瞬时频率和复信号
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若实信号s1 (t ), s2 (t )的频谱满足： S1 ( ) 0 S2 ( ) 0 则 A[ s1 (t ) s2 (t )] s1 (t ) A[ s2 (t )] 当| | 1 当| | 1
瞬时频率的讨论：
几种谬误。 瞬时频率可以不是信号频谱之一。 线状频谱的信号，瞬时频率可以是连续 的。 解析信号的瞬时频率可以是负的。 对带限信号，瞬时频率可以是负的。
瞬时频率和复信号
实信号的复信号化
正交化方法 解析信号方法
实信号的频谱特性：
设s(t )是一个实信号，则 S ( ) S ( )
*
S ( ) 总是关于原点对称。
2
2
Baidu Nhomakorabea
S ( )
d 0
解决思路：
构造一个新的信号，使其在正频率有和 原信号相同的频谱；而在负频率，频谱 为零。
解析信号的解析化：
若z (t )是一解析信号，则 A( z (t )] 2 z (t )
导函数的解析信号：
dn dn A[ n s (t )] A[ n dt dt 1 A[ 2 1 2 2 1 2
S ( )e jt d ]
n jt ( j ) S ( ) e d ]
若信号s1 (t ), s2 (t )的频谱满足： S1 ( ) 0 A[ S 2 ]( ) 0 则 A[ s1 (t ) s2 (t )] s1 (t ) A[ s2 (t )] 当 1 当 1
推论：
若信号s1 (t ), s2 (t )均是解析信号，则 A[ s1 (t ) s2 (t )] s1 (t ) A[s2 (t )]
jt S ( ) e d 0
因为： 1 S ( ) 2 z (t ) 1
s(t )e
jt
dt
1
jt jt s (t )e e dt d
0 j ( t t ) s (t )( e d )dt 0
0
1 1 2 | 2S ( ) | d Ez 20 2
Es EH [ s ]
Z(t)的计算：
对信号解析化的方法：
若信号为e , 则： A[e
jt
jt
0 ] jt 2e
若 0 若 0
例：
求 cos | | t的解析信号： 1 A[cos | | t ] A[e j||t e j||t ] 2 1 1 j | |t j | |t A[e ] A[e ] 2 2 1 j | |t A[e ] 2 e j||t
例：
信号： s (t ) A1e
j1t
A2e
j2t
S ( ) A1 ( 1 ) A2 ( 2 )
因为： s (t ) ( A1 cos 1t A2 cos 2t ) j ( A1 sin 1t A2 sin 2t ) 所以 A1 sin 1t A2 sin 2t (t ) arctan A1 cos 1t A2 cos 2t
对新的信号，则平均频率可以直接计算。
1d S ( ) d z (t ) z (t )dt j dt 0
2 *
问题？
z(t ) ?
解析信号：
由于复信号z (t )的频谱是实信号s (t )的 频谱S ( )的正频谱部分。所以： 1 z (t ) 2 2
s(t ) H [s(t )] dt t t 1
s(t ) z (t ) s(t ) dt t t j
A[s] z(t ) s(t ) jH [s(t )]
Z(t)的讨论：
解析信号能量是原信号能量的2倍。
Es | S ( ) |2 d 2 | S ( ) |2 d
n jt ( j ) S ( ) e d 0 jt S ( ) e d ) 0
dn 1 n (2 dt 2 即：
dn dn A[ n s (t )] n A[ s (t )] dt dt
卷积：
解析信号与任意函数的卷积结果仍是 一个解析信号。
y(t ) A[ s(t )] f (t t )dt 对任意的s和f 都是解析信号。
信号的上调制：
snew (t ) s (t )e j0t 在频域上，是频谱搬移 Snew ( ) S ( 0 )
snew (t )是不是解析信号，由s(t )的 频谱S ( )和0决定。
其他运算：
两个信号的和 两个信号的乘积
乘积问题的讨论：
问题的意义：
对给定的幅度调制A(t ), 相位调制 (t ), 我们希望对应的实信号是 s(t ) A(t ) cos (t ) 复信号是 z (t ) A(t )e j (t ) A(t ) cos (t ) A(t ) j sin (t )
由于：
j e d (t ) t 0
jt
z (t )
1
1
s (t )( e j ( t t ) d )dt
0
j s (t )( (t t ) )dt t t s (t ) s (t ) dt t t j
2 A2 (t ) A12 A2 2 A1 A2 cos(2 1 )t
信号正交化
问题：
是否对任意的A(t )和 (t ), 有 A[ A(t ) cos (t )] A(t )e
j ( t )
？
