控制系统中连续域—离散化设计-非常全
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第八章 连续域-离散化设计讲解
第八章 连续域-离散化设计8.1设计的基本原理7.4)(109z 811实现：章、：域设计控制器（离散）章）连续域离散化（章）现代控制理论（反馈控制理论：域设计控制器（连续）z D s ⎪⎭⎪⎬⎫→⎩⎨⎧连续域－离散化设计方法：D(s)→ D(z)控制器软件的实现过程：1）根据被控对象的传递函数)(s G ，按连续系统的分析与设计方法设计)(s D稳（稳定性）：稳定裕度（幅值裕度和相角裕度） 准（稳态误差）：位置、速度和加速度误差系数 快（动态性能指标）：谐振峰值、谐振频率、通频带、阻尼比最小拍：在离散系统中，调节时间的长短以采样周期个数表示，一个采样周期称一拍，调节时间最短的系统称最小拍2）根据系统特性和要求选T （9章） 3）D(s)→ D(z)4）标准)(s D 与)(z D 性能对比 5）由)(z D 求差分方程，编软件程序 6）系统调试8.2冲击响应不变法（Z 变换）一、定义：○1)()]([z D s D Z =； 二、特性：1频率坐标变换是线性（T ωω→）变换 说线性不妥，有超越函数e∑+∞-∞=±==±==n s jn j s e z jn j D T s D z D sT j )(1)(*)(ωωωωω s ω太小易混叠，应提高s ω2若)(s D 稳定，则)(z D 稳定3)(s D 与)(z D 的冲击响应相同冲击响应为)(t δ，其拉氏变换为1)]([=t L δ，若输入为冲击响应，则1)]([)(==t L s R δ)]([)]()([)(s D Z s R s D Z z D ==若不为冲击响应，则)]([)]()([)(s D Z s R s D Z z D ≠=4无串联性)]([)]([)]()([2121s D Z s D Z s D s D Z ≠注意：若保持增益不变，根据∑+∞-∞=±==±==n s jn j s e z jn j D T s D z D sT j )(1)(*)(ωωωωω 则)]([)(*s D TZ z D = 三、例题例：已知23)(+=s s D ，T=0.01s ，求)(z D 解：101.02113]23[)(-⨯--⨯=+=z e s Z z D 例：已知2)1()(+=s ss D ，T=1s ，求)(z D解：])1([)(2+=s sZ z D21211222212111)()()()(][d d ])1()1[(d d ])1()1[(d d lim ])()[(d d lim )!1(1T T T s sT sT sT s sTs sT sT s sTq i q q p s i e z TZe e z e z sZTe e z e z zs s e z zs s s s e z zs s s s e z zs F p s s q R i ----=-=-=--→--→---=-+-=-=-++=-++=---=8.3阶跃响应不变法一、定义（1） （2） （3）这种方法的思想是先将模拟控制器)(s D 近似为加零阶保持器的系统，再将该系统用Z 变换方法离散化为数字控制器)(z D 。
计算机控制系统经典设计法——离散设计法
(1)
闭环脉冲传递函数的确定
典型输入的z变换表达式
R( z )
A( z ) (1 z 1 ) q
误差E ( z )的脉冲传递函数
系统的静态误差为
E ( z ) R( z ) Y ( z ) Φe ( z ) 1 Φ( z ) R( z ) R( z )
A( z )(1 Φ( z )) (1 z 1 )－(1 z 1 ) 2 z 1－z 2
1 Φ( z ) 0.5434 z 1 1 0.5 z 1 1 0.3679 z 1 D( z ) G ( z ) 1 Φ( z ) (1 z 1 )(1 0.718 z 1 ) z 1 1 2 1 E ( z ) (1 Φ( z )) R( z ) (1 z ) z (1 z 1 ) 2
二拍以后，系统输出等于输入信号
(3) 对单位加速度输入信号
Φ( z ) 1 (1 z 1 )3 3z 1－3z 2＋z 3
1 0.8154 （ 1－z 1＋ z 2） 1 0.3679 z 1 1 Φ( z ) 3 D( z ) G( z ) 1 Φ( z ) (1 z 1 ) 2 (1 0.718 z 1 )
R( z )
E( z)
D( z )
G( z )
Y ( z)
1 Φ( z ) D( z ) G ( z ) 1 Φ( z )
要点：如何把系统的性能指标转换为闭环特性Φ( z )，解出的D( z )能否 物理实现以及系统能否保证稳定。
5
R( z )
E( z)
D( z )
G( z )
Y ( z)
连续域-离散化设计
D(s)
r(t)
e(t) T
e(k)
u(k)
u(t)
y(t)
D(z)
T
H0(s)
G(s)
离散化方法： 离散化方法： 1. 冲击响应不变法
二、特性： 特性：
连续控制器的离散化
Z[D(s)] = D(z)
1、频率坐标变换是线性（ ω → ωT）变换 、频率坐标变换是线性（ 2、若 D(s) 稳定，则 D(z) 稳定 、 稳定，
D( z ) ≈ D( s )
1 z 1 s= T
连续控制器的离散化
离散化方法： 离散化方法： 1. 冲击响应不变法 2. 阶跃响应不变法 3. 一阶差分近似法
D( z ) ≈ D( s )
1 z 1 s= T
连续控制器的离散化
离散化方法： 离散化方法：
Ks (s + z1)(s + z2 )(s + zm ) 零极点匹配法： 4. 零极点匹配法： D(s) = (s + p1)(s + p2 )(s + pn )
s
稳定域
jω
z
σ
极点
Pi
e
piT
D(s) 与 D(z) 的冲击响应相同 3、 、
