等差数列(学案终极版)

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高一数学等差数列学案

等差数列学习目标：1.明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式，会解决知道a n ,a 1,d ,n 中的三个，求另外一个的问题；培养学生观察能力，进一步提高学生推理、归纳能力，培养学生的应用意识.2.明确等差中项的概念，进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式；培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.学习重点：1.等差数列的概念的理解与掌握;2.等差数列的通项公式的推导及应用;3.等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用.学习难点：1.等差数列“等差”特点的理解、把握和应用;2.灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.知识梳理1. 等差数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，则称这个数列为等差数列，这个常数叫做等差，即公差，即a n +1-a n =d （d 为常数），其中n ∈N *（或者表示为a n +2-a n +1=a n +1-a n ,n ∈N *）.2. 等差数列的通项公式a n = a 1+（n -1）d ..（1）推广：a n =a m +（n -m ）d ；（2）变式：d =;n m a a n m-- （3）数列{a n }为等差数列的充要条件：a n =an +b （a ,b 为常数）.3. 等差数列的前n 项和公式S n =121()(1)22n a a n n na d +-+或. （1） n 为奇数时，有S n =na 中，S 奇-S 偶=a 中；n 为偶数时，有S 偶-S 奇=2n d . （2）数列{a n }为等差数列的充要条件：S n =An 2+Bn （A ,B 为常数）.4. 等差中项若a ,b ,c 成等差数列，则称b 为a ,c 的等差中项，即b =2a c +.a ,b ,c 成等差数列⇔2b =a +c . 5. 等差数列的性质（1）在等差数列{a n }中，若m +n =p +q （m ,n ,p ,q ∈N*）,则有a m +a n =a p +a q ；（2）若数列{a n }、{b n }均为等差数列，则数列{pa n }、{a n +q }、{a n ±b n }也成等差数列；（3）若数列{a n }成等差数列，则下标成等差的子数列也成等差数列；（4）若数列{a n }成等差数列，S n 为其前n 和，则S k ,S 2k -S k ,S 3k -S 2k ,…,成等差数列.数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列. 例题讲解知识点1 等差数列的概念及通项［例1］(1)求等差数列8，5，2…的第20项.(2)－401是不是等差数列－5，－9，－13…的项?如果是，是第几项?(3)在等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 12＝31，求首项a 1与公差d .(4)在等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 15＝25，求a 25.(5)已知等差数列{a n }中，a 15＝33，a 45＝153，试问217是否为此数列的项？若是说明是第几项；若不是，说明理由.【例2】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n +2S n S n -1=0（n ≥2）,a 1=12. （1）求证：1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）求数列{a n }的通项公式.【变式拓展】已知正项数列{a n }的前n 和为S n ，且对任意的正整数n ，满足a n +1，求数列{a n }的通项公式.知识点2 等差数列的基本运算【例3】在等差数列{a n }中:（1）已知a 15=33,a 45=153,求a 61；（2）已知a 6=10,S 5=5,求a 8和S 8；（3）已知前3项和为12，前3项积为48，且d >0,求a 1.【变式拓展】在等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 10=100,S 100=10,求S 110.［例4］(1)两个等差数列5，8，11，……和3，7，11，……都有100项，那么它们共有多少相同的项？(2)一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是多少？［例5］已知数列的通项公式为a n ＝pn ＋q ，其中p 、q 是常数，且p ≠0，那么这个数列是否一定是等差数列？如果是，其首项与公差是什么？［例6］已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数.［例7］在等差数列{a n }中，若a 3＋a 8＋a 13＝12，a 3a 8a 13＝28，求{a n }的通项公式.知识点3 等差数列的前n 项和【例8】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3=12,S 12>0,S 13<0.（1）求公差d 的取值范围；（2）指出S 1,S 2,…，S 12中哪一个最大,并说明理由.【变式拓展】在等差数列{a n }中，a 3=8,S 3=33.（1）求数列{a n }的前n 项和的最大值；（2）求数列{|a n |}的前n 项和T n .课堂练习1. 等差数列{a n }的首项为70，公差为-9，则这个数列中绝对值最小的项为___________.2. ( 2009·靖江市联考）设{a n }是正项数列，其前n 项和S n 满足：4S n =（a n -1）（a n +3）,则数列{a n }的通项公式a n =___________.3. 若两个等差数列{a n }、{b n }满足125125...75,____....3n n a a a a n b b b n b ++++==++++则 4. (2008·重庆卷）设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 12=-8,S 9=-9，则S 16=___________.5. (2009·安徽卷理）已知{a n }为等差数列，a 1+a 3+a 5=105，a 2+a 4+a 6=99.以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是___________.6.（1）求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项.（2）求等差数列10，8，6，……的第20项.（3）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.（4）－20是不是等差数列0，－312，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.7.在等差数列{a n }中，（1）已知a 4＝10，a 7＝19，求a 1与d ；(2)已知a 3＝9，a 9＝3，求a 12.8.已知一个无穷等差数列的首项为a 1，公差为d :(1)将数列中的前m 项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？（3）取出数列中的所有项数为7的倍数的各项，组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差各是多少？。

等差数列教学教案设计一等奖

4、等差数列教学设计一等奖2。

2。

1等差数列学案一、预习问题：1、等差数列的定义：一般地，如果一个数列从起，每一项与它的前一项的差等于同一个，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的，通常用字母表示。

2、等差中项：若三个数组成等差数列，那么A叫做与的，即或。

3、等差数列的单调性：等差数列的公差时，数列为递增数列; 时，数列为递减数列; 时，数列为常数列;等差数列不可能是。

4、等差数列的通项公式：。

5、判断正误：①1，2，3，4，5是等差数列; （）②1，1，2，3，4，5是等差数列; （）③数列6，4，2，0是公差为2的等差数列; （）④数列是公差为的等差数列; （）⑤数列是等差数列; （）⑥若，则成等差数列; （）⑦若，则数列成等差数列; （）⑧等差数列是相邻两项中后项与前项之差等于非零常数的数列; （）⑨等差数列的`公差是该数列中任何相邻两项的差。

（）6、思考：如何证明一个数列是等差数列。

二、实战操作：例1、（1）求等差数列8，5，2，的第20项。

（2）是不是等差数列中的项？如果是，是第几项？（3）已知数列的公差则例2、已知数列的通项公式为，其中为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？例3、已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为求这5个数。

5、等差数列教学设计一等奖教学准备教学目标1、数学知识：掌握等比数列的概念，通项公式，及其有关性质;2、数学能力：通过等差数列和等比数列的类比学习，培养学生类比归纳的能力;归纳——猜想——证明的数学研究方法;3、数学思想：培养学生分类讨论，函数的数学思想。

教学重难点重点：等比数列的概念及其通项公式，如何通过类比利用等差数列学习等比数列;难点：等比数列的性质的探索过程。

教学过程：1、问题引入：前面我们已经研究了一类特殊的数列——等差数列。

问题1：满足什么条件的数列是等差数列?如何确定一个等差数列?(学生口述，并投影)：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。

高中数学：2.2等差数列学案

§2.2等差数列（1）学习目标1. 理解等差数列的概念，了解公差的概念；明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列。

2. 探索并掌握等差数列的通项公式；能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项。

一、预习案复习1：按照排列着的一列数称为数列，数列中的叫做这个数列的项。

复习2：数列有三种表示法，它们分别是、、和。

知识梳理：1.等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它一项的等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的，常用字母表示，即:n a -______=d(*_____n N n ∈≥且)；2．等差数列通项公式：等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则n a =二、探究案探究1：等差数列的通项公式的推导：若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可得：21a a -= ，即：21a a =+32a a -= ，即：321a a d a =+=+43a a -= ，即：431a a d a =+=+……由此归纳等差数列的通项公式可得：n a =证明：因为等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可得21a a -=d,32a a -=d,43a a -=d,……12_____n n a a ---=,1_____n n a a --=,等式两边分别相加得：1______n a a d -=，即：n a =这个推导等差数列通项公式的方法叫做叠加法，在后续的学习中将用到。

