江苏省南通市启东中学2020-2021学年高二上学期第一次质量检测数学试题
江苏省启东中学2020-2021学年度第一学期10月月考高二数学(PDF版含答案)
主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，
曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.
其前 10 项依次是 0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，…，则下列说法正确的是
A. 此数列的第 20 项是 200
B. 此数列的第 19 项是 182
A． 665 729
B． 486 665
C． 665 243
7．已知 a, b, c, d 均为实数，则下列命题正确的是（
65
D．
9
）
A．若 a b, c d ，则 ac bd
B．若
ab0, bc来自ad0，则
c a
d b
0
C．若 a b, c d 则 a d b c
D．若
a
b, c
d
0
D.35
2. 已知等差数列 an 中， a2 6, a5 15 .若 bn a2n ，则数列 bn 的前 5 项和等于
A.186
B. 90
C.45
3. 若 a>b>0，则下列不等式中一定成立的是
D.30
A．a＋1>b＋1 ba
B.b>b＋1 a a＋1
C．a－1>b－1 ba
D.2a＋b>a a＋2b b
在① a3 5 ， a2 a5 6b2 ；② b2 2 ， a3 a4 3b3 ；③ S3 9 ， a4 a5 8b2 这三个
Sn
2an
1 ，数列
an
2n an 1
的前
n
项
和为 Tn ， n N* ，则下列选项正确的为
A．数列an 1 是等差数列 C．数列an 的通项公式为 an 2n 1
江苏省南通市启东市、通州区2020-2021学年高二上学期期末联考数学试题
江苏省南通市启东市、通州区2020-2021学年（上）高二期末学业质量监测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 不等式220x x +-≤的解集为（ ） A. []2,1-B. []1,2-C. (][),12,-∞-⋃+∞D. (][),21,-∞-+∞C把二次项系数化为正数，并因式分解后可得不等式的解． 原不等式可化为220x x --≥，即(2)(1)0x x -+≥， 所以1x ≤-或2x ≥．故选：C ．2. 在等比数列{}n a 中，已知52414,2a a a a -=-=，则公比q =（ ）A. 12±B. 2±C.12D. 2D由等比数列的通项公式列出方程组求解即可.由41131142a q a q a q a ⎧-=⎨-=⎩，解得122,7q a ==故选：D3. 已知函数()ln xf x e x =，()f x '为x 的导函数，则()1f '的值为（ ）A. 1eB. eC. 1D. 0B求出()f x '，进而可求得()1f '的值.()ln x f x e x =，则()1ln x f x e x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，因此，()1f e '=.故选：B.4. 我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何?”根据这一数学思想，所有被3除余2的整数从小到大组成数列{}n a ，所有被5除余2的正整数从小到大组成数列{}n b ，把数{}n a 与{}n b 的公共项从小到大得到数列{}n c ，则下列说法正确的是（ ）A. 122a b c +=B. 824b a c -=C. 228b c =D. 629a b c =C根据题意数列{}n a 、{}n b 都是等差数列，从而得到数列{}n c 是等差数列，依次对选项进行判断可得答案.根据题意数列{}n a 是首项为2，公差为3的等差数列， 23(1)31n a n n =+-=-， 数列{}n b 是首项为2，公差为5的等差数列，25(1)53n b n n =+-=-，数列{}n a 与{}n b 的公共项从小到大得到数列{}n c ，故数列{}n c 是首项为2，公差为15的等差数列，215(1)1513n c n n =+-=-，对于A ， 12222539,1521317a b c +=+⨯-==⨯-=， 122a b c +≠，错误； 对于B ， 82458332132,1541347b a c -=⨯--⨯+==⨯-=，824b a c -≠，错误； 对于C ， 2285223107,15813107b c =⨯-==⨯-=，228b c =，正确；对于D ， ()()629361523119,15913122a b c =⨯-⨯⨯-==⨯-=，629a b c ≠，错误.故选：C. 本题考查了等差数列的定义、通项公式，解题的关键是利用数列{}n a 、{}n b 都是等差数列得到数列{}n c 的通项公式，考查了理解能力和计算能力.5. 已知椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则该椭圆的离心率是（ ）A. B.C.D.A根据题目中的条件，短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，得到3b c =，即可求出离心率．由题意可知：223bc =，即3b c =，所以a ==所以离心率10c e a ===.故选：A 求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．6. 已知正方体1111ABCD A B C D -，点,E F 分别是棱11B C ，11A D 的中点，则异面直线BE ，DF 所成角的余弦值为（ ） A. 5B. 35C.45D.25B证明//BE AF ，得AFD ∠是异面直线BE ，DF 所成角或其补角，在三角形中求解即可． 连接,AF EF ，∵,E F 分别是棱11B C ，11A D 的中点，∴//EF AB ，EF AB =，∴ABEF 是平行四边形，∴//BE AF ，∴AFD ∠是异面直线BE ，DF 所成角或其补角， 设正方体的棱长为2，则111A F D F ==，22215AF DF ==+=，2223cos 25255AF DF AD AFD AF DF +-∠===⋅⨯⨯，异面直线BE ，DF 所成角的余弦值为35．故选：B ．思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．7. 抛物线22x y =的顶点是抛物线上到点()0,A a 的距离最近的点，则实数的a 取值范围是（ ）A. (),0-∞B. (],0-∞C. (),1-∞D. (],1-∞D设(,)P x y 是抛物线上任一点，求出PA ，由0y =时PA 取得最小值可得a 的范围． 设(,)P x y 是抛物线上任一点，则PA === ∵0y ≥，∴当10a -≤，即1a ≤时，0y =时，min PA a =．故选：D ． 8. 数列{{}n a 满足*111,(,0)n n a a ta t n N t +==+∈≠，则“12t =”是“数列{}n a 成等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件C根据充分必要条件的定义和等比数列的定义判断．12t =时，由11a =得211122a =+=，311122a =+=，，1n a =，所以{}n a 是等比数列，充分性满足；反之若{}n a 是等比数列，则212a ta t t =+=，2322a ta t t t =+=+，123,,a a a 也成等比数列，所以2213a a a =，即2242t t t =+，又0t ≠，所以12t =，此时1(*)n a n N =∈，满足题意，必要性也满足， 应为充要条件．故选：C ．关键点点睛：本题考查充分必要条件的判断，考查等比数列的判断，掌握充分必要条件和等比数列的定义是解题关键．解题方法是充分性与必要性分别进行判断，充分性只要把12t =代入计算求出n a 即可判断，而必要性需由数列{}n a 是等比数列求出参数t ，因此可由开始的3项成等比数列求出t ，然后再检验对*n N ∈数列是等比数列即可．二、选择题：本题共4小，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分 9. 下列命题正确（ ） A. 若22ac bc >，则a >bB. 2,2n n N n ∀∈≥C. ()10,,sin 4x x x x∃∈+∞+≤ D. ()22,,20a x x a ∀∈+∞++>AD根据不等式的性质判断A ，由特殊值判断B ，利用导数判断函数14y x x=+的单调性，进而证明1sin 4x x x+>在()0,x ∈+∞上恒成立从而判断C ，根据判别式判断D. 对于A 项，22ac bc >说明0c ≠，则a b >，故A 正确； 对于B 项，当3n =时，32289=<3=，故B 错误； 对于C 项，当[1,)x ∈+∞时，1sin 4x x x+>成立，当(0,1)x ∈时，令14y x x =+，222141144x y x x-'=-=，由110,,0,,1,022x y x y ⎛⎫⎛⎫''∈<∈> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知函数14y x x =+在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则min 11122y =+=，而sin y x =在(0,1)上单调递增，则sin sin11x <<，即1sin 4x x x+>，故C 错误； 对于D 项，当()2a ,∈+∞时，440a ∆=-<，即220x x a ++>恒成立，故D 正确；故选：AD 关键点睛：要判断B 项不成立，关键是举反例，在判断C 项时，关键是利用导数得出单调性进而证明不等式.10. 已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，则下列说法正确的有（ ） A. 若n 2S n =，则{}n a 是等差数列 B. 若n 21n S a =-，则{}n a 是等比数列C. 若{}n a 是等差数列，则n S ，2n 32,n n n S S S S --，成等差数列D. 若{}n a 是等比数列，则n S ，2n 32,n n n S S S S --成等比数列 ABC由n S 与n a 的关系根据等差等比数列的定义依次判断即可得出结果. 若n 2S n =，当1n =时，112a S ==,2n ≥时，()12212n n n a S S n n n -=-=--=，∴2(*)n a n n N =∈,12n n a a -∴-=，∴{}n a 是等差数列，故A 正确；若n 21n S a =-，当1n =时，11121S a a =-=,∴11a =，2n ≥时，()()112121n n n n n a S S a a --=-=---，12nn a a -∴=，∴{}n a 是等比数列，B 正确； 设等差数列{}n a 的公差为d ，首项是112,n n a S a a a =+++,221212()()()+n n n n n n n n S S a a a a nd a nd a nd S n d ++-=+++=+++++=+，同理2322()n n n n S S S S n d -=-+，因此2322()()n n n n n S S S S S -=+-则n S ，2n 32,n n n S S S S --，成等差数列，C 正确；若等比数列{}n a 的公比11,2q a =-=，则242640,0,0,S S S S S =-=-=不可能成等比数列，D 错误；故选：ABC.11. 