空间向量距离的计算课件
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用空间向量求点到面的距离 PPT
2、求向量—求点到平面内任一点对应的向量AP
3、求法向量—求出平面的一个uuu法r 向r 量
4、代入公式—通过公式 d
|
A
P r
n
|
代入求解．
n
练考题、验能力、轻巧夺冠
[题后感悟] 用向量法求点面距的方法与步骤，n
O
为法向量。
练习．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)， 点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为________． 解析： d＝|P→|An·|n|＝|1×－2－＋222×＋－－22＋2＋－124×1| ＝130.
答案：
10 3
变式练习：已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD， 且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．求点D到平面PEF的距 离；
解析：建立以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴， y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示．
则P(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)， E1，12，0，F12，1，0， E→F＝－12，12，0，P→E＝1，12，－1， 设平面PEF的法向量n＝(x，y，z)， 则n·E→F＝0，且n·P→E＝0， 所以－12x＋12y＝0， x＋12y－z＝0.
[例1] 正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E,F,G分别 是C1C,D1A1,AB的中点，求点A到平面EFG的距离．
解： 建系 如图,建立空间直角坐标系，
求向量 求法向量
则 A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，G(2,1,0)，
uuur
uuur
∴ EF ＝(1，－2,1)， EG ＝(2，－1，－1)，
uur GA＝(0，－1,0).设 n＝(x，y，z)是平面 EFG 的法向量，
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(课件)
二面角的大小为
.
π4或34π 解析： cos〈m，n〉＝|mm|·|nn|＝ 22，∴〈m，n〉＝π4. ∴两平面所成二面角的大小为π4或34π.
经典例题
角度1：点线距
题型一 利用空间向量求距离
用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点： (1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段． (2)在直线上可以任意选点，但一般选较易求得坐标的特殊点． (3)直线的方向向量可以任取，但必须保证计算正确．
则 在法向量 n 上的投影向量的长度即为异面直线 a，b 的距离，所以距离为
.
自主学习
二．空间角的向量求法 空间角包括线线角、线面角、二面角，这三种角的定义确定了它
们相应的取值范围，结合它们的取值范围可以用向量法进行求解．
自主学习
角的分类
向量求法
范围
两异面直线 l1 与 l2 所成的角为 θ
设 l1 与 l2 的方向向量分别为 u，v，
经典例题
题型一 利用空间向量求距离
例 2 在三棱锥 S－ABC 中，△ABC 是边长为 4 的正三角形，平面 SAC⊥平面 ABC，
SA＝SC＝2 3，M，N 分别为 AB，SB 的中点，如图所示．求点 B 到平面 CMN 的 距离．
取 AC 的中点 O，连接 OS，OB． ∵SA＝SC，AB＝BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO． ∵平面 SAC⊥平面 ABC，平面 SAC∩平面 ABC＝AC， ∴SO⊥平面 ABC． 又 BO⊂平面 ABC，∴SO⊥BO． 又∵△ABC 为正三角形，O 为 AC 的中点，∴AO⊥BO． 如图所示，分别以 OA，OB，OS 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴， 建立空v>|
则 cosθ＝
|u·v| ＝ |u||v|
用空间向量研究距离、夹角问题课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修
(1)求证：B1D⊥平面ABD； (2)求证：平面EGF∥平面ABD；
(3)求平面EGF与平面ABD的距离．
问题二、如何利用方向向量、法向量求异面直线的夹 角、直线与平面所成夹角、平面与平面夹角、二面角？
1、异面直线的夹角
范围：[0°,90°]
l1
u
v
l2
uv
cos cos u,v
uv
2、直线与平面的夹角
教学目标
(1)学会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、 二面角的向量法
(2)能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题 (3)提高分析与推理能力和空间想象能力
问题与例题
问题一、立体几何中的距离问题包括点到直线、点到平 面、两条平行直线以及两个平行平面的距离问题等。如何 用空间向量解决这些问题呢？
课后作业
课时作业（四）A组：教材P43第9、10题 B组：教材P43第15、18题
与β的夹角为_3___.
