第8讲 立体几何——空间几何体 精华学校讲义

网络课程内部讲义

空间几何体教师：苗金利

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空间几何体

一、知识要点

1、多面体（性质、侧面积、体积）

（1）棱柱：斜棱柱，直棱柱，正棱柱

（2）棱锥：棱锥，正棱锥

（3）棱台：棱台，正棱台

2、旋转体（性质、表面积、体积）

（1）圆锥

（2）圆柱

（3）圆台

（4）球

3、截面

4、三视图画法规则

高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐

长对正：主视图与俯视图的长应对正

宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等

二、例题分析

例1、（1）正四棱锥的侧棱与底面成45D角，则侧面与底面所成的二面角的正弦是（）

（A）

3

2

（B）

2

2

（C）

15

15

（D）

6

3

（2）长方体的全面积是22，棱长之和为24，其对角线长为（）

（A

（B

（C

（D

（3）已知过球面上A、B、C三点的截面到球心的距离等于球的半径的一半，且AB = AC = BC = 2 ，球的面积是（）

（A）16

9

π（B）

8

3

π（C）4π（D）

64

9

π

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（4）地球半径为R ，在北纬30D 圆上有两点A 、B 。A 点的经度为东经120D ，B 点的经度为西经60D

，则A 、B 两点的球面距离是（ ）

（A ）

13R π （B ）3

2

R （C ）

1

2

R π （D ）

2

3

R π

（5）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（ ）

（A ）π28

（B ）π8

（C ）π24

（D ）π4

（6）正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1中P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、B 1C 1的中点，那么，正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是（ ）

（A ）三角形 （B ）四边形 （C ）五边形 （D ）六边形

（7）已知a 、b 、c 是直线，β是平面，给出下列命题：

①若c a c b b a //,,则⊥⊥； ②若c a c b b a ⊥⊥则,,//；

③若b a b a //,,//则ββ⊂

；

④若a 与b 异面，且ββ与则b a ,//相交；

⑤若a 与b 异面，则至多有一条直线与a ，b 都垂直. 其中真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

（8）矩形ABCD 中，AB = 4，BC = 3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B —AC —D ，则四面体

ABCD 的外接球的体积为（ ）

A ．

π12

125

B ．

π9

125

C ．

π6

125

D ．

π3

125

（9）已知直线m 、n 与平面α、β，给出下列三个命题： ①若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ； ②若m ∥α，n ⊥α，则n ⊥m ；

③若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β． 其中真命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

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E G F

D 1

D C

1

B

1A

1

C

B

A

（10）如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝ AB ＝ 2，AD ＝ 1，E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是（ ） A ．arccos

515 B ．4π C ．arccos 510 D ．2

π

（11）一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（

A.223π+

B. 423π+

C. 2323π+

D. 23

43

π+

（12）直三棱柱ABC— A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1和CC 1上，AP = C 1Q ，则四棱锥B— APQC 的体积为

A 、2V

B 、3V

C 、4V

D 、5

V

侧(左)视图 正(主)视图 俯视图

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例2．（1）在正方体''''D C B A ABCD −中，过对角线'BD 的平面交'

AA 于E ，交'CC 于F ，

①四边形E BFD '

一定是平行四边形 ②四边形E BFD '

有可能是正方形

③四边形E BFD '

在底面ABCD 内的投影一定是正方形 ④四边形E BFD '有可能垂直于平面D BB '

以上结论正确的为 。（写出所有正确结论的编号）

（2）在ABC Δ中，9,15,120,AB AC BAC ==∠=°它所在平面外一点P 到三个顶点的距离都是14，则点P 到平面ABC 的距离是 。

（3）斜三棱柱111ABC A B C −中，底面是边长为2的正三角形，侧棱长是3，侧棱1AA 与底面相邻两边的AB ，AC 都成45D

，则其全面积是

（4）三棱锥P- ABC 的侧棱两两垂直，底面上有一点M 到三个侧面的距离分别为2，3，4， 则PM ＝

（5）正三棱锥P- AB C ，侧面顶角是20D

，侧棱长为a ，过A 作截面AEF 与侧棱PB 、PC 交于E 、F ，则截面AEF Δ周长的最小值是

（6）已知球的两个平行截面的面积分别是5π和8π，球心到这两个截面的距离之差是1，则球的半径是