第16讲：均匀加宽、非均匀加宽-激光原理与技术
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g , 0
2 0
P
2
CI 0
2
2 0
1
2
2
P P
P
P d
/ 2
0 1 0
2
/ 2
g , 0
P P
g , 0
d
P d P
1
卷积得出Voigt线型
16.1 谱线加宽与线型函数
均匀加宽 非均匀加宽
一、均匀加宽(Homogenous Broadening) 概念：引起加宽的物理因素对每个原子都是相同的。每个发光的 原子都以整个线型发射，不能把线型函数上的某一特定频率和某 些特定的原子联系起来。 自然加宽、碰撞加宽、晶格振动加宽 自然加宽：在不受外界影响时，受激原子并非永远处在激发态， 他们会自发地向低能级跃迁，因而受激原子在激发态上的寿命有 限。 碰撞加宽：大量原子（分子）之间无规“碰撞”引起的谱线加宽 晶格振动加宽：固体工作物质中，晶格的振动使激活离子所对应 的能量在一定的范围内变化，引起的谱线加宽。
0
vz 当 z c，对上式级数展开并取一级近似有： 0 1 c
16.2 非均匀加宽
在激光器中，讨论的问题是原子与光场的相互作用，因此考 虑中心频率为 0的运动原子和频率为 的单色光场相互作用。
单色光波 运动原子
假想光源 感受光波的接收器
原子静止（Vz=0）
2
当 0时，线型函数有最大值：
gmax , 0 g 0 , 0
当 时， g , 0
4/
g 0 , 0 2
, 此时可以解出- -谱线宽度：
阻尼系数的 物理含义？
4
N 2
N
1 2 s
16.1 谱线加宽与线型函数
对于多能级系统，考虑某个能级Em向i个下能级跃迁的自发辐射 dnm 1 dnm 2 dnm dnmi 系数为Ami，则有： dt dt dt dt
Am1nm Am 2 nm
Ami nm
其中N b 为单位体积内b类原子数； ab为a、b原子的碰撞截面； ma 与mb 为两种原子的质量；
当只有一种原子时，其碰撞寿命为：
1
L
1
N a aa
L aa
16 KT ma
气体激光器一般由工作气体a、辅助气体b、c等等组成，则其 碰撞寿命为：
1/L 1/ L
阻尼系数的 物理含义？
16.1 谱线加宽与线型函数
阻尼系数 与原子在E2能级上的自发辐射寿命 2的关系：
前面曾经证明对二能级系统，自发辐射引起的上能级粒子数 变化满足公式：
n2 t n20 exp t / s
其中 1 / A21为高能级粒子平均寿命。则跃迁辐射功率为：
晶格振动对所有激活离子的影响基本 相同，所以这种加宽属于均匀加宽。
自发辐射和无辐射跃迁造 成的谱线加宽是很小的， 晶格振动式主要的均匀加 宽因素。
16.1 谱线加宽与线型函数
4、均匀加宽小结
均匀加宽具有以下的特点： 引起加宽的因素对每个原子都相同； 每个原子发光时，发出整个线型，即对整个分布都有贡
E E0 e
E
t 2 i0 t
e
E0 e
t 2 i0 t
自发辐射的上能级寿命 有限造成！
E2 E1
/ 2
16.1 谱线加宽与线型函数
Yb : YAG激光晶体的谱线：
16.1 谱线加宽与线型函数
量纲：[s]
引入谱线的线型函数g ( , 0 )：
1 2
mc 2
2 2 KT 0
0 0
2
d 0
mc 2
2 2 KT 0
dn 2 0 dn1 0
1
/ 4
洛仑兹线型
由洛仑兹在研究电子谐振时最先 得到的受迫振动的运动微分方程 的解，其形式如下：
f x , x0 ,
1 x x 2 0 1
1 x x 0
2 2
如果将其视为概率密度函数，则 它在统计学中被称为柯西分布。
16.2 非均匀加宽
2、原子数按中心频率的分布
根据分子运动论，其热运动速度服从麦克斯韦统计分布 规律，即在温度T的热平衡状态下，单位体积内z方向速度 v z ~ v z dv z内的原子数：