冲击响应为δ(t) ，其拉氏变换为 L[δ (t)] = 1 若输入为冲击响应 L[δ (t)] = 1
D(z) = Z[D(s)R(s)] = Z[D(s)]
4、无串联性 Z[D (s)D (s)] ≠ Z[D (s)]Z[D (s)] 、 1 2 1 2
例：已知 D(s) = 解：
3 ，T=0.01s，求 D(z) ， s+2
3 1 D(z) = Z[ ] = 3× s+2 1 e 2×0.01 z 1
r(t)
e(t) T
e(k)
u(k)
u(t)
y(t)
D(z)
T
H0(s)
G(s)
离散化方法： 离散化方法： 1. 冲击响应不变法
二、特性： 特性：
连续控制器的离散化
Z[D(s)] = D(z)
1、频率坐标变换是线性（ ω → ωT）变换 、频率坐标变换是线性（ 2、若 D(s) 稳定，则 D(z) 稳定 、 稳定，
D( z ) ≈ D( s )
1 z 1 s= T
连续控制器的离散化
离散化方法： 离散化方法： 1. 冲击响应不变法 2. 阶跃响应不变法 3. 一阶差分近似法
D( z ) ≈ D( s )
1 z 1 s= T
连续控制器的离散化
离散化方法： 离散化方法：
Ks (s + z1)(s + z2 )(s + zm ) 零极点匹配法： 4. 零极点匹配法： D(s) = (s + p1)(s + p2 )(s + pn )
s
稳定域
jω
z
σ
极点
Pi
e
piT
D(s) 与 D(z) 的冲击响应相同 3、 、
冲击响应为δ(t) ，其拉氏变换为 L[δ (t)] = 1 若输入为冲击响应 L[δ (t)] = 1
D(z) = Z[D(s)R(s)] = Z[D(s)]
4、无串联性 Z[D (s)D (s)] ≠ Z[D (s)]Z[D (s)] 、 1 2 1 2
例：已知 D(s) = 解：
3 ，T=0.01s，求 D(z) ， s+2
3 1 D(z) = Z[ ] = 3× s+2 1 e 2×0.01 z 1
控制系统中连续域—离散化设计 非常全
z
1 1 1 (1 Ts) 1 Ts 2 2 (1 Ts)
s j
1 1 (1 T )2 (T )2 z 2 4 (1 T )2 (T )2
2
②若D(s)稳定，则D(z)一定稳定 ③变换前后，稳态增益不变。 ④离散后控制器的时间响应与频率响 应，与连续控制器相比有相当大的 畸变。
z e sT 零、极点分别按
D( s)
s
D( z )
z 1
• 也可选择某关键频率处的幅频相等，即
D( j1 ) D(e j1T )
14
5. 零极点匹配法
(2)主要特性
① 零极点匹配法要求对D(s)分解为极零点形式，且需 要进行稳态增益匹配，因此工程上应用不够方便。 ② 由于该变换是基于z变换进行的，所以可以保证D(s) 稳定，D(z)一定稳定。 ③ 当D(s)分子阶次比分母低时，在D(z)分子上匹配有 (z+1)因子，可获得双线性变换的效果，即可防止频 率混叠。
13
5. 零极点匹配法
(1)离散化方法
D( s ) k ( s zi )
(s p )
i n
m
z e sT D( z )
k1 ( z e ziT )
(z e
m
m
piT
)
( z 1) n m
特点：
– 匹配 – 若分子阶次m小于分母阶次n，离散变换时，在D(z)分子上加 (z+1)n-m因子 – 确定D(z)的增益k1的方法： D(s) s0 D( z) z 1 • 按右式来匹配 • 若D(s)分子有s因子，可依高频段增益相等原则确定增益,即
T (1 z 1 ) U ( z) 2 1 D( z ) 2 ( z 1) E( z) 1 z 1 T ( z 1)
计算机控制06离散化设计与连续化设计方法
计算机控制06离散化设计与连续化设计方法离散化设计方法是指将连续系统离散化为离散系统的设计方法。
在离散化设计中，连续系统的时间和状态被离散化成一系列离散时间和状态。
离散化设计的基本原理是将连续时间转换为离散时间，将连续状态转换为离散状态。
离散化设计的方法主要包括离散化采样和离散化控制。
离散化采样是指将连续时间变量转换为离散时间变量的方法。
常见的采样方式有周期采样和非周期采样。
周期采样是指以固定时间间隔对连续时间进行采样，而非周期采样是指根据需要对连续时间进行不规则的采样。
离散化采样的目的是为了得到连续系统在离散时间点上的状态。
离散化控制是指将连续控制转换为离散控制的方法。
离散化控制的关键是将连续时间域的控制器转换为离散时间域的控制器，以实现对离散系统的控制。
离散化控制的常用方法包括脉冲响应、零阶保持和减少模型等。
离散化设计方法在很多领域都有应用。
在工业领域，离散化设计可以应用于过程控制系统、机器人控制系统和自动化生产线等。
在交通系统中，离散化设计可以应用于交通信号控制系统和车辆路线规划等。
在电力系统中，离散化设计可以应用于电力系统调度和电网控制等。
离散化设计方法可以提高系统的控制性能和稳定性，并且可以减少系统的复杂度和计算量。
连续化设计方法是指将离散系统连续化的设计方法。
在连续化设计中，离散系统的时间和状态被连续化为连续时间和状态。
连续化设计的基本原理是将离散时间转换为连续时间，将离散状态转换为连续状态。
连续化设计的方法主要包括插值方法和逼近方法。
插值方法是指根据已有离散数据点的值，通过插值技术推导出在两个离散数据点之间的连续数据点的值。
插值方法的常见技术有线性插值、多项式插值和样条插值等。
插值方法的目的是为了得到在离散系统状态之间的连续状态。
逼近方法是指通过逼近离散时间的函数来表示离散状态之间的连续状态。
逼近方法的常见技术有函数逼近、泰勒展开和傅里叶级数展开等。
逼近方法的目的是为了得到在离散系统状态之间的连续时间。
第5章数字控制系统的连续——离散化设计-PPT精品文档
说明： 连续——离散化设计是一种近似的设计方法：
