计算方法试题参考

计算方法试题参考 2002-2003第一学期

一．计算及推导（5*8）

1．已知* 3.141,x x π==，试确定*x 近似x 的有效数字位数。

2．有效数***1233.105,0.001,0.100x x x =-==，试确定***

123

x x x ++的相对误差限。 3．已知3()0.50.12f x x x =++，试计算差商[]0,1,2,3f 4．给出拟合三点(0,1),(1,0)A B ==和(1,1)C =的直线方程。 5．推导中矩形求积公式

''

31()()(

)()()224

b

a

a b f x dx b a f f b a η+=-+-⎰

6．试证明插值型求积公式0

()()n

b

i i a

i f x dx A f x =≈∑⎰的代数精确度至少是n 次。

7．已知非线性方程()x f x =在区间[],a b 内有一实根，试写出该实根的牛顿迭代公式。

8．用三角分解法求解线性方程组

123121022331302x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦

要用二次插值多项式计算(0.63891)f 的近似值，试选择合适的插值节点进行计算，并说明所选用节点依据。（保留5位有效数字）（12分） 三． 已知方程ln 0x x +=在(0,1)内有一实根α

（1）给出求该实根的一个迭代公式，试之对任意的初始近似0(0,1)x ∈迭代法都收敛，并证明其收敛性。

（2）00.5x =试用构造的迭代公式计算α的近似值n x ，要求3110n n x x ---≤。 四． 设有方程组

112233131232a x b a x b a x b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦

（1） 当参数a 满足什么条件时，雅可比方法对任意的初始向量都收敛。

（2） 写出与雅可比方法对应的高斯赛德尔迭代公式。（12分） 五．用欧拉预估校正法求解初值问题

'2 (00.2)

(0)1x y y x y y ⎧=-≤≤⎪⎨

⎪=⎩

取h=0.1，小数点后保留5位。（8分）

六．证明求解初值问题 '00

(,) ()y f x y y x y ⎧=⎨=⎩的如下单步法

12121(,)11(,)22

n n n n n n y y K K hf x y K hf x h y K +⎧⎪=+⎪

=⎨

⎪⎪=++⎩ 是二阶方法。（10分）

七．试证明复化梯形求积公式

1

01

()(()2()()) 2n b

i n a

i h b a

f x dx f x f x f x h n -=-≈++=

∑⎰

对任意多的积分节点数n+1,该公式都是数值稳定的。（6分）

2003-2004第一学期

一．填空（3*5）

1．近似数*0.231x =关于真值0.229x =有----位有效数字。 2

*x 的相对误差的----倍。 3．设()f x 可微，求()x f x =根的牛顿迭代公式----。

4．插值型求积公式0

()()n

b

i i a

i f x dx A f x =≈∑⎰的代数精确度至少是----次。

5．拟合三点(1,0),(1,3)A B ==和(2,2)C =的常函数是---。 二．已知()f x 有如下的数据

试写出满足插值条件()()i i P x f x =以及'(2)'(2)P f =的插值多项式()P x ，并写出误差的表达形式。

三．（1）用复化辛浦森公式计算1

0x e dx ⎰为了使所得的近似值有6位有效数字，问

需要被积函数在多少个点上的函数值？

（2）取7个等距节点（包括端点）用复化辛浦森公式计算7

21lg x xdx ⎰，小数

点后至少保留4位。

四．曲线3y x =与1y x =-在点（0.7，0.3）附近有一个交点(,)x y ，试用牛顿迭代公式计算x 的近似值n x ，要求3110n n x x ---≤ 五． 用雅可比方法解方程组

123122*********x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

是否对任意的初始向量(0)x 都收敛，为什么？

取(0)(0,0,0)T x =，求出解向量的近似向量，要求满足(1)()613

max 10k k i i i x x +-≤≤-≤。

六．用校正一次的欧拉预估校正格式求解初值问题

'2+1

(0)0y y y ⎧=⎨

=⎩

的解函数在0.6x =处的近似值，要求写出计算格式。（步长0.3h =,小数点后保留

5位有效数字）

七．设有求解初值问题'00

(,)

()y f x y y x y ⎧=⎨=⎩的如下格式

11(,)n n n n n y ay by chf x y +-=++

如假设11(),()n n n n y y x y y x --==问常数,,a b c 为多少时使得该格式为二阶格式？

2005-2006第二学期 一．填空（3*5）

1． 设近似数**

121.2250,0.5168x x ==都是四舍五入得到的，则相对误差

**

12()r e x x ≤----。

2． 矛盾方程组11

2.8

3.2x x =⎧⎨=⎩的最小二乘解为----。

3． 近似数*0.01999x =关于真值*0.02000x =有几位有效数字 4．

1.732≈

，迭代过程1n n y y +=+是否稳定？ 5． 求积公式3

1()2(2)f x dx f =⎰有几次的代数精确度？

二． 取初值0 1.6x =

5110n n x x -+-≤时停止迭代。

三．用最小二乘法确定21

y a bx x

=+中的常数a 和b ，使该曲线拟合于下面的四

个点（1，1.01）（2，7.04）（3，17.67）（4，31.74） （计算结果保留到小数点后4位）

四．用乘幂法求矩阵A 的按模最大的特征值1λ的第k 次近似值()1k λ及相应的特征向量1x ，要求取初值0(1,1,1)T u =且()(1)31110k k λλ---≤

这里 A=512101613-⎡⎤

⎢⎥⎢⎥

⎢⎥-⎣⎦

五．考察用高斯赛德尔迭代法解方程组12312312

3926

8888

x x x x x x x x x -+=⎧⎪

-+-=⎨⎪-++=-⎩

收敛性，并取(0)(1,0,0)T x =，求近似解(1)k x +，使得(1)()310k k i i x x +--≤（i=1，2，3） 六．已知单调连续函数()y f x =的如下数据

1.120.00 1.80

2.20

() 1.100.500.90 1.70

i i x f x ---

用插值法求方程()0f x =在区间（0.00，1.80）内根的近似值。（小数点后至少保