电力变压器仿真模型设计方案

电力变压器仿真模型的设计
目录
绪论 ............................................................ - 6 -一．本课题意义...................................................................... - 6 -二．本文主要工作.................................................................. - 7 -三．使用工具介绍.................................................................. - 7 -
第一章变压器的基本原理 ...................... - 8 -§1.1变压器的工作原理 ......................................................... - 8 -§1.2 单相变压器的等效电路 .............................................. - 10 -§1.3 三相变压器的等效电路及连接组问题 ...................... - 11 -
第二章变压器仿真的方法简介 ............ - 13 -§2.1 基于基本励磁曲线的静态模型 .................................. - 13 -§2.2基于暂态磁化特性曲线的动态模型 ........................... - 14 -§2.3非线性时域等效电路模型 ........................................... - 15 -§2.4基于ANN的变斜率BP算法 ..................................... - 16 -
第三章单相变压器的仿真 .................... - 17 -§3. 1 单相变压器仿真的数学模型 ..................................... - 18 -
§3.1.1单相变压器的等效电路分析 .................................... - 18 -
§3.1.2龙格－库塔法则的介绍............................................. - 19 -§3.2 单相变压器仿真的程序流程及功能介绍 .................. - 20 -
§3.3 单相变压器仿真的实例计算及结果分析 .................. - 21 -§3.3.1单相变压器仿真的波形分析 ..................................... - 21 -
§3.3.2单相变压器的励磁涌流的分析 ................................. - 23 -
§3.3.3单相变压器励磁涌流的特征 ..................................... - 26 -
第四章三相变压器的仿真 .................... - 26 -§4. 1 三相变压器仿真的数学模型 ..................................... - 27 -§4.1.1仿真的数学依据.......................................................... - 27 -§4.1.1.1三相变压器Yd11连接组模式.................................. - 27 -
§4.1.1.2三相变压器Ynd11连接组模式................................ - 29 -
§4.1.1.3三相变压器Yny0连接组模式.................................. - 29 -
§4.1.1.4三相变压器Yy0连接组模式.................................... - 30 -§4.1.2电源电压的描述.......................................................... - 31 -
§4.1.3铁心动态磁化过程简述.............................................. - 31 -§4.1.3.1极限磁滞回环的数学描述........................................ - 31 -
§4.1.3.2暂态局部磁滞回环的描述........................................ - 32 -
§4.1.3.3剩磁的处理................................................................ - 34 -§4.2 三相变压器仿真的程序流程及功能介绍 .................. - 34 -§4.2.1分段拟和加曲线压缩法方法一（两段修正的反正切函数）-
34 -
§4.2.2分段拟和加曲线压缩法方法二（两段修正的反正切函数加两段直线）..................................................................................... - 36 -§4.3 三相变压器仿真的计算实例及结果分析 .................. - 37 -§4.3.1励磁涌流的仿真.......................................................... - 37 -§4.3.1.1方法一：用两段修正的反正切函数拟和压缩........ - 37 -
§4.3.1.2方法二：用两段修正的反正切函数加两段直线拟和压缩-
38 -
§4.3.1.3两种方法的比较分析................................................ - 39 -§4.3.2影响变压器励磁涌流的主要因素及结果分析 ......... - 40 -§4.3.2.1剩磁对变压器励磁涌流的影响................................ - 40 -
§4.3.2.2合闸初相角对变压器励磁涌流的影响.................... - 41 -§4.3.3三相变压器励磁涌流的特征 ..................................... - 42 -
第五章结论与展望 ................................ - 44 -
参考文献 ...................................................... - 45 -
附录Matlab程序..................................... - 46 -§1.在Yd11接线方式下两段反正切函数拟和极限磁滞回环的程序................................................................................................ - 46 -
§2.在Ynd11接线方式下两段反正切函数拟和极限磁滞回环的程序................................................................................................ - 49 -
§3.在Yny0接线方式下两段反正切函数拟和极限磁滞回环的程序
................................................................................................ - 51 -
§4.在Yy0接线方式下两段反正切函数拟和极限磁滞回环的程序- 52 -
§5.在Yd11接线方式下两段反正切函数加两段直线拟和极限磁滞回环的程序................................................................................ - 53 -
§6.在Ynd11接线方式下两段反正切函数加两段直线拟和极限磁滞回环........................................................................................ - 56 -
§7.在Yny0接线方式下两段反正切函数加两段直线拟和极限磁滞回环的程序................................................................................ - 57 -
§8.在Yy0接线方式下两段反正切函数加两段直线拟和极限磁滞回环的程序................................................................................ - 58 -
摘要
随着电力系统的飞速发展，对变压器的保护要求也越来越高。