由D(s)到D(z)的转换是一种近似过程； 在设计中，没有考虑保持器对系统的影响。（零保带来T/2
的相位滞后，使系统闭环性能变坏。因此连续——离散化设 计的系统，要求有较小的采样周期T。） 本章重点： 1. 由D(s)到D(z)的多种近似方法。 2. 检验所设计的数控系统的性能。
改进的双线性变换为 D (z) D (s)
(z 1) 0 s tg ( T/ 2) (z 1) 0
5.3 匹配Z变换（又称零极点匹配、根匹配）
设计准则：直接将D(s)的零极点由Z变换 z=esT 映射到Z 平面上，成为D(z)的零极点。
K ( s z K ( z z s i) z i) 1 1 D ( s ) ni D ( z ) ni ( sp ( zp i) i)
1( t )
D(s)
u(t )
1( t )
1 * (t )
u * (t )
D(z)
分析保持器等效法的特点：
D(s)与D(z)极点按Z变换定义一一对应 若D(s)稳定，D(z)稳定；
z=esT；
D(z)与T有关；
D(s)与D(z)频率特性不同； D(s)与D(z)零点不是按
z=esT 一一对应的。
设计准则为： 波 使 器 D ( s 模 ) 和 拟 数 滤 字滤 D ( z ) 波 在所要求的频 有 率 相 点 同 上 的 具 频率特性 即 D ( s )sj D ( z )z T。 0 0 ej
2 T 0 2 ( ej 1 ) T 0 j A 0 A j T 0 tg ( T /2 )2 T ( e 1 ) 0
第5章 数字控制系统的 连续——离散化设计
连续域-离散化设计
D(z)
Kz(z
ez1T )( z ez2T ) ( z ( z e p1T )( z e p2T )
e zmT )( z 1)(nm1) ( z e pnT )
5. 双线性变换法：
D(z)
D(s)
s
2 T
1 1
z 1 z 1
D(z) D(s) sz1 T
二、特点
1、直接代换，变换方便 2、整个s左半平面映射到z平面圆心为（1/2，0）半径为 1/2的单位圆
3、D(z)和D(s有) 相同稳定性
4、 D(z)频率轴发生畸变
•
例：D(s)
(s
s 1)2
T=1s，求 D(z)
s D(z)
(s 1)2 s1z1 T
连续域离散化设计连续系统离散化matlab连续系统离散化连续系统离散化方法连续变量离散化连续数据离散化连续传递函数离散化连续变量和离散变量离散和连续离散数据和连续数据
第八章 连续域-离散化设计
第一节 设计的基本原理
一、连续化设计的基本思想
把整个控制系统看成是模拟系统，利用模拟系统 的理论和方法进行分析和设计，得到模拟控制器后 再通过某种近似，将模拟控制器离散化为数字控制 器，并由计算机来实现。
第五节 零极点匹配变换法
零极点匹配规则：
1 G(s) 的所有的极点和所有的有限值零点按照 z eTs 变换
2 G(s) 所有在 s 处的零点变换成在 z 1
处零点，即添加 (1 z1 )nm 项。
3 要保证变换前后增益不变，需进行增益匹配：低通通过
G(s) G(z)
s0
例
s D(s) (s 1)2
最新第5章数字控制系统的连续——离散化设计PPT课件
（5）再设计
重新选择采样周期。
当T0.5s时 ， D(z)8.0z6(4z0.60.096551)， 2
Gd(z)(0z.011)2((zz300.9.9581))3， 2H(z)
0.099(1z40.98)3， z2 1.507z40.704
p1,2 0.839426.08，
相应于 0.36，n 0.97的 5 连续系统，
2 增益 Kz的设计准 : 则是 D(s)与D(z)在 同 一 类 型 响 信 应 号 的 输 终 入 值 下
限 值 ） ， 在 值 采 相 样 等 点 。 上 的
li s( m s D ) R ( s ) li ( z m 1 ) D ( z ) R ( z )
s 0
z 1
注意，匹配 Z变换在如下情况下不宜采用：若 D(s) 具
有共轭复数零极点 s=±jω0 ，且其位于S主频带之外，则
设计之D(z) 将产生混叠。
零极点匹配说明：
1. D (s)分子分m 母 n同 ，阶 则， 零极 z变 点 换 一 2. D(s)分子分母不同 m阶n，
(1)将nm个 零 点 匹z配 0处 到， 相 当 于D(认 s)在为实 轴
处 有 nm个 零 点 。
810.25s
2 .5
10.1s
s2
-40 -20
4 5.5
10
ω
-40
（ 1）选择采 T样周期
从系统 bo 开 图 de环 求得开环剪 c 切 5.5r频 a/ds， 率 按经验 s 取 6~1 0c，考虑实T 时 0性 .01， s。 5 取
（ 2 ） D ( z ) 设 D ( s ) 8 计 1 0 .2 s 5 2s 0 4 1 0 .1 s s 10
重新选择采样周期。
当T0.5s时 ， D(z)8.0z6(4z0.60.096551)， 2
Gd(z)(0z.011)2((zz300.9.9581))3， 2H(z)
0.099(1z40.98)3， z2 1.507z40.704
p1,2 0.839426.08，
相应于 0.36，n 0.97的 5 连续系统，
2 增益 Kz的设计准 : 则是 D(s)与D(z)在 同 一 类 型 响 信 应 号 的 输 终 入 值 下
限 值 ） ， 在 值 采 相 样 等 点 。 上 的
li s( m s D ) R ( s ) li ( z m 1 ) D ( z ) R ( z )
s 0
z 1
注意，匹配 Z变换在如下情况下不宜采用：若 D(s) 具
有共轭复数零极点 s=±jω0 ，且其位于S主频带之外，则
设计之D(z) 将产生混叠。
零极点匹配说明：
1. D (s)分子分m 母 n同 ，阶 则， 零极 z变 点 换 一 2. D(s)分子分母不同 m阶n，
