第17章 动量定理和动量矩定理总结
定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律
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适用范围
适用于质点和刚体的定轴 转动，是经典力学中的基 本定律之一。
数学表达
如果系统合外力矩为零， 则系统的动量矩保持不变， 即L=L'。
定律推导
推导过程
根据牛顿第二定律和角动量定理，通过数学推导 得到动量矩守恒定律。
关键点
推导过程中需要确保系统合外力矩为零，即没有 外力矩作用在系统上。
适用条件
适用于质点和刚体的定轴转动，当物体绕定点转 动时，可以用动量矩守恒定律。
定理推导
总结词
定轴转动的动量矩定理可以通过牛顿第二定律和角动量定理推导得出。
详细描述
首先，根据牛顿第二定律，质点系受到的合外力等于其动量的变化率。然后，利 用角动量定理，将动量和时间的关系转化为角动量和转动半径的关系，最终推导 出定轴转动的动量矩定理。
定理应用
总结词
定轴转动的动量矩定理在分析旋转机械、行星运动等领域有广泛应用。
定理的重要性
理论意义
动量矩定理和动量矩守恒定律是经典力学理论体系中的重要 组成部分，它们为理解和分析物体的定轴转动提供了基础理 论支持。
实际应用
在实际工程和生活中，许多机械系统、旋转运动器械以及行 星运动等都涉及到定轴转动，动量矩定理和动量矩守恒定律 为这些系统的设计和优化提供了重要的理论依据。
02
理论基石
动量矩定理和动量矩守恒定律是 经典力学中定轴转动的基础理论， 为分析定轴转动问题提供了重要 的理论支撑。
指导实践
在实际工程中，许多机械系统、 航空航天器和车辆等都涉及到定 轴转动，这些理论为设计和优化 这些系统提供了重要的指导。
学科发展
动量矩定理和动量矩守恒定律的 发展推动了相关学科如旋转动力 学、陀螺力学等的发展，为这些 学科提供了重要的理论基础。
动量(矩)定理1
解：
aC1x = 0 aC 2 x
l
ωt
Q2 Q1
d2 aC 3 x = 2 (l sin ωt ) = −lω 2 sin ωt dt Q3 代入质心 Q Q l − 2 ω 2 sin ωt − 3 lω 2 sin ωt = Fx 运动定理 g 2 g x (Q2 + 2Q3 )lω 2 (Q2 + 2Q3 )lω 2 Fx = − sin ωt Fx max =
ω
v r Lz = k ⋅ LO =
=
∑
i =1
n
r r r k ⋅ ( ri × mi vi )
r r r vi = ω × ri r r = ωk × ri
r LO =
∑
i =1
n
r r r mi vi ⋅ ( k × ri )
∑
i =1
n
r r ri × mi vi
ρi
mi ri O
m iv i
mi
r r r LC = ∑ rCi × mi vi
n i =1
mn
m nv n
动量系的动量矩对不同的简化中心有不同的量值。 动量系的动量矩对不同的简化中心有不同的量值。 动量系的等动量矢与等动量矩这二 个量完全等效地取代了原质点系的全部 动力效应。 动力效应。
r LC
C
r p
已知椭圆规的杆AB质量为 质量为2 质量为m 例1: 已知椭圆规的杆 质量为2m1 ， 杆OD质量为 1，物块 质量为 A、B质量均为 2，OD=AD=BD=l， = ωt ，试求物系的等动 质量均为m 试求物系的等动 ， 、 质量均为 θ y 量矢。 量矢。 解：
O
R
ωΟ
ϕ
动量定理和动量矩定理
应用质心运动定理解题步骤
1）取质点和质点系为研究对象； 2）分析质点系所受的全部外力，包括主动力和约束反力； 3）根据外力情况确定质心运动是否守恒； 4）如果外力主矢等于零，且在初始时质点系为静止，则质 心坐标保持不变。计算在两个时刻质心的坐标（用各质心 坐标表示），令其相等，即可求得所要求的质点的位移； 4）如果外力主矢不等于零，计算质心坐标，求质心的加速 度，然后应用质心运动定理求未知力。 5）在外力已知的条件下，欲求质心的运动规律，与求质点 的运动规律相同。
动力学普遍定理包括动量定理、 动量矩定理、动能定理。这些定理建 立了表现运动特征的量（动量、动量 矩、动能）和表现力作用效果的量 （冲量、冲量矩、功）之间的关系。
9.1 动量定理
1.动量 1）质点的动量
质点的质量与速度的乘积称为质点的动量， 记为mv。
动量是矢量，方向与速度方向相同。动量的单位为 N ·s。
4.质点系的动量定理
设由n个质点组成的质点系。其中第i个质点的
动 分别量为为Fmri(iiv)与i，Fr作i(e，) 用由在质该点质的点动上量的定外理力有与内力的合力