探究2：等差数列通项公式的应用例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项；⑵ －401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？例2：在等差数列{a n }中，(1)已知a 1＝6，d ＝3，求a 8；(2)已知a 4＝10，a 10＝4，求a 7和d ；(3)已知a 2＝12，a n ＝－20，d ＝－2，求n ；(4)已知a 7＝5，d ＝－2，求a 1.探究3：用定义判断一个数列是等差数列例3 已知数列{n a }的通项公式n a pn q =+，其中p 、q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是多少？变式：已知数列的通项公式为61n a n =-，问这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？说明：要判定{}n a 是不是等差数列，只要看1n n a a --（n ≥2）是不是一个与n 无关的常数.三、检测案1.等差数列的第1项是7，第7项是1，则它的第5项是（）.A. 2B. 3C. 4D. 62. 数列{}n a 的通项公式25n a n =+，则此数列是（）.A.公差为2的等差数列B.公差为5的等差数列C.首项为2的等差数列D.公差为n 的等差数列3. 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则∠B ＝ .4.在等差数列{a n }中，(1)已知a 5＝－1，a 8＝2，求a 1和d ；(2)已知a 1＝1，d ＝3，a n ＝2 005，求n我的收获:1. 等差数列定义：2．等差数列通项公式：。

数学等差数列教案（精选10篇）

数学等差数列教案数学等差数列教案（精选10篇）作为一名老师，就难以避免地要准备教案，编写教案有利于我们弄通教材内容，进而选择科学、恰当的教学方法。

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数学等差数列教案篇1[教学目标]1.知识与技能目标：掌握等差数列的概念;理解等差数列的通项公式的推导过程;了解等差数列的函数特征;能用等差数列的通项公式解决相应的一些问题。

2.过程与方法目标：让学生亲身经历“从特殊入手，研究对象的性质，再逐步扩大到一般”这一研究过程，培养他们观察、分析、归纳、推理的能力。

通过阶梯性的强化练习，培养学生分析问题解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求索精神;使学生逐步养成细心观察、认真分析、及时总结的好习惯。

[教学重难点]1.教学重点：等差数列的概念的理解，通项公式的推导及应用。

2.教学难点：(1)对等差数列中“等差”两字的把握;(2)等差数列通项公式的推导。

[教学过程]一.课题引入创设情境引入课题：(这节课我们将学习一类特殊的数列，下面我们看这样一些例子)二、新课探究(一)等差数列的定义1、等差数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列。

这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。

(1)定义中的关健词有哪些?(2)公差d是哪两个数的差?(二)等差数列的通项公式探究1:等差数列的通项公式(求法一)如果等差数列首项是，公差是，那么这个等差数列如何表示?呢?根据等差数列的定义可得：因此等差数列的通项公式就是:，探究2:等差数列的通项公式(求法二)根据等差数列的定义可得：将以上-1个式子相加得等差数列的通项公式就是:，三、应用与探索例1、(1)求等差数列8，5，2，…，的第20项。

(2)等差数列-5，-9，-13，…，的第几项是–401?(2)、分析：要判断-401是不是数列的项，关键是求出通项公式，并判断是否存在正整数n，使得成立，实质上是要求方程的正整数解。

等差数列学案3

高中数学必修五《2.2 等差数列（3）》学案一、新课标要求：掌握等差数列性质。

二、重点与难点：等差数列性质及其应用，并能熟练应用。

三、教学过程：（一）复习：（二）新知探究：已知等差数列{},,n a d 1中，首项为a 公差为各项依次为：123,,m s t n a a a a a a a ，观察数列各项结合等差数列的定义归纳总结等差数列性质：性质（1）：通项的另一种表示：n m a a =+ d ，变形：d= 。

作用：性质（2）：若项数m ，n ，s ，t 满足m+n=s+t ，则m a +n a = 。

证明：性质（3）：若项数s ，t ，r ，…成等差，则对应项,,s t r a a a 成。

例：已知数列{}n a 成等差数列，公差为d 首项为1a ，取出该数列中的所有奇数项组成一个新的数列，这个数列是否成等差数列：公差是多少？偶数项呢？取出数列中序号为7的倍数的项呢？性质（4）,m n a n a m ==若，则m n a += 。

（二）应用实例:例1：已知等差数列{}n a 中，公差为正数，且37463712,4,,a a a a a a ∙=-+=-求及通项。

例2：等差数列{}n a 中，已知2583579,21a a a a a a ++=∙∙=-，求数列的通项。

课后作业：1．等差数列{}n a 中，2315,,610a a x x --=为方程的二根，求：7891011a a a a a ++++。

2．已知方程()()22220x x m x x n -+-+=的四个根组成一个首项为14的等差数列，则m n -的值为。

（三）课后反思小结：。

等差数列学案

二．学习重点：
等差数列的概念，通项公式，以及等差数列的应用。
三．学习难点：
（1）理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。（2）等差数列的通项公式的推导过程及应用。
四．学习方法：
1.观察法；2.讨论法；3.小组合作与交流。
五．学习过程：
（一）复习回顾： (1)数列的概念：按一定次序排列的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。 (2)通项公式：在数列{an }中，用序号 n 来表示相应的项的公式，叫做该数列的通项公式。 (3)项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列。
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（二）情境导入：请同学们观察下图日历，给出你所观察到的数列：
A 同学：1,2,3,4,5 B 同学：1,8,15,22,29 C 同学：1,9,17,25 （三）探究新知：观察以上数列，思考后小组讨论它们有什么规律？观察上面的数列，我们可以发现，这个数列有这样的特点：从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一常数。概念：一般地，如果一个数列从它的第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一常数，则这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 来表示。特别地，数列 2,2,2,2,2,.…..也是等差数列，它的公差为 0。公差为 0 的数列叫做常数列。如果已知一个数列{an }是等差数列，且它的首项为a1 ，公差为 d,由等差数列的定义可知:
a2 =a1 +d
a3 =a2 +d=(a1 +d)+d=a1 +2d
a4 =a3 +d=(a2 +2d)+d=a1 +3d ……….. 由此可知，首项为a1 ，公差为 d 的等差数列{an }的通项公式可表示为： an =a1 +(n-1)d 例如，一个等差数列{an }的首项是 1，公差是 2，那么将它们代入上面的公式，就得到这个数列的通项公式： an =1+（n-1）× 2 即an =2n-1 练习：试着写出上面三个数列的通项公式。 (四)例题解析：例 1：求等差数列 8,5,2，…..的通项公式与第 20 项。解：因为a1 =8，d=5-8=-3,所以这个等差数列的通项公式是 an =8+（n-1）× (-3), 即an =-3n+11. 所以a20 =-3× 20+11=-49 例 2：等差数列-5，-9，-13，…的第几项是-401？解：因为a1 =-5，d=-9-（-5）=-4，an =-401，所以 -401=-5+（n-1）× （-4）

等差数列学案

等差数列学案【等差数列学案】学案目标：1. 理解等差数列的定义和性质；2. 掌握等差数列的通项公式和求和公式；3. 运用等差数列的性质解决实际问题。

学习内容：1. 等差数列的概念2. 等差数列的通项公式3. 等差数列的求和公式4. 等差数列的实际应用学习活动：活动一：理解等差数列的定义和性质（15分钟）1. 引导学生回顾数列的概念。

2. 引入等差数列的定义：如果一个数列中每个后一项与前一项的差值都相等，那么这个数列就是等差数列。

3. 解读等差数列的性质：等差数列的相邻两项之差始终相等。

活动二：掌握等差数列的通项公式（20分钟）1. 引出等差数列的通项公式：假设等差数列的首项为a₁，公差为d，则第n项aₙ可以表示为aₙ = a₁ + (n-1)d。