研究三相变压器地暂态过程，建立一个完善的变压器仿真模型，对变压器保护方案的设计具有非常重要地意义。

本文在Matlab的编程环境下，分析了当前的变压器仿真的方法。

在单相情况下，分析了在饱和和不饱和的励磁涌流现象，和单相励磁涌流的特征。

在三相情况下，在用分段拟和加曲线压缩法的基础上，分别用两条修正的反正切函数，和两条修正的反正切函数加上两段模拟饱和情况的直线两种方法建立了Yd11、Ynd11、Yny0和Yy0四种最常用接线方式下三相变压器的数学仿真模型，并在Matlab下仿真实现。

通过对三相励磁涌流和磁滞回环波形分析，三相励磁涌流的特征分析，总结出影响三相变压器励磁涌流地主要因素。

最后，分析了两种方法的优劣，建立比较完善的变压器仿真模型。

关键词：三相变压器、励磁涌流、仿真、数学模型
绪论
一．本课题意义
众所周知，衡量一个国家的发展水平关键是看这个国家的经济实力，而在各个行业各个领域的发展中，都离不开对电力的要求。

电力产业是个先导产业，宁可浪费，也不能不足。

在各项社会主义现代化建设动工之前，首先要确保有足够的电力供应。

电是能量的一种表现形式，电力已成为工农业生产中不可缺少的动力，并广泛的应用到一切生产部门和日常生活方面。

电能有很多优点：首先，它可简单地转换成另一种地能量，比如经过简单地装置，转化成光能、热能、机械能等等。

其次，它传输简单。

通过高压输电线路，可以输送很远地距离，电压越高，输送时损耗地能量越少。

在前苏联，1986年，研制出1150kv的交流高压输电，可以把电传送到几千公里甚至上万公里远的地方。

另外，很多生产部门利用电进行控制，更容易实现自动化，提高产品质量和经济效益。

我国的电力情况是差强人意的。

1992年底全国总装机容量达到 1.7亿千瓦，年发电量为7400亿千瓦时。

当前，我国总装机容量和发电量均居世界第四位。

1992年，电力增长率为10.9％，国民生产总值增长率为12％，这表明电力与国民经济未能同步增长，电力尚不能满足经济发展的需要。

但是，我们不能忘记我们一穷二白的基础，1949年建国时，全国总装机容量为184.9万千瓦，年发电量仅仅是43亿千万时，在世界上居于第25位。

这样快的发展速度和规模，在世界上也是罕见的。

电力资源是有限的，如何更好的利用这些有限的资源，让这些资源更好的投入到社会主义现代化建设中呢？关键是保护。

虽然我们只有有限的资源，可是如果我们能够合理充分的利用这些资源，还是可以得到很大的效益的。

如果保护做的不好，有限的资源不能得到合理的利用，社会主义现代化建设将困难重重。

从20世纪60年代开始，人们就花费大量的精力去解决变压器的计算机模型问题。

由于变压器的非线性特性，这被证明是困难的课题。

不像线性系统一样，没有一般的解决方案可以解决非线性方程。

即便是数字式的解决方案，也只能很困难的解决某一类的非线性方程。

在稳定的状态下，存在好的变压器模型。

然而，在瞬变的状态下，还没有完全令人满意的变压器模型。

变压器正常运行时的励磁电流很小，一般不超过额定电流的3％一6％。

在变压器空载合闸或外部故障切除后电压恢复暂态过程中，会产生波形严重畸变、数值相当大的励磁电流(最大使可能达到额定电流的6—8倍)，形成励磁涌流。

这种冲击电流对电力变压器绕组的机械稳定性和绝缘强度将造成很大危害，可能引起变压器早期失效；同时由于该励磁涌流在数值上与变压器在短路故障下的短路电流相近，因此利用一般继电器构成的变压器差动保护就可能引起误动作，从而使电力系统的正常运行遭到破坏。

