2020届普通高等学校招生全国统一考试高三数学仿真卷(五)文

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(完整版)2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷(5)(文科数学含答案详解)

4
in the ∴由余弦定理b2 a2 c2 2ac cos B ，可得： 4 a2 3 2 a
3
3 ，
4
ings 可得： 2a2 3a 2 0 ，∴解得： a 2 ，或 a 1 （舍去）．故选：C． th 2
All 10．若函数 y f x 图像上存在两个点 A ， B 关于原点对称，则对称点 A, B为函
【解析】
f
x
2
sin
2x
6
，向右平移
12
个单位后得到函数
g
x
2 sin
2x
，函数
的最小正周期是
，那么
g
6
2sin
3
3 ，故填：
3．
15．过动点 P 作圆： x 32 y 42 1的切线 PQ ，其中 Q 为切点，若 PQ PO （
O 为坐标原点），则 PQ 的最小值是________．
x
3
3
函数 g x b f 3 x，其中 b R ，若函数
y f x g x 恰有 4 个零点，则实数 b 的取值范围是（）
A．
11 4
,
B．
3,
11 4
C．
,
11 4
D． 3, 0
【答案】B
【解析】由题可知
f
x
x 3, x 0 x 3, 0 x 3
x2, x 0
两式相减得 y1
y2 y1
y2 2 p x1 x2 ，
y1 y2 x1 x2
2p y1 y2
，
M
为 AB
的中点， y1
y2
4，
y1 y2 x1 x2
20 3 p

