第二节角平分线定理(课资类别)

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角平分线的性质定理教案

角平分线的性质定理（教案）数学学院07级E班金发权（一）课题：角平分线的性质定理（二）课型：新授课（三）教学目标1、知识与技能：（1）、巩固利用尺规作已知角角的平分线的方法；（2）、掌握角的平分线性质定理的内容及其证明．（3）、能够运用性质定理证明两条线段相等。

2、过程与方法：（1）、通过定理的推导，提高学生的归纳能力；（2）、通过定理的初步应用，提高学生的逻辑推理能力及创新的能力。

3、情感态度价值观：（1）、通过对角平分线的进一步认识，渗透运用不同的观点，从不同的侧面认识事物的辩证思维方法。

（2）、体会知识点之间的紧密联系。

（四）教学重难点重点：角平分线的性质定理及其运用。

难点：角平分线的性质定理的运用。

（注：学生对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了，所以证题时，不习惯直接应用定理，仍然去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次定理。

）（五）教具：多媒体，直尺，圆规等。

(六) 教学方法：启发探究式作业：1、已知：如图，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P. 那么点P 是否在∠A 的角平分线上，请说明理由。

目的：一例多用，同时为下一节课逆定理的学习服务。

下节课既可以利用作业指正学生在运用性质定理时的不足之处，又可以进行逆定理的引入。

（2）、P22习题11.3：第2题。

目的：对本节所学知识进行巩固，同时也是对课堂教学实效的反馈，从而分析原因，改进教学方法。

板书设计：角平分线的性质定理1、演示角平分线的画法；2、定理的猜想及证明；3、角平分线的性质定理及其强调说明4、例题教解5、课后小结A B PNM。

第二节角平分线定理

第二节角平分线定理【知识点拨】1、三角形内角平分线的性质定理：三角形内角的平分线内分对边所成的两条线段和相邻两边对应成比例。

（试证明）2、三角形外角平分线性质定理：三角形外角平分线分对边所得的两条线段和相邻的两边对应成比例。

3、常见问题对于涉及角平分线的相关计算，常由角平分线性质定理列出比例式进行计算，对于关于角平分线的证明题，常由角平分线性质定理列出比例式进行代换，达到证明的目的。

【赛题精选】例1、在△ABC中，∠C＝900，CD是∠C的平分线，且CA＝3，CB＝4。

求CD的长。

例2、若PA＝PB，∠APB＝2∠ACB，AC与PB相交于点D，且PB＝4，PD＝3。

求A D·DC的值。

（2001年全国竞赛题）【说明】角平分线性质定理又提供计算线段的方法，解题时要注意应用。

计算时要注意对应关系，正确书写比例式。

对于求线段ab 的值的题目，常由相关定理证出等积式ab ＝cd ，求出cd 的值即可。

例3、I 是△ABC 内角平分线的交点，AI 交对应边于D 。

求证：BCAC AB ID AI +=。

例4、Rt △ABC 中，∠ACB ＝900，CD ⊥AB 于D ，AF 平分∠CAB 交CD 于E ，交CB 于F ，且EG ∥AB 交CB 于G 。

试求：CF 与GB 的大小关系如何？（1998年“希望杯”邀请赛题）【说明】欲证线段a ＝b ，由线段成比例定理得出含a 、b 的比例式，111n m x a =、222n m x b =，然后证2211n m n m =，从而得到21x b x a =，再证21x x =，从而得到a ＝b 。

本题证法较多，如过点E 作EH ∥BC 交AB 于H ，则EH ＝GB ，再证EH ＝EC 、EC ＝CF ；或过F 作FM ⊥AB 于M ，证Rt △CEG ≌Rt △FMB 。

例5、在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 交AB 于G ，AM 是BC 边的中线，交CG 于F 。

角平分线(二)

