感生电动势涡旋电场
第二十六讲：§感生电动势和感生电场
第二十六讲： §7.3感生电动势和感生电场一、感生电动势 涡旋电场1、感生电动势：由于dtm φd 所产生的感应电动势。
2、感生电场（涡旋电场）：变化的磁场所激发的电场为感生电场。
其特点：①感生电场是非保守场；②电场线是闭合的。
3、感生电场与静电场的比较①相同点：都是电场（物理场，物质性，具有能量，即对电荷有电场力的作用）。
②不同点：⑴激发方式不同，感生电场是由变化的磁场激发的；静电场是由相对观察者静止的带电体激发的。
⑵感生电场电场线是闭合的，静电场电场线是非闭合的。
⑶感生电场是非保守场，静电场是保守场。
因为静电力是保守力，故而静电场力沿闭合路径的积分等于零， 由0W =⋅=⋅=⎰⎰ d q d 静静 ⑴看出， ∵ 0≠q ∴ 0=⋅⇒⎰d 静 静电场为保守场。
由0≠-=⋅=⎰dt d d m i φε 涡看出， 当 0dtd ≠m φ为变化的磁场， 则 0≠⋅⇒⎰ d 涡 也可推出0≠⋅=⇒⎰ d q W 涡⑵比较⑴、⑵式可推出感生电场是非保守场。
4、感生电场与磁场的关系式d m ⋅=⎰φ ； d dtd dt d m ⋅=⎰φ ; d t d S i ⋅∂∂-=⋅=⎰⎰ 涡ε ☆ 5、与涡E 、()i i I ε方向的确定注意：与绕行方向满足右手螺旋法则 当0d dt B 时，0 dS dtdB S i ⎰-=⇒ε i ε与绕行方向相反； 当0d dt B 时，0 dS dtdB S i ⎰-=⇒ε i ε与绕行方向相同。
P264例题7-5已知：如图所示，R,=dt B d 正常数 求：⑴1涡；⑵2E 涡解： ⑴∵d td S i ⋅∂∂-=⋅=⎰⎰ 涡ε R r 21r 2r t B E ππ∂∂-=⋅⇒涡 tB E ∂∂=⇒2r -1涡 R r 22r 2R t B E ππ∂∂-=⋅⇒涡 tB r E ∂∂=⇒2R -22涡 涡电场线绕行方向相反，如上图所示。
P264例题7-6 已知：0d dtB ，L ab = ，h 求：ab ε解：解法一：利用法拉第电磁感应定律S d t dt d S m ⋅∂∂-=-=⎰B i φεtB hL S t B t B i ∂∂=⋅∂∂=⋅∂∂=⎰2ε∵Oa 和Ob 沿径向，而涡E 与径向垂直。
03感生电动势涡旋电场-PPT精品文档
由变化的磁场激发
电 力 线 形 状
电 场 的 性 质
电力线为非闭合曲线
电力线为闭合曲线 dB 0 E感 dt
感生电场为有旋场 为非保守场作功与路径有关
静电场为无旋场 为保守场作功与路径无关
d l 0 E
静电场为有源场
B d l d S E S t
t
电磁场的基本方程之一
B 0 在稳恒条件下，一切物理量不随时间变化， t l 0 Ed
L
静电场的环路定理
5
dB 增加 k ，求空间的感生电场的分布情况。 dt 解： 由于磁场均匀增加，圆形磁场区 R 域内、外E感线为一系列同心圆； 1. r < R 区域： 作半径为 r 的环形路径; o r 设涡旋电场的绕向也为逆时针方向。 B dB B E d l d S d S 感 S t S dt dB 2 dB 2 r r, E dS , E 感 感 dl dt S dt
感生电动势 感应电场
(第六章第4节)
1
一、感生电动势
这种电磁感应现象是 由于穿过导体回路的磁场 发生变化而引起的。在回 路中产生的感应电动势称 为感生电动势. 此感生电动势产生的原因是什么呢？
K
二、感应电场
麦克斯韦提出：即使不存在导体回路，在变化的磁场周 围也存在一个变化的电场，这个电场称为感生电场。
dB k ，在磁场中放置一长为 L 的导体棒，求 dt
d E dl cos i 感
R oh B r dl L
r dB 由上题结果，圆形区域内部的感生电场： E感 2 dt
10-2感生电场
1、变化的磁场产生感生电动势
2、感生电动势与涡旋电场的关系
3、涡旋电场的性质 4、涡电流（涡流）
