新教材人教A版数学必修第一册第4章章末综合提升

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章末梳理1-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册课件(共44张PPT)

当 m＝0 时，A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，满足 A∪B＝A．
(2)因为 A∩B＝∅，所以 0∉B，且 1∉B，所以 a≥1.
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第一章集合与常用逻辑用语
数学(必修 · 第一册 · RJA)
[归纳提升] 利用集合的运算求参数的范围的注意点 (1)要弄清楚集合运算的结果或可能的结果，再根据其中的结果判定参数的值或范围． (2)当集合的运算较为复杂时，要借助于数轴或韦恩图解决问题． (3)注意参数的值或范围应该满足集合中元素的互异性．
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第一章集合与常用逻辑用语
数学(必修 · 第一册 · RJA)
常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是逻辑思维的基本语言，也是数学表达和交流的工具．结合初中学过的平面几何和代数知识，我们学习了常用逻辑用语，发现初中学过的数学定义、定理、命题都可以用常用逻辑用语表达，利用常用逻辑用语表述数学内容、进行推理论证，可以大大提升表述的逻辑性和准确性，从而提升我们的逻辑推理素养．
定义法是判断充分、必要条件最根本、最适用的方法
集合法
记条件p，q对应的集合分别是A，
B．若A B，则p是q的充分不必要条
件；若A B，则p是q的必要不充分条件；若A＝B，则p是q的充要条件
适用于“当所要判断的命题与方程的根、不等式的解集以及集合有关，或所描述的对象可以用集合表示”的情况
所以∁RA＝{x|x<0或x>2}．
因为(∁RA)∪B＝R.(如图)
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第一章集合与常用逻辑用语
数学(必修 · 第一册 · RJA)
所以 aa＋≤03，≥2，所以－1≤a≤0.即 a 的取值范围是[－1,0]． (2)由(1)知当(∁RA)∪B＝R 时，－1≤a≤0，则 a＋3∈[2,3]，所以 A⊆B，这与 A∩B＝∅矛盾．即这样的 a 不存在．

人教A版高中数学必修第一册第四章章末重构拓展课件

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
17．(本小题满分15分)设函数f (x)＝log2(ax－bx)，且f (1)＝1，f (2)＝ log212． (1)求a，b的值； (2)求函数f (x)的零点； (3)设g(x)＝ax－bx，求g(x)在[0，4]上的值域．
类型3 指数函数、对数函数的性质及应用 1．以函数的性质为依托，结合运算考查函数的图象性质，以及利用性质进行大小比较、方程和不等式求解等．在解含对数式的方程或不等式时，不能忘记对数中真数大于0，以免出现增根或扩大范围． 2．掌握指数函数、对数函数的图象及性质，提升数学运算和逻辑推理素养．
√ √
时间/min 0
1
2
3
4
水温/℃ 100.00 92.00 84.80 78.37 72.53
5 67.27
设茶水温度从100 ℃开始，经过x min后的温度为y ℃，现给出以下三种函数模型： ①y＝kx＋b(k<0，x≥0)； ②y＝kax＋b(k>0，0<a<1，x≥0)； ③y＝loga(x＋k)＋b(a>1，k>0，x≥0)．
√ √ √
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
√ √
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

人教版高中数学选择性必修第一册-第4章数列章末测试卷(含解析)

第四章数列章末检测（原卷版）(时间：120分钟，满分150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2021年郑州模拟)已知数列1，3，5，7，…，2n－1，若35是这个数列的第n项，则n＝()A．20B．21C．22D．232．已知3，a＋2，b＋4成等比数列，1，a＋1，b＋1成等差数列，则等差数列的公差为()A．4或－2B．－4或2C．4D．－43．用数学归纳法证明1＋12＋14＋…＋12n－1>12764(n∈N*)成立，某初始值至少应取()A．7B．8C．9D．104．公差不为0的等差数列{a n}，其前23项和等于其前10项和，a8＋a k＝0，则正整数k ＝()A．24B．25C．26D．275．(2021年长春模拟)已知等比数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，若a2＝2，S6－S4＝6a4，则a5＝()A．10B．16C．24D．326．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a8＝6＋a11，则S9＝()A．54B．45C．36D．277．已知各项都为正数的等比数列{a n}中，a2a4＝4，a1＋a2＋a3＝14，则满足a n·a n＋1·a n＋2＞19的最大正整数n的值为()A．3B．4C ．5D ．68．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足n (n ＋1)S 2n ＋(n 2＋n －1)S n －1＝0(n ∈N *)，则S 1＋S 2＋…＋S 2021＝()A ．12021B ．12022C ．20202021D ．20212022二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知n ∈N *，则下列表达式能作为数列0，1，0，1，0，1，0，1，…的通项公式的是()A ．a n ，n 为奇数，，n 为偶数B ．a n ＝1＋(－1)n2C ．a n ＝1＋cos n π2D ．a n ＝|sinn π2|10．(2022年宿迁期末)设等差数列{a n }前n 项和为S n ，公差d >0，若S 9＝S 20，则下列结论中正确的有()A ．S 30＝0B ．当n ＝15时，S n 取得最小值C ．a 10＋a 22>0D ．当S n >0时，n 的最小值为2911．已知等比数列{a n }的公比为q ，满足a 1＝1，q ＝2，则()A ．数列{a 2n }是等比数列B C ．数列{log 2a n }是等差数列D ．数列{a n }中，S 10，S 20，S 30仍成等比数列12．设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，并满足条件a 1>1，a 2019a 2020>1，a 2019－1a 2020－1<0，下列结论正确的是()A ．S 2019<S 2020B．a2019a2021－1<0C．T2020是数列{T n}中的最大值D．数列{T n}无最大值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝2a n(n∈N*)，S n为{a n}的前n项和，则S8＝________．14．(2022年北京一模)中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列{a n}，则a1＝________，a n＝________(注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”，五五数之余三是指此数被5除余3，例如“8”)．15．(2021年淮北期末)已知数列{a n}的通项公式为a n＝[lg n]([x]表示不超过x的最大整数)，T n为数列{a n}的前n项和，若存在k∈N*满足T k＝k，则k的值为__________．16．(2022年武汉模拟)对任一实数序列A＝(a1，a2，a3，…)，定义新序列△A＝(a2－a1，a3－a2，a4－a3，…)，它的第n项为a n＋1－a n.假定序列△(△A)的所有项都是1，且a12＝a22＝0，则a2＝________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)(2022年北京二模)已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，________．是否存在正整数k(k＞1)，使得a1，a k，S k＋2成等比数列？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．－2a n＝0；②S n＝S n－1＋n(n≥2)；③S n＝n2这三个条件中任选一个，补充在上面从①a n＋1问题中并作答．18．(12分)(2022年平顶山期末)在等差数列{a n}中，设前n项和为S n，已知a1＝2，S4＝26.(1)求{a n}的通项公式；}的前n项和T n.(2)令b n＝1a n a n＋1，求数列{b n19．(12分)设a>0，函数f(x)＝ax＝1，a n＋1＝f(a n)，n∈N*.a＋x，令a1(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{a n}的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论．20．(12分)(2022年潍坊模拟)若数列{a n}的前n项和S n满足S n＝2a n－λ(λ>0，n∈N*)．(1)求证：数列{a n}为等比数列，并求a n；(2)若λ＝4，b n n ，n 为奇数，2a n ，n 为偶数(n ∈N *)，求数列{b n }的前2n 项和T 2n .21．(12分)已知等比数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝9·2n －1，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .22．(12分)数列{a n }是公比为12的等比数列且1－a 2是a 1与1＋a 3的等比中项，前n 项和为S n ；数列{b n }是等差数列，b 1＝8，其前n 项和T n 满足T n ＝nλ·b n ＋1(λ为常数且λ≠1)．(1)求数列{a n }的通项公式及λ的值；(2)比较1T 1＋1T 2＋1T 3＋…＋1T n 与12S n 的大小．第四章数列章末检测（解析版）(时间：120分钟，满分150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2021年郑州模拟)已知数列1，3，5，7，…，2n －1，若35是这个数列的第n 项，则n ＝()A ．20B ．21C ．22D ．23【答案】D【解析】由2n －1＝35＝45，得2n －1＝45，即2n ＝46，解得n ＝23.2．已知3，a ＋2，b ＋4成等比数列，1，a ＋1，b ＋1成等差数列，则等差数列的公差为()A ．4或－2B ．－4或2C ．4D ．－4【答案】C【解析】∵3，a ＋2，b ＋4成等比数列，1，a ＋1，b ＋1成等差数列，∴(a＋2)2＝3(b ＋4)，2(a ＋1)＝1＋b ＋1＝－2，4＝4，＝8.＝－2，＝－4时，a ＋2＝0与3，a ＋2，b ＋4＝4，＝8时，等差数列的公差为(a ＋1)－1＝a＝4.3．用数学归纳法证明1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n ∈N *)成立，某初始值至少应取()A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】B 【解析】1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n1－12>12764，整理得2n >128，解得n >7，所以初始值至少应取8.4．公差不为0的等差数列{a n }，其前23项和等于其前10项和，a 8＋a k ＝0，则正整数k ＝()A ．24B ．25C ．26D ．27【答案】C【解析】由题意设等差数列{a n }的公差为d ，d ≠0，∵其前23项和等于其前10项和，∴23a 1＋23×222d ＝10a 1＋10×92d ，变形可得13(a 1＋16d )＝0，∴a 17＝a 1＋16d ＝0.由等差数列的性质可得a 8＋a 26＝2a 17＝0，∴k ＝26.5．(2021年长春模拟)已知等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，若a 2＝2，S 6－S 4＝6a 4，则a 5＝()A ．10B ．16C ．24D ．32【答案】B【解析】设公比为q (q >0)，S 6－S 4＝a 5＋a 6＝6a 4.因为a 2＝2，所以2q 3＋2q 4＝12q 2，即q 2＋q －6＝0，解得q ＝2，则a 5＝2×23＝16.6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 8＝6＋a 11，则S 9＝()A ．54B ．45C ．36D ．27【答案】A【解析】∵2a 8＝a 5＋a 11，2a 8＝6＋a 11，∴a 5＝6，∴S 9＝9a 5＝54.7．已知各项都为正数的等比数列{a n }中，a 2a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，则满足a n ·a n ＋1·a n ＋2＞19的最大正整数n 的值为()A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】∵a 2a 4＝4，a n ＞0，∴a 3＝2，∴a 1＋a 2＝12，1＋a 1q ＝12，1q 2＝2，消去a 1，得1＋q q2＝6.∵q ＞0，∴q ＝12，∴a 1＝8，∴a n ＝8－1＝24－n ，∴不等式a n a n ＋1a n ＋2＞19化为29－3n ＞19，当n ＝4时，29－3×4＝18＞19，当n ＝5时，29－3×5＝164＜19，∴最大正整数n ＝4.8．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足n (n ＋1)S 2n ＋(n 2＋n －1)S n －1＝0(n ∈N *)，则S 1＋S 2＋…＋S 2021＝()A ．12021B ．12022C ．20202021D ．20212022【答案】D【解析】∵n (n ＋1)S 2n ＋(n 2＋n －1)S n －1＝0(n ∈N *)，∴(S n ＋1)[n (n ＋1)S n －1]＝0.又∵S n >0，∴n (n ＋1)S n －1＝0，∴S n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S 1＋S 2＋…＋S 2021…20212022.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知n ∈N *，则下列表达式能作为数列0，1，0，1，0，1，0，1，…的通项公式的是()A ．a n ，n 为奇数，，n 为偶数B ．a n ＝1＋(－1)n2C ．a n ＝1＋cos n π2D ．a n ＝|sinn π2|【答案】ABC 【解析】检验知A ，B ，C 都是所给数列的通项公式．10．(2022年宿迁期末)设等差数列{a n }前n 项和为S n ，公差d >0，若S 9＝S 20，则下列结论中正确的有()A ．S 30＝0B ．当n ＝15时，S n 取得最小值C ．a 10＋a 22>0D ．当S n >0时，n 的最小值为29【答案】BC 【解析】由S 9＝S 20⇒9a 1＋12×9×8d ＝20a 1＋12×20×19d ⇒a 1＋14d ＝0⇒a 15＝0.因为d >0，所以有S 30＝30a 1＋12×30×29d ＝30·(－14d )＋435d ＝15d ＞0，故A 不正确；因为d >0，所以该等差数列是单调递增数列，因为a 15＝0，所以当n ＝15或n ＝14时，S n 取得最小值，故B 正确；因为d >0，所以该等差数列是单调递增数列，因为a 15＝0，所以a 10＋a 22＝2a 16＝2(a 15＋d )＝2d >0，故C 正确；因为d >0，n ∈N *，所以由S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝n (－14d )＋12n (n －1)d ＝12dn (n －29)>0，可得n >29，n ∈N *，因此n 的最小值为30，故D 不正确．故选BC ．11．已知等比数列{a n }的公比为q ，满足a 1＝1，q ＝2，则()A ．数列{a 2n }是等比数列BC ．数列{log 2a n }是等差数列D ．数列{a n }中，S 10，S 20，S 30仍成等比数列【答案】AC【解析】等比数列{a n }中，由a 1＝1，q ＝2，得a n ＝2n －1，∴a 2n ＝22n －1，∴数列{a 2n }是等比数列，故A B 不正确；∵log 2a n ＝n －1，故数列{log 2a n }是等差数列，故C 正确；数列{a n }中，S 10＝1－2101－2＝210－1，同理可得S 20＝220－1，S 30＝230－1，不成等比数列，故D 错误．12．设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，并满足条件a 1>1，a 2019a 2020>1，a 2019－1a 2020－1<0，下列结论正确的是()A ．S 2019<S 2020B ．a 2019a 2021－1<0C ．T 2020是数列{T n }中的最大值D ．数列{T n }无最大值【答案】AB 【解析】若a 2019a 2020>1，则a 1q 2018×a 1q 2019＝a 21q 4037>1.又由a 1>1，必有q >0，则数列{a n }各项均为正值．又由a 2019－1a 2020－1<0，即(a 2019－1)(a 2020－1)<0，则有2019<1，2020>1或2019>1，2020<1，又由a 1>1，必有0<q <1，2019>1，2020<1.有S 2020－S 2019＝a 2020>0，即S 2019<S 2020，则A正确；有a 2020<1，则a 2019a 2021＝a 22020<1，则B 2019>1，2020<1，则T 2019是数列{T n }中的最大值，C ，D 错误．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，S n 为{a n }的前n 项和，则S 8＝________．【答案】255【解析】由a 1＝1，a n ＋1＝2a n 知{a n }是以1为首项、2为公比的等比数列，所以S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝1·(1－28)1－2＝255.14．(2022年北京一模)中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列{a n }，则a 1＝________，a n ＝________(注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”，五五数之余三是指此数被5除余3，例如“8”)．【答案】815n －7【解析】被3除余2的正整数可表示为3x ＋2，被5除余3的正整数可表示为5y ＋3，其中x ，y ∈N *，∴数列{a n }为等差数列，公差为15，首项为8，∴a 1＝8，a n ＝8＋15(n －1)＝15n －7.15．(2021年淮北期末)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝[lg n ]([x ]表示不超过x 的最大整数)，T n 为数列{a n }的前n 项和，若存在k ∈N *满足T k ＝k ，则k 的值为__________．【答案】108【解析】a n，1≤n ＜10，，10≤n ＜100，，10k ≤n ＜10k ＋1.当1≤k ＜10时，T k ＝0，显然不存在；当10≤k ＜100时，T k ＝k －9＝k ，显然不存在；当100≤k ＜1000时，T k ＝99－9＋(k －99)×2＝k ，解得k ＝108.16．(2022年武汉模拟)对任一实数序列A ＝(a 1，a 2，a 3，…)，定义新序列△A ＝(a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3，…)，它的第n 项为a n ＋1－a n .假定序列△(△A )的所有项都是1，且a 12＝a 22＝0，则a 2＝________．【答案】100【解析】令b n ＝a n ＋1－a n ，依题意知数列{b n }为等差数列，且公差为1，所以b n ＝b 1＋(n －1)×1，a 1＝a 1，a 2－a 1＝b 1，a 3－a 2＝b 2，…，a n －a n －1＝b n －1，累加得a n ＝a 1＋b 1＋…＋b n －1＝a 1＋(n －1)b 1＋(n －1)(n －2)2.分别令n ＝12，n ＝22，得a 2－10a 1＋55＝0①，a 2－20a 1＋210＝0②，①×2－②，得a 2＝100.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)(2022年北京二模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，________．是否存在正整数k (k ＞1)，使得a 1，a k ，S k ＋2成等比数列？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．从①a n ＋1－2a n ＝0；②S n ＝S n －1＋n (n ≥2)；③S n ＝n 2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．解：若选①a n ＋1－2a n ＝0，则a 2－2a 1＝0，说明数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，∴a 1＝1，a k ＝2k －1，S k ＋2＝1－2k ＋21－2＝2k ＋2－1.若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，则(2k －1)2＝1×(2k ＋2－1)＝2k ＋2－1.左边为偶数，右边为奇数，即不存在正整数k (k ＞1)，使得a 1，a k ，S k ＋2成等比数列．若选②S n ＝S n －1＋n (n ≥2)，即S n －S n －1＝n ⇒a n ＝n (n ≥2)且a 1＝1也适合此式，∴{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，∴a k ＝k ，S k ＋2＝(k ＋2)(k ＋3)2.若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，则k 2＝1×(k ＋2)(k ＋3)2⇒k 2－5k －6＝0⇒k ＝6(k ＝－1舍去)，即存在正整数k ＝6，使得a 1，a k ，S k ＋2成等比数列．若选③S n ＝n 2，∴a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1(n ≥2)，且a 1＝1适合上式．若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，则(2k －1)2＝1×(k ＋2)2⇒3k 2－8k －3＝0⇒k ＝＝－13舍去即存在正整数k ＝3，使得a 1，a k ，S k ＋2成等比数列．18．(12分)(2022年平顶山期末)在等差数列{a n }中，设前n 项和为S n ，已知a 1＝2，S 4＝26.(1)求{a n }的通项公式；(2)令b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设{a n }的公差为d ，由已知得4×2＋4×32d ＝26，解得d ＝3，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋3(n －1)＝3n －1.(2)b n ＝1a n a n ＋1＝1(3n －1)(3n ＋2)＝所以T n…＝16－13(3n ＋2)＝n 6n ＋4.19．(12分)设a >0，函数f (x )＝axa ＋x，令a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *.(1)写出a 2，a 3，a 4的值，并猜想数列{a n }的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论．(1)解：∵a 1＝1，∴a 2＝f (a 1)＝f (1)＝a 1＋a，a 3＝f (a 2)＝a 2＋a ，a 4＝f (a 3)＝a3＋a ，猜想a n ＝a(n －1)＋a.(2)证明：①易知n ＝1时，猜想正确；②假设n ＝k 时，a k ＝a (k －1)＋a成立，则a k ＋1＝f (a k )＝a ·a k a ＋a k ＝a ·a (k －1)＋a a ＋a (k －1)＋a＝a (k －1)＋a ＋1＝a [(k ＋1)－1]＋a ，∴n ＝k ＋1时成立．由①②知，对任何n ∈N *，都有a n ＝a (n －1)＋a.20．(12分)(2022年潍坊模拟)若数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －λ(λ>0，n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }为等比数列，并求a n ；(2)若λ＝4，b nn ，n 为奇数，2a n ，n 为偶数(n ∈N *)，求数列{b n }的前2n 项和T 2n .(1)证明：∵S n ＝2a n －λ，当n ＝1时，得a 1＝λ.当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－λ，∴S n －S n －1＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －2a n －1，∴a n ＝2a n －1，∴数列{a n }是以λ为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝λ·2n －1.(2)解：∵λ＝4，∴a n ＝4·2n －1＝2n ＋1，∴b nn ＋1，n 为奇数，＋1，n 为偶数，∴T 2n ＝22＋3＋24＋5＋26＋7＋…＋22n ＋2n ＋1＝(22＋24＋…＋22n )＋(3＋5＋…＋2n ＋1)＝4－4n ·41－4＋n (3＋2n ＋1)2＝4n ＋1－43＋n (n ＋2)，∴T 2n ＝4n ＋13＋n 2＋2n －43.21．(12分)已知等比数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝9·2n －1，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)设等比数列{a n }的公比为q .∵a n ＋1＋a n ＝9·2n －1，∴a 2＋a 1＝9，a 3＋a 2＝18，∴q ＝a 3＋a 2a 2＋a 1＝189＝2.又∵2a 1＋a 1＝9，∴a 1＝3，∴a n ＝3·2n －1，n ∈N *.(2)∵b n ＝na n ＝3n ·2n －1，∴13S n ＝1×20＋2×21＋…＋(n －1)×2n －2＋n ×2n －1①，∴23S n ＝1×21＋2×22＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n ②，①－②，得－13S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ×2n ＝1－2n 1－2－n ×2n ＝(1－n )2n －1，∴S n ＝3(n －1)2n ＋3.22．(12分)数列{a n }是公比为12的等比数列且1－a 2是a 1与1＋a 3的等比中项，前n 项和为S n ；数列{b n }是等差数列，b 1＝8，其前n 项和T n 满足T n ＝nλ·b n ＋1(λ为常数且λ≠1)．(1)求数列{a n }的通项公式及λ的值；(2)比较1T 1＋1T 2＋1T 3＋…＋1T n 与12S n 的大小．解：(1)由题意，得(1－a 2)2＝a 1(1＋a 3)，∴(1－a 1q )2＝a 1(1＋a 1q 2)．∵q ＝12，∴a 1＝12，∴a n.1＝λb 2，2＝2λb 3，＝λ(8＋d )，＋d ＝2λ(8＋2d )，∴λ＝12，d ＝8.(2)由(1)得b n ＝8n ，∴T n ＝4n (n ＋1)，∴1T n ＝令C n ＝1T 1＋1T 2＋…＋1T n ＝…∴18≤C n ＜14.∵S n ＝21－12＝1，∴12S n ＝121∴14≤12S n ＜12，∴C n ＜12S n 即1T 1＋1T 2＋1T 3＋…＋1T n ＜12S n .。

