两个重要极限教案
高等数学电子教案第二章第8讲-两个重要极限二课时教案首页
这是因为令u(x)则u0于是
((x)0)
二、第二重要极限： =e4根据数列收敛准则可以证明极限 存在
设 现证明数列{xn}是单调有界的
按牛顿二项公式有
比较xnxn1的展开式可以看出除前两项外xn的每一项都小于xn1的对应项并且xn1还多了最后一项其值大于0因此
《高等数学》课程课时教案
课题名称
第八讲两个重要极限（二）
课次
8
授课日期
10.20（1、2）
10.21（1、2）
10.21（3、4）
10.24（3、4）
授课班级
14热电1
14化工
14化设
14煤化
授课地点
14热电1
14化工
14化设
14煤化
教学目标
与
教学要求
1.会用第二重要极限求极限。
2.理解第二重要极限的推广形式。
例1求 10min
解：
例2求 8min
解：令 则 当 时， 所以有
例3求 6min
解：
例4求 10min
解：令
解得 当 时，
例5求 6min
解令tx则x时t于是
或
总结：1、 5min
2、 ((x)0)
课后作业
P36:45 46 47.
教学反思
重点难点
及
解决办法
重点:第二重要极限的应用。
解决办法:通过典型例题讲解，学生有针对性的做典型习题。
难点：第二重要极限形式的推广。
解决办法:用对比法推广第二重要极限。
教学设计
引课：上节我们学了第一重要极限，今天我们再学用第二重要极限求极限
的方法。5min
两个重要极限教案(修改
两个重要极限教案教学目标：1. 理解极限的定义和性质。
2. 掌握两个重要极限的表达式和应用。
3. 能够运用两个重要极限解决实际问题。
教学内容：第一章：极限的定义和性质1.1 极限的定义1.2 极限的性质1.3 极限的存在条件第二章：两个重要极限2.1 极限lim(x->0) (sin x / x) = 12.2 极限lim(x->∞) (sin x / x) = 02.3 两个重要极限的证明和应用第三章：极限的计算方法3.1 直接计算法3.2 因式分解法3.3 代数运算法第四章：无穷小和无穷大4.1 无穷小的定义和性质4.2 无穷大的定义和性质4.3 无穷小和无穷大的比较第五章：极限的运算法则5.1 极限的基本运算法则5.2 极限的复合运算法则5.3 极限的逆运算教学过程：第一章：1.1 引入极限的概念，引导学生理解极限的定义。
1.2 引导学生通过举例和观察，总结极限的性质。
1.3 引导学生探讨极限的存在条件，并举例说明。
第二章：2.1 引导学生理解两个重要极限的表达式，并通过图形和实例进行解释。
2.2 引导学生掌握两个重要极限的证明方法，并能够运用到实际问题中。
2.3 引导学生通过练习题，巩固两个重要极限的应用。
第三章：3.1 引导学生学习直接计算法，并通过例子进行演示。
3.2 引导学生学习因式分解法，并通过例子进行演示。
3.3 引导学生学习代数运算法，并通过例子进行演示。
第四章：4.1 引导学生理解无穷小的概念，并通过例子进行解释。
4.2 引导学生理解无穷大的概念，并通过例子进行解释。
4.3 引导学生掌握无穷小和无穷大的比较方法，并能够运用到实际问题中。
第五章：5.1 引导学生学习极限的基本运算法则，并通过例子进行演示。
5.2 引导学生学习极限的复合运算法则，并通过例子进行演示。
5.3 引导学生学习极限的逆运算，并通过例子进行演示。
教学评价：1. 课堂讲解的清晰度和连贯性。
2. 学生的参与度和积极性。
高等数学教学教案 极限存在准则 两个重要极限(优秀版)word资料
高等数学教学教案极限存在准则两个重要极限（优秀版）word资料§1.6极限存在准则两个重要极限授课次序061 ,, n11 {},{},22 n nb=+⋅⋅⋅+数列单调减少且有下界，零或小于零的任何常数都是其下界。
下界里有个最大的吗？有！数列单调增加且有上界，1或大于1的任何常数都是其上界．上界里有个最小的吗？也有！现在请用一下你的想象力：对于单调增加有上界的数列}nx，它的图像是数轴上的一个点列，点列中的点在数轴上会不停的向前走，但是不可能越过它的最小上界a．由于数列有无穷多项，从某一项之后的所{}lim n n a n N →∞∴∀>单调增加，这意味着所以，§1. 6极限存在准则 两个重要极限准则I如果数列{x n }、{y n }及{z n }满足下列条件:(1)y n ≤x n ≤z n (n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅), (2)a y n n =∞→lim , a z n n =∞→lim ,那么数列{x n }的极限存在, 且a x n n =∞→lim .证明: 因为a y n n =∞→lim , a z n n =∞→lim , 根据数列极限的定义, ∀ε >0, ∃N 1>0, 当n >N 1时, 有|yn -a |<ε ; 又∃N 2>0,当n >N 2时, 有|z n -a |<ε . 现取N =max{N 1, N 2}, 则当 n >N 时, 有 |y n -a |<ε , |zn -a |<ε 同时成立, 即 a -ε<y n <a +ε , a -ε<z n <a +ε , 同时成立.又因y n ≤x n ≤z n , 所以当 n >N 时, 有a -ε<y n ≤x n ≤z n <a +ε , 即 |x n -a |<ε . 这就证明了a x n n =∞→lim .简要证明: 由条件(2), ∀ε >0, ∃N >0, 当n >N 时, 有|y n -a |<ε 及|z n -a |<ε , 即有 a -ε<y n <a +ε , a -ε<z n <a +ε , 由条件(1), 有 a -ε<y n ≤x n ≤z n <a +ε , 即 |x n -a |<ε . 