5、感生电动势及感生电场的计算
一．变化的磁场产生感生电动势
当回路 1中电流发生 变化时，在回路 2中 出现感应电动势。
1
Φm 2
G
ε
R
动生电动势 非静电力 洛仑兹力 电磁感应 感生电动势 非静电力
导体MN在 t = 0 时， = 0 x y 求： (t )
× × × × ×
× B× ×
×
× × × × × × × ×
M
×
×
× ×
0
θ ×
×
×v ×
× × × ×
×
N
x
ds xtgdx d B ds kx cos t xtgdx (ktg ) x 2 cos tdx B dS
E感 0
讨论
（2） B ，则 B t 0
E 感 与 L 积分方向切向相反。
在圆柱体外，由于B=0 故 L上 B t 0 L E感 dl 0
于是 L上 E感 0
虽然 B t 在 L 上每点为0，但在 S 上则并非如此。 由图可知，这个圆面积包括柱体内部分的面积，而 柱体内 B t 0
B L E感 dl dS S t E 感 是涡旋场（非位场）
不能引入电位概念
由变化磁场产生
E 库 线是“有头有尾”的， E 感 线是“无头无尾”的
起于正电荷而终于负电荷 是一组闭合曲线
1 q E库 dS 0 S E 库是发散场，
电磁学13-涡旋电场-自感
• 互感系数可正可负，取决于两线圈之间的位置和 电流环绕的正方向
– 一般的，对每个载流线圈，其磁通的正方向规定为和 线圈中电流的正方向成右手螺旋关系。若来自其他线 圈的磁场的正方向与此正向相符，则M>0;反之，M<0
图中标示的 是正方向
Ψ 1
Ψ2
Ψ 1Βιβλιοθήκη Ψ2i1 线圈1 i2 线圈2 M >0
i1 线圈1
电感的充放电过程(1)
• 考虑电阻和电感串联的电路，如图
(1)开关拨向1，开始充电过程（电能转化成线圈的磁场能）
ε
2 1 R L
u L (t ) + u R (t ) = ε iR (t ) = iL (t )
微分方程的解 考虑初条件
ε
R
t
iL (t ) =
di (t ) + R ⋅ i (t ) = ε L dt R − t ε L
线圈2 i2
M <0
互感器的电路方程
• 互感器：用于电路中的互感元件。
– 理想互感器模型：只有自感和互感效应而没 有电阻、电容效应的互感器。只考虑互感器 中线圈之间的互感，而不考虑电路其他部分 对互感器的电磁感应。
• 在电路中，互感器是四端元件，其电路 方程为
i1
u1
L1
L2
i2
u2
di2 (t ) di1 (t ) +M u1 (t ) = L1 dt dt di1 (t ) di2 (t ) +M u 2 (t ) = L2 dt dt
ε
R
ε
R
e
−
t
τ
u L (t ) = −ε e
u L (t )
第五节感生电动势涡旋电场
B t
πr
2
××
×L × n×
× ×× ×
B × ×t
× ××
××R
E感 =
rB 2t
×××××
× E感
B
式中负号表示 E感 的方向
×× ×× ×× ××
和所设的 E 感方向相反
在圆域外 ( r >R )
× × × ×
2-3-5
B
t
× n×
× ××
L ×× × × ×
×××× r
RB
在圆域外 ( r >R )
××
×L × n×
× ×× ×
B × ×t
× ××
××R
× × × ×
×××××
× E感
B
×× ×× ×× ××
l E 感.d l =
s
B t
.
dS
设E感与dl 方向一致。
. . l ES cos 0o
× × × ×
E感
l
dl
=
E感 2π r =
B t
s dS
B t
ε . i = l E 感 d l
l
E 感.d l
=
s
B t
.
dS
由法拉第电磁感应定律：
2-3-5
εi =
dΦ dt
=
d dt
s
B
.dS
=
s
B t
.
dS
由电动势的定义：
ε . i = l E 感 d l
l
E 感.d l
=
s
B t
.