§1.4角平分线（二）授课时间：年月日星期课型：审核：学习目标：1、证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论．2、角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用．学习重点：1、三角形三个内角的平分线的性质．2、综合运用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题．学习难点：角平分线的性质定理和判定定理的综合应用．学习过程：一．导学问题l ：在习题1．8的第1题作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么?你能证明自己发现的结论一定正确吗？问题2：说一说你的证明思路？二.自学问题3：已知：如图，设△ABC的角平分线．BE、CF相交于点P，Array求证：P点在∠B AC的角平分线上．证明：问题4：在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，你还发现什么“附带”的成果呢?由此可得定理：三角形的三条角平分线，并且这一点到的距离相等．三.互学问题6：如图：直线l 1、l 2、l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？你如何发现的?问题7:如图，在△ABC 中．AC=BC ，∠C=90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ．(1)已知CD=4 cm ，求AC 的长；(2)求证：AB=AC+CD ．四.测学：问题8、已知：如图，P 是∠AOB 平分线上的一点，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别为C 、D ．求证：(1)OC=OD ；(2)OP 是CD 的垂直平分线．五.思学1、在问题8中，图中还哪些相等的线段和角呢？2、本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证明了三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三角形各边的距离相等．并综合运用我们前面学过的性质定理等解决了几何中的计算和证明问题．你在学习时还有哪些困惑？教学反思：A DB EC l 3l 21l C B A PD AE C O B。

角平分线的性质教学课件

解析
首先利用角平分线的性质求出$angle OCP = 65^circ$，然后根据直角三角形的性质求出 $angle CPO = 90^circ$，最后利用角的和的性质求出$angle OCD = 155^circ$。
= frac{1}{2} angle AOB = 30^circ$；当点$C$在$angle AOB$外部
时，$angle BOC = angle AOB - angle AOC = 150^circ$。
进阶练习题
01
题目：已知$angle AOB = 70^circ$，点$P$是$angle AOB$的角平分线上一点，且$PC perp OA$，$PD perp OB$，垂足分别为点$C,D$，则$angle CPD = ($ ）
详细描述
首先，以角的顶点为圆心，任意长为半径画一个圆。然后，将圆规的针脚放在圆周上，取半径长度将圆周分为两个等分。接着，连接等分点和角的顶点，这条直线即为角的平分线。
利用角的和差作角平分线
总结词
通过角的和差性质，可以将一个角分为两个相等的角，从而作出角的平分线。
详细描述
首先，在角的内部作一条射线，使其与角的两边相交于两点。然后，利用角的和差性质，将这两个交点与角的顶点连接起来，形成两个相等的角。最后，连接这两个相等角的顶点，这条直线即为角的平分线。
02
答案：B
03
解析：由于点$P$是$angle AOB$的角平分线上一点，根据角平分线的性质，我们有$angle OPC = angle OPD = frac{1}{2} angle AOB = 35^circ$。再根据直角的性质，$angle CPD = 180^circ - angle OPC - angle OPD = 110^circ$。

角平分线性质定理及逆定理课件

在三角形性质研究中的应用
• 应用举例：利用角平分线性质定理研究三角形中的角平分线与中线、高线之间的关系，或者利用逆定理证明三角形中的角平分线与边的关系。
在实际问题中的应用
• 应用举例：利用角平分线性质定理解决土地划分、道路规划等实际问题，或者利用逆定理解决建筑结构、机械设计等实际问题。
PART 05
习题与解答
REPORTING
WENKU DESIGN
习题部分
题目1
已知△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AD交边BC于D，E、F
分别是AB、AC上的点，且 ∠DEF=∠BAD。求证：DE=DF。
题目2
在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，且BD=CD。求证： AB=AC。
题目3
在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，且AB=AC，AD=CD。求
逆定理的证明
证明方法一
利用相似三角形的性质，通过相似三角形的边长比例关系证明。
证明方法二
利用余弦定理，通过余弦值之比等于边长之比的平方证明。
逆定理的应用
01
02
03
应用一
在几何证明中，可以利用角平分线逆定理来证明一些与角平分线相关的几何性质。
应用二
在三角形中，可以利用角平分线逆定理来找到角的平分线，进而确定其他边的长度或角度。
如果一条射线上的点到角的两边距离相等，那么该射线就是该角的角平分线。
PART 02
角平分线逆定理
REPORTING
WENKU DESIGN
逆定理的表述
• 角平分线逆定理：在三角形中，如果一条角的平分线与另两边相交，则与平分线相对的两边之比等于这两边所夹的角平分线形成的两个小三角形非夹角之比。