这就证明了a x n n =∞→lim .准则I ' 如果函数f (x )、g (x )及h (x )满足下列条件:(1) g (x )≤f (x )≤h (x ); (2) lim g (x )=A , lim h (x )=A ; 那么lim f (x )存在, 且lim f (x )=A .注 如果上述极限过程是x →x 0, 要求函数在x 0的某一去心邻域内有定义, 上述极限过程是x →∞, 要求函数当|x |>M 时有定义, 准则I 及准则I ' 称为夹逼准则.下面根据准则I '证明第一个重要极限: 1sin lim 0=→xx x .证明 首先注意到, 函数x x sin 对于一切x ≠0都有定义. 参看附图: 图中的圆为单位圆,因为 S ∆AOB <S 扇形AOB <S ∆AOD , 所以21sin x <21x <21tan x , 即sin x <x <tan x . 不等号各边都除以sin x , 就有x x x cos 1sin 1<<, 或1sin cos <<xx x .注意此不等式当-2 π<x <0时也成立. 而1cos lim 0=→x x , 根据准则I ', 1sin lim 0=→x x x .简要证明: 参看附图, 设圆心角∠AOB =x (20π<<x ). 显然 BC < AB <AD , 因此 sin x < x <备注栏高等数学课程教学设计方案中央电大教务处教学管理科（20XX年04月15日）浏览人次627（修订稿）一、课程概况1. 课程的性质、任务“高等数学”课程是中央广播电视大学水利水电专业的一门必修的重要基础理论课，是为培养学生的基本素质、学习后续课程服务的。
极限存在准则 两个重要极限教案
§1.7 极限存在准则 两个重要极限求函数的极限问题，有些可用上节运算法则获得解决，但更多的远不能解决，例已知∞→x 时， ()0sin →=xxx f , 但0→x 时，()?sin →=x x x f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡00是否有？如果有，怎样求？再如()∞→+=n nn f n )11(无限多个积，n 换成x ？一．极限存在准则I1．准则I 如果数列() ,2,1,,=n z y x n n n 满足：(1)() ,2,1=≤≤n z x y n n n (2)a y n n =∞→lim , a z n n =∞→lim那么数列n x 的极限存在，且a x n n =∞→lim .证：∵a y n n =∞→lim , a z n n =∞→lim ，∴10N ∃>∀ε，当1N n >时，有ε<-a y n .同理20N ∃>∀ε，当2N n >时，有ε<-a z n . 取{}21,max N N N =，则当N n >时， 有ε<-a y n , ε<-a z n 同时成立即εε+<<-a y a n ,εε+<<-a z a n ,而() ,2,1=≤≤n z x y n n n n ，∴εε+<≤≤<-a z x y a n n n ,即ε<-a x n . 故a x n n =∞→lim 。
*数列极限存在准则I 可推广到函数的极限。
准则I ˊ如果(1) ),ˆ(0r x U x ∈ (或M x >)时，有()()()x h x f x g ≤≤成立；(2)()A x g =lim , ()A x h =lim (0x x →或∞→x ),那么()A x h =lim (0x x →或∞→x ). 准则I,I ′称为夹逼准则。
2．利用准则I ′证明第一个重要极限：1sin lim0=→xxx证：函数xxsin 在0≠x 时有定义 单位圆中，AOB ∆的面积＜扇形AOB 的面积＜AOD ∆的面积即x sin 21 <<x 21 x tan 21, 1sin cos <<x xx (1)(∵用x -代x 时，x cos 与xx sin 都不变号， ∴对⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,2πx 也成立)。
最新(两个重要极限)教案资料
定义2：如果对任何正整数 ，恒有 ，则 为单调减少数列。
定义3：如果存在两个常数 和 ，使对任何正整数 ，恒有 ，则 为有界数列。
准则II单调有界数列必有极限
例如， ： 可看出， 单调减少，且 ，所以， 存在， 。
二、第二个重要极限
互动
引导学生从图中观察特点
对重要极限理解的注意事项
通过例子加深对重要极限变形理解
通过练习巩固对第一个重要极限的掌握
理解单调数列的概念
掌握第二个重要极限
Ｂｅａｄｗｒｋｓ公司还组织各国的“芝自制饰品店”定期进行作品交流，体现东方女性聪慧的作品曾在其他国家大受欢迎；同样，自各国作品也曾无数次启发过中国姑娘们的灵感，这里更是创作的源泉。
问题：如何求 ？
准则1（夹逼定理）设函数 在 的某一邻域 内满足
且有极限 ，则有
例1求
解由题意，当 时， ，因为 ，由定理得
例2.求
解由题意 ，因为 ，
由定理得， ，即 。
例3求
解
即
因
所以由定理得 。
。
一、第一个重要极限
．
证如右图，作单位圆O,
设圆心角 ,
过点A作圆O的切线，交0B延长线于点C，
过点B作 ，交OA于点D，于是，得 ，
高等数学课程教案
授课题目
§2.6两个重要极限
主讲人
刘艳
授课时间
2013年11月9日
课时安排
两课时
教学目的：
（1）掌握两个重要极限公式的特点及其变形式，并能运用其求某些函数的极限；