2. 通过示例演示如何使用通项公式计算等差数列的任意一项。

活动三：掌握等差数列的求和公式（20分钟）1. 引出等差数列的求和公式：对于等差数列的前n项和Sₙ，可以表示为Sₙ = (a₁ + aₙ) * n / 2。

2. 通过示例演示如何使用求和公式计算等差数列的前n项和。

活动四：运用等差数列的性质解决实际问题（25分钟）1. 提供一些实际问题，如寻找等差数列中的缺失项、求等差数列的特定区间和等，让学生运用等差数列的性质解决。

2. 指导学生根据问题建立等差数列模型，并利用已学知识解决问题。

活动五：综合巩固训练（20分钟）1. 提供一些综合性的练习题，涵盖等差数列的各个方面，以检验学生对所学知识的掌握程度。

2. 鼓励学生通过合作讨论和思考，共同解决问题。

学习反思：1. 小结等差数列的定义和性质；2. 总结等差数列的通项公式和求和公式；3. 思考等差数列在解决实际问题中的应用；4. 反思学习过程中的困难和收获，相互交流分享。

拓展延伸：1. 进一步研究等差数列的推广——等差数列的和（从1到n的等差数列），以及高阶等差数列；2. 探究等差数列的几何意义和数学实际应用。

等差数列及其前n项和学案

教案标题等差数列及其前n项和教师姓名学生姓名学科数学适用年级高中三年级适用范围全国教学目标知识目标1、了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列;2、熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式，能通过通项公式与图象认识等差数列的性质;3、掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.能力目标通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题、解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.情感态度价值观1、通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识.2、通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点;知识点等差数列的概念、通项公式、性质及前n项和重难点重点：等差数列的定义、通项公式、性质、前n项和的理解与应用难点：灵活应用等差数列定义、通项公式、性质、前n项和公式解决一些简单的有关问题.知识讲解1．等差数列的有关定义 (1)一般地，如果一个数列从第__2__项起，每一项与它的前一项的__差__等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为__ a n ＋1－a n ＝d __________ (n ∈N *，d 为常数)．(2)数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是__ A ＝a ＋b2________，其中A 叫做a ，b 的___等差中项_______．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝_ a 1＋(n －1)d _______，a n ＝a m ＋_ (n －m )d _______ (m ，n ∈N *)．(2)前n 项和公式：S n ＝_ na 1＋n (n －1)2d _________＝__(a 1＋a n )n2__________.3．等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n .4．等差数列的性质(1) 若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则有__a m ＋a n ＝a p ＋a q ________，特别地，当m ＋n ＝2p 时，___ a m ＋a n ＝2a p ___________.(2) 若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为__2d ______(3) 若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为__ md ____的等差数列.(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列.(5) 等差数列的单调性：若公差d >0，则数列为__递增数列__________；若d <0，则数列为____递减数列______；若d ＝0，则数列为___常数列_____． (6)等差数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列． (7)S 2n －1＝(2n －1)a n .(8)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝n2d .若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项).5.等差数列的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最______值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最______值. 大小6．方法与技巧等差数列的判断方法有：(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列．(2)中项公式：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． (3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列．(4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)⇔{a n }是等差数列．(5)在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为①a ，a ＋d ，a ＋2d ；②a －d ，a ，a ＋d ；③a －d ，a ＋d ，a ＋3d 等可视具体情况而定．(6)在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程(组)获得解.例题讲解题型一等差数列的基本量的计算例1 等差数列{a n }的前n 项和记为S n .已知a 10＝30，a 20＝50， (1)求通项a n ； (2)若S n ＝242，求n .解 (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d ，a 10＝30，a 20＝50，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2.所以a n ＝2n ＋10.(2)由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，S n ＝242.得12n ＋n (n －1)2×2＝242.解得n ＝11或n ＝－22(舍去)．设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.(1)若S 5＝5，求S 6及a 1； (2)求d 的取值范围. 解 (1)由题意知S 6＝－15S 5＝－3， a 6＝S 6－S 5＝－8.所以⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋10d ＝5，a 1＋5d ＝－8.解得a 1＝7，所以S 6＝－3，a 1＝7.(2)方法一 ∵S 5S 6＋15＝0，∴(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0，即2a 21＋9da 1＋10d 2＋1＝0.因为关于a 1的一元二次方程有解，所以Δ＝81d 2－8(10d 2＋1)＝d 2－8≥0，解得d ≤－22或d ≥2 2.方法二 ∵S 5S 6＋15＝0，∴(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0，即2a 21＋9da 1＋10d 2＋1＝0.故(4a 1＋9d )2＝d 2－8.所以d 2≥8. 故d 的取值范围为d ≤－22或d ≥2 2.探究提高 (1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.变式训练1设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，它的前10项和S 10＝110，且a 1，a 2，a 4成等比数列，求公差d 和通项公式a n .解由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧S 10＝10a 1＋10×92d ＝110，(a 1＋d )2＝a 1·(a 1＋3d )，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝22，a 1d ＝d 2.∵d ≠0，∴a 1＝d .解得a 1＝d ＝2，∴a n ＝2n .已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d . 由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2. 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n ，所以S n ＝n [1＋3－2n ]2＝2n －n 2.由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35，即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5. 又k ∈N *，故k ＝7.题型二等差数列的判定或证明例2 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1 (n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1 (n ∈N *).(1)求证：数列{b n }是等差数列；（2）求数列{a n }的最大值和最小值. (1)证明 ∵a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1. ∴n ≥2时，b n －b n －1＝1a n －1－1a n －1－1＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1a n －1－1－1a n －1－1 ＝a n －1a n －1－1－1a n －1－1＝1.又b 1＝1a 1－1＝－52.∴数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列.(2)解由(1)知，b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7，设函数f (x )＝1＋22x －7，易知f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，72和⎝ ⎛⎭⎪⎫72，＋∞内为减函数.∴当n ＝3时，a n 取得最小值－1；当n ＝4时，a n 取得最大值3.探究提高 1．证明或判断一个数列为等差数列，通常有两种方法：(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d ；(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.就本例而言，所用方法为定义法.2．解选择、填空题时，亦可用通项或前n 项和直接判断．(1)通项法：若数列{a n }的通项公式为n 的一次函数，即a n ＝An ＋B ，则{a n }是等差数列．(2)前n 项和法：若数列{a n }的前n 项和S n 是S n ＝An 2＋Bn 的形式(A ，B 是常数)，则{a n }为等差数列．3．