数学建模6.3传染病模型

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第五章微分方程模型如果象的某特性是随（或空）化的，那么分析它的化律，它的未来性，通常要建立此象的模型，就是微分方程模型.§1传染病模型建立染病的数学模型来描述染病的播程，分析受感染人数的化律，染病高潮的到来等，一直是各国有关家和官关注的.考某地区的染病的染情况，地区人口数N ，既不考生死，也不考迁移，以天量位.一. SI模型假条件：1.人群分易感染者 ( Susceptible ) 和已感染者 ( Infective ) 两人，称健康人和病人，在刻t 两人在人数中所占比例分作s t 和 i t .2. 每个病人每天有效接触的平均人数是( 常数 ) ，称日接触率，当病人与健康人有效接触，使健康者受感染病人.建立描述 i t化的数学模型 .解：s t i t1s t N i t N N由假 2 知，每个病人每天可使s t 个健康者病人，又由于病人数N i t ，每天共有s t N i t个健康人被感染 .于是N si 就是病人数 N i的增加率，即有N di N si ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(1)dtdi1.si 而s i又记初始时刻 ( t0 ) 病人的比例为 i 0 ，则dii 1idti 0 i 0这就是 Logistic模型，其解为i t1 111 e ti 0［结果分析］作出 i t ~ t 和di~ i 的图形如下：dtdi idtdi 1 dt m2t mt1i21. 当 i1 时， di取到最大值 di ，此时刻为2 dtdtmt m1ln 11i 02. 当 t时， i 1即所有人终将被传染，全变为病人（这是不实际的）.二 . SIS 模型在前面假设 1、2 之下，再考虑病人可以医治，并且有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人，此模型称SIS 模型 .假设 1、 2 同 SI 模型，增加假设:3. 病人每天被治愈的人数占病人总数的比例为，称为日治愈率. 病人治愈后成为易感染者（健康人）. 显然1是这种传染病的平均传染期.解：在假设1、2、 3 之下，模型（ 1）修正为N diN iNsidtdiii 1 i于是dti 0i0解得1i 0 i t11e－1t,t,i 0［结果分析］1. 令.＝注意到和 1的含义，可知是一个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数 .111i1i i11i 01111 i00t0t当1，病人比例i t越来越小，最于零.1，i t的增减性取决于i0的大小，其极限 i 1当1.3. SI 模型是 SIS 模型中0 的情形.三 . SIR模型大多数染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很的免疫力，所以病愈的人既非健康者, 也非病人 , 他已退出染系，此模型的假1. 人群分健康者、病人和病愈免疫的移出者三，称SIR 模型 . 三人在人数N 中占的比例分作s i 、 i t和 r t .1. 病人的日接解率，日治愈率（与 SIS模型相同），染期接触数＝.解：由假1，有s t i t r t1ds di dr0 dt dt dt由假2，得N drN idisi N i N dtNdtdridt又 s 0s0 , i 0i0 , r 00 disi idt于是disi idtdssi⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2) dti 0i0 , s 0s0我在相平面上来解的性.精选文库相的定域D s, i s0, i0,s i 1由 (2) 式消去dt，得di11ds s里i s s0i 0解得 i s0i 0- s 1 ln s⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(3)s0在定域 D 内，(3)式表示的曲即相.。

数学建模——传染病模型

传染病模型摘要当今社会，人们开始意识到通过定量地研究传染病的传播规律，建立传染病的传播模型，可以为预测和控制传染病提供可靠、足够的信息。

本文利用微分方程稳定性理论对传统传染病动力学建模方式进行综述，且针对甲流，SARS等新生传染病模型进行建模和分析。

不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，我们不是从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而是从一般的传播机理分析建立各种模型，如简单模型，SI模型，SIS模型，SIR模型等。

本文中，我们应用传染病动力学模型来描述疾病发展变化的过程和传播规律，运用联立微分方程组体现疫情发展过程中各类人的内在因果联系，并在此基础上建立方程求解算法。

然后，通过借助Matlab程序拟合出与实际较为符合的曲线并进行了疫情预测，评估各种控制措施的效果，从而不断完善文中的模型。

本文由简到难、全面地评价了该模型的合理性与实用性，而后对模型和数据也做了较为扼要的分析，进一步改进了模型的不妥之处。

同时，在对问题进行较为全面评价的基础上又引入更为全面合理的假设，运用双线性函数模型对卫生部的措施进行了评价并给出建议，做好模型的完善与优化工作。

关键词：传染病模型,简单模型，SI，SIS,SIR，微分方程，Matlab。

一、问题重述有一种传染病（如SARS、甲型H1N1）正在流行，现在希望建立适当的数学模型，利用已经掌握的一些数据资料对该传染病进行有效地研究，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失。