因此，为了给变压器设计提供可靠的参考依据以及使变压器继电保护装置正确可靠动作，精确仿真变压器的励磁涌流并对其进行特性分析具有重要意义。

为了能够深入的了解电力变压器的建模问题，在仔细的阅读了很多相关的文章之后，期
望可以从中创建出一种最优化的方法，可以最好的模拟实际应用中变压器的真实情况。

二．本文章的主要工作
针对前面所讨论的三相变压器建模问题，本文章进行了重点、深入的研究，进行了理论分析和仿真计算，并提出了相对较好地变压器仿真模型。

本文章主要包括一下几个方面：（1）简要分析了当前的变压器仿真的方法，比较了相互之间的优缺点。

（2）在单相情况下，分析了在饱和和不饱和的励磁涌流现象，分析了单相励磁涌流的特征。

单相程序在Matlab上仿真实现。

（3）在三相情况下，在用分段拟和加曲线压缩法的基础上，分别用两条修正的反正切函数，和两条修正的反正切函数加上两段模拟饱和情况的直线两种方法建立了Yd11、Ynd11、Yny0和Yy0四种最常用接线方式下三相变压器的数学仿真模型，并在Matlab下仿真实现。

通过对三相励磁涌流和磁滞回环波形分析，三相励磁涌流的特征分析，总结出影响三相变压器励磁涌流地主要因素。

最后，分析了两种方法的优劣，建立比较完善的变压器仿真模型。

三．使用工具介绍
本课题主要是使用了Matlab来进行编程仿真的。

MATLAB名字是由MATrix和LABoratory两个词的前三个字母组合而成的。

它是MathWorks公司于1982年推出的一套高性能的数值计算和可视化数学软件。

被誉为“巨人肩上的工具”。

由于使用Matlab编程运算与人进行科学计算的思路和表达方式完全一致，所以不象学习其它高级语言--如Basic、Fortran和C等那样难于掌握，用Matlab编写程序犹如在演算纸上排列出公式与求解问题，所以又被称为演算纸式科学算法语言。

一般数值分析、矩阵运算、数字信号处理、建模和系统控制和优化等应用程序，并集应用程序和图形于一便于使用的集成环境中。

在这个环境下，对所要求解的问题，用户只需简单地列出数学表达式，其结果便以数值或图形方式显示出来。

MATLAB的含义是矩阵实验室（MATRIX LABORATORY），主要用于方便矩阵的存取，其基本元素是无须定义维数的矩阵。

MATLAB自问世以来,就是以数值计算称雄。

MATLAB 进行数值计算的基本单位是复数数组（或称阵列），这使的MATLAB高度“向量化”。

经过十几年的完善和扩充，现已发展成为线性代数课程的标准工具。

由于它不需定义数组的维数，并给出矩阵函数、特殊矩阵专门的库函数，使之在求解诸如信号处理、建模、系统识别、控制、优化等领域的问题时，显得大为简捷、高效、方便，这是其它高级语言所不能比拟的。

