数列与不等式均是高中数学的重点和难点,在高考中都占有

数列与不等式均是高中数学的重点和难点,在高考中都占有较大的比重,常综合在一起进行考查,并以压轴题的形式出现.数列求和型不等式便是高考数学压轴题经常出现的问题,因此对其进行解题研究就显得非常必要.通常情况下,放缩法常常被用于解决数列求和型不等式问题.其求解途径.

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑

=-n

k k 12

1

42的值;

解析:(1)因为

1

21

121)12)(12(21

422

+-

-=+-=

-n n n n n ,所以

1

2212111

42

12

+=

+-

=-∑=n n n k

n

k 二、函数放缩

例2.求证：)(6

6

533

3

ln 4

4ln 3

3ln 2

2ln *N n n n n n

∈+-

<++++ . 解析:先构造函数有

x

x x x x 1

1ln 1ln -≤⇒

-≤,从而

)

3

13121(1333ln 44ln 33ln 22ln n n n n +++--<++++ 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++n n n n

311212

1

918171615141312131

3

12

1

6533323279189936365111n n n n n =⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++>---

所以6

653651333

ln 4

4ln 3

3ln 2

2ln +-=-

-<++++n n n n n

n

三、分式放缩

姐妹不等式:)0,0(>>>++>m a b m

a m

b a

b 和)0,0(>>>++

a m

b a

b

记忆口诀”小者小,大者大”

解释:看b ,若b 小,则不等号是小于号,反之. 四、分类放缩 证明：设*1

1,n n

n

b c

n N b +=-

∈，则

(

)

()()22222

111211212

121n c n n n n n n n ⎛- +⎝⎛⎫ ⎪++ > ++ ⎝()()()

2

*1

212210,,2

n n n n n c n N n ++-+=>∴>

∈+ 设*12,n

n S

c c c n N =++

+∈，则当(

)*

221k n k N =->∈时，

2311111111

11

134

2123421

221

2n k

k k k

S -⎛⎫⎛⎫⎛⎫>+++

+=++++

+++ ⎪ ⎪

⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭

2123111122222

22

k k k -->⋅

+⋅++⋅

=。

所以，取40090

22n

=-，对0n n ∀>都有：

200821

4017111012312=->>=⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n n n n S S b b b b b b 故有n

n n n b b

b b b b b b

11231

2

+-++++

<2008-n 成立。

五、迭代放缩

例25. 已知1,1

4

11

=++=

+x x x x

n n n ,求证:当2≥n 时,

n

n

i i

x

-=-≤-∑11

22|2|

解析:通过迭代的方法得到1

2

12-≤

-n n

x ,然后相加就可以得到

结论

六、借助数列递推关系

例27.求证:1

222642)12(5316

425314

2312

1-+<

⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n n

n

解析: 设n

n a

n

2642)12(531⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅=

则 n

n n n n a na a n a n n a +=+⇒++=

++2)1(2)

1(21

211,从而

n n n na a n a 2)1(21-+=+,相加后就可以得到

1

2

21)22(13

21)1(22)1(21121-+⋅

+<-+⋅

+<-+=++++n n n n a a n a a a n n

所以1222642)12(5316

425314

2312

1-+<

⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n n

n

七、分类讨论

例30.已知数列}{n

a 的前n 项和n

S 满足.1,)1(2≥-+=n a S

n n n

证明：对

任意的整数

4>m ，有

8

711154<+++m a a a 解析:容易得到[

].)1(23

212

---+=

n n n

a

,

由于通项中含有n )1(-，很难直接放缩，考虑分项讨论：

当3≥n 且n 为奇数时1

2222223)121121(231121321

2

121

--++⋅=-++=+-------+n n n n n n n n n a a

)2

1

21(232

22

2

3123

21

2

-----+⋅=

+⋅

①当

4

>m 且

m

为偶数时

=

+++m

a a a 11154 )11()11(11654m m a a a a a +++++- .878321)2

11(412321)212121(23214243=+<-⋅⋅+=++++<--m m ②当4>m 且m 为奇数时<+

++m a a a 1

115

4

1

541111+++++m m a a a a （添项放缩）由

①知.8

7

111115

4

<++

+++m m a a a a 由①②得证。

八、线性规划型放缩

例31. 设函数221()2

x f x x +=+.若对一切x R ∈，3()3af x b -≤+≤，

求a b -的最大值。

解析:由2

2

22

1(2)(1)(())((1)1)22(2)

x x f x f x -+-+-=+知1(())((1)1)02f x f +-≤ 即 1()12

f x -≤≤

由此再由()f x 的单调性可以知道()f x 的最小值为12

-，最大值为1

因此对一切x R ∈，3()3af x b -≤+≤的充要条件是，133

233a b a b ⎧-≤-+≤⎪⎨

⎪-≤+≤⎩

即a ，b 满足约束条件3

31

321

32

a b a b a b a b +≥-⎧⎪

+≤⎪⎪⎨-+≥-⎪⎪-+≤⎪⎩，