3.如图，在正方体ABEF－DCE′F′中，M，N分别为AC，BF的中点，求 （1）求直线MN与直线AC的夹角余弦值 （2）求直线EN与平面MNB的夹角余弦值 （3）平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值．
课堂小结
1、向量法求点到直线（平行直线）的距离． 2、向量法求点到平面（直线到平面、平面到平面） 的距离． 3、向量法求直线与直线、直线与平面、平面与平 面的夹角．
范围：[0°,90°]
l
u
n
un
sin cos u, n
un
3、平面与平面的夹角
范围：[0°,90°]
n2
n1
cos cos n1, n2 n1 n2
n1 n2
例题3、如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2，AA1=3，
(3)求平面EGF与平面ABD的距离．
问题二、如何利用方向向量、法向量求异面直线的夹 角、直线与平面所成夹角、平面与平面夹角、二面角？
1、异面直线的夹角
范围：[0°,90°]
l1
u
v
l2
uv
cos cos u,v
uv
2、直线与平面的夹角
教学目标
(1)学会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、 二面角的向量法
(2)能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题 (3)提高分析与推理能力和空间想象能力
问题与例题
问题一、立体几何中的距离问题包括点到直线、点到平 面、两条平行直线以及两个平行平面的距离问题等。如何 用空间向量解决这些问题呢？
课后作业
课时作业（四）A组：教材P43第9、10题 B组：教材P43第15、18题
与β的夹角为_3___.
3.如图，在正方体ABEF－DCE′F′中，M，N分别为AC，BF的中点，求 （1）求直线MN与直线AC的夹角余弦值 （2）求直线EN与平面MNB的夹角余弦值 （3）平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值．
课堂小结
1、向量法求点到直线（平行直线）的距离． 2、向量法求点到平面（直线到平面、平面到平面） 的距离． 3、向量法求直线与直线、直线与平面、平面与平 面的夹角．
范围：[0°,90°]
l
u
n
un
sin cos u, n
un
3、平面与平面的夹角
范围：[0°,90°]
n2
n1
cos cos n1, n2 n1 n2
n1 n2
例题3、如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2，AA1=3，
3.2.4 利用空间向量求空间距离 课件(人教A版选修2-1)4
→NE·A→P＝0， N→E·A→C＝0，
即 －x，12，1－z －x，12，1－z
，0， ＝0， 3，1， ＝0，
－z ＝0， 化简得－ 3x＋12＝0.
x＝ ∴
63，
z＝1.
即 N 点的坐标为 63，0，1，从而 N 点到 AB 和 AP 的距
离分别为 1， 63. 点评：(1)本题利用题设条件将点到直线的距离转化为到
为 1.
(2)由已知有E→A⊥E→B1，B→1A1⊥E→B1，故二面角 AEB1A1 的平面角 θ 的大小为向量B→1A1与E→A的夹角．
( ) 因B→1A1＝B→A＝ 0，0， 2 ，E→A＝－ 23，－12， 2，
故 cos θ＝|E→ E→AA· ||BB→→11AA11|＝ 36，即 tan θ＝ 22.
解析：(1)如图，连接 BD 交 AC 于点 O， 因为 BC＝CD，即△BCD 为等腰三角形， 又 AC 平分∠BCD，故 AC⊥BD. 以 O 为坐标原点，O→B，O→C，A→P的方向分别为 x 轴，y 轴， z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则 OC＝CDcos π3 ＝1， 而 AC＝4，得 AO＝AC－OC＝3， 又 OD＝CDsin π3 ＝ 3. 故 A(0，－3,0)，B( 3，0,0)，C(0,1,0)，D(－ 3，0,0)． 因 PA⊥底面 ABCD，可设 P(0，－3，z)， 因为 F 为 PC 的中点，所以 F0，－1，z2. 又A→F＝0，2，2z，P→B＝( 3，3，－z)，
点评：用空间向量求异面直线间的距离由两种方法：① 求公垂线的长度，用空间中两点间距离公式求解；②转化为 点到直线的距离求解．
变式
训练
2.
如图，四棱锥 PABCD 中，PA⊥底面 ABCD，BC＝CD＝2，AC＝4，∠ACB ＝∠ACD＝π3 ，F 为 PC 的中点，AF⊥PB.
即 －x，12，1－z －x，12，1－z
，0， ＝0， 3，1， ＝0，
－z ＝0， 化简得－ 3x＋12＝0.
x＝ ∴
63，
z＝1.
即 N 点的坐标为 63，0，1，从而 N 点到 AB 和 AP 的距
离分别为 1， 63. 点评：(1)本题利用题设条件将点到直线的距离转化为到
为 1.
(2)由已知有E→A⊥E→B1，B→1A1⊥E→B1，故二面角 AEB1A1 的平面角 θ 的大小为向量B→1A1与E→A的夹角．
( ) 因B→1A1＝B→A＝ 0，0， 2 ，E→A＝－ 23，－12， 2，
故 cos θ＝|E→ E→AA· ||BB→→11AA11|＝ 36，即 tan θ＝ 22.