考虑如下的几个问题，建立适当的数学模型，并进行一定的比较分析和评价展望。

1、不考虑环境的限制，设单位时间内感染人数的增长率是常数，建立模型求t 时刻的感染人数。

2、假设单位时间内感染人数的增长率是感染人数的线性函数，最大感染时的增长率为零。

建立模型求t时刻的感染人数。

3、假设总人口可分为传染病患者和易感染者，易感染者因与患病者接触而得病，而患病者会因治愈而减少且对该传染病具有很强的免疫功能，建立模型分析t 时刻患病者与易感染者的关系，并对传染情况（如流行趋势，是否最终消灭）进行预测。

数学建模之传染病模型

第五章微分方程模型如果实际对象的某特性是随时间（或空间）变化的，那么分析它的变化规律，预测它的未来性态时，通常要建立此实际对象的动态模型，这就是微分方程模型.§1 传染病模型建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮的到来等，一直是各国有关专家和官员关注的课题.考虑某地区的传染病的传染情况，设该地区人口总数为N ，既不考虑生死，也不考虑迁移，时间以天为计量单位.一. SI 模型假设条件：1. 人群分为易感染者(Susceptible )和已感染者(Infective )两类人，简称为健康人和病人，在时刻t 这两类人在总人数中所占比例分别记作()t s 和()t i .2. 每个病人每天有效接触的平均人数是λ(常数)，λ称为日接触率，当病人与健康人有效接触时，使健康者受感染变为病人.试建立描述()t i 变化的数学模型.解： ()()1=+t i t s ()()N N t i N t s =+∴由假设2知，每个病人每天可使()t s λ个健康者变为病人，又由于病人数为()t i N ，∴每天共有()()t i N t s λ个健康人被感染.于是i s N λ就是病人数i N 的增加率，即有i s N dt di Nλ=………………………………………………(1) i s dtdi λ=∴ 而1=+i s .又记初始时刻(0=t )病人的比例为0i ，则()()⎪⎩⎪⎨⎧=-=001i i i i dt di λ 这就是Logistic 模型，其解为 ()t e i t i λ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=1111［结果分析］作出()t t i ~和i dt di ~的图形如下：1. 当21=i 时，dt di 取到最大值m dt di ⎪⎭⎫ ⎝⎛，此时刻为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-11ln 01i t m λ2. 当∞→t 时，1→i 即所有人终将被传染，全变为病人（这是不实际的）.二. SIS 模型在前面假设1、2之下，再考虑病人可以医治，并且有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人，此模型称SIS 模型.假设1、2同SI 模型，增加假设:3. 病人每天被治愈的人数占病人总数的比例为μ，称为日治愈率.病人治愈后成为易感染者（健康人）.显然μ1是这种传染病的平均传染期.解：在假设1、2、3之下，模型（1）修正为i N i Ns dtdi N μλ-= 于是 ()()⎪⎩⎪⎨⎧=--=001i i i i i dt di μλ解得()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=---　＝－μλλμλμλλμλλμλ,1,11010i t e i t i t ［结果分析］1. 令μλσ=. 注意到λ和μ1的含义，可知σ是一个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数.()⎪⎩⎪⎨⎧-=∞　011σi 11≤>σσ1-2. 接触数1=σ是一个阈值.当1≤σ时，病人比例()t i 越来越小，最终趋于零.当1>σ时，()t i 的增减性取决于0i 的大小，其极限值()σ11-=∞i .3. SI 模型是SIS 模型中0=μ的情形. 三. SIR 模型大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以病愈的人既非健康者,也非病人,他们已经退出传染系统，此时模型的假设为1.人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者三类，称为SIR 模型.三类人在总人数N 中占的比例分别记作()i s 、()t i 和()t r .1. 病人的日接解率为λ，日治愈率为μ（与SIS 模型相同），传染期接触数为μλσ＝.解：由假设1，有()()()1=++t r t i t s 0=++∴dtdr dt di dt ds 由假设2，得i N dt dr N μ= N i N i s dt di N μλ-= ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==∴i i s dtdi i dt dr μλμ 又设()()()00,0,000===r i i s s 于是()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=00s 0s ,0i i i s dt ds ii s dt di λμλ (2)我们在相平面上来讨论解的性质.相轨线的定义域为(){}1s ,0,0s ,s ≤+≥≥=i i i D 由(2)式消去dt ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-==0s s 01s 1s i i d di σ 这里 μλσ= 解得()000s s ln 1s -i s σ++=i ………………………………………(3) 在定义域D 内，(3)式表示的曲线即为相轨线..。