（2）通过对重要极限公式的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯，同时激发学生的学习兴趣。
两个重要极限教案(修改稿)
两个重要极限教案(修改稿)教学目标：1. 理解并掌握两个重要极限的概念和应用。
2. 能够运用两个重要极限解决相关数学问题。
3. 提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学内容：1. 引入两个重要极限的概念。
2. 解释两个重要极限的推导过程。
3. 展示两个重要极限的应用实例。
4. 练习题和解答。
教学准备：1. 教案、PPT或黑板。
2. 练习题。
教学过程：一、引入（5分钟）1. 引导学生回顾极限的概念，即当自变量趋向于某个值时，函数值趋向于某个确定的值。
2. 提出问题：在数学中，有哪些重要的极限值得我们学习和掌握呢？二、第一个重要极限：极限的定义与性质（15分钟）1. 给出第一个重要极限的定义：当x趋向于0时，sinx/x趋向于1。
2. 通过图形、实际例子或证明来说明这个极限的性质和意义。
3. 解释这个极限在数学和物理中的应用。
三、第二个重要极限：极限的推导过程（15分钟）1. 给出第二个重要极限的定义：当x趋向于无穷大时，e^x趋向于无穷大，lnx 趋向于无穷大。
2. 通过图形、实际例子或证明来说明这个极限的推导过程。
3. 解释这个极限在数学和自然科学中的应用。
四、应用实例（15分钟）1. 举例说明如何运用这两个重要极限解决实际问题，如计算极限值、解决优化问题等。
2. 引导学生思考如何将这两个极限应用到自己的学习和工作中。
五、练习题和解答（10分钟）1. 提供一些有关两个重要极限的练习题，让学生独立完成。
2. 解答学生的问题，给予指导和帮助。
教学评价：1. 课后收集学生的练习题答案，评估学生对两个重要极限的理解和应用能力。
2. 在下一节课开始时，简要回顾本节课的内容，检查学生的掌握情况。
1. 教师应根据学生的实际情况，适当调整教学内容和教学时间。
2. 鼓励学生在课堂上积极提问和参与讨论，提高学生的学习兴趣和主动性。
六、极限的计算方法（15分钟）1. 介绍几种计算极限的方法，如直接计算、代数方法、有理化方法、泰勒展开等。
高数教案 两个重要极限及无穷小的比较
两个重要极限和无穷小的比较
授课类型
理论课
首次授课时间
年 月 日
学时
2
教学目标
1、掌握两个重要极限的一般形式及特点
2、会运用两个重要极限求相关极限
3、理解等价，同阶，高阶无穷小
重点与难点
重要极限的运用
教学手段与方法
1 、多媒体 PPT 教学 2 、课堂讲解3 、学生练习
教学过程：（包括授课思路、过程设计、讲解要点及各部分具体内容、时间分配等）
说明：（1）这个重要极限主要解决含有三角函数的 型极限．
（2）为了强调其一般形式,我们把它形象地写成 (方框□代表同一变量)．
例6求 .
解
例7求 .
解 ．
例8 求 ．
解
由例7知
故
2. EMBED Equation.3 ．
解释说明：列出 的数值表(如下表)，观察其变化趋势.
1
2
3
4
5
10
100
1000
(2)若 ，则称 与 是同阶无穷小，特别地，若 ，则称 与 是等价无穷小，记为 ．
例如， 即 ；
即
定理 设 ；
则 ．
例12求 ．
解当 时， , ,
所以
例13 求
解 因为当 时, ,
,所以
常用的几个等价无穷小代换
当 时,有
小结：一、两个重要极限
二、无穷小的比较
思考题、讨论题、作业
思考题1.下列运算错在何处：
10000
…….
2
2.250
2.370
2.441
2.488
2.594
2.705
2.717
2.718
两个重要极限教案
正确理解公式 ，并能运用公式及其变形式解决有关函数极限的计算。
教学难点
公式 的证明、公式及其变形式灵活运用。
教法学法
本节课采用实验法、讨论法以及讲练结合的教学方法。通过复习函数极限的定义以及函数极限的运算法则，配以适当的练习，强化学生对极限概念的理解和运算能力。在公式的引入上通过设疑引导学生尝试、讨论、猜想，并借助多媒体动画帮助学生理解结论，锻炼学生运用数学工具解决数学问题的意识，提高学生的学习兴趣。对于公式的证明，所涉及的内容比较多，逻辑性较强，在老师的引导下了解论证过程。在公式的运用上按照循序渐进的原则，设计梯度、降低难度，留出学生的思考空间，让学生去尝试、联想、探索，以独立思考和相互交流相结合的形式，在教师的指导下分析和解决问题，帮助学生获得成功的体验。
教师引导，学生回忆口述，为了解公式的证明、正确计算有关函数极限作铺垫，达到温故知新的目的。
学生分组巩固练习
设疑激趣
分组讨论
教师视情况引导学生使用计算器代入进行近似计算，并猜想。
利用几何画板事先制作课件，拖动动点，让学生观察比值的变化，验证猜想。体会数形结合思想的作用
教师讲授证明过程，学生理解识记，记住公式特征。
4.利用此公式求极限时，一定要注意变量的变化趋势，不能一概而论，造成思维定势，如求 。
作业
P A组1
强调：①极限中函数 的分子分母都是当 时的无穷小。
②这里的自变量 是用弧度度量的，以后引用这个极限时必须用弧度作单位。
③在利用这个极限求较复杂函数的极限时，必须注意所有含有自变量的表达形式应一致。
④
四、公式的应用
例1：求⑴ ⑵
解：⑴
⑵ = =
=
回顾反思：1、求此类函数的极限其关键是把此函数转化为 与另一个函数的乘积，若另一个函数的极限可求，则可求出此函数的极限。
极限存在准则两个重要极限教案
极限存在准则两个重要极限教案一、教学目标1. 理解极限存在的概念，掌握极限的定义。