2023新教材高中数学第四章指数函数与对数函数对数函数的图象和性质课件新人教A版必修第一册

知识点二比较大小
3．已知 log3 b＜log3 a＜log3 c，则( )
5
5
5
A．7a＞7b＞7c B．7b＞7a＞7c
C．7c＞7b＞7a D．7c＞7a＞7b
答案 B
解析由于函数 y＝log3 x 为减函数，因此由 log3 b＜log3 a＜log3 c 可得
5
5
5
5
b＞a＞c，又由于函数 y＝7x 为增函数，所以 7b＞7a＞7c.
7．不等式
log1
2
x－12>－1
的解集是(
)
A.－32，52
B.－32，12∪12，52
C.－12，12∪12，52
D.－32，12∪12，2
答案 B
解析
由
log1
2
x－12＝－log2x－12>－1，得
log2x－12<1＝log22，即 0<x－12<2，即
－32<x<52，且 x≠12.
1－x 13．已知函数 f(x)＝lg 1＋x的定义域为(－1,1)． (1)求 f20120＋f－20120； (2)探究函数 f(x)的单调性，并证明．
解 (1)∵函数 f(x)的定义域为(－1,1)，关于坐标原点对称，
1＋x
1－x
且 f(－x)＝lg 1－x＝－lg 1＋x＝－f(x)，
4．设 a＝log2 3，b＝30.01，c＝ln 22，则(
)
A．c<a<b B．a<b<c C．a<c<b D．b<a<c
答案 A
解析
先和 0 比较，a＝log2 3>log21＝0，b＝30.01>0，c＝ln

2021年人教版高中数学必修第一册：第4章《章末复习课》(含答案详解)