数学建模传染病模型

传生病模型医学科学的发展已经可以有效地预防和控制好多传生病，但是依旧有一些传生病暴发或流行，危害人们的健康和生命。

社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传生病的流传，而最直接的因素是：传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、流传形式、流传能力、免疫能力等。

一般把传生病流行范围内的人群分成三类： S 类，易感者 (Susceptible) ，指未患病者，但缺乏免疫能力，与感染者接触后简单碰到感染； I 类，感病者 (Infective) ，指染上传生病的人，它可以流传给 S 类成员； R 类，移出者 (Removal) ，指被隔断或因病愈而拥有免疫力的人。

问题提出请建立传生病模型，并解析被传染的人数与哪些因素有关？如何预告传生病高潮的到来?为什么同一地区一种传生病每次流行时，被传染的人数大体不变？要点字 : 传生病模型、建模、流行病大纲：随着卫生设施的改进、医疗水平的提高以及人类文明的不断发展，诸如霍乱、天花等从前残酷全球的传染性疾病已经获取有效的控制。

但是一些新的、不断变异着的传生病毒却静静向人类袭来。

20 世纪 80 年代十分险恶的爱滋病毒开始残酷全球，到此刻带来极大的危害。

还有近来的 SARS病毒和禽流感病毒，都对人类的生产生活造成了重要的损失。

长远以来，建立制止传生病延长的手段等，素来是各国有关专家和官员关注的课题。

不同样种类传生病的流传过程有其各自不同样的特点，弄清这些特点需要相当多的病理知识，这里不可以能从医学的角度一一解析各种传生病的流传，而可是依照一般的流传模型机理建立几种模型。

模型 1在这个最简单的模型中，设时辰 t 的病人人数 x(t) 是连续、可微函数，方程（ 1）的解为结果表示，随着t 的增加，病人人数x(t) 无量增加，这显然是不吻合实质的。

建模失败的原因在于：在病人有效接触的人群中，有健康人也有病人，而其中只有健康人才可以被传染为病人，因此在改进的模型中必定差异健康人和病人这两种人。

数学建模传染病模型例题

数学建模传染病模型例题（最新版）目录一、引言二、数学建模传染病模型的基本概念1.SEIR 模型2.SIS 模型3.SIR 模型三、数学建模传染病模型的例题1.模型假设2.模型建立3.模型求解四、结论正文一、引言随着全球化的发展，传染病的传播越来越引起人们的关注。

为了更好地预测和控制传染病的传播，数学建模传染病模型被广泛应用。

本文将以数学建模传染病模型为例，介绍相关的模型概念和例题。

二、数学建模传染病模型的基本概念（1）SEIR 模型SEIR 模型是传染病数学模型中最基本的模型之一，它将人群分为四类：易感者 (Susceptibles)、暴露者 (Exposed)、感染者 (Infectives) 和抵抗者 (Resistances)。

该模型假设人群数量不变，感染者会以一定的速率传染给易感者，同时易感者会以一定的速率转变为暴露者，暴露者在一定时间后转为感染者，感染者又会在一定时间后转为抵抗者。

（2）SIS 模型SIS 模型是 SEIR 模型的一种特殊形式，它将人群分为易感者(Susceptibles)、感染者 (Infectives) 和恢复者 (Recovered) 三类。

该模型假设易感者与感染者的接触会导致疾病传播，感染者会在一定时间后恢复为易感者，恢复者则具有免疫力。

（3）SIR 模型SIR 模型是另一种常见的传染病数学模型，它将人群分为易感者(Susceptibles)、感染者 (Infectives) 和恢复者 (Recovered) 三类。

与 SIS 模型不同的是，SIR 模型假设感染者会以一定的速率恢复为易感者，而恢复者则具有免疫力。

SIR 模型适用于短期传染病，例如流感。

三、数学建模传染病模型的例题假设某个地区有 10000 人，其中易感者占 80%，感染率为 0.01，恢复率为 0.9。

我们需要建立一个数学模型来预测疾病传播的过程。

（1）模型假设我们假设疾病传播满足 SEIR 模型，人群分为易感者、暴露者、感染者和恢复者四类。

数学建模中的传染病模型及其编程求解

数学建模中的传染病模型及其编程求解下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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数学建模传染病模型例题