美国许多大学的实验室都安装有MATLAB供学习和研究之用。

在那里,MATLAB是攻读学位的大学生硕士生博士生必须掌握的基本工具。

MATLAB中包括了被称作工具箱（TOOLBOX）的各类应用问题的求解工具。

工具箱实际上是对MATLAB进行扩展应用的一系列MATLAB函数（称为M文件），它可用来求解各类学科的问题，包括信号处理、图象处理、控制系统辨识、神经网络等。

随着MATLAB版本的不断升级，其所含的工具箱的功能也越来越丰富，因此，应用范围也越来越广泛，成为涉
及数值分析的各类工程师不可不用的工具。

第一章变压器的基本原理
§1.1变压器的工作原理
变压器是一种静止的电器，用于将一种形式的交流电能改变成另一种形式的交流电能，其形式的改变是多种多样的。

既可以改变电压、电流；也可以改变等效阻抗或电源相数、频率等。

图1－1 变压器示意图
以单相为例，研究变压器的基本工作原理。

图1－1所示为一台变压器的示意图。

它由铁芯和线圈组成。

接电源的原边线圈成为初级线圈；接负载的副边线圈称次级线圈。

设原、副边线圈匝数分别为1ω、2ω。

根据电磁感应现象，电能可从原边输送到副边，但原、副边具有不同的电压和电流。

变压器内部的磁场分布的情况是非常复杂的，但是我们总可以把它们折算为等效的两部分磁通。

其中一部分磁通φ沿铁芯闭合，同时与原、副绕组相链，是变压器能量变换和传递的主要因素，称为主磁通或互感磁通；另一部分磁通1δφ主要是通过非磁性介质（空气或油），它仅与原绕组全部相链（只与原绕组部分匝数相链的露刺痛已折算为全部原绕组相链而数值减少的等效磁通），故称它为原绕组的漏磁通。

根据电磁感应定律，当磁通φ和1δφ随时间变化时，分别在它们所交链的绕组内感应电动势：
式中1e 、
1e δ是原绕组漏磁通在原边感应的电动势瞬时值。

所以，1122e e ωω=，设变压器的变比为12k ωω=，则12U kU ≈,21I I k
≈。

所以利用变压器可以在传输电能的同时改变其电压和电流。

§1.2 单相变压器的等效电路
（一） 从物理概念上引出变压器的等效电路
我们首先将副绕组用折算过的副绕组来代替，同时把变压器绕组中的电阻和代表漏磁场效应的漏电抗转移到绕组外端，由于原、副绕组两段的电位差相等，故可以连接，将两个绕组合并为一个，有电流12m i i i '=+流过。

这样合并后的绕组连同变压器铁芯就相当于一个绕在铁芯上的电抗线圈，可用阻抗m m m Z r jx =+来代表。

所得到电路图1－2即为变压器的等效电路。

图1－
2 变压器的T 形等效电路
（二） Γ形等效电路
T 形等效电路与基本方程式相对应，因而能正确地表达实际的变压器，但是用它来进行具体计算却很麻烦。

实际上，当变压器额定运行时，一次侧额定电流远大于励磁电流，所以m 1I Z 分量很小，可以略去不计。

此外，在负载变化时，可以近似的认为11E U =，而m I 不随负载的变化而变化。

于是可将T 形等效电路中的励磁支路移到1Z 的前面，如图1－3所示。

这样计算将大为简化，由于阻抗呈“Γ”形分布，故称为变压器的Γ形等效电路。

图1－3
变压器的Γ形等效电路
（三） 简化等效电路
电力变压器m I 在1I N 中所占的比例很小，工程计算可将m I 略去不计，即将励磁支路却小，而得到一个更简单的串连电路，如图1－4所示称为变压器的简化等效电路。

图1－4 变压器的简化等效电路
§1.3 三相变压器的等效电路及连接组问题
现在电力系统都采用三相制，所以实际上使用得最广泛的是三相变压。

从运行原理来看，三相变压器在对称负载下运行时，各相的电压、电流大小相等，相位彼此互差120
，故可任取一相分析，即三相问题可简化为单相问题。

根据变压器原、副绕组电动势的相位关系，把变压器绕组的连接分成各种不同组号称为绕组的连接组。

在不同的连接组下，三相变压器的等效电路略有不同。

现以Yd11连接组为例，做三相等效电路等效电路图如图1－5所示。

图1－5 Yd11连接组三相等效电路
在三相变压器中，用大写字母A、B、C表示高压绕组的手段，用X、Y、Z表示高压绕组的末端；低压绕组首、末端则应用对应的小写字母a、b、c和x、y、z表示。