开卷教育联盟全国2020届高三模拟考试(五)数学文科试题 Word版含解析

开卷教育联盟·2020届全国高三模拟考试（五）数学（文科）时量：120分钟满分：150分1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡相应的位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后，再涂选其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|log (4)A x y x ==-，{}2|230B x x x =--≥，则()A B ⋂=R（）.A. (3,4)B. (,1)-∞-C. (,1)(3,4)-∞-⋃D. (1,3)[4,)-⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】求解对数型函数定义域和一元二次不等式，解得,A B ，再通过交运算和补运算求得结果. 【详解】由40x ->得4x <，所以{|4}A x x =<；由2230x x --≥得1x ≤-或3x ≥，所以{|1B x x =≤-或3}x ≥. 所以{|1A B x x ⋂=≤-或34}x ≤<，则(){|13A B x x ⋂=-<<R或4}(1,3)[4,)x ≥=-⋃+∞.故选：D.【点睛】本题考查对数型函数的定义域求解，一元二次不等式的求解，集合的交运算和补运算，属综合基础题.2.已知复数11i z =+，222z i =-，则12z z =（）.A.12i B. 12i -C.1122i + D. i【答案】A 【解析】【分析】利用复数的运算法则，整理化简即可求得结果.【详解】因为121(1)(22)422(22)(22)82z i i i i i z i i i +++====--+，故选：A.【点睛】本题考查复数的运算法则，属基础题. 3.下列说法正确的是（）.A. 命题“若21x =，则1x =”的否命题是“若21x =，则1x ≠”B. “1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件C. 命题“00x ∃<，20010x x ++<”的否定是“0x ∀≥，210x x ++≥”D. 命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题是真命题【答案】D 【解析】【分析】根据否定题和逆否命题的定义，结合命题的否定以及命题充分性和必要性的判断，结合选项，进行逐一判断即可.【详解】命题“若21x =，则1x =”的否命题是“若21x ≠，则1x ≠”，故A 错误；方程2560x x --=的解是1x =-或6，所以“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，故B 错误；命题“00x ∃<，20010x x ++<”的否定是“0x ∀<，210x x ++≥”，故C 错误；命题“若x y =，则sin sin x y =”是真命题，所以它的逆否命题是真命题，故D 正确. 故选：D.【点睛】本题考查命题的否命题和逆否命题的求解，涉及命题充分性和必要性的讨论，属综合基础题.4.函数3()e 1=+x x f x 的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】利用特殊值及函数的导数判断函数的单调性进行排除，即可得到函数的图象．【详解】当x<0时，f （x ）<0．排除AC ，f ′（x ）()()()32222333(1)11x xx xxxx e xe x e x eee+-+-==++，令33x x e xe +-=g (x )g ′（x ）()()312x x xe x e x e =-+=-，当x ∈（0，2），g ′（x ）＞0，函数g (x )是增函数，当x ∈（2，+∞），g ′（x ）＜0，函数g (x )是减函数，g (0)= 60>，g (3)=3>0， g (4)=4 3e -<0，存在()03,4x ∈，使得g (0x )=0，且当x ∈（0，0x ），g (x )>0，即f ′（x ）＞0，函数f （x ）是增函数，当x ∈（0x ，+∞），g (x )<0，即f ′（x ）＜0，函数f （x ）是减函数， ∴B 不正确，故选D ．【点睛】本题考查函数图象的判断，一般通过函数的定义域、值域、奇偶性、对称性、单调性、特殊点以及变化趋势判断．5.设20192020log log a ==120002019c =，则,,a b c 的大小关系是（）A. a b c >>B. a c b >>C. c a b >>D. c b a >>【答案】C 【解析】【分析】根据对数运算、指数函数的性质，利用12和1进行分段，由此比较出三者的大小关系.【详解】220192019201920191111log 2019log log 2020log 201912222a =<==<=；2020202020201110log log 2019log 2020;222b <==<=120202019 1.c =>故选：C.【点睛】本小题主要考查指数式、对数式比较大小，属于基础题. 6.在数列{}n a 中，12a =，11ln 1n n a a n +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则2020a =（）. A. 2ln2020+ B. 22019ln2020+ C. 22020ln2020+ D. 2020ln2020+【答案】A 【解析】【分析】通过赋值，利用累加法，即可求得结果. 【详解】因为12a =，11ln 1n n a a n +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以1ln(1)ln n n a a n n +-=+-，所以21ln 2ln1a a -=-，32ln 3ln 2a a -=-，……20202019ln 2020ln 2019a a -=-，以上各式累加得20201ln 2020ln1a a -=-，即20201ln20202ln2020a a=+=+.故选：A.【点睛】本题考查利用累加法求数列的通项公式，属基础题.7.如图，在等腰三角形ABC与ABD中，90DAB ABC∠=∠=︒，平面ABD⊥平面ABC，E，F分别为BD，AC的中点，则异面直线AE与BF所成的角为（）A.2πB.3πC.4πD.6π【答案】B【解析】【分析】设DA AB BC x===，利用向量的夹角公式，计算出异面直线AE与BF夹角的余弦值，由此求得异面直线AE与BF所成的角.【详解】由于在等腰三角形ABC与ABD中，90DAB ABC∠=∠=︒，平面ABD⊥平面ABC，根据面面垂直的性质定理可知AD⊥平面ABC，BC⊥平面ABD，所以AD BC⊥.依题意设DA AB BC x===，由于,E F是等腰直角三角形斜边的中点，所以22AE BF x==.设异面直线AE与BF所成的角为θ，则cos cos,AE BFθ=AE BFAE BF⋅=⋅()()12AB AD AF ABAE BF+⋅-=⋅()()1122AB AD AB BC AB AE BF⎡⎤+⋅+-⎢⎥⎣⎦=⋅()111222AB AD BC AB AE BF⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭=⋅()214AB BC AD BC AB AB AD AE BF⋅+⋅--⋅=⋅2211142222AB x AE BF-⋅===⋅，由于π0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以π3θ=.故选：B【点睛】本小题主要考查异面直线所成角的大小的求法，考查空间想象能力和运算求解能力，属于基础题.8.已知函数()2sin cos2f x x x =+，则（）. A. ()f x 的最小正周期是π，最小值为1B. ()f x 的最小正周期是π，最小值为3-C. ()f x 的最小正周期是2π，最小值为1D. ()f x 的最小正周期是2π，最小值为3-【答案】D 【解析】【分析】利用周期的定义，即可判断周期性；利用二倍角公式化简函数为二次型三角函数，即可求得函数最值.【详解】因为()2sin()cos2()2sin cos2()f x x x x x f x πππ+=+++=-+≠，所以π不是()f x 的周期，故排除A ，B ；因为(2)2sin(2)cos2(2)2sin cos2()f x x x x x f x πππ+=+++=+=，所以2π是()f x 的一个周期；又因为2213()2sin cos22sin 2sin 12sin 22f x x x x x x ⎛⎫=+=-++=--+ ⎪⎝⎭，因为sin [1,1]x ∈-，所以当sin 1x =-时，()f x 有最小值3-.故选：D.【点睛】本题考查函数周期的定义，涉及二次型正弦函数最值得求解，以及余弦的二倍角公式，属综合中档题.9.等比数列{}n a 中，11a =，128a =，函数()()()1212()f x x x a x a x a =--⋅⋅-…，则(0)f '=（）.A. 122B. 152C. 182D. 212【答案】C 【解析】【分析】对多项式函数进行求导，即可求得结果.【详解】设()()()1212()g x x a x a x a =--⋅⋅-…，则()()f x xg x =，所以()()()f x g x xg x +''=，所以()()666318121112112(0)(0)822f g a a a a a a '==⋅⋅====….故选：C.【点睛】本题考查多项式函数的导数求解，属中档题.10.已知ABC 内角,,A B C 对应边长分别是,,a b c ，且2a =，1b =，2C A =，则c 的值为 D. 【答案】C 【解析】【分析】如图所示，作ACB ∠的角平分线与AB 交于点D ，根据余弦定理得到22222154024m m m m--+=，计算得到答案. 【详解】如图所示：作ACB ∠的角平分线与AB 交于点D则12AD AC BD BC == ，设,2AD m BD m ==，则CD m =，分别利用余弦定理得到： 22222154cos ,cos 24m m ADC BDC m m --∠=∠= ，ADC BDC π∠+∠= 故222221546024m m m m m --+=∴=，36c AB m === 故选C【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，意在考查学生解决问题的能力和计算能力. 11.已知ABC 是边长为1的等边三角形，若对任意实数k ，不等式||1k AB tBC +>恒成立，则实数t 的取值范围是（）.A. 33,33⎛⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. 2323,33⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. 233⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭D. 3,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】根据向量的数量积运算，将目标式转化为关于k 的二次不等式恒成立的问题，由0<，即可求得结果.【详解】因为ABC 是边长为1的等边三角形，所以1cos1202AB BC ⋅=︒=-，由||1k AB tBC +>两边平方得2222()2()1k AB kt AB BC t BC +⋅+>，即2210k kt t -+->，构造函数22()1f k k tk t =-+-，由题意，()22410t t ∆--<=，解得3t <-或3t >. 故选：B.【点睛】本题考查向量数量积的运算，以及二次不等式恒成立问题求参数范围的问题，属综合中档题.12.已知椭圆22221x y a b +=的左右焦点分别为12,F F ，过1F 作倾斜角为45的直线与椭圆交于,A B 两点，且112F B AF =，则椭圆的离心率=（）C.2D.3【答案】D 【解析】【分析】利用直线过椭圆的焦点坐标，可得直线方程，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理和112F B AF =的条件，建立a b c 、、的关系式，进而求椭圆的离心率即可．【详解】椭圆22221x y a b+=的左右焦点分别为12F F 、，过10F c -（，）且斜率为1k =的直线为y x c =+联立直线与椭圆方程22221x y a b y x c ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消x 后，化简可得2222222220a b y cb y c b a b +++-=（）因为直线交椭圆于A ，B ，设1122A x y B x y （，），（，）由韦达定理可得22222121222222y y ,y y cb c b a b a b a b -+=-=++ 且112F B AF =，可得212y y =-，代入韦达定理表达式可得 2222221122222,2cb c b a b y y a b a b --=--=++ 即222222222222cb c b a b a b a b ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭化简可得229c 2a =所以3c e a ==故选：D ．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属于难题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知角α的顶点在坐标原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，将α的终边按顺时针方向旋转4π后经过点(3,4)，则tan α=__________. 【答案】7- 【解析】【分析】根据三角函数的定义，可得旋转后角度的正切值，利用正切的和角公式即可求得结果. 【详解】设旋转后对应的角为β，则4tan 3β=，故tan tan4tan tan 741tan tan 4πβπαβπβ+⎛⎫=+==- ⎪⎝⎭-⋅. 故答案为：7-.【点睛】本题考查三角函数的定义，以及正切的和角公式，属综合基础题.14.谢尔宾斯基三角形（英语：Sierpinskitriangle ）是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出.具体操作是：先取一个实心正三角形（图1），挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形）（图2），然后在剩下的三个小三角形中又各挖去一个“中心三角形”（图3），我们用黑色三角形代表剩下的面积，用上面的方法可以无限连续地作下去.若设操作次数为3（每挖去一次中心三角形算一次操作），在图中随机选取一个点，则此点取自黑色三角形的概率为__________.【答案】2764【解析】【分析】根据三角形相似容易知黑色三角形面积与最大三角形面积之比，根据几何概型的概率计算公式，即可求得.【详解】由图可知，操作次数为n 时，黑色三角形的面积与最大三角形的面积之比为34n n .当3n =时，概率为2764. 故答案为：2764. 【点睛】本题考查几何概型的概率计算，属基础题.15.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为(2,0)F ，过点F 的直线与双曲线C 的一条渐近线垂直，垂足为点E ，O 为坐标原点，当OEF 的面积取到最大值时，双曲线C 的离心率为__________. 2 【解析】【分析】由F 点到渐近线的距离即可求得FE ，利用均值不等式求得OEF 的面积取得最大值时对应的,a b 取值即可求得离心率. 【详解】由题意，2c =，易得点(c,0)F 到直线by x a=的距离为22||bcFE b ca b ===+，所以||OE a =，则OEF 的面积()2221111212444S ab ab a b c ==⋅≤+==，当OEF 的面积取到最大值时，a b ==..【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，涉及利用均值不等式求最值，属中档题.16.函数3()f x x x =+，对于[0,2]x ∈，都有|(1)|2xf ax e -+≤，则实数a 的取值范围是___．