以下是一个简单的数学建模传染病模型的例题：
问题：假设有一个小岛上住着100个人，其中有1个是传染病源。

初始时，这个人不知道自己已经患病，所以没有采取隔离措施。

其他人也不知道有传染病源在岛上。

假设每天，每个健康的人都有可能接触并感染患病的人，感染的概率是p。

另外，健康的人每天也有1个单位的时间用于自我保护，减少被感染的风险。

假设在t天后，岛上有x个人被感染。

我们需要找出p和时间t的关系，以及如何通过调整p来控制传染病的传播。

假设：
1. 每个人每天只能接触一次患病的人。

2. 每个人每天有1个单位的时间用于自我保护。

3. 每个人接触患病的人后，有p的概率被感染。

4. 初始时，只有1个人是患病者。

5. 没有新的外来感染者进入岛上。

模型建立：
根据上述假设，我们可以建立如下的微分方程模型：
dx/dt = p * (100 - x) * (1/100) - x/100
其中，x表示被感染的人数，p表示感染概率，t表示时间。

求解模型：
通过求解这个微分方程模型，我们可以得到x与t的关系。

由于这个方程较为简单，我们可以直接求解它，找出x的解。

然后我们可以根据解的情况，讨论p对x的影响，从而找到控制传染病传播的方法。

通过上述模型和求解过程，我们可以了解传染病的传播情况以及如何通过调整感染概率p来控制其传播。

这个例题可以帮助我们理解数学建模在传染病控制中的应用，并为实际的传染病控制提供理论支持。

数学建模传染病模型

传染病的传播摘要：本文先根据材料提供的数据建立了指数模型，并且全面地评价了该模型的合理性与实用性。

而后对模型与数据做了较为扼要地分析了指数模型的不妥之处。

并在对问题进行较为全面评价的基础上引入更为全面合理的假设和建立系统分析模型。

运用联立微分方程组体现疫情发展过程中各类人的内在因果联系，并在此基础上建立方程求解算法结合MATLAB 编程(程序在附件二)拟合出与实际较为符合的曲线并进行了疫情预测。

同时运用双线性函数模型对卫生部的措施进行了评价并给出建议以及指出建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难本文的最后，通过本次建模过程中的切身体会，说明建立如SARS 预测模型之类的传染病预测模型的重要意义。

关键词：微分方程 SARS 数学模型感染率1问题的重述SARS （Severe Acute Respiratory Syndrome ，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。

SARS 的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。

请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下：1)建立传染病传播的指数模型，评价其合理性和实用性。

2)建立你们自己的模型，说明为什么优于指数模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。

附件1提供的数据供参考。

3)说明建立传染病数学模型的重要性。

2 定义与符号说明N …………………………………表示为SARS 病人的总数；K （感染率）……………………表示为平均每天每人的传染他人的人数；L …………………………………表示为每个病人可能传染他人的天数；dt dN(t)………………………… 表示为每天（单位时间）发病人数；N(t)-N(t-L)………………………表示可传染他人的病人的总数减去失去传染能力的病人数；t …………………………………表示时间；R 2………………………………表示拟合的均方差； 3 建立传染病传播的指数模型3.1模型假设1) 该疫情有很强的传播性，病人（带菌者）通过接触（空气，食物，……）将病菌传播给健康者。

数学建模——传染病模型

本文利用微分方程稳定性理论对传统传染病动力学建模方式进行综述，且针对甲流，SARS等新生传染病模型进行建模和分析。

然后，通过借助Matlab程序拟合出与实际较为符合的曲线并进行了疫情预测，评估各种控制措施的效果，从而不断完善文中的模型。

本文由简到难、全面地评价了该模型的合理性与实用性，而后对模型和数据也做了较为扼要的分析，进一步改进了模型的不妥之处。

关键词：传染病模型,简单模型，SI，SIS,SIR，微分方程，Matlab。

考虑如下的几个问题，建立适当的数学模型，并进行一定的比较分析和评价展望。

1、不考虑环境的限制，设单位时间内感染人数的增长率是常数，建立模型求t 时刻的感染人数。

2、假设单位时间内感染人数的增长率是感染人数的线性函数，最大感染时的增长率为零。

建立模型求t时刻的感染人数。

数学建模传染病模型

传染病的传播摘要：本文先根据材料提供的数据建立了指数模型，并且全面地评价了该模型的合理性与实用性。

而后对模型与数据做了较为扼要地分析了指数模型的不妥之处。

并在对问题进行较为全面评价的基础上引入更为全面合理的假设和建立系统分析模型.运用联立微分方程组体现疫情发展过程中各类人的内在因果联系，并在此基础上建立方程求解算法结合1 / 14MATLAB 编程（程序在附件二)拟合出与实际较为符合的曲线并进行了疫情预测.同时运用双线性函数模型对卫生部的措施进行了评价并给出建议以及指出建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型,这样做的困难本文的最后，通过本次建模过程中的切身体会，说明建立如SA ＲＳ预测模型之类的传染病预测模型的重要意义。