(1)将nm个 零 点 匹z配 0处 到， 相 当 于D(认 s)在为实 轴
处 有 nm个 零 点 。
810.25s
2 .5
10.1s
s2
-40 -20
4 5.5
10
ω
-40
（ 1）选择采 T样周期
从系统 bo 开 图 de环 求得开环剪 c 切 5.5r频 a/ds， 率 按经验 s 取 6~1 0c，考虑实T 时 0性 .01， s。 5 取
（ 2 ） D ( z ) 设 D ( s ) 8 计 1 0 .2 s 5 2s 0 4 1 0 .1 s s 10
5.1连续域设计离散化方法
9
1.一阶向后差分法
1) 离散化公式
•实质是将连续域中的微分用一阶向后差分替换．
D(z) D(s) s1z1 T
D(s) U (s) / E(s) 1/ s
t
du(t) / dt e(t),u(t) 0 e(t)dt
du(t) / dt {u(kT) u[(k 1)T]}/T u(kT ) u[(k 1)T ] Te(kT )
平面为上述小圆的内部。
z 1 2 1 (1T )2 (T )2 2 4 (1T )2 (T )2
11
1.一阶向后差分法
② 由上述映射关系可见，若D(s)稳定，则D(z)一定稳定。
③ 变换前后，稳态增益不变。
D(s) s0 D(z) z1
④ 因s平面稳定域被映射为单位圆中的一个小圆，因此离散后控制器 的时间响应与频率响应，与连续控制器相比有相当大的畸变。 3）应用 •变换较为方便。 •采样周期较大时，这种变换的映射关系畸变较为严重，变 换精度较低，工程应用受到限制。
例4-1
12
1） 离散化公式
2. 一阶向前差分法
实质是将连续域中的微分用 一阶向前差分替换。
D(z) D(s) s z1 T
D(s) U (s) / E(s) 1/ s
t
du(t) / dt e(t),u(t) 0 e(t)dt
du(t) / dt {u[(k 1)T] u(kT)}/T
于4~10倍以上，通常各种离散方法都能获得较好的逼真度。 • 设计者应在获得满意的连续域控制器后，交替试验几种等
效离散控制器，只有全部计算机数字仿真结果都满意时， 设计才算完成。 • 由于双线性变换法、预修正双线性变换法及零极点匹配法 具有较好的特性，通常会给出满意的结果，所以在设计时 应当是首先选用的。 • 应用举例 • 应用举例
1.一阶向后差分法
1) 离散化公式
•实质是将连续域中的微分用一阶向后差分替换．
D(z) D(s) s1z1 T
D(s) U (s) / E(s) 1/ s
t
du(t) / dt e(t),u(t) 0 e(t)dt
du(t) / dt {u(kT) u[(k 1)T]}/T u(kT ) u[(k 1)T ] Te(kT )
平面为上述小圆的内部。
z 1 2 1 (1T )2 (T )2 2 4 (1T )2 (T )2
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1.一阶向后差分法
② 由上述映射关系可见，若D(s)稳定，则D(z)一定稳定。
③ 变换前后，稳态增益不变。
D(s) s0 D(z) z1
④ 因s平面稳定域被映射为单位圆中的一个小圆，因此离散后控制器 的时间响应与频率响应，与连续控制器相比有相当大的畸变。 3）应用 •变换较为方便。 •采样周期较大时，这种变换的映射关系畸变较为严重，变 换精度较低，工程应用受到限制。
例4-1
12
1） 离散化公式
2. 一阶向前差分法
实质是将连续域中的微分用 一阶向前差分替换。
D(z) D(s) s z1 T
D(s) U (s) / E(s) 1/ s
t
du(t) / dt e(t),u(t) 0 e(t)dt
du(t) / dt {u[(k 1)T] u(kT)}/T
于4~10倍以上，通常各种离散方法都能获得较好的逼真度。 • 设计者应在获得满意的连续域控制器后，交替试验几种等
效离散控制器，只有全部计算机数字仿真结果都满意时， 设计才算完成。 • 由于双线性变换法、预修正双线性变换法及零极点匹配法 具有较好的特性，通常会给出满意的结果，所以在设计时 应当是首先选用的。 • 应用举例 • 应用举例
连续系统离散化方法
jωT 设 s = jΩ ， z = e ，代入
s=
2 1 − z −1 T 1 + z −1 得到
2 1 − e − jωT jΩ = T 1 + e − jωT ωT 2 = j tan T 2
（5.18）
24
第 2 章 计算机控制系统的信号转换
于是
Ω=
2 ωT tan T 2
（5.19）
上式表明了模拟频率 Ω 和离散频率 ω 之间的非线性关系。当 ωT 取值 0 ~ π 时， Ω 的值 为 0 ~ ∞ 。这意味着，模拟滤波器的全部频率响应特性被压缩到离散滤波器的 0 < ωT < π 的 频率范围内。这两种频率之间的非线性特性，使得由双线性变换所得的离散频率响应产生畸 变。这种缺点可以通过预畸变的办法来补偿。 补偿的基本思想是：在 D ( s ) 变换成 D ( z ) 之前，将 D ( s ) 的断点频率预先加以修正（预畸 变） ，使得修正后的 D ( s ) 变换成 D ( z ) 时正好达到所要求的断点频率。 预畸双线性变换的特点为： （1） 将 S 平面左半平面映射到 Z 平面单位圆内。 （2） 稳定的 D ( s ) 变换成稳定的 D ( z ) 。 （3） 没有混叠现象。 （4）
ω =∞
σ
ω = ωB
ω =0
Re z =1
图 5-6 双线性变换 s 平面与 z 平面的对应关系 双线性变换的主要特点是： ①如果 D(s)稳定，则相应的 D(z)也稳定；D(s)不稳定，则相应的 D(z)也不稳定。 ②所得 D(z)的频率响应在低频段与 D(s)的频率响应相近，而在高频段相对于 D(s)的频率 响应有严重畸变。
T (1+ z −1 )
1 s
10 连续域-离散化设计(1).
