断裂力学讲义Ch5_2

J a T
CM 4P2 2 c P 1 CM cr
J c
讨论CM与裂纹扩展的稳定性。
E dJR 撕裂模量 TR 2 决定了裂纹扩展的稳定性。 0 da
J积分理论的不足
J积分路径无关性的一个重要前提是超弹性材料（或形变塑性不 卸载），当裂纹未起裂时，这个条件能严格满足，故J积分断裂 准则是准确和严格的。当含有塑性变形的裂纹扩展时，在裂纹 尾岸有塑性卸载，需意识到再使用J积分断裂准则只是近似，需 要用实验或理论来验证其适用性。
HRR场主导区过小。J控制扩展要求R>>D(约为0.5～5mm）
J阻力曲线与试件几何相关。
第一条理论上的不足超弹性材料（或形变塑性不卸载）暂时无法克 服，第二条HRR场主导区过小和第三条J阻力曲线与试件几何相关可 以考虑采用裂纹尖端的两项展开，由单参数控制变为双参数控制， 能更大范围地准确描述断裂过程。
R
M c
M
确定e：圆弧假设在-e/2≤y<e/2处
2 R y 2R y x y 2R R
在y=-e/2处
e e / 2 ys x R E 2
2 R ys e E
确定R
确定R：由相似性和量级分析得
R c
2 R ys 2 c ys e E E
c0初始时断裂发生的试件长度
弹塑性材料（如：金属） C2 J C1 a
J max
c0 Y 15
B, b0
25J Q
Y
JQ J IC
如何测JR阻力曲线？试件一旦起裂按道理J积分的概念就不完全正确 了，但在实际过程中，认为在一些条件下（如裂纹少量扩展和稍后 要讲的J控制扩展情况下），仍可以在实验验证的情况下继续使用。 仍采用深缺口单试件法并采用卸载柔度来确定裂纹长度。 利用卸载柔度计算裂纹长度 在计算J时的假设（解释）
代表JR阻力曲线的无量纲切线模量
附：
J控制扩展
附：
SSY
弹塑性
不同条件下的裂尖 应力场的描述
塑性对于裂尖应力 场的影响
LSY 在弹塑性条件下，当 K控制区消失时，J积 分仍然是合理的
真实的裂纹扩展过程
建立理论模型 十分困难!
裂纹起裂后的弹塑性断裂行为 可以由J控制扩展描述 扩展裂纹与静止裂纹的不同之处在于： （1）塑性变形耗散于扩展裂纹上下两岸，而不是集中于裂纹 尖端区； （2）有弹性卸载区；
方法一：测试多个不同裂纹长度的试件
为什么这样测量满 足J积分的定义？ 缺点：多根试件， 数据处理麻烦，数 据易分散
方法二：由单根试件来确定J积分 深缺口
a c, R 2r
q Q U J dq 0 a a q
2 q J Qdq c 0
2 J Md c 0
q
Q代表对HRR场静水压力的修正，控反映三轴约束。
结构缺陷评定
综合利用前面提到的断裂参数和断裂准则：
ˆ (2) cr 2 2 ˆ d ˆ d c cr 0 cr cr 0 a c 对于拉伸试件： J

所以
2 J dJ Md cr da c c
c
J 2
cr
a J M d cr da a 0 c c
积分可得
弹塑性材料（如：金属）
单边凹槽（为什么？）
J J el J pl
J el K 2 1 2 E
P a K f B W W
J pl
A pl
BN c0
K
P a f BBNW W
2.0 2 0.522 c0 W
CT SEB
a 或 ~ D
材料长度D可在0.5～5mm之间变 化，D较小时易于实现J控制扩展。
R的大小与试件形状有关（紧 凑拉伸和三点弯较合适）
附：

J 0 I r 0 0 n
n n 1
~ ; n
d ?
d J 0 I r 0 0 n
第五章：J积分和M积分
J积分
HRR场
J积分的实验测量和数值计算 讨论 M积分
HRR场


J 0 I r 0 0 n J 0 I r 0 0 n
1 n 1
~ ; n ~ ; n
设影响某现象的物理量数为n个，这些物理量的基本量纲为m个，则该 物理现象可用k=n-m个独立的无量纲数群（准数）关系式表示。用数学 方式表示为： 设n个物理量之间满足函数关系式：
f X1, X 2 ,
关系式与下列关系式等价：
, Xn 0
其中 ， X1,X2,…,Xn为物理量。共包含有m个基本量纲（m<n） ， 则上述
F 1, 2 ,
, k 0
an Xn
其中 k=n-m，1, 2,…, k 为无量纲量，F为未知函数关系，且
a2 i X1a1 X 2
这里ai是有理数（通常为整数）。
在测试JIC方法一（多试件法）和方法二（深缺口单试件法）都有如 何在确定裂纹何时起裂的问题，实现起来比较麻烦。实际中采用JR 阻力曲线外推的方法来确定JIC。
J