关键词:微分方程 SARS 数学模型感染率1问题的重述SARS(Sever ｅ A ｃut ｅ Res ｐｉr ａtory S ｙndrome ，严重急性呼吸道综合症, 俗称:非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。

S ＡRS 的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训,认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。

请你们对SARS的传播建立数学模型，具体要求如下:1)建立传染病传播的指数模型，评价其合理性和实用性。

２)建立你们自己的模型，说明为什么优于指数模型;特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计.附件1提供的数据供参考。

3)说明建立传染病数学模型的重要性。

２定义与符号说明N …………………………………表示为ＳA ＲS 病人的总数；K （感染率）……………………表示为平均每天每人的传染他人的人数;L …………………………………表示为每个病人可能传染他人的天数;dt dN(t)………………………… 表示为每天（单位时间)发病人数;Ｎ(t ）-N(ｔ-L)………………………表示可传染他人的病人的总数减去失去传染能力的病人数;t …………………………………表示时间；R 2………………………………表示拟合的均方差；３建立传染病传播的指数模型3.1模型假设1) 该疫情有很强的传播性，病人（带菌者)通过接触（空气,食物,……）将病菌传播给健康者。

数学建模——传染病模型_2022年学习资料

数学模型-模型2-di-dt-=2i1-iLogistic模型-i0=。-it=-1/2-io-tm-t= ,m,dildt最大-人n--tm~传染病高潮到来时刻-t>00→i>1?-2日接触率↓→tm↑-病人可以愈！-0①
数学模型-模型3-传染病无免疫性一病人治愈成-为健康人，健康人可再次被感染-SIS模型-增加假设-3病人每治愈的比例为4-4~日治愈率-建模W[it+△t-it]=Wstit△t-uWit△t-di-=2i1-i-入~日接触率-dt-i0=i。-1/μ ~感染期-6-、一个感染期内每个病人的-有效接触人数，称为接触数
数学模型-模型4-传染病有免疫性—病人治愈-SIR模型-后即移出感染系统，称移出者-假设-1总人数N不变，人、健康人和移-出者的比例分别为it,t,rt-2病人的日接触率2，日治愈率山-接触数σ =入/4-建模-s +it+rt=1-需建立it,St,rt的两个方程-00①
数学模型-模型4-SIR模型-W[it+△t-it]=2Wstit△t-uWit△t-W[st+△t-st =-2Nstit△t-di-E见si-i-=-si-dr-人Z-i0=io,s0=So,i0=0-00①
数学模型-传染病模型-问题-·描述传染病的传播过程-·分析受感染人数的变化规律-·预报传染病高潮到来的时刻 ·预防传染病蔓延的手段-·按照传播过程的一般规律，-用机理分析方法建立模型-00①
数学模型-模型1-已感染人数（病人）t-假设-每个病人每天有效接触-足以使人致病人数为入-建模-it+△t it=入it△t-di-:i-dt-it=ie"-i0-io-0t→00→i→00？-若有效接触的是病人，必须区分已感染者（病-则不能使病人数增加-人和未感染者（健康人）

数学建模论文传染病模型)(精选干货)

数学建模论文传染病模型)传染病模型摘要“传染病的传播过程”数学模型是通过控制已感染人群来实现的。

利用隔离等手段来保护未被感染的人群，减少其对健康人群的危害.由于传染病具有研究新型病例有着重要的意义,利用数学知识联系实际问题，作出相应的解答和处理。

问题一:描述传染病的传播过程，将分析受感染人数的变化规律,预报传染病高潮到来的时刻，在传染病过程中，建立传染病影响健康人的数学模型.问题二,在区分健康人群和已经感染人群的情况下，要建立适合总人数不变，区分已经感染的人群和的数学模型，必须在问题一的条件下作出合理假设,同时得出该模型，最后结合已知数据可算出每个已感染人群每天接触健康人群的函数和数学模型。

问题三,传染病无免疫性--病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染，问题三加入健康人可以再次感染,一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。

ﻫ一种疾病的传播过程是一种非常复杂的过程,它受很多社会因素的制约和影响,如传染病人的多少，易受传染者的多少，传染率的大小，排除率的大小,人口的出生和死亡，还有人员的迁入和迁出,潜伏期的长短，预防疾病的宣传以及人的个体差异等。

