11整除的特征
能被11整除的数的特征
个位相同
1
2
3
4
5
6
7
8
11
22
33
44
65
86
77
88
31 42 13 24 35 26 47 38
用“只看个位上的数”这个办法不能判断一个 数能否被11整除
各数位的和相 2
4
6
8
11
14
16
等
11 22
2. 用1，3，6，9这四个算）。
1639 ， 1936 ， 3916，3619，6193，6391，9361，9163
（6+9）—（1+3）=11
规律一：奇数位 上的数字和与偶 数位上的数字和 的差等于11
规律一
奇数位上的数字和与偶数位上的
解：（7+8）−（ +9） =0、11、22… … 6− =0、11、22… … =6
数字和相等
规律二
奇数位上的数字和与偶数位上的
数字和的差为11
猜想
一个数，如果奇数位上的数字和 与偶数位上的数字和相减所得的 差能被11整除，那么这个数就能 被11整除
11家族的秘密
一个数，如果奇数位上的数字和与偶数位上的数字和 相减所得的差能被11整除，那么这个数就能被11整除
小试牛刀
1.在下面能被11整除的数后面打√。 148（） 3146（√） 303050（√ ） 2.在四位数 897的 里填上一个数字，使它能被11 整除。
33
44
65
77
88
31
42
35
47
能被3、7、11、13、17、19、23整除的数的特征
能被3、7、11、13、17、19、23等整除的数的特征之樊仲川亿创作能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字辨别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包含0),那么,原来这个数就一定能被11整除.例如:判断491678能不克不及被11整除.—→奇位数字的和9+6+8=23—→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11因此,491678能被11整除.这种办法叫"奇偶位差法".除上述办法外,还可以用割减法进行判断.即:从一个数里减去11的10倍,20倍,30倍……到余下一个100以内的数为止.如果余数能被11整除,那么,原来这个数就一定能被11整除.又如:判断583能不克不及被11整除.用583减去11的50倍(583-11×50=33)余数是33, 33能被11整除,583也一定能被11整除.（1）1与0的特性：1是任何整数的约数,即对于任何整数a,总有1|a.0是任何非零整数的倍数,a≠0,a为整数,则a|0.若一个整数的末位是0、2、4、6或8,则这个数能被2整除. （3）能被3整除的数的特征若一个整数的数字和能被3整除,则这个整数能被3整除. (4) 能被4整除的数的特征若一个整数的末尾两位数能被4整除,则这个数能被4整除. （5）能被5整除的数的特征若一个整数的末位是0或5,则这个数能被5整除.（6）能被6整除的数的特征若一个整数能被2和3整除,则这个数能被6整除.（7）能被7整除的数的特征若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除.如果差太大或心算不容易看出是否7的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止.例如,判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7,所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 , 59－5×2＝49,所以6139是7的倍数,余类推. （8）能被8整除的数的特征若一个整数的未尾三位数能被8整除,则这个数能被8整除. （9）能被9整除的数的特征若一个整数的数字和能被9整除,则这个整数能被9整除.若一个整数的末位是0,则这个数能被10整除.（11）能被11整除的数的特征若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除,则这个数能被11整除.11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不合的是：倍数不是2而是1！（12）能被12整除的数的特征若一个整数能被3和4整除,则这个数能被12整除.（13）能被13整除的数的特征若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的4倍,如果差是13的倍数,则原数能被13整除.如果差太大或心算不容易看出是否13的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程,直到能清楚判断为止.（14）能被17整除的数的特征1、若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的5倍,如果差是17的倍数,则原数能被17整除.如果差太大或心算不容易看出是否17的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止.2、若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除,则这个数能被17整除.（15）能被19整除的数的特征1、若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的2倍,如果差是19的倍数,则原数能被19整除.如果差太大或心算不容易看出是否19的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程,直到能清楚判断为止.2、若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除,则这个数能被19整除.（16）能被23整除的数的特征若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除,则这个数能被23整除.。
11整除特征
被11整除的数有什么特征
能被11整除的数的特征：若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！
例如:判断491678能不能被11整除.