《角平分线的性质》课件

在解决பைடு நூலகம்际问题中的应用
实际应用
在建筑设计、工程绘图等领域，角平分线性质可以帮助确定物体的位置和方向，从而保证设计的准确性和施工的顺利进行。
案例分析
在设计桥梁、建筑或管道时，可以利用角平分线性质来确定结构的支撑点或固定点，以确保结构的稳定性和安全性。
在数学竞赛中的应用
竞赛题特点
数学竞赛中常常出现与角平分线性质相关的题目，这类题目通常涉及多个知识点，需要学生具备较高的逻辑思维和推理能力。
角平分线的表示方法
在几何图形中，通常用符号“∟”表示角平分线。
例如，若射线OA是∠AOB的角平分线，则标记为“OA∟∠AOB”。
角平分线的性质
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
角平分线定理：对于三角形中的角平分线，它所对的边与该角的对边之比等于其他两边之比。即，在△ABC中，若AD是 ∠BAC的角平分线，则BD/DC=AB/AC。
在其他领域的应用
农业灌溉
在农田灌溉中，可以利用角平分线性质优化灌溉管道和水渠的布局，提高灌溉效率。
航空导航
在航空导航中，可以利用角平分线性质确定航向和飞行高度，确保航行安全。
军事战略部署
在军事战略部署中，可以利用角平分线性质优化部队的驻扎和部署，提高作战效率。
THANKS
感谢观看
在道路规划中的应用
01
02
03
道路交叉口设计
利用角平分线性质，合理规划道路交叉口的位置和形状，提高交通流畅度和安全性。
道路指示牌设置
根据角平分线性质，合理设置道路指示牌的位置，确保驾驶员能够清晰地获取指示信息。
道路排水设计
在道路规划中，可以利用角平分线性质优化排水系统的布局，提高道路的排水性能。

北师大版(新)初中数学八年级下册 1,4角平分线第二课时【优质课件】

1 已知△ABC，求作一点P，使P 到∠A 的两边的距离相等，且 PA＝PB.下列确定P 点的方法正确的是( B ) A．P 为∠A 与∠B 的平分线的交点 B．P 为∠A 的平分线与AB 的垂直平分线的交点 C．P 为AC，AB 两边上的高的交点 D．P 为AC，AB 两边的垂直平分线的交点
2 如图，李明计划在张村、李村之间建一家超市．张、李两村坐落在两相交公路内．超市的位置应满足下列条件：(1)使其到两公路的距离相等；(2)为了方便群众，超市到两村的距离之和最短，请你通过作图确定要建超市的位置．
证明：∵BM 是△ABC 的角平分线，点P 在BM上，且PD丄AB，PE 丄BC，垂足分别为D，E， ∴PD＝PE (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). 同理，PE＝PF． ∴PD＝PE＝PF. ∴点P 在∠A 的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)，即∠A 的平分线经过点P.
(2) 求证：AB＝AC＋CD.
A
E
C
D
B
(1) 解：∵AD 是△ABC 的角平分线，DC丄AC，DE丄AB 垂足为E， ∴ DE＝CD＝4 cm (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). ∵AC＝BC，∴ ∠B＝∠BAC， (等边对等角). ∵ ∠C＝90°， ∴ B＝1 90＝45 . ∴∠BDE＝90°－45°＝45° .
FEM＝FDN，
在△FEM 与△FDN 中， EMF＝DNF，
∴△FEM ≌ △FDN.
FM＝FN，
∴FE＝FD.
2 在△ABC 内到三条边距离相等的点是△ABC 的( B )
A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点 D．以上均不对
3 到三角形三边距离相等的点的个数是( D )

角平分线的性质和判定(共张)课件

作法应用
01
在几何证明题中，常常需要用到角平分线的作法来构造辅助线，从而证明某些结论。
02
作法应用可以帮助我们更好地理解几何图形的性质和判定定理。
作法证明
第一步
根据等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等。
第二步
由于所作的线段是等腰三角形的底边，所以这条线段将角平分。
第三步
证明所作的线段与角的两边垂直，从而证明这条线段是角的平分线。
证明方法二
利用相似三角形的性质，通过相似三角形的边长比例关系证明角平分线的性质。
02
角平分线的判定
判定定理
判定定理
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
定理证明
在角的平分线上任取一点，过这点作角的两边的垂线，垂足分别为A、B。根据角平分线的定义，角平分线上的点到角的两边距离相等，即$PA=PB$。因此，角平分线上的点满足到角的两边距离相等的性质。
03
角平分线定理的逆定理
逆定理内容
逆定理
如果一条射线将一个角分成两个相等的部分，那么这条射线就是这个角的角平分线。
证明过程
首先，我们知道角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。反之，如果一条射线上的点到这个角的两边的距离相等，那么这条射线将这个角平分。因此，我们可以得出上述逆定理。
逆定理应用
通过角平分线的定义和性质，结合三角形全等的判定定理，证明推论1的正确性。
证明2
通过反证法和角的平分线的性质，证明推论 2的正确性。
感谢您的观看
THANKS
角平分线的性质和判定(共张)课件
目录
• 角平分线的性质 • 角平分线的判定 • 角平分线定理的逆定理 • 角平分线的作法 • 角平分线定理的推论

