可以用直线的方向向
A．x＝6，y＝15
B．x＝3，y＝125
C．x＝10，y＝15
• [答案] D
D．x＝10，y＝225
[解析] ∵l1∥l2，∴a∥b， ∴52＝4x＝5y，∴xy＝ ＝12205， .
5．(2013·四川省成都七中期末)已知直线 l 过点 P(1,0，－
1)且平行于向量 a＝(2,1,1)，平面 α 过直线 l 与点 M(1,2,3)，则
O→P＝__x_a＋__y_b____． 这样，点 O 与向量 a，b 不仅可以确定平面 α 的位置，还 可以具体表示出 α 内的任意一点．
• 3．用平面的法向量表示空间中平面的位置．
如图所示，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a
叫做平面α的__________．
法向量
给定一点A和一个向量a，那么过点A以向量a为法向量
典例探究学案
根据方向向量确定两直线位置关系
设 a、b 分别是不重合直线 l1、l2 的方向向量， 根据下列条件判断 l1、l2 的位置关系．
α与β不重合
• ②用(1)证明线线平行时，必须指明l与m不重 合；用(3)证明线面平行时必须说明_______ ；用(5)证明二面平行时，必须说明 ________________．
牛刀小试
4．已知向量 a＝(2,4,5)，b＝(5，x，y)分别是直线 l1、l2 的 方向向量，若 l1∥l2，则( )
平面 α 的法向量不．可．能．是( A．(1，－4,2)
) B．(14，－1，12)
C．(－14，1，－12)
D．(0，－1,1)
• [答案] D
[解析] 因为P→M＝(0,2,4)，直线 l 平行于向量 a，若 n 是平 面 α 的法向量，则必须满足nn··aP→＝M＝0 0 ，把选项代入验证，只 有选项 D 不满足，故选 D．
• 3．怎样确定一个平面的法向量．
新知导学 1．空间中任意一条直线 l 的位置可 以由 l 上一个_定__点_A___以及一个_定__方_向____ 确定．如图所示，点 A 是直线 l 上一点， 向量 a 表示直线 l 的方向(方向向量)，O 是空间任一点．在直线 l 上取A→B＝a，那 么对于直线 l 上任意一点 P，一定存在实数 t，使得 A→P＝t___A→_B___或O→P＝(1－t)O→A＋tO→B．
• [答案] B
• [解析] ∵a＝(1,2,3)，
• ∴向量(3,6,9)＝3(1,2,3)＝3a，
• ∴向量(3,6,9)能作为平面α的法向量．
• 2．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α 的法向量为u＝(－2,0，－4)，则( )
• A．l∥α B．l⊥α • C．l⊂α D．l与α斜交 • [答案] B • [解析] ∵u＝－2a，∴u∥a，∴l⊥α．
、β不重合a且∥b l、m不存在在k∈平R，面使aα＝、kb β内时，有
• (1)l∥m⇔_a_⊥_b ____a⇔·b＝_0__________________
___；
a⊥u
a·u＝0
• (2)l⊥m⇔_______⇔__________；
• (3)l∥α⇔________⇔__________；
• 这样，点A和向量a不仅可以确定直线l的位置 ，还可以具体表示出l上的任意一点．
• 依据直线的方向向量可以确定直线平行的条 件P→Q，计算两条直线所成的角，研究线面的平 行与垂直等．
• 在直线上任取两点P、Q，可得到直线的一个 方向向量__________．
2．空间中平面 α 的位置可以由 α 内两条__相__交______直线来 确定． 设这两条直线相交于点 O，它们的方向向量分别为 a 和 b，P 为平面 α 上任意一点，由平面向量基本定理可知，存 在有序实数对(x，y)，使得