2021年人教版高中数学必修第一册：第4章《章末复习课》(含答案详解)1、指数与对数的运算【例1】计算：(1)2log32－log3＋log38－5log53；(2)1.5－×0＋80.25×＋(×)6－.[解] (1)原式＝log3－3＝2－3＝－1.(2)原式＝＋2×2＋22×33－＝21＋4×27＝110.指数、对数的运算应遵循的原则指数式的运算首先留意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要留意分子、分母因式分解以到达约分的目的.对数运算首先留意公式应用过程中范围的改变，前后要等价，娴熟地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.7n1．设3x＝4y＝36，则＋的值为( )A．6B．3C．2D．1D [由3x＝4y＝36得x＝log336，y＝lo2、g436，∴＋＝2log363＋log364＝log369＋log364＝log3636＝1.]指数函数、对数函数的图象及应用【例2】(1)若函数y＝logax(a0，且a≠1)的图象如下图，则以下函数正确的选项是( )A B C D(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x.①如图，画出函数f(x)的图象；②依据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域．(1)B [由已知函数图象可得，loga3＝1，所以a＝3.A项，函数解析式为y＝3－x，在R上单调递减，与图象不符；C项中函数的解析式为y＝(－x)3＝－x3，当x0时，y0，这与图象不符；D项中函数解析式为y＝log3(－x)，在(－∞，0)上为单调3、递减函数，与图象不符；B项中对应函数解析式为y＝x3，7n 与图象相符．应选B.](2)[解] ①先作出当x≥0时，f(x)＝x的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再作出f(x)在x∈(－∞，0)时的图象．②函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1]．1．识别函数的图象从以下几个方面入手：(1)单调性：函数图象的改变趋势；(2)奇偶性：函数图象的对称性；(3)特别点对应的函数值．2．指数函数与对数函数图象经过定点的实质是a0＝1，loga1＝0.2．函数y＝1＋log(x－1)的图象肯定经过点( )A．(1,1)B．(1,0)C．(2,1)D．(2,0)C [把y＝logx的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位即可4、得到y＝1＋log(x－1)的图象，故其经过点(2,1)．]比较大小【例3】若0xy1，则( )A．3y3xB．logx3logy3C．log4xlog4y7nD.xyC [因为0xy1，则对于A，函数y＝3x在R上单调递增，故3x3y，A错误．对于B，依据底数a对对数函数y＝logax的影响：当0a1时，在x∈(1，＋∞)上“底小图高”．因为0xy1，所以logx3logy3，B错误．对于C，函数y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，故log4xlog4y，C正确．对于D，函数y＝x在R上单调递减，故xy，5、D错误．]1．比较两数大小常用的方法有单调性法、图象法、中间值法等．2．当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．3．比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后在各部分内再利用函数性质比较大小．4．含参数的问题，要依据参数的取值进行分类商量．3．设a＝log2π，b＝logπ，c＝π－2，则( )A．abcB．bacC．acbD．cbaC [∵a＝log2πlog22＝1，b ＝logπlog1＝0，c＝π－2＝，即0c1，∴acb，应选C.]指数函数、对数函数的性质【例4】(6、1)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( )A．奇函数，且在(0,1)上是增函数B．奇函数，且在(0,1)上是减函数C．偶函数，且在(0,1)上是增函数7nD．偶函数，且在(0,1)上是减函数(2)已知a0，a≠1且loga3loga2，若函数f(x)＝logax在区间[a,3a]上的最大值与最小值之差为1.①求a的值；②若1≤x≤3，求函数y＝(logax)2－loga＋2的值域．(1)A [由题意可得，函数f(x)的定义域为(－1,1)，且f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．又f(x)＝ln＝ln，易知y＝－1在(0,1)上为增函数，故f(x)在(0,1)上为增函数．](2)[7、解] ①因为loga3loga2，所以f(x)＝logax在[a,3a]上为增函数．又f(x)在[a,3a]上的最大值与最小值之差为1，所以loga(3a)－logaa＝1，即loga3＝1，所以a＝3.②函数y＝(log3x)2－log3＋2＝(log3x)2－log3x＋2＝2＋.令t＝log3x，因为1≤x≤3，所以0≤log3x≤1，即0≤t≤1.所以y＝2＋∈，所以所求函数的值域为.1．把本例(1)的函数f(x)改为“f(x)＝ln(x＋)”，推断其奇偶性．[解] ∵f(x)＝ln(x＋)，∴其定义域为R，又f(－x)＝ln(－x ＋)，∴f(x)＋f(－x)＝ln(x＋)＋ln(－x＋)＝ln1＝0，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．28、．把本例(2)②中的函数改为“y＝a2x＋ax－1”，求其最小值．[解] 由题意可知y＝32x＋3x－1，令3x＝t，则t∈[3,27]，∴f(t)＝t2＋t－1＝2－，t∈[3,27]，∴当t＝3时，f(t)min＝f(3)＝9＋3－1＝11.7n1．讨论函数的性质要树立定义域优先的原则．2．换元法的作用是利用整体代换，将问题转化为常见问题．该类问题中，常设u＝logax或u＝ax，转化为一元二次方程、二次函数等问题．要留意换元后u的取值范围．函数的应用【例5】一种放射性元素，最初的质量为500g，按每年10%衰减．(1)求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式；(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1)．[解] (1)最初的质量为9、500g.经过1年，w＝500(1－10%)＝500×0.9；经过2年，w ＝500×0.92；由此推知，t年后，w＝500×0.9t.(2)由题意得500×0.9t＝250，即0．9t＝0.5，两边同时取以10为底的对数，得lg0.9t＝lg0.5，即tlg0.9＝lg0.5，所以t＝≈6.6.即这种放射性元素的半衰期约为6.6年．指数函数模型的应用在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示.通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x 为时间)的形式.4．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量削减，问至少应过滤几次才能使产品到达市场要求？(已知：10、lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)7n[解] 设过滤n次能使产品到达市场要求，依题意，得×n≤，即n≤.则n(lg2－lg3)≤－(1＋lg2)，故n≥≈7.4，考虑到n∈N，故n≥8，即至少要过滤8次才能到达市场要求．7。

高中数学必修第一册人教A版(2019)第四章《指数函数与对数函数》本章教材分析

《指数函数与对数函数》本章教材分析一、本章知能对标二、本章教学规划本章在研究指数幂和对数的基础上,以研究函数概念与性质的一般方法为指导,借鉴研究幂函数的过程与方法,学习指数函数和对数函数,帮助学生学会用函数图象和代数运算的方法研究它们的性质,理解这两类函数中蕴含的变化规律；运用函数思想和方法,探索用二分法求方程的近似解；通过建立指数函数、对数函数模型解决简单的实际问题,体会指数函数、对数函数在解决实际问题中的作用,从而进一步理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具,提升数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象和逻辑推理等数学核心素养.三、本章教学目标1.指数函数:通过了解指数的拓展过程,让学生掌握指数幂的运算性质；了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.能借助描点法、信息技术画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点.2.对数函数:通过具体事例,让学生理解对数的概念和运算性质,掌握换底公式；了解对数函数的概念,能画对数函数的图象,了解对数函数的单调性与特殊点；知道对数函数y=log a x与指数函数y=a x互为反函数(a>0,且a≠1).3.二分法与求方程近似解:结合指数函数和对数函数的图象,让学生了解函数的零点与方程解的关系、函数零点存在定理,探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图,能借助计算工具用二分法求方程近似解,了解用二分法求方程近似解具有一般性.4.函数与数学模型:利用计算工具,比较对数函数、线性函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.四、本章教学重点难点重点:实数指数幂及其运算,对数及其运算,指数函数和对数函数的概念、图象、性质及其应用. 难点:抽象概括指数函数和对数函数的概念及性质.五、课时安排建议本章教学约需11课时,具体安排如下:六、本章教学建议1.注重引导学生按研究函数的基本思路展开研究本章教学要注重让学生再次经历研究函数的基本过程:背景—概念—图象和性质—应用.要注意引导学生通过计算分析具体实例的数据中蕴含的变化规律抽象形成相应的函数概念,利用教科书中的问题引导学生思考和总结.2.用函数的观点联系相关内容,培养学生的数学整体观本章的核心内容是指数函数和对数函数,全章都应该围绕核心内容展开教学,以更好地帮助学生形成函数观点和思想方法.指数幂的运算、对数的概念及其运算性质和公式、指数和对数的关系,是学习指数函数、对数函数必备的基础,运用这些运算性质,通过运算,解决具体的问题教学中要从整体上把握上述运算性质、函数概念、图象、性质以及应用的关系.3.加强“形”与“数”的融合,循序渐进地研究指数函数和对数函数为了能选择合适的函数类型构建数学模型,刻画现实问题的变化规律,教学时可以依据教科书,从两个方面帮助学生体会不同函数模型增长的差异:一是通过观察函数图象,利用图象直观比较指数函数与线性函数、对数函数与线性函数增长速度的差异；二是通过教科书中的实例,结合具体问题情境理解不同函数增长的差异,教学的关键是从局部到整体,从不同角度观察、比较不同函数图象增长变化的差异,从而直观体会直线的增长、指数爆炸、对数增长的含义4.加强背景和应用,发展学生数学建模素养数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.教学中,应注意参考教科书,结合这些素材,引导学生从数学的视角发现问题、提出问题,构建指数函数和对数函数模型,确定模型中的参数,计算求解,检验结果,改进模型,最终解决问题,让学生体会数学的来源与应用,丰富学生对数学的认识,提升数学建模素养.5.注重借助信息技术工具研究指数函数和对数函数在不同函数增长差异的教学中,利用信息技术可以作出函数在两个不同范围的图象,帮助学生从不同角度观察到不同函数增长的差异.6.注意通过无理数指数幂的教学渗透极限思想教科书通过“用有理数指数幂逼近无理数指数幂”的思想方法引入无理数指数幂.教学中,可以类比初中用有理数逼近无理数,让学生充分经历从“过剩近似值”和“不足近似值”两个方向,用有理数指数幂逼近无理数指数幂的过程；通过在数轴上表示这些“过剩近似值”和“不足近似值”的对应点,发现这些点逼近一个确定的点,其对应的数就是这个无理数指数幂.这样从“数”与“形”的两个角度,加强了逼近和极限思想的渗透,有助于学生从中初步体会这一重要思想.。

