新教材人教A版数学必修第一册第4章 章末综合提升

第四章 指数函数与对数函数
章末综合提升
2
·
巩 固 层
知
培
识
优
整 合
巩固
层知
识整
合
·
层
素 养
升
提
华
升
层
题 型 探 究
返 首 页
·
3
·
巩 固 层
知
培
识
优
整
层
合
·
素
养
升
提
华
升
层
题 型 探 究
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·
4
·
巩 固 层
知
培
识
优
整 合
提升
层题
型探
究
·
层
素 养
升
提
华
升
层
题 型 探 究
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·
5
指数与对数的运算
返
首
页
·
6
·
巩
固
指数、对数的运算应遵循的原则
层
知 识
指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，
培 优
整
层
·
合 根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式 素
养
提
分解以达到约分的目的.对数运算首先注意公式应用过程中范围的变
升 华
升
层 化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，
固
层 知
对于 B，根据底数 a 对对数函数 y＝logax 的影响：当 0<a<1 时， 培
识
优
整 合
在 x∈(1，＋∞)上“底小图高”．因为 0<x<y<1，所以 logx3>logy3，
·
层 素
B 错误．
养
升
提 升
对于 C，函数 y＝log4x 在(0，＋∞)上单调递增，故 log4x<log4y， 华
层
题 C 正确．
型
探 究
对于 D，函数 y＝14x在 R 上单调递减，故14x >14y，D 错误．] 返
首
页
·
17
·
巩
固
1．比较两数大小常用的方法有单调性法、图象法、中间值法等．
层
知
2．当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、 培
识
优
整 合
对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．
·
巩 固 层
【例 1】 计算：(1)2log32－log3392＋log38－5log53；
知
培
识
优
整 合
(2)1.5－13×－760＋80.25×4 2＋(3 2× 3)6－
.
·
层
素 养
升
提 升 层
[解] (1)原式＝log3223×2 8－3＝2－3＝－1.
华
题
9
型
探 究
(2)原式＝2313＋234×214＋22×33－2313＝21＋4×27＝110.
型
探
究
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·
26
·
巩
固 层
百度文库
知
1．研究函数的性质要树立定义域优先的原则．
培
识
优
整 合
2．换元法的作用是利用整体代换，将问题转化为常见问题．该
·
层 素
养
提
类问题中，常设 u＝logax 或 u＝ax，转化为一元二次方程、二次函数
升 华
升 层
等问题．要注意换元后 u 的取值范围．
题 型 探 究
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知
培
识 偶性．
优
整
层
合
[解] ∵f(x)＝ln(x＋ 1＋x2)，∴其定义域为 R，
·
素 养
升
提 升
又 f(－x)＝ln(－x＋ 1＋x2)，
华
层
题
∴f(x)＋f(－x)＝ln(x＋ 1＋x2)＋ln(－x＋ 1＋x2)＝ln 1＝0，
型
探 究
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
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10
·
巩 固
(2)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，当 x≥0 时，f(x)＝12x.
层
①如图，画出函数 f(x)的图象；
知
培
识
优
整
层
合
·
素
养
升
提
华
升
层
题
型
探
究
②根据图象写出 f(x)的单调区间，并写出函数的值域．
返
首
页
·
11
·
巩
固
层
(1)B [由已知函数图象可得，loga3＝1，所以 a＝3.A 项，函数
培 优
整 合
数．
·
层 素
养
又 f(x)在[a,3a]上的最大值与最小值之差为 1，
升
提
华
升 层
所以 loga(3a)－logaa＝1，即 loga3＝1，所以 a＝3.
题 型 探 究
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·
23
·
巩
②函数 y＝(log3x)2－log3 x＋2＝(log3x)2－12log3x＋2＝log3x－142
优
整 合
在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问 层 素
·
养
题常可以用指数函数模型表示．通常可以表示为 y＝N(1＋p)x(其中 N 升
提
华
升 层
为基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式．
题 型 探 究
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·
31
·
巩
固 层
[跟进训练]
知 识
4．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过
巩
固 层
知
[解] (1)最初的质量为 500 g.
培
识
优
整 合
经过 1 年，w＝500(1－10%)＝500×0.9；
·
层 素
养
经过 2 年，w＝500×0.92；
升
提
华
升 层
由此推知，t 年后，w＝500×0.9t.