已知双曲线的渐近线方程为2y x =±，则（ ） A. 虚轴长是实轴长的2倍 B.C. 过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长是虚轴长的2倍D. 焦点到渐近线的距离等于虚半轴长 BD焦点在x ，y 轴两种情况，分别求出,,a b c ，再由抛物线的性质判断ABC ，再由点到直线的距离公式判断D. 当焦点在x 轴上时，2ba =，即2b a =，即虚轴长是实轴长的2倍c，c e a==焦点,0)到渐近线2y x =的距离为2d a b ===过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长为()22822b a b a==当焦点在y 轴上时，2,2a a b b ==，即虚轴长是实轴长的12倍由225c a b b =+=得出5522c b e a b ===焦点(0,5)b 到渐近线2y x =的距离为55bd b == 过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长为22122b b b a ⎛⎫== ⎪⎝⎭综上，只有BD 正确故选：BD关键点睛：在判断CD 选项时，关键是利用通径以及点到直线的距离公式进行判断.12. 在三维空间中，定义向量的外积：a b ⨯叫做向量a 与b 的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：①()a a b ⊥⨯，()b a b ⊥⨯，且a ，b 和a b ⨯构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）：②a b ⨯的模sin ,a b a b a b ⨯=（,a b 表示向量a ，b 的夹角）在正方体1111ABCD A B C D -中，有以下四个结论，正确的有（ ）A. 11AB AC AD DB ⨯=⨯B. AB AD AD AB ⨯=⨯C. 1111AC A D BD ⨯与方向相同D. 6||BC AC ⨯与正方体表面积的数值相等ACD在正方体中根据外积的定义逐项检验后可得正确的选项. 设正方体的棱长为a ，对于A ，如图，因为1AB C 为等边三角形，故2213sin 32AB AC a a π⨯==，因为1111//,BD B D BD B D =，而11AB D 为等边三角形， 故22111123sin32AD DB AD D B a a π⨯=⨯==，故A 正确. 对于B ，根据定义，1AB AD AA ⨯=，1AD AB AA ⨯=-，两者不相等，故B 错.对于C ，因为1BD ⊥平面11A DC ，结合外积的定义可得111AC A D ⨯的方向即为1BD 的方向， 故C 正确.对于D ，226||6262BC AC a a a ⨯=⨯⨯=，故它与正方体的表面积相同，故选：ACD. 方法点睛：对于立体几何的新定义问题，一般要依据给出的定义进行验证，此题中注意外积中向量的先后次序.三，填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13. 曲线sin 2y x =在点P (),0π）处的切线方程是________.22y x π=-先利用导数求出斜率，再用点斜式写出切线方程. 因sin 2y x =，所以2cos 2y x '=，所以切线斜率2cos22k π== 所以切线方程为：22y x π=-，故答案为：22y x π=-. 用导数求切线方程常见类型：(1)在00(,)P x y 出的切线：00(,)P x y 为切点，直接写出切线方程：000()()y y f x x x '-=-； (2)过00(,)P x y 出的切线：00(,)P x y 不是切点，先设切点，联立方程组，求出切点坐标()11,x y ，再写出切线方程：111()()y y f x x x '-=-.14. 已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，若111,n n a a a n +=+=，则1916S S -的值为________. 27由1n n a a n ++=得121n n a a n +++=+相减后得数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，由此可得通项，从而求得结论．∵1n n a a n ++=，∴121n n a a n +++=+，相减得21n n a a +-=，又1121,1a a a =+=，20a =，211a a -=-，所以数列{}n a 的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差为1，21n a n -=，21n a n =-，1916171819981027S S a a a -=++=++=．故答案为：27．易错点睛：本题考查等差数列的通项公式，解题时由已知等式中n 改写为1n +，两相减后得21n n a a +-=，这里再计算21a a -，如果2211()22n na a a a +--==，则可说明{}n a 是等差数列，象本题只能说明奇数项与偶数项分别成等差数列．不能混淆，误以为{}n a 是等差数列．这是易错的地方．15. 已知正实数a ，b ，c 满足,1,a b ca b ab abc+++==则2+a b 的最小值为_________；实数c 的取值范围为_________.(1). 3+ (2). 41,3⎛⎤⎥⎝⎦由a b ab +=得1ba b =-代入2+a b 后应用基本不等式可得最小值，注意说明1b >，同时求出4ab ≥，然后由1a b c abc ++=得111c ab =+-，由此可得c 的范围．由a b ab +=得(1)(1)1a b --=，又0,0a b >>，所以1,1a b >>，111a b =+-， 112122(1)311a b b b b b +=++=+-+--122(1)32231b b ≥⨯-+=+-，当且仅当12(1)1b b =--，即21b 时等号成立．所以2+a b 的最小值是322+． 2a b ab ab +=≥，所以4ab ≥，当且仅当2a b ==时等号成立，所以ab 的取值范围是[4,)+∞， 由1a b c abc ++=得11111a b ab c ab ab ab +===+---， ∵4ab ≥，所以11013ab <≤-，141113ab <+≤-，即41,3c ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦． 故答案为：322+；41,3⎛⎤⎥⎝⎦．易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方16. 2020年是全国决胜脱贫攻坚之年，“一帮一扶”工作组进驻某山区帮助农民脱贫，发现该山区盛产苹果、梨子、猕猴桃，工作人员文明在线上进行直播带货活动，促销方案如下：若一次购买水果总价不低于200元，则顾客少付款m 元，每次订单付款成功后，农民会收到支付款的80%，在促销活动中，为了使得农民收入不低于总价的70%，则m 的最大值为_________. 25根据题意建立函数关系式()7080x x m ⨯≥⨯-％％，整理出8xm ≤恒成立，再由x 的范围即可求解.设每笔订单促销前的总价为x 元， 根据题意有()7080x x m ⨯≥⨯-％％，即8xm ≤恒成立， 由题意得200x ≥，所以2002588x ≥=，所以25m ≤， 即m 的最大值为25. 故答案为：25数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：(1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；(2)求解应用性问题时，不仅要考虑函数本身的定义域，还要结合实际问题理解自变量的取值范围.四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知集合411A xx ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，集合{}22220,B x x x a a a R =+-+<∈. （1）求集合A ；（2）若x B ∈是x A ∈的必要条件，求实数a 的取值范围. （1）()13A ,=-；（2）(][),35,-∞-+∞.（1）解分式不等式411x >+可得集合A ； （2）由已知条件可得出A B ⊆，对a -和2a -的大小关系进行分类讨论，结合A B ⊆可得出实数a 所满足的不等式（组），综合可解得实数a 的取值范围. （1）因为411x >+，所以431011x x x --=>++， 所以()()130x x +-<，所以13x ，故()13A ,=-； （2）由22220x x a a +-+<得()()20x a x a +-+<， 由x B ∈是x A ∈的必要条件，知A B ⊆.①当2a a -<-，即1a >时，{}2B x a x a =-<<-，则1231a a a >⎧⎪-≥⎨⎪-≤-⎩，解得5a ≥；②当2a a ->-，即1a <时，{}2B x a x a =-<<-，则1321a a a <⎧⎪-≥⎨⎪-≤-⎩，解得3a ≤-；③当2a a =-，即1a =时，B =∅，不满足A B ⊆. 综上可得，实数a 的取值范围为(][),35,-∞-+∞.结论点睛：本题考查利用充分条件求参数，一般可根据如下规则求解： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件，则q 对应集合与p 对应集合互不包含．18. 已知()21ln f x ax x =--（1）当2a =时，求()f x 的单调增区间； （2）若()0f x ≥，求实数a 的取值范围.（1）1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）12a e ≥.（1）求出导函数()'f x ，在定义域内由()0f x '>得增区间； （2）分离参数得21ln x a x +≥.设()21ln xg x x+=，由导数求得()g x 最大值即可得结论． （1）当2a =时，()()221ln ,0,f x x x x =--∈+∞.由()()()221211414x x x f x x x x x+--'=-==， 令()0f x '>，得12x >， 所以()f x 的单调增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（2）由()21ln 0f x ax x =--≥，则21ln xa x +≥. 