dS
讨论： 1. 此式反映变化磁场和感生电场的相互
11-2动生电动势和感生电动势 涡旋电场
L
ω+ a
+ + b + + dl + +
v
l+ + +
+ + + +
+ + + +
ε ab < 0 ，说明动生电动势的方向由 指 说明动生电动势的方向由b指
第十一章 电磁场的统一理论
1111-2 动生电动势和感生电动势 涡旋电场
a、b之间的电压就等于εab。 、 之间的电压就等于 例11-4 法拉第曾利用圆盘发 电机来演示感应电动势的产 生，金属圆盘在磁场中转动 时能在连接电流计的回路中 产生感应电流。如图所示， 产生感应电流。如图所示， 设圆盘半径R=0.20m，转速为 设圆盘半径 ， 50转/秒，匀强磁场的磁感应 转秒 强度B=0.70T，求盘心与盘边 强度 ， 缘之间的电势差U。 缘之间的电势差 。
设杆长为 l
∫
l
0
v B d l = v Bl
dε i = (v × B) ⋅ dl
第十一章 电磁场的统一理论
1111-2 动生电动势和感生电动势 涡旋电场
二
动生电动势的计算 动生电动势的产生不要求导体必须是回路， 动生电动势的产生不要求导体必须是回路，一段 电源。 在磁场中运动的导体就像一个电动势为εi的电源。如 果是闭合回路，则会在回路中产生感应电流。 果是闭合回路，则会在回路中产生感应电流。 1) 利用电磁感应定律计算 dΦ dΨ εi = − 或 εi = − dt dt 如果运动导体不是闭合的， 如果运动导体不是闭合的，可以设想一个包含运动 导体的闭合回路，添加的回路的部分最好是静止的。 导体的闭合回路，添加的回路的部分最好是静止的。 2) 利用动生电动势计算公式 电动势的方向是 v× B 的 方向
感生电动势与涡旋电场
例：正弦交流电B求：任意时刻的电动势解：t ωθ=⎰⋅⨯=L l d B V)(ε θcos BS m =Φ =t BS ωcost NBS dtd N m mi ωωεsin ==Φ-=ωεNBS m =，转速n ：转/分(r/min)，)/(602s rad nπω= 例：磁通计的原理 Bdtd m i Φ-=ε感应电流 i εdt d R R i m i Φ-==1ε t →0感生电量m t m m t t Rd R dt dt d R idt q m m ∆Φ-=Φ-=Φ-==⎰⎰⎰ΦΦ111)()0(00 m q ∆Φ∝，Rq m =∆Φif ，0)0(=Φm ，Rq t m =Φ)(：磁通计原理测量磁场，若线圈面积较小，且线圈平面B⊥，S t B m /)(Φ=可测：时变磁场、恒定磁场 对于恒定磁场B例：洛仑兹力是否作功？洛仑兹力对电荷永远不作功洛仑兹力是产生动生电动势的非静电力 B v q F⨯=：产生动生电动势B u q f⨯=：对动生电动势无贡献 B u q B v q f F F m ⨯+⨯=+=外 =B u v q⨯+)(=B V q ⨯u v V+=V F m ⊥，0=⋅V F mF、f 分别对电荷作功洛仑兹力不提供能量，它只是转化和传递能量第3节感生电动势与涡旋电场一、涡旋电场假说例：求矩形回路中的感生电动势解：⎰⎰=⋅=ΦSSmdSBS dBtθcos)(=dxlxt Ilrr122)(⎰+πμ，It Iωs i n)(==rlrtl I210lnsin2+ωπμ，rlrtl Idtdmi210lncos2+-=Φ-=ωωπμε产生电动势的非静电力是什么力？从哪里来的？涡旋电场假说：变化的磁场⇒具有闭合力线的电场：涡旋电场（感应电场），场强VE，非静电场一段导线：⎰⋅=L Vil dEε，闭合回路：⎰Φ-=⋅=LmVi dtdl dEε静电场涡旋电场产生原因静电荷变化的磁场电力线不闭合闭合环路定理0=⋅⎰L l dE⎰Φ-=⋅=LmVi dtdl dEε保守场、电势非保守场，电势高斯定理∑⎰=⋅内iSqS dE1ε=⋅⎰S V S dE对q的作用力EqF=VEqF=⎰Φ-=⋅LmV dtdl dE=0<⋅∂∂-⋅-⎰⎰S dtBS dBdtdSS固定回路，LVEVEtB∂∂二、 涡旋电场的计算⎰Φ-=⋅L mV dt d l d E =⋅⎰L l d H ∑内传I例：半径为R 的无限长 直螺线管内有均匀磁场B设磁场以恒定速率增加，0>∂∂t B求：V E（1）R r <，沿电力线积分，n向外2)(2cos r tB BS dt d dt d r E dl E l d E L m V L VV ππθ∂∂=--=Φ-===⋅⎰⎰ r tB E V ∂∂=21（2）R r > V E ⎰Φ-==⋅Lm V V dt d r E l d E π2 22)(R t B R B dt d ππ∂∂=--=rR t B E V 1212∂∂= R r例：无限长直螺线管（R 、、0>∂∂tB）求：直导线ab 解：⎰⎰⎰∂∂==⋅=b a L b L a V b L a V ab dl rhr t B dl E l d E 21cos )()()(θε =0)2/(212122>-∂∂=∂∂l R l t Bhl t B ，方向b a →，b 端电势高 讨论：（1）对于涡旋电场不能引入电势概念，为什么说b 端 电势高？