d dt
r (mivi
)
r F (e)
i
r F (i)
i
(i 1, 2,, n)
将n个方程相加，即得
d
r (mv
)
解得
y
v FOy
O
v FOx
x
C
pv
mgr A
FOx ml(a sin 2 cos) FOy mg ml(a cos 2 sin)
动量矩定理
rO1O
LO1 3 mr 2 ω 2
27
思考题
行星齿轮机构在水平面内运动。质量为 m 1 的均质曲柄
OA带动行星齿轮II在固定齿轮I上纯滚动。齿轮II的质量为m2， 半径为r2。定齿轮I的半径为r1。求轮II对轴O的动量矩。
ω2
A
Ⅱ
解:
v A ( r1 r2 ) O r22
C i i
vr v vC y'
ri
i C
i ri
C
0
rC
0 则上式可以写为
x O
C
vC
y
rC mi vC (rri mi vri ) rC mi vC LC
LC —— 质点系相对质心C 的动量矩
LO rC mvC LC
只适用于质心
26
思考题
Lz M z (mi vi ) mi vi ri miri ri mi ri J z
2
其中, Jz =∑m i r i2 称为刚体对转 轴的转动惯量。即：定轴转 动刚体对转轴的动量矩等于 刚体对于该轴的转动惯量与 角速度乘积。
只适用于定轴,不是转轴及点都不成立
ω0
r1
O
α
P
r1 r2 2 0 r2
根据
得
r2
LO rC mvC LC
Ⅰ
LO (r1 r2 ) m2v A J A 2
28
思考题
长度为 l ，质量不计的杆 OA与半径为 R、质量为 m 的均 质圆盘B在A处铰接，杆OA有角速度ω ，轮B有相对杆OA的 角速度ω （逆时针向）。求圆盘对轴O的动量矩。
y
动量定理知识点总结
动量定理知识点总结1. 动量的定义及表达式动量是物体运动状态的量度，表示物体运动的速度和质量。
动量的定义为物体的质量乘以其速度，用符号p表示，其表达式为：p = m * v其中，p表示动量，m表示物体的质量，v表示物体的速度。
2. 动量定理的表达式动量定理指出，在作用力作用下，物体的动量的变化率等于作用力的大小和方向：F = dp/dt = m * a其中，F表示作用力，dp/dt表示动量的变化率，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。
3. 动量定理的原理动量定理的原理可以从牛顿第二定律推导而来。
根据牛顿第二定律，物体所受合力等于物体质量与加速度的乘积：F = m * a将动量的定义代入上式可得：F = dp/dt即物体所受合力等于动量的变化率。
这就是动量定理的原理。
4. 动量定理的应用4.1 碰撞问题动量定理在解决碰撞问题中十分有用。
根据动量定理，碰撞前后物体的动量守恒，即碰撞前后物体的总动量相等。
这可以用于求解未知速度、质量等参数。
4.2 喷气推进原理动量定理还可以用于解释喷气推进原理。
根据动量定理，推力等于推进物质的质量流出速度与物质流出速度的变化率的乘积。
喷气式飞机和火箭通过喷出高速的燃气来产生巨大的推力，推动飞行器向前运动。
4.3 换向运动动量定理还可以用于分析换向运动的过程。
当物体在一定时间内从一个方向改变运动方向时，物体将受到作用力。
根据动量定理，物体的动量改变，因此物体将产生相反方向的动量。
5. 动量定理与能量守恒定律动量定理与能量守恒定律密切相关。
当物体没有外力作用时，根据动量定理可知，物体的动量保持不变，即动量守恒。
而根据能量守恒定律，当物体没有外力作用时，物体的动能保持不变。
因此，动能与动量之间存在关系。
6. 总结动量定理是描述物体运动状态变化的重要定律之一。
它指出物体所受作用力与物体动量变化的关系。
动量定理可以应用于解决碰撞问题、分析喷气推进原理以及换向运动过程等。
与能量守恒定律密切相关。
动量矩定理
mO (F ) mAgr mB gr 0
LO const 0,
即：质点系对轴 O 的动量矩守恒， 且等于零。 vA mAvAar mBvBar 0
O
RO
vB
mAg mBg
见后续
v Aa vBa
即： 二猴的绝对速度永远相等，比赛不分胜负！
二猴爬绳比赛分析 因为二猴的体力有差异，所以
所以得
n d (e) d M M ( m v ) ( 交换求导数与求和的次序 ) ( m ) oi v i ) i i M o ( Fi o dt dt i 1 i 1 i 1 n
n
质点系对定点的动量矩定理
(e) d M o (mi vi ) M o (Fi ) dt i 1 i 1 n n
动量对固定轴z的矩：
[Mo(mv)]z= M z(mv) =±2S△OA'B'
指向：按右手螺旋规则定。
结论：