V
Vz
z
dn v z
mv z2 m n v z dv z n exp dv z 2 KT 2 KT
这个线宽唯一地由原子高能级的平均寿命决定，则用自然加宽 的线宽表示的线型函数为：
N / 2 g , 0 N 2 0 N / 2 1 N 2 s
2
16.1 谱线加宽与线型函数
时间分辨荧光光谱技术进行测量：
1 2
2 mv z 2 KT
dv z
vz 0 1 0 c
0 0 vz c 0 dv c d z 0 0
考虑E2 和E1 能级上的原子数n2 和n1：
c m n e 0 2 KT
碰撞加宽的线型函数为：
2
其中的 L为一原子与其它 原子发生碰撞的时间间隔，等于单位时间内碰撞次数的倒数， 因此与压强、温度、原子碰撞截面有关。
16.1 谱线加宽与线型函数
如果存在a、b两种气体，则：
1
N b ab
L ab
8 KT 1 1 ma mb
激光原理与技术·原理部分
第16讲 均匀加宽、非均匀加宽
16.1 谱线加宽与线型函数
谱线加宽：
从量子学能级的角度来看：
从经典电动力学的角度来看：
谐振子所发出的电磁波：
由测不准原理——不可能同时 测准微观粒子的时间和能量：
rad
e
1
t E
当原子能级寿命→∞时，能 级的宽度→0，原子的有限寿 命会引起能级的展宽，从而 使得发出的光子的频率不再 是单一频率，
由阻尼谐振子公式得到的自发辐射功率为：
dn2 t t / s t / s n e h P0 e P t h 20 dt
P t P0 e t
比较两式得到
s
1
16.1 谱线加宽与线型函数
1 自然加宽线型函数的线宽： N 2 2 s
原子之间的无规“碰撞”造成的 • 非弹性碰撞: 内能转移,等效激发态寿命 基态原子～激发态原子；激发态原子～其它原子或容器管壁 • 弹性碰撞: 自发辐射波列相位发生突变,波列长度
晶体：相邻原子间的偶极相互作用，通过原子晶格热驰豫无 辐射跃迁或者晶格热运动，使运动状态发生改变。
16.1 谱线加宽与线型函数
16.1 谱线加宽与线型函数
自发辐射线宽等于自然加宽线宽，即线型函数半宽度；
g , 0
/ 2 4 2 0
2
2
H / 2 ne 2 G 4m 0 c 2 / 2 0 H
v H / 2
0 0
2
t
e
i 0 t
dt
2
E0 i 0
2
E0 i 0
e
2 i 0
t
0
自发辐射
16.1 谱线加宽与线型函数
则功率随频率的变化：
P E
2 2 2 E0
根据线型函数的定义：
16.2 非均匀加宽
1、多普勒效应
热运动的发光粒子发出的光存在多普勒频移造成加宽
气体中的多普勒加宽和固体物质中的晶格缺陷加宽
一个发光原子的发射谱线中心频率为 0，当原子相对于接收 器静止时，接收器测到的光波频率为 0；
1 vz / c 1 vz / c
当原子相对于接收器以v z 速度 运动时，接收到的光波频率为：
i
si
nri
则当存在无辐射跃迁时自发辐射均匀加宽为： N
1 2
1 1 2 1
16.1 谱线加宽与线型函数
由于碰撞的随机性，原子激发态上的有限寿命只能用统 计的方法来研究，它等价于发生碰撞的平均时间间隔；
L / 2 g L , 0 2 0 L / 2 1 L L
aa
1/ L
ab
1/ L
ac
16.1 谱线加宽与线型函数
3、晶格振动加宽
固体工作物质中，激活离子镶嵌在晶体中，周围的晶格场将 影响其能级的位置。 晶格振动使激活离子处于随时间变化的晶格场中，使激活离子 的能级所对应的能量在一定范围内变化，引起谱线加宽。
温度越高，振动越剧烈，谱线越宽பைடு நூலகம் 对于固体激光工作物质，
16.1 谱线加宽与线型函数
1、自然加宽：
现象：自发辐射谱线具有一定的宽度 H。
自然加宽的经典理论解释：电子的阻尼振动造成的频谱展宽