解析：(1)如图，连接 BD 交 AC 于点 O， 因为 BC＝CD，即△BCD 为等腰三角形， 又 AC 平分∠BCD，故 AC⊥BD. 以 O 为坐标原点，O→B，O→C，A→P的方向分别为 x 轴，y 轴， z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则 OC＝CDcos π3 ＝1， 而 AC＝4，得 AO＝AC－OC＝3， 又 OD＝CDsin π3 ＝ 3. 故 A(0，－3,0)，B( 3，0,0)，C(0,1,0)，D(－ 3，0,0)． 因 PA⊥底面 ABCD，可设 P(0，－3，z)， 因为 F 为 PC 的中点，所以 F0，－1，z2. 又A→F＝0，2，2z，P→B＝( 3，3，－z)，
点评：用空间向量求异面直线间的距离由两种方法：① 求公垂线的长度，用空间中两点间距离公式求解；②转化为 点到直线的距离求解．
变式
训练
2.
如图，四棱锥 PABCD 中，PA⊥底面 ABCD，BC＝CD＝2，AC＝4，∠ACB ＝∠ACD＝π3 ，F 为 PC 的中点，AF⊥PB.
用空间向量研究距离、夹角问题(第1课时+用空间向量研究距离问题)课件
= -,
·1 = 2 + 2 = 0,
所以
所以 = -.
· = 2 + 2 = 0.
取x=1,则y=-1,z=-1.
所以,n=(1,-1,-1)是平面A1BD的一个法向量.
所以点 D1 到平面 A1BD 的距离
|1 1 ·|
d= ||
=
2
3
=
2 3
.
3
(2)根据题意,知A1D1
, ,
2 6 3
,
3
=4,a·u= 3 .
所以点 C 到直线 AB1 的距离为
2
2
-(·)
=
33
.
3
探究二
点到平面的距离
【例2】 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,求:
(1)点D1到平面A1BD的距离;
(2)平面A1BD与平面B1CD1间的距离.
分析:(1)由平面 A1BD 的法向量和向量1 1 可求出点 D1 到平面 A1BD 的
|1 |
= -
2
2
,0,
2
2
.
所以,点 M 到直线 AD1 的距离
d=
2 -(·)2
当 m=-
-
3
2×
2
=
=
2
+
2 1
(-) - 2 (-)2
=
3 2
-
2
1 2
时,根式内的二次函数取得最小值3a .
3
故 d 的最小值为
3
a.
3
+
1 2
.
2
反思感悟 用向量方法求直线外一点N到直线的距离的步骤
人教A版 数学 选择性必修
·1 = 2 + 2 = 0,
所以
所以 = -.
· = 2 + 2 = 0.
取x=1,则y=-1,z=-1.
所以,n=(1,-1,-1)是平面A1BD的一个法向量.
所以点 D1 到平面 A1BD 的距离
|1 1 ·|
d= ||
=
2
3
=
2 3
.
3
(2)根据题意,知A1D1
, ,
2 6 3
,
3
=4,a·u= 3 .
所以点 C 到直线 AB1 的距离为
2
2
-(·)
=
33
.
3
探究二
点到平面的距离
【例2】 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,求:
(1)点D1到平面A1BD的距离;
(2)平面A1BD与平面B1CD1间的距离.
分析:(1)由平面 A1BD 的法向量和向量1 1 可求出点 D1 到平面 A1BD 的
|1 |
= -
2
2
,0,
2
2
.
所以,点 M 到直线 AD1 的距离
d=
2 -(·)2
当 m=-
-
3
2×
2
=
=
2
+
2 1
(-) - 2 (-)2
=
3 2
-
2
1 2
时,根式内的二次函数取得最小值3a .
3
故 d 的最小值为
3
a.
3
+
1 2
.
