2015年全国各地高考模拟数学试题汇编导数与定积分(理卷A)

专题2 不等式、函数与导数

第4讲 导数与定积分（A 卷）

一、选择题（每题5分，共50分）

1、（2015·海南省高考模拟测试题·3）若函数)0,0(1)(>>-=b a e b

x f ax 的图象在x=0处的切线与圆x 2+y 2=1相切,则a+b 的最大值是（ ）

A. 4

B.

C. 2

D. 2.（2015·河北省唐山市高三第三次模拟考试·12）

3．(2015·哈尔滨市第六中学高三第三次模拟考试·12)定义在()0+∞，上的单调函数

()[]2(),0,,()log 3f x x f f x x ∀∈+∞-=，则方程2)()(='-x f x f 的解所在区间是（ ） A.⎪⎭⎫ ⎝⎛

21,0 B.⎪⎭⎫

⎝⎛1,21 C.()2,1 D.()3,2

4．(2015济宁市曲阜市第一中学高三校模拟考试·10)若函数()f x =22(1)()x x ax b -++的

图像关于直线x =2对称，则()f x 的最大值是（ ）

A ．9

B ．14

C ．15

D ．16

5．（2015·开封市高三数学（理）冲刺模拟考试·10）已知函数f （x ）=e x ﹣mx+1的图象为曲线C ，若曲线C 存在与直线y=ex 垂直的切线，则实数m 的取值范围是（ ）．

A ．1,e ⎛

⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ． （，+∞） C ． 1

,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ． (),e +∞

6．（2015·佛山市普通高中高三教学质量检测（二）·4）不可能为直线b x y +=

23作为切线的曲线是（ ）

A ．x y 1-=

B ．x y sin =

C ． x y ln =

D ．x e y =

7. (2015·海淀区高三年级第二学期期末练习·7)已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ≤时，31()(1)e x f x x +=+.那么函数()f x 的极值点的个数是（ ）

（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2

8．(2015·丰台区学期统一练习二·3）直线4y x =+与曲线21y x x =-+所围成的封闭图形的面积为（ ） (A) 223 (B) 283 (C) 323 (D) 343

9．（2015·合肥市高三第三次教学质量检测·10）定义在R 上的函数()f x 满足:()1f x >且()'()1,(0)5f x f x f +>=,其中'()f x 是()f x 的导函数,则不等式ln[()1]ln 4f x x +>-的解集为（ ）

A ．(0,)+∞

B ．(,0)(3,)-∞+∞

C ．(,0)(0,)-∞+∞

D ．(,0)-∞ 10. (2015.怀化市高三第二次模考·9) 定义在R 上的函数()f x 满足：()1()f x f x '>-，(0)6f =，()f x '是()f x 的导函数，则不等式()5x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）

A ．()0,+∞

B ．()(),03,-∞+∞U

C ．()(),01,-∞+∞U

D ．()3,+∞ 二、非选择题（50分）

11. (2015·济南市高三教学质量调研考试·14)已知正方形ABCD,M 是DC 的中点，由AM mAB nAC =+uuu r uu u r uu u r 确定,m n 的值，计算定积分sin n m xdx ππ

=⎰__________.

12. （2015·青岛市高三自主诊断试题·14）若函数()sin()(0,0)6f x A x A πωω=-

>>的

图象如图所示,则图中的阴影部分的面积为 ； 13．函数x e x x f 2)(=在区间)1,(+a a 上存在极值点，则实数a 的取值范围为 ▲ ．

14．（2015·苏锡常镇四市高三数学调研（二模）·14）已知a ，b ∈R ，a ≠0，曲线y=x

a 2+，y=ax+2b+1，若两条曲线在区间[3，4]上至少有一个公共点，则a 2+

b 2的最小值为

15.（2015.山师附中第七次模拟·11）由1,1,2,1y x x y x =

===所围成的封闭图形的面积为______________.

16. （2015·山东省实验中学高三第三次诊断考试20.）（本题满分12分）已知函数()1ln x f x x

+=. （I ）求函数()f x 的单调区间；

（II ）若函数()f x 在区间()1,02t t t ⎛

⎫+> ⎪⎝⎭

上不是单调函数，求实数t 的取值范围； （III ）如果当1x ≥时，不等式()1a f x x ≥

+恒成立，求实数a 的取值范围.

17. （2015·扬州中学第二学期开学检测·20）（本小题满分13分）

已知函数2

()f x x ax b =++，()ln g x x =．

（1）记()()()F x f x g x =-,求()F x 在[1,2]的最大值； （2）记()()()

f x G x

g x =，令4a m =-，24()b m m R =∈，当210<

（ⅰ）求证：321120x x x <<<<；

（ⅱ）讨论函数()G x 的单调区间（用123,,x x x 表示单调区间）．

专题2 不等式、函数与导数

第4讲 导数与定积分（A 卷）答案与解析

1.【答案】D

【命题立意】本题旨在考查导数的几何意义，直线与圆的位置关系，基本不等式．

【解析】由于f ′（x ）=－b a e ax ，故k=f ′（0）=－b a ，又f （0）=－b

1，则对应的切线方程为y+b 1=－b a x ，即ax+by+1=0，而切线与圆x 2+y 2=1相切，则有d=221b

a +=r=1，即a 2+

b 2=1，故有a+b ≤)(222b a +=2，当且仅当a=b=2

2时等号成立． 2.【答案】C

【命题立意】本题重点考查图象的对称性，利用导数研究函数的单调性，难度较大.

1=，将(,),(,),(,),(,),(,),x y y x y x x y x y ------代入其方程，其表达式不变，所以曲线关于原点和直线,y x y x ==-以及,x y 轴对称，所以①正确，

②错误，根据对称性，因为曲线与两坐标轴交点处的四条线段长为

轴交点处弧长，所以l >，故③正确，曲线到原点的距离的平方为222d x y =+，由

1=，得23(1y =，所以222223(1d x y y x =+==+，

设u =则23x u =，233(1)d u u =+-，222()33(1)63d u u u '=--=-，当102u <<

时，2()0d '<，当12u >

时，2()0d '>，所以当12u =时，2min 111()884

d =+=，得12d ≥. 3.【答案】C 【命题立意】本题旨在考查导数，函数零点存在性定理。

【解析】根据题意，对任意的(0,)x ∈+∞ ，都有[]2()log 3f f x x -= ，又由f （x ）是定

义在(0,)+∞上的单调函数，则2()log f x x -为定值，设2()log t f x x =- ，则2()log f x x t =+ ，又由f （t ）=3，即log 2 t+t=3，解可得，t=2；则2()log 2f x x =+ ，