2013届高考数学一轮复习讲义第二章 2.8 幂函数

探究提高
在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函 数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和 性质是解题关键．
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变式训练 3
比较下列各组数的大小： (1)30.8，30.7；(2)0.213，0.233；
1 1 2 2 3 3
( 3 ) 2 2 , 1 . 8 3 ; ( 4 ) 4 . 1 5 ,3 . 8
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解
(1)设 f(x)＝xα，∵其图象过( 2，2)点，故 2＝( 2)α，
解得 α＝2，∴f(x)＝x2.设 g(x)＝xβ， 1 1 ∵其图象过点2，4，∴ ＝2β，解得 β＝－2， 4 ∴g(x)＝x－2.
(2)在同一坐标系下作出 f(x)＝x2 与 g(x)＝x－2 的图象，如 图所示． 由图象可知：f(x)，g(x)的图象均过点(－1,1)与(1,1)．
∵m∈N*，∴m＝1,2.
又函数的图象关于 y 轴对称，∴m2－2m－3 是偶数， 而 22－2×2－3＝－3 为奇数，12－2×1－3＝－4 为偶数， ∴m＝1.
而 f(x)＝x ∴(a＋1)
1 3 1 3
在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数， <(3－2a)
1 3
等价于 a＋1>3－2a>0
观察符号指数的特点，利用性质插入中间值进行转化，从而 得到结果．
解 (1)∵函数 y＝x 3 在(0， ＋∞)上是递增函数， 0.95<0.96. 且
1 3 1 1
∴0.95
<0.96
3
，∴(－0.95)
1 3
1
>(－0.96) 3 .
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1 (2)－9
1
1 3
＝－9 3 ， 由于函数 y＝x 3 在(0， ＋∞)上是减函数，
1
－
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要点梳理
忆一忆知识要点
(3)当 α>0 时，幂函数的图象都过点 (0,0) 与 (1,1) ，且在 (0，＋∞)上是单调 递增 ； (4)当 α<0 时， 幂函数的图象都不过点(0,0)， 在(0， ＋∞) 上是单调 递减 ． 3．五种幂函数的比较 (1)幂函数的图象比较
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(2)幂函数的性质比较
图①. 当 m＝－2 或 m＝－1 时，函数可化为 y＝x6，符合题意，其图象
如图②.
图①
图②
综上所述，m 的值为－3，－2，－1,0. 主页
利用幂函数的性质比较 幂值的大小
例3 比较下列各组数的大小：
1 1
(1)(－0.95) 3 和(－0.96) 3 ； 1 1 1 (2)－8 3 和－9 3 ； (3)0.20.5 和 0.40.3.
1
y＝x 定义域 值域
y＝x2
y＝x3
y＝x2
y＝x－1
R R
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞) {x|x∈R 且 x≠0} [0，＋∞)
{y|y∈R 且 y≠0}
R
奇函数
奇偶性 奇函数
偶函数
x∈[0，＋∞) 时，增 x∈(-∞，0] 时，减
非奇非 偶函数
奇函数
x∈[0，＋∞) 时，增 x∈(-∞，0] 时，减
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思想与方法
利用转化思想求参数范围
(14 分)若函数 f(x)＝(mx ＋4x＋m＋2) 4 ＋(x2－mx＋1)0 的定

2
3
义域为 R，求实数 m 的取值范围．
审题视角
3 (1)从幂函数的视角看， 幂指数为－ .f(x)的定义域为 R， 转化 4 为 mx2＋4x＋m＋2>0 恒成立，且 x2－mx＋1≠0.(2)mx2＋4x ＋m＋2>0 恒成立转化为 y＝mx2＋4x＋m＋2 开口向上，且 与 x 轴无交点．
<(3－2a)

m 3
的
由 f(x)＝x
m 2m 3
2
(m∈N*)的图象关于 y 轴对称知 m2－2m－3
m 3
为偶数，又在(0，＋∞)上是减函数，∴m2－2m－3<0，从而 确定 m 值，再由函数 f(x)＝ x 的单调性求 a 的值．
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解
∵函数在(0，＋∞)上递减，
∴m2－2m－3<0，解得－1<m<3.
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变式训练 4
已知幂函数 f(x)＝ x 调性； (2)若该函数还经过点(2， 2)，试确定 m 的值，并求满足条 件 f(2－a)>f(a－1)的实数 a 的取值范围．
解 (1)m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*， 而 m 与 m＋1 中必有一个为偶数， ∴m(m＋1)为偶数． ∴函数 f(x)＝ x
3 3