• 质点的动量对点O的矩称为质点对于O的动量矩。
Mo（mv）= r×mv
矢量
• 质点的动量mv 在Oxy平面内的投影(mv)xy对于点O 的矩定义为质点对于z轴的动量矩。
• 质点对点O的动量矩矢在z轴上的投影，等于质点对z轴的动量矩，即
质点对某轴的动量矩对时间的一 阶导数，等于作用力对于同一轴的矩。
d M ( mv ) M ( F ) x dt x d M ( mv ) M ( F ) y y dt d M ( mv ) M ( F ) z z dt
关于质点动量矩守 恒
• 当MO( F ) = 0 时，有MO( mv ) = 常矢量。
正确解法
Mf
O2 R2
第17章动量定理和动量矩定理总结
第17章动量定理和动量矩定理总结第17章动量定理和动量矩定理工程力学学习指导第17章动量定理和动量矩定理17.1 教学要求与学习目标1. 正确理解动量的概念，能够熟练计算质点系、刚体以及刚体系的动量。
2. 认真理解有关动量定理、动量守恒定理以及质心运动定理，掌握这些定理的相互关系。
3. 正确而熟练地应用动量定理、动量守恒定理以及质心运动定理解决质点系动力学两类问题，特别是已知运动求未知约束力的问题。
4. 学习动量矩定理时，首先需要认识到，在动力学普遍定理中，动量定理和动量矩定理属于同一类型的方程，即均为矢量方程。
而质点系的动量和动量矩，可以理解为动量组成的系统（即动量系）的基本特征量——动量系的主矢和主矩。
两者对时间的变化率等于外力系的基本特征量——力系的主矢和主矩。
5. 认真理解质点系动量矩概念，正确计算系统对任一点的动量矩。
6. 熟悉动量矩定理的建立过程，正确应用动量矩定理求解质点系的两类动力学问题。
7. 于作平面运动的刚体，能够正确建立系统运动微分方程和补充的运动学方程，并应用以上方程求解刚体平面运动的两类动力学问题。
17.2 理论要点17.2.1 质点系的动量质点系中所有质点动量的矢量和（即质点系动量的主矢）称为质点系的动量。
即i ii m v p ∑=质点系的动量是自由矢，是度量质点系整体运动的基本特征量之一。
具体计算时可采用其在直角坐标系的投影形式，即===∑∑∑i iz i z i iy i y iix i x v m p v m p v m p质点系的动量还可用质心的速度直接表示：质点系的动量等于质点系的总质量与质心速度的乘积，即C m v p =这相当于将质点系的总质量集中于质心一点的动量，所以说质点系的动量描述了其质心的运动。
上述动量表达式对于刚体系也是正确的。
17.2.2 质点系动量定理质点系动量定理建立了质点系动量的变化率与外力主矢量之间的关系。
其微分形式为(e)(e)R d d i it ==∑pF F 质点系的动量对时间的变化率等于质点系所受外力系的矢量和。
动量矩定理与动量矩守恒律ppt课件
dJ M 0 dt
J 恒矢量
守恒律还适于仅在某一轴上投影的情形。
大学
（3）对质心的动物理量矩定理
作固定坐标系和动坐标系时，
a a0 a
F ma ma0 ma
将这一方法应用到这里来（将质心作为动坐
标系原点），有
mi
d 2ri dt 2
F (e) i
F (i) i
(mirc )
相对
相对
牵连（惯性力）
大学 物理
用 ri 左叉乘上述方程组且对 i 求和，因内力矩合之为零且牵连矩
（惯性力矩）合之为零，固有
d [ n
dt i1
(ri miri)]
n
(ri
F (e) i
)
i 1
即有质点组对质心的动量矩定理：
dJ M dt
大学 物理
若
vxc
恒矢
烟花的质心轨迹
大学 物理
动量矩定理 与
动量矩守恒定律
大学 物理
（1）对某一固定点O 的动量矩定理
dJ M dt
n
n
其中 J (ri pi ) ， M (ri Fi(e) ) 。
i 1
i 1
a
(r
r2
)i
(r
2r)
j
大学 物理
ari a j
ar
r r2
：加速度径向分量，称为径向加速度。r是径
i 1
d dt
p
n
其中 p mivi
i 1
大学 物理
可得
dp dt
n i 1
F (e)
i
，其中
n p mivi
动量矩定理公式总结
动量矩定理公式总结
动量矩定理是物理学中的重要概念，它描述了物体在受到外力作用时的运动状态变化。
在本文中，将介绍动量矩定理的概念和公式，并探讨其在物理学研究中的应用。
动量矩定理是指，物体在受到外力作用时，它的动量随时间的变化率等于作用在物体上的合外力矩。
换句话说，动量矩定理描述了物体受到外力矩作用时的转动运动状态变化。
动量矩定理的公式为：dL/dt = M，其中dL/dt表示物体动量的变化率，M表示作用在物体上的合外力矩。
这个公式可以用来计算物体运动时的动量变化情况，以及外力矩对运动状态的影响。
