沪教版(上海)六年级第一学期第九讲 比与比例的基本性质 教师版

第九讲

比与比例的基本性质

一、比的基本性质

1、a,b是两个数或两个同类的量，为了把b和a相比较，将a与b相除叫做a与b的

比，记做a:b或者写成a

b

，其中b≠0；读做a比b或者a与b的比。

2、比值

在a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项，前项a除以后项b所得的商叫做比值，比值是一个数，可以用分数、小数、整数表示。

3、比、分数、除法三者之间的关系：

的除数；比值相当于分数的分数值和除法中的商。

“比”表示两个数之间的倍比关系，除法是一个运算，分数是一个数，分数的分子、分母是整数，而比的前项后项不一定是整数，也可以是分数或小数。

4、最简整数比

比中的各数除了1之外，没有其它的公因数，这样的比称之为最简整数比。

5、比的基本性质

比的前项和后项同时乘以或者除以相同的数（零除外），比值不变，即a：b=am：bm=（a÷m）(b÷m)(m≠0).

运用这个性质，可以把比化为最简整数化，化简比的结果仍是一个比，它与求比值是有区别的。

6、三项连比的性质

三项连比的性质：几个数（三个或三个以上）相连而作比，叫做几个数的连比。如a:b:c=m:n:k,表示a:b=m:n，b:c=n:k，a:c=m:k。可见，连比是把几个比连写而得到的。

（1）如果a:b=m:n，b:c=n:k，那么a:b:c=m:n:k。

（2）如果m≠0，那么a:b:c=am:bm:cm=a

m

÷

b

m

÷

c

m

。

二、比例的基本性质

1、a,b,c,d四个量，如果a:b=c:d或者a c

b d

，那么就说a,b,c,d分别叫做第一、二、三、

四比例项，第一比例项a和第四比例项d叫做比例项外项，第二比例项b 和第三比例项c 叫做比例内项。

2、比例中项

如果两个比例内项相同，即a:b=b:c或a b

b c

=时，那么把b叫做a和c的比例中项。

组成比例的四个数，叫做比例的项。

例：

3、比例的基本性质

比例的基本性质：内项之积等于外项之积。

即如果a:b=c:d或a c

b d

=，那么ad=bc,反之，如果a,b,c,d都不为零，且ad=bc,那么a:b=c:d

或a c

b d =。

由此我们发现，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项。

4、比例的基本性质的应用

由比便的基本性质可进行比例变形，常用的变形有：若,

(1) 交换两内项得：a b

c d =；

(2)交换两外项得：d c

b a =；

(3)同时交换两个内、外项得：d b

c a =。

【例题1】

【基础题】国际篮联规定标准篮球场，长28米，宽15米，写出长和宽的比，以及宽和长的比。

【分析】比是有顺序的，对于一个比要搞清楚谁与谁比，即谁是前项，谁是后项。

解：

长和宽的比是28:15，宽和长的比是15:28

【延伸题】甲车3.5小时行了231千米，乙车

1

2

4

小时行了117千米，求乙车与甲车的速度

之比。解：

乙车速度：117÷

1

2

4

=52（千米/小时）

甲车速度： 231÷3.5=66（千米/小时）

52:66=26:33

答：乙车与甲车的速度之比是26:33

【拓展题】一项工程，甲队用15天完成，乙队用18天完成，求甲队与乙队所用的时间之比，甲队与乙队的工作效率之比。

【分析】把这项工程看成整体“1”，工作效率=工作总量÷工作时间。

解：

甲队工作时间：乙队工作时间=15:18

化为最简整数比是5:6

甲队工作效率是

115，乙队工作效率是118

甲队工作效率：乙队工作效率=115：118 【例题2】

【基础题】求下列各式中的x 。

（1）13:2174

x = （2）171: 3.720x = 【分析】把比式看成除法算式，比的前项相当于除法中的被除数，比的后项相当于除法中的除数，再根据被除数、除数、商三者之间的关系来求解。

解： 13:217413217415774154x x x x ==⨯=⨯= 171

: 3.720171 3.720373720103710203712x x x x x ==÷=÷=⨯=

【延伸题】根据下列条件，求::a b c 。

（1）已知:3:5,:5:8a b b c == （2）已知:3:5,:7:8a b b c ==

【分析】求三个数的连比，首先要看同一个字母在两个比中所对应的数是否相同，如果相同，则直接按顺序写出结果，如果不相同，则利用最小公倍数化为相同的数，再写出连比。 解：

（1）因为:3:5,:5:8a b b c == （2）因为:3:5(37):(57)21:35a b ==⨯⨯=

所以::3:5:8a b c = :7:8(75):(85)35:40b c ==⨯⨯= 所以::21:35:40a b c =

【拓展题】在比例尺是1:200000的地图上，量得甲、乙两地相距2.5厘米，那么甲、乙两地的实际距离是多少千米？

解：设甲、乙两地相距x厘米，由题意得：

2.5：x=1:200000

x=2.5×200000

x=500000

500000厘米=5000米=5千米。

【例题3】

【基础题】降落在浦东机场的飞机，每天约有250架，降落在虹桥机场的飞机每天约有500架，那么

（1）写出降落在虹桥机场的飞机是浦东机场飞机的几倍？

（2）写出降落在浦东机场飞机是虹桥机场的飞机的几分之几？

（3）写出降落在虹桥机场的飞机与浦东机场的飞机之比？

（4）写出降落在浦东机场的飞机与虹桥机场的飞机之比？

【分析】求两个量的比、求一个数是另一个数的几倍或几分之几都是用除法，但是结果的表示却有所不同。

解：

（1）500÷250=2；

（2）250÷500=1 2

（3）根据比的意义可知：两个数的比就是两个数相除。

因此求降落在两机场的飞机之比，只要把相对应的两数相除（500÷250）改写成两数之

比（500:250或2

1

）即可；

（4）同理，250:500或250

500

或

1

2

。

【延伸题】汽车3小时行驶135千米，自行车3小时行驶36千米。

（1）求汽车行驶的路程与自行车行驶的路程之比的比值；

（2）求自行车行驶的路程与实践的比值；

（3）求自行车行驶的时间与路程的比值，它表示什么意义呢？【分析】比值是一个运算结果，它表示两个量之间的一种关系。解：

（1）135:36=135 36

；

（2）36千米：3小时=36÷3=12（千米/时）；

（3）3小时：36千米=

1

12

（时/千米），表示每行驶12千米需要1小时。

【例题4】

【基础题】已知90×5=75×6，写出由90、5、75、6这四个数所组成的比例式。

【分析】有比例的基本性质：外项积等于内项积，可把90和5作为比例外项，75和6