新人教A版新教材学高中数学必修第一册第四章指数函数与对数函数对数函数讲义

最新课程标准：（１）通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．（２）知道对数函数y＝log a x与指数函数y＝a x互为反函数（a＞0，且a≠１）．（３）收集、阅读对数概念的形成与发展的历史资料，撰写小论文，论述对数发明的过程以及对数对简化运算的作用.知识点一对数函数的概念函数y＝log a x （a＞0，且a≠１）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，＋∞）．错误!形如y＝２log２x，y＝log２错误!都不是对数函数，可称其为对数型函数．知识点二对数函数的图象与性质a＞１0＜a＜１图象性质定义域（0，＋∞）值域R过点（１,0），即当x＝１时，y＝0在（0，＋∞）上是增函数在（0，＋∞）上是减函数错误!底数a与１的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞１时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜１时，对数函数的图象“下降”．知识点三反函数一般地，指数函数y＝a x（a＞0，且a≠１）与对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠１）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换．[教材解难]１．教材P１３0思考根据指数与对数的关系，由y ＝错误!5730x（x ≥0）得到x ＝log 573012y （0＜y ≤１）．如图，过y 轴正半轴上任意一点（0，y 0）（0＜y 0≤１）作x 轴的平行线，与y ＝错误!5730x（x ≥0）的图象有且只有一个交点（x 0，y 0）．这就说明，对于任意一个y ∈（0,１]，通过对应关系x ＝log 573012y ，在[0，＋∞）上都有唯一确定的数x 和它对应，所以x 也是y 的函数．也就是说，函数x ＝log 573012y ，y ∈（0,１]刻画了时间x 随碳１４含量y 的衰减而变化的规律．２．教材P １３２思考利用换底公式，可以得到y ＝log 12x ＝—log ２x .因为点（x ，y ）与点（x ，—y ）关于x轴对称，所以y ＝log ２x 图象上任意一点P （x ，y ）关于x 轴的对称点P １（x ，—y ）都在y ＝log 12x 的图象上，反之亦然．由此可知，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称．根据这种对称性，就可以利用y ＝log ２x 的图象画出y ＝log 12x 的图象．３．教材P １３8思考一般地，虽然对数函数y ＝log a x （a ＞１）与一次函数y ＝kx （k ＞0）在区间（0，＋∞）上都单调递增，但它们的增长速度不同．随着x的增大，一次函数y＝kx（k＞0）保持固定的增长速度，而对数函数y＝log a x（a＞１）的增长速度越来越慢．不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，log a x可能会大于kx，但由于log a x的增长慢于kx的增长，因此总会存在一个x0，当x＞x0时，恒有log a x＜kx.４．４．１对数函数的概念[基础自测]１．下列函数中是对数函数的是（）Ａ．y＝log14xＢ．y＝log14（x＋１）Ｃ．y＝２log14xＤ．y＝log14x＋１解析：形如y＝log a x（a＞0，且a≠１）的函数才是对数函数，只有A是对数函数．答案：A２．函数y＝错误!ln（１—x）的定义域为（）Ａ．（0,１）Ｂ．[0,１）Ｃ．（0,１] Ｄ．[0,１]解析：由题意，得错误!解得0≤x＜１；故函数y＝错误!ln（１—x）的定义域为[0,１）．答案：B３．函数y＝log a（x—１）（0＜a＜１）的图象大致是（）解析：∵0＜a＜１，∴y＝log a x在（0，＋∞）上单调递减，故A，B可能正确；又函数y＝log a（x—１）的图象是由y＝log a x的图象向右平移一个单位得到，故A正确．答案：A４．若f（x）＝log２x，x∈[２,３]，则函数f（x）的值域为________．解析：因为f（x）＝log２x在[２,３]上是单调递增的，所以log２２≤log２x≤log２３，即１≤log２x≤log２３．答案：[１，log２３]题型一对数函数的概念例１下列函数中，哪些是对数函数？（１）y＝log a错误!（a＞0，且a≠１）；（２）y＝log２x＋２；（３）y＝8log２（x＋１）；（４）y＝log x6（x＞0，且x≠１）；（５）y＝log6x.【解析】（１）中真数不是自变量x，不是对数函数．（２）中对数式后加２，所以不是对数函数．（３）中真数为x＋１，不是x，系数不为１，故不是对数函数．（４）中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数．（５）中底数是6，真数为x，系数为１，符合对数函数的定义，故是对数函数.用对数函数的概念例如y＝log a x（a＞0且a≠１）来判断．方法归纳判断一个函数是对数函数的方法跟踪训练１若函数f（x）＝（a２—a＋１）log（a＋１）x是对数函数，则实数a＝________.解析：由a２—a＋１＝１，解得a＝0或a＝１．又底数a＋１＞0，且a＋１≠１，所以a＝１．答案：１对数函数y＝log a x系数为１．题型二求函数的定义域[教材P１３0例１]例２求下列函数的定义域：（１）y＝log３x２；（２）y＝log a（４—x）（a＞0，且a≠１）．【解析】（１）因为x２＞0，即x≠0，所以函数y＝log３x２的定义域是{x|x≠0}．（２）因为４—x＞0，即x＜４，所以函数y＝log a（４—x）的定义域是{x|x＜４}.真数大于0．教材反思求定义域有两种题型，一种是已知函数解析式求定义域，常规为：分母不为0；0的零次幂与负指数次幂无意义；偶次根式被开方式（数）非负；对数的真数大于0，底数大于0且不等于１．另一种是抽象函数的定义域问题．同时应注意求函数定义域的解题步骤．跟踪训练２求下列函数的定义域：（１）y＝lg（x＋１）＋错误!；（２）y＝log（x—２）（５—x）．解析：（１）要使函数有意义，需错误!即错误!∴—１＜x ＜１，∴函数的定义域为（—１,１）．（２）要使函数有意义，需错误!∴错误! ∴定义域为（２,３）∪（３,５）．真数大于0，偶次根式被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解．题型三对数函数的图象问题例３（１）函数y ＝x ＋a 与y ＝log a x 的图象只可能是下图中的（）（２）已知函数y ＝log a （x ＋３）—１（a ＞0，a ≠１）的图象恒过定点A ，若点A 也在函数f （x ）＝３x ＋b 的图象上，则f （log ３２）＝________.（３）如图所示的曲线是对数函数y ＝log a x ，y ＝log b x ，y ＝log c x ，y ＝log d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与１的大小关系为________．【解析】（１）A 中，由y ＝x ＋a 的图象知a ＞１，而y ＝log a x 为减函数，A 错；B 中，0＜a ＜１，而y ＝log a x 为增函数，B 错；C 中，0＜a ＜１，且y ＝log a x 为减函数，所以C 对；D 中，a ＜0，而y ＝log a x 无意义，也不对．（２）依题意可知定点A （—２，—１），f （—２）＝３—２＋b ＝—１，b ＝—错误!，故f （x ）＝３x —错误!，f （log ３２）＝３3log 2—错误!＝２—错误!＝错误!.（３）由题干图可知函数y＝log a x，y＝log b x的底数a＞１，b＞１，函数y＝log c x，y＝log d x的底数0＜c＜１,0＜d＜１．过点（0,１）作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b＞a＞１＞d＞c.【答案】（１）C （２）错误!（３）b＞a＞１＞d＞c错误!（１）由函数y＝x＋a的图象判断出a的范围．（２）依据log a１＝0，a0＝１，求定点坐标．（３）沿直线y＝１自左向右看，对数函数的底数由小变大．方法归纳解决对数函数图象的问题时要注意（１）明确对数函数图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当x趋近于0时，函数图象会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交．（２）建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a的取值范围是a＞１，还是0＜a＜１．（３）牢记特殊点．对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠１）的图象经过点：（１,0），（a,１）和错误!.跟踪训练３（１）如图所示，曲线是对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠１）的图象，已知a取错误!，错误!，错误!，错误!，则相应于C１，C２，C３，C４的a值依次为（）Ａ．错误!，错误!，错误!，错误!Ｂ．错误!，错误!，错误!，错误!Ｃ．错误!，错误!，错误!，错误!Ｄ．错误!，错误!，错误!，错误!（２）函数y＝log a|x|＋１（0＜a＜１）的图象大致为（）解析：（１）方法一作直线y＝１与四条曲线交于四点，由y＝log a x＝１，得x＝a（即交点的横坐标等于底数），所以横坐标小的底数小，所以C１，C２，C３，C４对应的a值分别为错误!，错误!，错误!，错误!，故选Ａ．方法二由对数函数的图象在第一象限内符合底大图右的规律，所以底数a由大到小依次为C１，C２，C３，C４，即错误!，错误!，错误!，错误!.故选Ａ．增函数底数a＞１，减函数底数0＜a＜１．（２）函数为偶函数，在（0，＋∞）上为减函数，（—∞，0）上为增函数，故可排除选项B，C，又x＝±１时y＝１，故选Ａ．先去绝对值，再利用单调性判断.答案：（１）A （２）A课时作业２３１．下列函数是对数函数的是（）Ａ．y＝２＋log３xＢ．y＝log a（２a）（a＞0，且a≠１）Ｃ．y＝log a x２（a＞0，且a≠１）Ｄ．y＝ln x解析：判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有“y＝log a x”的形式，A，B，C全错，D正确．答案：D２．若某对数函数的图象过点（４,２），则该对数函数的解析式为（）Ａ．y＝log２xＢ．y＝２log４xＣ．y＝log２x或y＝２log４xＤ．不确定解析：由对数函数的概念可设该函数的解析式为y＝log a x（a＞0，且a≠１，x＞0），则２＝log a４即a２＝４得a＝２．故所求解析式为y＝log２x.答案：A３．设函数y＝错误!的定义域为A，函数y＝ln（１—x）的定义域为B，则A∩B＝（）Ａ．（１,２）Ｂ．（１,２]Ｃ．（—２,１）Ｄ．[—２,１）解析：由题意可知A＝{x|—２≤x≤２}，B＝{x|x＜１}，故A∩B＝{x|—２≤x＜１}．答案：D４．已知a＞0，且a≠１，函数y＝a x与y＝log a（—x）的图象只能是下图中的（）解析：由函数y＝log a（—x）有意义，知x＜0，所以对数函数的图象应在y轴左侧，可排除A，Ｃ．又当a＞１时，y＝a x为增函数，所以图象B适合．二、填空题５．若f（x）＝log a x＋（a２—４a—５）是对数函数，则a＝________.解析：由对数函数的定义可知错误!，∴a＝５．答案：５6．已知函数f（x）＝log３x，则f错误!＋f（１５）＝________.解析：f错误!＋f（１５）＝log３错误!＋log３１５＝log３２7＝３．答案：３7．函数f（x）＝log a（２x—３）（a＞0且a≠１）的图象恒过定点P，则P点的坐标是________．解析：令２x—３＝１，解得x＝２，且f（２）＝log a１＝0恒成立，所以函数f（x）的图象恒过定点P（２,0）．答案：（２,0）三、解答题8．求下列函数的定义域：（１）y＝log３（１—x）；（２）y＝错误!；（３）y＝log7错误!.解析：（１）由１—x＞0，得x＜１，∴函数y＝log３（１—x）的定义域为（—∞，１）．（２）由log２x≠0，得x＞0且x≠１．∴函数y＝错误!的定义域为{x|x＞0且x≠１}．（３）由错误!＞0，得x＜错误!.∴函数y＝log7错误!的定义域为错误!.9．已知f（x）＝log３x.（１）作出这个函数的图象；（２）若f（a）＜f（２），利用图象求a的取值范围．解析：（１）作出函数y＝log３x的图象如图所示（２）令f（x）＝f（２），即log３x＝log３２，解得x＝２．由图象知，当0＜a＜２时，恒有f（a）＜f（２）．∴所求a的取值范围为0＜a＜２．[尖子生题库]１0．已知函数y＝log２x的图象，如何得到y＝log２（x＋１）的图象？y＝log２（x ＋１）的定义域与值域是多少？与x轴的交点是什么？解析：y＝log２x错误!y＝log２（x＋１），如图．定义域为（—１，＋∞），值域为R，与x轴的交点是（0,0）．。

人教版A版(2019)高中数学必修第一册：第四章指数函数与对数函数综合测试(附答案与解析)

知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
第四章综合测试
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合 M = x | x ＜3 ， N = x | log3 x＜1 ，则 M N 等于（）
A.
B.x | 0＜x＜3
在
R
上有最大值，则
a
的
取值范围为（）
A.
−
2 2
,
−
1 2
B.
−1,
−
1 2
C.
−
2 2
,
−
1 2
D.
−
2 2
,
0
0,
1 2
11.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增加 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是（参考数据： lg1.12 0.05,lg1.3 0.11,lg 2 0.30 ）（）
【解析】 Q f (x) = log2 (ax −1) 在 (−3, −2) 上为减函数，
a＜0 且 ax −1＞0 在 (−3, −2) 上恒成立，−2a −1≥0 ，
a≤ − 1 . 2
又
g(
x)
在
R
上有最大值，且
g
(x)
在
−,
1 2
上单调递增，
g
(
x)
在
1 2
,
+
上单调递减，且
log
，当
log z
x
=

新教材人教A版高一数学必修一知识点与题型方法总结第四章指数函数与对数函数

新教材人教A版高一数学必修一知识点与题型方法总结第四章指数函数与对数函数【考纲要求】序号考点课标要求1指数函数①通过对有理数指数幂且为整数，且，实数指数幂含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质。

了解②通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念了解③能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点。

掌握2对数函数①理解对数的概念，及运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数和常用对数理解②通过具体实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点掌握③知道对数函数与指数函数互为反函数.了解3二分法与求方程近似解①结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系了解②结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性。

掌握4函数与数学模型①理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具。

在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律。

理解②结合现实情境中的具体问题，利用计算公具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”、“直线上升”、“指数爆炸”等术语的现实含义。

理解③收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义。

了解4.1 指数知识点总结4.1.1 次方根与分数指数幂一、次方根的概念与性质1.次方根（1）定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且。

（2）次方根的性质①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数。

这时，的次方根用符号表示。

例如：，，。

②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数。

这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示。

新教材高中数学第四章指数函数与对数函数函数的零点与方程的解课件新人教A版必修第一册ppt

.
探索点三函数零点所在区间问题
【例 3】 (1)函数 g(x)=2x+5x 的零点 x0 所在的一个
区间是 (
)
A.(-2,-1)
B.(-1,0)
C.(0,1)
D.(1,2)
解析:因为函数 g(x)=2x+5x 在 R 上单调递增,
且 g(-1)=2-1-5<0,g(0)=1>0,
所以 g(-1)·g(0)<0,
-
解析:令 f(x)=
得 x-2=0 或 ln x=0,解得 x=2 或 x=1.
故函数 f(x)的零点为 1 和 2.
e,0和-2
-, > ,
(2)函数 f(x)=
的零点是
- -, ≤
≤ ,
-
=
,
解析:由 f(x)=0,得
或
- - = ,
≥ ,
< ,
或

= ,
| -| =
-
< ,
< ,
≥ ,
整理,得
或
或
- = - = - = ,
解得 x=1 或 x=4.故选 A.
答案:A
x
(2)方程 3 +log2x=0 在区间

,1

上的实数根的个数为 1 .
解析:方法 1 方程 3x+log2x=0 可化为 3x=-log2x=lo x.设
所以函数 g(x)在区间(-1,0)上存在唯一的零点,
故选 B.
答案:B
(2)若 x0 是方程( )x= 的解,则 x0 属于区间 (
A.( ,1)
B.( , )