根据系统的性能指标要求，选择采样频率，并设计抗混 叠的前置滤波器； 考虑ZOH 的相位滞后，根据性能指标的要求和连续域设 计方法，设计数字控制算法的等效传递函数Ddc(s) ； 选择合适的离散化方法，将Ddc(s) 离散化，得到D(z)，并 使二者尽量等效；
检验系统闭环性能，如指标满足，进行下一步；否则重
4. 向后差分法
School of Automation Engineering
第十节 连续域－离散化设计（1）
一 设计原理和步骤
1. 基本思想
◆计算机控制系统是由计算机及相应的信号变换装置取 代了常规的模拟控制器，基于此，将原来的模拟控 制规律离散化，变为数字算法，并由计算机实现， 便可完成计算机控制系统的设计，即所谓连续域－ 离散化设计。 ◆连续域－离散化设计是一种间接设计法，其实质是将 数字控制器部分看作一个整体，并等效为连续传函 De(s)，从而用连续系统理论来设计De(s) ，再将其离 散化而得到 D(z)。
e
sT / 2
1 sT 1 2
e
sT / 2
1 sT ( sT ) 2 1 2 8
将被控对象、执行机构、传感器、前置滤波 器等合在一起构成广义对象 G(s)，则简化结构图：
▲
De(s) Ddc(s) e－sT/2 G(s)
School of Automati
si t u (t ) L1 D(s) Ae i i 1
对u(t)进行等间隔T的采样，得到
si kT u (kT ) Ae i i 1 n
对上式进行z变换，得到
D( z ) Z u (kT )
i 1 n
Ai 1 e
计算机控制系统的连续域-离散化设计
(4) 以下述传递函数为例,证明预修双线性变换方法可以保证在指定频率处连续 环节与等效离散环节频率特性模值与相角相等.
D (s) 10 s 10
令关键频率为 1 10
D ( j1 ) 10 1 0.707 3db 2
频率特性 1 10 模值为 频率特性 1 10 相角为 预修正双线性变换为
D (s) s a
解:该环节没有有限极点,但认为有一个无限极点,因此可得
D( z ) k
( z e aT ) ( z 1)
根据低频增益相等方法确定增益:
D (1) k
k
1 e aT D(0) a 11
2a 1 e aT
因此有
D( z )
2a ( z e aT ) 1 e aT ( z 1)
s s 10 s
s ,取 T=0.02s,关键频率为 1 10 ,预修正双线性变 s 10
10 z 1 10 0.02 z 1 tg 2
0.909( z 1) .频率特性如图 4-1 所示.从图 4-1 可见, ( z 0.817)
低频特性相近,且可以保证在关键频率 1 10 处频率特性相等, 但高频特性相差 较多.
D( z )
12 102
1 D ( j ) tg 1 450 1 10 s 10 s 10 10 z 1 10 10T z 1 tg 2
10 z 1 10T z 1 tg 2
D (e j10T )
10 10 1 j10T 10 10T 10 e 1 jtg 10 1 j 10 j10T 10T 10T e 2 1 tg tg 2 2
计算机控制系统的连续域-离散化设计
--每种变换方法零点、极点的数目; --每种变换方法的应用特点. (2) 要注意,各种变换方法特性不同,各有优缺点. 但不管哪种方法, 变换后所 得等效环节与连续环节特性相比均有畸变,畸变程度与采样周期、环节本身特性 有关,很难说哪种是最好的.但 TUSTIN 变换方法与其它几种方法相比,由于其具 有较好特性,应用较多，一阶向后差分和匹配 z 变换方法也有较多应用。 (3) 各种变换公式本质上都是 z 变换的特殊简化形式，变换后特性优于 z 变 换。Matlab 软件提供了变换的算法和指令。 3）PID 离散方法 PID 控制器作为单输入/单输出系统的一种有效的控制方法已经沿用了很多 年，目前仍然被广泛应用着，由于它同时可以兼顾系统的动态、静态特性而受到 广大控制工程师的青睐。 对于计算机控制系统来说， 主要工作是将如何将连续域 的 PID 控制律离散化以及如何对其进行改进。主要应注意掌如下几方面问题: (1) 要牢记位置式及增量式两种基本 PID 离散公式以及各自的优缺点.一般说 采用增量式算法较为有效，较为简单,但需要增加计算机外的积分过程。应用中， 比例控制器（P 控制）较容易调节；一般很难直接采用微分（D）控制器，积分 （I）控制也需要调节. (2) 要注意利用计算机功能改进数字 PID 算法的几种方法,其中特别注意: --产生积分饱和的机理及抗积分饱和各种方法 , 其中要熟悉积分分离的具体 算法; --为克服 PID 算法中微分控制作用的缺点,常用的改进微分算法; --工程应用时所采用的其它措施. (3) 要注意工业中采用 PID 算法时,主要参数并不是通过理论计算所得,主要 是在对被控过程特性测试的条件下,依经验进行现场调试所得,所以应对几种常用 的 PID 参数整定方法有所了解. 2 重点与难点问题说明 (1) 由于将连续控制系统转换为计算机控制系统时在系统中需加入零阶保持 器,而零阶保持器是一相位滞后环节 , 因此会使系统特性变坏, 为此在连续域设计 时要检查加入零阶保持器后系统特性,如果影响较大则应加入适当的补偿,或者减
5.1连续域设计离散化方法5.15.2
1 T s
z
1
2 T
s
2
1
T 2
1
T 2
j T
2
j T
2
的单位圆周。
•当> 0（s右半平面），映射到z
s j
平面单位圆外 。
•当< 0（s左半平面），映射到z
平面单位圆内 。
z
2
1 1
T 2 T 2
2
2
T
2
T
2
2
2
17
3 双线性变换法(Tustin变换 )
•双线性变换将
3.应用
D(e jT ) s 0 2