—→奇位数字的和9+6+8=23
—→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11
因此,491678能被11整除。
这种方法叫"奇偶位差法"。
除上述方法外,还可以用割减法进行判断。
即:从一个数里减去11的10倍,20倍,30倍……到余下一个100以内的数为止.如果余数能被11整除,那么,原来这个数就一定能被11整除。
又如:判断583能不能被11整除。
用583减去11的50倍(583-11×50=33)余数是33,33能被11整除,583也一定能被11整除。
扩展资料：
若整数b除以非零整数a，商为整数，且余数为零，我们就说b能被a整除（或说a能整除b），b为被除数，a为除数，即a|b（“|”是整除符号），读作“a 整除b”或“b能被a整除”。
a叫做b的约数（或因数），b叫做a的倍数。
整除属于除尽的一种特殊情况。
整除与除尽既有区别又有联系。
除尽是指数a除以数b（b≠0）所得的商是整数或有限小数而余数是零时，我们就说a能被b除尽（或说b能除尽a）。
因此整除与除尽的区别是，整除只有当被除数、除数以及商都是整数，而余数是零．除尽并不局限于整数范围内，被除数、除数以及商可以是整数，也可以是有限小数，只要余数是零就可以了。
它们之间的联系就是整除是除尽的特殊情况。
能被7和11整除数的特点
能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0），那么，原来这个数就一定能被11整除。
例如：判断491678能不能被11整除。
—→奇位数字的和9+6+8=23—→偶位数位的和4+1+7=1223-12=11因此，491678能被11整除。
这种方法叫“奇偶位差法”。
除上述方法外，还可以用割减法进行判断。
即：从一个数里减去11的10倍、20倍、30倍……到余下一个100以内的数为止。
如果余数能被11整除，那么，原来这个数就一定能被11整除。
又如：判断583能不能被11整除。
用583减去11的50倍（583-11×50=33）余数是33，33能被11整除，583也一定能被11整除。
能被7整除的数的特征若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
数的整除（能被7、9、1、13整除的数的特征）专题训练知识梳理：1、整数a除以整数b(b≠0)，所得的商正好是整数而没有余数，我们就说a 能被b整除(也可以说b能整除a)。
2、如果整数a能被整数b(b≠0)整除，则称a是的倍数，b是a的约数。
3、能被9整除的数，其数字和一定是9的倍数．4、能被11整除的数的特征是这个数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除。
5、一个三位以上的整数能否被7（11或13）整除，只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位以前的数字组成的数的差（以大减小）能否被7（11或13）整除。
能为11 13 17整除的数的特征
能为11 13 17整除的数的特征一、概述在数学领域中，整除是一个非常重要且基础的概念。
当一个整数能够被另一个整数整除时，我们就称其为能整除。
而在特定的情况下，我们希望研究能够被某一系列特定整数整除的数，以寻找这些数的特征。
本文将针对能够同时被11、13和17整除的数展开讨论，探究其特征和规律。
二、11、13、17的简要介绍1. 11是自然数中的质数，它大于10，小于12。
它的倍数有11、22、33、44、55等。
2. 13是自然数中的质数，它大于12，小于14。
它的倍数有13、26、39、52、65等。
3. 17是自然数中的质数，它大于16，小于18。
它的倍数有17、34、51、68、85等。
三、能为11、13、17整除的数的特征1. 能被11整除的数有什么特征？11的倍数有一个特征，那就是它们的个位数和十位数的差的符号是相反的，且它们的绝对值相等。
22、33、44等都满足这一特征，因为它们的个位数和十位数的差的符号相反，而且绝对值相等。
2. 能被13整除的数有什么特征？13的倍数有一个特征，那就是它们的个位数加上4倍的十位数等于这个数本身。
例如26、39、52等都满足这一特征，因为它们的个位数加上4倍的十位数等于这个数本身。
3. 能被17整除的数有什么特征？17的倍数有一个特征，那就是它们的个位数加上5倍的十位数等于这个数本身。
例如34、51、68等都满足这一特征，因为它们的个位数加上5倍的十位数等于这个数本身。
四、能被11、13、17整除的数的特征1. 能被11、13、17整除的数，有什么样的特征？当一个数同时满足能被11、13、17整除的条件时，那么这个数必须同时满足以上三个条件所规定的特征。
这个数的特征是：它的个位数和十位数的差的符号是相反的，且它们的绝对值相等；它的个位数加上4倍的十位数等于这个数本身；它的个位数加上5倍的十位数等于这个数本身。
五、结论通过对能够同时被11、13和17整除的数的特征的探究，我们得出了上述结论。
能被11整除的数的特征
能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。
例如：判断123456789这九位数能否被11整除？
解：这个数奇数位上的数字之和是9＋7＋5＋3＋1=25，偶数位上的数字之和是8＋6＋4＋2＝20.因为25—20＝5，又因为5不是11的倍数，所以11不是123456789的因数。
再例如：判断13574是否是11的倍数？
解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（4＋5＋1）-（7＋3）＝0因为0是任何整数的倍数，所以11｜0.因此13574是11的倍数。