如何建立一个与实际比较吻合的数学模型，开始显然不能将所有因素都考虑进去。

为此，必须从诸多因素中，抓住主要因素,去掉次要因素。

先把问题简化，建立相应的数学模型.将所得结果与实际比较，找出问题，修改原有假设,再建立一个与实际比较吻合的模型.从而使模型逐步完善。

下面是一个由简单到复杂的建模过程，很有代表性,读者应从中体会这一建模过程的方法和思路。

...文档交流仅供参考...一．问题的提出描述传染病的传播过程,将分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮到来的时刻，在传染病过程中,建立传染病影响健康人的数学模型。

问题二，在区分健康人群和已经感染人群的情况下,要建立适合总人数不变，区分已经感染的人群和的数学模型,必须在问题一的条件下作出合理假设,同时得出该模型,最后结合已知数据可算出每个已感染人群每天接触健康人群的函数和数学模型。

数学建模——传染病模型

数学建模——传染病模型数学建模——传染病模型关键词：数学建模，传染病模型，预测，疫情，发展一、引言传染病模型是数学建模中的一个重要领域，旨在通过数学方法描述和预测传染病的发展趋势。

通过建立传染病模型，我们可以了解疾病传播的机制，评估各种干预措施的效果，并为制定有效的防控策略提供决策支持。

二、传染病模型概述传染病模型是基于生物学、流行病学和数学理论建立的，主要考虑个体之间的接触方式和疾病传播的动态过程。

基本的传染病模型通常假设人群由易感者（Susceptible）、感染者（Infectious）和康复者（Recovered）三类组成。

通过分析这三类人群的数量变化，可以揭示疾病传播的规律。

常见的传染病模型包括 SIR 模型、SEIR 模型等。

SIR 模型假设人群分为易感者（S）、感染者（I）和康复者（R），其中感染者与易感者接触后将传染疾病，感染后将进入康复阶段。

SEIR 模型则在 SIR 模型的基础上增加了潜伏期（E），即感染者并非立即变为易感者，而是进入潜伏期，一段时间后才具有传染性。

三、建模方法与步骤1、建立数学模型：根据传染病的基本假设，列出描述疾病传播的微分方程，确定变量及其含义。

2、参数估计：根据历史数据或实验结果，估计模型中的参数值。

这些参数包括感染率、恢复率、潜伏期等。

3、模型求解：通过求解微分方程，得到易感者、感染者和康复者的数量变化情况。

4、模型检验：将模型的预测结果与实际数据进行比较，检验模型的准确性和可靠性。

四、案例分析以某个地区的流感疫情为例，通过建立 SIR 模型预测疫情的发展趋势。

首先，根据历史数据估计模型的参数值，包括感染率和恢复率等。

然后，通过求解微分方程得到易感者、感染者和康复者的数量变化情况。

根据预测结果，可以评估各种干预措施的效果，如隔离、疫苗接种等。

通过比较预测结果与实际数据的差异，可以不断修正和完善模型，提高预测精度。

五、结论传染病模型是数学建模中的一个重要领域，通过建立数学模型描述和预测传染病的发展趋势。

传染病的数学模型

For personal use only in study and research; not for commercial use传染病模型详解2.2.2 /,SI SIS SIR 经典模型经典的传播模型大致将人群分为传播态S ，易感染态I 和免疫态R 。

S 态表示该个体带有病毒或谣言的传播能力，一旦接触到易感染个体就会以一定概率导致对方成为传播态。

I 表示该个体没有接触过病毒或谣言，容易被传播态个体感染。

R 表示当经过一个或多个感染周期后，该个体永远不再被感染。

SI 模型考虑了最简单的情况，即一个个体被感染，就永远成为感染态，向周围邻居不断传播病毒或谣言等。

假设个体接触感染的概率为β，总人数为 N ，在各状态均匀混合网络中建立传播模型如下：dS SI dt N I SId tN ββ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 从而得到(1)di i i dtβ=- 对此方程进行求解可得：0000(),01tti e i t i i i i e ββ==-+（）可见，起初绝大部分的个体为I 态，任何一个S 态个体都会遇到I 态个体并且传染给对方，网络中的S 态个数随时间成指数增长。