星形连接的中点用字母O表示。

不论原绕组或副绕组，我国主要采用星形和三角形两种连接方式。

为了形象地表示原、副边电动势相位地关系，采用所谓的时钟表示法：即把高压绕组的电动势向量作为时钟的长针并指向12，低压绕组的电动势相量作为时钟的短针，其所指数字作为单相变压器连接组的组好。

在我国生产的变压器中，以Yd11、Ynd11、Yny0、Yy0（n表示中性点接地）四种连接组为主。

第二章变压器仿真的方法简介
从20世纪60年代开始，人们就花费大量的精力去解决变压器的计算机模型问题。

由于变压器的非线性特性，这被证明是困难的课题。

不像线性系统一样，没有一般的解决方案可以解决非线性方程。

即便是数字式的解决方案，也只能很困难的解决某一类的非线性方程，在稳定的状态下，存在好的变压器模型。

然而，在瞬变的状态下，还没有完全令人满意的变压器模型。

变压器的性能主要取决于其铁心的磁化特性，即铁心的磁滞回环，因此对铁心磁滞回环的拟合是最基础、最重要的工作。

在变压器特性的数值仿真计算中，对磁滞回环的拟合提出了以下几个要求：①具有较高的精度；②在大范围内不分段，具有光滑性，否则会引起变压器特性仿真计算过程的不稳定；②具有稠密性，因为通过实验只能得到有限条磁化曲线，而变压器仿真中需要知道B—H平面中的任意一条曲线。

由于铁心的饱和特性、磁滞现象等非线性因素的影响，很难用数学模型精确地描述铁心的动态磁化过程。

变压器通过铁心磁场作用建立一次侧和二次侧的电磁联系。

因此变压器暂态建模的关键是对铁心动态磁化过程的数学描述。

根据对磁化特性曲线描述的不同，现有研究用的变压器模型大致有下列4种：
（1）模型A——基于基本励磁曲线的静态模型；
（2）模型B――基于暂态励磁特性曲线的动态模型；
（3）模型C――基于暂态励磁特性曲线的非线性时域等效电路模型；
（4）模型D――基于ANN的变斜率BP算法创建的模型。

§2.1基于基本励磁曲线的静态模型
基于基本励磁曲线的变压器模型只考虑饱和引起的非线性，即采用如图2－1所示的基本磁化曲线作为变压器暂态工作特性曲线进行二次侧电流的计算。

等效电路图如图2－2所示。

图2－1 基本励磁曲线
图2－2 静态模型
由磁通守恒和KCL 定律可以得到以下基本方程组：
1102222222
0()()
N i i N i di d N R i L dt dt f i φφ⎧⎪
⎪⎨⎪⎪⎩-==+= （2－1） 式中1i 为一次侧电流；0i 为励磁电流；2i 为二次侧电流；φ为主磁通；1N 、2N 为一、二次侧匝数；2R 、2L 为二次侧负载。

由方程组（2－1）中的第一和第三个方程得到12102()N i i N i =-，将0
0di d d dt di dt
φφ= 代入方程组第二方程，整理可得：
201121121202120/di di d N R i N L N R i N N L dt dt dt φ⎛
⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（2－2） 因φ＝Bs 和01Hl N i =，故有10N d dB s di l dH
φ
=，代入式（2－2）可得
201112112120212()/()di di N
N R i N L N R i N s N L dt dt dH
=+-+ （2－3） 用四阶龙格－库塔法或隐式梯形公式就可以求解一阶常微分方程式（2－2）或式（2－3），
从而建立了变压器仿真数学模型。

§2.2基于暂态磁化特性曲线的动态模型
这类变压器模型建立在对动态磁化特性曲线的数学描述之上。

暂态磁化特性曲线0()f i φ=的描述，最常用的是采用极限回环压缩法。

即假定铁心磁化曲线的主磁滞回环和次磁滞回环具有相似性，由主磁滞回环压缩生成次磁滞回环。

例如用反正切函数拟合主磁滞回环，其表达式为
000
()a r c t a n ()C i h i i φαβ±=+ （2－4） 式中α、h 、β和C 为常数。

在上升轨迹0d dt φ⎛⎫> ⎪⎝⎭和下降轨迹0d dt φ⎛⎫
< ⎪⎝⎭
的转折点(0)(0)0(,)i φ将主磁滞回环按压缩系数
(0)(0)
(0)00()/arctan ()22b i h i C K ππφβ⎡⎤⎡
⎤
--±±⎢
⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦
=向直线02
()/i πα
φββ=
压缩生成次级回环
的下降支或上升支。