设()21ln x g x x +=，则()312ln xg x x--'=. 令()0g x '=，得12x e -=，且当120,x e -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>；当12,x e -⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，所以()g x 在120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以当12x e -=到时，()g x 取得最大值为12e ，所以12a e ≥. 方法点睛：本题考查用导数求函数的单调区间，研究不等式恒成立问题．不等式恒成立问题的解题方法通常是利用分离参数法分离参数，然后引入新函数，利用导数求得新函数的最值，则可得参数范围．19. 在①119n n a a +-=-，②113n n a a +=-③18n n a a n +=+-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且19a =，__________，求{}n a 的通项公式，并判断n S 是否存在最大值，若存在，求出最大值：若不存在，说明理由. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 答案见解析选①：由等差数列通项公式得出通项n a 后，解0n a ≥，满足此不等式的最大的n 使得n S 最大，注意若n a 0=，则有两个值使得n S 最大，选②：由等比数列前n 项和公式得出n S ，由于公比是负数，因此按n 的奇偶性分类讨论求得n S 的最大值；选③：由累加法求得n a ，利用n a 的表达式是n 的二次函数形式，当15n ≥时，0n a >，确定n S 不存在最大值. 选①因为119n n a a +-=-，19a =，所以{}n a 是首项为9，公差为19-的等差数列.所以()118291999n a n n ⎛⎫=+-⋅-=-+ ⎪⎝⎭.由182099n -+≥，得82n ≤，即820a ≥ 所以n S 存在最大值，且最大值为81S 或82S ， 因为818180181936929S ⨯⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭，所以n S 的最大值为369. 选②因为113n n a a +=-，19a =，所以{}n a 是首项为9，公比为13-的等比数列. 所以1311933n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.1︒当n 为奇数时，1913271114313n n n S ⎡⎤⎛⎫⨯--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==+ ⎪⎝⎭+， 因为271143n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭随着n 的增大而减小，所以此时n S 的最大值为19S =； 2︒当n 为偶数的，1913271114313n n n S ⎡⎤⎛⎫⨯--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭+， 且2712719434n n S ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭， 综上，n S 存在最大值，且最大值为9. 选③因为18n n a a n +=+-，所以18n n a a n +-=-，所以217a a -=-，326a a -=-，…，19n n a a n --=-， 以上1n -个等式相加得()()21791171622n n n n n a a -+---+-==，因为19a =，所以()2173422n n n a n -+=≥，又19a =也满足上式，所以217342n n n a -+=. 当15n ≥时，0n a >，故n S 不存在最大值.关键点点睛：本题考查数列前n 项和的最大值问题，一种方法是求出n S 的表达式，由函数的性质确定n S 的最大值，一种是利用数列项的性质，如数列是递减的数列，10a >，则满足0n a ≥的最大的n 使得n S 最大．20. 在一张纸片上，画有一个半径为2的圆（圆心为M ）和一个定点N ，且MN =6，若在圆上任取一点A ，将纸片折叠使得A 与N 重合，得到折痕BC ，直线BC 与直线AM 交于点P .（1）若以MN 所在直线为x 轴，MN 的垂直平分线作为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求点P 的轨迹方程；（2）在（1）的条件下，点(6,66Q ，能否找到点P 使得△PNQ 的周长最小，若存在求出该最小值及点P 坐标，若不存在，请说出理由.（1）2218y x -=；（2）存在点333,3622P +⎝使得PNQ 的周长最小，最小值为33313. （1）由题意知，BC 是线段AN 的垂直平分线，且PA PN =，分点A 在劣弧EF 和优弧上EF 时，对应点P 在射线MA 上或在射线AM 上， PM PN -为定值可得答案； （2）由题意P 在双曲线的右支上，2PN PM =-，13l PQ PM =++，当Q ，P ，M 三点共线时，求出QM 的长度可得PNQ 的周长l 最小值，直线QM 方程与双曲线方程联立可得P 点坐标.（1）过点N 作圆M 的切线，切点分别为E ，F ， 由题意知，BC 是线段AN 的垂直平分线， 因为直线BC 与直线AM 交于点P ，所以PA PN =，当点A 在劣弧EF 上时，点P 在射线MA 上，所以2PM PN PM PA MA -=-==； 当点A 在优弧EF 上时，点P 在射线AM 上，所以2PN PM PA PM MA -=-==； 所以26PM PN -=<，所以点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线，且22a =，26c =， 所以1a =，3c =，2228b c a =-=，所以点P 的轨迹方程为2218y x -=.（2）PNQ 的周长l PQ PN NQ =++， 因为(6,66Q ，()3,0N ，所以15NQ =，因为2PM PN -=，所以2PN PM =-，或2PN PM =+，所以要使得PNQ 的周长l 最小，则点P 在双曲线的右支上，即2PN PM =-，所以13l PQ PM =++，当Q ，P ，M 三点共线时，PNQ 的周长l 最小，()()226366297333MQ =++==L 的最小值为33313， 此时，直线QM 方程为)263y x =+， 代入双曲线方程2218y x -=得2360x x --=，解得333x ±= 注意到点P 在双曲线的右支上，所以点P 坐标为333,36222⎛ ⎝，所以存在点333,36222P ⎛ ⎝使得PNQ 的周长最小，最小值为33313.本题考查了轨迹方程的求法和直线与双曲线的位置关系，第二问的关键点是当Q ，P ，M 三点共线时，PNQ 的周长l 最小，考查了学生分析问题、解决问题及计算能力. 21. 在四棱锥P =ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，BC ∥AD .∠BAD =90°（1）设平面PBC ∩平面P AD =l ，求证：l ∥平面ABCD ；（2）若P A ⊥平面ABCD ，AD=2P A ，P A=AB .在线段PB 上是否存在点E ，使得AE 与平面PBD 25? （1）证明见解析；（225. (1)由//BC AD ,可证得//BC 平面PAD ，由线面平行的性质,面PBC ∩平面P AD =l ，BC ⊂平面PBC ,即可证得结论.(2)由已知条件以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，计算求得平面PBD法向量()2,1,2m =，设()01PE PB λλ=≤≤，设AE 与平面PBD 所成角为θ，由sin cos ,AE m AE m AE mθ⋅==计算即可得解.（1）因为//BC AD ，AD ⊂平面PAD ,BC ⊄平面PAD ，所以//BC 平面PAD .又因为BC ⊂平面PBC ,平面PBC 平面PAD l =， 所以//BC l .又因为l ⊄平面ABCD ,BC ⊂平面ABCD ， 所以//l 平面ABCD .（2）因为90BAD ∠=︒，所以AB AD ⊥.因为PA ⊥平面ABCD ，AB ，AD ⊂平面ABCD ， 所以PA AD ⊥，PA AB ⊥. 所以PA 、AB 、AD 两两垂直，所以以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.设1==PA AB ，则2AD =.所以()1,0,0B 、()0,2,0D 、()0,0,1P ，得()1,0,1PB =-，()1,2,0BD =-. 设(),,m x y z =为平面PBD 的法向量，则m PB ⊥且m BD ⊥，所以0m PB ⋅=且0m BD ⋅=，即0x z -=且20x y -+=，得2x z y ==，取()2,1,2m =.假设在线段PB 上存在点E ，使得AE 与平面PBD， 可设()01PE PB λλ=≤≤，则(),0,PE λλ=-， 所以(),0,1AE AP PE λλ=+=-， 设AE 与平面PBD 所成角为θ， 则sin cos ,AE m AE m AE mθ⋅==，=，所以2209λλ-+=，所以13λ=或23λ=，满足条件.所以在线段PB 上存在点E ，使得AE 与平面PBD . 思路点睛：解决线面角、二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内； （2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错. （3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量. （4）利用法向量求距离、线面角或二面角.22. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长为4，椭圆C 的右焦点到右准线的距离为3.（1）求椭圆C 的方程（2）若P 在椭圆C 上且在第一象限，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线PA 、PB 分别交y 轴、x 轴于点M 、N . ①求证：AN BM ⋅为定值； ②求OMN 面积的最小值（1）22143x y +=；（2）①证明见解析，②（1）根据已知条件可求得a 、c 的值，进而可得出b 的值，由此可得出椭圆C 的标准方程；（2）①设点()00,P x y ，可得出22003412x y +=，利用0x 、0y 表示AN 、BM ，进而可计算得出AN BM ⋅为定值；②利用三角形的面积公式可得)()122OMN S BM AN =⋅+△，利用①中的结论以及基本不等式可求得OMN 面积的最小值.（1）因为椭圆C 的长轴长为4，所以24a =，即2a =.又因为椭圆C 上的右焦点到右准线的距离为3，所以23a c c-=，即43c c -=，整理可得2340c c +-=，0c >，解得1c =，所以b ==，所以椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）①设点()00,P x y ，则直线()002:2y PA y x x =--，直线00:y PB y x x =， 所以0020,2y M x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，N ⎛⎫⎪⎪⎭，所以2AN =-=，00022y BM x -==-，所以200000222y y AN BM x -+-+⋅==-=因为点()00,P x y 在椭圆C 上，所以22003412x y +=，所以AN BM ⋅==；21③)()113222OMN S OM ON BM AN =⋅=⋅+△ 3333332332622BM BM AN =+≥⨯=当且仅当32BM =，即22AN =6BM =. 所以OMN 面积的最小值为3326。