2
反思感悟 用向量方法求直线外一点N到直线的距离的步骤
人教A版 数学 选择性必修
空间向量的夹角和距离公式PPT教学课件
3
定理三：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积 是S，高是h，那么它的体积是 V锥体＝ 1 Sh
推论：如果圆锥的底面半3径是r，高是h， 那么它的体积是 V圆锥＝ 1 πr2h
3
例题一：如图：已知三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底
面BCD，侧面ABC与底面所成的角为θ 求证：V三棱锥＝ 1 S△ABC·ADcosθ
3
A’
C’ 把三棱锥1以
△ABC为底面、
B’
AA1为侧棱补成 一个三棱柱。
A
C
B
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
它的体积是 V三棱锥＝ 1 Sh
3
连接B’C,然后
A’
C’ 把这个三棱柱
3
分割成三个三
B’
2
棱锥。 就是三棱锥1
１
和另两个三棱
A
C
锥2、3。
B
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
1 13
问题2、解答过程中的
A
3
×2
BC ·AEcosθ·AD其中 1 AEcosθ·AD可表示意思？
2
分析：
B θ
E C
∵AEcosθ＝ED
1
D ∴S△AED＝ 2 ED·AD 又BE与CE都垂直平面AED，故BE、CE 分别是三棱锥B-AED、C-AED的高。
结论： V三棱锥＝VC-AE D＋VB-AE D
高也相等（顶点都是A’）。
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
它的体积是 V三棱锥＝ 1 Sh
A’
A’
3
A’
2 B’
3
C’
B’
1
A
C
C
定理三：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积 是S，高是h，那么它的体积是 V锥体＝ 1 Sh
推论：如果圆锥的底面半3径是r，高是h， 那么它的体积是 V圆锥＝ 1 πr2h
3
例题一：如图：已知三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底
面BCD，侧面ABC与底面所成的角为θ 求证：V三棱锥＝ 1 S△ABC·ADcosθ
3
A’
C’ 把三棱锥1以
△ABC为底面、
B’
AA1为侧棱补成 一个三棱柱。
A
C
B
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
它的体积是 V三棱锥＝ 1 Sh
3
连接B’C,然后
A’
C’ 把这个三棱柱
3
分割成三个三
B’
2
棱锥。 就是三棱锥1
１
和另两个三棱
A
C
锥2、3。
B
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
1 13
问题2、解答过程中的
A
3
×2
BC ·AEcosθ·AD其中 1 AEcosθ·AD可表示意思？
2
分析：
B θ
E C
∵AEcosθ＝ED
1
D ∴S△AED＝ 2 ED·AD 又BE与CE都垂直平面AED，故BE、CE 分别是三棱锥B-AED、C-AED的高。
结论： V三棱锥＝VC-AE D＋VB-AE D
高也相等（顶点都是A’）。
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
它的体积是 V三棱锥＝ 1 Sh
A’
A’
3
A’
2 B’
3
C’
B’
1
A
C
C
用向量法求空间距离课件
奇异点
在某些情况下，向量法求空间距离可 能会遇到奇异点，即某些点的坐标值 可能为无穷大或不确定。对于这些点 ，应采取适当的处理方式，如排除或 进行特殊处理。
实际应用中的考虑因素
坐标系选择
在实际应用中，应根据问题的具体情 况选择合适的坐标系，如笛卡尔坐标 系、极坐标系等。不同的坐标系可能 会影响向量法求空间距离的结果。
03
向量法求空间距离的实例解析
点到直线的距离实例
总结词
利用向量法求点到直线的最短距离
详细描述
首先，我们需要确定直线和点在三维空间中的坐标。然后，通过向量的点积和向量的模长，我们可以计算出点到 直线的向量。最后，利用向量法公式，我们可以求出点到直线的最短距离。
点到平面的距离实例
总结词
利用向量法求点到平面的最短距离
未来研究的方向与展望
1 2
深入研究向量法的理论基础
进一步探讨向量法的数学基础和原理，提高其理 论水平。
拓展向量法的应用领域
发掘向量法在其他领域的应用价值，如机器学习 、数据分析和人工智能等。
3
开发向量法的算法优化
针对向量法的计算过程进行优化，提高其计算效 率和精度。
THANKS
感谢观看
用向量法求空间距离课件
目 录
• 向量法求空间距离的基本概念 • 向量法求空间距离的公式推导 • 向量法求空间距离的实例解析 • 向量法求空间距离的注意事项 • 总结与展望
01
向量法求空间距离的基本概念
向量的概念
向量