1) 这种方法使用方便，且有一定的精度和前述一些好
的特性，工程上应用较为普遍。
2) 这种方法的主要缺点是高频特性失真严重，主要用
于低通环节的离散化，不宜用于高通环节的离散化。
• 例5-3
20
4 修正双线性变换
1. 离散化方法
•修正的目的是满足在某个选定 的关键频率ω1上:
•离散化方法很多
• 数值积分法（置换法） ---一阶向后差分法 ---一阶向前差分法 ---双线性变换法 ---修正双线性变换法
• 零极点匹配法 • 保持器等价法
• z变换法(脉冲响应不
变法)
8
2) 各种离散化方法
• 本节主要内容 1. 一阶向后差分法 2. 一阶向前差分法 3. 双线性变换法（突斯汀-Tustin变换法） 4. 修正双线性变换 5. 零极点匹配法 6. 其他方法 7. 连续域-离散化方法小结 8. 应用举例
1 T2
1 T
2
2
图4-8 向前差分法的映射关系
2) 若D(s)稳定，采用向前差分 法离散化，D(z)不一定稳定。 只有采用较小的采样周期T，方 能保证D(z)稳定。
连续系统的离散化方法及近似解课件
差分方程
离散化后的控制系统可以用差分方程来描述，差分方程是连续时间微分方程在离散时间域 上的对应形式。通过求解差分方程，可以得到离散控制系统的输出响应。
Z变换
Z变换是离散时间信号和系统分析的重要工具，它可以将差分方程转换为代数方程，从而 简化离散系统的分析和设计。
电路模拟中的离散化方法及近似解应用
离散系统
离散系统是指系统状态在时间上 是离散的，即系统的状态变量只 在某些特定的时刻有定义，且在 这些时刻间不发生变化。
连续系统与离散系统的区别与联系
区别
连续系统和离散系统最主要的区别在于时间的连续性。连续系统的时间变量是连 续的，而离散系统的时间变量是离散的。
联系
两者之间存在密切的联系。实际上，许多连续系统可以通过离散化方法转化为离 散系统进行处理，这是因为数字计算机在处理问题时，只能处理离散的时间信号 。反之，离散系统的某些理论和方法也可以用来处理连续系统。
连续系统的离散化方法 及近似解课件
目 录
• 连续系统与离散系统概述 • 连续系统的离散化方法 • 离散系统的近似解法 • 连续系统离散化及近似解的应用案例 • 实验与仿真
01
连续系统与离散系统概述
连续系统与离散系统的定义
连续系统
连续系统是指系统状态在时间上 是连续的，即系统的状态变量在 任何时刻都有定义且随时间连续 变化。
感谢观看
前向差分法：前向差分法使用当前时刻及其前一时刻的输入信号来近似 计算下一时刻的输出信号。这种方法简单直观，但离散化误差相对较大 。
后向差分法：后向差分法使用当前时刻及其下一时刻的输入信号来近似 计算当前时刻的输出信号。相比前向差分法，后向差分法具有较小的离
散化误差。
以上内容即为连续系统的离散化方法及近似解课件的部分内容。在实际 应用中，可以根据具体需求和场景，选择合适的离散化方法和参数，以 实现连续系统的高效、准确离散化处理。
离散化后的控制系统可以用差分方程来描述，差分方程是连续时间微分方程在离散时间域 上的对应形式。通过求解差分方程，可以得到离散控制系统的输出响应。
Z变换
Z变换是离散时间信号和系统分析的重要工具，它可以将差分方程转换为代数方程，从而 简化离散系统的分析和设计。
电路模拟中的离散化方法及近似解应用
离散系统
离散系统是指系统状态在时间上 是离散的，即系统的状态变量只 在某些特定的时刻有定义，且在 这些时刻间不发生变化。
连续系统与离散系统的区别与联系
区别
连续系统和离散系统最主要的区别在于时间的连续性。连续系统的时间变量是连 续的，而离散系统的时间变量是离散的。
联系
两者之间存在密切的联系。实际上，许多连续系统可以通过离散化方法转化为离 散系统进行处理，这是因为数字计算机在处理问题时，只能处理离散的时间信号 。反之，离散系统的某些理论和方法也可以用来处理连续系统。
连续系统的离散化方法 及近似解课件
目 录
• 连续系统与离散系统概述 • 连续系统的离散化方法 • 离散系统的近似解法 • 连续系统离散化及近似解的应用案例 • 实验与仿真
01
连续系统与离散系统概述
连续系统与离散系统的定义
连续系统
连续系统是指系统状态在时间上 是连续的，即系统的状态变量在 任何时刻都有定义且随时间连续 变化。
感谢观看
前向差分法：前向差分法使用当前时刻及其前一时刻的输入信号来近似 计算下一时刻的输出信号。这种方法简单直观，但离散化误差相对较大 。
后向差分法：后向差分法使用当前时刻及其下一时刻的输入信号来近似 计算当前时刻的输出信号。相比前向差分法，后向差分法具有较小的离
散化误差。
以上内容即为连续系统的离散化方法及近似解课件的部分内容。在实际 应用中，可以根据具体需求和场景，选择合适的离散化方法和参数，以 实现连续系统的高效、准确离散化处理。
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②若D(s)稳定，则D(z)一定稳定
z域角频率为D
s域角频率
s 2 (z 1) T (z 1)
z
1 1
T
2 T
2
s s
1 1
T 2 T 2
j T 2
j T 2
s j
z
2
1 1
T 2 T 2
2 2
T 2
T 2
2 2
j A
2 T
1 e jDT 1 e jDT
2 e e jDT / 2
① s平面与z平面映射关系
s j
– 当=0 （s平面虚轴），s平面虚 轴映射到z平面为该小圆的圆周。
– 当> 0（s右半平面），映射到z 平面为上述小圆的外部。
– 当< 0（s左半平面），映射到z 平面为上述小圆的内部。
z 1 2 1 (1T )2 (T )2 2 4 (1T )2 (T )2
比较
图5-7 向前差分矩形积分法