由阻尼谐振子模型可以得到其辐射场表达式：
为了得到频率域分布，对E作傅立叶变换，并取t从0到的范围，则：
E E t e i0 t dt E0 e
1 2
K 为波尔兹曼常数，T 为绝对温度， n为单位体积内原子数，m为原子 质量，n(v z )为原子数分布。
16.2 非均匀加宽
m dn v z n v z dv z n e 2 KT n 0 d 0 dn 0
nm Ami nmi Am i 1 1 可得： sm A A m mi
如果跃迁发生在Em En 之间， 则自发辐射的自然加宽为 1 1 1 N 2 sm sn
i
16.1 谱线加宽与线型函数
2、碰撞加宽
加宽机制：大量原子、分子之间的无规则碰撞；
原子感受频率
0 时, 共振相互作用最大 ’=0时,共振相互作用最大
沿z向运动
’ =(1-vz/c)
16.2 非均匀加宽
• 速度为Vz的运动原子与z向传播的光波相互作用时，原子表现 出来的中心频率(表观中心频率）为 0
vz 0 1 c
' 0
v z 沿着光波传播方向时： v z 0 v z 沿着光波传播反方向时： v z 0
2
d
2
d
/ 2
2
0
2
1
g , 0
/ 2
2
0
2
16.1 谱线加宽与线型函数
gN , 0
/ 2
2
4 0
2
2
/ 4 2 2 0
激发态原子可以和其它原子或器壁发生碰撞而将自己的内能 变为其它原子的动能或给予器壁，而自己回到基态。 这一过程属于非弹性碰撞，它与自发辐射过程一样，也会引起
激发态寿命的缩短，称为无辐射跃迁。 在固体工作物质中，无辐射跃迁起因于离子和晶格振动相互
作用，离子释放的内能转化为声子能量。
若粒子在Ei 能级的自发辐射跃迁寿命为 si，无辐射跃迁寿命为 1 1 1 nri，则该能级的寿命 i 为：
献，每个原子在形成谱线时的作用与地位都是相同的； 均匀加宽的线型函数：
H / 2 g H , 0 2 2 0 H / 2 ‘’‘’‘ 1 2 1 2 L N L H
2 0
P
2
CI 0
2
2 0
1
2
2
P P
P
P d
/ 2
0 1 0
2
/ 2
g , 0
P P
g , 0
d
P d P
1
卷积得出Voigt线型
16.1 谱线加宽与线型函数
均匀加宽 非均匀加宽
一、均匀加宽(Homogenous Broadening) 概念：引起加宽的物理因素对每个原子都是相同的。每个发光的 原子都以整个线型发射，不能把线型函数上的某一特定频率和某 些特定的原子联系起来。 自然加宽、碰撞加宽、晶格振动加宽 自然加宽：在不受外界影响时，受激原子并非永远处在激发态， 他们会自发地向低能级跃迁，因而受激原子在激发态上的寿命有 限。 碰撞加宽：大量原子（分子）之间无规“碰撞”引起的谱线加宽 晶格振动加宽：固体工作物质中，晶格的振动使激活离子所对应 的能量在一定的范围内变化，引起的谱线加宽。
0
vz 当 z c，对上式级数展开并取一级近似有： 0 1 c
16.2 非均匀加宽
在激光器中，讨论的问题是原子与光场的相互作用，因此考 虑中心频率为 0的运动原子和频率为 的单色光场相互作用。
单色光波 运动原子
假想光源 感受光波的接收器
原子静止（Vz=0）
2
当 0时，线型函数有最大值：
gmax , 0 g 0 , 0
当 时， g , 0
4/
g 0 , 0 2
, 此时可以解出- -谱线宽度：
阻尼系数的 物理含义？
4
N 2
N
1 2 s
16.1 谱线加宽与线型函数
对于多能级系统，考虑某个能级Em向i个下能级跃迁的自发辐射 dnm 1 dnm 2 dnm dnmi 系数为Ami，则有： dt dt dt dt
Am1nm Am 2 nm
Ami nm
其中N b 为单位体积内b类原子数； ab为a、b原子的碰撞截面； ma 与mb 为两种原子的质量；