新教材高中数学第四章指数函数与对数函数对数的运算学案含解析新人教A版必修第一册

4．3.2 对数的运算[目标] 1.理解对数的运算性质；2.能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；3.了解对数在简化运算中的作用．[重点] 对数的运算性质的推导与应用．[难点] 对数的运算性质的推导和换底公式的应用．知识点一对数的运算性质[填一填]如果a >0,且a ≠1,M >0,N >0.那么： (1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N . (2)log a MN ＝log a M －log a N .(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )．[答一答]1．若M ,N 同号,则式子log a (M ·N )＝log a M ＋log a N 成立吗？提示：不一定,当M >0,N >0时成立,当M <0,N <0时不成立． 2．你能推导log a (MN )＝log a M ＋log a N 与log a MN ＝log a M －log a N(M ,N >0,a >0且a ≠1)两个公式吗？提示：①设M ＝a m ,N ＝a n ,则MN ＝a m ＋n .由对数的定义可得log a M ＝m ,log a N ＝n ,log a (MN )＝m ＋n .这样,我们可得log a (MN )＝log a M ＋log a N . ②同样地,设M ＝a m ,N ＝a n ,则M N ＝a m －n .由对数定义可得log a M ＝m , log a N ＝n ,log a MN ＝m －n ,即log a MN ＝log a M －log a N .知识点二换底公式[填一填]前提原对数的底数a 的取值范围a >0,且a ≠1条件原对数的真数b 的取值范围 b >0 换底后对数的底数c 的取值范围c >0,且c ≠1公式log a b ＝log c blog c a换底公式常见的推论： (1)log an b n ＝log a b ；(2)log am b n ＝n m log a b ,特别log a b ＝1log b a ；(3)log a b ·log b a ＝1； (4)log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .[答一答]3．换底公式的作用是什么？提示：利用换底公式可以把不同底数的对数化为同底数的对数． 4．若log 34·log 48·log 8m ＝log 416,求m 的值．提示：∵log 34·log 48·log 8m ＝log 416,∴lg4lg3·lg8lg4·lg mlg8＝log 442＝2,化简得lg m ＝2lg3＝lg9, ∴m ＝9.类型一对数运算性质的应用 [例1] 计算下列各式： (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)2lg2＋lg31＋12lg0.36＋13lg8；(3)lg25＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.[分析] (1)(2)正用或逆用对数的运算性质化简；(3)用lg2＋lg5＝1化简．[解] (1)(方法1)原式＝12(5lg2－2lg7)－43×32lg2＋12(2lg7＋lg5)＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5＝12lg2＋12lg5＝12(lg2＋lg5)＝12lg10＝12. (方法2)原式＝lg427－lg4＋lg(75)＝lg 42×757×4＝lg(2×5)＝lg 10＝12. (2)原式＝lg4＋lg31＋lg0.6＋lg2＝lg12lg (10×0.6×2)＝lg12lg12＝1.(3)原式＝2lg5＋2lg2＋(1－lg2)(1＋lg2)＋(lg2)2＝2(lg5＋lg2)＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝2＋1＝3.利用对数的运算性质解决问题的一般思路：(1)把复杂的真数化简；(2)正用公式：对式中真数的积、商、幂、方根,运用对数的运算法则,将它们化为对数的和、差、积、商,然后再化简；(3)逆用公式：对式中对数的和、差、积、商,运用对数的运算法则,将它们化为真数的积、商、幂、方根,然后化简求值.[变式训练1] (1)计算：log 53625＝43；log 2(32×42)＝9.(2)计算：lg8＋lg125＝3；lg 14－lg25＝－2；2log 36－log 34＝2.类型二换底公式的应用[例2] (1)计算：(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)； (2)已知log 189＝a,18b ＝5,试用a ,b 表示log 3645.[解] (1)原式＝⎝⎛⎭⎫lg2lg3＋lg2lg9⎝⎛⎭⎫lg3lg4＋lg3lg8＝⎝⎛⎭⎫lg2lg3＋lg22lg3⎝⎛⎭⎫lg32lg2＋lg33lg2＝3lg22lg3·5lg36lg2＝54. (2)由18b ＝5,得log 185＝b ,∴log 3645＝log 18(5×9)log 18(18×2)＝log 185＋log 1891＋log 182＝log 185＋log 1891＋log 18189＝log 185＋log 1892－log 189＝a ＋b 2－a.利用换底公式可以统一“底”,以方便运算.在用换底公式时,应根据题目特点灵活换底.由换底公式可推出常用结论：log a b ·log b a ＝1.[变式训练2] 计算下列各式：(1)(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 52＋log 254＋log 1258)． (2)log 89log 23×log 6432. 解：(1)方法1：原式＝⎝⎛⎭⎫log 253＋log 225log 24＋log 25log 28 ⎝⎛⎭⎫log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125＝⎝⎛⎭⎫3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22·⎝⎛⎭⎫log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55＝⎝⎛⎭⎫3＋1＋13log 25·(3log 52) ＝13log 25·log 22log 25＝13.方法2：原式＝⎝⎛⎭⎫lg125lg2＋lg25lg4＋lg5lg8⎝⎛⎭⎫lg2lg5＋lg4lg25＋lg8lg125＝⎝⎛⎭⎫3lg5lg2＋2lg52lg2＋lg53lg2⎝⎛⎭⎫lg2lg5＋2lg22lg5＋3lg23lg5＝⎝⎛⎭⎫13lg53lg2⎝⎛⎭⎫3lg2lg5＝13.(2)方法1：原式＝log 29log 28÷log 23×log 232log 264＝2log 233÷log 23×56＝59.方法2：原式＝lg9lg8÷lg3lg2×lg32lg64＝2lg33lg2×lg2lg3×5lg26lg2＝59.类型三与对数方程有关的问题[例3] (1)若lg(x －y )＋lg(x ＋2y )＝lg2＋lg x ＋lg y ,求xy 的值；(2)解方程：log 2x ＋log 2(x ＋2)＝3. [解] (1)由题可知lg[(x －y )(x ＋2y )]＝lg(2xy ), 所以(x －y )(x ＋2y )＝2xy ,即x 2－xy －2y 2＝0. 所以⎝⎛⎭⎫x y 2－x y －2＝0. 解得x y ＝2或xy＝－1.又因为x >0,y >0,x －y >0.所以x y ＝2.(2)由方程可得log 2x ＋log 2(x ＋2)＝log 28. 所以log 2[x (x ＋2)]＝log 28, 即x (x ＋2)＝8.解得x 1＝2,x 2＝－4. 因为x >0,x ＋2>0,所以x ＝2.对数方程问题的求解策略：,利用对数运算性质或换底公式将方程两边写成同底的对数形式,由真数相等求解方程,转化过程中注意真数大于零这一条件,防止增根.[变式训练3] (1)方程lg x ＋lg(x －1)＝1－lg5的根是( B ) A ．－1 B ．2 C ．1或2D ．－1或2(2)已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y ),则log2xy的值为4. 解析：(1)由真数大于0,易得x >1,原式可化为lg[x (x －1)]＝lg2⇒x (x －1)＝2⇒x 2－x －2＝0⇒x 1＝2,x 2＝－1(舍)．(2)因为lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y ), 所以lg xy ＝lg(x －2y )2,所以xy ＝(x －2y )2,即x 2－5xy ＋4y 2＝0. 所以(x －y )(x －4y )＝0,解得x ＝y 或x ＝4y .因为x >0,y >0,x －2y >0,所以x ＝y 应舍去, 所以xy＝4.故log2xy＝log 24＝4.类型四对数的实际应用[例4] 人们对声音有不同的感觉,这与它的强度有关系．声音强度I 的单位用瓦/平方米(W/m 2)表示,但在实际测量时,声音的强度水平常用L 1表示,它们满足以下公式：L 1＝10lg II 0(单位为分贝,L 1≥0,其中I 0＝1×10－12W/m 2,是人们平均能听到的最小强度,是听觉的开端)．回答下列问题：树叶沙沙声的强度是1×10－12W/m 2,耳语的强度是1×10－10W/m 2,恬静的无线电广播的强度是1×10－8W/m 2,试分别求出它们的强度水平．[解] 由题意,可知树叶沙沙声的强度是I 1＝1×10－12W/m 2,则I 1I 0＝1,故LI 1＝10·lg1＝0,则树叶沙沙声的强度水平为0分贝；耳语的强度是I 2＝1×10－10W/m 2,则I 2I 0＝102,故LI 2＝10lg102＝20,即耳语声的强度水平为20分贝．同理,恬静的无线电广播强度水平为40分贝．对数运算在实际生产和科学技术中运用广泛,其运用问题大致可分为两类：一类是已知对数应用模型(公式),在此基础上进行一些实际求值.计算时要注意利用“指、对互化”把对数式化成指数式.另一类是先建立指数函数应用模型,再进行指数求值,此时往往将等式两边进行取对数运算.[变式训练4] 抽气机每次抽出容器内空气的60%,要使容器内的空气少于原来的0.1%,则至少要抽几次？(lg2≈0.301 0)解：设至少抽n 次可使容器内空气少于原来的0.1%,则a (1－60%)n <0.1%a (设原先容器中的空气体积为a ),即0.4n <0.001,两边取常用对数得n ·lg0.4<lg0.001,所以n >lg0.001lg0.4＝－32lg2－1≈7.5.故至少需要抽8次．1．设a ,b ,c 均为不等于1的正实数,则下列等式中恒成立的是( B ) A ．log a b ·log c b ＝log c a B ．log a b ·log c a ＝log c bC ．log a (bc )＝log a b ·log a cD ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c解析：由换底公式得log a b ·log c a ＝lg b lg a ·lg a lg c ＝log c b ,所以B 正确．2．2log 32－log 3329＋log 38的值为( B )A.12 B ．2 C ．3D.13解析：原式＝log 34－log 3329＋log 38＝log 34×8329＝log 39＝2.3．lg 5＋lg 20的值是1.解析：lg 5＋lg 20＝lg(5×20)＝lg 100＝1.4．若a >0,且a ≠1,b >0,且b ≠1,则由换底公式可知log a b ＝lg b lg a ,log b a ＝lg a lg b ,所以log a b ＝1log b a ,试利用此结论计算1log 321＋1log 721＝1.解析：1log 321＋1log 721＝lg3lg21＋lg7lg21＝lg (3×7)lg21＝1.5．计算：(1)3log 72－log 79＋2log 7⎝⎛⎭⎫322；(2)(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25.解：(1)原式＝log 78－log 79＋log 798＝log 78－log 79＋log 79－log 78＝0.(2)原式＝lg2(lg2＋lg50)＋2lg5＝lg2·lg100＋2lg5 ＝2lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2lg10＝2.——本课须掌握的两大问题1．运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质． (2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用． (3)在运算过程中避免出现以下错误：①log a N n ＝(log a N )n ,②log a (MN )＝log a M ·log a N ,③log a M ±log a N ＝log a (M ±N )．2．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化,可正用,逆用；使用的关键是恰当选择底数,换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．。

新教材2023年高中数学第四章数列章末整合提升课件新人教A版选择性必修第二册

[解析] Sn＝1＋2x＋3x2＋4x3＋…＋nxn－1，① xSn＝x＋2x2＋3x3＋…＋(n－1)xn－1＋nxn，② 由①－②，得(1－x)Sn＝1＋x＋x2＋…＋xn－1－nxn，
当 x≠1 时，(1－x)Sn＝11－－xxn－nxn ＝1－xn－1n－xnx＋nxn＋1＝1－（1＋1n－）xxn＋nxn＋1， ∴Sn＝1－（1（＋1n－）x）xn＋2 nxn＋1；
∴bn＝32＋(n－1)×12＝1＋n2， Sn＝2b2nb－n 1＝21＋＋nn，当 n＝1 时，a1＝S1＝32，
当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝21＋＋nn－1＋n n＝－n（n1＋1），显然对于 n ＝1 不成立，
∴an＝2－3，n（n＝n1＋1 1），n≥2.
[规律方法] 已知某条件式，证明关于an(或Sn)的某个表达式成等差 (或等比)数列，问题本身就给出了条件式的变形方向，可依据等差(等比) 数列定义，结合an＝Sn－Sn－1(n≥2)对条件式变形构造新数列求解．
典例1 已知数列{an}中，a1＝1，且an＋1－an＝3n－n，求数列 {an}的通项公式．
[解析] 由an＋1－an＝3n－n，得an－an－1＝3n－1－(n－1)， an－1－an－2＝3n－2－(n－2)， ……
a3－a2＝32－2，a2－a1＝3－1.
当 n≥2 时，以上 n－1 个等式两端分别相加，得(an－an－1)＋(an－1－ an－2)＋…＋(a2－a1)
典例7 求数列 214，418，6116，…，2n＋2n1＋1，…的前 n 项和 Sn. [分析] 此数列的通项公式为 an＝2n＋2n1＋1，而数列{2n}是一个等差数列，数列2n1＋1是一个等比数列，故采用分组求和法．
[解析] Sn＝214＋418＋6116＋…＋2n＋2n1＋1

2019-2020学年新教材素养突破人教A版数学必修第一册章末质量检测(四) Word版含解析

姓名，年级：时间：章末质量检测（四) 指数函数与对数函数一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.lg 9－12等于（）A．lg 9－1 B．1－lg 9C．8 D．2错误!解析：因为lg 9＜lg 10＝1，所以错误!＝1－lg 9。

答案：B2．函数y＝错误!的定义域是（）A．（－∞,2） B．(2,＋∞）C．（2，3)∪（3,＋∞) D．(2，4)∪（4，＋∞）解析:由错误!得x＞2且x≠3，故选C.答案：C3．函数f（x）＝错误!的值域是（）A．(－∞，1) B．（0,1)C．(1，＋∞） D．(－∞，1)∪（1，＋∞）解析:∵3x＋1＞1，∴0＜错误!＜1，∴函数值域为(0，1）．答案：B4．函数f(x)＝x ln x的零点为( )A．0或1 B．1C．(1，0） D．（0，0)或（1,0）解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，由f（x）＝0得x＝0或ln x＝0，即x＝0或x＝1。

又因为x∈（0，＋∞)，所以x＝1。

故选B.答案：B5．方程0。

9x－x＝0的实数解的个数是（)A．0个 B．1个C．2个 D．3个解析：设f（x）＝0.9x－x，则f(x)为减函数,值域为R，故f（x)有1个零点，∴方程0.9x－x＝0有一个实数解．答案：B6．已知log32＝a,3b＝5，则log3错误!用a，b表示为（)A。

错误!(a＋b＋1） B。

错误!（a＋b）＋1C 。

错误!（a ＋b ＋1)D 。

错误!a ＋b ＋1解析:因为3b＝5，所以b ＝log 35，log 330＝错误!log 330＝错误!(log 33＋log 32＋log 35)＝错误!（1＋a ＋b ）．答案：A7．已知a ＝52log 3.4，b ＝54log 3.6，c ＝（错误!）3log 0.3，则( ） A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．a ＞c ＞b D ．c ＞a ＞b解析：c ＝5log 3错误!只需比较log 23。