江苏省南通市启东中学2020-2021学年高二上学期期初考试数学试题
江苏省南通市启东中学2020-2021学年高二上学期期初考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知集合{}1,2,3,4,5A =，{}B 1,3,5,7,9=，C A B =⋂，则集合C 的真子集的个数为____2．已知函数2log ,0()31,0,x x x f x x >⎧=⎨+⎩则14f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是________． 3．函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为____． 4．已知向量8,2x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，b (),1x =，其中0x >，若()()22a b a b -+，则x =____．5．已知0,,,22ππαβπ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()13cos sin 35ααβ=+=-，，则cos β=____． 6．设数列{}n a 的前n 的和为n S ，且满足22n n S a =-,则86a a =____ 7．一个圆锥的侧面积等于底面面积的3倍，若圆锥底面半径为cm ，则圆锥的体积是____cm 3.8．若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m ，则实数m 的取值范围是____．9．若圆C 经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是_________. 10．在△ABC 中,AB ＝3,AC ＝2,∠BAC ＝120°，BM BC λ=.若17AM BC 3⋅=-,则实数λ的值为________． 11．若正实数x y ，满足1x y +=，则4y x y+的最小值是____． 12．在锐角ABC 中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且2a sin B =，6a =，则ABC 的周长的取值范围为____．13．已知()0x y ∈+∞，，,且()()1124x y ++=,则12xy xy+的最小值是____．14．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()10f -=，若不等式()()1122120x f x x f x x x -<-对区间()0∞-，的两不相等的实数12x x ，都成立，则不等式()20xf x <的解集是____．二、解答题15．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A A =0，a =b =2.（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求△ABD 的面积.16．如图，在三棱锥A BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD .求证：(1)EF ∥平面ABC ；(2)AD ⊥AC .17．在一个特定时段内，以点O 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点O 正北50海里处有一个雷达观测站A ．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东30︒且与点A 相距B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东60︒且与点A 相距20海里的位置C ．（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；（2）若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．18．在平面直角坐标系中，已知射线()0y x =≥与射线()0y x =≥，过点()10M ，作直线l 分别交两射线于点A B ，（不同于原点O ）(1)当OA OB +取得最小值时，直线l 的方程；(2)求22MA MB +的最小值；(3)求MA MB 的最小值19．若函数()f x 为定义域D 上单调函数，且存在区间[,]a b D ⊆（其中a b <），使得当[,]x a b ∈时，()f x 的取值范围恰为[,]a b ，则称函数()f x 是D 上的正函数，区间[,]a b 叫做等域区间．（1）已知12()f x x =是[0,)+∞上的正函数，求()f x 的等域区间；（2）试探究是否存在实数m ，使得函数2()g x x m =+是(,0)-∞上的正函数？若存在，请求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．20．已知数列{}n a 是公差为正数的等差数列，其前n 项和为n S ，且2315a a =，416S =(1)求数列{}n a 的通项公式．(2)设数列{}n b 满足11b a =，111n n n n b b a a ++-=①求数列{}n b 的通项公式；②是否存在正整数()m n m n ≠，，使得2b ，m b ，n b 成等差数列？若存在，求出m n ，的值；若不存在，请说明理由．参考答案1．7【分析】由A 与B ，求出两集合的交集确定C ，进而可得结果.【详解】{}{}1,2,3,4,5,1,3,5,7,9A B ==,{}1,3,5C A B ∴=⋂=,则集合C 的真子集的个数为321817-=-=，故答案为7.【点睛】本题主要考查集合的交集、集合的子集，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简答题.2．109【分析】 根据分段函数的解析式求出211log 244f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，进而可得结果. 【详解】因为函数()2log ,031,0x x x f x x >⎧=⎨+≤⎩，104>， 所以211log 20,44f ⎛⎫==-< ⎪⎝⎭所以()211023149f f f -⎛⎫⎛⎫=-=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故答案为109【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.3．,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】 先求出24x π-取值范围，再由正弦函数的性质即可求出函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域. 【详解】 由题意，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，242sin x π⎡⎤⎛⎫∴-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，故答案为2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】形如sin()y A x ωϕ=+，[],x m n ∈的函数求值域，分两步：（1）[],x m n ∈求出t x ωϕ=+的范围；（2）由t x ωϕ=+的范围结合正弦函数的单调性求出sin t ，从而可求出函数的值域. 4．4【分析】根据平面向量的坐标运算公式求出向量2a b -与2a b + ,然后根据平面向量共线（平行）的充要条件建立等式,解之即可.【详解】 向量()18,,,12a x b x ⎛⎫== ⎪⎝⎭， ()1282,2,216,12a b x x a b x x ⎛⎫∴-=--+=++ ⎪⎝⎭， ()()2//2a b a b -+，()()()182116202x x x x ⎛⎫∴-+-+-= ⎪⎝⎭，即254002x -+=，又0,4x x >∴=，故答案为4.【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利用12120x x y y +=解答.5． 【分析】利用α的取值范围和22cos sin 1αα+=，求得sin α的值，然后结合两角和与差的余弦函数公式来求cos β的值.【详解】 0,,,22ππαβπ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 0,cos 0,0sin sin αββ∴>，sin α∴===，()13cos cos 35sin sin sin αβαβαββ∴+=+=+=-，解得4cos 15β+=-，故答案为415+-. 【点睛】 三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．6．4【解析】【分析】由22n n S a =-，得1122a a =-，从而()()1112,2222,2n n n n n a a S S a a n --==-=---≥，从而12n n a a -=，由此得到{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，从而能求出86a a 的值. 【详解】数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足22n n S a =-，1122a a ∴=-，解得12a =，22222a a +=-，解得24a =，332422a a ++=-，解得38a =，()()112222,2n n n n n a S S a a n --=-=---≥， 整理，得12n n a a -=，{}n a ∴是首项为2，公比为2的等比数列， 8866242a a ∴==，故答案为4. 【点睛】本题主要考查数列的通项公式与前n 项和公式之间的关系，属于中档题. 