2 3


2 3 2 3
1;
2
( 1 . 9 ) 5 0 , ( 1 . 9 ) 5 3 . 8

4 .1 5 .
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幂函数的综合应用
例4 已பைடு நூலகம்幂函数 f(x)＝x
m 2m 3
2
(m∈N*)的图象关于 y 轴对称，
m 3
且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a＋1) a 的取值范围．
和 ( 1 .9 ) 5 .
解
(1)函数 y＝3x 是增函数，∴30.8>30.7.
1 1 1
(2)函数 y＝x3 是增函数，∴0.213<0.233.
(3 ) 2 2 1 .8 2 1 .8 3 ,
1 1
2 2 1 .8 3 .
2 2
( 4 ) 4 . 1 5 1 5 1; 0 3 . 8
或 0>a＋1>3－2a 或 a＋1<0<3－2a.
2 3 解得 a<－1 或 <a< . 3 2
故a
2 3 a|a<－1或 <a< . 的取值范围为 3 2
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探究提高
本题集幂函数的概念、图象及单调性、奇偶性于一体，综合 性较强，解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质．解答此 类问题可分为两大步： 第一步， 利用单调性和奇偶性(图象对 称性)求出 m 的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想， 结合函数的图象求出参数 a 的取值范围．
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幂函数的图象及性质的简 单应用
例 2 已知幂函数 f(x)的图象过点( 2，2)，幂函数 g(x)的图象 1 过点2，4. (1)求 f(x)，g(x)的解析式； (2)当 x 为何值时，①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)<g(x)．
先求幂函数的解析式，然后利用 g(x)，f(x)的图象，求 x 的取 值范围．
一轮复习讲义
幂函数
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要点梳理
1．幂函数的概念
忆一忆知识要点
y＝xα 的函数称为幂函数，其中 x 一般地，我们把形如
是自变量，α 是常数． 2．幂函数的图象与性质 由幂函数 y＝x、y＝x 2 、y＝x2、y＝x 1、y＝x3 的图象， 可归纳出幂函数的如下性质： (1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义； (2)幂函数的图象都过点 (1,1) ；
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变式训练 2
已知幂函数 y＝ x
43m m
2
(m∈Z)的图象与 y 轴有公共点， 且
其图象关于 y 轴对称，求 m 的值，并作出其图象． 解 依题意，其图象与 y 轴有公共点， 则 4－3m－m2>0，即 m2＋3m－4<0， 解得－4<m<1.又∵m∈Z，∴m＝－3，－2，－1,0. 当 m＝－3 或 m＝0 时，函数可化为 y＝x4，符合题意，其图象如
1 1 1