若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可．变式训练2(1)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝S n －12S n －1＋1(n ≥2)，a 1＝2.①求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列； ②求a n 的表达式.①证明由S n ＝S n －12S n －1＋1，得1S n ＝2S n －1＋1S n －1＝1S n －1＋2，∴1S n －1S n －1＝2，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1即12为首项，以2为公差的等差数列. ②解由知1S n ＝12＋(n －1)×2＝2n －32，∴S n ＝12n －32，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －32－12n －72＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －32⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －72；当n ＝1时，a 1＝2不适合a n ，故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧2 n ＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －32⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －72 n ≥2.(2)已知数列{a n }中，a 1＝5且a n ＝2a n －1＋2n －1(n ≥2且n ∈N *)． ①求a 2，a 3的值．②是否存在实数λ，使得数列{a n ＋λ2n }为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.解 ①∵a 1＝5，∴a 2＝2a 1＋22－1＝13， a 3＝2a 2＋23－1＝33.②假设存在实数λ，使得数列{a n ＋λ2n }为等差数列．设b n ＝a n ＋λ2n，由{b n }为等差数列，则有2b 2＝b 1＋b 3. ∴2×a 2＋λ22＝a 1＋λ2＋a 3＋λ23.∴13＋λ2＝5＋λ2＋33＋λ8，解得λ＝－1.事实上，b n ＋1－b n ＝a n ＋1－12n ＋1－a n －12n＝12n ＋1[(a n ＋1－2a n )＋1]＝12n ＋1[(2n ＋1－1)＋1]＝1. 综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列{a n ＋λ2n }为首项为2、公差为1的等差数列．题型三等差数列性质的应用例3 若一个等差数列的前5项之和为34，最后5项之和为146，且所有项的和为360，求这个数列的项数．解方法一设此等差数列为{a n }共n 项，依题意有a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，① a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＋a n －4＝146. ② 根据等差数列性质，得a 5＋a n －4＝a 4＋a n －3＝a 3＋a n －2＝a 2＋a n －1＝a 1＋a n . 将①②两式相加，得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋(a 3＋a n －2)＋(a 4＋a n －3)＋(a 5＋a n －4)＝5(a 1＋a n )＝180，∴a 1＋a n ＝36.由S n ＝n (a 1＋a n )2＝36n 2＝360，得n ＝20.所以该等差数列有20项．方法二设此等差数列共有n 项，首项为a 1，公差为d ，则S 5＝5a 1＋5×42d ＝34，①S n －S n －5＝[n (n －1)d 2＋na 1]－[(n －5)a 1＋(n －5)(n －6)2d ]＝5a 1＋(5n －15)d ＝146.②①②两式相加可得10a 1＋5(n －1)d ＝180，∴a 1＋n －12d ＝18，代入S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋n －12d ＝360，得18n ＝360，∴n ＝20. 所以该数列的项数为20项．变式训练3已知数列{a n }是等差数列．(1)若S n ＝20，S 2n ＝38，求S 3n ；(2) 若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数．解 (1) ∵S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列， ∴S 3n ＝3(S 2n －S n )＝54.(2) 设项数为2n －1 (n ∈N *)，则奇数项有n 项，偶数项有n －1项，中间项为a n ，则S 奇＝(a 1＋a 2n －1)·n2＝n ·a n ＝44，S 偶＝(a 2＋a 2n －2)·(n －1)2＝(n －1)·a n ＝33，∴n n －1＝43.∴n ＝4，a n ＝11. ∴数列的中间项为11，项数为7.题型四等差数列的前n 项和及综合应用例4 (1)在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝4n －25，求数列{|a n |}的前n 项和. 解 (1)方法一 ∵a 1＝20，S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，∴d ＝－53.∴a n ＝20＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－53n ＋653.∴a 13＝0，即当n ≤12时， a n >0，n ≥14时，a n <0， ∴当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 13＝S 12＝12×20＋12×112×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝130.方法二同方法一求得d ＝－53.∴S n ＝20n ＋n n －12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－56n 2＋1256n ＝－56⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2522＋3 12524.∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. 方法三同方法一得d ＝－53.又由S 10＝S 15得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0. ∴5a 13＝0，即a 13＝0.∴当n ＝12或13时，S n 有最大值.且最大值为S 12＝S 13＝130. (2)∵a n ＝4n －25，a n ＋1＝4(n ＋1)－25， ∴a n ＋1－a n ＝4＝d ，又a 1＝4×1－25＝－21.所以数列{a n }是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列.令⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝4n －25<0， ①a n ＋1＝4n ＋1－25≥0， ②由①得n <614；由②得n ≥514，所以n ＝6.即数列{|a n |}的前6项是以21为首项，公差为－4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列，而|a 7|＝a 7＝4×7－24＝3. 设{|a n |}的前n 项和为T n ，则T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧21n ＋n n －12×－4 n ≤666＋3n －6＋n －6n －72×4 n ≥7＝⎩⎪⎨⎪⎧－2n 2＋23n n ≤6，2n 2－23n ＋132 n ≥7.点评：求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：若{a n }是等差数列，求前n 项和的最值时，(1)若a 1>0，d <0，且满足⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0a n ＋1≤0，前n 项和S n 最大； (2)若a 1<0，d >0，且满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0a n ＋1≥0，前n 项和S n 最小；(3)将等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)看做二次函数，利用二次函数的图象或配方法求最值，注意n ∈N *.变式训练4(1) 已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72.若b n ＝12a n －30，求数列{b n }的前n 项和的最小值．解方法一 ∵2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，∴{a n }是等差数列．设{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 3＝10，S 6＝72，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝106a 1＋15d ＝72，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2d ＝4. ∴a n ＝4n －2.则b n ＝12a n －30＝2n －31.解⎩⎪⎨⎪⎧2n －31≤0，2(n ＋1)－31≥0，得292≤n ≤312. ∵n ∈N *，∴n ＝15.∴{b n }前15项为负值. ∴S 15最小．可知b 1＝－29，d ＝2，∴S 15＝15×(－29＋2×15－31)2＝－225.方法二同方法一求出b n ＝2n －31.∵S n ＝n (－29＋2n －31)2＝n 2－30n ＝(n －15)2－225，∴当n ＝15时，S n 有最小值，且最小值为－225.(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1<0，S 2 009＝0.①求S n 的最小值及此时n 的值；②求n 的取值集合，使a n ≥S n .解方法一 ①设公差为d ，则由S 2 009＝0⇒2 009a 1＋2 009×2 0082d ＝0⇒a 1＋1 004d ＝0， d ＝－11 004a 1，a 1＋a n ＝2 009－n1 004a 1，∴S n ＝n 2(a 1＋a n )＝n 2·2 009－n 1 004a 1＝a 12 008(2 009n －n 2)∵a 1<0，n ∈N *，∴当n ＝1 004或1 005时，S n 取最小值1 0052a 1.②a n ＝1 005－n 1 004a 1.S n ≤a n ⇔a 12 008(2 009n －n 2)≤1 005－n 1 004a 1. ∵a 1<0，∴n 2－2 011n ＋2 010≤0，即(n －1)(n －2 010)≤0，解得：1≤n ≤2 010. 故所求n 的取值集合为{n |1≤n ≤2 010，n ∈N *}.(3)设等差数列{a n }的前n 项和S n ＝m ，前m 项和S m ＝n (m ≠n )，求它的前m ＋n 项的和S m ＋n .解方法一设{a n }的公差为d ，则由S n ＝m ，S m ＝n ，得⎩⎪⎨⎪⎧S n＝na 1＋n n －12d ＝m ， ①S m ＝ma 1＋m m －12d ＝n . ②②－①得(m －n )a 1＋m －n m ＋n －12·d ＝n －m ，∵m ≠n ，∴a 1＋m ＋n －12d ＝－1.