角平分线的判定定理ppt课件

经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
4、如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的
平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
G
P
H
经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
课内拓展延伸
如图，△ABC中，点O是∠BAC与∠ABC的平分线的交点，过O作与BC平行的直线分别交AB、AC于D、E．已知△ABC的周长为15，BC的长为6，求△ADE的周长.
A
D OE
B
C
经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
的判定到角的两边的距离相等的点
的平分线上。
在角
D
已知：如图，PD^OA ，PE^OB，
垂足分别是 D、E，PD=PE，
O
求证：点P在 AOB的角平分线上。
证明：作射线OP
∵ PD^OA PE^OB
E
\ PD P OE 9O 0
在 Rt△PDO 和Rt△PEO 中，
OP = OP （公共边）
B
(1). ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE ∴_∠__1_=_∠__2___
(_到__一__个__角__的__两__边__的__距__离__相__等__的__点__，__在__这__个__角__平__分__线__上__。)

1第2课时角平分线的性质定理及逆定理课件沪科版八年级上册数学

置到两条公路的距离相等，请你设计出加油站的位置，并说明
你的理由.
预习导学
角平分线性质定理
阅读教材本课时相关的内容，回答下列问题.
1.揭示概念:角平分线上的点到角两边的距离
相等 .
2.归纳:角平分线的判定定理: 角的内部到角两边距离相等
的点在这个角的平分线上.
预习导学
1.已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于 E，且DE＝
3.如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD平分∠BAC，求
证:AB＋BD＝AC.
合作探究
证明:如图，延长AB到点E，使BE＝BD，连接DE，则
∠BDE＝∠BED，
∴AE＝AB＋BD.
∵∠ABD＝2∠BED，∠ABD＝2∠C，
∴∠BED＝∠C.
∵∠1＝∠2，
∴△ADC≌△ADE，AC＝AE，
∴AB＋BD＝AC.
第15章轴对称图形与等
腰三角形
15.4 角的平分线
第2课时角平分线的性质定理及
逆定理
素养目标
1.掌握角平分线定理及其逆定理.
2.能利用角平分线定理及其逆定理解决几何图形中的问题.
◎重点:角平分线的性质定理及其逆定理.
◎难点:角平分线性质定理及其逆定理的综合应用.
预习导学
如图，要在两条公路的中间修建一座加油站，要求选的位
合作探究
【变式训练】如上题图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB
＋BD＝AC，求∠B∶∠C的值.
解:辅助线同上，得AE＝AB＋BD.
∵AB＋BD＝AC，∴AE＝AC.
易证△ADC≌△ADE，∠ACD＝∠BED，∴∠ABD＝
2∠ACD，即∠ABD∶∠ACD＝2∶1.
合作探究

北师大版八年级数学下册1.4角平分线课件

只需作出两个角的平分线,第三个角的平分线必过这两
条角平分线的交点.
3.利用面积法求距离的方法:三角形角平分线交点与三
个顶点的连线,把原三角形分割成了三个小三角形,利用
小三角形的面积之和等于原三角形的面积,是求角平分
线交点到三边距离的常用方法.
课外作业
1.如图,在△ABC中,∠B的平分线与∠C的外角的
∴点F在∠DAE的平分线上.
3.证明(1)∵P是∠AOB平分线上的一
点,PC⊥OA,PD⊥OB,∴PC=PD.
又∵OP=OP,∴Rt△OCP≌Rt△ODP.
∴OC=OD.
(2)∵OC=OD,∠COP=∠DOP,
∴OP是CD的垂直平分线.
4.解(1)如图,作∠BAC的角平分线AF或作∠BAC的外角
∠CAE的外角平分线AN,则直线AF或直线AN上任意一点
的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上,BD=DF.
求证：CF=EB.
证明：∵AD平分∠CAB,
A
DE⊥AB，∠C＝90°（已知）,
∴
CD＝DE (角平分线的性质).
在Rt△CDF和Rt△EDB中,
CD=ED（已证）,
DF=DB （已知）,
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL).
F
C
∴ CF=EB（全等三角形的对应边相等）.
∴ QD＝QE
课外作业
1.如图,在△ABC中,∠C=90° AD是∠BAC
的平分线,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BD=DF.
求证:(1)CF=EB;
(2)AB=AF+2EB.
证明:(1)∵AD是∠BAC的平分线
,DE⊥AB,DC⊥AC,
∴DE=DC.
∵在Rt△DCF和Rt△DEB中,