【答案】21[1,]2e e - 【解析】【分析】由题意，利用函数()f x 的奇偶性和单调性，转化得出2x x e ax e ax ⎧≥⎨≤+⎩，分别作出函数xy e =，y ax =和2y ax =+，结合图象，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，在(),-∞+∞为单调递增，且()12f =，()212xf ax e -≤-+≤，即111xax e -≤-+≤，即2x x e axe ax ⎧≥⎨≤+⎩①作出xy e =与y ax =的图象，直线y ax =作为曲线xy e =切线可求得a e =，当[]0,2x ∈时，x e ax a e ≥⇔≤；②作出xy e =与2y ax =+的图象，[]0,2x ∈时，222x x e ax e a ≤+⇔≤+，故2112a e ≥-，综上可得211,2a e e ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题，以及函数的图象的应用，其中解答中根据函数的奇偶性和函数的单调性，转化为2x x e ax e ax ⎧≥⎨≤+⎩，利用函数xy e =，y ax =和2y ax =+，结合图象求解是解答的关键，着重考查了转化思想和推理与计算能力，属于中档试题. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.数列{}n a 满足212231n a a a n n n ++⋯+=++，*n ∈N . （1）求{}n a 的通项公式；（2）设数列1na 的前n 项和为n S ，求满足9n n a S ≤的n 的取值范围. 【答案】（1）2(1)n a n n =+（2）[3,)+∞，n ∈N . 【解析】【分析】（1）利用递推公式，借助下标缩1，即可求得数列n a ；（2）根据（1）中所求，利用裂项求和法求得n S ，解不等式即可求得结果. 【详解】（1）因为212231n a a a n n n ++⋯+=++，*n ∈N ，① 所以当1n =时，14a =. 当2n ≥时，2121(1)(1)23n a a an n n-+++=-+-…，② ①②两式相减，整理得2(1)n a n n =+，显然14a =也满足上式.所以{}n a 的通项公式是2(1)n a n n =+. （2）由（1）得111112(1)21n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以111111111122231212(1)n n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦…，不等式9n n a S ≤，即18(1)2(1)n n n n+≤+，整理得29n ≥，所以3n ≥，n ∈N .所以满足不等式的n 的取值范围是[3,)+∞，n ∈N .【点睛】本题考查利用递推公式求数列的通项公式，以及利用裂项求和法求数列的前n 项和，属综合中档题.18.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ， 33AB CD ==，AB AD ⊥，AB PA ⊥，且2AD PA ==，22PD =，13PE PB =（1）证明：//CE 平面PAD ；（2）求点B 到平面ECD 的距离；【答案】（1）见解析；（2）1313【解析】【分析】（1）取PA 的三等分点F ，法一，利用线面平行的判定定理证明.法二，利用面面平行判定定理证明；（2）法一，利用等积转换即B ECD E BCD V V --=，即可求得，法二，利用空间向量法，求点到面的距离.【详解】(1)解法一：取PA 的三等分点F ，连结,DF EF ，则13PF PA = 又因为13PE PB =，所以13EF AB =且//EF AB ，因为13CD AB=且//AB CD ，所以EF CD =且//EF CD ，四边形CDFE 是平行四边形，所以//CE DF ，又平面DF ⊂平面 PAD ，CE ⊄平面 PAD ，所以//CE 平面 PAD .解法二：取AB 的三等分点G ，连结,FG CG ，则13AG AB =，又因为13PE PB =，所以23EG PA =且//EG PA ，EG ⊄平面PAD ， PA ⊂平面PAD ， //EG ∴平面PAD ，因为13CD AB =且//AB CD ，所以AG CD =且//AG CD ，四边形ADCG 是平行四边形.所以//AD CG ，CG ⊄平面PAD ，DA ⊂平面PAD ，//CG ∴平面PAD ，又因为EG CG G ⋂=，,EG CG ⊂平面CEG ，所以平面//CEG 平面PAD ，又因为CE ⊂平面CEG ，所以//CE 平面PAD .(2)解法一：设点B 到平面ECD 的距离为h .因为2PA AD ==，PD =222PA AD PD +=，所以，PA AD ⊥，因为,PA AB AB AD A ⊥⋂=，所以PA ⊥平面ABCD ，点E 平面ABCD 的距离是43，3DF ==， 12112BCD S ∆=⨯⨯=，1112233ECD S CD DF ∆=⨯⨯=⨯⨯=，因为B ECD E BCD V V --=，所以，1141,333h h =⨯⨯=点B 到平面ECD. 解法二：设点B 到平面ECD 的距离为h .因为2PA AD ==，PD =222PA AD PD +=所以，PA AD ⊥，因为,PA AB AB AD A ⊥⋂=，所以PA ⊥平面ABCD ，分别以,,AD AB AP 为x 轴y 轴z 轴，建立空间坐标系，4(0,0,0),(0,3,0),(2,1,0),(2,0,0),0,1,3A B C D E ⎛⎫ ⎪⎝⎭’40,2,3BE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设平面CDE 法向量1(,,)n x y z =，因为04203y x z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，所以1(2,0,3)n =，设BE 与平面ECD 所成角为θ，则点B 到平面ECD的距离11||cos 1313BE n h BE nθ⋅====，点B 到平面ECD 的距离为13. 【点睛】本题主要考查的是直线与平面平行的证明，点到面的距离的求法，以空间向量法求距离的应用，及解题时要注意认真审题，注意等价转化思想的合理应用，是中档题. 19.自2017年起，部分省、市陆续实施了新高考，某省采用了“33+”的选科模式，即：考试除必考的语、数、外三科外，再从物理、化学、生物、历史、地理、政治六个学科中，任意选取三科参加高考，为了调查新高考中考生的选科情况，某地区调查小组进行了一次调查，研究考生选择化学与选择物理是否有关.已知在调查数据中，选物理的考生与不选物理的考生人数相同，其中选物理且选化学的人数占选物理人数的35，在不选物理的考生中，选化学与不选化学的人数比为1:4.（1）若在此次调查中，选物理未选化学的考生有100人，试完成下面的列联表：（2）根据第（1）问的数据，能否有99%把握认为选择化学与选择物理有关？（3）若研究得到在犯错误概率不超过0.01的前提下，认为选化学与选物理有关，则选物理又选化学的人数至少有多少？（单位：千人；精确到0.001）附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.【答案】（1）列联表详见解析（2）有99%把握认为选择化学与选择物理有关（3）至少有11.943千人【解析】【分析】（1）根据题意，即可求得表格中缺失的数据；（2）结合列联表，计算2K，即可进行判断；（3）设选物理又选化学的人数为x千人，据此重新求得列联表，以及2K，根据其大于等于6.635，即可求得结果.【详解】（1）列联表如下：（2）由列联表可知22500(150********)2506.6352502502003003K⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%把握认为选择化学与选择物理有关.（3）设选物理又选化学的人数为x千人，则列联表如下：所以22221042533955492333x x x K x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭==⋅⋅⋅，在犯错误概率不超过0.01的前提下，则2 6.635K ≥，即56.6359x ≥，解得11.943x ≥（千人），所以选物理又选化学的人数至少有11.943千人.【点睛】本题考查根据题意补全列联表，2K 的计算，以及由犯错误的概率计算参数的范围，属综合中档题. 20.已知函数21()ln 2f x x m x =-，2()(1)g x x m x =-+，m ∈R . （1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 的切线经过点(2,1)A ，求m 的值；（2）当m 1≥时，求函数()()()F x f x g x =-的零点的个数. 【答案】（1）12m =（2）有且只有一个零点【解析】【分析】（1）求导，可得含参数m 的切线方程，根据切线过点的坐标满足切线方程，即可求得m ；（2）求()F x 求导，利用导数研究函数单调性，同时对参数进行分类讨论，即可得到()F x 的零点个数.【详解】（1）由题知切点11,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，又由21()ln 2f x x m x =-得()m f x x x '=-，所以切线的斜率(1)1k f m '==-，切线方程为1(1)(1)2y m x -=--，把点(2,1)A 代入切线方程，解得12m =. （2）21()(1)ln 2F x x m x m x =-++-，定义域(0,)+∞，所以2(1)(1)()()(1)m x m x m x x m F x x m x x x-++--'=-++-=-=-. ①当1m =时，2(1)()x F x x-'=-，有()0F x '≤在(0,)+∞恒成立，()F x 在(0,)+∞上单调递减，此时21()2ln 2F x x x x =-+-，其中3(1)02F =>，(4)ln 40F =-<，所以函数()F x 有且只有一个零点.②当1m 时，易知当(1,)x m ∈时，有()0F x '>，()F x 单调递增；当(0,1)x ∈或(,)x m ∈+∞时，有()0F x '<，()F x 单调递减. 其中1(1)02F m =+>，令2001(1)02x m x -++=解得022x m =+或00x =（舍去），所以(22)ln(22)0F m m m +=-+<，所以函数()F x 有且只有一个零点.综上所述，当m 1≥时，函数()()()F x f x g x =-有且只有一个零点.【点睛】本题考查导数的及意义，以及利用导数研究函数零点个数的问题，涉及分类讨论，属综合中档题.21.在平面直角坐标系xOy 中，一个动圆经过点(1,0)F 且与直线1x =-相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E . （1）求曲线E 的方程；（2）过点(4,0)C 作直线交曲线E 于A ，B 两点，问曲线E 上是否存在一个定点P ，使得点P 在以AB 为直径的圆上？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2:4E y x =（2）存在；定点(0,0)P 【解析】【分析】（1）根据抛物线定义，即可求得轨迹方程；（2）设出直线方程，联立抛物线方程，由韦达定理，结合PA PB ⊥，即可恒成立问题，即可求得P 点坐标.【详解】（1）由题意，圆心到点(1,0)F 的距离与到直线1x =-的距离相等，根据抛物线的定义可知，圆心的轨迹方程是2:4E y x =. （2）因为过点(4,0)C 的直线交曲线E 于A ，B 两点，所以可设直线方程为4x my =+，211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，由244x my y x=+⎧⎨=⎩整理得24160y my --=， 216640m ∆=+>，124y y m +=，1216y y =-，假设存在定点200,4y P y ⎛⎫⎪⎝⎭满足题意，显然01y y ≠且02y y ≠，则PA PB ⊥，即0PA PB ⋅=.因为221010,44y y PA y y ⎛⎫=--⎪⎝⎭，222020,44y y PB y y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以()()()()()()102010201020160y y y y y y y y y y y y --+++--=，即()()()()()()102010201020160y y y y y y y y y y y y --+++--=，因为10y y ≠且20y y ≠，所以()()1020160y y y y +++=，即()2120120160y y y y y y ++++=，所以200164160my y -+++=，即20040y my +=，上式要恒成立，所以00y =，即定点(0,0)P . 综上所述，存在定点(0,0)P 满足题意.【点睛】本题考查由抛物线定义求抛物线方程，以及抛物线中定点的寻求，属综合中档题. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ<<），以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为(0)1cos pp ρθ=>-.（1）写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且111||||OA OB +=，求p 的值. 【答案】（1）(R)θαρ=∈；22(0)2p y p x p ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭（2）2p = 【解析】【分析】（1）消去参数t ，即可求得直线的普通方程，再化简为直角方程即可；利用公式222x y ρ=+，cos x ρθ=，即可求得曲线C 的直角坐标方程；（2）联立直线的极坐标方程和曲线的极坐标方程，求得,OA OB ，代值计算即可.【详解】（1）由cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ<<），得当2πα=时，直线l 的普通方程是0x =，其极坐标方程为2πθ=和32πθ=；当2πα≠时，消去参数t 得tan y x α=，直线l 过原点、倾斜角为α，其极坐标方程为θα=和θαπ=+.综上所述，直线l 的极坐标方程为θα=和(0)θαπαπ=+<<，也可以写成(R)θαρ=∈. 由(0)1cos pp ρθ=>-，得cos p ρρθ-=，又因为222x y ρ=+，cos x ρθ=，所以222()x y x p +=+，整理得22(0)2p y p x p ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭. （2）设()11,A ρθ，(),B ρθ22，解方程组1cos p θαρθ=⎧⎪⎨=⎪-⎩，得11cos p ρα=-，即||1cos p OA α=-；解方程组1cos p θαπρθ=+⎧⎪⎨=⎪-⎩，得21cos p ρα=+，即||1cos p OB α=+. 所以111cos 1cos 2||||OA OB p p pαα-++=+=，又已知111||||OA OB +=，所以2p =. 【点睛】本题考查参数方程与极坐标方程之间的转化，极坐标方程和普通方程之间的转化，以及利用极坐标求解距离问题，属综合中档题. 23.已知,,+∈a b c R ，且1a b c ++=. （1（2）证明：1111118⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a b c .【答案】（1；（2）见解析【解析】【分析】（12≤（12+12+12）（a +b +c ）＝3，即可得出结论．（2）将1a b c ++=代入所证等式的左边，利用基本不等式，证得结论. 【详解】（1）2≤（12+12+12）（a +b +c ）＝3，+当且仅当13a b c ===（2）111111111++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=---⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭a b c a b c a b c a b c a b c28+++=⋅⋅⋅=b c a c a bbc a b c当且仅当13a b c===取“=”【点睛】本题考查了基本不等式与柯西不等式的应用，利用柯西不等式时，关键是如何凑成能利用一般形式的柯西不等式的形式，属于中档题．。

