数学建模6.3传染病模型
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
~ 日接触率
1/ ~感染期
/
~ 一个感染期内每个病人的
有效接触人数，称为接触数。
模型3
di/dt
di i (1 i ) i dt
>1
i i0
1-1/
/ di i[i (1 1 )]
dt
>1
i i0
1
di/dt பைடு நூலகம் 0
0
s(t)单调减相轨线的方向
1
s 1 / , i im t , i 0
s s满足 s0 i0 s ln 0 s0
im
P1 P3
0
s
S0
1 / s0
1s
1/ ~
P1: s0>1/ i(t)先升后降至0 P2: s0<1/ i(t)单调降至0
i(t ), s(t ), r (t ) 的两个方程
模型4 SIR模型 N[i(t t ) i(t )] Ns(t )i(t )t Ni(t )t
N[s(t t ) s(t )] Ns(t )i(t )t
di dt si i ds si dt i (0) i0 , s (0) s0
di i dt i (0) i0
i(t ) i0 e
t
t i ?
必须区分已感染者(病人) 和未感染者(健康人)
若有效接触的是病人， 则不能使病人数增加
模型2
假设
区分已感染者(病人)和未感染者(健康人) 1）总人数N不变，病人和健康 人的 比例分别为 i(t ), s(t ) 2）每个病人每天有效接触人数 为, 且使接触的健康人致病
SI 模型
~日
接触率
建模
N[i(t t ) i(t )] [s(t )]Ni (t )t
di si dt
s(t ) i(t ) 1
di i (1 i ) dt i (0) i0
模型2
i 1 1/2 i0 0 tm
di i (1 i ) dt i (0) i0 i (t )
1
s s0 i0 s ln 0 s0
ln s0 ln s 忽略i0 s0 s
模型4
被传染人数的估计
SIR模型
记被传染人数比例 x s0 s
1 x s x ln(1 ) 0 s0 i0 s ln 0 s0 s0 i0 0, s0 1
6.3 传染病模型
问题
• 描述传染病的传播过程 • 分析受感染人数的变化规律
• 预报传染病高潮到来的时刻
• 预防传染病蔓延的手段
• 按照传播过程的一般规律， 用机理分析方法建立模型
模型1
假设 建模
已感染人数 (病人) i(t)
• 每个病人每天有效接触 (足以使人致病)人数为
i(t t ) i(t ) i(t )t
1
x<<s0
x x(1 2 )0 s0 2s0
1
i
P1 0 s 1 /
x 2s0 ( s0
s0 - 1/ =
1
)
s0
s
小 , s0 1
x 2
提高阈值 1/ 降低 被传染人数比例 x
Logistic 模型
1 1 t 1 i 1 e 0
1
t
t=tm, di/dt 最大
tm~传染病高潮到来时刻
1 t m ln i 1 0 t i 1 ?
病人可以治愈！
(日接触率) tm
模型3
增加假设 建模
D
0 1
s
模型4
相轨线 i ( s) 及其分析
SIR模型
di i di 1 si i dt 1 s 1 1 i( s) ( s0 i0 ) s ln ds s s0 ds si i s s i0 dt D P4 i (0) i0 , s (0) s0 P2
模型4
假设
传染病有免疫性——病人治愈 后即移出感染系统，称移出者
SIR模型
1）总人数N不变，病人、健康人和移 出者的比例分别为 i(t ), s(t ), r (t )
2）病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数 = / 建模
s(t ) i(t ) r (t ) 1
需建立
传染病蔓延 传染病不蔓延
阈值
模型4
预防传染病蔓延的手段
SIR模型
传染病不蔓延的条件——s0<1/ • 提高阈值 1/ 降低 (=/)
,
(日接触率) 卫生水平 (日治愈率) 医疗水平
• 降低 s0
s0 i0 r0 1
提高 r0
群体免疫
的估计
无法求出 i(t ), s(t )
的解析解 在相平面 s ~ i 上
研究解的性质
i0 s0 1 (通常r (0) r0很小）
模型4 SIR模型
di dt si i ds si dt i (0) i0 , s (0) s0
消去dt /
0
1-1/
1 i
i0
0 1 , 1 1 i ( ) 1 0,
接触数 =1 ~ 阈值
t
0
t
1 i(t )按S形曲线增长 感染期内有效接触感染的 i0 小 健康者人数不超过病人数
模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例
1 i (t )
传染病无免疫性——病人治愈成 为健康人，健康人可再次被感染 SIS 模型 3）病人每天治愈的比例为
~日治愈率
N[i(t t ) i(t )] Ns(t )i(t )t Ni(t )t
di i (1 i ) i dt i (0) i0
1 di ds s 1 i s s i0
0
相轨线
相轨线 i ( s) 的定义域
s i ( s ) ( s0 i0 ) s ln s0
i
1
1
D {( s, i ) s 0, i 0, s i 1}
在D内作相轨线 i ( s) 的图形，进行分析
1/ ~感染期
/
~ 一个感染期内每个病人的
有效接触人数，称为接触数。
模型3
di/dt
di i (1 i ) i dt
>1
i i0
1-1/
/ di i[i (1 1 )]
dt
>1
i i0
1
di/dt பைடு நூலகம் 0
0
s(t)单调减相轨线的方向
1
s 1 / , i im t , i 0
s s满足 s0 i0 s ln 0 s0
im
P1 P3
0
s
S0
1 / s0
1s
1/ ~
P1: s0>1/ i(t)先升后降至0 P2: s0<1/ i(t)单调降至0
i(t ), s(t ), r (t ) 的两个方程
模型4 SIR模型 N[i(t t ) i(t )] Ns(t )i(t )t Ni(t )t
N[s(t t ) s(t )] Ns(t )i(t )t
di dt si i ds si dt i (0) i0 , s (0) s0
di i dt i (0) i0
i(t ) i0 e
t
t i ?