人教版数学八年级上册角的平分线的性质(第2课时)

课堂检测
基础巩固题
1. 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN，
OA，OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA，
OB的距离相等，请确定该超市的位置P.
A
M
小区C
P
O
N
B
课堂检测
2. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC
交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的
∠BOC＝180°－70°＝110°.
探究新知方法点拨
由已知，O 到三角形三边的距离相等，得 O是三角形三条内角平分线的交点，再利用三
角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．
探究新知
角的平分线的性质角的平分线的判定
归
图形
C P
C P
纳
总
结
OP平分∠AOB
PD=PE
已知条件
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
发现：三角形的三条角平分线相交于一点.
探究新知分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组
垂线段，你发现了什么？
你能证明这个结论吗？发现：过交点作三角形三边的垂线段相等.
探究新知
证明结论
已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，
△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度
数为( A )
A．110° B．120° C．130° D．140°
解析：由已知，O到三角形三边的距离相等，即三条角平分线的交点，AO，BO，CO都是角平分线，所∠B以C有O＝∠C∠BAOC＝O＝∠AB1 ∠OA＝CB12 ，∠ABC，

角平分线的性质定理及判定定理

流河路公北M 区CB A 角平分线(线段垂直平分线，等腰三角形) 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等用数学符号可表示：∵点P 在∠AOB 的平分线上（或OP 平分∠AOB ） ∴ 角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上用数学符号可表示：∵∴点P 在∠AOB 的平分线上（或OP 平分∠AOB ）基础闯关1.在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的角平分线，若BC ＝5㎝，BD ＝3㎝，则点D 到AB 的距离为2.∠AOB 的平分线上一点M ，M 到OA 的距离为1.5㎝，则M 到OB 的距离为㎝。

3.如图，∠A ＝90°，BD 是△ABC 的角平分线，AC ＝8㎝，DC ＝3DA ，则点D 到BC 的距离为。

4.如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（） A 、PD ＝PE B 、OD ＝OE C 、∠DPO ＝∠EPO D 、PD ＝OD5.三角形中到三边距离相等的点是（）A 、三条边的垂直平分线的交点B 、三条高的交点C 、三条中线的交点D 、三条角平分线的交点6.到一个角的两边距离相等的点在．7.如图，要在河流的南边，公路的左侧M 处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉A 点处的距离为1cm （指图上距离），则图中工厂的位置应在，理由是．8．三角形中，到三边距离相等的点是（A ）三条高线交点．（B ）三条中线交点．（C ）三条角平分线交点．（D ）三边垂直平分线交点．9．如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形是 ODPEBA 第3题图D ABC21D APOE B第4题图FEDCBAF E DCBA（A ）直角三角形．（B ）等腰三角形．（C ）等边三角形．（D ）等腰直角三角形 10．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC于F ，M 为AD 上任意一点，则下列结论错误的是（A ）DE ＝DF ．（B ）ME ＝MF ．（C ）AE ＝AF ．（D ）BD ＝DC ．二．解答题：1.如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且DB ＝DC ，求证：BE ＝CF 。

《角平分线的判定》课件

应用举例
在几何证明题中，常常利用角平分线的性质定理来证明线段相等或角相等。
角平分线的判定定理的推论
推论1
到角的两边的距离相等的点在角平分线上。
证明方法
利用反证法进行证明，假设点不在角平分线上，通过构造反例来证明假设不成立。
应用举例
在解题过程中，可以利用这个推论来寻找角平分线上的点，从而解决问题。
《角平分线的判定》ppt课件
• 角平分线的定义 • 角平分线的判定方法 • 角平分线的应用 • 角平分线的相关定理和性质 • 练习题与答案
01
角平分线的定义
角平分线的描述
01
角平分线是从一个角的顶点出发，将该角分为两个相等的部分，且与相对边相交的线段。
02
角平分线将角分为两个相等的角，这两个角的大小与原角相等。
提高练习题
提高练习题1
在三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，E、F分别是AB、AC上的点，且 DE=DF。求证：EB=FC。
提高练习题2
已知三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，E、F分别是AB、AC上的点，且 DE=DF，EF平行于BC。求证：EB=FC。
综合练习题与答案
综合练习题1
在三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，E、F分别是AB、AC上的点，且DE=DF。EF交AD于G。求证： EG=FG。
角平分线与三角形面积的关系
01
角平分线可以将三角形分割成两个面积相等的子三角形。
面积分割定理
02
利用角平分线，可以证明面积分割定理，从而得出其他相关性
质和结论。
面积计算
03
通过角平分线，可以方便地计算三角形的面积，进一步用于解
决实际问题。