2020届全国高考仿真模拟考试(五)理科数学

2020届全国高考仿真模拟考试（五）理科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2019·北京海淀一模]已知集合P ＝{x |0≤x ≤2} ，且M ⊆P ，则M 可以是( ) A ．{0，1} B ．{1，3} C ．{－1，1} D ．{0，5} 答案：A解析：∵0∈{x |0≤x ≤2}，1∈{x |0≤x ≤2}，∴{0，1}⊆{x |0≤x ≤2}，故选A.2．[2019·安徽皖南八校联考]i 为虚数单位，a ∈R ，若z ＝a －ia ＋i＋i 为实数，则a ＝( )A ．－1B ．－12C ．1D ．2 答案：C解析：z ＝a －i a ＋i ＋i ＝(a －i )2(a ＋i )(a －i )＋i ＝(a 2－1)－2a i a 2＋1＋i ＝a 2－1a 2＋1＋⎝⎛⎭⎫1－2a a 2＋1i ＝a 2－1a 2＋1＋(a －1)2a 2＋1i ，由题意可得a ＝1，故选C.3．[2019·山东烟台模拟]已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >1，c >1B ．a >1，0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1，0<c <1 答案：D解析：由对数函数的性质及题图，得0<a <1，易知c >0，所以函数y ＝log a (x ＋c )的图象是由函数y ＝log a x 的图象向左平移c 个单位长度得到的，所以根据题中图象可知0<c <1.故选D.4．[2019·江西九江重点学校联考]在扇形AOB 中，∠AOB ＝θ，扇形AOB 的半径为3，C 是弧AB 上一点，若OC →＝233OA →＋33OB →，则θ＝( )A.π6B.π3C.π2D.2π3 答案：D解析：∵OC →＝233OA →＋33OB →，|OC →|＝|OA →|＝|OB →|＝3，∠AOB ＝θ，∴OC →2＝43OA →2＋43OA →·OB →＋13OB →2＝3，即4cos θ＝－2，∴cos θ＝－12，∵0<θ<π，∴θ＝2π3，故选D.5．[2019·湖南岳阳三检]观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，…，归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )A ．－g (x )B ．f (x )C ．－f (x )D ．g (x ) 答案：A解析：(x 2)′＝2x 中，函数y ＝x 2为偶函数，其导函数y ′＝2x 为奇函数； (x 4)′＝4x 3中，函数y ＝x 4为偶函数，其导函数y ′＝4x 3为奇函数；(cos x )′＝－sin x 中，函数y ＝cos x 为偶函数，其导函数y ′＝－sin x 为奇函数；…. 我们可以归纳，偶函数的导函数为奇函数．事实上，若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，则函数f (x )为偶函数，又g (x )为f (x )的导函数，则g (x )为奇函数，故g (－x )＋g (x )＝0，即g (－x )＝－g (x )，故选A.6．[2019·安徽池州期末]已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －π4＋1的一个对称中心是( ) A.⎝⎛⎭⎫－π12，1 B.⎝⎛⎭⎫π12，2 C.⎝⎛⎭⎫7π12，1 D.⎝⎛⎭⎫3π4，2 答案：C解析：由函数图象可知A ＝2，函数f (x )的最小正周期T ＝4⎝⎛⎭⎫π3－π12＝π，所以ω＝2πT＝2，易得2×π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.则y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －π4＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1，令2x －π6＝k π，k ∈Z ，则x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，当k ＝1时，x ＝7π12，所以函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －π4＋1的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫7π12，1.故选C. 7．[2019·河南洛阳尖子生第二次联考]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( )A ．2n －1 B.⎝⎛⎭⎫32n －1 C.⎝⎛⎭⎫23n －1D.⎝⎛⎭⎫12n －1 答案：B解析：解法一当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 2＝1，则a 2＝12；当n ≥2时，S n －S n －1＝a n ＝2a n＋1－2a n ，则a n ＋1a n ＝32.所以当n ≥2时，数列{a n }是公比为32的等比数列．所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，12×⎝⎛⎭⎫32n －2，n ≥2，于是S n ＝1＋12＋12×32＋…＋12×⎝⎛⎭⎫32n －2＝1＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫32n －11－32＝⎝⎛⎭⎫32n －1.故选B.解法二当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 2＝1，则a 2＝12，所以S 2＝1＋12＝32，结合选项可得只有B 选项满足．故选B.8．[2019·鄂东南省级示范高中联考]《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也．以等数约之”．翻译成现代语言如下：第一步，任意给定两个正整数，判断他们是否都是偶数，若是，用2约简，若不是，执行第二步；第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．现给出“更相减损术”的程序框图如图所示，如果输入的a ＝114，b ＝30，则输出的n 为( )A ．3B ．6C ．7D ．30 答案：C解析：根据框图可列表如下．a 114 57 42 27 12 15 3 12 9 6 3b 30 15 15 15 15 12 12 3 3 3 3 n 0 0 1 2 3 3 4 4 5 6 7 k 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 9．[2019·吉林省实验中学测试]已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x 2＋y 2≤1，则2x ＋y 的取值范围是( )A ．[1，2]B ．[1，＋∞)C ．(0，5]D ．[1，5] 答案：D解析：设z ＝2x ＋y ，作出⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x 2＋y 2≤1表示的平面区域，如图中阴影部分所示，作出直线y ＝－2x ，平移该直线，数形结合可知当平移后的直线过点(0，1)时，z 取得最小值1，当平移后的直线与圆相切于第一象限时，z 取得最大值，最大值为5，所以2x ＋y 的取值范围是[1，5]．故选D.10．[2019·江西五校协作体联考]如图，圆锥的底面直径AB ＝4，高OC ＝22，D 为底面圆周上的一点，且∠AOD ＝2π3，则直线AD 与BC 所成的角为( )A.π6B.π3C.5π12D.π2 答案：B解析：如图，过点O 作OE ⊥AB 交底面圆于点E ，分别以OE ，OB ，OC 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O -xyz ，因为∠AOD ＝23π，所以∠BOD ＝π3，则D (3，1，0)，A (0，－2，0)，B (0，2，0)，C (0，0，22)，AD →＝(3，3，0)，BC →＝(0，－2，22)，所以cos 〈AD →，BC →〉＝－612×12＝－12，则直线AD 与BC 所成的角为π3，故选B.11．[2019·四川成都一诊]过曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1作曲线C 2：x 2＋y 2＝a 2的切线，设切点为M ，延长F 1M 交曲线C 3：y 2＝2px (p >0)于点N ，其中C 1，C 3有一个共同的焦点，若MF 1→＋MN →＝0，则曲线C 1的离心率为( )A.5＋12 B. 5 C.2＋12 D. 2答案：A解析：易知曲线C 1为双曲线．设曲线C 1的右焦点为F ，则F 的坐标为(c ，0)．因为曲线C 1与C 3有一个共同的焦点，所以y 2＝4cx .因为MF 1→＋MN →＝0，所以MF 1→＝－MN →＝NM →，则M 为线段F 1N 的中点．连接OM ，NF (O 为坐标原点)．因为O 为线段F 1F 的中点，M 为线段F 1N 的中点，所以OM 为△NF 1F 的中位线，所以OM ∥NF .因为|OM |＝a ，所以|NF |＝2a .易知NF ⊥NF 1，|F 1F |＝2c ，所以|NF 1|＝2b .设N (x ，y )，则由抛物线的定义可得x ＋c ＝2a ，所以x ＝2a －c .过点F 1作x 轴的垂线，点N 到该垂线的距离为2a .由勾股定理得y 2＋4a 2＝4b 2，即4c (2a －c )＋4a 2＝4(c 2－a 2)，得e 2－e －1＝0(e >0)，所以e ＝5＋12.故选A.12．[2019·重庆西南大附中月考]已知奇函数f (x )是定义在R 上的单调函数，若函数g (x )＝f (x 2)＋f (a －2|x |)恰有4个零点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(0，1]D ．(0，1) 答案：D解析：∵g (－x )＝f (x 2)＋f (a －2|x |)＝g (x )，∴g (x )是偶函数．若g (x )＝f (x 2)＋f (a －2|x |)恰有4个零点，等价于当x >0时，g (x )有2个不同的零点．∵f (x )是奇函数，∴由g (x )＝f (x 2)＋f (a －2|x |)＝0，得f (x 2)＝－f (a －2|x |)＝f (2|x |－a )．∵f (x )是单调函数，∴x 2＝2|x |－a ，即－a ＝x 2－2|x |，当x >0时，－a ＝x 2－2|x |＝x 2－2x 有两个根即可．设h (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，要使当x >0时，－a ＝x 2－2|x |有两个根，则－1<－a <0，即0<a <1，即实数a 的取值范围是(0，1)，故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上．) 13．[2019·河北九校联考]已知两条不同的直线m ，n ，两个不重合的平面α，β，给出下列命题：①m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥α；②α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥n ； ③m ∥n ，m ∥α⇒n ∥α； ④m ⊥α，m ∥β⇒α⊥β；⑤α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β.其中正确命题的序号是________．答案：①④⑤解析：命题①，显然正确；命题②，m ，n 可能异面，故②为假命题；命题③，可能n ⊂α，故③为假命题；命题④，显然正确；命题⑤，由m ∥n ，m ⊥α，得n ⊥α，又α∥β，所以n ⊥β，故⑤为真命题．综上，正确的命题为①④⑤.14．[2019·山东潍坊重点学校摸底]若(x ＋1)⎝⎛⎭⎫x 2－ax 6的展开式中常数项为60，则实数a的值是________．答案：±2解析：⎝⎛⎭⎫x 2－a x 6的展开式的通项T r ＋1＝C r 6·⎝⎛⎭⎫x 26－r ·⎝⎛⎭⎫－a x r ＝(－a )r ·⎝⎛⎭⎫126－r ·C r 6·x 6－3r 2.由6－32r ＝－1，得r ＝143(舍去)，由6－32r ＝0，得r ＝4.所以(x ＋1)⎝⎛⎭⎫x 2－a x 6的展开式中常数项为(－a )4·⎝⎛⎭⎫122·C 46＝15a 44＝60，得a ＝±2. 15．[2019·湖北八校联考]已知数列{a n }满足a n ＝2a n －1＋2n －1(n ∈N *，n ≥2)，若a 4＝65，则a 1＝________.答案：3解析：∵a n ＝2a n －1＋2n －1(n ∈N *，n ≥2)，a 4＝65，∴2a 3＋24－1＝65，得a 3＝25，∴2a 2＋23－1＝25，得a 2＝9，∴2a 1＋22－1＝9，得a 1＝3.16．[2019·江苏张家港一模]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，0≤x <1，2x －12，x ≥1，设a >b ≥0，若f (a )＝f (b )，则b ·f (a )的取值范围是________．答案：⎣⎡⎭⎫34，2解析：画出函数f (x )的大致图象，如图所示．由图象可知要使a >b ≥0，f (a )＝f (b )成立，则12≤b <1.b ·f (a )＝b ·f (b )＝b (b ＋1)＝b 2＋b ＝⎝⎛⎭⎫b ＋122－14，所以34≤b ·f (a )<2. 