题 型 探 究
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·
29
·
巩
固 层
(2)由题意得 500×0.9t＝250，即
优
整
层
合
C．a>c>b
D．c>b>a
·
素
养
升
提 升 层
C
[∵a＝log2π>log22＝1，b＝
log1π<log11＝0，c＝
2
2
π－
2＝
π12，即
华
题 型
0<c<1，∴a>c>b，故选 C.]
探
究
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·
19
指数函数、对数函数的性质
·
巩
固
层
【例 4】 (1)设函数 f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则 f(x)是( )
4 46.6 0.664
9 247.1 4.076
35
5
56.6
培
0.812 优 层
·
素
养
升
10
华
443.4 7.332
固
层
知 识
＋3116.
培 优
整 合
令 t＝log3x，因为 1≤x≤3，
·
层 素
养
所以 0≤log3x≤1，即 0≤t≤1.
提
升 华
升 层
题 型
所以 y＝t－412＋3116∈3116，52，
探 究
所以所求函数的值域为3116，52.
返
首
页
·
24
·
巩
固 层
1．把本例(1)的函数 f(x)改为“f(x)＝ln(x＋ 1＋x2)”，判断其奇
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·
8
指数函数、对数函数的图象及应用
·
巩
固 层
【例 2】 (1)若函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象如图所示，
知 识
则下列图像函数正确的是(
)
培 优
整
层
合
·
素
养
升
提
华
升
层
题 型 探 究
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·
9
·
巩 固 层
知
培
识
优
整
层
合
·
素
养
升
提
华
升
层
A
B
C
D
题 型 探 究
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·
知
培
识 整
解析式为 y＝3－x，在 R 上单调递减，与图象不符；C 项中函数的解
优 层
合
析式为 y＝(－x)3＝－x3，当 x>0 时，y<0，这与图象不符；D 项中函
·
素 养
升
提 升
数解析式为 y＝log3(－x)，在(－∞，0)上为单调递减函数，与图象不
华
层 题
符；B 项中对应函数解析式为 y＝x3，与图象相符．故选 B.]
知
培
识 整
A．奇函数，且在(0,1)上是增函数
优 层
合
B．奇函数，且在(0,1)上是减函数
·
素 养
升
提 升
C．偶函数，且在(0,1)上是增函数
华
层
题
D．偶函数，且在(0,1)上是减函数
型
探
究
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·
20
·
巩 固 层
知 识
(2)已知 a>0，a≠1 且 loga3>loga2，若函数 f(x)＝logax 在区间[a,3a]
返 首
页
13
·
巩 固 层
知 识 整 合
提 升 层
题
型 0.
探 究
1．识别函数的图象从以下几个方面入手：
(1)单调性：函数图象的变化趋势；
培 优
层
(2)奇偶性：函数图象的对称性；
·
素
养
(3)特殊点对应的函数值．
升
华
2．指数函数与对数函数图象经过定点的实质是 a0＝1，loga1＝
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·
14
·
究
2
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·
15
比较大小
·
巩
固
层
【例 3】 若 0<x<y<1，则( )
知
培
识 整
A．3y<3x
优 层
合
B．logx3<logy3
·
素 养
升
提 升
C．log4x<log4y
华
层
题 型 探
D.14x <14y
究
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·
16
C [因为 0<x<y<1，则
·
巩
对于 A，函数 y＝3x 在 R 上单调递增，故 3x<3y，A 错误．
型
探
究
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·
12
(2)[解] ①先作出当 x≥0 时，f(x)＝12x的图象，利用偶函数的图
巩
固 象关于 y 轴对称，再作出 f(x)在 x∈(－∞，0)时的图象．
层
·
知
培
识
优
整
层
合
·
素
养
升
提
华
升
层
·
题
型
探 究
②函数 f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋
∞)，值域为(0,1]．
知 识
0．9t＝0.5，两边同时取以 10 为底的对数，得
培 优
整
层
合
lg 0.9t＝lg 0.5，即 tlg 0.9＝lg 0.5，
·
素
养
提 升
所以 t＝llgg 00..59≈6.6.
升 华
层
题 型
即这种放射性元素的半衰期约为 6.6 年．
探
究
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·
30
·
巩
固 层
知
指数函数模型的应用
培
识
[跟进训练]
巩
固 层
2．函数 y＝1＋log1 (x－1)的图象一定经过点( )
2
知
培
识 整
A．(1,1)
B．(1,0)
优 层
合
C．(2,1)
D．(2,0)
·
素 养
升
提
华
升
C [把 y＝log1x 的图象向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单
层
2
题
型 探
位即可得到 y＝1＋log1
(x－1)的图象，故其经过点(2,1)．]
识 整 合
≤1 0100，即23n≤210.