既有大小又有方向的量。
向量的表示
用有方向的线段表示向量，线段的长度表示向量 的大小，箭头表示向量的方向。
向量法求空间距离的优势与局限性
• 适用范围广：向量法不仅可以用于求解空间距离，还可以 用于解决其他几何问题。
在某些情况下，向量法求空间距离可 能会遇到奇异点，即某些点的坐标值 可能为无穷大或不确定。对于这些点 ，应采取适当的处理方式，如排除或 进行特殊处理。
实际应用中的考虑因素
坐标系选择
在实际应用中，应根据问题的具体情 况选择合适的坐标系，如笛卡尔坐标 系、极坐标系等。不同的坐标系可能 会影响向量法求空间距离的结果。
03
向量法求空间距离的实例解析
点到直线的距离实例
总结词
利用向量法求点到直线的最短距离
详细描述
首先，我们需要确定直线和点在三维空间中的坐标。然后，通过向量的点积和向量的模长，我们可以计算出点到 直线的向量。最后，利用向量法公式，我们可以求出点到直线的最短距离。
点到平面的距离实例
总结词
利用向量法求点到平面的最短距离
未来研究的方向与展望
1 2
深入研究向量法的理论基础
进一步探讨向量法的数学基础和原理，提高其理 论水平。
拓展向量法的应用领域
发掘向量法在其他领域的应用价值，如机器学习 、数据分析和人工智能等。
3
开发向量法的算法优化
针对向量法的计算过程进行优化，提高其计算效 率和精度。
THANKS
感谢观看
用向量法求空间距离课件
目 录
• 向量法求空间距离的基本概念 • 向量法求空间距离的公式推导 • 向量法求空间距离的实例解析 • 向量法求空间距离的注意事项 • 总结与展望
01
向量法求空间距离的基本概念
向量的概念
向量
既有大小又有方向的量。
向量的表示
用有方向的线段表示向量，线段的长度表示向量 的大小，箭头表示向量的方向。
向量法求空间距离的优势与局限性
• 适用范围广：向量法不仅可以用于求解空间距离，还可以 用于解决其他几何问题。
空间向量求距离PPT课件
D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．
EF (2, 2,0), EG (2, 4, 2),
设平面 EFG 的一个法向量为 n (x, y, z)x
D
C
n
EF，n
EG
2x 2y 0 2x 4 y 2
0
F
n ( 1 , 1 ,1) ,BE (2,0,0) A
M
22
解得 2 x y z ,
A
2
x
B
∴可取 m ( 2,1, 1)
∴ MA 在 n 上的射影长 d MA n a 即点 A 到平面 MNC 的距离为 a .
n2
2
第6页/共17页
二、求直线与平面间距离
例2、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，
CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求直线BD到平面 GEF的距离。
.
练习5
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求
异面直线DA1与AC的距离。z
D1
C1
A1
B1
D
A x
第15页/共17页
C y
B
练习6:如图,
ABCD是正方形，SB 面ABCD，且SA与 面ABCD所成的角为45，点S到面ABCD的 距离为1，求AC与SD的距离。
z S
B
Ay
xC
D
第16页/共17页
n CE 0 即 x y 0
(
x,
y,
z).则
A1
C1
z
B1
n AB1 0
2x 2 y 4z 0
C
取x=1,z则y=-1,z=1,所以 n (1,1,1)
用空间向量研究距离、夹角问题 课件
（1）求平面的法向量
n;
（2）选择参考向量 AP(其中点A为平面内任意一点 )；
（3）代入点到平面的距离公式求解距离.
思考： 类似地，请同学们研究如何求两个平行平面的距离.
直线与平面平行时，直 直线上的任意一点到平
线与平面的距离可以转
面的距离；
n
化为 P
l
αA 平面与平面平行时，两 个平面间的距离可以转 化为 其中一个平面上任意一 点到另一个平面的距离 .
5.平面与平面平行时，两个平面间的距离可以转化为 其中一个平面上任意一点到另一个平面的距离.
布置作业：
同步训练里《跟踪练习》
巩固练习：
1.在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，
（1）点A到平面B1C的距离为
D1
（2）直线DC到平面AB1的距离为
A1
（3）平面DA1到平面CB1的距离为
D
A
C1 B1
C B
2.如图，在棱长为 1的正方体 ABCD A1B1C1D1中，
E为DD1的中点， F为线段 BB1的中点.
第一章空间向量与立体几何
1.4空间向量的应用（2） ——用空间向量研究距离、夹角问题
第一课时
导入新课：
我们知道, 立体几何中的距离问题 包括点到直线、点到 平面、两条平行直线以 及两个平行平面的距离 问题等. 如何用空间向量解决这些问题呢？
学习新课：
1. 点到直线的距离：探究：已知直线 l的单位向量
a
b
a b
2
距离？ 可转化为求其中一条直 线上 的点到另一条直线的距 离.