0
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2 M d 0 Md c c
附：实验中如何计算即时裂纹场ai和Jpl
紧凑拉伸试件
三点弯试件
JR阻力曲线
从图上可以得到两个量：一个材料长度D（D越大意味着什么？） 可以表征JR阻力曲线的上升速度；撕裂模量
E dJR TR 2 0 da
（3）不满足比例加载；
（4）具有较弱的奇异性。
难点：弹塑性扩展裂纹的力学描述
什么时候J积分近似有效？—J控制扩展
描述裂纹起裂后的 弹塑性断裂行为
两点要求：
•J控制区远大于弹性卸载区
R a
•J控制区远大于非比例加载区
R D
（参见宏微观断裂力学）
D
D的大小相当于非比例加载区 显然，还要求
J c
静止裂纹柔度曲线
由此式可以计算裂纹扩展驱动力J积 分随裂纹扩展的变化
【习题5-7】推导并理解杨卫书上公式(2.91)-(2.98) 提示：有的公式有错。需要利用深缺口公式：
2P P c c cr
J控制扩展的稳定性
T E J 2 0 a T
HRR场的应力奇异性低于K场，而HRR场的变形奇异性高于K场。 •同弹性裂纹体的K一样，J积分可度量裂纹尖端场的强度。
4.3. J积分的实验量测
U Qdq
0
q
U Qq qdQ
0
Q
Q，q分别为广义力和广义位移
q Q U J dq 0 a a q Q q J dQ a Q 0 a
(1)
ˆ , a c 2 ˆ M cr 0 cr
c ba



（2）
a
2 M c
（3）
J (1) cr 2 ˆ ,a M cr 0 a c a cr


(3)

cr
0
ˆ d ˆ 2 0 cr cr

(1,2)
2
c 2
是无量纲函数
~
M c
M M 2c 2 c c
R
M c
M
附：定理（ Buckingham π theorem）
E.Buckinghan,1915
量纲分析中的关键定理（key theorem in dimensional analysis）
0
J 2
cr
0
a J P dcr da a0 c c
扩展裂纹的J积分
J 2
cr
0
J控制扩展的稳定性
a J P dcr da a 0 c c
J a T
2 CM 4P 2 c P 1 CM cr
1 n 1
n n 1
0 0
n
J J u u 0 I n 0 0 I n r
其中In仅与n有关, u 是刚体位移。
~ ; n u
•当硬化指数n＝1时，HRR场的奇异性退化为K场奇异性；当n>1时，
M
c=W-a
R
M c
M
M J d 0 c

为了计算M
2y ys x y e sgn y ys
c /2
for y e 2 for e 2 y c 2
问题转化为 确定e
c 2 e2 M y x y dy ys c /2 4 12
1 J 2r 2
3 Pd Pd 0
即由广义力对裂纹长度导数的积分转换为对广义力的积分！
Rice JR, Paris PC and Merkle JG. Some further results of J-integral analysis and estimates. ASTM, 231-245, 1973.
紧凑拉伸
圆盘型紧凑拉伸
三点弯
五种标准试件
中心裂纹拉伸
弧形拉伸
以三点弯试件为例，深缺口（解释：加载下行为基本与a无关）
q Q U J dq 0 a a q
J
M

0
M M P d 0 d 0 d a a c

0
M 2 d 0 Md c c
也可以由量纲分析得到 量纲：
J

0
2 M d 0 Md c c
c~L
M ~F
根据定理
2
E, ys ~ F / L2
和无量纲
E M c ys ; ; ys
n n 1
da n dJ ; n ; n r n 1 J
比例加载 非比例加载
n ; n cos sin n 1
a x1
证明扩展裂纹的J积分为
线弹性裂尖场（K－T）
平行于裂纹的横向应力，T称为T应力

KI 2 r

I
T
1 1
T应力控制屈服区的大小和方向，影响裂纹的偏折。
弹塑性幂硬化静止裂纹裂尖场（J－Q）
J 0 0 0 I n r
1 n 1
r ˆ ; n ; n Q J 0
J 2
cr
0 a J P dcr da a0 c c
仍以深切口三点弯为例:
J 2 cr ˆ , a d ˆ M cr cr c 0


（1）
假设J是裂纹长度a和cr的状态函数 J J cr , a 那么 其中
dJ J cr J J d cr da cr a a cr
代入
是无量纲常数（解释）
R
M c
c e M ys 4 12
2 2
2
M
2 c ys 4 ys 1 4 3 E 可以记为 M c2
M M 2c 2 c c J