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．(12分)[2019·广东省六校联考]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋c 2－b 2＝ab cos A ＋a 2cos B .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝27，tan C ＝32，求△ABC 的面积．解析：(1)依题意知a 2＋c 2－b 2＝ab cos A ＋a 2cos B ，由余弦定理，得2ac cos B ＝ab cos A ＋a 2cos B ，因为a ≠0，所以2c cos B ＝b cos A ＋a cos B .由正弦定理，得2sin C cos B ＝sin B cos A ＋sin A cos B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，又C ∈(0，π)，sin C >0，所以cos B ＝12，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)已知tan C ＝32，C ∈(0，π)，易得sin C ＝217，cos C ＝277，由(1)知B ＝π3，所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝32×277＋12×217＝32114.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a ＝b sin Asin B ＝27×3211432＝6，所以△ABC 的面积为S ＝12ab sin C ＝12×6×27×217＝6 3.18．(12分)[2019·江西南昌重点中学段考]如图，四边形ABCD 是矩形，沿对角线AC 将△ACD 折起，使得点D 在平面ABC 内的射影恰好落在边AB 上．(1)求证：平面ACD ⊥平面BCD ；(2)当ABAD＝2时，求二面角D －AC －B 的余弦值．解析：(1)证明：如图，设点D 在平面ABC 内的射影为点E ，连接DE ，则DE ⊥平面ABC ，所以DE ⊥BC .因为四边形ABCD 是矩形，所以AB ⊥BC ，所以BC ⊥平面ABD ，所以BC ⊥AD .又AD ⊥CD ，所以AD ⊥平面BCD ，而AD ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BCD .(2)解法一在矩形ABCD 中，过点D 作AC 的垂线，垂足为M ，连接ME . 因为DE ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以DE ⊥AC ，又DM ∩DE ＝D ，所以AC ⊥平面DME ，EM ⊂平面DME ，所以EM ⊥AC ，所以∠DME 为二面角D －AC －B 的平面角．设AD ＝a ，则AB ＝2a .在Rt △ADC 中，易求得AM ＝5a 5，DM ＝25a5.在Rt △AEM 中，EM AM ＝tan ∠BAC ＝12，得EM ＝5a10，所以cos ∠DME ＝EM DM ＝14.解法二以点B 为原点，线段BC 所在的直线为x 轴，线段AB 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系B -xyz ，如图所示．设AD ＝a ，则AB ＝2a ，所以A (0，－2a ，0)，C (－a ，0，0)．由(1)知AD ⊥BD ，又ABAD＝2，所以∠DBA ＝30°，∠DAB ＝60°，所以AE ＝AD cos ∠DAB＝12a ，BE ＝AB －AE ＝32a ，DE ＝AD sin ∠DAB ＝32a ，所以D ⎝⎛⎭⎫0，－32a ，32a ，所以AD →＝⎝⎛⎭⎫0，12a ，32a ，AC →＝(－a ，2a ，0)．设平面ACD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·AD →＝0，m ·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12ay ＋32az ＝0，－ax ＋2ay ＝0.取y ＝1，则x ＝2，z ＝－33，所以m ＝⎝⎛⎭⎫2，1，－33. 因为平面ABC 的一个法向量为n ＝(0，0，1)，所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝－3322＋12＋⎝⎛⎭⎫－332＝－14.结合图知，二面角D －AC －B 为锐二面角，所以二面角D －AC －B 的余弦值为14.19．(12分)[2019·安徽省合肥市高三上学期期末考试]每年3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础．为了做好今年的世界睡眠日宣传工作，某社区从本辖区内同一年龄层次的人员中抽取了100人，通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间(单位：小时)，并绘制出如下的频率分布直方图．(1)求这100人睡眠时间的平均数x (同一组数据用该组区间的中点值代替，结果精确到个位)；(2)由直方图可以认为，人的睡眠时间t 近似服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似地等于样本平均数x (精确到个位)，σ2近似地等于样本方差s 2，s 2≈33.6，假设该辖区内这一年龄层次共有10 000人，试估计该人群中一周睡眠时间位于区间(39.2，50.8)的人数．附：33.6≈5.8，若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<Z <μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<Z <μ＋2σ)＝0.954 4.解析：(1)x ＝0.06×34＋0.18×38＋0.20×42＋0.28×46＋0.16×50＋0.10×54＋0.02×58＝44.72≈45.(2)由题意得，μ≈45，σ≈5.8，μ－σ＝39.2，μ＋σ＝50.8，P (39.2<t <50.8)＝0.682 6，所以估计该人群中一周睡眠时间在区间(39.2，50.8)的人数约为10 000×0.682 6＝6 826. 20．(12分)[2019·山东滨州联考]已知抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上一点M 的纵坐标为6，且点M 到焦点F 的距离为7.(1)求抛物线E 的方程；(2)设l 1，l 2为过焦点F 且互相垂直的两条直线，直线l 1与抛物线E 相交于A ，B 两点，直线l 2与抛物线E 相交于C ，D 两点，若直线l 1的斜率为k (k ≠0)，且S △OAB ·S △OCD ＝8，试求k 的值．解析：(1)由抛物线的定义知，点M 到抛物线的准线的距离为7，所以6＋p2＝7，解得p ＝2，故抛物线E 的方程为x 2＝4y .(2)由题意可知l 1的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，消去y ，整理得x 2－4kx －4＝0，Δ＝16(k 2＋1)>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 216(k 2＋1)＝4(k 2＋1)．由点O 到直线AB 的距离d ＝1k 2＋1，得S △OAB ＝12|AB |·d ＝12×4(k 2＋1)×1k 2＋1＝2k 2＋1.因为l 1⊥l 2，所以同理可得S △OCD ＝2⎝⎛⎭⎫－1k 2＋1＝2k 2＋1|k |. 由S △OAB ·S △OCD ＝8，得2k 2＋1×2k 2＋1|k |＝8，解得k 2＝1，即k ＝－1或k ＝1.21．(12分)[2019·贵州贵阳监测]已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋1e x(m ≥0)，其中e 为自然对数的底数．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若m ∈(1，2)，证明：当x 1，x 2∈[1，m ]时，f (x 1)>－x 2＋1＋1e恒成立．解析：(1)由题意得f ′(x )＝－x 2＋(m －2)x ＋1－m e x ＝－[x －(1－m )](x －1)e x，当m ＝0，即1－m ＝1时，f ′(x )＝－(x －1)2e x≤0，f (x )在R 上单调递减；当m >0，即1－m <1时，令f ′(x )<0，得x <1－m 或x >1，令f ′(x )>0，得1－m <x <1.∴f (x )在(－∞，1－m )，(1，＋∞)上单调递减，在(1－m ，1)上单调递增．(2)令g (x )＝－x ＋1＋1e，问题转化为证明f (x )min >g (x )max .由(1)可知，m ∈(1，2)时f (x )在[1，m ]上单调递减，∴f (x )min ＝f (m )＝2m 2＋1em .∵g (x )在[1，m ]上单调递减，∴g (x )max ＝g (1)＝1e.所以要证f (x )min >g (x )max ，只需证2m 2＋1e m >1e.记h (m )＝2m 2＋1e m (1<m <2)，则h ′(m )＝－2m 2＋4m －1e m，令h ′(m )>0，得1<m <2＋22，令h ′(m )<0，得2＋22<m <2，∴h (m )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2＋22上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22，2上单调递减．又2×12＋1e 1＝3e ，2×22＋1e 2＝9e2，∴对任意的m ∈(1，2)，都有h (m )>3e >1e，即当x 1，x 2∈[1，m ]时，f (x 1)>－x 2＋1＋1e恒成立．选考题(请考生在第22、23题中任选一题作答，多答、不答按本选考题的首题进行评分．) 22．(10分)[2019·南宁市高三毕业班第一次适应性测试]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋r cos φ，y ＝1＋r sin φ(r >0，φ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＋1＝0.若直线l 与曲线C 相切．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)在曲线C 上任取两点M ，N ，该两点与原点O 构成△MON ，且满足∠MON ＝π6，求△MON 面积的最大值．解析：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＋1＝0得 32ρcos θ－12ρsin θ＋1＝0，则直线l 的直角坐标方程为3x －y ＋2＝0. 曲线C 是圆心为(3，1)，半径为r 的圆，由直线l 与曲线C 相切可得r ＝|3×3－1＋2|2＝2.则曲线C 的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －1)2＝4.所以曲线C 的极坐标方程为ρ2－23ρcos θ－2ρsin θ＝0，即ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3. (2)由(1)不妨设M (ρ1，θ)，N ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ＋π6 ⎝⎛⎭⎫ρ1>0，ρ2>0，－π3<θ<2π3.S △MON ＝12|OM |·|ON |·sin π6＝14ρ1ρ2＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π2 ＝2sin θcos θ＋23cos 2θ ＝sin 2θ＋3cos 2θ＋ 3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＋ 3. 当θ＝π12时，△MON 面积的最大值为2＋ 3.23．(10分)[2019·四川资阳一诊][选修4－5：不等式选讲] 设函数f (x )＝|x |，g (x )＝|2x －2|. (1)解不等式f (x )>g (x )；(2)若2f (x )＋g (x )>ax ＋1对任意x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．解析：(1)不等式f (x )>g (x )，即|2x －2|<|x |. 则(2x －2)2<x 2，即(2x －2)2－x 2<0，故有(3x －2)(x －2)<0，解得23<x <2.则所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪23<x <2. (2)2f (x )＋g (x )＝2|x |＋|2x －2|，若2f (x )＋g (x )>ax ＋1对任意x ∈R 恒成立，则①当x ≤0时，只需不等式－2x －2x ＋2>ax ＋1恒成立，即ax <－4x ＋1，x ＝0时，该不等式恒成立，a ∈R ；x <0时，a >－4＋1x恒成立，可得a ≥－4.②当0<x <1时，只需不等式2x －2x ＋2>ax ＋1恒成立，即a <1x 恒成立，可得a ≤1.③当x ≥1时，只需不等式2x ＋2x －2>ax ＋1恒成立，即a <4－3x恒成立，可得a <1.综上，实数a 的取值范围是[－4，1)．。