1

1
∴8 3 >9 3，∴－8 3 <－9 3 ， 1 1 1 即－8 3 <－9 3 .
(3)由于函数 y＝0.2x 在 R 上是减函数，∴0.20.5<0.20.3，又函 数 y ＝ x0.3 在 (0 ， ＋ ∞) 上 是 增 函 数 ， ∴0.20.3<0.40.3 ， 故 0.20.5<0.40.3.
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幂函数的定义及应用
1
例 1 已知 y＝(m2＋2m－2)· m x m、n 的值．
2
1
＋(2n－3)是幂函数，求
形如 y＝xα (α∈R)的函数叫幂函数，因而系数为 1，常数项 应为 0.
解 ∵y＝(m ＋2m－2)· x
2
1 2 m 1
＋(2n－3)为幂函数．
∴m2＋2m－2＝1 且 2n－3＝0.
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(3)若 f(x)为二次函数，则 m2＋m－1＝2 －1± 13 2 ，解得 m＝ . 2 m ＋2m≠0 －1± 13 ∴当 m＝ 时，f(x)为二次函数． 2 (4)若 f(x)为幂函数，则 m2＋2m＝1，解得 m＝－1± 2. ∴当 m＝－1± 2时，f(x)为幂函数．
(m m )
2 1
(m m )
2
1
(m∈N*)
(1)试确定该函数的定义域， 并指明该函数在其定义域上的单
(m∈N*)的定义域为[0， ＋∞)， 并
且在定义域上为增函数．
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(2)∵函数 f(x)经过点(2， 2)，
1
∴ 2＝ 2
(m m )
2
1
，即 2
2
2
(m m )
2
1
.
∴m2＋m＝2. 解得 m＝1 或 m＝－2. 又∵m∈N*，∴m＝1. 2－a≥0， 由 f(2－a)>f(a－1)得a－1≥0， 2－a>a－1. 3 解得 1≤a< . 2 3 ∴a 的取值范围为[1， )． 2
∴①当 x>1 或 x<－1 时，f(x)>g(x)； ②当 x＝1 或 x＝－1 时，f(x)＝g(x)；
③当－1<x<1 且 x≠0 时，f(x)<g(x)．
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探究提高
求幂函数解析式的步骤： (1)设出幂函数的一般形式 y＝xα (α 为常数)； (2)根据已知条件求出 α 的值； (3)写出幂函数的解析式．
5，或m>－1＋ 5， [8 分]
[12 分]
[14 分]
∴m>－1＋ 5.
由②得 Δ2＝(－m)2－4<0，即－2<m<2.
综上可得 5－1<m<2.
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批阅笔记
(1)有关幂函数 y＝xα 的定义域的确定，当 α 为分数时，可转 化为根式考虑，当 α＝0 时，底是非零的，不可忽视．本题 将原题转化为对一切 x∈R 有 g(x)>0 且 h(x)≠0 恒成立是解 题的关键．(2)不等式恒成立问题，可利用数形结合思想，如 g(x)>0 和 h(x)≠0 在 R 上恒成立作进一步转化． (3)易错分析： 第一，不能将问题转化为 mx2＋4x＋m＋2>0 恒成立问题， 也就是缺乏转化的意识；第二，易忽略 x2－mx＋1≠0 的隐 含条件，致使范围扩大．
3 ∴m＝－3，m＝1 且 n＝ . 2
2
3 又 m －1≠0，∴m＝－3 且 n＝ . 2
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探究提高
(1)判断一个函数是否为幂函数， 只需判断该函数的解析式是 否满足：①指数为常数；②底数为自变量；③幂系数为 1. (2)若一个函数为幂函数， 则该函数解析式也必具有以上的三 个特征．
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变式训练 1
单调性
增
增
增
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[难点正本
疑点清源]
1．在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近 x 轴(简 记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上幂函数中指数越大， 函数图象越远离 x 轴． 2．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现 在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数 的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限 内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
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方法与技巧
1．幂函数 y＝xα(α∈R)，其中 α 为常数，其本质特征是以幂 的底 x 为自变量，指数 α 为常数，这是判断一个函数是 否是幂函数的重要依据和惟一标准．应当注意并不是任 意的一次函数、二次函数都是幂函数，如 y＝x＋1，y＝ x2－2x 等都不是幂函数． 2．比较多个幂值的大小，一般采用媒介法，即先判断这组 数中每个幂值与 0,1 等数的大小关系，据此将它们分成 若干组，然后将同一组内的各数再利用相关方法进行比 较，最终确定各数之间的大小关系．
已知 f(x)＝(m ＋2m) x
2
m m 1
2
，m 为何值时，f(x)是：
(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．
解
(1)若 f(x)是正比例函数， m2＋m－1＝1 则 2 ，解得 m＝1. m ＋2m≠0 ∴当 m＝1 时，f(x)为正比例函数．
(2)若 f(x)为反比例函数，则 m2＋m－1＝－1 2 ，解得 m＝－1. m ＋2m≠0 ∴当 m＝－1 时，f(x)为反比例函数．
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规范解答 解 设 g(x)＝mx2＋4x＋m＋2， ① ② h(x)＝x2－mx＋1，
原题可转化为对一切 x∈R 有 g(x)>0 且 h(x)≠0 恒成立． m>0， 由①得 [4 分] Δ1＝42－4m(m＋2)<0.
m>0 即 2 m ＋2m－4>0 m>0， ⇒ m<－1－