⑦能被7（11或13）
整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。
例如：判断1059282是否是7的倍数？
解：把1059282分为1059和282两个数.因为1059-282＝777，又7｜777，所以7｜1059282.因此1059282是7的倍数。
再例如：判断3546725能否被13整除？
解：把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821.再
把2821分为2和821两个数，因为821—2＝819，又13｜819，所以13｜2821，进而13｜3546725.。
能被3、7、、3、7、9、23整除的数的特征
能被3、7、11、13、17、19、23等整除的数的特征能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除. 例如:判断491678能不能被11整除.—→奇位数字的和9+6+8=23—→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11因此,491678能被11整除.这种方法叫"奇偶位差法".除上述方法外,还可以用割减法进行判断.即:从一个数里减去11的10倍,20倍,30倍……到余下一个100以内的数为止.如果余数能被11整除,那么,原来这个数就一定能被11整除.又如:判断583能不能被11整除.用583减去11的50倍(583-11×50=33)余数是33, 33能被11整除,583也一定能被11整除.（1）1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.（2）能被2整除的数的特征若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
（3）能被3整除的数的特征若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
(4) 能被4整除的数的特征若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
（5）能被5整除的数的特征若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
（6）能被6整除的数的特征若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
（7）能被7整除的数的特征若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
能被3、7、11、13、17、19、23整除的数的特征
能被3、7、11、13、17、19、23等整除的数的特征能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除. 例如:判断491678能不能被11整除.—→奇位数字的和9+6+8=23—→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11因此,491678能被11整除.这种方法叫"奇偶位差法".除上述方法外,还可以用割减法进行判断.即:从一个数里减去11的10倍,20倍,30倍……到余下一个100以内的数为止.如果余数能被11整除,那么,原来这个数就一定能被11整除.又如:判断583能不能被11整除.用583减去11的50倍(583-11×50=33)余数是33, 33能被11整除,583也一定能被11整除.（1）1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.（2）能被2整除的数的特征若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
（3）能被3整除的数的特征若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
(4) 能被4整除的数的特征若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
（5）能被5整除的数的特征若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
（6）能被6整除的数的特征若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
（7）能被7整除的数的特征若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
十一 数的整除特征
十一数的整除特征同学们都知道，两个整数做除法运算时（除数不为0），它们的商有时是整数，有时不是整数.例如：对于整数a与b（b≠0），若存在整数q，使等式a=bq成立，则称b整除a，或a能被b整除.这时，称a是b的倍数，b是a的约数，并记作整数的整除性质：1.如果整数a、b都能被整数c整除，那么（a＋b）与（a-b）也能被c整除.2.几个整数相乘，如果其中有一个因数能被某一个整数整除，那么它们的积也能被这个数整除.3.如果一个整数能被两个互质数中的每一个整除，那么这个数也能被这两个互质数的积整除.反过来，如果一个整数能被两个互质数的积整除，那么这个数也能分别被这两个互质的数整除.数的整除特征：1.末位数字是偶数的整数能被2整除；末位数字是0或5的整数能被5整除；末两位数是4（或25）的倍数的整数能被4（或25）整除；末三位数是8（或125）的倍数的整数能被8（或125）整除.2.各位数字之和能被3（或9）整除的整数，能被3（或9整除）.3.