解三角形中的数学思想

专题讲座解三角形问题中的数学思想

1.转化思想 (2)

练习一 (4)

2.方程思想 (4)

练习二 (6)

3.函数思想 (6)

练习三 (7)

4、数形结合思想 (7)

练习4 (8)

练习题答案 (9)

中国数学解题研究会齐建民

1.转化思想

常见的转化方式 （1） 边与角的互化

方式（I ）：在等式的两边或分式的上下可同时进行下列双向的转化：

sin ,sin ,sin a A b B c C ↔↔↔;

如：22sin sin sin a b c A C B =+↔=+；

例 （2014陕西理16）△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a ，b ，c ，（1）若a ，b ，c 成等差数列，证明：sinA+sinB=2sin （A+C ）；（2），若a ，b ，c 成等比数列，求cosB 的最小值 例：（2014江苏14）若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+,则C cos 的最小值是

解析：因为C B A sin 2sin 2sin =+

，故由正弦定理可知2a c =

，所以2

a c =

，

又由余弦定理可知2222

2

222

3(

2cos 2244

)2a a b a b a b c

C ab

ab ab +-+++-=

=

=-

4

4-=≥

（当且仅当

2

232

a b =

，即b =

，可设2,1a b c ===，验证等号成立） 方式（2）：用余弦定理实现边与角的互化：

例1：在三角形中，求证：cos cos b c A a C =+

分析：左边是边，很自然地要把右边的两个余弦用余弦定理表示出来，实现角与边的互化：

2222222222222

2cos cos 22222b c a a b c b c a a b c b c A a C c a b bc ab b b b

+-+-+-+-+=+=+==；

例2：在三角形中，三边,,a b c 成等差数列， 求证：3

B π

≤

分析：要证明的问题是关于角的，而条件是关于边的，将边化为角是自然的；

由已知得2a c b +=，

则22222

2

2

2

111()(332)(62)1444cos 22222

a c a c a c ac ac ac a c

b B a

c ac ac ac +-++--+-===≥=，当且仅当

a c =时去等号，即1cos 2B ≥，故3

B π

≤

方式（3）：用诱导公式实现角度的转化

sin sin()A B C =+，cos cos()A B C =-+

方式（4）：用内角的关系实现减元，角度的转化； 如：若6

A π

=

，则56

B C π

=

- 应用：三角形中，3

A π

=，求sin sinC B +的最大值

例1

在△ABC 中，若2

2

a b bc =+，求证:2A B =

法1：我们采用分析法，要证明2A B =，我们需要什么条件？

容易想sin sin2A B =，即222

sin 2sin cos 2cos 22a c b A B B a b B a b

ac +-=⇔=⇔=，即

2222223()a c b a c b ba bc b =+-=+-，

即2223222

()()a c ba bc b a c b b c b -=-⇔-=-，

若c b =，则易知90,45A B =︒=︒,满足2A B =；

若c b ≠，则可得

22a b bc =+； 以上是分析法得出思路，再用综合法写出过程即可；

法2：条件与余弦定理的结构相似，可考虑从余弦定理入手.

解：因为2

2

a b bc =+2

2

2cos b c bc A =+-，所以2

2cos bc c bc A =-，即2cos b c b A =-，

由正弦定理得sin sin 2sin cos sin()2sin cos sin()B C B A A B B A A B =-=+-=-，因为0,A B π<<，所以B A B =-，即2A B =

点评：本题很关键一点是从条件的结构入手，在解题过程中，又先后运用了化边为角，消元等思想，体现了解题过程要不断向目标努力，找到,A B 的关系，所以要消去C

例2 在△ABC 中，已知2

2

2a c b -=，且sin cos 3cos sin A C A C =，求b

方法1：条件2

2

2a c b -=与余弦定理相似，条件sin cos 3cos sin A C A C =与两角和差正弦类似，所以有下面的思路：

由2

2

2a c b -=与2

2

2

2cos a b c bc A =+-可得2cos 2b c A =+①；

对条件sin cos 3cos sin A C A C =，可以联想到两角和差公式，可得sin()4cos sin A C A C +=，即