《角平分线》PPT教学课件

知识讲解
如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角
的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就
是角平分线，你能说明它的道理吗?
两个三角形三边对应相等，两个三角形全
A C
等，两全等三角形的对应角相等.所以AE就
是角平分线想一想：能够运用这种方法作出任意角的角平分线吗？
B
（1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
× ∴ BD = CD ，
A
D C
( 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等)
理由：没有垂直，不能确定BD,CD是点D到角两边的距离.
知识讲解
★ 练一练
(2)∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）.
× ∴ BD = CD ,
(角内任意一条线上的点到这个角的两边的距离相等 )
B
A
D
C
理由：无法确定点D在∠BAC的平分线上.
知识讲解
线段的垂直平分线的性质定理有逆定理，角的平分线的性质定理是否也有逆定理呢？
如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点在角的平分线上.
知识讲解
角平分线性质定理的逆定理到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
A
D C
P
O
E
B
用途：证明点在角平分线上，即可以判定角平分线.
知识讲解
典例讲解例题如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
A N PM
B
C
知识讲解
证明：
A
D
N
P
F M
B
C
E
知识讲解

2022年初中数学精品教案《角平分线的判定 (2)》公开课专用

第2课时角平分线的判定一、新课导入1.导入课题：我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，反过来，到角的两边的距离相等的点是否在这个角的平分线上呢？这节课我们对这个问题进行探究.2.学习目标：（1）能说出角平分线的性质的逆定理，并能给予证明.（2）能够熟练地运用角平分线的性质的逆定理解决一些相关的数学问题.3.学习重、难点：重点：正确地区分角平分线的性质定理及逆定理的条件与结论.难点：角平分线定理和逆定理的互用.二、分层学习1.自学指导：（1）自学内容：教材第49页下面的“思考”至例题之间的内容.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：通过动手作图、观察、思考、论证、归纳得出结论.（4）自学参考提纲：①知识回顾：角平分线的性质定理是：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.这个定理的题设是一个点在一个角的平分线上，结论是这个点到这个角两边的距离相等，用几何语言表示：如右图，∵OP平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE②把角平分线的性质定理的题设与结论互换，就可以得到它的逆命题，试写出这个逆命题：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上用几何语言表示：如右图，∵PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE,∴点P在∠AOB的平分线上（OP平分∠AOB）,③小组合作完成教材第49页的思考：a.所建的集贸市场要符合哪些条件？到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m.b.集贸市场应该建在什么位置？画一画，并说明理由.如图所示:P点即为所求，理由：P点在交叉口的角平分线上，所以P点到公路与铁路的距离相等.c.实际距离500米能否转换成图上距离？写出计算过程.，∴图上距离=0.025m=2.5cm.能,∵图上距离/500m=120000④结合上图自己写出角平分线性质定理的逆定理的证明过程.2.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：学生已经具备了一些几何概念定理学习方法，对于性质定理的逆命题，学生能很快得出来，但在语言表达上还存在一定问题；教材第49页的“思考”对于八年级的学生来说还存在一定的难度.②差异指导：引导学生比较角平分线的性质定理和它的逆命题的题设与结论，认识它们的区别与联系，学会文字语言和几何语言的转换.(2)生助生：生生间互助交流.4.强化：（1）进一步明确角平分线的性质定理和它的逆定理的题设与结论的互换关系，以及文字语言向几何语言的转换方法.（2）角平分线的性质定理和它的逆定理，揭示了“角相等”和“线段相等”之间的一种特殊关系.这为今后我们证明角相等，线段相等提供了一种解题思路.1.