若一个整数的奇数位数字的和与偶数位数字的和的差能被11整除，则这个数能被11整除.问题21.1四位数57A1能被9整除，求A.分析四位数57A1的各位数字的和应是9的倍数.解5＋7＋A＋1=A＋13.∵四位数57A1能被9整除，∴A＋13应是9的倍数，∵0≤A≤9，∴13≤A+13≤22.故A＋13=18，∴A=18-13=5.问题21.2 六位数a8919b能被33整除，求a与b.分析此六位数应同时是3与11的倍数.解33=3×11.∵a8919b能被33整除，∴a8919b同时是3与11的倍数.故a+8+9+1+9+b=27+a+b应是3的倍数，且（a+9+9）-（8+1+b）=9+a－b应是11的倍数.∵9+a-b是11的倍数,∴a-b=2.故a-b是偶数.∵a+b与a-b同为奇数或同为偶数，∴a+b为偶数.∵27+a+b是3的倍数，∴a+b是3的倍数.∵a≠0，∴a＋b≠0.∵a－b=2，∴a+b≠18.故a＋b=6或12.又a-b=2，∴a=4，b=2或a=7，b=5.问题21.3 在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3、4、5整除，且使这个数值尽可能小.求这个六位数.分析根据一个整数分别被3、4、5整除的特征，通过分析推理，探求应补上的三个数字.解设所求的六位数为568abc.568abc能被5整除，∴c=0或5.∵568abc能被4整除，∴c=0.要使568abc的数值尽可能地小，则二位数bc=20.568abc能被3整除，5+6+8+a+b+c=21+a是3的倍数.要使568abc尽可能地小，故a=0.所以，所求的六位数为568020.问题21.4 任意一个三位数连着写两次得到一个六位数，这个六位数一定同时能被7、11、13整除.这是为什么？分析用字母表示这个六位数.所以这个六位数能同时被7、11、13整除.问题21.5 有72名学生，共交课间餐费a527b元，每人交了多少元？分析先求a和b代表的数字.解把单位由元改为分，可a527b为72的倍数.因为72=8×9，所以a527b应同为8和9的倍数.因为a527b为8的倍数，所以27b为8的倍数，故b=2.因为a527b为9的倍数，所以a+5+2+7+b=16+a为9的倍数，故a=2.因此，a527b=25272. 25272÷72=351（分）.答：每人交了3.51元.问题21.6 从0、3、5、7四个数字中任选三个，排成能同时被2、3、5整除的三位数.这样的三位数共有几个？分析能同时被2、3、5整除的自然数，其个位数字应为0，各位数字之和应是3的倍数.解因为所求的三位数能同时被2、5整除，所以这个三位数的个位数字为0.因为所求的三位数能被3整除，所以这个三位数的各位数字之和应是3的倍数.故所求的三位数为570或750，共2个.问题21.7 用1、2、3、4、5、6、7、8、9（每个数字用一次）组成三个能被9整除的、和尽可能大的三位数，这三个三位数分别是多少？分析所求的三个三位数能被9整除，那么它们的各位数字之和分别能被9整除.解1+2+3+4+5+6+7+8+9＝45.因为所求的三个三位数都能被9整除，所以它们的各位数字之和分别能被9整除，故这三个三位数中有两个的数字和都是18，一个的数字和是9.要使数字和是9的三位数尽可能大，百位上的数字必须为6，十位上的数字为2，个位上的数字为1，所以这个三位数是621.要使数字和是18的两个三位数尽可能大，一个的百位上数字为9，另一个百位上数字为8，十位上数字分别为5与7，个位上数字分别为4与3.故这两个三位数是954与873.因此，所求的三个三位数分别是621、954、873.问题21.8 已知A、B、C、D是各不相同的数字，A+B+C=18,分析依题意，C=3或C=8.分这两种情况进行讨论.若C=3，则B＋D=23-3=20，这与B＋D＜18矛盾.故C≠3.若C=8，则B+D=23-8=15.故从而A=1或A=4.问题21.9 一个六位数的各位数字都不相同，最左边一个数字是3，且此六位数能被11整除.这样的六位数中的最小的数是多少？分析用字母表示所求六位数的个位数字.解依题意，设所求的六位数为30124a，因为六位数30124a能被11整除，所以（a＋2）-（4+1+3）=a-6应是11的倍数.故a=6.因此，所求的最小六位数是301246.被6整除.请说明道理.分析依题意，a+b+c+d+e是3的倍数，e是2的倍数.解6=2×3.的倍数，a+b+c+d+e是3的倍数.因为2×（a+b+c+d）－e＝2×（a+b+c+d+e）－3e，而2×（a+b+c+d+e）、3e都能被6整除，所以2×（a+b+c+d）-e能被6整除.练习211.小红买了7支铅笔、5支圆珠笔、8本笔记本和12块橡皮，总共用去4元5角.已知铅笔8分一支，圆珠笔3角6分一支.问售货员同志的帐有没有算错？2.六位数1803a6能被12整除，求数字a是多少.3.已知一个六位数6a6a6a能被11整除，求这样的六位数有几个？4.有一个四位数3AA1，它能被9整除，请问数字A代表几？6.没有重复数字的五位数3a6b5是75的倍数，求这样的五位数.练习21解答1.以分为单位，可知铅笔、圆珠笔的单价都是4的倍数，所以买铅笔、圆珠笔的钱数都是4的倍数.而笔记本的本数、橡皮的块数都是4的倍数，所以买笔记本、橡皮的钱数都是4的倍数.因此，四种文具共用去的钱数是4的倍数，而450（分）不是4的倍数，所以售货员的帐算错了.2.由六位数1803a6分别能被3和4整除可求出a=3或a=9.3.18与3a的差（以大减小）是11的倍数.由a=0，1，2，…，9，可知只有a=6时满足要求.因此，所求的六位数只有一个，即666666.4.4+2A是9的倍数.由4＜4+2A≤22，可知4+2A=9或4+2A=18.又因为A是整数，所以A代表7.5.先考虑138，奇数位数字之和比偶数位数字之和多6.再考虑1990，奇数位数字之和比偶数位数字之和多1（这里所说的奇数位是在原来给定的数中从个位数起的）.于是所求的最小自然数n=5.6.b=2时，a=8；b=7时，a=0.9.故所求没有重复数字的五位数为38625，30675，39675.。
