江苏省南通市启东中学2020-2021学年高二上学期第一次质量检测数学试题
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三、解答题
17．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．
求证：（1）A1B1∥平面DEC1；
（2）BE⊥C1E．
18．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足b2=ac，cosB= ．
（1）求 + 的值；
（2）设 • = ，求三边a、b、c的长度．
（2）若cn=（-1）n-1 ，求数列{cn}的前n项和T2n；
（3）若dn=an ，数列{dn}的前n项和为Dn，对任意的n∈N*，都有Dn≤nSn-a，求实数a的取值范围．
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
B，A，C成等差数列，可得2A＝B+C＝π﹣A，解得A．利用正弦定理可得sinB ，即可得出．
13．从集合 中随机抽取一个数 ，从集合 中随机抽取一个数 ，则向量 与向量 垂直的概率为______.
14．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且 = ，则使得 为整数的正整数n的个数是______．
15．三棱锥 中，已知 平面 ， 是边长为 的正三角形， 为 的中点，若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，则 的长为_____.
A． B． C． D．
6．设a,b,c是空间的三条直线，给出以下五个命题：
①若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；
②若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面直wenku.baidu.com；
③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；
④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面；
⑤若a∥b，b∥c，则a∥c；
其中正确的命题的个数是（）
（1）当k=3，a0=12时，分别求a1，a2，a3；
（2）请用an-1表示an；令bn=（n+1）an，求数列{bn}的通项公式；
（3）是否存在正整数k（k≥3）和非负整数a0，使得数列{an}（n≤k）成等差数列，如果存在，请求出所有的k和a0，如果不存在，请说明理由．
21．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC是直角三角形，AC=BC=AA1=2，D为侧棱AA1的中点．
二、填空题
11．已知点P1（2，3）、P2（-4，5）和A（-1，2），则过点A且与点P1、P2距离相等的直线方程为______．
12．已知a、b、c为△ABC的三个内角A、B、C的对边，向量 =（-1， ）， =（cosA，sinA），若 ⊥ ，且acosB+bcosA=csinC，则角B的大小为______．
记第 个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为 ，现给出有关数列 的四个命题：
①数列 是等比数列；
②数列 是递增数列；
③存在最小的正数 ，使得对任意的正整数 ，都有 ；
④存在最大的正数 ，使得对任意的正整数 ，都有 ．
其中真命题的序号是________________（请写出所有真命题的序号）.
16．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段 的长度为a，在线段 上取两个点 ， ，使得 ，以 为一边在线段 的上方做一个正六边形，然后去掉线段 ，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段 作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：
江苏省南通市启东中学2020-2021学年高二上学期第一次质量检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c若a=3，b= ，B，A，C成等差数列，则B=（）
A． B． C． 或 D．
2．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）
A．两次都不中靶B．两次都中靶C．只有一次中靶D．至多有一次中靶
3．直线 与 、 为端点的线段有公共点，则k的取值范围是（）
A． B． C． D．
4．已知数列 中， ，又数列 是等差数列，则 等于（ ）
A．0B． C． D．
5．过点P（-2，3）向圆x2+y2=1引圆的两条切线PA，PB，则弦AB所在的直线方程为（）
A．0B．1C．2D．3
7．定义：若 =q（n∈N*，q为非零常数），则称{an}为“差等比数列”，已知在“差等比数列”{an}中，a1=1，a2=2，a3=4，则a2019-a2018的值是（）
A． B． C． D．
8．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且3a2+3c2-3b2=2ac， ⋅ =2，则△ABC的面积为（）
19．已知圆M的方程为x2+y2-2x-2y-6=0，以坐标原点O为圆心的圆O与圆M相切．
（1）求圆O的方程；
（2）圆O与x轴交于E，F两点，圆O内的动点D使得DE，DO，DF成等比数列，求 • 的取值范围．
20．一位幼儿园老师给班上k（k≥3）个小朋友分糖果．她发现糖果盒中原有糖果数为a0，就先从别处抓2块糖加入盒中，然后把盒内糖果的 分给第一个小朋友；再从别处抓2块糖加入盒中，然后把盒内糖果的 分给第二个小朋友；…，以后她总是在分给一个小朋友后，就从别处抓2块糖放入盒中，然后把盒内糖果的 分给第n（n=1，2，3，…k）个小朋友．如果设分给第n个小朋友后（未加入2块糖果前）盒内剩下的糖果数为an．
（1）求异面直线DC1，B1C所成角的余弦值；
（2）求二面角B1-DC-C1的平面角的余弦值．
22．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=2an-1（n∈N*），数列{bn}满足nbn+1-（n+1）bn=n（n+1）（n∈N*），且b1=1．
（1）证明数列{ }为等差数列，并求数列{an}和{bn}的通项公式；
A． B． C． D．
9．过直线l： 上的点作圆C： 的切线，若在直线l上存在一点M，使得过点M的圆C的切线MP， Q为切点 满足 ，则a的取值范围是
A． B．
C． D．
10．已知等比数列{an}，an＞0，a1=256，S3=448，Tn为数列{an}的前n项乘积，则当Tn取得最大值时，n=（）
A．8B．9C．8或9D．
17．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．
求证：（1）A1B1∥平面DEC1；
（2）BE⊥C1E．
18．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足b2=ac，cosB= ．
（1）求 + 的值；
（2）设 • = ，求三边a、b、c的长度．
（2）若cn=（-1）n-1 ，求数列{cn}的前n项和T2n；
（3）若dn=an ，数列{dn}的前n项和为Dn，对任意的n∈N*，都有Dn≤nSn-a，求实数a的取值范围．
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
B，A，C成等差数列，可得2A＝B+C＝π﹣A，解得A．利用正弦定理可得sinB ，即可得出．
13．从集合 中随机抽取一个数 ，从集合 中随机抽取一个数 ，则向量 与向量 垂直的概率为______.