答：b 端积累正电荷，a 端积累负电荷电势概念是针对积累电荷的静电场引入的（2）直导线ab 向上平移ab ε如何变化？答：hl tBab ∂∂=21ε，ab 向上平移，↓h ，↓ab ε 直导线通过O 点，0=h ，ab ε=0⎰⋅=baV L ab l d E )(ε，V E l d ⊥，ab ε=0（3）BO a b l ab bO ab O a O abO εεεεε=++=hl t B hl B dt d dt d m OabO ab 21)21(∂∂=--=Φ-==εε （4）I 、 MN 中有无电动势？II 、 G 中有无电流？ B0/≠∂∂t B III 、N M ''中有无电动势？ M NIV 、G '中有无电流？M ' N 'G '计算电动势的小结：（1）磁场恒定，回路或其一部分运动：动生电动势一段导线：l d B V bL a ab ⋅⨯=⎰)()(ε闭合回路：⎰⋅⨯=L l d B V )(ε，dtd mi Φ-=ε（2）磁场变化，回路不动：感生电动势一段导线：⎰⋅=LV i l d Eε闭合回路：⎰⋅=L V i l d E ε，dtd mi Φ-=ε（3）磁场变化，且回路或其一部分又运动：既有感生电动势，又有动生电动势，最好使用：dtd mi Φ-=εG h第4节 自感一、 自感现象及其规律I B ∝，I m ∝Φ，LI m =ΦL :L ：自感（系数），SI ：亨利（H ） dt d m L Φ-=ε=dtdI L I dt dL LI dt d --=-)(如果L 恒定，=L εdtdIL - L ε L εL ε：自感电动势 自感电动势总是阻碍电流变化 I I。
12-(3)感生电动势-涡旋电场
逆时针方向
× × × ×
× r × × ×
× × × ×
O
R
E感
r
{
r B dI (0 r dB R0 ) 0 2 t dt dt 2 R B ( R r ) 顺时针为正
2r t
15
第十五章 机械波 15 –在螺线管内外若有半径为r的圆线圈存在，求线圈中的感 多普勒效应 例2 8 应电动势。
o
第十五章 机械波
利用 i感 d m dt
N
B B MN oMN s ( s s扇） t t B 1 R 2 1 2 ( .R R ( ) R 2 ) t 2 2 12 B 3 2 2 ( R R ) t 4 12
A o C B
AB
1 1 B ABC s 3 3 t
1 B 3 2 B 3 2 3 R R 3 t 4 t 4
23
15 – 8 多普勒效应 小结：两类感应电动势
1）切割磁力线---动生电动势
第十五章 机械波
i
a
b
EK dl (v B) dl
方向:
× Ek × × × M
× r × O × h ×
× × × × N
dΦ 0 dt
感生电场为逆时针
L dB L 2 dΦ 2 R ( ) εi 2 dt 2 dt
ε MN εi
19
因为OM，ON感生电动势为零, 感生电场与导体棒垂直。
第十五章 机械波 15 –求在螺线管中的横载面内，放置有一直金属棒MN，求MN＝ 多普勒效应 例5 8 2R上产生的感生电动势？
第四节 涡旋电场
2
mv eRBR
d mv e d eE dt 2R dt e d mv d 2R 设加速开始时,
只要mv随磁感应强度成比例变化,就可维持电子在一定 的轨道上运动.这如何实现呢?
1 d E涡 2R dt
0 v0
e d mv d 2R
相同点: (1)对电荷有作用力. f 感 q E 感
(2)如果有导体存在,都会形成电流.
不同点:
静电场E库
(1)由电荷激发;
涡旋电场(感生电场)E感
(1)由变化的磁场激发;
(2)
E d S
库
q内
(2)
E
E
感
感
dS 0
发散场(有源场),电力线 起于正电荷,终于负电荷; (3)
1.动生电动势(2)线圈在磁场中转动
i NBS sint 0
2.涡旋电场
(注意角度定义)
即使不存在导体回路，变化的磁场在其周围空间也激发 一种电场,它提供一种非静电力能产生 ,这种电场叫做 涡旋电场。 (涡旋电场与静电场的比较) 3.感生电动势
d dt
感 E涡 dl
只要存在着变化的磁场，就一定会有感生电场
E感
dB 的方向与 成右手法则的关系 dt
如何通过计算结果判断 E 感 方l dt
确定感生 电场方向
E感 0
E感
与环绕方向一致
E 感 0 与环绕方向相反
14.4.2
感生电动势的计算
两种方法: (1) i
E
涡
dl
d (2) i dt
例1.无限长螺线管的电流随时间作线性变化时,其内部的
12.3 感生电动势涡旋电场
M
o
N
B B MN oMN s ( s s扇） t t B 1 R 2 1 2 ( .R R ( ) R 2 ) t 2 2 12 B 3 2 2 ( R R ) t 4 12
12
例6）AB、BC、CA棒组成外切三角形，求AB棒上 的感生电动势。 A 1 1 B AB ABC s 3 3 t 1 B 2 R o 3 t C B
讨论
9
d L dB L 2 i R dt 2 dt 2
2
例3）在螺线管截面上放置金属棒oA，则oA棒上 产生的感应电动势。
i