能被4、7、8、11、13整除的数的特征及习题
能被4、7、8、11、13整除的数的特征及其它一、被4或25整除的数的特征如果一个数的末两位数能被4或25整除，那么,这个数就一定能被4或25整除．例如：4675＝46×100＋75由于100能被25整除,100的倍数也一定能被25整除,4600与75均能被25整除，它们的和也必然能被25整除．因此，一个数只要末两位数能被25整除,这个数就一定能被25整除．又如： 832＝8×100＋32由于100能被4整除,100的倍数也一定能被4整除，800与32均能被4整除，它们的和也必然能被4整除．因此, 因此，一个数只要末两位数字能被4整除,这个数就一定能被4整除．二、被7整除的数的特征方法1、（适用于数字位数少时）一个数割去末位数字，再从留下来的数中减去所割去数字的2倍，这样，一次次减下去，如果最后的结果是7的倍数(包括0），那么，原来的这个数就一定能被7整除．例如:判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7,所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下:613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49,所以6139是7的倍数,余类推。
方法2、（适用于数字位数在三位以上）一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差，如果能被7整除，那么，这个多位数就一定能被7整除．如判断数280679末三位数字是679，末三位以前数字所组成的数是280,679－280=399，399能被7整除，因此280679也能被7整除。
此法也适用于判断能否被11或13整除的问题.如：283679的末三位数字是679，末三位以前数字所组成的数是283，679－283=396,396能被11整除，因此,283679就一定能被11整除．如：判断383357能不能被13整除．这个数的未三位数字是357，末三位以前的数字所组成的数是383，这两个数的差是：383－357=26，26能被13整除，因此，383357也一定能被13整除．方法3、首位缩小法,在首位或前几位,减于7的倍数。
能被3、7、11、13、17、19、23整除的数的特征
能被3、7、11、13、17、19、23等整除的数的特征之南宫帮珍创作能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包含0),那么,原来这个数就一定能被11整除.例如:判断491678能不克不及被11整除.—→奇位数字的和9+6+8=23—→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11因此,491678能被11整除.这种方法叫"奇偶位差法".除上述方法外,还可以用割减法进行判断.即:从一个数里减去11的10倍,20倍,30倍……到余下一个100以内的数为止.如果余数能被11整除,那么,原来这个数就一定能被11整除.又如:判断583能不克不及被11整除.用583减去11的50倍(583-11×50=33)余数是33, 33能被11整除,583也一定能被11整除.（1）1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.（2）能被2整除的数的特征若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
（3）能被3整除的数的特征若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
(4) 能被4整除的数的特征若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
（5）能被5整除的数的特征若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
（6）能被6整除的数的特征若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
（7）能被7整除的数的特征若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不容易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
能被3、7、11、13、17、19、23整除的数的特征
能被3、7、11、13、17、19、23等整除的数的特征之巴公井开创作能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包含0),那么,原来这个数就一定能被11整除.例如:判断491678能不克不及被11整除.—→奇位数字的和9+6+8=23—→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11因此,491678能被11整除.这种方法叫"奇偶位差法".除上述方法外,还可以用割减法进行判断.即:从一个数里减去11的10倍,20倍,30倍……到余下一个100以内的数为止.如果余数能被11整除,那么,原来这个数就一定能被11整除.又如:判断583能不克不及被11整除.用583减去11的50倍(583-11×50=33)余数是33, 33能被11整除,583也一定能被11整除.（1）1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.（2）能被2整除的数的特征若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
