初中数学青岛版八年级上册第5章 几何证明初步5.6 几何证明举例-章节测试习题(5)

章节测试题

1.【题文】如图，点、在轴正半轴上，点、分别在轴上，平分

，与轴交于点，．

（）求证：．

（）如图，点的坐标为，点为上一点，且，求的长．

（）如图，过作于点，点为上一动点，点为上一动点，当在上移动、点在上移动时，始终满足

，试判断、、这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．

【答案】见解析．

【分析】（1）利用AAS证明ACD和BCD全等，可以得到AC=BC.(2) 过作于，利用(1)的结论证明EMD和BOD全等，MD和COD全等，利用等量代换可得的长.(3) 由（）可知：，在轴负半轴上取，连接，

证明和全等，≌，可以得到.

【解答】（）证明：∵，

∴，

∵，

∴，

∵平分，

∴，

∵，

∴≌，

∴．

（）解：过作于，

由（）得，

∵，

∴，

∵，

又∵平分，

∴，，∴≌，

∴，

∴，

，

，

，

∴≌，

∴，

∴．

（）解：由（）可知：，在轴负半轴上取，连接，在和中，

，

∴≌，

∴，，

∴，

∵，

∴≌，

∴．

2.【题文】三条边都相等的三角形叫做等边三角形，它的三个角都是．

是等边三角形，点在所在直线上运动，连接，在所在直线的右侧作，交的外角的角平分线所在直线于点．

（）如图，当点在线段上时，请你猜想与的大小关系，并给出证明．

（）如图，当点在线段的反向延长线上，依据题意补全图形，请问上述结论还成立吗？请说明理由．

【答案】（）；（）成立．

【分析】（1）利用等边三角形的特殊条件，证明ABD和ACE全等，AD=AE.【解答】（）证明：∵为等边三角形，

∴，

，

∴，

∵平分，

∴，

∵，

∴，

∴≌，

∴．

（）成立．

证明：∵为等边三角形，∴，

，

∴，

∵平分，

∴，∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴≌，

∴．

3.【题文】如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件：

①AB=DE，②AC=DF，③∠ABC=∠DEF，④BE=CF．请你在其中选3个作为题设，余下的1个作为结论，写一个真命题，并加以证明．

【答案】答案见解答．

【分析】选择①、②、④作为题设，③作为结论，由BE=CF可得BC=EF，再结合已知条件不难证明△ABC≌△DEF，所以证明出∠ABC=∠DEF.

【解答】解：题设：AB=DE，AC=DF，BE=CF，结论：∠ABC=∠DEF．

证明：∵BE=CF，

∴BC=EF，

在△ABC和△DEF中，

,

∴△ABC≌△DEF（SSS）,

∴∠ABC＝∠DEF．

4.【题文】如图1，OA＝1，OB＝3，以A为直角顶点，AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC．

（1）求点C的坐标;

（2）如图2，P为y轴负半轴上的一个动点，当点P向下运动时，以P点为直角顶点，PA为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求PO-DE的值．

【答案】见解析

【分析】（1）如图1，过C作CD⊥x轴于D．构建全等三角形：△CDA≌△AOB （AAS），则AD=OB=3，CD=OA=1，故OD=4，所以易求C（﹣4，﹣1）；

（2）如图2，过点Q作QR⊥y轴于R．则四边形QEOR是矩形，通过证

△OPA≌△RQP（AAS），推知OA=PR，则OR=OP﹣PR=OP﹣OA，所以OP﹣OR=OA=1，即OP﹣QE=1，始终保持不变．

【解答】解：（1）如图，过C作CD⊥x轴于D．

∵∠BAC=90°，∠AOB=90°，∴∠1+∠OAB=∠2+∠OAB=90°，∴∠1=∠2

在△CDA与△AOB中，∵∠CDA=∠AOB，∠1=∠2，CA=AB，∴△CDA≌△AOB （AAS），

∴AD=OB=3，CD=OA=1，∴OD=4，∴C（﹣4，﹣1）；

（2）如图，过点Q作QR⊥y轴于R．

则四边形QEOR是矩形，∴QE=OR．

∵∠APQ=90°，∴∠1+∠QPR=∠2+∠QPR=90°，∴∠1=∠2

在△APO与△PQR中，∵∠AOP=∠PRQ，∠1=∠2，AP=PQ，∴△OPA≌△RQP （AAS），∴OA=PR，∴OR=OP﹣PR=OP﹣OA，∴OP﹣OR=OA=1，即OP﹣QE=1，始终保持不变．

5.【题文】如图，已知AC平分∠BAD，∠1=∠2，求证：AB=AD.

【答案】详见解答.

【分析】要证明AB=AD，证明△ABC≌△ADC即可，根据已知条件不难证明. 【解答】∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠CAD，

∵∠1=∠2，∴∠ABC=∠ADC，

∵在△ABC和△ADC中，,

∴△ABC≌△ADC（AAS），

∴AB=AD.

6.【题文】如图：已知D、E分别在AB、AC上，AB=AC，∠B=∠C， BE=3，求CD的长．

【答案】3

【分析】要求CD，需要证明BE=CD，把BE与CD分别放在两三角形中，证明两三角形全等即可得到，而证明两三角形全等需要三个条件，题中已知一对边和一对角对应相等，观察图形可得出一对公共角，进而利用ASA可得出三角形ABE与三角形ACD全等，利用全等三角形的对应边相等可得证．

【解答】在△ABE和△ACD中，

，

∴△ABE≌△ACD（ASA），

∴BE=CD（全等三角形的对应边相等）．

∴CD=3

7.【题文】如图所示，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC

于点F．

求证：（1）AE=AF；（2）DA平分∠EDF．

【答案】（1）答案见解答；（2）答案见解答．

【分析】