2020届高三招生全国统一考试模拟数学(文)模拟试题(五)有答案(精品)

普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文数（五）本试卷共6页，23题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设全集U 为实数集R ，集合{|ln(32)}A x y x ==-，{|(1)(3)0}B y y y =--≤，则图中阴影部分所表示的集合为（）A ．3(,1),2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭U B ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．[3,)+∞ D ．3,[3,)2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U 2.已知复数z 满足3(1)(34)(2)z ai i ai =++-++（i 为虚数单位），若zi为纯虚数，则实数a 的值为（） A ．45 B ．2 C ．54- D ．12- 3.已知命题p ：x R ∀∈，210x x -+>，命题q ：0x R ∃∈，002sin 2cos 3x x +=.则下列命题为真命题的是（）A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∧⌝C ．()p q ∧⌝D ． ()p q ⌝∧ 4.已知函数()cos 22f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，21()1g x x =+，则下列结论中不正确是（） A ．()g x 的值域为(]0,1 B ．()f x 的单调递减区间为3,()44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C．()()f xg x⋅为偶函数D ．()f x的最小正周期为π5.若实数x，y满足113xyx y≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则21yzx-=的取值范围是（）A．2,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．13,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦6.某教育局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2017年1月至2017年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论正确的是（）A．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B．月跑步平均里程逐月增加C．月跑步平均里程高峰期大致在8、9月D．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳7.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．25B．26C．24D．238.过点(3,4)P作圆224x y+=的两条切线，切点分别为A，B，则AB=（）A．53- B．52- C．2215D．42159.已知等差数列{}na的前n项和为nT，34a=，627T=，数列{}nb满足1123nb b b b+=++nb+⋅⋅⋅+，121b b==，设n n nc a b=+，则数列{}nc的前11项和为（）A．1062 B．2124 C．1101 D．110010.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．104π+B．68π+C ．108π+D ．64π+11.已知动点(,)M x y 满足22(1)21x y x -+=+-，设点M 的轨迹为曲线E ，A ，B 为曲线E 上两动点，N 为AB 的中点，点N 到y 轴的距离为2，则弦AB 的最大值为（） A ．6B ．4 C ．5 D ．5412.如图所示的四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 与侧面PAD 垂直，且四边形ABCD 为正方形，AD PD PA ==，点E 为边AB 的中点，点F 在边BP 上，且14BF BP =，过C ，E ，F 三点的截面与平面PAD 的交线为l ，则异面直线PB 与l 所成的角为（）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

山东省泰安市2020届高三第五次模拟考试(全国模拟)数学试题 Word版含答案

全国高考模拟试题数学试题本试卷共6页，22题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束一定时间后，通过扫描二维码查看讲解试题的视频。

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知复数z 满足()14i z i z -⋅==，则 2B.2C.22D.82.已知集合{}{}20,10A x x x B x x x =-<=><或，则 A.B A ⊆B.A B ⊆C.A B R ⋃=D.A B ⋂=∅3.已知集合0.130.2log 0.2,log 0.3,10,a b c ===则A.a b c <<B.a c b <<C.c a b <<D.b c a <<4.()()311x x -+的展开式中，3x 的系数为 A.2B.2-C.3D.3-5.函数()()32sin 12x f x g x xπ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=与的图象关于y 轴对称，则函数()f x 的部分图象大致为6．在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”．这可视为中国古代极限观念的佳作．割圆术可以视为将一个圆内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如图所示)，当n 变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积．运用割圆术的思想，可得到sin3°的近似值为(π取近似值3.14) A.0.012 B.0.052 C.0.125D.0.2357.已知函数()()3211f x x gx x =+++，若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()220202020110,110=f a f a S -=--=，则A.4040-B.0C.2020D.40408.在四面体2,90ABCD BC CD BD AB ABC ====∠=o中，，二面角A BC D --的平面角为150°，则四面体ABCD 外接球的表面积为 A.313π B.1243π C.31πD.124π二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019-2020高三第五次模拟考试-文科数学答案

2019-2020高三第五次模拟考试数学（文科）试题参考答案二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13. -1 14.025=-+y x15.535- 16. 64R 381三．解答题（本大题有6小题，共70分．） 17.（12分）解：（1）当2n ≥时，1n n n a S S n -=-=；当1n =时，111a S ==，符合上式．综上，n a n =．（2）3n n b n =⋅，则1231323333n n T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，234131323333n n T n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，∴()2311313233333313n n n n n T n n ++--=+++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅-，∴1313424n n nT +⎛⎫=+-⋅ ⎪⎝⎭．18.（12分）解：（1）证明：如图，取AE 的中点G ，连接GF ，GB ， ∵点F 为DE 的中点，∴GF AD ∥，且12GF AD =，又AD BC ∥，2AD BC =，∴GF BC ∥，且GF BC =， ∴四边形CFGB 为平行四边形，则CF BG ∥，而CF ⊄平面EAB ，BG ⊂平面EAB ，∴CF ∥平面EAB ．（2）∵CF AD ⊥，∴AD BG ⊥，而AB AD ⊥，∴AD ⊥平面EAB ，∴AD EA ⊥，又平面EAD ⊥平面ABCD ，平面EAD 平面ABCD AD =，∴EA ⊥平面ABCD ， ∴113E ABCD ABCD V S EA -=⋅=梯形20.（12分）(1)依题意知1＋p 2＝54，解得p ＝12.所以曲线C 的方程为x 2＝y . (2)由题意直线PQ 的方程为：y ＝k (x －1)＋1，则点M (1－1k ，0)．联立方程组⎩⎨⎧y ＝k x －＋1y ＝x 2消去y 得x 2－kx ＋k －1＝0，得Q (k －1，(k －1)2)．所以得直线QN 的方程为y －(k －1)2＝－1k (x －k ＋1)．代入曲线方程y ＝x 2中，得 x 2＋1k x －1＋1k －(1－k )2＝0.解得N (1－1k －k ，(1－k －1k )2)．所以直线MN 的斜率k MN ＝－k －1k 2－1k －k－－1k＝－－k －1k 2k.过点N 的切线的斜率k ′＝2(1－k －1k )．由题意有－－k －1k 2k＝2(1－k －1k )．解得k ＝－1±52.故存在实数k ＝－1±52使命题成立．19.(1)由折线图中数据和附注中参考数据得t ＝4，28)(712=-∑=i it t,55.0)(712=-∑=i iy y∑∑∑===-=--717171))((i i i i i i i iy t y t y y t t89.232.9417.40=⨯-=所以r ≈ 2.890.55×2×2.646≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系.(2)由y ＝9.327≈1.331及(1)得10.02889.2)())((71271≈=---=∑∑==i ii i it ty y t tb a ＝y －b t ≈1.331－0.10×4≈0.93.所以y 关于t 的回归方程为y ＝0.93＋0.10t . 将2019年对应的t ＝9代入回归方程得y ＝0.93＋0.10×9＝1.83. 所以预测2019年我国生活垃圾无害化处理量约为1.83亿吨. 20.（12分）解:（1）函数()f x 的定义域为(,)-∞+∞，22()2(2)()x x x x f x e ae a e a e a '=--=+-， ①若0a =，则2()x f x e =，在(,)-∞+∞单调递增. ②若0a >，则由()0f x '=得ln x a =.当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<；当(l n ,)x a ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增.③若0a <，则由()0f x '=得ln()2a x =-.当(,ln())2ax ∈-∞-时，()0f x '<；当(ln(),)2a x ∈-+∞时，()0f x '>，故()f x 在(,ln())2a-∞-单调递减，在(ln(),)2a -+∞单调递增.（2）①若0a =，则2()x f x e =，所以()0f x ≥.②若0a >，则由（1）得，当ln x a =时，()f x 取得最小值，最小值为2(ln )ln f a a a =-.从而当且仅当2ln 0a a -≥，即1a ≤时，()0f x ≥.③若0a <，则由（1）得，当ln()2ax =-时，()f x 取得最小值，最小值为23(ln())[ln()]242a a f a -=--.从而当且仅当23[ln()]042a a --≥，即342e a ≥-时()0f x ≥.综上，a 的取值范围为34[2e ,1]-.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）解：（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=.当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=.由2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525-. （2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l 的距离为d =.当4a ≥-时，d=8a =；当4a <-时，d.=16a =-.综上，8a =或16a =-.、23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）解：（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤.① 当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤；当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而1x <≤所以()()f x g x ≥的解集为1{|1}2x x --<≤. （2）当[1,1]x ∈-时，()2g x =.所以()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥.又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，得11a -≤≤.所以a 的取值范围为[1,1]-.。