（3）能被3整除的数的特征若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
(4) 能被4整除的数的特征若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
（5）能被5整除的数的特征若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
（6）能被6整除的数的特征若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
（7）能被7整除的数的特征若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不容易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
11的整除特征
11的整除特征11的整除特征11是唯一一个能被11整除的自然数，并且唯一能够被11整除。
这些事实都表明： 11不但是一个奇数、偶数或质数，而且还具有奇偶性；也就是说，当11为奇数时， 11为偶数；当11为偶数时， 11为奇数。
以下我们通过几个例子来了解11的奇偶性。
11，看上去很简单，可真要写出来，却要花费不少工夫。
11/12，虽然是个偶数，可它却不能化成有限小数。
11/2，不管怎样算，总是得到一个与11同余1的数。
11/7，这个数看起来是个偶数，可仔细一算，它竟是个合数。
11/21，这是11/ 7的商，不管怎么看， 11都不能被7整除。
11/11，虽然这两个数都能被11整除，但因为其中一个是奇数，所以11/11不是11的平方。
11/19，这个自然数不论怎么看，都是19，它既不是2的平方，也不是11的平方，它是一个质数。
11/3，这是11/6的商，即使除到三位数仍是一个质数。
从这里我们发现了什么？在每一个自然数中，都存在着11种状态，它们分别叫做单数、双数、三数、合数和奇数。
但只有11/11才是唯一一个能够被11整除的奇数。
有人认为， 11不能被11整除，必定是个奇数，可是11既不是奇数也不是偶数，那么它究竟是什么数呢？有的人认为11可能是质数或者是合数，但这些说法都是错误的。
为了证明这一点，我们可以举一些例子。
比如质数是否是奇数？根据11的分解质因数的结果，得到的数字，奇数比偶数多1，所以11既不是奇数也不是偶数。
我们再来看合数和质数有什么区别？从二进制的角度来说，两个数相乘，得到一个质数，就叫做合数，比如8， 3，5， 7， 9；两个数相乘，得到一个偶数，就叫做质数，比如2， 4，6， 8，以此类推。
从理论上来讲， 11/11和11/11*2，都应该是质数，但11/11* 2，由于两个乘积中的11都是质数，所以不符合质数定义，只能说是奇数。
又比如11/11，是一个自然数，用11除以2，得到的余数是0，也就是说11除以2，没有余数，因此11/11不能化成有限小数，只能化成一个合数。
能被11,13整除的数的特征
能被11,13整除的数的特征1.能被11整除的数末位数字可以是0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9。
Numbers divisible by 11 can end with 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.2.能被11整除的数的各位数字之差的绝对值能被11整除。
The absolute difference of the digits of a numberdivisible by 11 is itself divisible by 11.3.能被11整除的数的由各位数字之和减去各位数字之差得到的差值能被11整除。
The difference obtained by subtracting the sum of the digits from the difference of the digits of a numberdivisible by 11 is also divisible by 11.4.能被11整除的数的个位数字与十位数字的差的绝对值能被11整除。
The absolute difference between the units digit and the tens digit of a number divisible by 11 is itself divisible by 11.5.能被11整除的数的千位数字与百位数字之差的绝对值能被11整除。
The absolute difference between the thousands digit and the hundreds digit of a number divisible by 11 is itself divisible by 11.6.能被11整除的数的第n位数字与第n+k位数字之差的绝对值能被11整除。
The absolute difference between the nth digit and the(n+k)th digit of a number divisible by 11 is itself divisible by 11.7.能被11整除的数的各位数字之和能被11整除。
能被3、7、11、13、17、19、23整除的数的特征 (1)
