沪教版(上海)六年级第一学期第九讲 比与比例的基本性质 教师版

第九讲
比与比例的基本性质
一、比的基本性质
1、a,b是两个数或两个同类的量，为了把b和a相比较，将a与b相除叫做a与b的
比，记做a:b或者写成a
b
，其中b≠0；读做a比b或者a与b的比。

2、比值
在a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项，前项a除以后项b所得的商叫做比值，比值是一个数，可以用分数、小数、整数表示。

3、比、分数、除法三者之间的关系：
的除数；比值相当于分数的分数值和除法中的商。

“比”表示两个数之间的倍比关系，除法是一个运算，分数是一个数，分数的分子、分母是整数，而比的前项后项不一定是整数，也可以是分数或小数。

4、最简整数比
比中的各数除了1之外，没有其它的公因数，这样的比称之为最简整数比。

5、比的基本性质
比的前项和后项同时乘以或者除以相同的数（零除外），比值不变，即a：b=am：bm=（a÷m）(b÷m)(m≠0).
运用这个性质，可以把比化为最简整数化，化简比的结果仍是一个比，它与求比值是有区别的。

6、三项连比的性质
三项连比的性质：几个数（三个或三个以上）相连而作比，叫做几个数的连比。

如a:b:c=m:n:k,表示a:b=m:n，b:c=n:k，a:c=m:k。

可见，连比是把几个比连写而得到的。

（1）如果a:b=m:n，b:c=n:k，那么a:b:c=m:n:k。

（2）如果m≠0，那么a:b:c=am:bm:cm=a
m
÷
b
m
÷
c
m。

二、比例的基本性质
1、a,b,c,d四个量，如果a:b=c:d或者a c
b d
，那么就说a,b,c,d分别叫做第一、二、三、
四比例项，第一比例项a和第四比例项d叫做比例项外项，第二比例项b 和第三比例项c 叫做比例内项。

2、比例中项
如果两个比例内项相同，即a:b=b:c或a b
b c
=时，那么把b叫做a和c的比例中项。

组成比例的四个数，叫做比例的项。

例：
3、比例的基本性质
比例的基本性质：内项之积等于外项之积。

即如果a:b=c:d或a c
b d
=，那么ad=bc,反之，如果a,b,c,d都不为零，且ad=bc,那么a:b=c:d
或a c
b d =。

由此我们发现，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项。

4、比例的基本性质的应用
由比便的基本性质可进行比例变形，常用的变形有：若,
(1) 交换两内项得：a b
c d =；
(2)交换两外项得：d c
b a =；
(3)同时交换两个内、外项得：d b
c a =。

【例题1】
【基础题】国际篮联规定标准篮球场，长28米，宽15米，写出长和宽的比，以及宽和长的比。

【分析】比是有顺序的，对于一个比要搞清楚谁与谁比，即谁是前项，谁是后项。

解：
长和宽的比是28:15，宽和长的比是15:28
【延伸题】甲车3.5小时行了231千米，乙车
1
2
4
小时行了117千米，求乙车与甲车的速度
之比。

解：
乙车速度：117÷
1
2
4
=52（千米/小时）
甲车速度： 231÷3.5=66（千米/小时）
52:66=26:33
答：乙车与甲车的速度之比是26:33
【拓展题】一项工程，甲队用15天完成，乙队用18天完成，求甲队与乙队所用的时间之比，甲队与乙队的工作效率之比。

【分析】把这项工程看成整体“1”，工作效率=工作总量÷工作时间。

解：
甲队工作时间：乙队工作时间=15:18
化为最简整数比是5:6
甲队工作效率是
115，乙队工作效率是118
甲队工作效率：乙队工作效率=115：118 【例题2】
【基础题】求下列各式中的x 。

（1）13:2174
x = （2）171: 3.720x = 【分析】把比式看成除法算式，比的前项相当于除法中的被除数，比的后项相当于除法中的除数，再根据被除数、除数、商三者之间的关系来求解。

解： 13:217413217415774154x x x x ==⨯=⨯= 171
: 3.720171 3.720373720103710203712x x x x x ==÷=÷=⨯=
【延伸题】根据下列条件，求::a b c 。

（1）已知:3:5,:5:8a b b c == （2）已知:3:5,:7:8a b b c ==
【分析】求三个数的连比，首先要看同一个字母在两个比中所对应的数是否相同，如果相同，则直接按顺序写出结果，如果不相同，则利用最小公倍数化为相同的数，再写出连比。

解：
（1）因为:3:5,:5:8a b b c == （2）因为:3:5(37):(57)21:35a b ==⨯⨯=
所以::3:5:8a b c = :7:8(75):(85)35:40b c ==⨯⨯= 所以::21:35:40a b c =
【拓展题】在比例尺是1:200000的地图上，量得甲、乙两地相距2.5厘米，那么甲、乙两地的实际距离是多少千米？
解：设甲、乙两地相距x厘米，由题意得：
2.5：x=1:200000
x=2.5×200000
x=500000
500000厘米=5000米=5千米。