图2－3所示为动态磁化特性曲线，其中10()f i ，20()f i 为极限磁滞回环，((0)0i ，(0)φ)为
转折点(假设φ从上升变成下降)，则30()f i 为经过该点的次级回环下降支。

在10()f i ，20()f i 形
成的回环内的
30()f i 部分为经过该转折点的暂态磁化轨迹。

图2－3 局部磁滞回环轨迹
§2.3非线性时域等效电路模型
该模型用几个电路元件分别模拟造成变压器非线性的因素。

因为引起变压器非线性的主要因素有饱和、涡流和磁滞，所以用三个电路元件模拟这些因素，并将各元件流过的电流线性叠加，得到励磁电流。

其表达式为：
0m e h i i i i =++ (2－5)
式中
m i 为磁化电流；h i 为磁滞电流；e i 为涡流电流。

因为剔除了其它影响因素而单独进行考虑，故m i 可以用无磁滞曲线(基本磁化曲线)来表示，这是一个仅仅与磁链有关的表达式。

其表达式可以表示为
()()m f g i ψψψ== (2－6)
磁滞是由交变电流产生，其大小和电压以及频率有关。

但实验表明，在50Hz 到400Hz 内，磁滞随频率的变化而改变得很小，故频率的影响一般用一个常数表示。

磁滞电流部分的表达式为
1
1h h h d i k V k dt ββψ--⎛⎫
⎪
⎝⎭
== (2－7)
其中β为斯坦梅茨(Steinmetz)系数，由铁磁材料的特性决定。

h k 设定为在50Hz 下的一个常数。

涡流电流和磁通、磁通变化率以及频率有关。

但是在电流频率不超过400Hz 的情况下，涡流电流不会因频率改变而显著变化。

因此可以不考虑频率变化对涡流的影响，表达式如下
11e e e d r V r i ψ
--== （2－8）
综合以上各式可得到考虑了饱和、磁滞和涡流影响的变压器励磁电流暂态数学模型，其表达式为
210()(())e h d d g K r dt
dt
i βψψ
ψψ--=++
令
211(),()m m m e h d L g R G k r dt
βψψ---===+
则有 10m m d i L vdt R dt
ψ
-=+⎰
（2－9） 其等效电路如图2－4所示。

图2－4 非线性时域等效电路模型
§2.4基于ANN 的变斜率BP 算法
随着人们对变压器仿真研究的深入，发现使用基于ANN 的变斜率BP 算法，建立的铁芯磁滞回环拟和的ANN 数学模型，也是很好的方法。

现有的方法大多数是用几种函数曲线近
似地拟合极限磁滞回环，然后把该回环按比例压缩，以得到变压器特性仿真计算所需要的回环。

因为这些方法没有充分的理论依据，所以计算结果误差较大。

另外，为了满足一定的拟合精度，拟合函数是由一种或几种函数分段组合起来的，这就使得拟合曲线存在光滑性与精确性的矛盾。

为此，有些研究人员提出了应用ANN 的反向传播(BP)算法拟台变压器铁心磁滞回环的思想。

但由于BP 算法本身的缺陷，使得拟合磁滞回环的结果不理想，仍需分段拟合，这就意味着拟合曲线的光滑性与精确性的矛盾依然存在。

为了更好地解决此问题，可以借助于变斜率BP 算法，建立变压器铁心磁滞回环拟台的人工神经网络数学模型，以满足变压器特性仿真计算的要求。

BP 算法是一种可用于曲线拟合的高度非线性映射方法，但它有一个突出的缺点，即收敛性对权值的初始设置非常敏感，这使该算法常常不收敛，这种现象通常被解释为“收敛到了局部最小点”。