能被3、7、11、13、17、19、23等整除的数的特征能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除.例如:判断491678能不能被11整除.—→奇位数字的和9+6+8=23—→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11因此,491678能被11整除.这种方法叫"奇偶位差法".除上述方法外,还可以用割减法进行判断.即:从一个数里减去11的10倍,20倍,30倍……到余下一个100以内的数为止.如果余数能被11整除,那么,原来这个数就一定能被11整除.又如:判断583能不能被11整除.用583减去11的50倍(583-11×50=33)余数是33, 33能被11整除,583也一定能被11整除.（1）1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.（2）能被2整除的数的特征若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
（3）能被3整除的数的特征若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
(4) 能被4整除的数的特征若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
（5）能被5整除的数的特征若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
（6）能被6整除的数的特征若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
（7）能被7整除的数的特征若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
能被整除的数的特征
能被整除的数的特征文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-能被3、7、11、13、17、19、23等整除的数的特征能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除.例如:判断491678能不能被11整除.—→奇位数字的和9+6+8=23—→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11因此,491678能被11整除.这种方法叫"奇偶位差法".除上述方法外,还可以用割减法进行判断.即:从一个数里减去11的10倍,20倍,30倍……到余下一个100以内的数为止.如果余数能被11整除,那么,原来这个数就一定能被11整除.又如:判断583能不能被11整除.用583减去11的50倍(583-11×50=33)余数是33, 33能被11整除,583也一定能被11整除.（1）1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.（2）能被2整除的数的特征若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
（3）能被3整除的数的特征若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
(4) 能被4整除的数的特征若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
（5）能被5整除的数的特征若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
（6）能被6整除的数的特征若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
（7）能被7整除的数的特征若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
能被11整除的数的奥秘
能被11整除的数的奥秘这一讲主要讲能被11整除的数的特征。
一个数从右边数起，第1，3，5，…位称为奇数位，第2，4，6，…位称为偶数位。
也就是说，个位、百位、万位……是奇数位，十位、千位、十万位……是偶数位。
例如9位数768325419中，奇数位与偶数位如下图所示：能被11整除的数的特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大数减小数）如果能被11整除，那么这个数就能被11整除。
例1判断七位数1839673能否被11整除。
分析与解：奇数位上的数字之和为1＋3＋6＋3=13，偶数位上的数字之和为8＋9＋7=24，因为24-13=11能被11整除，所以1839673能被11整除。
根据能被11整除的数的特征，也能求出一个数除以11的余数。
一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和减去偶数位上的数字之和所得的差除以11的余数相同。
如果奇数位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，那么应在奇数位上的数字之和上再增加11的整数倍，使其大于偶数位上的数字之和。
例2 求下列各数除以11的余数：（1）41873；（2）296738185。
分析与解：（1）[（4＋8＋3）－（1＋7）]÷11=7÷11=0……7，所以41873除以11的余数是7。
（2）奇数位之和为2＋6＋3＋1＋5=17，偶数位之和为9＋7＋8＋8＝32。
因为17＜32，所以应给17增加11的整数倍，使其大于32。
（17+11×2）-32＝7,所以296738185除以11的余数是7。