∴S m ＋n ＝(m ＋n )a 1＋m ＋n m ＋n －12d＝(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋m ＋n －12d ＝－(m ＋n ).方法二设S n ＝An 2＋Bn (n ∈N *)，则⎩⎪⎨⎪⎧Am 2＋Bm ＝n ， ③An 2＋Bn ＝m . ④ ③－④得A (m 2－n 2)＋B (m －n )＝n －m .∵m ≠n ，∴A (m ＋n )＋B ＝－1，∴A (m ＋n )2＋B (m ＋n )＝－(m ＋n )，∴S m ＋n ＝－(m ＋n ).课后作业A. 基础题自测1．如果等差数列{}a n 中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝ ( ) A ．14 B ．21 C ．28 D ．352．已知{a n }是等差数列，a 1＝－9，S 3＝S 7，那么使其前n 项和S n 最小的n 是 ( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．73在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值为 ( )A ．14B ．15C ．16D ．174．等差数列{a n }的前n 项和满足S 20＝S 40，下列结论中正确的是 ( ) A ．S 30是S n 中的最大值 B ．S 30是S n 中的最小值 C ．S 30＝0 D ．S 60＝05．设数列{a n }、{b n }都是等差数列，且a 1＝10，b 1＝90，a 2＋b 2＝100，那么数列{a n ＋b n }的第2 012项的值是( )A.85B.90C.95D.1006．已知等差数列{a n }中，a 2＝6，a 5＝15，若b n ＝a 3n ，则数列{b n }的前9项和等于________．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝a 1＋d ＝6，a 5＝a 1＋4d ＝15⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝3， ∴a n ＝3＋3(n －1)＝3n ，b n ＝a 3n ＝9n ，∴数列{b n }的前9项和为S 9＝9＋812×9＝405.7．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝___15_____.8．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝__10______. 9．在数列{a n }中，若点(n ，a n )在经过点(5,3)的定直线l 上，则数列{a n }的前9项和S 9＝____27____.10．设{a n }是一个公差为d (d ≠0)的等差数列，它的前10项和S 10＝110，且a 22＝a 1a 4. (1)证明：a 1＝d ；(2)求公差d 的值和数列{a n }的通项公式．(1) 证明 ∵{a n }是等差数列，∴a 2＝a 1＋d ，a 4＝a 1＋3d ，又a 22＝a 1a 4，于是(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，即a 21＋2a 1d ＋d 2＝a 21＋3a 1d (d ≠0)．化简得a 1＝d(2)解由条件S 10＝110和S 10＝10a 1＋10×92d ，得到10a 1＋45d ＝110.由(1)知，a 1＝d ，代入上式得55d ＝110，故d ＝2，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n .因此，数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ，n ∈N *11．已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由于a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以a 1＋2d ＝7,2a 1＋10d ＝26，解得a 1＝3，d ＝2由于a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝n (a 1＋a n )2，所以a n ＝2n ＋1，S n ＝n (n ＋2))(2)因为a n ＝2n ＋1，所以a 2n －1＝4n (n ＋1)，因此b n ＝14n (n ＋1)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝14⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n4(n ＋1). 所以数列{b n }的前n 项和T n ＝n4(n ＋1)B.中档题演练1.设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于 ( ) A.31B.32C.33D.342.数列{a n }为等差数列，a 10＝33，a 2＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 20－2S 10等于( ) A.40B.200C.400D.203设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k 等于( ) A.8B.7C.6D.54.已知数列{a n }中，a 3＝2，a 5＝1，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫11＋a n 是等差数列，则a 11等于 ( ) A.0B.16C.13D.125.在各项均不为零的等差数列{a n }中，若a n ＋1－a 2n ＋a n －1＝0 (n ≥2)，则S 2n －1－4n 等于( ) A.－2B.0C.1D.26．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．56．D [解析] a n b n ＝2n －1a n 2n －1b n ＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1，所以当n ＝1,2,3,5,11时满足．7 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝__15______. 8. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝__13______.9. 等差数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为___75_____.10. 设等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为_____1941___. 11.已知数列{a n }的通项公式a n ＝pn 2＋qn (p 、q ∈R ，且p 、q 为常数). (1)当p 和q 满足什么条件时，数列{a n }是等差数列； (2)求证：对任意实数p 和q ，数列{a n ＋1－a n }是等差数列.(1)解 a n ＋1－a n ＝[p (n ＋1)2＋q (n ＋1)]－(pn 2＋qn )＝2pn ＋p ＋q ，要使{a n }是等差数列，则2pn ＋p ＋q 应是一个与n 无关的常数，所以只有2p ＝0，即p ＝0.故当p ＝0，q ∈R 时，数列{a n }是等差数列. (2)证明 ∵a n ＋1－a n ＝2pn ＋p ＋q ， ∴a n ＋2－a n ＋1＝2p (n ＋1)＋p ＋q ，∴(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝2p 为一个常数.∴{a n ＋1－a n }是等差数列. 12．在等差数列{a n }中，a 16＋a 17＋a 18＝a 9＝－36，其前n 项和为S n .(1)求S n 的最小值，并求出S n 取最小值时n 的值．（2）求数列{|a n |}的前n 项和.解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，∵a 16＋a 17＋a 18＝3a 17＝－36，∴a 17＝－12，∴d ＝a 17－a 917－9＝3，∴a n ＝a 9＋(n －9)·d ＝3n －63， a n ＋1＝3n －60，令⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝3n －63≤0a n ＋1＝3n －60≥0，得20≤n ≤21，∴S 20＝S 21＝－630， ∴n ＝20或21时，S n 最小且最小值为－630.(2)由(1)知前20项小于零，第21项等于0，以后各项均为正数．当n ≤21时，T n ＝－S n ＝－32n 2＋1232n .当n >21时，T n ＝S n －2S 21＝32n 2－1232n ＋1 260.综上，T n＝⎩⎪⎨⎪⎧－32n 2＋1232n (n ≤21，n ∈N *)32n 2－1232n ＋1 260 (n >21，n ∈N *).C.难题我破解1．在数列{a n }中，a 1＝1,3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2)． (1)证明数列{1a n}是等差数列；(2)求数列{a n }的通项；(3)若λa n ＋1a n ＋1≥λ对任意n ≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．(1)证明将3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2)整理得1a n －1a n －1＝3(n ≥2)．所以数列{1a n}为以1为首项，3为公差的等差数列(2)解由(1)可得1a n＝1＋3(n －1)＝3n －2，所以a n ＝13n －2(3)解若λa n ＋1a n ＋1≥λ对n ≥2的整数恒成立，即λ3n －2＋3n ＋1≥λ对n ≥2的整数恒成立．整理得λ≤(3n ＋1)(3n －2)3(n －1)(9分)令c n ＝(3n ＋1)(3n －2)3(n －1)c n ＋1－c n ＝(3n ＋4)(3n ＋1)3n －(3n ＋1)(3n －2)3(n －1)＝(3n ＋1)(3n －4)3n (n －1).因为n ≥2，所以c n ＋1－c n >0，即数列{c n }为单调递增数列，所以c 2最小，c 2＝283.所以λ的取值范围为(－∞，283]2.已知等差数列{a n }中，公差d >0，前n 项和为S n ，a 2·a 3＝45，a 1＋a 5＝18. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝S nn ＋c(n ∈N *)，是否存在一个非零常数c ，使数列{b n }也为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由.解 (1)由题设知，{a n }是等差数列，且公差d >0，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 2a 3＝45，a 1＋a 5＝18，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d a 1＋2d ＝45，a 1＋a 1＋4d ＝18.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4. ∴a n ＝4n －3 (n ∈N *).(2)由b n ＝S nn ＋c＝n 1＋4n －32n ＋c＝2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12n ＋c，∵c ≠0，∴可令c ＝－12，得到b n ＝2n .∵b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2(n ∈N *)，∴数列{b n }是公差为2的等差数列. 即存在一个非零常数c ＝－12，使数列{b n }也为等差数列.。