尽管这种解释在某些情况下是正确的，但还有另外一种重要的原因导致该方法不收敛，那就是：通常节点的输入矢量和选择不当的权值会使线性组合器的输出陷于导数很小的非线性饱和区，而权值的更新项与这个导数成正比，所以更新项可能很小而使权值的更新非常缓慢，从而导致算法不收敛或只有在大量的迭代计算之后才收敛。

如果S 形函数式中的ln S 值大，上述情况发生的可能性就会增加，因为ln S 决定了斜面的陡度。

而ln S 值太小，又有两个不利的影响：①导数值甚至会在非饱和区下降，这会降低收敛速度；②线性组合器的输出几乎总是落入S 形函数方程式的线性区域内，这是人们所不希望的，因为它会阻碍非线性的作用，从而丧失了多层ANN 网络的特性(因为具有线性作用函数的任意层ANN 网络可以由一个单层的ANN 网络代替)。

显然，在ln S 的最大值与最小值之间，必然存在一个最优的ln S 值，不同节点的最优ln S 值组成了一个最优斜率集。

第三章 单相变压器的仿真
单相变压器在实际中应用的比较少，但由于在对三相变压器进行分析的过程中，通常把
它分开，每个部分都看作是一个单相变压器，而在相位上互差120
而已，所以在分析三相变压器之前，首先分析一下单相变压器的仿真，并在对单相变压器的仿真的基础上，分析一下励磁涌流的现象和特征。

§3. 1 单相变压器仿真的数学模型
§3.1.1 单相变压器的等效电路分析
单相变压器的等效电路如图3－1所示。

图3－1 单相变压器的等效电路
列电路方程
u = (r s +r 1)i+(L s +L 1)di dt
+u N +e （3－1）
()D
N D
D D t
di u L r i d =-+ （3－2） 2m
m m di di i N SdB d K K dt l dH dt dt e φ=∙=∙=∙= （3－3）
式中 m i ―――电流m i 的导数。

将式（3－2）、（3－3）代入方程式（3－1），计及一、二次绕组漏抗近似相等（r 1＝r D ，L 1=L D ）, 再忽略系统阻抗，即r s ＝0，L s ＝0，L s0＝0，则上式可化简为：
11()m m u ri L K i =++
式中：2H
N SdB
K l d =----动态感应系数
s L ，0s L ――――电源内部等值正序电感与零序电感 S ，l ――――变压器铁心截面积与各相磁路长度
1L ，N ――――一次绕组漏抗和匝数 m i ――――电流m i 的导数
根据前述假设，电源电压u （相电压）可用式（3－4）描述。

(/1.73)sin(t )m u U ωα=+ （3－4）
式中，Um 为电源线电压峰值，取1.1倍额定电压。

α为空载合闸初相角。

在用Matlab 仿真得过程中，α的设定并非是一个可以输入的变量，如果需要改变初相角，可在程序内部直接改变相电压u 。

§3.1.2 龙格－库塔法则的介绍
因为本课题中将要处理大量的方程，所以选择了龙格－库塔法。

显式龙格－库塔方法的绝对稳定域是有限区域，它不适用于求解刚性方程，因此要研究隐式RK 方法，对于解初值问题
00(,),()y f t y y t y ==' （3－5）
,:m m m y R f R R R ∈⨯→，隐式RK 方法用公式可表示为 11
s
n i i n i y y h
b k +==+∑ （3－6） 1
(,)s
i n i n ij j j f t c h y h a k k ==++∑，1,2,,i s = （3－7）
0(0,1,),0n t t nh n h =+=> 称为积分步长，n y 为式（3－5）的精确解()n y t 的数值解，
公式（3－6）和（3－7）成为s 级的RK 方法，其中系数i b ，i c 及ij a （,1,2,,i j s = ）都是实数，i c 称为节点，i b 称为权系数，()s s ij s s R A a ⨯⨯∈=为系数矩阵，公式（3－6）和（3－7）通常用以下格式表示
c A
T b 或。