s与z之间的变换关系
s
z 1 T
1 z1 Tz 1
z 1Ts
7
2.一阶向前差分法
(2)主要特性
① s平面与z平面映射关系
②若D(s)稳定，则D(z) 不一定稳定[改进方法是 适当减少采样周期T ]。
z 1Ts 平移放大关系
j
[S] s z 1
T
-1/T
o
Im [Z]
做z变换，得 U (z) z1U (z) TE(z)
比较
D(z) U (z) / E(z) T /(1 z1)
s与z之间的变换关系
图5-3向后差分(矩形积分)法
s (1 z1) / T
z 1 1 sT
5
1. 一阶向后差分法
(2)主要特性
z 1 1 1 (1 Ts) 1 Ts 2 2 (1 Ts)
4
1. 一阶向后差分法
(1)离散化公式
D(z) D(s) s1z1 T
D(s) U (s) / E(s) 1/ s
du(t) / dt e(t)
实质：将连续域中的微分 du(t) / dt [u(kT ) u[(k 1)T ]]/ T
用一阶向后差分替换
u(kT ) u[(k 1)T ] Te(kT )
t
u(t) 0 e(t)dt
实质：将梯形面积 u(k) u(k 1) T [e(k) e(k 1)]
近似代替积分
2
进行z变换，得
U (z) z1U (z) T [E(z) z1E(z)] 2
D(z) U (z) E(z)
T (1 z1) 2
1 z1
2
1 (z 1)
比较
T (z 1)
s与z之间的变换关系
5.1 连续域—离散化设计 5.2 数字PID控制器设计 5.3 控制系统z平面设计性能指标要求 5.4 z平面根轨迹设计 5.5 w’变换及频率域设计
1
5.1.1 设计原理和步骤
• 实质是将数字控制器部分看成是一个整体，其输入和输出都是模拟量， 因而可等效为连续传递函数De(s)。
图5-1计算机控制系统典型组成
第3步：选择合适的离散化方法，将Ddc(s)离散化，获得脉 冲传递函数D(z)，使两者性能尽量等效。
第4步：检验计算机控制系统闭环性能。若满足指标要求， 进行下一步；否则，重新进行设计。
改进设计的途径有： – 选择更合适的离散化方法。 – 提高采样频率。 – 修正连续域设计，如增加稳定裕度指标等。
第5步：将D(z)变为数字算法，在计算机上编程实现。
jDT / 2
T
e e jDT / 2
jDT / 2
图5-10 双线性变换映射关系
2 2 j sin(DT / 2) j 2 tan DT
图5-9 梯形积分法
s 2 (z 1) T (z 1)
1 T s z 2
1 T s 2
9
3.双线性变换法
(2)主要特性
① s平面与z平面映射关系
– 当=0（s平面虚轴)映射为z平面 的单位圆周。
– 当> 0（s右半平面），映射到z 平面单位圆外 。
– 当< 0（s左半平面），映射到z 平面单位圆内 。
(1)离散化公式 D(z) D(s) s z1 T
D(s) U (s) / E(s) 1/ s
du(t) / dt e(t)
实质：将连续域中的微分 du(t) / dt {u[(k 1)T ] u(kT )}/ T 用一阶向前差分替换
做z变换，得 E(z) (z 1)U (z) / T
D(z) U (z) / E(z) T /(z 1)
A/D输出与输入关系：
R* (
j )
1 T
n
R(
j
jns )
系统低通且 采样频率较高
R *( j) 1 R( j)
T
R *( j) / R( j) 1
T
计算机实现算法D(z)的计算表示：D(e jT )
D/A的频率特性： G( j) T sin(T / 2) e jT /2 Te jT /2 T / 2
②若D(s)稳定，则D(z)一定稳定 ③变换前后，稳态增益不变。
④离散后控制器的时间响应与频率响
D(s) s0 D(z) z1
应，与连续控制器相比有相当大的 畸变。
(3) 应用
由于这种变换的映射关
系畸变严重，变换精度较低。
所以，工程应用受到限制，
用得较少。
图5-4 向后差分法的映射关系
6
2. 一阶向前差分法
3
5.1.2 各种离散化方法
• 最常用的表征控制器特性的主要指标：
– 零极点个数；
– 系统的频带； – 稳态增益； – 相位及增益裕度；
D(s) 等效离散
– 阶跃响应或脉冲响应形状；
– 频率响应特性。
D(z)
离散化方法
• 数值积分法
一阶向后差法 一阶向前差法 双线性变换法及修正双线性变换法
• 零极点匹配法 • 保持器等价法 • z变换法(脉冲响应不变法)
等效连续 传递函数
De (
j )
1 T
D(e jT
)Te jT / 2
D(e jT
)e jT / 2
De (s) Ddc (s)esT / 2
设计时常近似为：
esT / 2
1
1 sT / 22
连续域-离散化设计的步骤如下：
第1步：根据系统的性能，选择采样频率，并设计抗混叠前 置滤波器。
第2步：考虑ZOH的相位滞后，根据系统的性能指标和连续 域设计方法，设计数字控制算法等效传递函数Ddc(s)。
1
oo
Re
向前差分法的映射关系图
(3) 应用
由于这种变换的映射关系畸变严重，不能保证D(z)一定 稳定，或者如要保证稳定，要求采样周期较小，所以应用较少。
8
3.双线性变换法（突斯汀-Tustin变换法）
(1)离散化公式 D(z) D(s) s 2 z1 T z1
D(s) U (s) / E(s) 1/ s
z域角频率为D
s域角频率
s 2 (z 1) T (z 1)
z
1 1
T
2 T
2
s s
1 1
T 2 T 2
j T 2
j T 2
s j
z
2
1 1
T 2 T 2
2 2
T 2
T 2
2 2
j A
2 T
1 e jDT 1 e jDT
2 e e jDT / 2
① s平面与z平面映射关系