【新教材课件】2021学年高中数学人教A版必修第一册：本章总结第四章指数函数与对数函数

[解] (1)当 0≤t≤1 时，点 M(1,4)在线段 y＝kt 上，则 k＝4，
这时 y＝4t；
当 t≥1 时，点 M(1,4)在曲线 y＝(12)t－a 上，则(12)1－a＝4，得 a
＝3，这时
y＝(12)t－3，所以
4t0≤t≤1， f(t)＝12t－3t>1.
(2)由题意知，需 f(t)≥0.25，当 0≤t≤1 时，由 4t≥0.25，得 t≥116，所以116≤t≤1；当 t>1 时，由(12)t－3≥0.25＝(12)2，得 t≤5，所以 1<t≤5. 所以满足 f(t)≥0.25 时，116≤t≤5. 由此知，服药一次治疗疾病有效的时间为 5－116＝41156小时．
[例 6] 已知函数 f(x)＝aaxx－＋11(a>0，且 a≠1)． (1)求 f(x)的定义域和值域； (2)讨论 f(x)的单调性． [分析] 由指数函数的定义知 y＝ax(a>0，且 a≠1)的定义域为 x∈R，且 y＝ax>0，因此在求函数值域时可由 ax>0 求 y 的取值范围．在讨论单调性时，可由定义入手，也可由指数函数单调性入手．
Байду номын сангаас
[例 7] 设 f(x)＝2－x，x，x≥x<00，. (1)f(x)有零点吗？ (2)设 g(x)＝f(x)＋k，为了使方程 g(x)＝0 有且只有一个根，k 应该怎样限制？ (3)当 k＝－1 时，g(x)有零点吗？如果有，把它求出来，如果没有，请说明理由； (4)请给 k 规定一个范围，使得方程 g(x)＝0 总有两个根．
专题五指数函数、对数函数的实际应用 [例 10] 某医药研究所开发了一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量 y(微克)与时间 t(小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线．

新教材2024年秋高中数学章末综合测评4指数函数与对数函数新人教A版必修第一册

章末综合测评(四) 指数函数与对数函数(时间：120分钟满分：150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若a<，则化简的结果是( )A．B．－C．D．－2．函数y＝·ln (2－x)的定义域为( )A．(1，2) B．[1，2)C．(1，2] D．[1，2]3．函数f(x)＝的零点个数为( )A．0 B．1C．2 D．34．(2024·河南信阳高一期末)若4m＝3，则log312＝( )A． B． C． D．5．函数y＝log2(2x＋1)的值域是( )A．[1，＋∞)B．(0，1)C．(－∞，0) D．(0，＋∞)6．(2024·四川泸州高一期末)在α型病毒病情初始阶段，可以用指数函数模型I(t)＝e rt 描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的改变规律．指数增长率r与R0、T近似满意R0＝1＋rT，其中R0为病毒基本再生数，T为两代间传染所需的平均时间，有学者基于已有数据估计出R0＝3.22，T＝10.据此，在α型病毒病情初始阶段，累计感染病例数增加至I(0)的4倍，至少须要(参考数据：ln 2≈0.69)()A．6天B．7天C．8天D．9天7．设a，b，c均为正数，且2a＝，＝b＝log2c，则( )A．a<b<c B．c<b<aC．c<a<b D．b<a<c8．若函数f(x)＝(k－1)a x－a－x(a>0且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝log a|x ＋k|的大致图象是( )A BC D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．(2024·河南南阳高一期中)已知函数f(x)＝a x+1＋2(a>0且a≠1)的图象过定点(a－3，3)，则( )A．a＝3B．f(1)＝6C．f(x)为R上的增函数D．f(x)>10的解集为(2，＋∞)10．(2024·江苏淮安高一期中)已知正实数a，b满意b a＝4，且a＋log2b＝3，则a＋b的值可以为( )A．2 B．3 C．4 D．511．若f(x)＝lg (|x－2|＋1)，则下列命题正确的是( )A．f(x＋2)是偶函数B．f(x)在区间(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数C．f(x)没有最大值D．f(x)没有最小值12．已知正实数x，y满意log2x＋y－，则下列结论肯定正确的是( ) A．B．x3<y3C．ln (y－x＋1)>0 D．2x－y<三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若f(x)＝为R上的奇函数，则实数a的值为________．14．已知函数f(x)＝a x-1＋1(a>0，a≠1)的图象恒过点A，试写出一个满意下列条件的对数型函数g(x)的解析式________．①图象恒过点A；②是偶函数；③在(0，＋∞) 上单调递减．15．(2024·江苏南京高一期末)闻名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，假如物体的初始温度为θ1℃，空气温度为θ0℃，则t分钟后物体的温度θ(单位：℃)满意：θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt.若当空气温度为30℃时，某物体的温度从90℃下降到60℃用时14分钟．则再经过28分钟后，该物体的温度为________℃.16．已知幂函数y＝f(x)的图象过点(8，m)和(9，3)．(1)实数m的值为________；(2)若函数g(x)＝a f(x)(a>0，a≠1)在区间[16，36]上的最大值等于最小值的两倍，则实数a 的值为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)(2024·湖北襄阳五中期中)(1)求(×)6＋×＋lg 500－lg 0.5的值；(2)设2x＝3y＝72，求的值．18．(本小题满分12分)已知指数函数f(x)＝a x(a>0，且a≠1)过点(－2，9)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若f(2m－1)－f(m＋3)<0，求实数m的取值范围．19．(本小题满分12分)已知指数函数f(x)＝a x(a＞0，且a≠1)过点(m，n)；在＋2x＋4的顶点坐标为(m，n)，③函数y＝log b x＋3(b＞0，且b≠1)过定点(m，n)这三个条件中任选一个，回答下列问题．(1)求f(x)的解析式，推断并证明g(x)＝f(x)＋的奇偶性；(2)解不等式：log a(1＋x)＜log a(2－x)．20．(本小题满分12分)设函数f(x)＝log2(a x－b x)，且f(1)＝1，f(2)＝log212.(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)的零点；(3)设g(x)＝a x－b x，求g(x)在[0，4]上的值域．21．(本小题满分12分)(2024·山东德州市第一中学期末)某医药公司研发的一种新药，假如成年人按规定的剂量服用，由监测数据可知，服用后6小时内每毫升血液中含药量y(单位：微克)与时间t(单位：时)之间的关系满意如图所示的曲线，当t∈[0，1.5)时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[1.5，6]时，曲线是函数y＝log a(t＋2.5)＋5(a＞0，a≠1)图象的一部分，依据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于2微克时，治疗有效．(1)试求服药后6小时内每毫升血液中含药量y与时间t之间的函数关系式；(2)问服药多久后起先有治疗效果？治疗效果能持续多少小时？(精确到0.1)(参考数据≈1.414)22．(本小题满分12分)若在定义域内存在实数x0，使f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)成立，则称函数有“漂移点”x0.(1)请推断函数f(x)＝是否有漂移点？并说明理由；(2)求证：函数f(x)＝x2＋3x在(0，1)上存在漂移点；(3)若函数f(x)＝lg在(0，＋∞)上有漂移点，求实数a的取值范围．章末综合测评(四)1．C2．B3．B4．A5．D6．B7．A8．B9．BCD[由题意可得a a-2＋2＝3恒成立，故a＝2，A错误；依据题意，得a＝2，∴f (x)＝2x+1＋2，∴f (1)＝22＋2＝6，故B正确；∵f (x)＝2x+1＋2，∴f (x)为R上的增函数，C正确；f (x)＝2x+1＋2>10，解得x>2，D正确．故选BCD．]10．CD[因为b a＝4，所以log b4＝a，故a＋log2b＝log b4＋log2b＝2log b2＋log2b＝3，设log2b＝x，则log b2＝故x＝3，解得x＝1或2，当x＝1时，log2b＝1，故b＝2，a＝log24＝2，故a＋b＝4；当x＝2时，log2b＝2，故b＝4，a＝log44＝1，故a＋b＝5．故选CD．]11．ABC[f (x)＝lg (|x－2|＋1)，所以f (x＋2)＝lg (|x|＋1)为偶函数，故A正确．画出函数的图象，如图所示，所以函数在(－∞，2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，且存在最小值，没有最大值，故ABC正确．故选ABC．]12．BC[∵正实数x，y满意log2x＋log<∴log2x－<log2y－．易知f (x)＝log2x－(0，＋∞)上为增函数，故x<y，∴>x3<y3，故A错误、B正确；∴y－x>0，y－x＋1>1，ln (y－x＋1)>0，故C正确；2x－y<20＝1，故D不肯定正确．故选BC．] 13．[因为f (x)＝R上的奇函数，所以f (0)＝0，即＝0，所以a ＝．经检验，a＝．]14．g(x)＝＋2(答案不唯一) [函数f (x)＝a x-1＋1中，令x－1＝0，解得x＝1，f (1)＝a0＋1＝2，所以f (x)的图象恒过点A(1，2)．取g(x)＝2，则g(1)＝2，满意条件①；g(x)＝g(－x)，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，则g(x)是偶函数，满意条件②；易知g(x)在(0，＋∞)内单调递减，满意条件③．]15.37.5 [由题知θ0＝30，θ1＝90，θ＝60，所以，60＝30＋(90－30)e-14k，可得e-14k＝再经过28分钟后，该物体的温度为θ＝30＋(90－30)e-42k＝30＋(90－30)(e-14k)3＝37.5．]16．(1)2(2)或[(1)设f (x)＝xα，依题意可得9α＝3，∴α＝，f (x)＝，∴m＝f (8)＝＝2．(2)g(x)＝a，∵x∈[16，36]，∴∈[4，6]，当0<a<1时，g(x)max＝a4，g(x)min＝a6，由题意得a4＝2a6，解得a＝；当a>1时，g(x)max＝a6，g(x)min＝a4，由题意得a6＝2a4，解得a＝．综上，所求实数a的值为或．]17．解：(1) (×)6＋×＋lg 500－lg 0.5＝23×32＋3×4＋lg ＝72＋12＋3＝87．(2)依题意有x＝log272，y＝log372，＝log722，＝log723，所以＋＝3log722＋2log723＝log72(8×9)＝1．18．解：(1)将点(－2，9)代入f (x)＝a x(a>0，a≠1)中得a-2＝9，解得a＝∴f (x)＝．(2)∵f (2m－1)－f (m＋3)<0，∴f (2m－1)<f (m＋3)．∵f (x)＝∴2m－1>m＋3，解得m>4，∴实数m的取值范围为(4，＋∞)．19．解：(1)由①可知，＋＝0，即解得由②可知函数y＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3的顶点坐标为(1，3)，则由③可知，函数y＝log b x ＋3(b＞0，且b≠1)过定点(1，3)，则综上，三个条件中任选一个，均有即f (x)＝a x过(1，3)，即a＝3，f (x)＝3x．g(x)为偶函数．证明如下：g(x)＝f (x)＋＝3x＋3－x，x∈R，g(－x)＝f (－x)＋＝3x＋3－x＝g(x)，∴g(x)为偶函数．(2)log a(1＋x)＜log a(2－x)，即log3(1＋x)＜log3(2－x)，可化为2－x＞1＋x＞0，∴－1＜x＜．即不等式log a(1＋x)＜log a(2－x)的解集为．20．解：(1)由已知得得解得a＝4，b＝2．(2)由(1)知f (x)＝log2(4x－2x)，令f (x)＝0得4x－2x＝1，即(2x)2－2x－1＝0，解得2x＝，又2x>0，∴2x＝，解得x＝log2．(3)由(1)知g(x)＝4x－2x，令2x＝t，则g(t)＝t2－t＝－，t∈[1，16]，所以g(x)∈[0，240]．21．解：(1)当0≤t<1.5时，由图象可设y＝k(t－1)2＋4，将点(0，0)的坐标代入函数表达式，解得k＝－4，即当0≤t<1.5时，y＝－4(t－1)2＋4，当1.5≤t≤6时，将点(1.5，3)的坐标代入函数y＝log a(t＋2.5)＋5中，解得a＝．故y＝(2)令－4(t－1)2＋4≥2，解得1－≤t≤1＋0.3≤t≤1.7，又0≤t<1.5，∴0.3≤t<1.5，故服药0.3小时之后起先有治疗效果，＋5≥2，解得－2.5<t≤5.5，又1.5≤t≤6，故1.5≤t≤5.5，综上，0.3≤t≤5.5，所以服药后的治疗效果能持续5.2小时．22．解：(1)假设函数f (x)＝“漂移点”x0，则2，x0＋1＝0，因为此方程无实根，与题设冲突，所以函数f (x)＝．(2)证明：令h(x)＝f (x＋1)－f (x)－f (1)＝(x＋1)2＋3x+1－(x2＋3x)－4＝2×3x＋2x－3，所以h(0)＝－1，h(1)＝5．所以h(0)h(1)<0．又h(x)的图象在(0，1)上连续，所以h(x)＝0在(0，1)上至少有一个实根x0，即函数f (x)＝x2＋3x在(0，1)上存在漂移点．(3)若f (x)＝lg (0，＋∞)上有漂移点x0，所以lg ＝lg lg a成立，即a，a>0，整理得a＝由x0>0，0<<1，则0<a<1．则实数a的取值范围是{a|0<a<1}．。