2. 学习两个重要极限：e和π的极限。
3. 学会运用极限存在准则判断极限的存在性。
二、教学重点与难点1. 教学重点：极限存在的概念，两个重要极限的推导及应用。
2. 教学难点：极限存在准则的证明及运用。
三、教学准备1. 教学材料：教材、教案、PPT、黑板。
2. 教学工具：投影仪、计算机。
四、教学过程1. 导入：回顾极限的基本概念，引导学生思考极限存在的意义。
2. 讲解极限存在的概念：介绍极限的定义，解释极限存在的意义。
3. 推导两个重要极限：a. 推导e的极限：x→0时，(1+x)^(1/x)的极限。
b. 推导π的极限：x→0时，(1+x)^2/2 x^2的极限。
4. 讲解极限存在准则：a. 单调有界定理：判断函数在区间上单调有界，即可得出极限存在。
b. 夹逼定理：利用两个单调有界的函数夹逼目标函数，得出极限存在。
5. 例题讲解：运用极限存在准则判断给定函数极限的存在性。
6. 课堂练习：让学生独立判断一些函数极限的存在性，巩固所学知识。
7. 总结：回顾本节课所学内容，强调极限存在准则的重要性。
五、课后作业1. 复习本节课所学内容，巩固极限存在准则。
2. 完成课后练习题，提高判断极限存在性的能力。
3. 预习下一节课内容，了解极限的性质和运算。
六、教学拓展1. 引入极限存在定理：讨论函数在区间上的连续性，结合极限存在定理，加深对极限存在性的理解。
2. 探讨极限的存在性与函数性质之间的关系：分析单调性、有界性与极限存在性的联系。
七、案例分析1. 分析实际问题中的极限存在性：例如，在物理学中，研究物体运动速度趋于某一值的情况。
2. 引导学生运用极限存在性解决问题，培养学生的实际应用能力。
八、教学互动1. 组织小组讨论：让学生分组讨论极限存在性准则的应用，分享解题心得。
2. 开展课堂提问：鼓励学生主动提问，解答疑难问题。
九、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，总结极限存在准则及其应用。
两个重要极限教案(修改
两个重要极限教案（修改）一、教学目标：1. 让学生理解两个重要极限的概念和意义。
2. 让学生掌握两个重要极限的推导过程。
3. 让学生能够运用两个重要极限解决实际问题。
二、教学内容：1. 极限概念的引入。
2. 两个重要极限的定义和推导。
3. 两个重要极限的应用。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：两个重要极限的概念、推导和应用。
2. 教学难点：两个重要极限的推导过程和实际应用。
四、教学方法与手段：1. 采用讲授法，讲解两个重要极限的概念、推导和应用。
2. 利用多媒体课件，展示两个重要极限的推导过程和实际应用。
3. 进行课堂练习，巩固学生对两个重要极限的理解和应用。
五、教学过程：1. 引入极限概念，引导学生理解极限的思想。
2. 讲解两个重要极限的定义和推导，让学生掌握推导过程。
3. 进行课堂练习，让学生运用两个重要极限解决实际问题。
4. 总结两个重要极限的应用，强调其在数学和物理中的重要性。
5. 布置课后作业，巩固学生对两个重要极限的理解和应用。
教学评价：通过课堂讲解、课堂练习和课后作业，评价学生对两个重要极限的概念、推导和应用的掌握程度。
关注学生在解决问题时的思维过程和方法，培养学生的数学思维能力。
六、教学目标：1. 让学生理解极限的基本性质和运算规则。
2. 让学生掌握极限的求解方法，如直接求极限、夹逼定理、单调有界定理等。
3. 让学生能够运用极限的性质和求解方法解决实际问题。
七、教学内容：1. 极限的基本性质：保号性、保不等式性、保单调性等。
2. 极限的运算规则：加减乘除、乘方、对数等。
3. 极限的求解方法：直接求极限、夹逼定理、单调有界定理等。
4. 极限的实际应用：解决函数的极值、曲线的切线等问题。
八、教学重点与难点：1. 教学重点：极限的基本性质、运算规则和求解方法。
2. 教学难点：极限的求解方法和实际应用。
九、教学方法与手段：1. 采用讲授法，讲解极限的基本性质、运算规则和求解方法。
2. 利用多媒体课件，展示极限的求解过程和实际应用。
极限存在准则两个重要极限教案
极限存在准则两个重要极限教案一、教学目标1. 让学生理解极限存在的概念，掌握极限的定义和性质。
2. 让学生掌握两个重要极限：e^x 和sin x 的极限存在性。
3. 培养学生运用极限思想解决实际问题的能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：极限存在的概念，两个重要极限的推导及应用。
2. 教学难点：理解极限过程，灵活运用极限思想解决问题。
三、教学方法1. 采用讲授法，讲解极限的概念、性质和两个重要极限的推导过程。
2. 运用案例分析法，引导学生运用极限思想解决实际问题。
3. 开展小组讨论，培养学生的合作能力和思维能力。
四、教学准备1. 教案、PPT、教材等相关教学资源。
2. 计算机、投影仪等教学设备。
五、教学过程1. 导入新课：回顾极限的基本概念和性质，引导学生思考极限存在的意义。
2. 讲解极限存在的概念，阐述极限的重要性和应用范围。
3. 推导第一个重要极限：e^x 的极限存在性。
a. 讲解e^x 的定义和性质。
b. 引导学生运用极限思想推导e^x 的极限存在性。
4. 推导第二个重要极限：sin x 的极限存在性。
a. 讲解sin x 的定义和性质。
b. 引导学生运用极限思想推导sin x 的极限存在性。
5. 课堂练习：布置相关习题，让学生巩固所学内容。
6. 总结与展望：对本节课内容进行总结，强调极限存在的意义和应用。