自学指导：（1）自学内容：教材第50页例题.（2）自学时间：5分钟.（3）自学要求：思考辅助线的作用和为什么要这样作辅助线的道理.（4）自学参考提纲：研究例题，我知道了：①推出PD=PE的依据是角的平分线上的点到角的两边的距离相等；②“同理”这里省略的过程是∵CN是△ABC的角平分线，点P在CN上；③推出PE=PF的依据是角的平分线上的点到角的两边的距离相等；④推出PD=PE=PF的依据是等量代换；⑤由点P在∠A的内部，且PD=PF可知，点P在∠A的平分线上，其依据是角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上；⑥归纳：三角形的三条角平分线交于一点，而且这一点到三角形三边的距离相等.2.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学：(1)师助生：①明了学情：看学生能否根据今天学习的内容很快完成例题的学习，看是否明白作辅助线的道理.②差异指导：例题中隐含有两个重要结论：一是三角形三条中线交于一点；二是确定到三角形三边的距离相等的点的方法.对此部分学生理解上存在困难，注意分类指导.(2)生助生：学生之间相互交流帮助.4.强化：（1）三角形三条角平分线交于一点.（2）要在三角形的内部找到一点，使这一点到三角形的三边的距离都相等，这个点应如何确定？作其中任意两角的平分线，交点即为所要找的点.（3）教材第50页小练习.练习1：作∠BOA的平分线交于MN于P即可.练习2：证明：过P作PM⊥AC于M，过P作PN⊥BC于N，过P作PQ⊥AB于Q.∵CE为∠MCN的平分线，∴PM=PN，同理PN=PQ，∴点P到三边AB，BC，CA的距离相等.三、评价1.学生的自我评价：学生之间交谈自己的学习收获和学习体会.（1）表现性评价：对学生的学习态度、学习方法和成果进行点评.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）：本课时教学思路按操作、猜想、验证的学习过程，遵循学生的认知规律，充分体现了数学学习的必然性，教学时要始终围绕问题展开，先从出示问题开始，鼓励学生思考、探索问题中所包含的数学知识，再要求学生开展活动——折纸，体验三角形角平分线交于一点的事实，并得出进一步的猜想和开展新活动——尺规作图，从中猜想结论并思考证明的方法，整堂课以学生操作、探究、合作贯穿始终，并充分给学生思考留下足够的空间与时间，形成动手、合作、概括与解决问题的意识与能力.一、基础巩固（第1、2、3题每题10分，第4、5题每题20分，共70分）1.如右图，因为OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，所以PD=PE. 依据是角的平分线的性质.2.如右图，因为点P在∠AOB的内部，PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE，所以OP平分∠AOB.即∠AOP=∠BOP.3.要在三角形内部找到一点，使这一点到三角形三边的距离都相等，这个点是三角形的三条角平分线的交点.4.如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（D）第4题图第5题图5.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，DE垂直平分AB交AB于E.若DE=12AD=1.5cm，则BC=（D）二、综合应用（每小题10分，共20分）6.如图，点P是△ABC的外角∠CBE和外角∠BCF的平分线的交点，求证：AP平分∠BAC.证明：作PQ⊥BC,PM⊥AE,PN⊥AF,垂足分别为Q,M,N.∵P点在∠CBE和∠BCF的平分线上，∴PM=PQ,PN=PQ,∴PM=PN.∵P是AP上的点，∴AP平分∠BAC.7.如图,已知在△ABC中，∠C=90°,点D是斜边AB的中点，AB=2BC，DE⊥AB交AC于E．求证：DE=CE.证明：点D是AB的中点，AB=2BC,∴BD=12AB=BC.∵DE⊥AB,∴∠BDE=∠C=90°,在Rt△BDE和Rt△BCE中，BE=BE,BD=BC，∴Rt△BDE≌Rt△BCE（HL），∴DE=CE.三、拓展延伸（10分）8.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F．连接EF，EF与AD交于G，AD与EF垂直平分吗？证明你的结论．解：AD垂直平分EF.证明如下：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠1=∠2,∠AED=∠AFD=90°,DE=DF.∴△AED≌△AFD(AAS).∴AE=AF,在△AEG和△AFG中，AE=AF,∠1=∠2,AG=AG,∴△AEG≌△AFG(SAS).∴∠AGE=∠AGF=90°,EG=FG.∴AD⊥EF.∴AD垂直平分EF.§2.3 轴对称图形【学习目标】1、能够认识轴对称图形，并能找出对称轴2、知道轴对称与轴对称图形的区别与联系3、经历观察生活中的轴对称现象和轴对称图形，探索它们的共同特征的活动过程，发展空间观念。