与此同时，随着I 态个体的减少，网络中S 态个数达到饱和，逐渐网络中个体全部成为S 态。

然而在现实世界中，个体不可能一直都处于传播态。

有些节点会因为传播的能力和意愿的下降，从而自动转变为永不传播的R 态。

而有些节点可能会从S 态转变I 态，因此简单的SI 模型就不能满足节点具有自愈能力的现实需求，因而出现SIS 模型和SIR 模型。

SIR 是研究复杂网络谣言传播的经典的模型。

采用与病毒传播相似的过程中的S ，I ，R 态代表传播过程中的三种状态。

Zanetee ，Moreno 先后研究了小世界传播过程中的谣言传播。

Moreno 等人将人群分为S （传播谣言）、I （没有听到谣言），R （对谣言不再相信也不传播）。

假设没有听到谣言I 个体与S 个体接触，以概率()k λ变为S 个体，S 个体遇到S 个体或R 个体以概率()k α变为R ，如图 2.9 所示。

数学建模……传染病模型资料

数学建模……传染病模型摘要:本次实验是让同学们进一步了解、巩固、加强微分方程模型的建模、求解能力；学习掌握用MATLAB进行二维和三维基本图形绘制。

因为MATLAB具有很强的图形处理功能和丰富的图形表现方法。

它提供了大量的二维、三维图形函数，使得数学计算结果可以方便地、多样性地实现可视化，这是其它语言所不能比拟的。

MATLAB不仅能绘制几乎所有的标准图形，而且其表现形式也是丰富多样的。

MATLAB不仅具有高层绘图能力，而且还具有底层绘图能力——句柄绘图方法。

在面向对象的图形设计基础上，使得用户可以用来开发各专业的专用图形。

help graph2d可得到所有画二维、三维图形的命令。

描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮到来的时刻，预防传染病蔓延的手段，按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型。

问题重述问题: 有一种传染病（如SARS、甲型H1N1）正在流行。

现在希望建立适当的数学模型，利用已经掌握的一些数据资料对该传染病进行有效地研究，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失。

考虑如下的几个问题，建立适当的数学模型，并进行一定的比较分析和评价展望。

1、不考虑环境的限制，设单位时间内感染人数的增长率是常数，建立模型求t时刻的感染人数。

2、假设环境条件下所允许的最大可感染人数为。

单位时间内感染人数的增长率是感染人数的线性函数，最大感染时的增长率为零。

建立模型求t时刻的感染人数。

3、现有卫生防疫部门采集到的某地区一定时间内一定间隔区间的感染人数数据（见下表），利用该数据确定上述两个模型中的相关参数，并将它们的预测值与实际数据进行比较分析（计算仿真偏差）并对两个模型进行适当的评价。

（注：该问题中，设最大可感染人数为2000人）4、假设总人口可分为传染病患者和易感染者，易感染者因与患病者接触而得病，而患病者会因治愈而减少且对该传染病具有很强的免疫功能，建立模型分析t时刻患病者与易感染者的关系，并对传染情况（如流行趋势，是否最终消灭）进行预测。

数学建模实验(传染病模型)

实验二：传染病模型1、SI 模型的建立基于以下三个假设，求出平衡点，给出参数，图示模型曲线。

（1）不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。

人口始终保持一个常数，即()K t N ≡。

（2）一个病人一旦与易感者接触就必然具有一定的传染力。

假设t 时刻单位时间内，一个病人能传染的易感者数目与此环境内易感者总数()t S 成正比，比例系数为β，从而在t 时刻单位时间内被所有病人传染的人数为()()t I t S β。