已知数列前n 项和与第n 项关系，求数列通项公式，常用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，将所给条件化为关于前n 项和的递推关系或是关于第n 项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 在利用n S 与通项n a 的关系求n a 的过程中，一定要注意1n = 的情况.7．【分析】根据圆锥的侧面积等于底面面积的3倍，计算圆锥的母线长,得出圆锥的高，代入体积公式计算出圆锥的体积.【详解】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，设2=r ,=r 3S l l S πππ==侧面积底面积，33l π=⨯，解得l =∴圆锥的高h ==∴圆锥的11333V S h 底面积π=⋅=⨯⨯=，故答案为. 【点睛】本题主要考查圆锥的侧面积公式、圆锥的体积公式以及圆锥的几何性质，意在考查空间想象能力，意在考查综合应用所学知识解决问题的能力.8．()2,+∞【详解】钝角三角形内角,,A B C 的度数成等差数列，则3A B C B ππ++=⇒=⇒ 2,33B AC ππ=+= ，可设三个角分别为,,333A A πππ-+，故133sin A A sinA c m a sin A ππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭====⎛⎫- ⎪⎝⎭，又,tan 63A A ππ<<<<tan t A =t << ，则m =，在3⎛ ⎝ 上是增函数，2m ∴>，故答案为()2,+∞.9．(x －2)2＋(y ＋32)2＝254【解析】设圆的圆心坐标(),a b ，半径为r ，因为圆C 经过坐标原点和点()4,0，且与直线1y =相切，所以()22222241a b r a b r b r ⎧+=⎪⎪-+=⎨⎪-=⎪⎩，解得23252a b r ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩，所求圆的方程为()22325224x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，故答案为()22325224x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭.10．13【分析】 根据题意画出图形，结合图形，用,AB AC 表示出,,BC AM BM ,利17AM BC 3⋅=-，即可求出λ的值.【详解】如图所示，ABC ∆中，3,2AB AC ==，120BAC ︒∠=，()(),BM BC AC AB AM BC AB BM BC λλ==-∴=⋅+⋅(()(()))(1)AB AC AB AC AB AB AC AC AB λλλ⎡⎤=+-⋅-=-+⋅-⎣⎦22(12)(1)AB AC AB AC λλλ=-⋅-+-22(12)32cos120(1)32λλλ︒=-⨯⨯⨯--⨯+⋅ 1719123λ=-=-解得13λ=， 故答案为：13λ= 【点睛】本题主要考查了向量的基本定理及向量数量积的运算性质的简单应用，属于基础试题． 11．8【解析】4()4448y y x y y x x y x y x y +⨯+=+=++≥当y=2x 取得等号，所以4y x y+的最小值是812．](6+【分析】由2sin a B =，6a =，可得sin b B=sin sin sin b c a B C A=== 6a b c B C ∴++=++化简整理为1266sin B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的有界性可得出结论. 【详解】因为2sin a B =，6a =，所以sin b B=由正弦定理可得sin sin sin b c a B C A ===,b B c C ∴==，sinA=0223A A ππ<<∴=2663a b c B C B B π⎛⎫∴++=++=++- ⎪⎝⎭，66cos 1266B B sin B π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， 2,62363B B πππππ<<∴<+<，6sin B π⎤⎛⎫∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦， ()(6a b c ⎤∴++∈+⎦，故答案为(6⎤+⎦.【点睛】本题主要考查辅助角公式、正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.13．94【分析】由基本不等式可得12xy ≤，设10,2xy u ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，()12u g u u =+，利用函数的单调性可得结果.【详解】 因为()0x y ∈+∞，，,且()()1124x y ++=，所以122412x y xy xy +++=≥+，设0t =>，则2124t t ++≤，()()223130t t t t +-=-+≤，1t ≤，即21xy ≤，12xy ≤， 设10,2xy u ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，()12u g u u =+， 10,2u ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()211'02g u u =-< ()12u g u u =+在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减， ()1924g u g ⎛⎫∴≥= ⎪⎝⎭， 即12xy xy +的最小值是94，故答案为94. 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用、利用导数研究函数的单调性进而求最值，属于难题.求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图象法、函数单调性法求解，利用函数的单调性求最值，首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间 ，最后再根据其单调性求凼数的最值即可.14．11,00,22⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】由()()1122120x f x x f x x x -<-对区间(),0-∞内任意两个不等式相等的实数12,x x 都成立，知()()g x xf x =在(),0-∞上单调递减，由()f x 的奇偶性可判断()g x 的奇偶性及特殊点，从而可作出草图，由图可解()20g x <，进而得到结论.【详解】()()1122120x f x x f x x x -<-对区间(),0-∞内任意两个不等式相等的实数12,x x 都成立，∴函数()()g x xf x =在(),0-∞上单调递减，又()f x 的奇函数， ()()g x xf x ∴=为偶函数，()g x 在()0,∞+上单调递增，且()()110g g -==，作出()g x 草图如图所示， ()20xf x <，即()()220,20xf x g x <<，由图象得，120x -<<或021x <<，解得102x -<<或102x <<， ∴不等式()20xf x <解集是11,00,22⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为11,00,22⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.15．（1）c =4（2【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系式求得tan A ，由此求得A 的大小，利用余弦定理列方程，解方程求得c .（2）先求得三角形ABD 和三角形ACD 的面积比，再由三角形ABC 的面积，求得三角形ABD 的面积.【详解】（1）由已知可得tan A =23A π=. 在△ABC 中，由余弦定理得222844cos3c c π=+-， 即22240c c +-=，解得c =-6（舍去），c =4.（2）由题设可得2CAD π∠=，所以6BAD BAC CAD π∠=∠-∠=.故△ABD 与△ACD 面积的比值为1sin 26112AB AD AC AD π⋅⋅=⋅. 又△ABC的面积为142sin 2BAC ⨯⨯∠=， 所以△ABD【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.16．（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）先由平面几何知识证明EF AB ∥，再由线面平行判定定理得结论；（2）先由面面垂直性质定理得BC ⊥平面ABD ，则BC ⊥AD ，再由AB ⊥AD 及线面垂直判定定理得AD ⊥平面ABC ，即可得AD ⊥AC ．试题解析：证明：（1）在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF AD ⊥，所以EF AB.又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.（2）因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD⋂平面BCD=BD，⊥，BC⊂平面BCD，BC BD所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.⋂=，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，又AB⊥AD，BC AB B所以AD⊥平面ABC，又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．17．(1)3见解析【分析】（1）先以点A为原点，正东方向为x轴正半轴建立坐标系，如图，得出点,B C的坐标，再利用两点距离公式得BC从而求得小船速度即可；（2）欲判断它是否会进入警戒水域，只须比较圆心E到直线BC的距离与圆的半径的大小即可.【详解】(1)建立如图所示直角坐标系，则()()()A 0,50BC ，，BC ==∴3=∕小时（也可用余弦定理求BC ）（2）BC直线方程为y 60x =-+整理得40x +=原点O 到直线BC的距离为d 719==> 所以不会进入警戒水域．【点睛】 本题主要考查阅读能力及建模能力、直线与圆的位置关系，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.18．⑴直线l 的方程为1x =；⑵6；⑶3【分析】(1)设()()()A ,0a B b a b ，，，>因为A B M ，，三点共线，可得2a b ab +=，即112a b +=，()11222a b OA OB a b a b a b b a ⎛⎫+=+=++=++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式可得结果；(2)()()2222222311313444MA MB a a b b a b ⎛⎫+=-++-+=+-- ⎪⎝⎭，先利用基本不等式求得2a b +≥，结合二次函数的性质可得结果；⑶()()()1132121MA MB MA MB a b ab ab a b a b =-=---+=++-=+-，结合（2）可得结果.