除了上述公式，动量矩定理还可以用向量形式表示。
具体而言，物体的角动量L等于它的动量p与位置向量r的叉积，即L = r × p。
在这种情况下，动量矩定理可以表示为dL/dt = M × r，其中M表示外力矩。
动量矩定理在物理学研究中有着广泛的应用。
例如，在机械工程中，动量矩定理可用于计算机械系统的运动状态，以及预测其运动轨迹。
在天体物理学中，动量矩定理可用于研究行星、恒星等天体的旋转运动状态。
总之，动量矩定理是物理学中的重要概念，它描述了物体在受到外力作用时的运动状态变化。
通过了解动量矩定理的概念和公式以及其在物理学研究中的应用，我们可以更好地理解物体的运动状态变化和物理规律。
动量定理和 动量矩
动量和动量矩定理
如果不考虑鱼雷运动过程中的弹性变形，以及由于然料消耗引起的鱼雷重量和重心位置的变化，可以把鱼雷看成一个常质量的刚体。
刚体的空间运动由重心的运动和绕中心的转动两部分组成。
描述重心运动规律的是动量定理。
描速重心转动规律的是动量矩定理。
所以动量和动量矩定理是建立鱼雷运动方程组的出发点。
一、动量定理
用矢量表示鱼雷的动量，用矢量表示作用在鱼雷上的所有外力之和，在静止坐标系中的动量矩定理是：
(2-88
) 在建立鱼雷重心运动方程时，选用原点在鱼雷重心的半速度坐标系为参考系，因为在半速度系中重心运动方程形式最简。
半速度系的轴指向重心速度方向，轴垂直于轴OX并处于包含OX的铅垂面内指向上方，轴垂直于平面，从雷尾往前看指向右侧。
鱼雷运动过程中半速度系是运动的，以矢量表示半速度系的旋转角速度，表示动量的矢量端点在半速度系中的相对速度，则以半速度坐标系为参考系的动量定理是。
(2-89
) 式中叉乘可写为矩阵形式：
式中是沿半速度系三个轴的单位矢量。
显然，矢量在半速度系三个轴上的分量是
式中m是鱼雷质量，v是鱼雷速度，即重心速度。
将上式代入式(2-89)得到
(2-90
) 参阅图1-4，矢量在半速度系三个轴上的分量是
(2-91
) 将式(2-91)代入式(2-90)得到
(2-92
)
式中是m鱼雷质量，v是鱼雷速度；是弹道倾角；
是弹道偏角；分别是外力矢量F在半速度系三个轴上的分量。
式(2-92)就是以半速度系为参考写出的动量定理，是建立鱼雷重心运动方程组的出发点。
动量矩定理与动量矩守恒律.ppt
微商等于诸外力对同一点的力矩的矢量和.
分量式：
d
dt
n
mi ( yi zi
i 1
n
zi yi )
(
yi
F (e) iz
i 1
zi
F (e iy
)
)
d
dt
n
mi (zi xi
i 1
n
xi zi )
(
zi
F (e) ix
i 1
xi
F (e) iz
)
d
dt
n
mi (xi yi
i 1
n
i 1
i 1
i 1
n i 1
(ri mi
dri) dt
n i 1
(ri
Fi
(e)
)
质点组对质心的动量矩定理
dJ
M
dt
意义：质点组对质心c的动量矩对时间的微商等
于所有外力对质心的力矩之后.
注意：（1）形式与固定点动量矩定理相同.
惯性力力矩为0的物理意义？
（2）质心c是动点，对任一动点不成立.
三、对质心的动量矩定理
在 cxyz 动系中：
mi
d2 dt
左矢乘
ri
2
Fi
ri
(i)
F (e)
i
(mirc
并对i求和：
)
n
(ri miri) (i
)
)
n
(ri
Fi
(
e)
)
n
ri(mirc )
i 1
i 1
i 1
i 1
其中：
n ri(mirc ) n rc miri rc n miri 0
动量矩定理dongliang
dL x (e) = ∑ M x (F ) dt dL y (e) = ∑ M y (F ) dt dL z (e) = ∑ M z (F ) dt
Lx =
质系相对质心的动量矩定理： ：在相对随 在相对随 质系相对质心的动量矩定理 质心平动坐标 标系的运动中，质系对质心 系的运动中，质系对质心 质心平动坐 的动量矩对于时间 时间的一 的一阶导 阶导数，等于外 数，等于外 的动量矩对于 力系对质心的主矩。 力系对质心的主矩。
讨 讨
论 论
Ø如将质系的运动分解为跟随质心的平动和相 对质心的运动，则可分别用质心运动定理和 相对质心动量矩定理来建立这两种运动与外 力系的关系。 Ø质系相对质心的运动只与外力系对质心的主 矩有关，而与内力无关。 Ø当外力系相对质心的主矩为零时，质系相对 质心的动量矩守恒。
第五节 刚体平面运动微分方程
刚体的平面运动可分解为跟随质心的平动和相对质心的转动。 刚体在相对运动中对质心的动量矩为
解：系统所受外力有小球的重力及轴承的约束力，这些 力对z轴之矩都等于零。所以系统对z 轴的动量矩守恒.