o
E感
E感 dl E感 dl 0 oA 0
A
10
例5）求在螺线管中的横载面内，放置有一直金 属棒MN，求MN＝2R上产生的感生电动势？ 1 1 B 已知： , , 3 6 t 求： iMN o d m 利用 i感 dt N M 作三角形回路）OMN 三角形回路中的感应电动势即导线MN上的感 生电动势，因在OM，ON上产生的电势为零。 11
R dB 2 dt
dB 2 E感 2r R dt R2 dB 1 所以 E感 2r dt r
o
R
r
7
E感分布曲线
例2：圆形均匀分布的磁场半径为 R，磁场随时间均匀
dB k ，在磁场中放置一长为 L 的导体棒，求 dt 棒中的感生电动势。 解： E感作用在导体棒上，使导体棒 R
川大大学物理课件8.2动生电动势 感生电动势 涡旋场
要求：Ek 具有对称性：
Ek的方向:
d Ek dl dt L B Ek dl dS t L S
1 2
B t
由数学知识可知：
B Ek 与 成右手定则 t
第八章 电磁感应 电磁场的基本规律
v B dl
b
B
vB sin
o
BvR cos
2
a o dl cos
第八章 电磁感应 电磁场的基本规律
13
物理学
第五版
§ 8.2动生电动势 感生电动势 涡旋场
8.2.2 感生电动势
B B r , t 产生感生电动势 S C L 1 感生电场 非静电力？ B I 的形成： 电荷的定向运动
假设被实验所证实
变化的磁场在其周围空间
L
B
I
电荷在感生电场中受到电场力的作用而运动, 从而形成感生电流 产生感生电动势的 非静电场 感生电场
15
第八章 电磁感应 电磁场的基本规律
物理学
第五版
§ 8.2动生电动势 感生电动势 涡旋场
2 闭合回路中的感生电动势
dΦ i Ek dl L dt Φ B ds
I
要使电荷由原来的静止 (不考虑热运动 )到作 定向运动需要力的作用 对电荷有作用的力： （1 ）磁场力：无（2 ）电场力：
非静电力来源于电场力！！！ 电场？
第八章 电磁感应 电磁场的基本规律
14
物理学
第五版
§ 8.2动生电动势 感生电动势 涡旋场
麦克斯韦假设:
大学物理 感应电场
r B E感 2 t
方向：逆时针方向
讨论
负号表示 E感与 B t 反号， 由此可据 B t 的正
r
B t
B
负 来确定 E感的方向。
R L
（1）
B
，则
B
t 0
E感
0
E感与 L 积分方向切向同向。
（2）
B
，则
B
t 0 E感
0
E感
与
L
积分方向切向相反。
rR
B
L E感 • dl S t • dS
库仑电场：由电荷按库仑定律 激发的电场
感生电场：由变化磁场激发的电场
感生电动势 非静电力 感生电场力 （作用于单位电荷上的感生电场力的功就是感生电动势）
一般空间中既可存在电荷又可存在变化的磁场。 所以空间中既存在库仑电场又存在感生电场。
E E库 E感
二、感生电动势
由电动势的定义：
i E感 • dl
L
i
由法拉第电磁感应定律：
dm dt
L
dm dt
dt
dm
感
•
dl
线积分的方向应与的 m
正方向成右手螺旋关系
d dt
(
S
•
dS )
S
B t
•
dS
B
i L E感 • dl S t • dS
B
L E感 • dl S t • dS
讨论
1. 此式反映变化磁场和感生电场的相互关系，
即感生电场是由变化的磁场产生的。
d E感
htg,
•
dl
dl
r B
h2sect
dl cos
d,
大学物理电磁学部分19感生电动势涡旋电场解读
EK dl ，
在限定导体回路不运动的情况及回路面积不变的情况下， 有： B d d i E感 dl m B dS dS S t dt s dt
E感 •感生电场的电力线类似于磁力线，是无头无尾的闭合 曲线，呈涡旋状，所以 称之为涡旋电场。 •涡旋电场永远和磁感应强度矢量的变化连在一起。
L
E静 dl 0
E E静 E感
B 在稳恒条件下，一切物理量不随时间变化， 0 t 静电场的环路定理 E dl 0
L
5
dB 增加 k ，求空间的感生电场的分布情况。 dt 解： 由于磁场均匀增加，圆形磁场区 R 域内、外 E感 线为一系列同心圆； 1. r < R 区域： 作半径为 r 的环形路径; o r 设涡旋电场的绕向也为逆时针方向。 B dB B E感 dl S t dS S dt dS
B 由此得到方程： E感 dl d S S
t
dB 0 dt
3
感生电场与静电场的区别 感生电场 E感 静电场 E
起源 由静止电荷激发 由变化的磁场激发
电 力 线 形 状
电 场 的 性 质
电力线为非闭合曲线
电力线为闭合曲线 dB 0 E感 dt
E感
R dB 2 dt
dB 2 E 感 2r R dt R 2 dB 1 所以 E 感 2r dt r
o
R
r
7
E感分布曲线
例2：圆形均匀分布的磁场半径为 R，磁场随时间均匀
dB k ，在磁场中放置一长为 L 的导体棒，求 dt 棒中的感生电动势。 解： R E感作用在导体棒上，使导体
《大学物理》感生电动势
× × × ×
ε 已知：h、L 、
求： 解一：CD E感 =
B t
r 2
方向如图.