【详解】(1)设()()()A ,0a B b a b ，，，>因为A B M ，，三点共线，所以MA 与MB 共线，因为()MA a =-，()1,MB b =-，所以()()110a b --=，得2a b ab +=，即112a b+=， ()112224a b OA OB a b a b a b b a ⎛⎫+=+=++=++≥ ⎪⎝⎭等号当且仅当1a b ==时取得此时直线l 的方程为1x =(2)()()()()222222221313422MA MB a a b b a b a b +=-++-+=+-++ ()()()()222314282462444a b a b ab a b a b a b ⎛⎫=+-+-+=+-++=+-- ⎪⎝⎭ 因为由2222a b a b ab +⎛⎫+=≤ ⎪⎝⎭，所以2a b +≥，当且仅当1a b ==时取得等号 所以当2a b +=时，22MA MB +取最小值6⑶()()()11321213MA MB MA MB a b ab ab a b a b =-=---+=++-=+-≥ 当且仅当1a b ==时取得等号,所以MA MB 的最小值为3【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.19．（1）[0,1]；（2）3(1,)4m ∈--；【解析】试题分析：（1）由定义得当[,]x a b ∈时，()()f a a f b b=⎧⎨=⎩ 代入解析式解方程组即可；（2）假设()x g 是区间(,0)-∞上的正函数，因为函数2()g x x m =+是(,0)-∞上的减函数， 所以当[,]x a b ∈时，()()g a b g b a =⎧⎨=⎩ 即22a m b b m a⎧+=⎨+=⎩， 两式相减可得(1)b a =-+代入2a m b +=得210a a m +++=，由0a b <<和(1)b a =-+得112a -<<-，故关于a 的方程210a a m +++=在区间1(1,)2--内有实数解，利用一元二次方程根的分布从对称轴、判别式和区间端点值三方面得不等式组解出即可；遇到这类题可以先画出符合的图像，在列不等式组比较好，否则容易漏解．试题解析：（1）因为()f x =[0,)+∞上的正函数，且()f x =[0,)+∞上单调递增， 所以当[,]x a b ∈时，()()f a a f b b =⎧⎨=⎩即a b==，解锝0,1a b ==，故()f x 的等域区间为[0,1]．（2）因为函数2()g x x m =+是(,0)-∞上的减函数， 所以当[,]x a b ∈时，()()g a b g b a =⎧⎨=⎩ 即22a m b b m a ⎧+=⎨+=⎩两式相减得22a b b a -=-，即(1)b a =-+，代入2a m b +=得210a a m +++=，由0a b <<，且(1)b a =-+得112a -<<-， 故关于a 的方程210a a m +++=在区间1(1,)2--内有实数解，记2()1h a a a m =+++，则(1)01()02h h ->⎧⎪⎨-<⎪⎩ 解得3(1,)4m ∈--． 考点：1．新定义问题应用；2．二次函数根的分布；20．⑴21n a n =-；(2)①()*3221n n b n N n -=∈-；②见解析 【分析】（1）直接由2315a a =，416S =列关于首项和公差的方程组，求解方程组得首项和公差，代入等差数列的通项公式得结论；（2）①把数列{}n a 的通项公式代入111n n n n b b a a ++-=⋅ ,然后裂项，累加后即可求得数列{}n b 的通项公式；②假设存在正整数(),m n m n ≠,使得2,,m n b b b 成等差数列，则22m n m b b b b ++=，由此列关于m 的方程，求解得结论.【详解】⑴由()()11121543162a d a d a d ⎧++=⎪⎨⨯+=⎪⎩得112a d =⎧⎨=⎩ 所以21n a n =-(2)①因为()()11111212122121n n b b n n n n +⎛⎫-==- ⎪-+-+⎝⎭ 则21111213b b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，32111235b b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭... ()1111222321n n b b n n n -⎛⎫-=-≥ ⎪--⎝⎭各式相加得1111221n b b n ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭，所以()32221n n b n n -=≥- 又11b =符合上式， 所以()*3221n n b n N n -=∈-； ②存在正整数()m n m n ≠，，使得2b ，m b ，n b 成等差数列，则22n m b b b +=，即43232232121n m n m --⎛⎫+= ⎪--⎝⎭化解整理可得()111216221m n =+--， 因为()1112,622163n ⎛⎤+∈ ⎥-⎦⎝ 所以1126213m <≤-，所以32162m ≤-<，得5742m ≤<， 所以2m =或3当2m =时，2n =，不合题意，舍去故存在3m =，8n =【点睛】本题主要考查等差数列的通项，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2） 1k =； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.。
江苏省启东中学2020-2021学年高二上学期期初考试数学试题
江苏省启东中学2020-2021学年高二上学期期初考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}2|340A x x x =--<，{|()[(2)]0}B x x m x m =--+>，若A B =R ，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,)-+∞ B ．(,2)-∞C ．(1,2)-D ．[1,2]-2．若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A ．9,34⎛⎫⎪⎝⎭ B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,33．设ω是正实数，函数2()2cos ,0,3f x x x πω⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦上是减函数，那么ω的值可以是( ) A ．12B ．2C ．3D ．44．已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为x ，方差为2s ，则( ) A ．4x =，22s <B ．4x =，22s >C ．4x >，22s <D ．4x >，22s >5．甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次游戏两人平局的概率为（ ） A ．13B ．23C ．14D ．296．如图，在ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB AD =，2AB =，2BC DB =，则sin C 的值为（ ）A ．3B C ．3D ．67．在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与1AD 所成角的大小为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒8．1l ， 2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 A ．12l l ⊥， 23l l ⊥13//l l ⇒ B ．12l l ⊥， 23//l l ⇒13l l ⊥C ．123////l l l ⇒1l ， 2l ，3l 共面D ．1l ， 2l ，3l 共点 ⇒1l ， 2l ，3l 共面9．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高，计算其体积V 的近似公式2148V L h ≈，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为4，那么近似公式2175V L h ≈相当于将圆锥体积公式中π的近似取为（ ）A ．256B ．258C ．253D ．25410．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB +的取值范围是（ ） A． B．C．D．二、填空题 11．定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数()f x 若函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，且(1)0f =则不等式()f x x的解集为_____． 12．直线(2)4y k x =-+与曲线214y x 有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是__________．13．若点P 是ABC ∆内的一点，且满足0PA PB PC ++=，则PABABCS S ∆＝________． 14．如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°、相距10海里C处的乙船，若设乙船朝北偏东θ弧度的方向沿直线前往B 处救援，则sin θ＝________.15．有一根高为3π，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为________. 16．已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为__________．三、解答题17．设全集U=R ，集合A={x|1≤x ＜4}，B={x|2a≤x ＜3-a}．（1）若a=-2，求B∩A ，B∩(∁U A)；（2）若A∪B=A ，求实数a 的取值范围．18．在ABC 中，6,18AB AC AB AC ==⋅=-. (1) 求BC 的长； (2) 求tan 2B 的值．19．某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格．某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段[)[)[)[)[]75,80,80,85,85,90,90,95,95,100（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（1）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数；（2）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率．