等差数列学案

等差数列复习学案【学习目标】1.理解等差数列的概念，理解等差中项的意义；2.掌握等差数列的通项公式；3.掌握等差数列的前n 项和公式．【自学指导】1.如果一个数列从第项起，每一项与它的的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的，公差通常用d 表示．2.在数列{}n a 中，若对任意n N *∈，有 (1)n >，则称数列{}n a 为等差数列．3.由三个数,,a A b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的．A 为a 与b 的等差中项⇔,,a A b 组成 ⇔公式：4.设等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则通项公式．公式推导方法为归纳法．对于任意,n m N *∈，有()n m a a n m d =+-，公差n m a a d n m-=-()m n ≠． 5.设等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，项数是n ，则前n 项和公式为．6.对于正整数m ,n ,p ,q ,若q p n m +=+,则等差数列中m a ，n a ，p a ，q a 的关系为．例1 (1)在等差数列{}n a 中，已知154510,90a a ==，求60a ；(2)在等差数列{}n a 中，已知15621,3,2n a a a a ==-=，求n ．例2 在等差数列{}n a 中，（1）若3456450a a a a +++=，则18a a += ；（2）若1235a a a ++=，45610a a a ++=，则789a a a ++= ．例3 （1）已知三个数成等差数列，其和为15，首末两数的积为9，求此数列.（2）成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求此数列．（3）一个直角三角形三边的长组成等差数列，求这个直角三角形三边长的比．【基础训练】一、选择题1．在等差数列{n a }中,若1201210864=++++a a a a a ,则12102a a -的值为（）A 、20B 、22C 、24D 、282．等差数列-6，-1，4，9，……中的第20项为（）A 、89B 、 -101C 、101D 、-893．等差数列{}n a 中，3315=a ，15345=a ，则217是这个数列的（）A 、第60项B 、第61项C 、第62项D 、不在这个数列中4．若,,a b c 成等差数列，则二次函数2()2f x ax bx c =++与x 轴交点的个数是（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．不确定5．等差数列中连续四项为a ，x ，b ，x 2，那么b a : 等于（）A 、41B 、31C 、31或 1D 、21二、填空题6．设n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，若1236==S a ，则}{n a 的通项n a = ．7．在等差数列}{n a 中公差0>d ，475a a +=，566a a =，则通项公式n a = ．8．设n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，若2112=S ，则=+++11852a a a a ．9．如图（1）是一个三角形，分别连结这个三角形三边的中点，将原三角形剖分成4个三角形（如图（2）），再分别连结图（2）中间的小三角形三边的中点，又可将原三角形剖分成7个三角形（如图（3））．依此类推，第n 个图中原三角形被剖分为n a 个三角形．则数列{}n a 的通项公式是；第100个图中原三角形被剖分为个三角形？三、解答题10．在等差数列}{n a 中，（1）已知21=a ，3=d ，10=n ，求n a 、n S ；（2）已知31=a ，21=n a ，2=d ，求n 、n S ；（3）已知121=a ，276=a ，求d ；（4）已知31-=d ，87=a ，1a 、10S .11．如图，三个正方形的边,,AB BC CD 的长组成等差数列，且21AD =cm ，这三个正方形的面积之和是1792cm ．（1）求,,AB BC CD 的长；（2）以,,AB BC CD 的长为等差数列的前三项，以第10项为边长的正方形的面积是多少？12．在通常情况下，从地面到km 10高空，高度每增加km 1，气温就下降某一个固定数值.如果km 1高度的气温是C o 5.8，km 5高度气温是C o 5.17-，求km 2、km 4、km 8高度的气温.13. 已知等差数列}{n a 的公差为d ，求证：d nm a a n m =--。

等差数列等比数列学案

等差数列学案（一）一：考纲要求1.理解等差数列的概念．2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式．3.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．二、必记知识1．等差数列的定义：或 ,2．等差数列的通项公式: a n= = ， =3．等差中项若三个数a ，A ，b 成等差数列. 则有。

4．等差数列的前n 项和 S n = = = 。

5 等差数列的性质已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和．(1)有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和相等，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…＝a k ＋a n －k ＋1＝….(2)等差数列{a n }中，当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．特别地，若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)．此性质常与S n ＝n （a 1＋a n ）2联系(3)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等差数列，公差为md (k ，m ∈N *)．(4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列，公差为n 2d . (5)⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }的公差的12(6)在等差数列{a n }中，若项数为偶数2n ， S 偶－S 奇＝nd ；(7)若数列{a n }，{b n }是公差分别为d 1，d 2的等差数列，则数列{pa n }，{a n ＋p }，{pa n ＋qb n }都是等差数列(p ，q 都是常数)，且公差分别为pd 1，d 1，pd 1＋qd 2.三，讲授疑点四．方法，规律1利用等差数列的性质巧妙设项若奇数个数成等差数列，可设中间三项为a －d ，a ，a ＋d ；若偶数个数成等差数列，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．2 等差数列的通项公式，前n 项和公式涉及“五个量”，“知三求二”，需运用方程思想求解，特别是求a 1和d .五，学会应用第一环节：我能行A1 (2014·新课标全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的公差为2，若 a 2，a 4，a 8 成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A ．n (n ＋1)B ．n (n －1) C.n （n ＋1）2 D.n （n －1）2A2 (2014·福建高考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( )A ．8 B ．10 C ．12 D ．14A1 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 A2．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝26，则该数列前11项和S 11＝( )A ．58B ．88C ．143D ．176A3．已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．40A4. 已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6，则S 2 013等于( ) A ．2 013 B ．－2 013 C ．－4 026 D ．4 026第二环节:小组讨论（合作，互助）第三环节：展示问题，答案六课堂小结（学生写下来）1．我学会了： 2.我的难点是：七：更上一层楼B1 (2013·新课标全国卷Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6B2 若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为( )A ．13B ．12C ．11D ．10等差数列学案（二）一：学习目标1掌握等差数列的判定与证明2会求等差数列前n 项和的最值二、必记知识，方法1等差数列的判定方法(1)定义法：对于任意自然数n ≥2，验证a n －a n －1为同一常数． (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)成立． (3)通项公式法：验证a n ＝pn ＋q . (4)前n 项和公式法：验证S n ＝An 2＋Bn .注意：在解答题中常应用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断． 2．求等差数列前n 项和的最值的方法(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解．(2)通项公式法：求使a n ≥0(a n ≤0)成立时最大的n 值．即找到a n 的正负分界点即可。

等差数列教案(多篇)

等差数列教案(精选多篇)第一章：等差数列的概念与性质1.1 等差数列的定义引导学生回顾数列的概念，介绍等差数列的定义。

通过示例让学生理解等差数列的特点，即每一项与前一项的差是一个常数。

1.2 等差数列的性质探讨等差数列的通项公式，引导学生理解等差数列的规律。

引导学生发现等差数列的求和公式，并通过例题进行解释和应用。

第二章：等差数列的求和2.1 等差数列的前n项和公式引导学生推导等差数列的前n项和公式。

通过例题让学生掌握前n项和公式的应用，解决等差数列的求和问题。

2.2 等差数列的求和性质引导学生探索等差数列的求和性质，如求和的对称性、求和的倍数性质等。

通过练习题让学生巩固等差数列的求和技巧。

第三章：等差数列的通项公式3.1 等差数列的通项公式推导引导学生回顾等差数列的性质，推导出等差数列的通项公式。

通过示例让学生理解通项公式的含义和应用。

3.2 等差数列的通项公式应用引导学生运用通项公式解决等差数列的问题，如求特定项的值、判断数列的性质等。

通过练习题让学生熟练掌握通项公式的应用。

第四章：等差数列的图像与性质4.1 等差数列的图像引导学生绘制等差数列的图像，理解图像与数列的关系。

通过示例让学生观察图像的特性，如直线趋势、斜率等。

4.2 等差数列的性质探究引导学生探讨等差数列的性质，如单调性、周期性等。

通过练习题让学生运用性质解决等差数列的问题。

第五章：等差数列的应用5.1 等差数列在实际问题中的应用引导学生将等差数列的概念应用于实际问题，如人口增长、金融投资等。

通过案例分析让学生理解等差数列在解决实际问题中的作用。

5.2 等差数列在数学竞赛中的应用引导学生了解等差数列在数学竞赛中的常见题型和解决方法。

通过竞赛题目让学生挑战自我，提高解题能力。

第六章：等差数列的递推关系6.1 等差数列的递推关系式引导学生探究等差数列的递推关系，引导学生发现每一项与前一项的关系。

通过示例让学生理解递推关系式的应用，解决等差数列的递推问题。

学案11：§2.2 等差数列(一)