B t
L×
×× ××
× × ×
× ×B × ×t
×
××
εd =E 感.d l
=
r 2
B t
dl
cosθ
B× × × × × E感
× hθ r θ
C
D
×× ×× ×× ××
=
h 2
B t
dl
l dl L
ε=
h 2
B t
l
E 感.d l
=
s
B t
.
dS
l
E 感.d l
=
s
B t
.
dS
3. 式中的S是以 l 为周界的任意曲面。
S l
l
E 感.d l
=
s
B t
.
dS
3. 式中的S是以 l 为周界的任意曲面。
4. E 感 与
B t
构成左旋关系。
S
B
E
t
l
感
5. 感生电场与静电场比较：
5. 感生电场与静电场比较： a. 静电场是有势无旋场，感生电场是有 旋无势场;
L×
××
× ×
× ×
×B ×t
×
B×
×
× ×
× ×
× ×
× ×
E感
× hθ r θ
×× ×× ×× ××
l dl L
解二：l =htgθ , d l =h secθ2 dθ , r = h sec2θ-3-5
εd
=
E
感生电动势 涡旋电场
Ev非保守，做功与路经有关，
b
必须指出路径
l1
al1b
b
a E (l1) v dl
R B 2 t l1
从a b
al2b
b
a E (l2 ) v dl
R 2
B t
l2
从b a
8
另一种方法：利用i 取回路oa l1bo
d（m要有闭回路） dt
oa
al1b
bo
a
d dt
（2）. 同一条 E线v 上，E大v 小处处相同，方向沿切线方向（左旋）
（3）. Ev存在于整个空间（管内、外）
6
2.
Ev的分布：
L
Ev
dl
d m dt
（1）. r < R 取电力线为回路，
I
R
L Ev
正 方向如图 dl Ev 2 r
d dt
(B
r2)
Ev
L
L
Ev
r 2
dB dt
v B dl
-内
感生电动势：回路不变、磁场变化
涡旋电场
1
§10.2（续） 感生电动势 涡旋电场
一. 问题的提出
I
R
A1
A2
R 变，I变，B变
A2线圈中变m 化 i
非静电力 Fk ,是Ek？ 2
二. 麦克斯韦假设
1. 在变化磁场周围空间存在一个电场
（由变化磁场激发），称为感应电场或
涡旋电场—— Ev
与L反向
（2）. r > R 取电力线为回路，正方向如图
L Ev dl
Ev 2
r
d dt
(B
R2)
Ev
R2 2r
12-(3)感生电动势-涡旋电场
B
2 大小：
L Ek dl
S
ds t
3 感应电场方向： 左手螺旋法则
dB 0
dt
Ek
9
五 电磁感应的应用
将导体放入变化的磁场中时，由于 在变化的磁场周围存在着涡旋的感生 电场，感生电场作用在导体内的自由 电荷上，使电荷运动，形成涡电流。
涡电流的应用 利 & 弊 抽真空
6
四 涡旋电场的性质 -- 与静电场相比
涡旋电场
起源
无源场
Ek ds 0
变化磁场 有旋场 非保守力场
L
S E
k
dl
dΦm dt
B
×
Ek
dB 0
dt
感应电场线
对电荷有力的作用 ＋ 具有质量、能量
静电场
起源
有源场
S
E
ds
q
0
静止电荷 无旋场 保守力场
dI dt
K
0
)，求：螺线管内外涡
自右向左
B
I
× × ×
×B × R ×
×××
×××
B感
B 0nI
dI 0 dt
dB 0 dt
顺时针为正
12
求：螺线管内外涡旋电场的分布 B 0nI dI dt K 0
解：螺线管内涡旋电场的分布 ( r <R )
方向： 由楞次定律或左手螺旋关系知
涡流损耗
dB 0 dt
坩埚 冶金工业
电磁炉
10
发电机的原理 i NBS sint
令 m NBS
电磁感应现象的两类情况
则金属棒 ab 接入回路的 bc 部分切割磁感线产生的 感应电动势为： E＝Bv0 bc ＝Bv2 0ttan30° 在回路 bOc 中，回路总感应电动势具体由导体 bc 部分产生，因此，回路内总的感应电动势为：E ＝E＝ 3Bv2 0t/3.