练习：
如图，在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，
（1）点A到直线D1C的距离为
《空间向量求距离》课件
点到直线的距 离
通过向量的数量积和 向量的叉积可以求解 点到直线的最短距离。
点到平面的距 离
通过向量的数量积和 向量的叉积可以求解 点到平面的最短距离。
线段间的距离
通过向量的数量积和 向量的叉积可以计算 线段间的距离。
示例演示
我们将通过具体的示 例来演示如何计算不 同情况下的空间向量 的距离。
总结
空间向量的加减法
1
减法定义
2
向量的减法是指将减去的向量的对应分
量与被减向量的对应分量相减，得到一
个新的向量。
3
加法定义
向量的加法是指将两个向量的对应分量 相加，得到一个新的向量。
示例演示
通过具体的示例演示，我们将更好地理 解向量的加减法。
空间向量的数量积
1
数量积性质
2
数量积具有交换律、分配律和结合律等
空间向量基础知识
通过本课件，您已经掌握了 空间向量的基础概念和性质。
空间向量的运算和性质
您已经学会了空间向量的加 减法、数量积和向量积等运 算。
空间向量求距离的方法
通过向量的数量积和叉积， 您可以计算点到直线、点到 平面和线段间的距离。
Q&A
在本节中，您可以向我们提问，并得到关于空间向量的解答。
性质。
3
数量积定义
数量积是指两个向量的对应分量相乘再 相加的结果。
示例演示
我们将通过一些实例来展示数量积的具 体应用。
空间向量的向量积
向量积的定义
向量积是指两个向量 通过向量积公式计算 而得到的另一个向量。
向量积的性质
向量积具有垂直于原 向量的性质，可用于 求平面的法向量。
向量积的意义
向量积在物理学、几 何学等领域中有广泛 的应用。
高中数学课件-第9讲 向量法求空间距离、折叠及探索性问题
第9讲 向量法求空间距离、折叠及探索性问题1.会求空间中点到直线、点到平面的距离.2.会用向量法探考试要求究空间几何体中线、面的位置关系、角的存在条件与折叠问题.01聚焦必备知识知识梳理3.线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离.1.思考辨析(在括号内打“ √”或“×”)(1)平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β.( )(2)点到直线的距离也就是该点到直线上任一点连线的长度.( )(3)直线l 平行于平面α，则直线l 上各点到平面α的距离相等.( )(4)直线l 上两点到平面α的距离相等，则l 平行于平面α.( )夯基诊断××√×2.回源教材(1)已知平面ABC的一个法向量为n＝(1，2，1)，向量＝(0，，0)，则点F到平面ABC的距离为________.(3)已知棱长为1的正方体ABCD -A1B1C1D1，则平面AB1C与平面A1C1D 之间的距离为________.02突破核心命题考 点 一利用空间向量求距离考向 1点到直线的距离例1 如图，在棱长为1的正方体ABCD -A1B1C1D1中，O为平面A1ABB1的中心，E为BC的中点，求点O 到直线A1E的距离.用向量法求点到直线的距离的一般步骤(1)求直线的方向向量.(2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度.(3)利用勾股定理求解.另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化.反思感悟例2 如图，已知四边形ABCD 是边长为4的正方形，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，CG 垂直于正方形ABCD 所在的平面，且CG ＝2，则点B 到平面EFG的距离为________.2点到平面的距离用向量法求点面距离的步骤(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系.(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标.反思感悟训练1 如图，在正三棱柱ABC -A1B1C1中，各棱长均为4，N是CC1的中点.(1)求点N到直线AB的距离；(2)求点C1到平面ABN的距离.考 点 二折叠问题(1)当AB∥平面PCD时，求PD的长；(2)当三棱锥P -COD的体积最大时，求平面OPD与平面CPD夹角的余弦值.反思感悟翻折问题中的解题关键是要结合图形弄清翻折前后变与不变的关系，尤其是隐含的垂直关系.一般地翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一平面上的性质发生变化.训练2 (2024·泉州模拟)如图①，在等腰直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的高，以CD为折痕把△ACD折起，使点A到达点P的位置，且∠PBD＝60°，E，F，H分别为PB，BC，PD的中点，G为CF的中点(如图②).图① 图②(1)求证：GH∥平面DEF；(2)求直线GH与平面PBC所成角的正弦值.(2)因为CD⊥DB，CD⊥DP，DB∩DP＝D，所以CD⊥平面DBP.