s j
– 当=0 （s平面虚轴），s平面虚 轴映射到z平面为该小圆的圆周。
– 当> 0（s右半平面），映射到z 平面为上述小圆的外部。
– 当< 0（s左半平面），映射到z 平面为上述小圆的内部。
z 1 2 1 (1T )2 (T )2 2 4 (1T )2 (T )2
比较
图5-7 向前差分矩形积分法
s与z之间的变换关系
s
z 1 T
1 z1 Tz 1
z 1Ts
7
2.一阶向前差分法
(2)主要特性
① s平面与z平面映射关系
②若D(s)稳定，则D(z) 不一定稳定[改进方法是 适当减少采样周期T ]。
z 1Ts 平移放大关系
j
[S] s z 1
T
-1/T
o
Im [Z]
做z变换，得 U (z) z1U (z) TE(z)
比较
D(z) U (z) / E(z) T /(1 z1)
s与z之间的变换关系
图5-3向后差分(矩形积分)法
s (1 z1) / T
z 1 1 sT
5
1. 一阶向后差分法
(2)主要特性
z 1 1 1 (1 Ts) 1 Ts 2 2 (1 Ts)
4
1. 一阶向后差分法
(1)离散化公式
D(z) D(s) s1z1 T
D(s) U (s) / E(s) 1/ s
du(t) / dt e(t)
实质：将连续域中的微分 du(t) / dt [u(kT ) u[(k 1)T ]]/ T
用一阶向后差分替换
u(kT ) u[(k 1)T ] Te(kT )
t
u(t) 0 e(t)dt
实质：将梯形面积 u(k) u(k 1) T [e(k) e(k 1)]
近似代替积分
2
进行z变换，得
U (z) z1U (z) T [E(z) z1E(z)] 2
D(z) U (z) E(z)
T (1 z1) 2
1 z1
2
1 (z 1)
比较
T (z 1)
s与z之间的变换关系
5.1 连续域—离散化设计 5.2 数字PID控制器设计 5.3 控制系统z平面设计性能指标要求 5.4 z平面根轨迹设计 5.5 w’变换及频率域设计
1
5.1.1 设计原理和步骤
• 实质是将数字控制器部分看成是一个整体，其输入和输出都是模拟量， 因而可等效为连续传递函数De(s)。
图5-1计算机控制系统典型组成
第3步：选择合适的离散化方法，将Ddc(s)离散化，获得脉 冲传递函数D(z)，使两者性能尽量等效。
第4步：检验计算机控制系统闭环性能。若满足指标要求， 进行下一步；否则，重新进行设计。
改进设计的途径有： – 选择更合适的离散化方法。 – 提高采样频率。 – 修正连续域设计，如增加稳定裕度指标等。
第5步：将D(z)变为数字算法，在计算机上编程实现。
jDT / 2
T
e e jDT / 2
jDT / 2
图5-10 双线性变换映射关系
2 2 j sin(DT / 2) j 2 tan DT
图5-9 梯形积分法
s 2 (z 1) T (z 1)
1 T s z 2
1 T s 2
9
3.双线性变换法
(2)主要特性
① s平面与z平面映射关系
– 当=0（s平面虚轴)映射为z平面 的单位圆周。
– 当> 0（s右半平面），映射到z 平面单位圆外 。
– 当< 0（s左半平面），映射到z 平面单位圆内 。
(1)离散化公式 D(z) D(s) s z1 T
D(s) U (s) / E(s) 1/ s
du(t) / dt e(t)
实质：将连续域中的微分 du(t) / dt {u[(k 1)T ] u(kT )}/ T 用一阶向前差分替换
做z变换，得 E(z) (z 1)U (z) / T
D(z) U (z) / E(z) T /(z 1)
A/D输出与输入关系：
R* (
j )
1 T
n
R(
j
jns )
系统低通且 采样频率较高
R *( j) 1 R( j)
T
R *( j) / R( j) 1
T
计算机实现算法D(z)的计算表示：D(e jT )
D/A的频率特性： G( j) T sin(T / 2) e jT /2 Te jT /2 T / 2
②若D(s)稳定，则D(z)一定稳定 ③变换前后，稳态增益不变。
④离散后控制器的时间响应与频率响
D(s) s0 D(z) z1
应，与连续控制器相比有相当大的 畸变。
(3) 应用
由于这种变换的映射关
系畸变严重，变换精度较低。
所以，工程应用受到限制，
用得较少。
图5-4 向后差分法的映射关系
6
2. 一阶向前差分法
3
5.1.2 各种离散化方法
• 最常用的表征控制器特性的主要指标：
– 零极点个数；
– 系统的频带； – 稳态增益； – 相位及增益裕度；
D(s) 等效离散
– 阶跃响应或脉冲响应形状；
– 频率响应特性。
D(z)
离散化方法
• 数值积分法
一阶向后差法 一阶向前差法 双线性变换法及修正双线性变换法
• 零极点匹配法 • 保持器等价法 • z变换法(脉冲响应不变法)
等效连续 传递函数
De (
j )
1 T
D(e jT
)Te jT / 2
D(e jT
)e jT / 2
De (s) Ddc (s)esT / 2
设计时常近似为：
esT / 2
1
1 sT / 22
连续域-离散化设计的步骤如下：
第1步：根据系统的性能，选择采样频率，并设计抗混叠前 置滤波器。
第2步：考虑ZOH的相位滞后，根据系统的性能指标和连续 域设计方法，设计数字控制算法等效传递函数Ddc(s)。
1
oo
Re
向前差分法的映射关系图
(3) 应用
由于这种变换的映射关系畸变严重，不能保证D(z)一定 稳定，或者如要保证稳定，要求采样周期较小，所以应用较少。
8
3.双线性变换法（突斯汀-Tustin变换法）
(1)离散化公式 D(z) D(s) s 2 z1 T z1
D(s) U (s) / E(s) 1/ s