总
电磁感应的图象问题
例4 如图甲所示，矩形导线框 abcd 固定在匀强磁场中，磁感线
的方向与导线框所在平面垂直．规定磁场的正方向垂直纸面向里， 磁感应强度 B 随时间变化的规律如图乙所示，若规定顺时针方向
为感应电流i的正方向，下列i－t图(如图丙)中正确的是(
)
【答案】
D
五、既有 动生又有感生： B变化S也变化： E =nΔ(BS) /Δt
d
a
v
e
b
f
例题１： 如图所示，固定与水平面上的金属框cdef，处 在竖直向下的匀强磁场中，金属棒ab搁在框架上，可无 摩擦滑动。此时abed构成一个边长L的正方形，棒电阻r， 其余电阻不计，开始时磁感应强度为B。 ⑴ 若以t=0时 起，磁感应强度均匀增加，每秒增加量k，同时保持棒 静止，求棒中的感应电流？ ⑵ 若以t=0时起，磁感应强度逐渐减小，当棒以恒定 速度v向右匀速运动，可使棒中不产生感应电流，则磁 感应强度应怎样随时间变化？
P
作用于杆的安培力 F =Bt l i
解得 F=3k2 l 2 t ／ 2r0 ， 代入数据为F=1.44×10 -3 N
v
Q
l
又解： 以 a 表示金属杆运动的加速度， 在t 时刻,金属杆与初始位置的距离 L=1/2×a t2 =18a v=a t=6a， 此时杆的速度 若磁场不变化，由于导体运动产生的动生电动势E1 E1 =Bt l v=kt l v=0.02 6×0.2×6a =0.144a (V) 这时，杆与导轨构成的回路的面积 S=Ll =3.6a ， 若导体不运动，由于磁场变化产生的感生电动势E2 E2 =SΔB/Δt= S×k = 3.6a ×0.02 = 0.072a (V) 回路中的感应电动势为两者之和（方向相同） E=E1+E2=SΔB/Δt + B2l v = 0.216a (V) L P R=2Lr =3.6 a 回路的总电阻 0 v l 回路中的感应电流 i =E/R=0.06 (A) Q 作用于杆的安培力 F=B2l i =0.12×0.2×0.06 =1.44 ×10 -3 N
电磁学6章(2-5)
导线中的感应电动势。
解：1）设直导线中通有电流 I1 。建立坐标系
I1 在 x 处产生的B为：
B 0I1 2x
x
d
o
通过面元 l dx 的磁通为：dΨ 0I1 l d x
2x
I
l a
dx
x
Ψ da 0I1 l d x 0I1l ln d a
d 2x
2
d
M Ψ 0l ln d a
I1 2
二、感生电动势: 导体或导体回路不动，由于磁场随时间变化，
导体或导体回路内产生的感应电动势。
1、感生电动势： 由法拉第电磁感应定律：
E
dΦ
d
Bd S
dt
dt S
S 不 变 ， 只 有B 随 时 间 变 化:
设 B BeB d
e
B是沿
B方向的单位矢量
B
E
dt
Bd S
S
S
t eB dS
B
r
R
O
r
E感 d l E感 2r
E感 d l E
L
B
d
S
S t
B d S B r 2
S t
t
L
2rE感
B t
r 2
B
∴
r B E感 2 t
“-”号表示场强的方向与 t 成左螺旋关系。 与选定正方向相反。沿逆时针方向。
2）在螺线管外（ r > R ）
取半径为r 的同心圆L 作为积分路径，选顺时针方向作为
变换统一起来。
同一问题在不同参考系中可以得到完全相反的结论。
如图：在 S 系中导体沿 x 轴运动，均匀
静止磁场沿 z 轴的负方向，a 端有正电荷
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2
例3：一限定在半径为R的圆柱体内均匀磁场，其大小以恒 定的变化率变化，位于圆柱体内离轴线R/2处的质量为m、 带电量为Q的带电粒子的加速度大小是a，则该磁场随时间 4ma/RQ 。 的变化率|dB/dt|=_____________
dB 解： 设 C (C为常数), dt
× E感
dB 0 dt
I涡
抽真空
11
抽真空 (2)用涡电流加热金属电极 在制造电子管、显像管或激光管时， 在做好后要抽气封口，但管子里金属电 极上吸附的气体不易很快放出，必须加 热到高温才能放出而被抽走,利用涡电 显像管 流加热的方法，一边加热，一边抽气， 然后封口。 接高频发生器 (3)电磁炉 在市面上出售的一种加热炊具----电磁炉。这种电 磁炉加热时炉体本身并不发热，在炉内有一线圈， 当接通交流电时，在炉体周围产生交变的磁场，
感生电场也会对电荷有作用力。
感生电动势的非静电力:感生电场施于导体中电荷的力。
2
根据电动势的定义，回路中的感生电动势为：
d m 由法拉第电磁感应定律： , dt d 回路中的感生电动势为： i E感 dl m
限定导体回路不运动及回路面积不变的情况下，有： B d d i E感 dl m B dS dS S t dt S dt
感生电动势 感应电场