新教材2021高中人教A版数学必修第一册跟踪训练：第一～第四章综合练

第一～第四章综合练一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A＝{1,3,5,6}，则∁U A＝()A．{1,3,5,6}B．{2,3,7}C．{2,4,7} D．{2,5,7}解析：由补集的定义，得∁U A＝{2,4,7}．故选C.答案：C2．设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝()A．[0,1] B．(0,1]C．[0,1) D．(－∞，1]解析：M＝{x|x2＝x}＝{0,1}，N＝{x|lg x≤0}＝{x|0＜x≤1}，M∪N＝[0,1]，故选A.答案：A3．已知a∈R，则“a＞2”是“a2＞2a”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：因为a＞2，则a2＞2a成立，反之不成立，所以“a＞2”是“a2＞2a”成立的充分不必要条件．答案：A4．已知命题p：对任意x＞0，总有e x≥1，则綈p为()A．存在x≤0，使得e x＜1B．存在x＞0，使得e x＜1C．对任意x＞0，总有e x＜1D．对任意x≤0，总有e x＜1解析：因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以，命题p：对任意x＞0，总有e x≥1的否定綈p为：存在x＞0，使得e x＜1.故选B.答案：B5．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是()A．y＝x3B．y＝|x|＋1C ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝2－|x |解析：y ＝x 3是奇函数，y ＝－x 2＋1和y ＝2－|x |在(0，＋∞)上都是减函数，故选B. 答案：B6．命题p ：对∃x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0，则( ) A ．p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0 B ．p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)＞0 C ．p 是真命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0 D ．p 是真命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)＞0解析：∵∀x ∈R,3x ＞0，∴3x ＋1＞1，∴log(3x ＋1)＞0.∴p 是假命题，故綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)＞0.答案：B7．已知x ∈R ，则“x 2－3x ＞0”是“x －4＞0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：x 2－3x ＞0⇔x ＜0或x ＞3，x －4＞0⇔x ＞4.由x 2－3x ＞0不能得出x －4＞0；反过来，由x －4＞0可得出x 2－3x ＞0，因此“x 2－3x ＞0”是“x －4＞0”的必要不充分条件．故选B.答案：B8．设0＜a ＜b ＜1，则下列不等式成立的是( ) A ．a 3＞b 3 B.1a ＜1bC ．a b ＞1D ．lg(b －a )＜a解析：∵0＜a ＜b ＜1，∴0＜b －a ＜1－a ，∴lg(b －a )＜0＜a ，故选D. 答案：D9．已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，则1a ＋4b ( )A ．有最小值8B ．有最小值9C ．有最大值8D ．有最大值9解析：因为1a ＋4b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋4b (a ＋b )＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4a b ＝9，当且仅当b a ＝4a b且a ＋b ＝1，即a ＝13，b ＝23时取等号，所以1a ＋4b的最小值为9，故选B.答案：B10．设f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数，已知x ∈(0,1)时，f (x )＝log 12(1－x )，则函数f (x )在(1,2)上( )A ．是增函数且f (x )＜0B ．是增函数且f (x )＞0C ．是减函数且f (x )＜0D ．是减函数且f (x )＞0解析：设－1＜x ＜0，则0＜－x ＜1，f (－x )＝log 12(1＋x )＝f (x )＞0，故函数f (x )在(－1,0)上单调递减．又因为f (x )以2为周期，所以函数f (x )在(1,2)上也单调递减且有f (x )＞0.答案：D11．设函数f (x )＝2x 1＋2x －12，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数y ＝[f (x )]的值域是( )A ．{0,1}B ．{－1,0}C ．{－1,1}D ．{1}解析：f (x )＝2x 1＋2x －12＝12－11＋2x ，∵2x ＞0， ∴1＋2x ＞1,0＜11＋2x ＜1，∴－1＜－11＋2x＜0， ∴－12＜12－11＋2x ＜12，即－12＜f (x )＜12，∵[x ]表示不超过x 的最大整数，∴y ＝[f (x )]的值域为{－1,0}，故选B. 答案：B12．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a c ＞b d B.a c ＜b d C.a d ＞b c D.a d ＜b c 答案：D二、填空题(把答案填在题中横线上，每小题5分，共20分) 13．已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝________. 解析：∵f (x )＝lg x ，f (ab )＝1，∴lg(ab )＝1，∴f (a 2)＋f (b 2)＝lg a 2＋lg b 2＝2lg(ab )＝2. 答案：214．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋3(x ＞0)，x 2＋1(x ≤0)，若f (a )＝5，则a ＝________.解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，log 2a ＋3＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a 2＋1＝5，解得a ＝4或－2.答案：4或－215．若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值等于________．解析：由f (1＋x )＝f (1－x )可知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝1.结合图象知函数f (x )＝2|x －1|在[1，＋∞)上单调递增，故实数m 的最小值为1.答案：116．关于函数，给出下列命题：①若函数f (x )是R 上的偶函数，f (x ＋3)＝f (x )且满足f (1)＝1，则f (2)－f (－4)＝0；②若函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ＞0，f (x )，x ＜0是偶函数，则f (x )＝x ＋1；③函数y ＝log 13|2x －3|的定义域为⎝⎛⎭⎫32，＋∞. 其中正确的命题是________．(写出所有正确命题的序号)解析：①因为f (x ＋3)＝f (x )且f (－x )＝f (x )，所以f (2)＝f (－1＋3)＝f (－1)＝f (1)＝1，f (－4)＝f (－1)＝f (1)＝1，故f (2)－f (－4)＝0，①正确．②令x ＜0，则－x ＞0，g (－x )＝－x －1.又g (x )为偶函数，所以g (x )＝g (－x )＝－x －1.即f (x )＝－x －1，②不正确．③要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧log 13|2x －3|≥0，|2x －3|＞0，即0＜|2x －3|≤1，所以1≤x ≤2，且x ≠32，即函数的定义域为⎣⎡⎭⎫1，32∪⎝⎛⎦⎤32，2，③不正确．答案：①三、解答题(本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)设全集I＝R，已知集合M＝{x|(x＋3)2≤0}，N＝{x|x2＋x－6＝0}．(1)求(∁R M)∩N；(2)记集合A＝(∁R M)∩N，已知集合B＝{x|a－1≤x≤5－a，a∈R}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围．解析：(1)因为M＝{x|(x＋3)2≤0}＝{－3}，N＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，所以∁R M＝{x|x ∈R且x≠－3}，所以(∁R M)∩N＝{2}．(2)由(1)知A＝(∁R M)∩N＝{2}，所以B＝∅或B＝{2}，当B＝∅时，a－1＞5－a，得a＞3；当B＝{2}时，⎩⎪⎨⎪⎧a－1＝2，5－a＝2，解得a＝3.综上所述，所求a的取值范围为{a|a≥3}．18.(12分)如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 2 cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象．解析：过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H(图略)．因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝2 2 cm，所以BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm.又BC＝7 cm，所以AD＝GH＝3 cm.当点F在BG上时，即x∈[0,2]时，y＝12x2；当点F在GH上时，即x∈(2,5]时，y＝2＋2(x－2)＝2x－2；当点F在HC上时，即x∈(5,7]时，y＝12×(7＋3)×2－12(7－x)2＝－12(x－7)2＋10.综上，得左边部分的面积y关于x的函数解析式为y＝⎩⎨⎧12x2，x∈[0，2]2x－2，x∈(2，5]－12(x－7)2＋10，x∈(5，7].其大致图象如图所示．19．(12分)(2019·成都七中调研)已知函数f (x )＝a －22x ＋1.(1)求f (0)；(2)探究f (x )的单调性，并证明你的结论；(3)若f (x )为奇函数，求满足f (ax )＜f (2)的x 的范围．解析：(1)f (0)＝a －220＋1＝a －1. (2)∵f (x )的定义域为R ， ∴任取x 1，x 2∈R 且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝a －22x 1＋1－a ＋22x 2＋1＝2·(2x 1－2x 2)(1＋2x 1)(1＋2x 2)，∵y ＝2x 在R 上单调递增且x 1＜x 2， ∴0＜2x 1＜2x 2，∴2x 1－2x 2＜0,2x 1＋1＞0,2x 2＋1＞0. ∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)． ∴f (x )在R 上单调递增．(3)∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即a －22－x ＋1＝－a ＋22x ＋1，解得a ＝1(或用f (0)＝0去解)． ∴f (ax )＜f (2)即为f (x )＜f (2)，又∵f (x )在R 上单调递增，∴x ＜2. ∴不等式的解集为(－∞，2)．20．(12分)已知函数f (x )＝2a ·4x －2x －1.(1)当a ＝1时，求函数f (x )在x ∈[－3,0]上的值域； (2)若关于x 的方程f (x )＝0有解，求a 的取值范围．解析：(1)当a ＝1时，f (x )＝2·4x －2x －1＝2(2x )2－2x －1，令t ＝2x ，x ∈[－3,0]，则t ∈[18，1]．故y ＝2t 2－t －1＝2(t －14)2－98，t ∈[18，1]，故值域为[－98，0]．(2)关于x 的方程2a (2x )2－2x －1＝0有解，设2x ＝m ＞0，等价于方程2am 2－m －1＝0在(0，＋∞)上有解，记g (m )＝2am 2－m －1，当a ＝0时，解为m ＝－1＜0，不成立．当a ＜0时，开口向下，对称轴m ＝14a ＜0，过点(0，－1)，不成立．当a ＞0时，开口向上，对称轴m ＝14a ＞0，过点(0，－1)，必有一个根为正，综上得a ＞0.21．(12分)(2019·天津一中月考)设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间[0，32]上的最大值．解析：(1)∵f (1)＝2， ∴log a 4＝2(a ＞0，a ≠1)， ∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，得x ∈(－1,3)， ∴函数f (x )的定义域为(－1,3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝ log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]， ∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数，当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在[0，32]上的最大值是f (1)＝log 24＝2.22．(12分)(2019·邯郸模拟)已知函数f (x )＝log a (3－ax )． (1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．解析：(1)∵a ＞0，且a ≠1，设t (x )＝3－ax ，则t (x )＝3－ax 为减函数，当x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a ， ∵当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义，即x ∈[0,2]时，3－ax ＞0恒成立． ∴3－2a ＞0，∴a ＜32.又a ＞0且a ≠1，∴a ∈(0,1)∪(1，32)．(2)由(1)知函数t (x )＝3－ax 为减函数． ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数， ∴y ＝log a t 在[1,2]上为增函数， ∴a ＞1，当x ∈[1,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，f (x )的最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a ＞0，log a (3－a )＝1，即⎩⎨⎧a ＜32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.。