7. 布置作业：布置课后习题，巩固所学知识。
8. 课后辅导：针对学生存在的问题进行个别辅导，提高学生的学习效果。
六、教学拓展与应用1. 让学生了解极限存在在其他领域的应用，如物理学、工程学等。
2. 引导学生运用极限思想解决实际问题，如求解函数极限、导数、积分等。
3. 分析极限在实际问题中的作用，培养学生运用极限思维分析问题的能力。
七、极限存在与连续性的关系1. 讲解连续函数的极限存在性定理。
2. 分析连续函数在其极限点处的性质，如连续性、导数存在等。
3. 引导学生理解连续性与极限存在的关系，提高学生对连续性的认识。
高等数学教案 1.4 两个重要极限
§1.4 两条极限存在准则 两个重要极限【教学内容】：1、夹逼准则2、单调有界准则3、两个重要极限【教学目的】：1、了解函数和数列的极限存在准则2、会用两个重要极限求极限【教学重点】：应用两个重要极限求极限【教学难点】：应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在，并求极限。
【教学设计】：首先通过几个具体的数列的求极限例子：从有限到无穷，从已知到未知，引入新知识。
介绍两条极限存在准则（夹逼准则，单调有界准则）及其利用他们求数列函数的极限（50分钟）。
再介绍两个重要极限及x xxx (1sin lim 0=→为弧度）的证明（20分钟），讲解例题（20分钟），课堂练习（10分钟）。
【教学内容】：引入：考虑下面几个数列的极限1、∑=∞→+1000121limi n i n 1000个0相加，极限等于0。
2、∑=∞→+ni n in 121lim 无穷多个“0”相加，极限不能确定。
3、n n x ∞→lim ，其中12-+=n n x x ，21=x ，极限不能确定。
对于2、3就需要用新知识来解决 一、夹逼准则夹逼准则：当),(0δx U x o∈时，有)()()(x h x g x f ≤≤，且A x f x x =→)(lim 0=)(lim 0x h x x →，则A x g x x =→)(lim 0。
推论：设}{n x 、}{n y 、}{n z 都是数列，且满足n n n z y x ≤≤，又=∞→n n x lim A z n n =∞→lim ，则有A y n n =∞→lim 。
例1、 求∑=∞→+ni n in 121lim 。
解：因为=+12n n 111111222++++++n n n ≤++++++≤n n n n 22212111nn nn nn ++++++222111 nn n +=2而=++∞→1lim2n nn 1lim 2=++∞→nn nn所以∑=∞→+ni n in 121lim =1注意：夹逼准则应恰当结合“放缩法”使用 二、单调有界准则单调有界数列必有极限（1）单调上升有上界的数列，极限一定存在； （2）单调下降有下界的数列，极限一定存在。
两个重要极限教案(修改稿)
两个重要极限教案(修改稿)章节一：引言与极限概念的复习教学目标：1. 理解极限的概念及其在数学分析中的重要性。
2. 复习函数在一点附近的性质以及极限的定义。
教学内容：1. 引入极限的概念，解释极限在数学分析中的作用。
2. 复习函数在一点附近的性质，包括连续性、可导性等。
3. 回顾极限的定义，包括左极限、右极限以及极限的存在性。
教学方法：1. 通过举例和问题引导students 理解极限的概念。
2. 通过图形和实际例子解释函数在一点附近的性质。
3. 通过练习题帮助students 复习和巩固极限的定义。
章节二：极限的计算方法教学目标：1. 掌握常见的极限计算方法，包括直接代入法、因式分解法、有理化法等。
2. 学会运用极限的性质和运算法则进行极限的计算。
教学内容：1. 介绍常见的极限计算方法，包括直接代入法、因式分解法、有理化法等。
2. 讲解极限的性质和运算法则，如无穷小和无穷大的性质、四则运算法则等。
3. 通过例子和练习题讲解和巩固极限的计算方法。
教学方法：1. 通过讲解和示例演示常见的极限计算方法。
2. 通过问题和解题方法的讨论，帮助students 理解和掌握极限的性质和运算法则。
3. 通过练习题和问题引导学生运用极限的计算方法解决实际问题。
章节三：无穷小和无穷大的概念教学目标：1. 理解无穷小和无穷大的概念及其在极限计算中的应用。
2. 学会运用无穷小和无穷大的性质进行极限的计算。
教学内容：1. 介绍无穷小和无穷大的概念，包括无穷小和无穷大的定义、性质等。
2. 讲解无穷小和无穷大的性质，如无穷小的比较、无穷大的比较等。
3. 通过例子和练习题讲解和巩固无穷小和无穷大的应用。
教学方法：1. 通过讲解和示例演示无穷小和无穷大的概念和性质。
2. 通过问题和解题方法的讨论，帮助students 理解和掌握无穷小和无穷大的应用。
3. 通过练习题和问题引导学生运用无穷小和无穷大的性质进行极限的计算。
章节四：极限的存在性教学目标：1. 理解极限的存在性及其在数学分析中的应用。
【免费下载】34两个重要的极限
2、明 lim f (x) 不存在.如 lim sin 1 .
x
证明中用到归结原则，数列极限的 Cauchy 准则.
x
x
§3.4 两个重要的极限
一、 lim sin x 1 的证明 x0 x
在单位圆盘 D {(x, y) | x2 y 2 1} 上， x 是圆心角 AOB ，以弧度计，即它恰好等于 AAB ,
x 2
x 2
，则 x
(x 0) ，
.
x,
第三章 函数极限
显然成立，而 x 0 时等号成立，且
0时
D B x 0 CA
3
《数学分析》上册教案
证明 当 m 0 时
当 m 0 时原式 0 .