如图，过点D作直线垂直平面BDC，作空间直角坐标系，设PD＝DB＝DC＝2，例4 (2024·山东省实验中学月考)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，△AB 1C 为等边三角形，四边形AA 1B 1B 为菱形，AC ⊥BC ，AC ＝4，BC＝3.考 点 三探索性问题图①解：(1)证明：连接A 1B 与AB 1相交于点F ，连接CF ，如图①所示.∵四边形AA 1B 1B 为菱形，∴F 为AB 1的中点，BF ⊥AB 1.∵△AB 1C 为等边三角形，∴CF ⊥AB 1，又BF ，CF ⊂平面BFC ，BF ∩CF ＝F ，∴AB 1⊥平面BFC .又A 1C ⊂平面BFC ，∴AB 1⊥A 1C .(2)设O，G分别为AC，AB的中点，连接B1O，OG，由(1)可知AB1⊥BC，又AC⊥BC，AB1，AC⊂平面AB1C，AB1∩AC＝A，∴BC⊥平面AB1C.又OG∥BC，∴OG⊥平面AB1C.∵△AB1C为等边三角形，∴B1O⊥AC，故OG，OC，OB1两两垂直.图②1.对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等.2.对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数.反思感悟又AC⊥PB，PB∩AB＝B，且PB，AB⊂平面PAB，所以AC⊥平面PAB.又AC⊂平面ABCD，所以平面PAB⊥平面ABCD.(2)假设存在Q，使得平面BEQF⊥平面PAD.取AB的中点为H，连接PH，则PH⊥AB，因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以PH⊥以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系.03限时规范训练(五十五)(1)求PD的长；(2)求点C到平面PEB的距离.解：(1)由题意知DP，DA，DC三线两两垂直.如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B(2，2，0)，E(1，0，0).。
1.4.2+用空间向量研究距离、夹角问题-第1课时课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版
1.4 空间向量的应用
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
第1课时 用空间向量研究距离问题
【学习目标】
1.借助直线的方向向量和平面的法向量，能计算点到直线的距离、点到平
面的距离，并知道两条平行直线之间的距离、直线与平面平行时两者间的距离、
两个平行平面之间的距离.
2.能分析和解决一些立体几何中的距离问题，体会向量方法与综合几何方
→
⋅ AF = 0,
y = x,
−6x + 6y = 0,
所以
即 z = x,
−6x + 6z = 0,
令x = 1,则y = 1,z = 1,所以 = 1,1,1 是平面ACF的一个法向量.
设点E到平面ACF的距离为d,
则d =
AE⋅
=
12
3
= 4 3,所以点E到平面ACF的距离为4 3.
为AD，PC的中点.
（1）求证：DE//平面PFB；
课中探究
解：证明：以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别
为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则P 0,0,2 ，F 1,0,0 ，B 2,2,0 ，E 0,1,1 ，D 0,0,0 ，
所以FP = −1,0,2 ，FB = 1,2,0 ，DE = 0,1,1 ，
∴ A1 O ⊥ 平面ABC.
课中探究
∵△ ABC是等边三角形，∴ BO ⊥ AC，建立如图所示的空间
直角坐标系，则A 0, −1,0 ,B
P
∴
3
1
, − , 0 ,Q 0,1, 3 ,B1
2
2
3
3
QP =
, − , − 3 ,QB1
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
第1课时 用空间向量研究距离问题
【学习目标】
1.借助直线的方向向量和平面的法向量，能计算点到直线的距离、点到平
面的距离，并知道两条平行直线之间的距离、直线与平面平行时两者间的距离、
两个平行平面之间的距离.
2.能分析和解决一些立体几何中的距离问题，体会向量方法与综合几何方
→
⋅ AF = 0,
y = x,
−6x + 6y = 0,
所以
即 z = x,
−6x + 6z = 0,
令x = 1,则y = 1,z = 1,所以 = 1,1,1 是平面ACF的一个法向量.
设点E到平面ACF的距离为d,
则d =
AE⋅
=
12
3
= 4 3,所以点E到平面ACF的距离为4 3.
为AD，PC的中点.
（1）求证：DE//平面PFB；
课中探究
解：证明：以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别
为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则P 0,0,2 ，F 1,0,0 ，B 2,2,0 ，E 0,1,1 ，D 0,0,0 ，
所以FP = −1,0,2 ，FB = 1,2,0 ，DE = 0,1,1 ，
∴ A1 O ⊥ 平面ABC.