开始时系统的动量矩为
P P 2 Lz1 = 2 g aω 0 a = 2 g a ω 0
细线拉断后的动量矩为
Lz 1 = l z 2
P Lz 2 = 2 (a + l sin α ) 2 ω g
M O (mv) = r × mv
质点对于O点的动量矩为矢量，它 垂直于矢径r与动量mv所形成的平 面，指向按右手法则确定，其大 小为
M O ( mv) = 2∆OMD = mvd
Ø质点对某轴的动量矩 质点的动量对固定点的动量矩在z轴上的投 影等于质点的动量对z轴的动量矩
7、动力学-动量定理和动量矩定理概论
11
质点动力学两类问题： 第一类问题：已知质点的运动，求作用在质点上的力(微分 问题)。解题步骤和要点： ① 正确选择研究对象 一般选择联系已知量和待求量的质点。 ② 正确进行受力分析,画出受力图 应在一般位置上进行分析。 ③ 正确进行运动分析 分析质点运动的特征量 。 ④ 选择并列出适当形式的质点运动微分方程 建立坐标系 。 ⑤ 求解未知量。
大小与r的大小成正比，称之为向心力。
16
第二类问题：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积 分问题）。
已知的作用力可能是常力，也可能是变力。变力可能是时 间、位置、速度或者同时是上述几种变量的函数。 解题步骤如下： ① 正确选择研究对象。 ② 正确进行受力分析，画出受力图。判断力是什么性质的力
（应放在一般位置上进行分析，对变力建立力的表达式）。 ③ 正确进行运动分析。(除应分析质点的运动特征外，还要确
一部分由加速度引起，称为附加动拉力。全部拉力称为动拉力。
14
[例2] 已知质量为m的质点M在坐标平面 Oxy 内运动，如
图所示。其运动方程为 x a cost，y bsint ，其中
a、b、 是常数。求作用于质点上的力F。
解：将质点运动方程消去时间t，得
x2 y2 1
a2 b2
可见，质点的运动轨迹是以
四.动力学的基本问题：大体上可分为两类： 第一类：已知物体的运动情况，求作用力； 第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动。
综合性问题：已知部分力，部分运动求另一部分力、部分运动。
已知主动力，求运动，再由运动求约1 质点动力学的基本方程 14.2 动量定理 14.3 动量矩定理
ma
F ,
G d v G sin
g dt
1
动量定理知识点总结
动量定理知识点总结
嘿，朋友们！今天咱们要来好好唠唠动量定理这个知识点啦！
啥是动量定理呢？简单来说呀，就是力在一段时间内的积累效果会让物体的动量发生变化。
比如说，你扔一个篮球，你使的劲儿和扔的时间，就会决定篮球飞出去的速度和力量，这就是动量定理在起作用呢！就像你努力学习一段时间，成绩肯定会有变化呀，对吧！
咱再具体点说，动量定理表达式是FΔt = mΔv。
这里的 F 就是力啦，
Δt 是时间间隔，m 是物体质量，Δv 就是速度的变化量哟。
想象一下，一辆大卡车急刹车，那得多大的摩擦力才能让它很快停下来呀，这不就是动量定理么！就好像你跑累了，得花很大力气才能让自己停下来一样。
动量定理在生活中用处可大了去啦！比如说，为什么安全气囊能保护我们？不就是因为它能延长撞击时间，减小冲击力嘛，这都是动量定理帮忙呀！“哎呀，如果没有动量定理，那可不得乱套了呀！”
还有啊，在体育运动中，动量定理也无处不在呢！像拳击运动员，他们出拳的力量和速度，都是根据动量定理来练的呢。
教练会告诉他们怎么发力，怎么掌握时间，才能打出有力的一拳，“这多有意思啊！”
总之，动量定理真的特别重要，它就像我们生活中的一个小秘密武器，能帮我们理解好多现象呢！所以呀，大家一定要好好掌握这个知识点，它能让我们更明白这个世界是怎么运转的哟！。
动量矩定理
3 动量矩定理动量定理给出了三个独立的方程，在某种意义上来说，它只解决了一个点(质心)的运动问题，不足以全面地描述质点系的运动状态。
例如，一均质圆盘绕过质心且垂直于圆盘的定轴转动，不论圆盘转动快慢如何，也不论其转动快慢有何变化，它的动量始终为零。
这说明动量定理不能反映这种运动的规律。
动量矩定理反映了质点系外力系在空间的分布与质点系运动之间的规律。
设n 个质点组成质点系，其中第i 个质点的质量为m i ，矢径为r i ，瞬时速度为v i ，该质点对固定点O 的动量矩为L Oi (图8-1)定义为(8.1.12) ),...,2,1(,n i m i i i Oi =×=v r L 动量矩是一个矢量。
定义质点系对O 点的动量矩为质点系中每个质点对同一点动量矩的矢量和，即(8.1.13)i i ni i ni Oi O m v r L L ×==∑∑==11在直角坐标系中，质点系的动量矩可表示为(8.1.14) k j i L z y x O L L L ++=式中L x , L y , L z 为质点系动量矩L O 分别在轴x , y , z 上的投影。