新人教A版新教材学高中数学必修第一册第四章指数函数与对数函数对数的运算讲义

知识点一对数的运算性质若a＞0，且a≠１，M＞0，N＞0，那么：（１）log a（M·N）＝log a M＋log a N，（２）log a错误!＝log a M—log a N，（３）log a M n＝n log a M（n∈R）．错误!对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立 . 例如，log２[（—３）·（—５）]＝log２（—３）＋log２（—５）是错误的．知识点二对数换底公式log a b＝错误!（a＞0，a≠１，c＞0，c≠１，b＞0）．特别地：log a b·log b a＝１（a＞0，a≠１，b＞0，b≠１）．错误!对数换底公式常见的两种变形（１）log a b·log b a＝１，即错误!＝log b a ，此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数 .（２）log N n M m＝错误!log N M，此公式表示底数变为原来的n次方，真数变为原来的m次方，所得的对数值等于原来对数值的错误!倍．[教材解难]换底公式的推导设x＝log a b，化为指数式为a x＝b，两边取以c为底的对数，得log c a x＝log c b，即x log c a＝log c b.所以x＝错误!，即log a b＝错误!.[基础自测]１．下列等式成立的是（）Ａ．log２（8—４）＝log２8—log２４Ｂ．错误!＝log２错误!Ｄ．log２（8＋４）＝log２8＋log２４解析：由对数的运算性质易知C正确．答案：C２．错误!的值为（）Ａ．错误!Ｂ．２Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：原式＝log３9＝２．答案：B３．２log５１0＋log５0．２５＝（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．４解析：原式＝log５１0２＋log５0．２５＝log５（１0２×0．２５）＝log５２５＝２．答案：C４．已知ln ２＝a，ln ３＝b，那么log３２用含a，b的代数式表示为________．解析：log３２＝错误!＝错误!.答案：错误!题型一对数运算性质的应用[教材P１２４例３]例１求下列各式的值：（１）lg 错误!；（２）log２（４7×２５）．【解析】（１）lg错误!＝lg １0015＝错误!lg １00＝错误!；（２）log２（４7×２５）＝log２４7＋log２２５＝7×２＋５×１＝１9．利用对数运算性质计算．教材反思１．对于同底的对数的化简，常用方法是：（１）“收”，将同底的两对数的和（差）收成积（商）的对数；（２）“拆”，将积（商）的对数拆成对数的和（差）．２．对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式，要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg ２＋lg ５＝１在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．跟踪训练１（１）计算：lg错误!＋２lg ２—错误!—１＝________.（２）求下列各式的值．１log５３＋log５错误!２（lg ５）２＋lg ２·lg ５0３lg ２５＋错误!lg 8＋lg ５·lg ２0＋（lg ２）２.解析：（１）lg错误!＋２lg ２—错误!—１＝lg ５—lg ２＋２lg ２—２＝（lg ５＋lg ２）—２＝１—２＝—１．（２）１log５３＋log５错误!＝log５错误!＝log５１＝0．２（lg ５）２＋lg ２·lg ５0＝（lg ５）２＋（１＋lg ５）lg ２＝（lg ５）２＋lg ２＋lg ２·lg ５＝lg ５（lg ５＋lg ２）＋lg ２＝lg ５＋lg ２＝lg １0＝１．３原式＝lg ２５＋lg 823＋lg错误!·lg（１0×２）＋（lg ２）２＝lg ２５＋lg ４＋（lg １0—lg ２）（lg １0＋lg ２）＋（lg ２）２＝lg １00＋（lg １0）２—（lg ２）２＋（lg ２）２＝２＋１＝３．答案：（１）—１（２）见解析利用对数运算性质化简求值．题型二对数换底公式的应用[经典例题]例２（１）已知２x＝３y＝a，错误!＋错误!＝２，则a的值为（）Ａ．３6 Ｂ．6Ｃ．２错误!Ｄ．错误!（２）计算下列各式：１log89·log２7３２．２２lg ４＋lg ５—lg 8—错误!2 -3.３6４错误!＋lg ４＋２lg ５．【解析】（１）因为２x＝３y＝a，所以x＝log２a，y＝log３a，所以错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝log a２＋log a３＝log a6＝２，所以a２＝6，解得a＝±错误!.又a＞0，所以a＝错误!.（２）１log89·log２7３２＝错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!.２２lg ４＋lg ５—lg 8—错误!2-3＝lg １6＋lg ５—lg 8—错误!＝lg错误!—错误!＝１—错误!＝错误!.３6４错误!＋lg ４＋２lg ５＝４＋lg（４×５２）＝４＋２＝6．【答案】（１）D （２）见解析错误!１．先把指数式化为对数式，再用换底公式，把所求式化为同底对数式，最后用对数的运算性质求值．２．先用换底公式将式子变为同底的形式，再用对数的运算性质计算并约分．方法归纳（１）换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如a n为底的换为a为底．（２）换底公式的派生公式：log a b＝log a c·log c b；log an b m＝错误!log a b.跟踪训练２（１）式子log9１6·log88１的值为（）Ａ．１8 Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!（２）（log４３＋log8３）（log３２＋log98）等于（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．以上都不对解析：（１）原式＝log３２２４·log２３３４＝２log３２·错误!log２３＝错误!.（２）原式＝错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!×错误!log３２＝错误!.答案：（１）C （２）B利用换底公式化简求值．题型三用已知对数表示其他对数例３已知log１89＝a,１8b＝５，用a，b表示log３6４５．解析：方法一因为log１89＝a，所以9＝１8a.又５＝１8b，所以log３6４５＝log２×１8（５×9）＝log２×１8１8a＋b＝（a＋b）·log２×１8１8．又因为log２×１8１8＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!，所以原式＝错误!.方法二∵１8b＝５，∴log１8５＝b.∴log３6４５＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.错误!方法一对数式化为指数式，再利用对数运算性质求值．方法二先求出a、b，再利用换底公式化简求值.方法归纳用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点：（１）增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换；（２）巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键；（３）注意一些派生公式的使用．跟踪训练３（１）已知log6２＝p，log6５＝q，则lg ５＝________；（用p，q表示）（２）１已知log１４7＝a,１４b＝５，用a，b表示log３５２8．２设３x＝４y＝３6，求错误!＋错误!的值．解析：（１）lg ５＝错误!＝错误!＝错误!.（２）１∵log１４7＝a,１４b＝５，∴b＝log１４５．∴log３５２8＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.２∵３x＝３6,４y＝３6，∴x＝log３３6，y＝log４３6，∴错误!＝错误!＝错误!＝log３6３，错误!＝错误!＝错误!＝log３6４，∴错误!＋错误!＝２log３6３＋log３6４＝log３6（9×４）＝１．答案：（１）错误!（２）１错误!２１（１）利用换底公式化简．（２）利用对数运算性质化简求值．课时作业２２一、选择题１．若a＞0，a≠１，x＞y＞0，下列式子：１log a x·log a y＝log a（x＋y）；２log a x—log a y＝log a（x—y）；３log a错误!＝log a x÷log a y；４log a（xy）＝log a x·log a y.其中正确的个数为（）Ａ．0个Ｂ．１个Ｃ．２个Ｄ．３个解析：根据对数的性质知４个式子均不正确．答案：A２．化简错误!log6１２—２log6错误!的结果为（）Ａ．6错误!Ｂ．１２错误!Ｃ．log6错误!Ｄ．错误!解析：错误!log6１２—２log6错误!＝错误!（１＋log6２）—log6２＝错误!（１—log6２）＝错误!log6３＝log6错误!.答案：C３．设lg ２＝a，lg ３＝b，则错误!＝（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：错误!＝错误!＝错误!＝错误!.答案：C４．若log３４·log8m＝log４１6，则m等于（）Ａ．３Ｂ．9Ｃ．１8 Ｄ．２7解析：原式可化为log8m＝错误!，错误!＝错误!，即lg m＝错误!，lg m＝lg ２7，m＝２7．故选Ｄ．答案：D二、填空题５．lg １0 000＝________；lg 0．00１＝________.解析：由１0４＝１0 000知lg １0 000＝４,１0—３＝0．00１得lg 0．00１＝—３，注意常用对数不是没有底数，而是底数为１0．答案：４—３6．若log５错误!·log３6·log6x＝２，则x等于________．解析：由换底公式，得错误!·错误!·错误!＝２，lg x＝—２lg ５，x＝５—２＝错误!.答案：错误!7．错误!·（lg ３２—lg ２）＝________.解析：原式＝错误!×lg错误!＝错误!·lg ２４＝４．答案：４三、解答题8．化简：（１）错误!；（２）（lg ５）２＋lg ２lg ５0＋２11+log25 2.解析：（１）方法一（正用公式）：原式＝错误!＝错误!＝错误!.方法二（逆用公式）：原式＝错误!＝错误!＝错误!.（２）原式＝（lg ５）２＋lg ２（lg ５＋１）＋２１·２2log ＝lg ５·（lg ５＋lg ２）＋lg ２＋２错误!＝１＋２错误!.9．计算：（１）log １6２7log 8１３２；（２）（log ３２＋log 9２）（log ４３＋log 8３）．解析：（１）log １6２7log 8１３２＝错误!×错误! ＝错误!×错误!＝错误!×错误!＝错误!. （２）（log ３２＋log 9２）（log ４３＋log 8３）＝错误!错误!＝错误!错误! ＝错误!log ３２×错误!log ２３＝错误!×错误!×错误!＝错误!.[尖子生题库]１0．已知２x ＝３y ＝6z ≠１，求证：错误!＋错误!＝错误!. 证明：设２x ＝３y ＝6z ＝k （k ≠１），∴x ＝log ２k ，y ＝log ３k ，z ＝log 6k ，∴错误!＝log k ２，错误!＝log k ３，错误!＝log k 6＝log k ２＋log k ３， ∴错误!＝错误!＋错误!.。

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[跟进训练]
巩
固层
2．函数 y＝1＋log1 (x－1)的图象一定经过点( )
2
知
培
识整
A．(1,1)
B．(1,0)
优层
合
C．(2,1)
D．(2,0)
·
素养
升
提
华
升
C [把 y＝log1x 的图象向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单
层
2
题
型探
位即可得到 y＝1＋log1
(x－1)的图象，故其经过点(2,1)．]
知
培
识整
解析式为 y＝3－x，在 R 上单调递减，与图象不符；C 项中函数的解
优层
合
析式为 y＝(－x)3＝－x3，当 x>0 时，y<0，这与图象不符；D 项中函
·
素养
升
提升
数解析式为 y＝log3(－x)，在(－∞，0)上为单调递减函数，与图象不
华
层题
符；B 项中对应函数解析式为 y＝x3，与图象相符．故选 B.]
固
层知
对于 B，根据底数 a 对对数函数 y＝logax 的影响：当 0<a<1 时，培
识
优
整合
在 x∈(1，＋∞)上“底小图高”．因为 0<x<y<1，所以 logx3>logy3，
·
层素
B 错误．
养
升
提升
对于 C，函数 y＝log4x 在(0，＋∞)上单调递增，故 log4x<log4y，华
型
探
究
返首页
·
12
(2)[解] ①先作出当 x≥0 时，f(x)＝12x的图象，利用偶函数的图
巩
固象关于 y 轴对称，再作出 f(x)在 x∈(－∞，0)时的图象．
层
·
知
培
识
优
整
层
合
·
素
养
升
提
华
升
层
·
题
型
探究
②函数 f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋
∞)，值域为(0,1]．
·
27
函数的应用
·
巩
固
层
【例 5】一种放射性元素，最初的质量为 500 g，按每年 10%
知
培
识整
衰减．
优层
合
(1)求 t 年后，这种放射性元素的质量 w 的表达式；
·
素养
升
提升
(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确华
层
题到 0.1)．
型
探
究
返首页
·
28
·
10
·
巩固
(2)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，当 x≥0 时，f(x)＝12x.
层
①如图，画出函数 f(x)的图象；
知
培
识
优
整
层
合
·
素
养
升
提
华
升
层
题
型
探
究
②根据图象写出 f(x)的单调区间，并写出函数的值域．
返
首
页
·
11
·
巩
固
层
(1)B [由已知函数图象可得，loga3＝1，所以 a＝3.A 项，函数
·
巩固层
【例 1】计算：(1)2log32－log3392＋log38－5log53；
知
培
识
优
整合
(2)1.5－13×－760＋80.25×4 2＋(3 2× 3)6－
.
·
层
素养
升
提升层
[解] (1)原式＝log3223×2 8－3＝2－3＝－1.
华
题
9
型
探究
(2)原式＝2313＋234×214＋22×33－2313＝21＋4×27＝110.
层
题 C 正确．
型
探究
对于 D，函数 y＝14x在 R 上单调递减，故14x >14y，D 错误．] 返
首
页
·
17
·
巩
固
1．比较两数大小常用的方法有单调性法、图象法、中间值法等．
层
知
2．当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、培
识
优
整合
对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．
优
整
层
合
C．a>c>b
D．c>b>a
·
素
养
升
提升层
C
[∵a＝log2π>log22＝1，b＝
log1π<log11＝0，c＝
2
2
π－
2＝
π12，即
华
题型
0<c<1，∴a>c>b，故选 C.]
探
究
返首页
·
19
指数函数、对数函数的性质
·
巩
固
层
【例 4】 (1)设函数 f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则 f(x)是( )
巩
固层
知
[解] (1)最初的质量为 500 g.
培
识
优
整合
经过 1 年，w＝500(1－10%)＝500×0.9；
·
层素
养
经过 2 年，w＝500×0.92；
升
提
华
升层
由此推知，t 年后，w＝500×0.9t.
题型探究
返首页
·
29
·
巩
固层
(2)由题意得 500×0.9t＝250，即
返
首
页
·
6
·
巩
固
指数、对数的运算应遵循的原则
层
知识
指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，
培优
整
层
·
合根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式素
养
提
分解以达到约分的目的.对数运算首先注意公式应用过程中范围的变
升华
升
层化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，
提
华
升
层
题型探究
返首页
·
34
·
巩
固
层
【例】电子工业部扬声器材厂在生产扬声器的过程中，有一道
知
培
识整
重要的工序：使用 AB 胶粘合扬声器中的磁钢与夹板．长期以来，由
优层
合
于对 AB 胶的用量没有一个确定的标准，经常出现用胶过多，胶水外
·
素养
升
提溢；或用胶过少，产生脱胶，影响产品质量．经过试验，已有一些恰华
究
2
返首页
·
15
比较大小
·
巩
固
层
【例 3】若 0<x<y<1，则( )
知
培
识整
A．3y<3x
优层
合
B．logx3<logy3
·
素养
升
提升
C．log4x<log4y
华
层
题型探
D.14x <14y
究
返首页
·
16
C [因为 0<x<y<1，则
·
巩
对于 A，函数 y＝3x 在 R 上单调递增，故 3x<3y，A 错误．
型
探
究
返首页
·
26
·
巩
固层
知
1．研究函数的性质要树立定义域优先的原则．
培
识
优
整合
2．换元法的作用是利用整体代换，将问题转化为常见问题．该
·
层素
养
提
类问题中，常设 u＝logax 或 u＝ax，转化为一元二次方程、二次函数
升华
升层
等问题．要注意换元后 u 的取值范围．
题型探究
返首页
返首页
·
8
指数函数、对数函数的图象及应用
·
巩
固层
【例 2】 (1)若函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象如图所示，
知识
则下列图像函数正确的是(
)
培优
整
层
合
·
素
养
升
提
华
升
层
题型探究
返首页
·
9
·
巩固层
知
培
识
优
整
层
合
·
素
养
升
提
华
升
层
A
B
C
D
题型探究
返首页
·
题
型换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.
探究
返首页
·
7
·
[跟进训练]
巩
固
层知
1．设 3x＝4y＝36，则2x＋1y的值为(
)
培
识
优
整合
A．6
B．3
·
层素
C．2
D．1
养升
提
华
升层
D [由 3x＝4y＝36 得 x＝log336，y＝log436，