注
严格的；但已知 lim x0
lim
n
f
三、证明
(xn )
利用归结原则，可求数列极限.如求 lim
第三章 函数极限
2
《数学分析》上册教案
而 sin x BC 是弦长 BB 之半，它的几何意义是
即圆心角趋于 0 时，对应的弦长与弧长之比趋于 1.
证明
设
0 x
用偶函数性质，这不等式在 2
令
x 0,
2,
lim cos x 1
x0
sin x x
2sin x 2x
BB BAB
2、
lim
x
x
x sin x x2 4
例 lim sin x 1 . x0 x
二 、关于归结原则(Heine 定理)
(5x 1)90
0
.
1
2 3
[整理]2.3两个重要极限 单元教学设计
![[整理]2.3两个重要极限 单元教学设计](https://img.taocdn.com/s3/m/9ed18253783e0912a3162a2a.png)
教师画图讲解ຫໍສະໝຸດ 教师提示分组研讨15分钟
3
（任务2）
应用
学生先讨论：如何应用这个极限？ 对吗？为什么？
例1
例2
例3
例4
教师启发讲解
板书
师生研讨
30分钟
4
（任务3）
理解
（1）这个极限要注意什么？
（2）你打算如何使用这个极限？
（3）
教师画图讲解
学生听讲
学生讨论
15分钟
5
（任务4）
应用
例1
例2
例3 （注：这个也是公式）
例4
教师提示，引导学生注意
黑板演示
学生讨论
30分钟
6
（任务5）
无穷小替换定理
设
则
（1）无穷小替换要注意什么事项？
（2）你都知知道那些常用等价无穷小？总结出来，并记忆
用无穷小替换定理处理下题
例1
例2
例3
教师讲解
黑板演示
学生听讲
40分钟
7
案例
案例1求 （要求：两种方法）
案例2求
案例3求证 ， 与 是等价无穷小
案例4 （注：这个问题是个竞赛题，需要学生讨论解决）
教师指导
45
作业
28页1 2
课后
体会
高等数学应用205例李心灿主编高等教育出版社
二、教学设计
步骤
教学内容
教学方法
教学手段
学生活动
时间
分配
1
（告知）
本单元学习目标：
并应用
（五）规划环境影响评价的跟踪评价 并应用
运用无穷小替换求极限
3.政府部门规章
高等数学教案 第4课 极限存在准则与两个重要极限、无穷小阶的比较
课题极限存在准则与两个重要极限、无穷小阶的比较课时2课时（90 min）教学目标知识技能目标：（1）掌握极限存在准则与两个重要极限。
（2）理解无穷小阶的比较。
思政育人目标：通过学习极限存在准则与两个重要极限、无穷小阶的比较，培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神教学重难点教学重点：极限存在准则Ⅰ、极限存在准则Ⅱ教学难点：利用两个重要极限公式求极限的方法教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：考勤（2 min）→知识讲解（35 min）→问题讨论（10 min）第2节课：知识讲解（20 min）→问题讨论（10 min）→课堂测验（10 min）→课堂小结（5 min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课考勤（2 min）⏹【教师】清点上课人数，记录好考勤⏹【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解（35 min）⏹【教师】讲解准则Ⅰ与第一个重要极限，并通过例题讲解介绍其应用准则Ⅰ（夹逼准则）设数列{}na，{}nb，{}nc满足：（1）00N n N+∃∈>Z，时，n n na c b，（2）lim limn nn na b a→∞→∞==（a为常数），则limnnc a→∞=．学习极限存在准则与两个重要极限。
边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化2例1 求222111lim 2n n n n n n →∞⎛⎫+++⎪+π+π+π⎝⎭．解 对n ∀∈N ，有22221112n nn n n n n n n n n ⎛⎫+++⋅=⎪+π+π+π+π+π⎝⎭， 2222221112n n n n n n n n n n ⎛⎫+++⋅=⎪+π+π+π+π+π⎝⎭， 而1limlim 11n n n n n→∞→∞==π+π+，2221lim lim 11n n n n n →∞→∞==π+π+． 由夹逼准则可知222111lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+π+π+π⎝⎭．上述数列极限存在准则可以推广到函数的极限：准则Ⅰ'（夹逼准则） 若函数()()()f x g x h x ，，在点0x 的某去心邻域内满足： （1）()()()g x f x h x ，（2）0lim ()lim ()x x x x g x h x A →→==，则有0lim ()x x f x A →=．作为准则Ⅰ及准则Ⅰ'的应用，下面证明一个重要极限：0sin lim1x xx→=．证明 在图1-25所示的单位圆中，设圆心角BOA x ∠=，AD 切圆O 于A ，且与OB 延长线相交于D ，于是有AOB AOB OAD S S S <<△△△扇形，即111sin tan 222x x x <<，sin tan x x x <<，不等式两边同时3除以sin x 得11sin cos x x x<<， 不等式两边同时取倒数得sin cos 1x x x <<，02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，． 当02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，02x π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，，有sin()cos()1x x x--<<-，同样可得sin cos 1x x x <<．所以当22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，sin cos 1xx x<<．又因为0limcos cos01x x →==，0lim11x →=，由判别准则I 知0sin lim 1x xx →=．图1-25例2 求0tan limx xx→．解 00tan sin 11limlim 11cos cos0x x x x x x x →→=⋅=⋅=．例3 求0sin limx kxx→．