张三慧《大学基础物理学》：第16章第3节 毛骏健《大学物理学》：第8章第2节
1
一、感生电动势
这种电磁感应现象是 由于穿过导体回路的磁场 发生变化而引起的。在回 路中产生的感应电动势称 为感生电动势. 此感生电动势产生的原因是什么呢？
K
二、感应电场
麦克斯韦提出：即使不存在导体回路，在变化的磁场周 围也存在一个变化的电场，这个电场称为感生电场。
13
由上题结果，圆形区域内部的感生电场： E感
r dB 2 dt
8
h r dB i dl cos 其中 cos 则： r 0 2 dt 2 L hL dB r dB h L 2 其中 h R i dl 2 dt 2 0 2 dt r
L
L dB L 方向向右。 2 i R R 2 dt 2 o
感生电场与静电场的区别 静电场 E 感生电场 E感
由变化的磁场激发
电 力 线 形 状
电 场 的 性 质
电力线为非闭合曲线
电力线为闭合曲线 dB 0 E感 dt
感生电场为有旋场 为非保守场作功与路径有关
静电场为无旋场 为保守场作功与路径无关
E dl 0
静电场为有源场
d m i E感 dl dt
当金属容器放在炉上时，在容器 上产生涡电流，使容器发热，达到加 热食物的目的。
12
(4)电度表记录电量 电度表记录用电量，就是利用通有 交流电的铁心产生交变的磁场，在 缝隙处铝盘上产生涡电流，涡电流 的磁场与电磁铁的磁场作用，表盘 受到一转动力矩，使表盘转动。
o
o’
3.涡电流的危害 由于涡电流在导体中产生热效应， 在制造变压器时，就不能把铁心制成实 心的，这样在变压器工作时在铁心中产 生较大的涡电流，使铁心发热，造成漆 包线绝缘性能下降，引发事故。 因此在制作变压器铁心时，用多片硅钢片叠合而 成，使导体横截面减小，涡电流也较小。
感生电场为无源场
S
S 0
4
在一般情况下，空间中的电场既有静电场也有 感生电场，即总场强为： E E E
静 感
E静 dl 0 L B E感 dl dS E d l ( E E ) d l 感 静 S
×
×
dB × × dt
×
× × × dB E感 dl .dS dt 2 1 R R 即 E感 2 C 可得 E感 CR 4 2 2 dB 4m a 依题意可知 F E感Q ma 解得 C dt RQ
根据法拉第电磁感应定律有:
上产生一个向右的感生电动势， 沿 E感 线作半径为 r的环路，分割 导体元 dl， 在 dl 上产生的感生电动势为：
d i E 感dl cos
oh Br dl L
i d i E 感dl cos
R o r B
E感
r
dB 2 E 感 2r R dt R 2 dB 1 所以 E 感 2r dt r
涡旋电场的方向为 逆时针方向。
7
例2：圆形均匀分布的磁场半径为 R，磁场随时间均匀 增加
dB k ，在磁场中放置一长为 L 的导体棒，求棒 dt 中的感生电动势。 R 解：E感 作用在导体棒上，使导体棒
例1： 圆形均匀分布的磁场半径为R，磁场随时间均匀
E感
r dB r 2 dt
涡旋电场的方向为 逆时针方向。
6
r < R 区域： E 感
2. r > R 区域
r dB r 2 dt
作半径为 r 的环形路径;
dB 同理 E感 dl dS dt S
∵积分面积为回路中有磁 场存在的面积，
法2：用法拉第电磁感应定律求解， 如图构造逆时针方向闭合回路，
2 L L 2 B dS B R S 2 2
2
E感 h r h dl
讨论
9
d L dB L 2 i R dt 2 dt 2
B E dl dS S t t
电磁场的基本方程之一
B 0 在稳恒条件下，一切物理量不随时间变化， t E dl 0
L
静电场的环路定理
5
dB 增加 k ，求空间的感生电场的分布情况。 dt 解： 由于磁场均匀增加，圆形磁场区 R 域内、外E感线为一系列同心圆； 1. r < R 区域： 作半径为 r 的环形路径; o r 设涡旋电场的绕向也为逆时针方向。 B dB B E d l d S d S 感 S dt S t dB 2 dB r , E感 dl dS , E感 2r dt dt S
×
回路 方向
10
三、涡电流
1.涡电流 将导体放入变化的磁场中时， 由于在变化的磁场周围存在着涡 旋的感生电场，感生电场作用在 导体内的自由电荷上，使电荷运 动，形成涡电流。 2.涡电流的应用 (1)工频感应炉的应用 在冶金工业中，某些熔化活泼 的稀有金属在高温下容易氧化，将 其放在真空环境中的坩埚中，坩埚 外绕着通有交流电的线圈，对金属 加热，防止氧化。
i E感 dl
dt
B 由此得到方程： E感 dl d S S
t
E感
dB 0 dt
•感生电场的电力线类似于磁力线，是无头无尾的闭合 曲线，呈涡旋状，所以 称之为涡旋电场。 •涡旋电场永远和磁感应强度矢量的变化连在一起。
3
起源
由静止电荷激发