抽象提升
是否对任意的信号s1 (t )、s2 (t ), 有 A[s1 (t )s2 (t )] s1 (t ) A[s2 (t )]
Bedrosian 定理
瞬时频率的讨论：
几种谬误。 瞬时频率可以不是信号频谱之一。 线状频谱的信号，瞬时频率可以是连续 的。 解析信号的瞬时频率可以是负的。 对带限信号，瞬时频率可以是负的。
瞬时频率和复信号
实信号的复信号化
正交化方法 解析信号方法
实信号的频谱特性：
设s(t )是一个实信号，则 S ( ) S ( )
*
S ( ) 总是关于原点对称。
2
2
Baidu Nhomakorabea
S ( )
d 0
解决思路：
构造一个新的信号，使其在正频率有和 原信号相同的频谱；而在负频率，频谱 为零。
解析信号的解析化：
若z (t )是一解析信号，则 A( z (t )] 2 z (t )
导函数的解析信号：
dn dn A[ n s (t )] A[ n dt dt 1 A[ 2 1 2 2 1 2
S ( )e jt d ]
n jt ( j ) S ( ) e d ]
若信号s1 (t ), s2 (t )的频谱满足： S1 ( ) 0 A[ S 2 ]( ) 0 则 A[ s1 (t ) s2 (t )] s1 (t ) A[ s2 (t )] 当 1 当 1
推论：
若信号s1 (t ), s2 (t )均是解析信号，则 A[ s1 (t ) s2 (t )] s1 (t ) A[s2 (t )]
jt S ( ) e d 0
因为： 1 S ( ) 2 z (t ) 1
s(t )e
jt
dt
1
jt jt s (t )e e dt d
0 j ( t t ) s (t )( e d )dt 0
0
1 1 2 | 2S ( ) | d Ez 20 2
Es EH [ s ]
Z(t)的计算：
对信号解析化的方法：
若信号为e , 则： A[e
jt
jt
0 ] jt 2e
若 0 若 0
例：
求 cos | | t的解析信号： 1 A[cos | | t ] A[e j||t e j||t ] 2 1 1 j | |t j | |t A[e ] A[e ] 2 2 1 j | |t A[e ] 2 e j||t
例：
信号： s (t ) A1e
j1t
A2e
j2t
S ( ) A1 ( 1 ) A2 ( 2 )
因为： s (t ) ( A1 cos 1t A2 cos 2t ) j ( A1 sin 1t A2 sin 2t ) 所以 A1 sin 1t A2 sin 2t (t ) arctan A1 cos 1t A2 cos 2t
对新的信号，则平均频率可以直接计算。
1d S ( ) d z (t ) z (t )dt j dt 0
2 *
问题？
z(t ) ?
解析信号：
由于复信号z (t )的频谱是实信号s (t )的 频谱S ( )的正频谱部分。所以： 1 z (t ) 2 2
s(t ) H [s(t )] dt t t 1
s(t ) z (t ) s(t ) dt t t j
A[s] z(t ) s(t ) jH [s(t )]
Z(t)的讨论：
解析信号能量是原信号能量的2倍。
Es | S ( ) |2 d 2 | S ( ) |2 d
n jt ( j ) S ( ) e d 0 jt S ( ) e d ) 0
dn 1 n (2 dt 2 即：
dn dn A[ n s (t )] n A[ s (t )] dt dt
卷积：
解析信号与任意函数的卷积结果仍是 一个解析信号。
y(t ) A[ s(t )] f (t t )dt 对任意的s和f 都是解析信号。
信号的上调制：
snew (t ) s (t )e j0t 在频域上，是频谱搬移 Snew ( ) S ( 0 )
snew (t )是不是解析信号，由s(t )的 频谱S ( )和0决定。
其他运算：
两个信号的和 两个信号的乘积
乘积问题的讨论：
问题的意义：
对给定的幅度调制A(t ), 相位调制 (t ), 我们希望对应的实信号是 s(t ) A(t ) cos (t ) 复信号是 z (t ) A(t )e j (t ) A(t ) cos (t ) A(t ) j sin (t )
由于：
j e d (t ) t 0
jt
z (t )
1
1
s (t )( e j ( t t ) d )dt
0
j s (t )( (t t ) )dt t t s (t ) s (t ) dt t t j
2 A2 (t ) A12 A2 2 A1 A2 cos(2 1 )t
信号正交化
问题：
是否对任意的A(t )和 (t ), 有 A[ A(t ) cos (t )] A(t )e
j ( t )
？
抽象提升
是否对任意的信号s1 (t )、s2 (t ), 有 A[s1 (t )s2 (t )] s1 (t ) A[s2 (t )]
Bedrosian 定理