解 设t kx =，则当0x →时，0t kx =→，于是4000sin sin sin limlim lim 1x x t kx k kx tk k k x kx t →→→==⋅=⨯=．例4 求0sin limsin x axbx→．解 0000sin sin limsin lim lim sin sin sin lim x x x x ax axax a x x bx bx bx bx x→→→→===． 例5 求sin 2()limx x x →π-π-π．解 设t x =-π，则x →π时，0t →，所以0sin 2()sin 2limlim 2x t x tx t→π→-π==-π．⏹ 【学生】掌握准则Ⅰ与第一个重要极限⏹ 【教师】讲解准则Ⅱ与第二个重要极限，并通过例题讲解介绍其应用定义1 如果数列{}n a 满足121n n a a a a +，则称数列是单调递增的；如果数列{}n a 满足121n n a a a a +，则称数列是单调递减的．单调递增数列与单调递减数列统称为单调数列．准则Ⅱ（单调有界原理） 单调有界的数列必存在极限． 不妨设{}n a 是一单调递增的数列，且0M ∃>，使对n ∀，n a M ，则数列{}n a 的通项n a 随n 的增大而不断在数轴上向右平移，但不会超过点M ．因此，n a 必然无限接近于某个实数()n a a a M <<，a 便是数列{}n a 的极限，如图1-26所示．图1-265证明：1lim 1e xx x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（详见教材）例6 求4lim 1xx x →∞⎛⎫+⎪⎝⎭． 解法1 设4t x=，则当x →∞时，0t →，所以 4144004lim 1lim(1)lim[(1)]e xt t x t t t t x →∞→→⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭． 解法2 44444444lim 1lim 1lim 1e xxxx x x x x x ⋅→∞→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 例7 求21lim 1xx x →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭．解22(2)2111lim 1lim 1lim 1e x x xx x x x x x --⋅---→∞→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=+=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 例8 求431lim 12x x x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭．解43432221111lim 1lim 1lim 1lim 11e 2222x x x x x x x x x x x --⋅→∞→∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭结论 一般地，有公式lim 1e bx cab x a x +→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭．例9 求123lim 21x x x x +→∞+⎛⎫⎪+⎝⎭．解63121233112323e 22lim lim lim lim 1e 1212111e 122xxx x x x x x x x x x x x x x +→∞→∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪++⎛⎫⎛⎫⎝⎭=⋅=⋅== ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪+ ⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭⏹ 【学生】掌握准则Ⅱ与第二个重要极限问题讨论 （10 min ）⏹ 【教师】组织学生讨论以下问题1．夹逼准则与极限的定义有何内在联系？2．单调递增（递减）有上界（下界）的数列一定是有界数列吗？⏹ 【学生】讨论、发言通过课堂讨论，活跃课堂气氛，加深学生对知识点的理解第二节课知识讲解 （20 min ）⏹ 【教师】讲解无穷小阶的比较，并通过例题讲解介绍其应用定义1 设α，β是同一变化过程中的两个无穷小量， （1）若lim0αβ=，则称α是比β高阶的无穷小量，记为()o αβ=．（2）若limαβ=∞，则称α是比β低阶的无穷小量． （3）若lim c αβ=（c 是不等于零的常数），则称α与β是同阶无穷小量．特别地，若1c =，则称α与β是等价无穷小量，记作~αβ．例1 证明：当0x →时，211cos ~2x x -． 证明 因为22220002sin sin1cos 22lim lim lim 1222x x x x x x x x x →→→⎛⎫ ⎪-=== ⎪ ⎪⎝⎭，所学习无穷小阶的比较。
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公开课教案
教者龚桂琼科目数学班级12级数一班课题两个重要极限（一）课型
时间地点
教材分析
《两个重要极限》是在学生学习了数列的极限、函数的极限以及函数极限的四则运算法则的基础上进行研究的，它是解决极限计算问题的一个有效工具，也是今后研究初等函数求导公式的一个工具，所以两个重要极限是后继学习的重要基础。
学情分析
一方面，学生已经学习了函数的极限以及函数极限的运算法则，会用因式分解约去非零因子、有理化分子或分母这两种方法计算“
0型”函数的极限，具备了接受新知识的基础；另一方面，学生理性思维能力相对较弱，对函数极限概念的理解还比较浅显，运用极限思维解决问题的能力有限。
教学目标
知识与技能：让学生了解公式1
sin
lim
=
→x
x
x
的证明过程，正确理解公式，知道公式应用的条件，熟练运用公式及其变形式解决有关函数极限的计算。
过程与方法：通过教师引导，学生观察、实验、猜想、分析讨论和练习，培养学生观察、归纳、举一反三的能力，进一步认识换元法、转化思想、数型结合思想在数学解题中的重要作用。
情感态度与价值观：通过对这一重要极限公式的研究，进一步认识数学的美，激发学生的学习兴趣；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维品质。
教学重点
正确理解公式1
sin
lim
=
→x
x
x
，并能运用公式及其变形式解决有关函数极限的计算。
教学难点
公式1sin lim