必须区分已感染者(病人) 和未感染者(健康人)
若有效接触的是病人， 则不能使病人数增加
模型2
假设
区分已感染者(病人)和未感染者(健康人) 1）总人数N不变，病人和健康 人的 比例分别为 i(t ), s(t ) 2）每个病人每天有效接触人数 为, 且使接触的健康人致病
SI 模型
~日
接触率
建模
N[i(t t ) i(t )] [s(t )]Ni (t )t
di si dt
s(t ) i(t ) 1
di i (1 i ) dt i (0) i0
模型2
i 1 1/2 i0 0 tm
di i (1 i ) dt i (0) i0 i (t )
1
s s0 i0 s ln 0 s0
ln s0 ln s 忽略i0 s0 s
模型4
被传染人数的估计
SIR模型
记被传染人数比例 x s0 s
1 x s x ln(1 ) 0 s0 i0 s ln 0 s0 s0 i0 0, s0 1
6.3 传染病模型
问题
• 描述传染病的传播过程 • 分析受感染人数的变化规律
• 预报传染病高潮到来的时刻
• 预防传染病蔓延的手段
• 按照传播过程的一般规律， 用机理分析方法建立模型
模型1
假设 建模
已感染人数 (病人) i(t)
• 每个病人每天有效接触 (足以使人致病)人数为
i(t t ) i(t ) i(t )t
1
x<<s0
x x(1 2 )0 s0 2s0
1
i
P1 0 s 1 /
x 2s0 ( s0
s0 - 1/ =
1
)
s0
s
小 , s0 1
x 2
提高阈值 1/ 降低 被传染人数比例 x
Logistic 模型
1 1 t 1 i 1 e 0
1
t
t=tm, di/dt 最大
tm~传染病高潮到来时刻
1 t m ln i 1 0 t i 1 ?
病人可以治愈！
(日接触率) tm
模型3
增加假设 建模
D
0 1
s
模型4
相轨线 i ( s) 及其分析
SIR模型
di i di 1 si i dt 1 s 1 1 i( s) ( s0 i0 ) s ln ds s s0 ds si i s s i0 dt D P4 i (0) i0 , s (0) s0 P2
模型4
假设
传染病有免疫性——病人治愈 后即移出感染系统，称移出者
SIR模型
1）总人数N不变，病人、健康人和移 出者的比例分别为 i(t ), s(t ), r (t )
2）病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数 = / 建模
s(t ) i(t ) r (t ) 1
需建立
传染病蔓延 传染病不蔓延
阈值
模型4
预防传染病蔓延的手段
SIR模型
传染病不蔓延的条件——s0<1/ • 提高阈值 1/ 降低 (=/)
,
(日接触率) 卫生水平 (日治愈率) 医疗水平
• 降低 s0
s0 i0 r0 1
提高 r0
群体免疫
的估计
无法求出 i(t ), s(t )
的解析解 在相平面 s ~ i 上
研究解的性质
i0 s0 1 (通常r (0) r0很小）
模型4 SIR模型
di dt si i ds si dt i (0) i0 , s (0) s0
消去dt /
0
1-1/
1 i
i0
0 1 , 1 1 i ( ) 1 0,
接触数 =1 ~ 阈值
t
0
t
1 i(t )按S形曲线增长 感染期内有效接触感染的 i0 小 健康者人数不超过病人数
模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例
1 i (t )
传染病无免疫性——病人治愈成 为健康人，健康人可再次被感染 SIS 模型 3）病人每天治愈的比例为
~日治愈率
N[i(t t ) i(t )] Ns(t )i(t )t Ni(t )t
di i (1 i ) i dt i (0) i0
1 di ds s 1 i s s i0
0
相轨线
相轨线 i ( s) 的定义域
s i ( s ) ( s0 i0 ) s ln s0
i
1
1
D {( s, i ) s 0, i 0, s i 1}
在D内作相轨线 i ( s) 的图形，进行分析