当只有一种原子时，其碰撞寿命为：
1
L
1
N a aa
L aa
16 KT ma
气体激光器一般由工作气体a、辅助气体b、c等等组成，则其 碰撞寿命为：
1/L 1/ L
阻尼系数的 物理含义？
16.1 谱线加宽与线型函数
阻尼系数 与原子在E2能级上的自发辐射寿命 2的关系：
前面曾经证明对二能级系统，自发辐射引起的上能级粒子数 变化满足公式：
n2 t n20 exp t / s
其中 1 / A21为高能级粒子平均寿命。则跃迁辐射功率为：
晶格振动对所有激活离子的影响基本 相同，所以这种加宽属于均匀加宽。
自发辐射和无辐射跃迁造 成的谱线加宽是很小的， 晶格振动式主要的均匀加 宽因素。
16.1 谱线加宽与线型函数
4、均匀加宽小结
均匀加宽具有以下的特点： 引起加宽的因素对每个原子都相同； 每个原子发光时，发出整个线型，即对整个分布都有贡
E E0 e
E
t 2 i0 t
e
E0 e
t 2 i0 t
自发辐射的上能级寿命 有限造成！
E2 E1
/ 2
16.1 谱线加宽与线型函数
Yb : YAG激光晶体的谱线：
16.1 谱线加宽与线型函数
量纲：[s]
引入谱线的线型函数g ( , 0 )：
1 2
mc 2
2 2 KT 0
0 0
2
d 0
mc 2
2 2 KT 0
dn 2 0 dn1 0
1
/ 4
洛仑兹线型
由洛仑兹在研究电子谐振时最先 得到的受迫振动的运动微分方程 的解，其形式如下：
f x , x0 ,
1 x x 2 0 1
1 x x 0
2 2
如果将其视为概率密度函数，则 它在统计学中被称为柯西分布。
16.2 非均匀加宽
2、原子数按中心频率的分布
根据分子运动论，其热运动速度服从麦克斯韦统计分布 规律，即在温度T的热平衡状态下，单位体积内z方向速度 v z ~ v z dv z内的原子数：
V
Vz
z
dn v z
mv z2 m n v z dv z n exp dv z 2 KT 2 KT
这个线宽唯一地由原子高能级的平均寿命决定，则用自然加宽 的线宽表示的线型函数为：
N / 2 g , 0 N 2 0 N / 2 1 N 2 s
2
16.1 谱线加宽与线型函数
时间分辨荧光光谱技术进行测量：
1 2
2 mv z 2 KT
dv z
vz 0 1 0 c
0 0 vz c 0 dv c d z 0 0
考虑E2 和E1 能级上的原子数n2 和n1：
c m n e 0 2 KT
碰撞加宽的线型函数为：
2
其中的 L为一原子与其它 原子发生碰撞的时间间隔，等于单位时间内碰撞次数的倒数， 因此与压强、温度、原子碰撞截面有关。
16.1 谱线加宽与线型函数
如果存在a、b两种气体，则：
1
N b ab
L ab
8 KT 1 1 ma mb
激光原理与技术·原理部分
第16讲 均匀加宽、非均匀加宽
16.1 谱线加宽与线型函数
谱线加宽：
从量子学能级的角度来看：
从经典电动力学的角度来看：
谐振子所发出的电磁波：
由测不准原理——不可能同时 测准微观粒子的时间和能量：
rad
e
1
t E
当原子能级寿命→∞时，能 级的宽度→0，原子的有限寿 命会引起能级的展宽，从而 使得发出的光子的频率不再 是单一频率，
由阻尼谐振子公式得到的自发辐射功率为：
dn2 t t / s t / s n e h P0 e P t h 20 dt
P t P0 e t
比较两式得到
s
1
16.1 谱线加宽与线型函数
1 自然加宽线型函数的线宽： N 2 2 s
原子之间的无规“碰撞”造成的 • 非弹性碰撞: 内能转移,等效激发态寿命 基态原子～激发态原子；激发态原子～其它原子或容器管壁 • 弹性碰撞: 自发辐射波列相位发生突变,波列长度
晶体：相邻原子间的偶极相互作用，通过原子晶格热驰豫无 辐射跃迁或者晶格热运动，使运动状态发生改变。