0=→x
x
x 的证明、公式及其变形式灵活运用。
教法学法
本节课采用实验法、讨论法以及讲练结合的教学方法。
通过复习函
数极限的定义以及函数极限的运算法则，配以适当的练习，强化学生对极限概念的理解和运算能力。
在公式的引入上通过设疑引导学生尝试、讨论、猜想，并借助多媒体动画帮助学生理解结论，锻炼学生运用数学工具解决数学问题的意识，提高学生的学习兴趣。
对于公式的证明，所涉及的内容比较多，逻辑性较强，在老师的引导下了解论证过程。
在公式的运用上按照循序渐进的原则，设计梯度、降低难度，留出学生的思考空间，让学生去尝试、联想、探索，以独立思考和相互交流相结合的形式，在教师的指导下分析和解决问题，帮助学生获得成功的体验。
课前准备 教师：多媒体课件；学生：计算器。
教学环节 教 学 内 容
师生双边活动 复习导入
1、说说当0x x →时，函数)(x f 的极限的定义。
如果当x 无限接近于定值0x 时，函数)(x f 无限接近于一个确定的常数A ，那么A 称为函数)(x f 当0x x →时的极限，记作A x f x x =→)(lim 0。
2、A x f x x =→)(lim 0
的充要条件是什么？
A x f x x =→)(lim 0
⇔ )(lim 0
x f x x -→=A x f x x =+→)(lim 0
3、说出函数极限的四则运算法则。
B A x g x f x g x f B x g A x f +=+=+==)(lim )(lim )]()(lim[,
)(lim ,)(lim :1则设法则
B A x g x f x g x f B x g A x f ⋅=⋅=⋅==)]([lim )]([lim )]()(lim[,
)(lim ,)(lim 2则：设法则
B
A x g x f x g x f
B B x g A x f =
=≠==)(lim )(lim )()(lim ,0,)(lim ,)(lim 3则且：设法则
教师引导，
学生回忆口述，为了解公式的证明、正确计算有关函数极限作铺垫，达到温故知新的目
的。
新授
4、求下列函数的极限：①
3
5
lim
2
0-
+
→x
x
x
；②
2
4
lim
2
2-
-
→x
x
x
③
1
1
lim
2
2
0-
+
→x
x
x
一、问题的提出
“
型”极限的计算方法，到目前为止，我们学过
因式分解约去非零因子，有理化分子或分母这两种方法。
是不是所有的“
型”都可以用这两种方法解决呢？
问题：如何求
x
x
x
sin
lim
→
？
（学生使用计算器进行实验）
二、动态演示，验证猜想
OA
BC
x
AB
x
x
AOB
O⊥
=
<
<
=
∠作
则弧
，设
作单位圆,
),
2
0(,
π
于C，则x
BC sin
=，拖动点B，改变x的大小，观察
x
x
sin
值的变化趋势。
得出结论：1
sin
lim
=
→x
x
x
三、证明猜想
过程见课本
52
51
P
P-
强调：①极限中函数
x
x
sin
的分子分母都是当0
→
x时
的无穷小。
学生分组巩
固练习
设疑激趣
分组讨论
教师视情况
引导学生使
用计算器代
入进行近似
计算，并猜
想。
利用几何画
板事先制作
课件，拖动
动点，让学
生观察比值
的变化，验
证猜想。
体
会数形结合
思想的作用
教师讲授证
明过程，学
②这里的自变量x 是用弧度度量的，以后引用这个极限时必须用弧度作单位。
③在利用这个极限求较复杂函数的极限时，必须注意所有含有自变量的表达形式应一致。
④1sin lim 0=→x
x x 四、公式的应用
例1：求⑴ x x x 3sin lim 0→ ⑵ x
x
x tan lim 0→
解：⑴ =→x x x 3sin lim
03
1131sin lim 31)sin 31(lim 00=⋅==⋅→→x x x x x x
⑵ x x x tan lim
0→=)cos 1sin (lim 0x x x x ⋅→=x
x x x x cos 1
lim
sin lim 00→→⋅ =111=⨯
回顾反思：1、求此类函数的极限其关键是把此函数转化为x x
sin 与另一个函数的乘积，若另一个函数的极限可求，则可求出此函数的极限。
2、当
为等价无穷小、、时，x x x x tan sin 0→。
如1sin tan lim
0=→x
x
x 。
例2：求 ⑴ x x x 3sin lim
0→ ⑵ x
x x 2sin 3tan lim 0→
解：⑴ ()x
x x x x x 33sin 3lim 3sin lim 00⋅=→→=3x x
x 33sin lim 03→=3 ⑵ x x x 2sin 3tan lim 0→=⎪⎭
⎫
⋅⋅ ⎝⎛→x x x x x 2sin 233tan 23lim 0 =x
x
x x x x 2sin 2lim
33tan lim 230203→→⋅⋅ 生理解识
记，记住公
式特征。
教师引导鼓励学生发表观点。
第（1）小题学生独立思考，第
（2）小题教师引导并板书。
学生尝试，
教师引导。
体会换元
法、转化思想在数学解题中的重要
=2
3
回顾反思：1、此例用到了变量替换（换元），变量替换后一定要注意变量的变化趋势可能会发生变化。
2、函数变形后要注意系数的变化，防止计算错误。
3、一般地b
a
bx ax x =
→sin lim
0，b
a
bx ax x =
→tan lim
0， b
a bx ax x =→sin tan lim 0。
例3：求 2
0cos 1lim
x x
x -→
解：20cos 1lim x x x -→=2
202sin 2lim
x x x →=2
0222sin lim 21⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
→x x x =21 回顾反思：利用公式1sin lim
0=→x
x x 求函数极限，有时不仅
要进行变量替换，还要利用三角函数公式进行变形。
作用。
师生回顾归
纳交流解题经验
综合运用，提高分析、解决问题的
能力
课堂练习
练习：求下列极限： ③ x x x 5sin lim 0→ ② x
x
x 3tan lim 0→
③ x x x 3tan 5sin lim
0→ ④ 202cos 1lim x
x
x -→ 小结
1． 正确、灵活地运用公式1sin lim
0=→x
x
x 。
2． 当为等价无穷小、、
时，x x x x tan sin 0→。
3． 运用换元法时须注意自变量的变化趋势的改变和系数的变化。
4. 利用此公式求极限时，一定要注意变量的变化趋势，不能一概而论，造成思维定势，如求0sin lim
=∞→x
x
x 。
作业P
A组1
54。