§2.2 等差数列1．等差数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第项起，每一项与它的的差等于，那么这个数列就叫做等差数列，这个叫做等差数列的，公差通常用字母表示．(2)符号语言：a n＋1－a n＝d(d为常数，n∈N*).2．等差中项(1)条件：如果a，A，b成等差数列．(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．(3)满足的关系式是．思考：观察所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：(1)2，4；(2)－1，5；(3)a，b；(4)0，0.3．等差数列的通项公式以a1为首项，d为公差的等差数列{a n}的通项公式a n＝．思考：教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法，还有其它方法吗？如何操作？4．从函数角度认识等差数列{a n}若数列{a n}是等差数列，首项为a1，公差为d，则a n＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d).(1)点(n，a n)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d．思考：由等差数列的通项公式可以看出，要求a n，需要哪几个条件？初试身手1．已知等差数列{a n }的首项a 1＝4，公差d ＝－2，则通项公式a n ＝( )A.4－2nB ．2n －4 C.6－2n D ．2n －62．等差数列－6，－3，0，3，…的公差d ＝．3．下列数列：①0，0，0，0；②0，1，2，3，4；③1，3，5，7，9；④0，1，2，3，….其中一定是等差数列的有个．4．lg (3＋2)与lg (3－2)的等差中项是．合作探究类型1 等差中项例1 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c 使这五个数成等差数列，求此数列．规律方法三数a ，b ，c 成等差数列的条件是b ＝a ＋c 2(或2b ＝a ＋c )，可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如若证{a n }为等差数列，可证2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *). 跟踪训练1．已知数列{a n }满足a n －1＋a n ＋1＝2a n (n ≥2)，且a 2＝5，a 5＝13，则a 8＝．类型2 等差数列的通项公式及其应用例2 (1)在等差数列{a n }中，已知a 4＝7，a 10＝25，求通项公式a n ；(2)已知数列{a n }是等差数列，a 5＝－1，a 8＝2，求a 1与d .规律方法1．应用等差数列的通项公式求a 1和d ，运用了方程的思想．一般地，可由a m ＝a ，a n ＝b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（m －1）d ＝a ，a 1＋（n －1）d ＝b ，求出a 1和d ，从而确定通项公式． 2．若已知等差数列中的任意两项a m ，a n ，求通项公式或其它项时，则运用a m ＝a n ＋(m －n )d 较为简捷．跟踪训练2．(1)求等差数列8，5，2，…的第20项；(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？类型3 等差数列的判定与证明探究问题1．在数列{a n }中，若a n －a n －1＝d (常数)(n ≥2且n ∈N *)，则{a n }是等差数列吗？为什么？2．在数列{a n }中，若有2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)成立，则{a n }是等差数列吗？为什么？3．若{a n }是公差为d 的等差数列，那么{a n ＋a n ＋2}是等差数列吗？若是，公差是多少？例3 已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2. (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列？说明理由； (2)求a n .等差数列的判定方法有以下三种：(1)定义法：a n＋1－a n＝d(常数)(n∈N*)⇔{a n}为等差数列；(2)等差中项法：2a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N*)⇔{a n}为等差数列；(3)通项公式法：a n＝an＋b(a，b是常数，n∈N*)⇔{a n}为等差数列．但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．课堂小结1．判断一个数列是否为等差数列的常用方法(1)a n＋1－a n＝d(d为常数，n∈N*)⇔{a n}是等差数列；(2)2a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N*)⇔{a n}是等差数列；(3)a n＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)⇔{a n}是等差数列．但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．2．由等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，a n四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．课堂检测1．判断正误(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()(2)等差数列{a n}的单调性与公差d有关．()(3)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．() 2．在等差数列{a n}中，若a1·a3＝8，a2＝3，则公差d＝()A．1B．－1C．±1 D．±23．已知a＝13＋2，b＝13－2，则a，b的等差中项为．4．已知数列{a n}，a1＝a2＝1，a n＝a n－1＋2(n≥3)，判断数列{a n}是否为等差数列？说明理由．参考答案新知初探1．(1)2 前一项同一个常数常数公差d2．(3)a＋b＝2A思考：[提示] 插入的数分别为3，2，a ＋b 2，0. 3．a 1＋(n －1)d思考：[提示] 还可以用累加法，过程如下：∵a 2－a 1＝d ，a 3－a 2＝d ，a 4－a 3＝d ，…a n －a n －1＝d (n ≥2)，将上述(n －1)个式子相加得a n －a 1＝(n －1)d (n ≥2)，∴a n ＝a 1＋(n －1)d (n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝a 1＋(1－1)d ，符合上式，∴a n ＝a 1＋(n －1)d (n ∈N *).4．(2) d思考：[提示] 只要求出等差数列的首项a 1和公差d ，代入公式a n ＝a 1＋(n －1)d 即可．初试身手1．【答案】C【解析】a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4＋(n －1)×(－2)＝4－2n ＋2＝6－2n .2．【答案】3【解析】(－3)－(－6)＝3，故d ＝3.3．【答案】3【解析】①②③是等差数列，④只能说明前4项成等差数列．4．【答案】0【解析】lg (3＋2)与lg (3－2)的等差中项为 lg （3＋2）＋lg （3－2）2＝ lg [（3＋2）（3－2）]2＝lg 12＝0. 合作探究类型1 等差中项例1 解：∵－1，a ，b ，c ，7成等差数列，∴b 是－1与7的等差中项，∴b ＝－1＋72＝3.又a 是－1与3的等差中项，∴a ＝－1＋32＝1. 又c 是3与7的等差中项，∴c ＝3＋72＝5. ∴该数列为－1，1，3，5，7.跟踪训练1．【答案】21【解析】由a n －1＋a n ＋1 ＝2a n (n ≥2)知，数列{a n }是等差数列，∴a 2，a 5，a 8成等差数列． ∴a 2＋a 8＝2a 5，∴a 8＝2a 5－a 2＝2×13－5＝21.类型2 等差数列的通项公式及其应用例2 解：(1)∵a 4＝7，a 10＝25，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝7，a 1＋9d ＝25，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝3， ∴a n ＝－2＋(n －1)×3＝3n －5，∴通项公式a n ＝3n －5(n ∈N *).(2)∵a 5＝－1，a 8＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝－1，a 1＋7d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，d ＝1. 跟踪训练2．解：(1)由a 1＝8，d ＝5－8＝－3，n ＝20，得a 20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.(2)由a 1＝－5，d ＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为 a n ＝－5＋(n －1)×(－4)＝－4n －1.由题意，令－401＝－4n －1，得n ＝100，即－401是这个数列的第100项．类型3 等差数列的判定与证明探究问题1．[提示] 由等差数列的定义可知满足a n －a n －1＝d (常数)(n ≥2)是等差数列．2．[提示] 是，由等差中项的定义可知．3．[提示] ∵(a n ＋1＋a n ＋3)－(a n ＋a n ＋2)＝(a n ＋1－a n )＋(a n ＋3－a n ＋2)＝d ＋d ＝2d .∴{a n ＋a n ＋2}是公差为2d 的等差数列．例3 解：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，理由如下：∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2，∴1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n ，∴1a n ＋1－1a n ＝12，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝12，公差为d ＝12的等差数列． (2)由上述可知1a n ＝1a 1＋(n －1)d ＝n 2，∴a n ＝2n.1．【答案】 (1)× (2)√ (3)√【解析】 (1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．(2)正确．当d >0时为递增数列；d ＝0时为常数列；d <0时为递减数列．(3)正确．若a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，即b －a ＝c －b ，故a ，b ，c 为等差数列．2．【答案】C【解析】由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1（a 1＋2d ）＝8，a 1＋d ＝3，解得d ＝±1. 3．【答案】3【解析】a ＋b 2＝13＋2＋13－22＝3－2＋3＋22＝ 3.] 4．解：因为a n ＝a n －1＋2(n ≥3)，所以a n－a n－1＝2(常数).又n≥3，所以从第3项起，每一项减去前一项的差都等于同一个常数2，而a2－a1＝0≠a3－a2，所以数列{a n}不是等差数列．。

必修五2.2等差数列学案

必修五2.2等差数列学案【使用说明】：1.课前完成预习，牢记基础知识，掌握基本题型，时间不超过25分钟；2.认真限时完成，书写规范；课上小组合作探究，答疑解惑；3.小组长在课上讨论环节要在组内期引领作用，控制讨论节奏；4.必须牢记的内容：等差数列；“转化及方程”的基本思想一．学习目标1、知识与技能：明确等差中项的概念；探索并熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式, 能通过通项公式与图像理解等差数列的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题。

2、过程与方法：通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的使用，渗透方程思想。

3、情感态度与价值观：通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点。

重点：理解等差数列的概念及其性质，并掌握等差数列的通项公式，会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。

难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。

二．问题导学（一）预习问题：1、等差数列的定义：一般地，如果一个数列从起，每一项与它的前一项的差等于同一个，那么这个数列就叫等差数列，这个数叫做等差数列的；通常用字母d 表示。