2020届普通高等学校招生全国统一考试模拟测卷(五)(全国Ⅲ卷)数学(文)试题解析

绝密★启用前2020届普通高等学校招生全国统一考试内参模拟测卷（五）（全国Ⅲ卷）数学（文）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{}31x A x =>，{}1,0,1,2B =-，则A B I 等于( ) A ．{}0,1,2B ．{}1,0,1-C ．{}1,2D ．{}1,0-答案：C 由指数函数性质确定集合A ，然后根据交集定义计算．解：由题意{}0A x x =>，∴{}1,2A B =I .故选：C ．点评：本题考查集合的交集运算，考查指数函数性质，掌握指数函数的性质是解题关键．2．复数z 满足()()325z i --=（i 为虚数单位），则z =( )A ．5i +B ．5i -C ．15i +D ．15i - 答案：A根据复数的除法运算和加法运算计算．解： 532352z i i i=+=++=+-. 故选：A ．点评：本题考查复数的除法和加法运算，属于基础题．3．若双曲线()222105x y a a -=>的离心率为32，则a =（）AB C ．2 D ．3 答案：C首先求出c =，再根据离心率32c e a ==即可求解. 解：由c =所以32c e a ===，解得2a =．故选：C点评：本题考查了双曲线的简单几何性质，需熟记双曲线离心率的计算式子，属于基础题.4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知24S =，5316S S -=，则8S 等于( )A ．50B ．56C ．60D ．64 答案：D用首项1a 和公差d 表示出已知条件并解出，再由等差数列前n 项和公式计算．解：设{}n a 的公差为d ，则124a d +=，5312716S S a d -=+=，所以11a =，2d =，()818818642S a d -=+=. 故选：D ．点评：本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，考查等差数列的基本量运算，属于基础题．5．若函数()2xy f x =-是奇函数，定义域为R ，()11f =-，则()1f -的值是( ) A ．72- B ．134- C ．72 D ．134答案：C根据奇函数定义求解．解：故选：C ．由题意，()()112123f f ---=-+=，()712f -=. 点评：本题考查奇函数的定义，掌握奇函数概念是解题基础．6．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高，锥体的体积公式13V Sh =锥体，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．83B ．3C ．12D ．143答案：D 由三视图还原出原几何体，再根据体积公式计算．解：由三视图知原几何体是下面一个直四棱柱，上面一个四棱锥的组合体，尺寸见三视图，体积为111(24)34(24)32143232V =⨯++⨯⨯+=．故选：D ．点评：本题考查三视图，考查棱柱棱锥的体积公式，解题关键是由三视图还原出原几何体．7．已知()2,1M ，()3,2N ，点P 在圆222x y +=上，则PMN V 的面积的最大值是( )A ．12B ．1C ．32D ．2答案：C求出MN 的长度，求出直线MN 方程，再求得圆心到直线MN 的距离d ，此距离加上圆半径即得圆上的点到直线MN 距离的最大值，从而可得PMN V 的面积的最大值．解：2MN =MN 方程为10x y --=，原点O 到直线MN 距离为222d ==，圆O 半径为2，圆上的点到直线MN 距离的最大值为232222+=， ∴PMN V 的面积的最大值是1323222⨯⨯=. 故选：C ．点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查转化与化归思想．求三角形面积最大值，实质上就是求圆上的点到直线MN 距离的最大值，而这又转化为求圆心到直线的距离．8．函数()222x x y x -=+的部分图象大致为( )A ．B ．C ．D ．答案：A首先确定函数的奇偶性，排除两个选项，然后函数值与2x 比较大小后可得正确选项．解：记2()(22)x x f x y x -==+，则2()(22)()x x f x x f x --=+=，()f x 是偶函数，排除BC ，又222222--+≥⋅=x x x x ，∴22()(22)2x x f x x x -=+≥，因此排除D ，故选：A ．点评：本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可通过研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性，研究特殊的函数值，函数值的大小、正负，变化趋势等等，结合排除法得出正确选项．9．函数sin 64y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移32个单位长度后，得到函数()f x 的图象，则()f x =（）A ．cos 6x πB ．sin 6x πC ．()1cos 6x π- D ．()1sin 6x π- 答案：A利用三角函数的平移变换原则：相对于x “左加右减”即可求解.解：()33sin sin 6246624f x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+⨯+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ sin cos 626x x πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭．故选：A点评：本题考查了三角函数的变换原则，注意左右平移是相对于x 平移，属于基础题.10．执行如图所示的程序框图，若输入18n =，则输出的S 值是( )A ．919B ．1019C ．37D ．1021答案：A根据程序框图，得出程序的数学功能，由数列的裂项相消法求得数列和，从而得出结论．解：由题意111111912335171919S ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪⎝⎭.故选：A ．点评：本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，确定程序功能，结合其它数学知识得出结论．11．在平行四边形ABCD 中，3AB =，2AD =，60BAD ∠=︒，点E 在CD 上，1DE =，则AC BE ⋅=u u u r u u u r ( )A ．2-B ．1-C ．1D ．2答案：B 选取,AB AD u u u r u u u r 为基底，把其它向量用基底表示后计算数量积即可．解：23BE BA AD DE AB AD =++=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r ，29AB =uuu r ，24AD =u u u r ，32cos603AB AD ⋅=⨯⨯︒=u u u r u u u r ，22221()()1333AC BE AB AD AB AD AB AB AD AD ∴⋅=+⋅-+=-+⋅+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选：B ．点评：本题考查平面向量的数量积，解题关键是选取,AB AD u u u r u u u r 为基底，用基底表示其它向量．12，侧面积为，则这个圆锥的外接球体积为( )A ．B ．2C ．D ．2 答案：A 由圆锥侧面积求得圆锥底面半径，从而得圆锥的高，由圆锥的轴截面是其外接球大圆的内接三角形可求得球半径，可得求体积．解：设圆锥底面半径为r r =，r =h ==，∴圆锥的轴截面是等腰直角三角形，直角三角形的斜边就。

山东省泰安市 2020届高三第五次模拟考试(全国模拟)数学(含答案)

22．(本小题满分 12 分) 十九大提出：坚决打赢脱贫攻坚战，做到精准扶贫．某县积极引导农⺠种植一种名贵中药材，从而大大提升了该县村⺠的经济收入．2019 年年底，该机构从该县种植的这种名贵药材的农户中随机抽取了 100 户，统计了他们 2019 年因种植，中药材所获纯利润(单位：万元)的情况(假定农户因种植中药材这一项一年最多获利 11 万元)，统计结果如下表所示：
20.（本小题满分 12 分）
已知点
，点 P 在直线
上运动，请点 Q 满足
，记点 Q 的为曲线 C.
（1）求曲线 C 的方程；
（2）设
，过点 D 的直线交曲线 C 于 A，B 两个不同的点，求证，
.
5
21.（本小题满分 12 分）已知函数
（1）（2）
存在唯一的极小值点；的极小值点为
，证明. .
在△ABC 中，内⻆ A，B，C 所对的边分别为
．且满足_________．
(1)求 sinC；
(2)已知
的外接圆半径为，求△ABC 的边 AB 上的高．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．(本小题满分 12 分)
已知数列的前项和为，且
.
(1)求证：数列
为等比数列；
(2)设
上，且圆 E 上的所有点均在椭圆 C 外，若
的最小值为
的直径⻓相等，则下列说法正确的是
A.椭圆 C 的焦距为 2
B.椭圆 C 的短轴⻓为
，且椭圆 C 的⻓轴⻓恰与圆 E
C.
的最小值为
D.过点 F 的圆 E 的切线斜率为
12.已知函数
A.是
的最小正周期
，则下列结论中，正确的有

2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟五数学文试题Word版含答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题数学（文科）（五）第丨卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合A = {l,2,3},B = {xwZI（x+l）（x—2）vO},则A\JB =A. {1}B. {1,2}C. {0,1,2,3}D. {-1,0,1,2,3}2.复数© = cosx-/sinx,z2 =sinx-zcosx ,则|可・勺| =A. 1B. 2C. 3D. 43.设都是不等于1的正数，则“3" > 3" > 3 ”是“log。