2、SIS 模型的建立基于以下三个假设，求出平衡点，给出参数，图示模型曲线。

（1）不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。

人口始终保持一个常数。

即()K t N ≡。

（2）一个病人一旦与易感者接触就必然具有一定的传染力。

（3）t 时刻，单位时间内从染病者中治愈的人与病人数量成正比，比例系数为γ，单位时间内治愈的人不具有免疫，将再成为易感者。

3、SIR 模型的建立基于以下三个假设，求出平衡点、给出参数、图示模型曲线。

（1）不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。

人口始终保持一个常数，即()K t N ≡。

（2）一个病人一旦与易感者接触就必然具有一定的传染力。

（3）t 时刻，单位时间内从传染者中移出的人数与病人数量成正比，比例系数为γ，单位时间内移出者的数量为γ)(t I 。

求解过程1、SI 模型：由题目条件假设可以得到微分方程：K()()dIK S t I t dtβ=，又因为()()1S t I t +=，令初始时刻病人的比例为0I ，则有：0()(1()),(0)dII t I t I I dtβ=-= %求平衡点,r 为有效传染率,x 病人比例 syms r xsolve('r*x*(1-x)','x') ans = 0 1 %方程求解syms i r t dsolve('Di=r*i*(1-i)','i(0)=i0','t')ans =1/(1-exp(-r*t)*(-1+i0)/i0) %绘制图形r=0.5,i0=0.01 fplot('1/(1-exp(-r*t)*(-1+i0)/i0)',[0,40]) fplot('1/(1-exp(-0.5*t)*(-1+0.01)/0.01)',[0,40]) function di=isf(t,i)di=0.5*i*(1-i); [t,i]=ode45(@isf,[0 40],[0.01]);plot(t,i)t ♓i♎♓ ♎♦图示4 SI 模型的i~t 曲线图示5 SI 模型的di/dt~i 曲线2、SIS 模型根据SI 模型及增加的假设条件，可得：)()()(t KI t I t KS dtdiKγβ-=，即： 0)0(),())(1)((I I t I t I t I dtdi=--=γβ 记 γβσ=，则方程改写为 )]1([σβ---=i i i dt di%求解方程syms r b i t % b 为有效传染率,r 为治愈率dsolve('Di=b*i*(1-i)-r*i','i(0)=i0','t')ans =(b-r)/(b-exp(-(b-r)*t)*(-b+r+i0*b)/i0/(b-r)*b+exp(-(b-r)*t)*(-b+r +i0*b)/i0/(b-r)*r)%求平衡点syms x %(b=0.5,r=0.2)solve('0.5*x*(1-x)-0.2*x; ')ans =0..60000000000000000000000000000000%绘制图形function di=sisf(t,i)di=0.5*i*(1-i)-0.2*i;[t,i]=ode45(@sisf,[0 40],[0.01]);plot(t,i)t♓t ♓图示6 SIS 模型的i~t 曲线（σ>1）图示7 SIS 模型的i~t 曲线（σ≤1）fplot('-0.5*x*[x-(1-1/20)]',[0,1]) fplot('-0.5*x*[x-(1-2)]',[ 0,1])i♎♓ ♎♦i♎♓ ♎♦图示8SIS 模型的di/dt~i 曲线（σ>1）图示9SIS 模型的di/dt~i 曲线（σ≤1） 3、 SIR 模型模型的方程为{00()()(),(0)()(),(0)dIS t I t I t I I dtdSS t I t S S dtβγβ=-==-=function dx=sirf(t,x)dx=zeros(2,1);dx(1)=0.5*x(1)*x(2)-0.2*x(1); %x(1)表示i,x(2)表示s dx(2)=-0.5*x(1)*x(2);[t,x]=ode45(@sirf,[0 50],[0.01 0.99]);plot(t,x(:,1),t,x(:,2)),grid,pauseplot(x(:,2),x(:,1)),grid00.20.40.60.81s图示10 SIR模型的图形)(),(tStI图示11 SIR模型的相轨线备注：由于Matlab与Word连接不好，所绘制的图形上标的字符在Word中看不清楚。

(6数学建模)传染病模型

3.传染者的恢复数正比于传染者的数量NI，比例系数ν称为恢复率，则平均传染周期为1／ν。若考虑死亡，则平均传染周期为1／（μ＋ν）。 σ＝λ／（μ＋ν)为一个传染者在其传染周期
内与其他成员的接触总数，称为接触数。
二、SIS模型
SIS模型是最简单的传染模型，人群只分成两类， S类和I类。人员的流动形式：S→I→S，如图
简化可得SIRS模型 S I (t ) SI S
I SI I I R I R I (t ) S I R 1 S 0 0, I 0 0, R0 0
下图显示模型的理论曲线与实际数据
（四）接触数σ的估计
已经看到，在SIS及SIR模型中，传染病是否流行与接触数σ直接有关，因而有必要估计这个参数。一般地，初始传染者数量很小，可近似取 I 0 ， 0 故1 R0 S 0 ，则可得
ln( S 0 S ) ( S0 S )
传染病模型
朱建青（苏州科技学院信息与计算科学系）
传染病模型
一、记号与假设二、SIS模型三、不考虑出生和死亡的SIR模型四、考虑出生和死亡的SIR模型五、SEIR模型六、SIRS模型
一、记号与假设
首先把人群分成以下三类。 S类：易感类（Susceptible）指未得病，但缺乏免疫，与患病者接触后易受感染。 I类：传染类（Infective）指已染上传染病，且可能传给S类成员。 R类：排除类（Removal）指从I类中被隔离或具有免疫力。 S（t）、I（t)、R（t）分别表示t时刻S类、I类、 R类成员占人口总数的比例，故 S（t）＋I（t）＋R（t）＝1。
称为潜伏期，记为
把处于潜伏期内的成员的全体记为E类，用E(t)