2、等差中项：若三个数b A a ,,组成等差数列，那么A 叫做a 与b 的，即=A 2 或=A 。

*3、等差数列的单调性：等差数列的公差时，数列为递增数列；时，数列为递减数列；时，数列为常数列；等差数列不可能是。

4、等差数列的通项公式：=n a 。

5、判断正误：①1，2，3，4，5是等差数列；（） ②1，1，2，3，4，5是等差数列；（） ③数列6，4，2，0是公差为2的等差数列；（） ④数列3,2,1,---a a a a 是公差为1-a 的等差数列；（） ⑤数列{2n+1}是等差数列；（） *⑥若c b b a -=-，则c b a ,,成等差数列（）* ⑦若()*1N n n a a n n ∈=--，则数列{}n a 成等差数列；（） * ⑧等差数列是相邻两项中后项与前项之差等于非零常数的数列；（）* ⑨等差数列的公差是该数列中任何相邻两项的差。

等差数列(学案)

等差数列（学案）1.在等差数列{}n a 中，38133120a a a ++=，则3138a a a +-=( )A.24 B.22 C.20 D.8-2．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，5283()S a a =+,则53a a 的值为（）A ．56 B ． 13 C ．35 D ．163.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2110m m m a a a -++-=，2138m S -=,则m =（）A.38B.20C.10D.94. 等差数列}{n a 的前项和为n S ，若0,087<>a a ，则下列结论正确的是（）A.87S S <B. 1615S S <C. 130S >D.015>S5.若等差数列的公差731,,a ,0a a d 且≠成等比数列，则12a a =( )A.2 B.32 C.32 D.21 6.已知数列}{n a 是等差数列，若3,244113==+a a a ，则数列}{n a 的公差等于（）A ．1 B ．3 C ．5 D ．67．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项的和，254a a +=，721S =，则7a 的值为（）A ．6 B ．7 C ．8 D ．98.如果等差数列{}n a 中，,12543=++a a a 则=+++721...a a a （） A.14 B.21 C.28 D. 359.设S n =是等差数列{a n }的前n 项和，a 12=-8,S 9=-9,则S 16= .10.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1221S =，则25811a a a a +++= ．11.若数列{}n a 的前n 项和210(123)n S n n n =-=，，，，则此数列的通项公式为；数列{}n na 中数值最小的项是第项． 12.n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若11=S ，42=S ，则=n a ．13.已知{}n a 是等差数列，12784,28a a a a +=+=，则该数列前10项和10S =________14.已知等差数列{}n a 中，5836=+=a a a ，则=9a .15.等差数列{}n a 中，12981a a a +++=且2310171a a a +++=，则公差d =16．等差数列{}n a 共有21n +项,其中奇数项之和为319,偶数项之和为290,则n= .其中间项为17、已知等差数列{}n a 中，公差0>d 且2009a ，2010a 是方程0532=--x x 的两个根，那么使得前n 项和n S 为负值的最大的n 的值是__________.18已知{a n }为等差数列，且36a =-，60a =。

[精品]《等差数列》学案.doc

《等差数列》学案一、学习内容：（1）观察生活中的特殊数列,得到等差数列的定义（2）深刻理解等差数列的定义，找出规律并得出等差数列的通项公式（3）由等差数列定义及通项公式找出等差数列的性质（4）观察数列和函数的联系（5）学会用等差数列定义及性质解题二、学习要求1、深刻理解等差数列的概念2、熟练利用等差数列的定义，掌握根据判断等差数列的方法3、掌握等差数列的相关知识，并掌握解等差数列题目的方法三、本节课的考点及考题1、数列是很重要的章节，难度不大，在高考中占的分值也很大，选择题、填空题解答题中都会出现。

2、主要考数列的相关性质及叠加法等思想，只要理解深刻和有足够练习，在高考时就能拿到满意的分数四、学情分析：本节课是一堂贴近生活的课，数列的本质是利用特殊数列的性质来解决实际问题，如人口增长问题，存款利息等都要用函数的性质，如何将数列特征用严谨的数学语言来刻画是本节课的难点之一，另一难点是所学知识的运用，如何进行严格的推理论证并完成规范的书面表达. 围绕以上两个难点，在本节课的处理上，大家应注意以下几个问题：1、重视自己的亲身体验.具体体现在两个方面：①将新知识与已有知识建立联系.如：把特殊数列和一般作对比找出等差数列相关规律，观察等差数列和一次函数的联系，②运用新知识尝试解决新问题.如：对数列第n项的表示.2、重视自己发现的过程.如：找特殊数列规律3、重视自己的动手实践过程.通过对定义的解读、巩固，动手去实践运用定义.4、应带着问题走进课堂，在课堂上解决疑难问题四、学习过程1、课前预习（1）课前预习书上的内容（2）参考（复习）资料（根据学习要求，自我课前预习阅读）（3）尝试练习题目难度要控制（4）找出预习过程中的疑难，带着问题来听课，加深对知识的理解。

2、课堂探索研究，讲解方法，总结规律Cl)请看下面一些数列：鞋的尺码，按照国家统一规定，有22, 22.5, 23, 23.5, 24, 24.5, ...................某月星期日的日期为2, 9, 16, 23, 30；一个梯子共8级，自下而上每一级的宽度为：89, 83, 77, 71, 65, 59, 53, 47(cm)(2)问题1：它们有何共同特征？3、等差数列的定义：如果一个数列｛an｝,从第2项起每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列为等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。

5.2等差数列学案

5.2等差数列（第一课时）恩平市第一中学郑凯一、考纲要求1.理解等差数列的概念2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。

4.了解等差数列与一次函数的关系二、基础知识梳理 1、等差数列的定义一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列，通常用字母表示。

数学符号表示为： 2、等差数列的通项公式如果等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，那么它的通项公式是：等差数列的通项公式可以变形为：，从而()n ma a d m n n m-=≠-。

注：数列{}n a 为等差数列，则通项公式1(1)n a a n d =+-可以写成关于n 的一次函数形式：(,)n a pn q p q =+是常数，反之亦然。

3、等差中项：如果,,a A b 成等差数列，那么叫做a 与b 的等差中项且 4、等差数列的前n 项和公式12...n n s a a a =+++；n s = = 注：等差数列的前n 项和公式1(1)2n n n s na d -=+可以写成关于n 的无常数项的二次函数21()22n d ds n a n =+-=2n s An Bn =+ 5、等差数列的性质数列{}n a 是等差数列，若*(,,,)m n p q m n p q N +=+∈，则，特别地，若*2(,,)m n p m n p N +=∈，则二、基础自测1、在数列{}n a 中，若11a =，1=+2(n 1)n n a a +≥，则该数列的通项公式n a =（） A ．21n - B. 21n + C. 23n -+ D. 32n -2、设命题甲：ABC ∆的一个内角为60 ，命题乙：ABC ∆的三个内角的度数成等差数列。

那么（）A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件三、考点巧突破考点一、等差数列的基本运算例1、 (1) (2013年安徽)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( )A ．－6B ．－4C ．－2D ．2（2）已知在等差数列{}n a 中, 79416,1a a a +==，则12a =（） A.15 B.30 C.31 D.64（3）已知数列{}n a 为等差数列，且17134a a a π++=，则212tan()a a +=互动探究：1、（2014年重庆）在等差数列{}n a 中，1352,10a a a =+=，则7a =（）A ．5 B.8 C.10. D.14 2、已知等差数列{}n a 的前13项之和为134π，则678tan()a a a ++=（） A ．33B ．3C ．1-D ．1 【规律方法】1、基本量法：运用方程的思想“知三求二”2、运用等差数列的性质，“巧用性质，简化运算”考点二、等差数列的前n 项和例2：（1）、在等差数列{}n a 中，3577,26,a a a =+={}n a 的前n 项和n s ,求n a 及n s 。

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