3 < log,3”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.在验证吸烟与是否患肺炎有关的统计中，根据计算结果，认为这两件事情无关的可能性不足则K，的一个可能值是P(K T>K)0. 50 0. 40 0. 25 0. 15 0. 10 0.05 0.025 0.010 0. 005 0.001JK 0. 455 0.708 1.323 2.072 2. 7O6 3.84 5.024 £・7. 879 10. 83635A. 6.635B. 5.024C. 7.897D. 3.8415.如图是一个由两个版圆锥和一个长方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为左视图/ 2龙小兀,2龙，兀A. 6 + 一B・ 8 + — C. 4 + 一D. 4 + -3 3 3 36.己知A,B,C是直线/上不同的三点，点0E/直线.实数x满足关系式x2OA + 2xOB + OC = d9有下列结论：-OA OC>0；®OB'-OA•呢<0；③x的值有且只有一个；④x的值有两个；⑤点B是线段AC的中点.其中正确的个数为A. 1B. 2C. 3D.46.A. B. C. D.7t 2兀 3兀 4龙 5龙7. cos — cos ——cos ——cos ——cos ——=11 11 11 11 11&已知函数 /(x) = sino¥ +JJcos0¥(e >—9 —上单调9则Q =16 2)A. 2B. 3 C 1 D. 59.在MBC 中，内角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,若a 2-b 2= ^c,sin C = 2>/3 sin B ,则4 =A. 30B. 60 C ・ 45 D. 150'\+y<210.设满足< 2x-3y <9 ,则J 2 + y 2的最大值为x>0A. 4B. 9C. 10D. 12 11 •在棱长为1的长方体ABCD-AdCQ 中，E,F 分别是DD r AB 的中点，平面交棱4D 于点P,则PE = A.逅B.迹6 312.已知双曲线C: — g = 1 （" > 0,b > 0）的左焦点为F,过点F 作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为比点P 在双曲线上，且FP = 3FH 9则双曲线的离心率为第II 卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 在[-1,1] ±随机地取一个实数k,则事件“直线y = kx 与圆（x - 5）2 + y 2 = 9相交”发生的概率为 _______________ •B.C. 1D. 0+ j = O,/(x)在区间B. 2亦C.学皿614.设"是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数，将组成"的3个数字按从小到大的排成的三位数记为/(d),按从大到小排成的三位数记为D(a),(例如a = 815,则7(815) = 158,D(815) = 851)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个"，则输出的结果心・15.已知实数兀)•满足x-y/x+I = y/y+3-y,则x +)、的最大值为为 ________________•16.若正数/满足a(2e-f)lni = l (e为自然对数的底数)，则实数"的取值范围为 _______________ •三、解答题：本大题共6小题，共70分•解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.(本题满分12分)已知数列｛©｝的前〃项和为S,_,若®=1,且Sy”-'其中n已(1)求实数/的值和数列｛&｝的通项公式;(2)若数列｛$｝满足仇=log"“求数列、厂的前”项和7；・18・(本题满分12分)如图，在三棱锥P—ABCD中，AABC是等边三角形，D是AC的中点，PA = PC,二面角P-AC-B的大小为60・(1)求证：平面P3D丄平面PAC；(2)求AC与平面PAC所成角的正弦值.19・(本题满分12分)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9, 18,先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛.(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为九心,…,人，从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛. cr=b/筛人& / /输出怡/(i)用所给编号列出所有可能的结果；(ii)设A为事件“编号为4,人的两名运动员至少有一人被抽到”，求事件A发生的概率.20.(本题满分12分)2 2平面直角坐标系冲，过椭圆M :壬+君=1 (“>/,> 0)的右焦点的宜线x + y —= O交M于两点，P为43的中点，且OP的斜率为丄.2(1)求M的方程；(2)CD是M是的两点，若四边形ABCD的对角线CD丄求四边形ABCD面积的最大值.21・(本题满分12分)(1)讨论函数f(x) =—e x的单调性，并证明当x>0时，(x-2)e x+x+2>0i•i I 2(2)证明：当ae[0A)时，函数g⑴="一_¥一匕(％>0)有最小值，设g(x)的最小A值为/7(d),求函数/7(d)的值域.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

开卷教育联盟全国2020届高三五模考试数学(文)试卷及解析

开卷教育联盟全国2020届高三五模考试数学（文）试卷★祝考试顺利★(解析版)时量：120分钟满分：150分1.答题前,考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡相应的位置上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后,再涂选其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|log (4)A x y x ==-,{}2|230B x x x =--≥,则()A B ⋂=R （）.A. (3,4)B. (,1)-∞-C. (,1)(3,4)-∞-⋃D. (1,3)[4,)-⋃+∞【答案】D【解析】求解对数型函数定义域和一元二次不等式,解得,A B ,再通过交运算和补运算求得结果.【详解】由40x ->得4x <,所以{|4}A x x =<；由2230x x --≥得1x ≤-或3x ≥,所以{|1B x x =≤-或3}x ≥.所以{|1A B x x ⋂=≤-或34}x ≤<,则(){|13A B x x ⋂=-<<R 或4}(1,3)[4,)x ≥=-⋃+∞.故选：D.2.已知复数11i z =+,222z i =-,则12z z =（）.A. 12i B. 12i - C. 1122i + D. i【答案】A【解析】利用复数的运算法则,整理化简即可求得结果. 【详解】因为121(1)(22)422(22)(22)82z i i i i i z i i i +++====--+, 故选：A.3.下列说法正确的是（）.A. 命题“若21x =,则1x =”的否命题是“若21x =,则1x ≠”B. “1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件C. 命题“00x ∃<,20010x x ++<”的否定是“0x ∀≥,210x x ++≥”D. 命题“若x y =,则sin sin x y =”的逆否命题是真命题【答案】D【解析】根据否定题和逆否命题的定义,结合命题的否定以及命题充分性和必要性的判断,结合选项,进行逐一判断即可.【详解】命题“若21x =,则1x =”的否命题是“若21x ≠,则1x ≠”,故A 错误；方程2560x x --=的解是1x =-或6,所以“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件,故B 错误；命题“00x ∃<,20010x x ++<”的否定是“0x ∀<,210x x ++≥”,故C 错误；命题“若x y =,则sin sin x y =”是真命题,所以它的逆否命题是真命题,故D 正确.故选：D.4.函数3()e 1=+x x f x 的图象大致是（）。

浙江省2020届高三第五次模拟考试数学(文) PDF版含答案

∴双曲线的离心率 e＝ 2 ＝2 3.(1 分) 33
设椭圆 C 的焦距为 2c，则由椭圆的性质，
c＝ 3， a2 a12＋43b2＝1，可得 c2＝a2－b2， (3 分) 解得 a2＝4，b2＝1，(4 分) ∴椭圆 C 的方程为x2＋y2＝1.(5 分)
4 (Ⅱ)证法一：∵以 AB 为直径的圆过坐标原点，
又 A1O⊥平面 ABC，∴A1O⊥AB.
∵CE∩A1O＝O，
∴AB⊥平面 A1EC，
∴AB⊥A1C.(4 分)
又四边形 A1ACC1 是菱形， ∴A1C⊥AC1. ∵AC1∩AB＝A，(5 分) ∴A1C⊥平面 ABC1.(6 分)
(Ⅱ)作 CF⊥A1E，垂足为点 F，
∵AB⊥平面 A1EC，
∴CF⊥AB.
∴当 x∈
2a 时，f(x)单调递增，
－ 1 ，＋∞
当 x∈
2a
时，f(x)单调递减．(5 分)
综上可知，当 a≥0 时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
0，－ 1
当 a<0 时，f(x)在
2a 上单调递增，
－ 1 ，＋∞
在
2a
上单调递减．(6 分)
(Ⅱ)解法一：对任意 x>0，f(x)≤ax2＋ax－1恒成立， 2
2 ＝3 3，(10 分)
sinB sinA
sinB
6
3
∴△ABC 的周长为 a＋b＋c＝3 3＋2 6＋3－ 6＝3 3＋ 6＋3.(12 分)
18．解：(Ⅰ)证明：如图，设△ABC 的中心为 O，
连接 CO 并延长交 AB 于点 E，连接 A1E，A1O.
∵△ABC 是等边三角形，
∴CE⊥AB.(2 分)
∴当 a≥ e时满足对于任意 x>0， e

江苏省2020届高三高考全真模拟(五)数学试题 Word版含解析

2020年江苏高考数学全真模拟试卷（五）（南通教研室）
数学Ⅰ试题
A．必做题部分
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上
1.已知集合，，，则实数a的值为_______．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据并集的基本运算求解即可.
【详解】因为 , , ,故 .
【答案】44
【解析】
【分析】
根据系统抽样抽出的编号成等差数列求解即可.
【详解】由题可知,抽到的编号成等差数列,且公差为 .故抽到的最大编号为 .
故答案为：44
【点睛】本题主要考查了样本抽样的问题,需要根据抽出的编号成等差数列求解,属于基础题.
6.函数的定义域为．
【答案】
【解析】
试题分析：由题意得，即定义域为
（1）若三棱柱的侧面积等于底面积，求此三棱柱的底面边长；
（2）当三棱柱的底面边长为何值时，三棱柱的体积最大？
【答案】（1）18cm（2）18cm
【解析】
分析】
(1) 设三棱柱的底面边长为 ,再根据三角形中的关系表达出底面积和与侧面积的关系式再解方程即可.
(2)同(1)可知 ,再求导分析函数的单调性求最大值即可.
故 ,
所以
故 .
【点睛】本题主要考查了同角三角函数的公式以及和差角的三角函数公式,需要根据题意分析角度之间的关系,选择合适的公式化简求解.属于中档题.
16.如图，在四棱锥中，四边形ABCD为平行四边形，E为侧棱PD的中点，O为AC与BD的交点．
（1）求证：平面PBC；
（2）若平面平面ABCD，，，，求证：．
【详解】由题意得 ,故 ,
所以 ,

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