类似静力学中力对点之矩和力对轴之矩的关系，有质点系对点O 的动量矩在通过该点的轴上的投影等于质点系对该轴的动量矩，即质点系对坐标轴x , y , z 的矩为(8.1.15)∑∑∑===−=−=−=ni ix i iy i i z n i n i iz i ix i i y iy i iz i i x v y v x m L v x v z m L v z v y m L 111)(,)(,)(作为特殊的质点系，刚体作平移和定轴转动时动量矩的计算相对简单。
(1) 平移刚体对O 点的动量矩 设平移刚体的质量为m ，同一瞬时刚体上各点的速度均相等，用v 表示，由式(8.1.13)得()v r v r v r L m m m C i i i i i O ×=×=×=∑∑)( (8.1.16)因此，刚体平移时，可将全部质量集中在质心，作为一个质点计算其动量矩。
工程力学课件-第十七章part2动量矩定理
三、刚体的动量矩 1. 平移刚体
LO = LO (mvC )
Lz Lz (mvC )
2. 定轴转动刚体
Lz
Lz (mi vi )
( m i v i ri )
m i ri 2
相对质心 的动量矩
J z
3. 平面运动刚体
刚体对转轴的转动惯量
质心动量对点 + (轴)的矩
动力学动量矩定理21如图均质杆ab均质圆轮b质量均为m图示瞬时杆ab角速度为均质轮相对于杆ab的角速度为系统动量沿水平方向的投影大小为系统对a点的动量矩为系统的总动能为复习22例179如图所示半径为r质量为物块系在跨过圆轮的绳子两端其中物块b因水平绳子的牵引在光滑水平面上运动
第三部分
动力学
第17章
动量定理和动量矩定理
(2) 若 M z ( F ) 0 ，则 0 , 恒量， 即刚体作匀速转动或保持静止； 若 M z ( F ) 恒量，则 恒量，
即刚体作匀变速转动。
(3) 与质点的运动微分方程作比较
ma F
形式相似
33
转动惯量是刚体转动时惯性的度量。
动力学/动量矩定理
Fox
vBa
vB
思 考
若考虑定滑轮的质量，并设 JO ，则比赛结果又如何？
A
m A g mB g
B
解： 取整个系统为研究对象,设绳子 移动速度为v，且右段向上移动， 由动量矩定理：
mB vBa R mAv Aa R J O 0
动力学/动量矩定理
v R
由速度合成定理
R
1 则： [(v A vB ) (v Aa vBa )] 2R
第十七章 动量定理 动量矩定理
m3
v2
x
py= m2 v2 - m3 v2 sin60°= 5.4 kg·m/s P = √ Px2+ Py2 = 140.10 kg·m/s tanα=
py Px
y
Py
P
α=2.2°
α Px x
例17-3 图示椭圆规尺AB的质量为 2m1 ，曲柄OC的质量为m1 ， 而滑块A和B的质量均为m2。已知OC=AC=CB=l ，曲柄和尺的 质心分别在其中点上，曲柄绕O轴转动的角速度ω为常量。求 图示瞬时系统的动量。 解: 方法一
T T0
an
3、运动分析 aτ 4、取自然轴，列运动微分方程
0
W dv = −W sin ϕ g dt
T
T0
an
0
aτ
W v2 = FT − W cos ϕ g l
v2 FT = W (cos ϕ + ) gl
ϕ =0
FT max
2 v0 = W (1 + ) gl
未刹车时，静拉力
FT 0 = W
四、质点运动微分方程 1、矢量形式的质点运动微分方程 矢量形式的质点运动微分方程
m&& = F r
2、直角坐标形式的质点运动微分方程 直角坐标形式的质点运动微分方程
m&& = Fx x m&& = Fy y m&& = Fz z
3、自然坐标形式的质点运动微分方程 自然坐标形式的质点运动微分方程
d I = F dt
I=
∫
t2 t1
F dt
第三节 动量定理
一、质点的动量定理
d (mv ) = F dt
积分形式:
8. 动量矩定理和动量矩守恒
mlv0 mlv Iω （1）
o
v0 m
弹性碰撞EM守恒
1 2
mv02
1 2
mv2
1 2
Iω2
（2）
其中 I 1 m' (2l)2 1 m'l2
12
3
联立(1)、(2)式求解
v
(3m-m' )v0 m' 3m
6mv0 (m' 3m)l
o v0 m
o
力矩的功 W 2 Md 1
v
d Ft
F
dr
r
x
2、转动动能 刚体定轴转动时的动能称为转动动能。
Ek i 12mivi2
1( 2i
miri2 ) 2
EK
1 2
I2
——定轴转动的动能公式
3. 刚体绕定轴转动的动能定理
W 2 Md 1
C
A
例2：在光滑水平桌面上放置一个静止的质量为m’、长
为2l、可绕过与杆垂直的光滑轴中心转动的细杆.有一 质量为m的小球以与杆垂直的速度v0与杆的一端发生完 全弹性碰撞，求小球的反弹速度 v及杆的转动角速度.
解：球与杆在碰撞过程中，所受外力矩近似为零，在水 平面上，碰撞过程中系统动量矩守恒.
若M
0，则
dL dt
0
L L0 I 常量讨论 Nhomakorabea 守 恒条件: M合外 0
内力矩不改变系统的动量矩.