20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A(2，4）．（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ， 求直线l 的方程．21．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒．点D ，E ，N 分别为棱PA ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，4PA AC ==，2AB =．（1）求证：MN ∥平面BDE ； （2）求二面角C EM N --的正弦值；（3）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE ，求线段AH 的长．22．已知函数22()32log ,()log f x x g x x =-=.(1) 如果[1,4]x ∈，求函数()[()1]()h x f x g x =+的值域；(2) 求函数()M x ＝()()()()2f xg x f x g x +--的最大值；(3) 如果对不等式()2()f x f kg x >中的任意[1,4]x ∈，不等式恒成立，求实数k的取值范围．参考答案1．C 【分析】分别求出集合,A B ，利用A B =R 可得两个集合端点之间的关系，从而可求实数m 的取值范围. 【详解】集合{}2|340(1,4)A x x x =--<=-，集合{|()[(2)]0}(,)(2,)B x x m x m m m =--+>=-∞⋃++∞，若A B =R ，则124m m >-⎧⎨+<⎩，解得(1,2)m ∈-，故选C.【点睛】本题考查集合的并以及一元二次不等式的解法，属于中档题. 2．B 【分析】利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小关系列出不等式求解即可 【详解】解：函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩单调递增，()301373a a a a⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤<所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 故选：B ． 【点睛】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题． 3．A 【解析】【分析】 根据函数在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数可以得到半周期满足的不等式，从而可以得到ω的取值范围，故可得正确的选项. 【详解】由题意可知函数的最小正周期2T πω=，故223T π≥，所以23ππω≥即302ω<≤，故选A ． 【点睛】本题考查三角函数的图像和性质，属于基础题． 4．A 【分析】由题设条件，利用平均数和方差的计算公式进行求解即可． 【详解】解：某7个数的平均数为4，方差为2， 则这8个数的平均数为1(744)48x =⨯⨯+=，方差为221772(44)284s ⎡⎤=⨯⨯+-=<⎣⎦． 故选：A ． 【点睛】本题考查了平均数和方差的计算应用问题，属于基础题． 5．A 【分析】先列表得到所有的基本事件的个数及平局对应的基本事件的个数，根据公式可得所求的概率． 【详解】甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，所有可能出现的结果列表如下：因为由表格可知，共有9种等可能情况．其中平局的有3种：(锤，锤)、(剪子，剪子)、(包袱，包袱)． 设A 为“甲和乙平局”，则()3193P A ==，故选A ． 【点睛】古典概型的概率计算，如果基本事件的总数计算较为繁琐时，那么应该用枚举法或列表法得到所有的基本事件及随机事件中含有的基本事件．6．D 【分析】根据题中条件，在ABD △中先由余弦定理求出cos A ，利用同角三角函数关系求出sin A ，利用正弦定理可求出sin BDC ∠，然后在BDC 中利用正弦定理求解sin C 【详解】解：设AB x =，则,,AD x BD x BC ===， 在ABD △中，由余弦定理可得，2222224213cos 223x x AB AD BD A AB AD x -+-===⋅， 所以sinA ， 在ABD △中，由正弦定理得，sin sin AB BDADB A=∠，则sin sin 23AB x ADB A x BD ∠==⨯=，所以sinBDC ∠=在BDC 中，由正弦定理得，sin sin BD BCC BDC=∠，则 sin sin 6x BD BDC C BC ⋅∠===，【点睛】此题考查了正、余弦定理，同角三角函数的关系等知识，考查了计算能力，考查了数形结合的思想，属于中档题. 7．C 【分析】连接1D C ，则1AD C ∠或其补角为所求的异面直线所成的角，利用 1AD C ∆为等边三角形可以其大小． 【详解】如图，连接1D C ，因为11//A B D C ，所以异面直线1A B 与1AD 所成的角为1AD C ∠或其补角.因为1AD C ∆为等边三角形，所以160AD C ︒∠=.故选C.【点睛】空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算. 8．B 【详解】解：因为如果一条直线平行于两条垂线中的一条，必定垂直于另一条．选项A ，可能相交．选项C 中，可能不共面，比如三棱柱的三条侧棱，选项D ，三线共点，可能是棱锥的三条棱，因此错误．选B. 9．D 【分析】因为圆锥的体积为213V r h π=，故而212L V h π=，由2211275L h L h π=可得π的近似值.设圆锥的底面半径为r ，则圆锥的底面周长2L r π=，所以2L r π=， 所以22221133412L L V r h h h ππππ==⨯⨯= .令2211275L h L h π=，得7525124π==. 【点睛】本题考查圆锥体积的计算，属于基础题. 10．B 【解析】试题分析：易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ，则消去m 得：2230x y x y +--=，所以点P在以AB 为直径的圆上，PA PB ⊥，所以222||||10PA PB AB +==，令,PA PB θθ=，则)4PA PB πθθθ+==+.因为0,0PA PB ≥≥，所以02πθ≤≤.sin()14πθ≤+≤PA PB ≤+≤.选B. 法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA PB ⊥，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一.【考点定位】1、直线与圆；2、三角代换.11．(1,0)(0,1)-【分析】画出函数的大致图像，根据图像分别求0()0x f x <⎧⎨>⎩和0()0x f x >⎧⎨<⎩的解，它们的并即为所求不等式的解． 【详解】由题意得到()f x 与x 异号，故不等式()0f x x <可转化为0()0x f x <⎧⎨>⎩或0()0x f x >⎧⎨<⎩，根据题意可作函数图象，如图所示：由图象可得：当()0,0f x x ><时，10x -<<；当()0,0f x x <>时，01x <<， 则不等式()0f x x<的解集是(1,0)(0,1)-． 【点睛】本题考查奇函数的应用和函数单调性的应用，属于基础题． 12．53(,]124【分析】要求的实数k 的取值范围即为直线l 斜率的取值范围，由于曲线y ＝表示以（0，1）为圆心，2为半径的半圆，在坐标系中画出相应的图形，直线l 与半圆有两个不同的交点；当直线l 与半圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于k 的方程，求出方程的解得到k 的值；当直线l 过B 点时，由A 和B 的坐标求出此时直线l 的斜率，根据两种情况求出的斜率得出k 的取值范围． 【详解】根据题意画出图形，如图所示：由题意可得：直线l 过A （2，4），B （﹣2，1），又曲线y ＝图象为以（0，1）为圆心，2为半径的半圆， 当直线l 与半圆相切，C 为切点时，圆心到直线l 的距离d ＝r＝2，解得：k ＝512； 当直线l 过B 点时，直线l 的斜率为()413224-=-- ，则直线l 与半圆有两个不同的交点时，实数k 的范围为53,124⎛⎤⎥⎝⎦． 故答案为53,124⎛⎤⎥⎝⎦．【点睛】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：恒过定点的直线方程，点到直线的距离公式，以及直线斜率的求法，利用了数形结合的思想，其中抓住两个关键点是解本题的关键． 13．13【分析】因为0PA PB PC ++=，所以P 为ABC ∆的重心，故可得PABABCS S ∆的值．【详解】因为0PA PB PC ++=，故P 为ABC ∆的重心，所以3ABCPAB S S ∆∆，也就是1=3PAB ABC S S ∆∆． 【点睛】本题考查三角形重心的性质，属于基础题． 14【解析】 【分析】利用正弦定理可得20sin 3sin 10ACB ACB π⎛⎫-∠ ⎪⎝⎭∠=，故可解出tan ACB ∠，再利用同角的三角函数的基本关系式可求sin ACB ∠，最后利用两角和的正弦求出sin θ. 【详解】在ABC ∆中，由正弦定理可得sin sin AC ABABC ACB=∠∠，所以sin 3sin 2sin 3AB ACB ACB ACB AC ππ⎛⎫-∠ ⎪⎛⎫⎝⎭∠==-∠ ⎪⎝⎭，整理得到2sin ACB ACB ∠=∠，故tan 2ACB ∠=， 因为0,3ACB π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以sin 7ACB ∠==cos 7ACB ∠==又1sin sin 627ACB πθ⎛⎫=+∠===⎪⎝⎭. 【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）； （3）如果知道两角及一边，用正弦定理. 15．5π【分析】考虑圆柱的侧面展开图，将其延展一倍后矩形的对角线的长度即为铁丝的最短长度. 【详解】如图，把圆柱的侧面展开图再 延展一倍，所以铁丝的最短长度即为AB 的长，又5AB π==，填5π. 【点睛】几何体表面路径最短问题，往往需要考虑几何体的侧面展开图，把空间问题转为平面问题来处理. 16．