需要说明的是，当奇数位数字之和远远小于偶数位数字之和时，为了计算方便，也可以用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，所得余数与11的差即为所求。
如上题（2）中，（32-17）÷11＝1……4，所求余数是11-4=7。
例3求除以11的余数。
分析与解：奇数位是101个1，偶数位是100个9。
（9×100-1×101）÷11=799÷11=72……7，11-7=4，所求余数是4。
能被3、7、11、13、17、19、23整除的数的特征
能被3、7、11、13、17、19、23等整除的数的特征之巴公井开创作能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除.例如:判断491678能不能被11整除.—→奇位数字的和9+6+8=23—→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11因此,491678能被11整除.这种方法叫"奇偶位差法".除上述方法外,还可以用割减法进行判断.即:从一个数里减去11的10倍,20倍,30倍……到余下一个100以内的数为止.如果余数能被11整除,那么,原来这个数就一定能被11整除.又如:判断583能不能被11整除.用583减去11的50倍(583-11×50=33)余数是33, 33能被11整除,583也一定能被11整除.（1）1与0的特性：1是任何整数的约数, 即对任何整数a, 总有1|a.0是任何非零整数的倍数, a≠0,a为整数, 则a|0.（2）能被2整除的数的特征若一个整数的末位是0、2、4、6或8, 则这个数能被2整除. （3）能被3整除的数的特征若一个整数的数字和能被3整除, 则这个整数能被3整除. (4) 能被4整除的数的特征若一个整数的末尾两位数能被4整除, 则这个数能被4整除. （5）能被5整除的数的特征若一个整数的末位是0或5, 则这个数能被5整除.（6）能被6整除的数的特征若一个整数能被2和3整除, 则这个数能被6整除.（7）能被7整除的数的特征若一个整数的个位数字截去, 再从余下的数中, 减去个位数的2倍, 如果差是7的倍数, 则原数能被7整除.如果差太年夜或心算不容易看出是否7的倍数, 就需要继续上述「截尾、倍年夜、相减、验差」的过程, 直到能清楚判断为止.例如, 判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7, 所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 , 59－5×2＝49, 所以6139是7的倍数, 余类推.（8）能被8整除的数的特征若一个整数的未尾三位数能被8整除, 则这个数能被8整除. （9）能被9整除的数的特征若一个整数的数字和能被9整除, 则这个整数能被9整除. （10）能被10整除的数的特征若一个整数的末位是0, 则这个数能被10整除.（11）能被11整除的数的特征若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除, 则这个数能被11整除.11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处置！过程唯一分歧的是：倍数不是2而是1！（12）能被12整除的数的特征若一个整数能被3和4整除, 则这个数能被12整除.（13）能被13整除的数的特征若一个整数的个位数字截去, 再从余下的数中, 加上个位数的4倍, 如果差是13的倍数, 则原数能被13整除.如果差太年夜或心算不容易看出是否13的倍数, 就需要继续上述「截尾、倍年夜、相加、验差」的过程, 直到能清楚判断为止.（14）能被17整除的数的特征1、若一个整数的个位数字截去, 再从余下的数中, 减去个位数的5倍, 如果差是17的倍数, 则原数能被17整除.如果差太年夜或心算不容易看出是否17的倍数, 就需要继续上述「截尾、倍年夜、相减、验差」的过程, 直到能清楚判断为止.2、若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除, 则这个数能被17整除.（15）能被19整除的数的特征1、若一个整数的个位数字截去, 再从余下的数中, 加上个位数的2倍, 如果差是19的倍数, 则原数能被19整除.如果差太年夜或心算不容易看出是否19的倍数, 就需要继续上述「截尾、倍年夜、相加、验差」的过程, 直到能清楚判断为止.2、若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除, 则这个数能被19整除.（16）能被23整除的数的特征若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除, 则这个数能被23整除.。
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能被11整除的数的特征
把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除.
例如:判断491678能不能被11整除.
—→奇位数字的和9+6+8=23
—→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11
因此,491678能被11整除.
这种方法叫"奇偶位差法".
除上述方法外,还可以用割减法进行判断.即:从一个数里减去11的10倍,20倍,30倍……到余下一个100以内的数为止.如果余数能被11整除,那么,原来这个数就一定能被11整除.
又如:判断583能不能被11整除.
用583减去11的50倍(583-11×50=33)余数是33, 33能被11整除,583也一定能被11整除.。