控制工程--频率特性分析(1)

1
A( ) K
1 T12 2 1

1
jT1 1 jT2 1

1
(T1 T2 ) ( ) arctgT1 arctgT2 arctg 1 T1T2 2
T22 2 1
当＝0时， A( ) K , ( ) 0 1 当＝ 时，A( ) K T1T2 ， ( ) 900 T1T 2 T1 T2
0
当＝时， A( ) 0,
( ) 1800
1 T1T2
频率特性与负虚轴的交点频率为
交点坐标是
(0, jK
T1T2 T1 T2
)
Im

0
K
0
Re
1 T1T2
(0, jk
T1T2 T1 T2
)
例2 系统极坐标图
例3 已知系统的开环传递函数如下式试绘制该系统的奈奎斯 特图。 K
Im
K T
T
T
0
T
K
K T
Re
例4 极坐标图
二、乃氏图的一般形状
设线性定常系统的开环传递函数为：
G (s) K ( 1s 1)( 2 s 1) ( m s 1) v s (T1s 1)(T2 s 1) (T s 1) K ( i s 1) s v (Tk s 1)
§5.3 反馈控制系统的开环频率特性 (一)系统开环乃氏图的绘制
主要知识点
• 回顾：典型环节乃氏图 • 系统乃氏图的绘制（PPT,P15）
一、典型环节的伯德图 1.比例环节
Im
K
0
0
放大环节的极坐标图
Re
2.积分环节
Im

0
90
0
Re
0
积分环节的极坐标图
3.惯性环节
例1已知系统的开环传递函数如下，试绘制系统开环频率特性的 K 极坐标图。
G( s) H ( s)
s (Ts 1)
解：频率特性
A( ) K
1


1 1 G ( j ) H ( j ) K j jT 1 1
T 1
2 2
() 90 arctgT
0
当＝0时， ( ) , ( ) 900 A
KT 1 A , ( ) 1350 当＝ 时， ( ) T 2
当＝时， ) 0, A(
( ) 1800
求渐近线 当
Re G( j ) H ( j ) KT
Im
0
KT jK G( j )H( j ) 2 2 T 1 ( T 2 2 1 )
振荡环节的幅频特性
为截止频率b ；频率大于
b后，输出幅值衰减很快。
当阻尼比 1 时，此时振荡环节可等效成两个不同时间 常数的惯性环节的串联，即
1 G( s) T1s 1T2 s 1

1
7.二阶微分环节
1 Im


2
1
2
0.4
0
0
1
Re
二阶微分环节极坐标图
2 T ( ) 90 arctg 1 T 2 2
0
0， A( ) , ( ) 90
1 , T
0
KT 0 A( ) , ( ) 180 2
,
A( ) 0, ( ) 2700
2 KT (1 T 2 2 ) K A( ) 2 2 2 j 2 2 3 2 2 4 T (1 T ) 4 T (1 T 2 2 )2
Im
0.5
450

0
0 1 Re
1/ T
惯性环节的极坐标图
注 意
惯性环节是一个低通滤波环节 和相位滞后环节
推广：当惯性环节传递函数的分子是常数K时，即
G ( j )
的实轴下方半个圆周。
K K K 时，其频率特性是圆心为 ( , 0) ，半径为 jT 1 2 2
K 2 K u ( ) 2 v( ) 2
Im G( j ) H ( j)
KT

0
Re


0
例1 极坐标图
例2 已知系统的开环传递函数为
1 1 G( s) H (s) K T1s 1 T2 s 1
解：频率特性
(T1 T2 0，图.
G ( j ) H ( j ) K
A( ) K
当T 时
A( ) K K , ( ) arctg arctgT 0 T

T K , ( ) arctg arctgT 0
当T 时
A( ) K K , ( ) arctg arctgT 0 T
0.6KT
例3 极坐标图
练习： 例4-1、某单位反馈系统的开环传函为：
K G(s) s(T1s 1)(T2 s 1) K、T1、T2 0
试概略绘制系统开环幅相图。 例4-2、已知单位反馈系统开环传递函数
G( s) K s 2 (T1s 1)(T2 s 1)
，试绘制该系统的乃氏图。 例4-3、某单位反馈系统的开环传函为：
k 1 i 1 n m
其开环频率特性为：
G ( j ) K ( j i 1) ( j )
i 1 n v m
( jT
k 1
k
1)
Im
v3
K
Im
nm 3
Re
v2
0
nm 2
0
Re
n m 1 v 1
(b) 时的极坐标图
系统的极坐标图
Im
0
A( ) 0, ( ) 1800.

n n n n
r 大
1
Mr
Re 0
小
r
振荡环节的极坐标图
振荡环节的幅频特性和相频特性均与阻尼比 有关，当阻尼比 较小时，会产生谐振，谐振峰值 M (M 1)和谐振频率 r r r 由幅频特性的极值方程解出。
当
求渐近线
0
Re G( j ) H ( j ) 2 KT
Im 0
交点坐标是

Im G( j) H ( j)
1 T
KT ( , 0) 2
0.85
0.5
0.15 I m
3.3KT
1.7KT
KT

0.3KT
0
Re
(a) 0 时的极坐标图
A( )
A(w)的数值由 A(0)下降3dB 时的频率
在 0 r 的范围内，随着
的增加， ( ) 缓慢增大；当 A
0.707 0
1
Mr
r b

r 时，( )达到最大值 M r A ；当 r时， )迅速减小， A(
A( ) 0.707时的频率称


d d 1 A( ) 0 d d (1 T 2 2 )2 4 2T 2 2
1 1 2 2 (0 ) r 1 2 n 1 2 2 T 1 1 (0 ) M r A( ) max 2 2 2 1
G( s) H ( s)
s(T s 2Ts 1)
2 2
(0 1)
1
解：频率特性是 G ( j ) H ( j ) K
j (1 T 2 2 j 2 T )
1 1 A( ) K (1 T 2 2 )2 4 2T 2 2
=0,A( )=K
2 2 1
T 2 2 1
=K ,
( ) arctg arctgT 0
=,A( )=K =K , ( ) arctg arctgT 0 2 2 T T 1
2 2 1
当T 时
8.延滞环节
延滞环节的传递函数
频率特性 幅频特性
G( s) e
j
s
G( j ) e
A( ) G( j ) 1
Im
相频特性 () G( j) (弧度） 57.3(度）
GH
0
1
0
1
Re
滞后环节极坐标图
二、系统极坐标图的绘制
2
2
4.理想微分环节

Im
900
0
GH

0
Re
理想微分环节的极坐标图
5.一阶微分环节
Im
GH



A

0
0 1 Re
一阶微分环节的极坐标图
6.振荡环节 当 0时,
当 时,
A( ) 1, ( ) 00 ; 1 1 , ( ) 900 ; 当 时, A( ) T 2
K G( s) (T1s 1)(T2 s 1)(T3 s 1) K、T1、T2、T3 0
试概略绘制系统开环幅相图。
例5 已知系统的开环传递函数为
试绘制该系统开环频率特性的极坐标图。
K (s 1) G( s) H ( s) Ts 1
解：频率特性表达式为 G ( j ) H ( j ) K j 1 jT 1 2 2 1 A( ) K ( ) arctg arctgT 2 2 T 1