在撞击等问题中 M in M ex L 常量
有许多现象都可以用动量矩守恒来说明:
花样滑冰 跳水运动员跳水
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第17章 动量定理和 动量矩定理工程力学学习指导第17章 动量定理和动量矩定理17.1 教学要求与学习目标1. 正确理解动量的概念，能够熟练计算质点系、刚体以及刚体系的动量。
2. 认真理解有关动量定理、动量守恒定理以及质心运动定理，掌握这些定理的相互关系。
3. 正确而熟练地应用动量定理、动量守恒定理以及质心运动定理解决质点系动力学两类问题，特别是已知运动求未知约束力的问题。
4. 学习动量矩定理时，首先需要认识到，在动力学普遍定理中，动量定理和动量矩定理属于同一类型的方程，即均为矢量方程。
而质点系的动量和动量矩，可以理解为动量组成的系统（即动量系）的基本特征量——动量系的主矢和主矩。
两者对时间的变化率等于外力系的基本特征量——力系的主矢和主矩。
5. 认真理解质点系动量矩概念，正确计算系统对任一点的动量矩。
6. 熟悉动量矩定理的建立过程，正确应用动量矩定理求解质点系的两类动力学问题。
7. 于作平面运动的刚体，能够正确建立系统运动微分方程和补充的运动学方程，并应用以上方程求解刚体平面运动的两类动力学问题。
17.2 理 论 要 点17.2.1 质点系的动量质点系中所有质点动量的矢量和（即质点系动量的主矢）称为质点系的动量。
即i ii m v p ∑=质点系的动量是自由矢，是度量质点系整体运动的基本特征量之一。
具体计算时可采用其在直角坐标系的投影形式，即⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫===∑∑∑i iz i z i iy i y iix i x v m p v m p v m p质点系的动量还可用质心的速度直接表示：质点系的动量等于质点系的总质量与质心速度的乘积，即C m v p =这相当于将质点系的总质量集中于质心一点的动量，所以说质点系的动量描述了其质心的运动。
上述动量表达式对于刚体系也是正确的。
17.2.2 质点系动量定理质点系动量定理建立了质点系动量的变化率与外力主矢量之间的关系。
其微分形式为(e)(e)R d d i it ==∑pF F 质点系的动量对时间的变化率等于质点系所受外力系的矢量和。
式中(e)i i∑F 或(e)R F 为作用在质点系上的外力系主矢。
质点系动量定理的积分形式，也称为质点系的冲量定理，即 21(e)(e)21d t i i t iit −==∑∑∫p p F I质点系动量在某时间间隔内的改变量等于质点系所受外力冲量。
此式将广泛应用于求解碰撞问题。
17.2.2 动量守恒定理1. 质点系动量守恒定理当外力主矢恒等于零，即(e)R 0=F 时，质点系的动量为一常矢量。
即 112C p p ==式中1C 是常矢量，由运动的初始条件决定。
2. 质点系动量在某轴上的投影守恒质点系的动量定理实际应用时常采用投影式，即(e)(e)R (e)(e)R (e)(e)R d d d d d d x ix x iy iy y i ziz z i p F F t p F F t p F F t ⎫==⎪⎪⎪==⎬⎪⎪==⎪⎭∑∑∑若外力主矢不恒为零，但在某个坐标轴上的投影恒为零，由上式可知，质点系的动量在该坐标轴上守恒。
即若(e)R 0x F =，于是有2C p x = 式中2C 为常量，由运动初始条件决定。
17.2.4 质心运动定理质心运动定理是质点系动量定理的另一种形式：质点系的总质量与质心加速度的乘积等于作用在质点系上外力的矢量和，即 (e)C i im =∑a F直角坐标系中质心运动定理的投影式为(e)(e)(e)C ix iC iy i C iz i mxF myF mzF ⎫=⎪⎪⎪=⎬⎪⎪=⎪⎭∑∑∑ 式中C C C z y x,, 为质心加速度在直角坐标轴上的投影。
17.2.5 质心运动定理的守恒形式如果作用于质点系上的外力主矢恒等于零，即(e)(e)R 0i i==∑F F ，这时质心加速度为0=C a质心的速度为C v =C质心速度为常矢量，即系统的质心作惯性运动。
若系统初始为静止状态，则0=C v ，质心的位矢1C r =C 为常矢量 ，质心保持静止，即质心守恒。
如果外力主矢在某一坐标轴（例如x 轴）上的投影为零，即(e)(e)R 0x ix iF F ==∑则有0=Cx a 2C v Cx =质心速度在某一坐标轴（例如x 轴）上的投影为常量，这表明：质心速度在这一坐标轴（例如x 轴）方向上守恒。
这时，如果系统初始为静止状态，则v Cx = 0,这表明质心在x 轴方向上守恒。
17.2.6 动量定理的应用动量定理应用的要点是：1) 内力不能改变质点系的动量和质心的运动，因此当质点系内力情况比较复杂而所要求解的问题是质点系整体的运动时，多用动量定理求解。
但内力能改变质点系内各质点的动量，当所要求解的问题是内力时，可将质点系拆开，选择式中的某部分作为研究对象，使内力转化为外力。
2) 质心运动定理是质点系动量定理的另一种表达形式，是在动量定理中最常用的。
当刚体作平移时，质心的运动可以代替整个刚体的运动，若将质心看成是集中了质点系全部质量和所有外力的质点，则应用质心运动定理解题时，实际与应用牛顿第二定律求解质点动力学问题相类似；当刚体作复杂运动时，可以将它的运动分解为随质心的平移和绕质心的转动，其平移部分可以用质心的运动来描述；其绕质心的相对转动部分可用其他定理来描述。