·
优 层
素 养
提 升 层
则
n(lg
2－lg
3)≤－(1＋lg
2)，故
n≥lg1＋3－lglg22≈7.4，考虑到
升 华
题 型
n∈N，故 n≥8，即至少要过滤 8 次才能达到市场要求．
探
究
返 首 页
·
33
·
巩 固 层
知
培
识
优
整 合
培优
层素
养升
华
·
层
素 养
升
·
27
函数的应用
·
巩
固
层
【例 5】 一种放射性元素，最初的质量为 500 g，按每年 10%
知
培
识 整
衰减．
优 层
合
(1)求 t 年后，这种放射性元素的质量 w 的表达式；
·
素 养
升
提 升
(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确 华
层
题 到 0.1)．
型
探
究
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·
28
·
题
型 换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.
探 究
返 首 页
·
7
·
[跟进训练]
巩
固
层 知
1．设 3x＝4y＝36，则2x＋1y的值为(
)
培
识
优
整 合
A．6
B．3
·
层 素
C．2
D．1
养 升
提
华
升 层
D [由 3x＝4y＝36 得 x＝log336，y＝log436，
题
型 探 究
∴2x＋1y＝2log363＋log364＝log369＋log364＝log3636＝1.]
培 优
整
层
合
0.1%，若初时含杂质
2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，问至少
·
素 养 升
提
华
升 应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg 2≈0.301 0，lg
层
题 型
3≈0.477 1)
探
究
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·
32
·
巩 固 层
知
[解] 设过滤 n 次能使产品达到市场要求，依题意，得1020×23n 培
提
华
升
层
题 型 探 究
返 首 页
·
34
·
巩
固
层
【例】 电子工业部扬声器材厂在生产扬声器的过程中，有一道
知
培
识 整
重要的工序：使用 AB 胶粘合扬声器中的磁钢与夹板．长期以来，由
优 层
合
于对 AB 胶的用量没有一个确定的标准，经常出现用胶过多，胶水外
·
素 养
升
提 溢；或用胶过少，产生脱胶，影响产品质量．经过试验，已有一些恰 华
f(x)为奇函数．又
f(x)＝ln11＋－xx＝ln1－2 x－1，
·
层
素 养
升
提 升 层
易知 y＝1－2 x－1 在(0,1)上为增函数，故 f(x)在(0,1)上为增函数．]
华
题
型
探
究
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·
22
·
巩 固 层
知 识
(2)[解]
①因为 loga3>loga2，所以 f(x)＝logax 在[a,3a]上为增函
·
25
·
巩
固
层
2．把本例(2)②中的函数改为“y＝a2x＋ax－1”，求其最小值．
知
培
识
优
整
[解] 由题意可知 y＝32x＋3x－1，令 3x＝t，则 t∈[3,27]，
层
合
·
素
提 升
∴f(t)＝t2＋t－1＝t＋122－54，t∈[3,27]，
养 升 华
层 题
∴当 t＝3 时，f(t)最小值＝f(3)＝9＋3－1＝11.
升
层
题 当用胶量的具体数据，见下表：
型
探
究
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·
·
·
序号
巩
固 层
磁钢面积/cm2
知
识
用胶量/g
整
合
提
序号
升
层 磁钢面积/cm2
题
型 探
用胶量/g
究
1 11.0 0.164
6 67.2 0.972
2 19.4 0.396
7 125.2 1.688
3 26.2 0.404
8 189.0 2.86
·
层 素
养
3．比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后 升
提
华
升 层
在各部分内再利用函数性质比较大小．
题 型
4．含参数的问题，要根据参数的取值进行分类讨论．
探
究
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·
18
·
[跟进训练]
巩
固 层
3．设 a＝log2π，b＝log12π，c＝π－2，则( )
知
培
识
A．a>b>c
B．b>a>c
培 优
整 合
上的最大值与最小值之差为 1.
·
层 素
养
①求 a 的值；
升
提
华
升 层
②若 1≤x≤3，求函数 y＝(logax)2－loga x＋2 的值域．
题 型 探 究
返 首 页
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21
·
巩
固
层
知
(1)A [由题意可得，函数 f(x)的定义域为(－1,1)，且 f(－x)＝ln(1 培
识
优
整 合
－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故