【例题3】
【基础题】降落在浦东机场的飞机，每天约有250架，降落在虹桥机场的飞机每天约有500架，那么
（1）写出降落在虹桥机场的飞机是浦东机场飞机的几倍？
（2）写出降落在浦东机场飞机是虹桥机场的飞机的几分之几？
（3）写出降落在虹桥机场的飞机与浦东机场的飞机之比？
（4）写出降落在浦东机场的飞机与虹桥机场的飞机之比？
【分析】求两个量的比、求一个数是另一个数的几倍或几分之几都是用除法，但是结果的表示却有所不同。

解：
（1）500÷250=2；
（2）250÷500=1 2
（3）根据比的意义可知：两个数的比就是两个数相除。

因此求降落在两机场的飞机之比，只要把相对应的两数相除（500÷250）改写成两数之
比（500:250或2
1
）即可；
（4）同理，250:500或250
500
或
1
2。

【延伸题】汽车3小时行驶135千米，自行车3小时行驶36千米。

（1）求汽车行驶的路程与自行车行驶的路程之比的比值；
（2）求自行车行驶的路程与实践的比值；
（3）求自行车行驶的时间与路程的比值，它表示什么意义呢？【分析】比值是一个运算结果，它表示两个量之间的一种关系。

解：
（1）135:36=135 36
；
（2）36千米：3小时=36÷3=12（千米/时）；
（3）3小时：36千米=
1
12
（时/千米），表示每行驶12千米需要1小时。

【例题4】
【基础题】已知90×5=75×6，写出由90、5、75、6这四个数所组成的比例式。

【分析】有比例的基本性质：外项积等于内项积，可把90和5作为比例外项，75和6
作为比例内项，写出比例式即可。

解：
由90×5=75×6，得90:75=6:5（906755=）。

【延伸题】若n 与2,3,6成比例，则n 为多少？
【分析】这是一道开放性的题目，答案不唯一，主要考查学生对比例基本性质的应用。

解：
一共有三种情形：n=2×3÷6=1；n=2×6÷3=4；n=3×6÷=9.
所以n 值为1、4或9.
【拓展题】将15本相同厚度的书叠起来，它们的高度为35厘米，再将6本这样相同厚度的书叠在上面，那么这叠书的高度将会增加多少厘米？
解： 设这叠书的高度将会增加x 厘米
35:15=x ：6
x=35×6÷15
x=14
答：这叠书的高度将会增加14厘米。

一、填空。

1、把１千米:４００米化成最简单的整数比是（ ），比值是（ ）。

2、如果５a=6b ，那么a:b=( ) 。

3、一个比例的内项分别是24和５，它的两个外项的积是（ ）。

4、0.9÷0.5=()10=1:（ ）=（ ）:4
1 5、要配制石灰水320千克，石灰与水的比是1:7，石灰要用（ ）千克，水要用（ ）千克。

6、减数相当于被减数的5
3，差和减数的比是（ ）。

7、图上距离是10厘米，表示实际距离4千米，这幅图的比例尺是（ ）。

8、用20以内的四个合数组成一个比值都是
32的比例是（ ）。

二、选择。

1、能与12:13
组成比例的是（ ） A 、3：2 B 、2:3 C 、11:34 D 、11:32
2、某班男生人数占35
，这个班女生人数与男生人数的比是（ ） A 、3:5 B 、3:2 C 、2:3 D 、5:3
3、一个最简整数比，它的前项和后项一定是（ ）。

A 、质数
B 、奇数
C 、互质数
D 、质因数
4、甲数除以乙数的商是1.2,那么甲乙两数的最简比是( )。

A 、1:2
B 、5:6
C 、6:5
D 、1.2:1
5、已知x:y=
12,当x=12
时，y 的值是（ ）。

A 、1 B 、12 C 、14 D 、2 6、在2:5=6:15中，如果外项的2增加2，要使比例仍然成立，内项的6要增加（ ）。

A 、2
B 、4
C 、6
D 、15
三、计算。

1、求比值。

1.2:1.25
21:65 0.04:0.5
2、化简比。

1.6:0.4
94:87 331:2.5
3、解比例。

①x:
32=15:28 ②3x =0.8:1.2
③54:x=2
1:10 ④98:(1+51)=67:x
四、应用题。

1、建筑工地用的混凝土是按水泥、沙、石子以1:3:2的比配制而成的。

现在工地上有水泥500吨，要运沙和石子各多少吨？
2、一辆汽车行驶200千米节约汽油2.3千克,照这样计算,行驶1200千米,能节约汽油多少千克? (用比例解)
3、给一间教室铺地，用面积是0.16平方米的方砖要300块，如果改用长0.4米、宽0.3米的长方砖铺地,要用多少块? （用比例解）
4、服装厂制作一批统一的小学生演出服装，先用8米布做了5套，余下的192米布可制作多少套？
5、一个长方形操场的周长是300米，长与宽的比是3:2，这个操场的面积是多少平方米？
6、建筑工地仓库有钢材150吨，相当于水泥量的
143，存的水泥比钢材多多少吨？
答案：
一、
1、5:2
52 2、6:5
3、120
4、18 5
9920
5、40 280
6、2:3
7、1:40000
8、4:6=8:12
二、
1、A
2、C
3、C
4、C
5、A
6、C
三、
1、243225525
2、4:1 32:63 4:3
3、5632161440
四、
1、1500 1000
2、13.8
3、225
4、120
5、5400
6、550。