课中探究
∵△ ABC是等边三角形，∴ BO ⊥ AC，建立如图所示的空间
直角坐标系，则A 0, −1,0 ,B
P
∴
3
1
, − , 0 ,Q 0,1, 3 ,B1
2
2
3
3
QP =
, − , − 3 ,QB1
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G
x D F A
C
E
y
B
例: 1 如图，已知正方形
ABCD 的边长为 4，E、F 分别是 AB、AD 的中点，GC⊥平面 ABCD，且 GC＝2，求点 B 到 z 平面 EFG 的距离. G 解：如图，建立空间直角坐标系 C－xyz． 由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)， D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．
∴d=| PA ||cos PA, n |=
| n|
A
O
| PA | | n | | cos PA, n |
=
| PA n | |n|
.
这个结论说明，平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面上的任一点 （常选特殊点）的向量在平面的法向量上的投影的绝对值
例1、已知正方形ABCD的边长为4，GC⊥ 平面ABCD，GC=2,E、F分别是AB、AD的 z 中点，求点B到平面GEF的距离。
2 2 1 1 a , 0, 0) N ( a , a, a ) ∵ M 、N 分别是 AD 、PB 的中点, ∴ M ( 2 2 2 2
1 1 2 2 z ∴ MC ( a , a , 0) , MN (0, a , a ) , MA ( a , 0, 0) P 2 2 2 2 设 n ( x, y, z ) 为平面 MNC 的一个法向量, ∴ n MN , n MC 2 N ∴ n MC ax ay 0 且 C D y 2 a a M n MN y z 0 2 2 2 A 解得 x y z , B 2 x ∴可取 n ( 2,1, 1)
F A
C
E
y
B
练习2: 正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，求AC与平 面DA1C1的距离 DA n D1 C1 d n
A1 B1
D
A B
C
三、求平面与平面间距离
例3、正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，
求平面A1DC1与平面AB1C的距离
D1 A1 B1 C1
d
C
DA n n
∴d
MA n n a a A MNC 即点 到平面 的距离为 . 2 2
二、求直线与平面的距离
例2、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD， CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求直线BD到平面 z GEF的距离。
G
d
| n BE| n
2 11 . 11
x D
一、求点到平面的距离
如图 A , 空间一点 P 到平面 的距离为 d,已知平面 的
一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,能否用 AP 与 n 表示 d ?
分析:过 P 作 PO⊥ 于 O,连结 OA.
P
n
则 d=| PO |= | PA | cos APO.
∵ PO ⊥ , n , ∴ PO ∥ n . ∴cos∠APO=|cos PA, n |.
E
பைடு நூலகம்
y
B
2 11 2 11 .点 B 到平面 EFG 的距离为 . 11 11
• 求点到平面的距离的步骤：
• ⑴ 建立空间直角坐标系，写出平面内两个 不共线向量的坐标； • ⑵ 求平面的一个法向量的坐标； • ⑶ 找出平面外的点与平面内任意一点连接 向量的坐标； • ⑷ 代入公式求出距离.
练习1:
EF (2, 2,0), EG (2, 4, 2),
设平面 EFG 的一个法向量为 n ( x, y, z )
x
F
D
C
取n (1,1, 3) ,BE (2,0,0)
d | n BE| n
2 x 2 y 0 n EF， n EG 2 x 4 y 2z 0 A
如图, ABCD 是矩形, PD 平面 ABCD , PD DC a , AD 2a , M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,求点 A 到平面 MNC 的距离.
P
N D M A B C
解：如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 D－xyz 则 D(0,0,0),A( 2 a ,0,0),B( 2 a ,a ,0),C(0,a ,0),P(0,0,a )
学习目标：
1．能借助空间几何体内的位置关系求空间 的距离； 2．能用向量方法解决点面、线面、面面的 距离的计算问题，体会向量方法在研究几 何问题中的作用； 3. 探究题型，总结解法步骤。
复习回顾：
1.我们所学距离有哪几种？
2.已知，A(1,2,0),B(0,1,1),C(1,1,2) 试求平面ABC的一个法向量.
D
A B
练习3、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中， M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、 C1D1的中点，求平面AMN与平面EFDB的距离。
z
d
AB n n
A1
N
D1
F E
C1
M B1 D
C B
y
x
A
小结：
怎样利用向量求距离？ 点到平面的距离：连结该点与平面上任意一点的向量在 平面法向量上投影的绝对值。 •直线到平面的距离：转化为点到平面的距离 。 平行平面间的距离：转化为直线到平面的距离、点到平 面的距离。