16.1 谱线加宽与线型函数
16.1 谱线加宽与线型函数
自发辐射线宽等于自然加宽线宽，即线型函数半宽度；
g , 0
/ 2 4 2 0
2
2
H / 2 ne 2 G 4m 0 c 2 / 2 0 H
v H / 2
0 0
2
t
e
i 0 t
dt
2
E0 i 0
2
E0 i 0
e
2 i 0
t
0
自发辐射
16.1 谱线加宽与线型函数
则功率随频率的变化：
P E
2 2 2 E0
根据线型函数的定义：
16.2 非均匀加宽
1、多普勒效应
热运动的发光粒子发出的光存在多普勒频移造成加宽
气体中的多普勒加宽和固体物质中的晶格缺陷加宽
一个发光原子的发射谱线中心频率为 0，当原子相对于接收 器静止时，接收器测到的光波频率为 0；
1 vz / c 1 vz / c
当原子相对于接收器以v z 速度 运动时，接收到的光波频率为：
i
si
nri
则当存在无辐射跃迁时自发辐射均匀加宽为： N
1 2
1 1 2 1
16.1 谱线加宽与线型函数
由于碰撞的随机性，原子激发态上的有限寿命只能用统 计的方法来研究，它等价于发生碰撞的平均时间间隔；
L / 2 g L , 0 2 0 L / 2 1 L L
aa
1/ L
ab
1/ L
ac
16.1 谱线加宽与线型函数
3、晶格振动加宽
固体工作物质中，激活离子镶嵌在晶体中，周围的晶格场将 影响其能级的位置。 晶格振动使激活离子处于随时间变化的晶格场中，使激活离子 的能级所对应的能量在一定范围内变化，引起谱线加宽。
温度越高，振动越剧烈，谱线越宽பைடு நூலகம் 对于固体激光工作物质，
16.1 谱线加宽与线型函数
1、自然加宽：
现象：自发辐射谱线具有一定的宽度 H。
自然加宽的经典理论解释：电子的阻尼振动造成的频谱展宽
由阻尼谐振子模型可以得到其辐射场表达式：
为了得到频率域分布，对E作傅立叶变换，并取t从0到的范围，则：
E E t e i0 t dt E0 e
1 2
K 为波尔兹曼常数，T 为绝对温度， n为单位体积内原子数，m为原子 质量，n(v z )为原子数分布。
16.2 非均匀加宽
m dn v z n v z dv z n e 2 KT n 0 d 0 dn 0
nm Ami nmi Am i 1 1 可得： sm A A m mi
如果跃迁发生在Em En 之间， 则自发辐射的自然加宽为 1 1 1 N 2 sm sn
i
16.1 谱线加宽与线型函数
2、碰撞加宽
加宽机制：大量原子、分子之间的无规则碰撞；
原子感受频率
0 时, 共振相互作用最大 ’=0时,共振相互作用最大
沿z向运动
’ =(1-vz/c)
16.2 非均匀加宽
• 速度为Vz的运动原子与z向传播的光波相互作用时，原子表现 出来的中心频率(表观中心频率）为 0
vz 0 1 c
' 0
v z 沿着光波传播方向时： v z 0 v z 沿着光波传播反方向时： v z 0
2
d
2
d
/ 2
2
0
2
1
g , 0
/ 2
2
0
2
16.1 谱线加宽与线型函数
gN , 0
/ 2
2
4 0
2
2
/ 4 2 2 0
激发态原子可以和其它原子或器壁发生碰撞而将自己的内能 变为其它原子的动能或给予器壁，而自己回到基态。 这一过程属于非弹性碰撞，它与自发辐射过程一样，也会引起
激发态寿命的缩短，称为无辐射跃迁。 在固体工作物质中，无辐射跃迁起因于离子和晶格振动相互
作用，离子释放的内能转化为声子能量。
若粒子在Ei 能级的自发辐射跃迁寿命为 si，无辐射跃迁寿命为 1 1 1 nri，则该能级的寿命 i 为：
献，每个原子在形成谱线时的作用与地位都是相同的； 均匀加宽的线型函数：
H / 2 g H , 0 2 2 0 H / 2 ‘’‘’‘ 1 2 1 2 L N L H