14．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且 = ，则使得 为整数的正整数n的个数是______．
15．三棱锥 中，已知 平面 ， 是边长为 的正三角形， 为 的中点，若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，则 的长为_____.
A． B． C． D．
6．设a,b,c是空间的三条直线，给出以下五个命题：
①若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；
②若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面直wenku.baidu.com；
③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；
④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面；
⑤若a∥b，b∥c，则a∥c；
其中正确的命题的个数是（）
（1）当k=3，a0=12时，分别求a1，a2，a3；
（2）请用an-1表示an；令bn=（n+1）an，求数列{bn}的通项公式；
（3）是否存在正整数k（k≥3）和非负整数a0，使得数列{an}（n≤k）成等差数列，如果存在，请求出所有的k和a0，如果不存在，请说明理由．
21．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC是直角三角形，AC=BC=AA1=2，D为侧棱AA1的中点．
二、填空题
11．已知点P1（2，3）、P2（-4，5）和A（-1，2），则过点A且与点P1、P2距离相等的直线方程为______．
12．已知a、b、c为△ABC的三个内角A、B、C的对边，向量 =（-1， ）， =（cosA，sinA），若 ⊥ ，且acosB+bcosA=csinC，则角B的大小为______．
记第 个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为 ，现给出有关数列 的四个命题：
①数列 是等比数列；
②数列 是递增数列；
③存在最小的正数 ，使得对任意的正整数 ，都有 ；
④存在最大的正数 ，使得对任意的正整数 ，都有 ．
其中真命题的序号是________________（请写出所有真命题的序号）.
16．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段 的长度为a，在线段 上取两个点 ， ，使得 ，以 为一边在线段 的上方做一个正六边形，然后去掉线段 ，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段 作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：
江苏省南通市启东中学2020-2021学年高二上学期第一次质量检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c若a=3，b= ，B，A，C成等差数列，则B=（）
A． B． C． 或 D．
2．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）
A．两次都不中靶B．两次都中靶C．只有一次中靶D．至多有一次中靶
3．直线 与 、 为端点的线段有公共点，则k的取值范围是（）
A． B． C． D．
4．已知数列 中， ，又数列 是等差数列，则 等于（ ）
A．0B． C． D．
5．过点P（-2，3）向圆x2+y2=1引圆的两条切线PA，PB，则弦AB所在的直线方程为（）
A．0B．1C．2D．3
7．定义：若 =q（n∈N*，q为非零常数），则称{an}为“差等比数列”，已知在“差等比数列”{an}中，a1=1，a2=2，a3=4，则a2019-a2018的值是（）
A． B． C． D．
8．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且3a2+3c2-3b2=2ac， ⋅ =2，则△ABC的面积为（）
19．已知圆M的方程为x2+y2-2x-2y-6=0，以坐标原点O为圆心的圆O与圆M相切．
（1）求圆O的方程；
（2）圆O与x轴交于E，F两点，圆O内的动点D使得DE，DO，DF成等比数列，求 • 的取值范围．
20．一位幼儿园老师给班上k（k≥3）个小朋友分糖果．她发现糖果盒中原有糖果数为a0，就先从别处抓2块糖加入盒中，然后把盒内糖果的 分给第一个小朋友；再从别处抓2块糖加入盒中，然后把盒内糖果的 分给第二个小朋友；…，以后她总是在分给一个小朋友后，就从别处抓2块糖放入盒中，然后把盒内糖果的 分给第n（n=1，2，3，…k）个小朋友．如果设分给第n个小朋友后（未加入2块糖果前）盒内剩下的糖果数为an．
（1）求异面直线DC1，B1C所成角的余弦值；
（2）求二面角B1-DC-C1的平面角的余弦值．
22．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=2an-1（n∈N*），数列{bn}满足nbn+1-（n+1）bn=n（n+1）（n∈N*），且b1=1．
（1）证明数列{ }为等差数列，并求数列{an}和{bn}的通项公式；
A． B． C． D．
9．过直线l： 上的点作圆C： 的切线，若在直线l上存在一点M，使得过点M的圆C的切线MP， Q为切点 满足 ，则a的取值范围是
A． B．
C． D．
10．已知等比数列{an}，an＞0，a1=256，S3=448，Tn为数列{an}的前n项乘积，则当Tn取得最大值时，n=（）
A．8B．9C．8或9D．