双曲线的定义、方程和性质(精)

双曲线的定义、方程和性质

执教：钱如平班级：高二(3) 地点：本教室时间：2000．4．6

一、学习目标：

掌握双曲线的定义、方程和性质，注意与椭圆的区别和联系。

二、知识要点：

1．定义

（1）第一定义：平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于定长2a（小于|F1F2|）的点的轨迹叫双曲线。

说明：

①||PF1|-|PF2||=2a（2a<|F1F2|）是双曲线；

若2a=|F1F2|，轨迹是以F1、F2为端点的射线；2a>|F1F2|时无轨迹。

②设M是双曲线上任意一点，若M点在双曲线右边一支上，则|MF1|>|MF2|，|MF1|-|MF2|=2a；

若M在双曲线的左支上，则|MF1|<|MF2|，|MF1|-|MF2|=-2a，故|MF1|-|MF2|=±2a，这是与椭圆不同的地方。

（2）第二定义：平面内动点到定点F的距离与到定直线L的距离之比是常数e（e>1）的点的轨迹叫双曲线，定点叫焦点，定直线L叫相应的准线。

3．几个概念

（1）等轴双曲线：实、虚轴相等的双曲线。等轴双曲线的渐近线为y=±x，离心率为2。

（2） 共轴双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫原双曲线的共轴

双曲线，例：12222=-b

y a x 的共轴双曲线是122

22-=-b y a x 。

① 双曲线及其共轴双曲线有共同的渐近线。但有共同的渐近线的两双曲线，不一定是共

轴双曲线；②双曲线和它的共轴双曲线的四个焦点在同一个圆周上。

三、 解题方法指导：

例1．设双曲线方程为12

22

=-y x ，则中心坐标为 ，焦点坐标为 ，顶点坐标为 ，实轴长为 ，虚轴长为 ，离心率为 ，准线方程为 ，渐近线方程 ，对称轴方程为 ，实轴方程为 ，共轴双曲线方程为 。

解：中心（0，0），焦点坐标（±3 ，0），顶点坐标（±2 ，0），实轴长为22，虚轴

长为2，离心率为

26，准线方程为332±=x ，准线间距离为3

3

4，渐近线方程为x y 2

2

±

=，对称轴方程x=0，y=0，实轴方程y=0，

（22≤≤-x ），共轴双曲线1222-=-y x ，即12

22

=-x y 。 说明：根据双曲线的方程熟练地写出其性质，是学习双曲线基本要求，也是一项重要基本功，对知识要点中的性质部分要熟记。

例2．设曲线C 的方程为Ax 2+By 2=|（A·B ≠0），则

① C 表示椭圆的充要条件是

②C 表示焦点在X 轴上的椭圆的充要条件是 ③C 表示焦点在Y 轴上的椭圆的充要条件是 ④C 表示双曲线的充要条件是

⑤C 表示焦点在X 轴上的双曲线的充要条件是 ⑥C 表示焦点在Y 轴上的双曲线的充要条件是 ⑦C 表示圆的充要条件是

解：C 的方程可化为)0(1112

2≠=+AB B

y A x 则①C 表示椭圆的充要条件是B 1

A 1

,0B 1

,0A 1

≠>>，即B A ,0B ,0A ≠>>，

②B ＞A ＞0， ③A ＞B ＞0， ④AB ＜0， ⑤A ＞0，B ＜0， ⑥A ＜0，B ＞0， ⑦A ＝B ＞0，

说明：方程Ax 2+By 2=1，可表示圆、椭圆、双曲线，而圆、椭圆、双曲线是有心曲线，故Ax 2+By 2=1表示有心曲线。

例3．求以2x ±3y=0为渐近线，且经过点（1，2）的双曲线方程 解法一，当x=1时，代入渐近线方程x y 3

2

=

，得232y <=。 ∴ 点（1，2）一定在2x-3y=0的上方，∴ 双曲线的实轴所在的坐标轴一定是y 轴

可设方程为12222=-b x a y ，其渐近线方程为0,02222=⎪⎭

⎫

⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-a y b x a y b x b x a y

∴

2

3

=a b ∴a b 23= ①

又 ∵（1，2）在双曲线上，∴

11

422=-b

a ② ① 代入② 8,932,14

91422

2

2==∴=-b a a a

∴ 所求双曲线方程为1893222=-x y 解法二：方程4x 2

-9y 2=λ，是所有渐近线方程为032=±y x 的双曲线系方程，即共渐近线

方程，因为（1，2）点适合此方程 ∴ 4-36=λ，∴ λ=-32

∴ 方程为4x 2

-9y 2

=-32，即

189

322

2=-x y 说明：双曲线是具有渐近线的曲线，学习时要注意如下两个问题 （1） 已知双曲线方程，求出它的渐近线方程。

（2） 求已知渐近线的双曲线方程；已知渐近线方程为0=±by ax 时，可设双曲线方程为

a 2x 2-

b 2y 2=)0(≠λλ，再利用其它条件确定入的值，这求法实质上是待定系数法。

例4．设动点P （x ，y ）到定点A （5，0）的距离与它到定直线X=3的距离之比为3，求其轨迹方程。

错解：根据双曲线的第二定义A （5，0）为焦点，∴C=5，又32

=c

a ∴ a 2

=15 b 2=c 2-a 2

=25-15=10 ∴ P 点的轨迹方程为双曲线

110

y 15x 2

2=-