3) 外力系简化结果中的主矢量将会改变质点系的动量或质心的运动。
若当外力主矢等于零时，则质点系动量守恒或质心作惯性运动。
由于动量定理是一矢量表达式，在应用时采用投影式，故在进行受力分析时，特别要注意外力主矢在某一方向的投影是否等于零，以便决定是否可应用动量或质心守恒定律。
17.2.7 质点系动量矩的概念与计算质点系的动量矩是质点系中各质点的动量对点O 之矩的矢量和，即i i i iO m v r L ×=∑质点系的动量矩即是动量系的主矩，动量矩是定位矢，其作用点在所选矩心O 上。
动量矩是度量质点系整体运动的又一基本特征量。
17.2.8 质点系动量矩定理质点系相对定点的动量矩定理：质点系相对固定点的动量矩对时间的一阶导数等于作用在该质点系上的外力系对同一点的主矩，即(e)d d O Ot=L M 如果不作特殊说明，则所提到的动量矩定理都是指对惯性参考系的固定点。
17.2.9 动量矩定理的其他形式上式称为动量矩定理的微分形式。
除此而外，动量矩定理还有其他几种常用形式：1. 动量矩定理的积分形式(e)0d nni i ii i i i i iim m t τ×−×=×∑∑∫'r v r v r F或(e)210d O O i i t τ−=×∫L L r F2. 动量矩定理的投影形式比照力对点之矩与力对轴之矩的关系，可以得到动量对点之矩在过该点之轴上的投影等于该动量对该轴之矩。
因此将动量矩定理微分形式表达式中的各项，投影到过固定点O 的直角坐标系Oxyz 上，得到(e)(e)(e)d d d d d d x xyy z z L M tL M t L M t ⎫=⎪⎪⎪=⎬⎪⎪=⎪⎭这就是质点系动量矩定理的投影形式，也就是质点系相对定轴的动量矩定理。
17.2.10 质点系动量矩守恒定理在动量矩定理微分形式表达式中，若外力矩(e)0O =M ，则质点系对该点的动量矩守恒，即 C L =O式中，C 为常矢量。
在动量矩定理的投影形式的表达式中，当外力对某定轴的主矩等于零时，质点系对该轴的动量矩守恒。
例如(e)0x M =，则有1C L x = 式中,1C 为常数。
17.2.11 质点系相对质心的动量矩根据动量矩定义，质点系相对质心的动量矩 i i i C m v r L ×′=∑ =r i i i m v r ×′∑计算质点系相对质心的动量矩，用绝对速度和相对速度结果都是一样的。
对于一般运动的质点系，通常可分解为随质心的平移和绕质心的转动，因此，用第二个等号后的表达式计算质点系相对质心的动量矩更方便些。
质点系相对固定点的动量矩与质点系相对质心的动量矩之间存在确定的关系，即L r v L O C C C m =×+17.2.12 质点系相对质心的动量矩定理质点系相对固定点的动量矩定理: 质点系相对质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩(e)d d nCi i it ′=×∑L r F或(e)d ()d n CC i it =∑L M F 质点系相对质心的动量矩定理在形式上与质点系相对固定点的动量矩定理完全相同。
需要注意的是，这里所涉及的随质心运动的动坐标系，一定是平移坐标系。
定理只适用于质心这个特殊的动点，对其他动点，定理将出现附加项。
对刚体而言，质心运动定理建立了外力与质心运动的关系；质点系相对质心的动量矩定理建立了外力与刚体在平移参考系内绕质心转动的关系；二者完全确定了刚体一般运动的动力学方程，这是研究刚体运动的基础。
17.2.13 刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程z z M J =α或z z J M ϕ=式中，ϕ为刚体绕轴转动的转角；z J 为刚体对轴z 的转动惯量。
17.2.14 刚体平面运动微分方程将刚体的运动分解为随质心的平移和绕质心的转动两部分。
当刚体具有质量对称面、且质量对称面平行于运动平面时，则在固连于质心的平移参考系中，刚体对质心的动量矩为 ωC C J L =式中，C J 为刚体对通过质心C 且与运动平面垂直的轴的转动惯量，ω为角速度。
当作用于刚体上的力系等价于质量对称面内的一个平面力系时，对刚体平面运动，应用质心运动定理和相对质心动量矩定理 ，得到刚体平面运动的微分方程：(e)(e)d(()d nC i inC C C i i m J J M t ωα⎫=⎪⎪⎬⎪==⎪⎭∑∑a F )F 或直接写成投影式()(e)(e)(e)C x C y C C i mxF myF J M ϕ⎫=⎪⎪=⎬⎪=⎪⎭∑∑∑F 需要指出的是，如果上述方程中各式等号的左侧各项均恒等于零，则得到静力学中平面力系的平衡方程，即外力系的主矢、主矩均等于零。
因此，质点系动量定理与动量矩定理，不但完全确定了刚体一般运动的动力学方程，而且还完成了对刚体平面运动的特例——平衡情形的静力学描述。
17.2.15 动量矩定理的应用动量矩定理应用的要点是：1) 与动量定理相同的是内力也不能改变质点系的动量矩，因此对于内力情况比较复杂而又包含转动的质点系动力学问题，可以考虑用动量矩定理（或由它导出的刚体定轴转动微分方程，刚体平面运动微分方程）求解，而无需考虑内力。
2) 质点系的动量定理描述了质点系总体运动的一个侧面，即随质心的运动，对于刚体则描述了在外力主矢的作用下其随质心平移的运动规律。