5【解析】如图所示，设,,M N P 分别为1,AB BB 和11B C 的中点，则11,AB BC 夹角为MN 和NP夹角或其补角，1122MN AB ==，1122NP BC ==，作BC 中点Q ，则PQM ∆为直角三角形，11,,2PQ MQ AC ABC ==∆中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠14122172⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，2AC MQ ∴=∴=，在MQP ∆中，2MP ==； 在PMN ∆中，由余弦定理得222222222cos 2MN NP PM MNP MN NP ⎛⎛⎛⎫+- ⎪+-∠===⋅⋅，又异面直线所成角的范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，1AB ∴与1BC，.【方法点晴】本题主要考查异面直线所成的角以及余弦定理，属于中档题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.17．（1）B∩A=[1，4），B∩(∁U A)= [-4,1)∪[4,5)；（2）1[,)2+∞ .【分析】(1)利用补集的定义求出A的补集,然后根据交集的定义求解即可直接求解即可；(2 )分类讨论B是否是空集，列出不等式组求解即可.【详解】（1）∵A={x|1≤x＜4}，∴∁U A={x|x＜1或x≥4}，∵B={x|2a≤x＜3-a}，∴a=-2时，B={-4≤x＜5}，所以B∩A=[1，4），B∩(∁U A)={x|-4≤x＜1或4≤x＜5}=[-4,1)∪[4,5).（2）A∪B=A⇔B⊆A，①B=∅时，则有2a≥3-a，∴a≥1,②B≠∅时，则有，∴,综上所述，所求a的取值范围为.【点睛】本题主要考查集合的交集、集合的补集以及空集的应用，属于简答题.要解答本题，首先必须熟练应用数学的转化与划归思想及分类讨论思想，将并集问题转化为子集问题，其次分类讨论进行解答，解答集合子集过程中，一定要注意空集的讨论，这是同学们在解题过程中容易疏忽的地方，一定不等掉以轻心.18．(1) BC=；(2)3 tan24B=【分析】(1)由余弦定理可求BC的长.(2)先由余弦定理求出cos B，再利用同角的三角函数的基本关系和倍角公式可求tan2B的值.【详解】解：(1) 因为cos 18AB AC AB AC A ⋅=⨯⨯=-，且6,AB AC ==结合余弦定理有BC ===(2) 在ABC ∆中，6,AB AC BC ===，结合余弦定理有222222cos 210BA BC AC B BA BC +-===⨯. 又(0,)B π∈，所以sin B ==，所以sin 1tan cos 3B B B ==， 所以2222tan 33tan 21tan 4113B B B ===-⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道两边及夹角，用余弦定理.另外，如果知道三条边，则必可以求与其余角相关的三角函数式的值，此时涉及到的公式有同角的三角函数的基本关系式和两角和差的三角公式、倍角公式等. 19．（1）6人；（2）715. 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图，求出频率，进而根据频数=频率×样本容量，得到答案； （2）先计算从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人的情况总数，再计算所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案． 【详解】（1）由题意可知，参加社区服务在时间段[90，95）的学生人数为20×0.04×5=4（人）， 参加社区服务在时间段[95，100]的学生人数为20×0.02×5=2（人）， 所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为 4+2=6（人）． （2）设所选学生的服务时间在同一时间段内为事件A ．由（1）可知，参加社区服务在时间段[90，95）的学生有4人，记为a ，b ，c ，d ； 参加社区服务在时间段[95，100]的学生有2人，记为A ，B ．从这6人中任意选取2人有ab ，ac ，ad ，aA ，aB ，bc ，bd ，bA ，bB ，cd ，cA ，cB ，dA ，dB ，AB ，共15种情况．事件A 包括ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd ，AB 共7种情况． 所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率．【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，列举法求概率，属于中档题，采用列举法求概率时，要做到不重不漏.20．（1）22(6)(1)1x y -+-=；（2）2502150x y x y -+=--=或【分析】(1)化简得到圆M 的标准方程，求得圆M 的圆心坐标和半径，进而求得N 的标准方程；(2)由题意得2OA OA k ==，设:2l y x b =+，则圆心M 到直线l 的距离，由此能求出直线l 的方程. 【详解】圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25，所以圆心M(6,7)，半径为5.(1) 由圆心在直线6x =上，可设0(6,)N y ．N 与x 轴相切，与圆M 外切，007y ∴<<，于是圆N 的半径为0y ，从而0075y y -=+，解得01y =． 因此，圆N 的标准方程为22(6)(1)1x y -+-= (2)直线//l OA ，∴直线l 的斜率为40220-=-．设直线l 的方程为2y x m =+，即20x y m -+=， 则圆心M 到直线l 的距离d ==2BC =而222()2BC MC d =+， (5)22555m +∴=+， 解得5m =或15m =-．故直线l 的方程为250x y -+=或2150x y --=； 【点睛】本题主要考查了圆的标准方程的求法及直线与的位置关系的应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系的判定与应用，以及合理运用圆的性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.21．（1）证明见解析；（2；（3）85或12．【解析】 【详解】试题分析：本小题主要考查直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.首先要建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，证明线面平行只需求出平面的法向量，计算直线对应的向量与法向量的数量积为0，求二面角只需求出两个半平面对应的法向量，借助法向量的夹角求二面角，利用向量的夹角公式，求出异面直线所成角的余弦值，利用已知条件，求出AH 的值.试题解析：如图，以A 为原点，分别以AB ，AC ，AP 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得A （0，0，0），B （2，0，0），C （0，4，0），P （0，0，4），D （0，0，2），E （0，2，2），M （0，0，1），N （1，2，0）.（1）证明：DE =（0，2，0），DB =（2，0，2-）.设(),,n x y z =，为平面BDE 的法向量，则00n DE n DB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即20220y x z =⎧⎨-=⎩.不妨设1z =，可得()1,0,1n =.又MN =（1，2，1-），可得0MN n ⋅=.因为MN ⊄平面BDE ，所以MN //平面BDE .（2）解：易知()11,0,0n =为平面CEM 的一个法向量.设()2,,n x y z =为平面EMN 的法向量，则220n EM n MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，因为()0,2,1EM =--，()1,2,1MN =-，所以2020y z x y z --=⎧⎨+-=⎩.不妨设1y =，可得()24,1,2n =--.因此有121212,21n n cosn n n n ⋅==-12105sin ,n n =.所以，二面角C —EM —N 的正弦值为（3）解：依题意，设AH =h （04h ≤≤），则H （0，0，h ），进而可得()1,2,NH h =--，()2,2,2BE =-.由已知，得cos ,213NH BE NH BE NH BEh ⋅===，整理得2102180h h -+=，解得85h=，或12h =. 所以，线段AH 的长为85或12. 【考点】直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角 【名师点睛】空间向量是解决空间几何问题的锐利武器，不论是求空间角、空间距离还是证明线面关系利用空间向量都很方便，利用向量夹角公式求异面直线所成的角又快又准，特别是借助平面的法向量求线面角，二面角或点到平面的距离都很容易. 22．(1) [0,2] ； (2) 最大值为1. (3) 3k <- 【分析】(1)令2log t x =，则可利用二次函数的性质求函数的值域，注意换元后t 的范围.(2)去掉绝对值符号后可得()()()()(),()()g x f x g x M x f x f x g x ≥⎧=⎨<⎩，，分别求出各自范围上函数值的取值范围可得()M x 的最大值．(3)原不等式等价于()()22234log 3log log x x k x -->⋅在[1,4]上恒成立，换元后利用参变分离可求k 的取值范围． 【详解】解：令2log t x =，(1) ()222()42log log 2(1)2h x x x t =-⋅=--+.因为[1,4]x ∈，所以 [0,2]t ∈，所以 ()h x 的值域为[0,2]． (2) ()2()()31log f x g x x -=-，当0x 2<≤时，f (x )g(x )≥；当2x >时，()()f x g x <，所以(),()()()(),()()g x f x g x M x f x f x g x ≥⎧=⎨<⎩即22log ,02()32log ,2x x M x x x <≤⎧=⎨->⎩当02x <≤时，()M x 的最大值为1；当2x >时，()1M x <. 综上，当2x =时，()M x 取到最大值为1.(3)由()f kg x >，得()()22234log 3log log x x k x -->⋅.因为[1,4]x ∈，所以[0,2]t ∈，所以 (34)(3)t t kt -->对一切[0,2]t ∈恒成立． ① 当0t =时，k ∈R ； ②(0,2]t ∈时，()(34)3-t t k t-<恒成立，即9415k t t <+-.因为 9412t t +≥，当且仅当94t t=，即32t =时取等号．所以9415t t+-的最小值为3-.综上，3k <-. 【点睛】函数值域的求法，大致有两类基本的方法：（1）利用函数的单调性，此时需要利用代数变形把函数的单调性归结为一个基本初等函数的单调性，代数变形的手段有分离常数、平方、开方或分子（或分母）有理化等；（2）利用换元法，把复杂函数的值域问题转化为常见函数的值域问题. 含参数的不等式的恒成立问题，优先考虑参变分离，把恒成立问题转化为不含参数的新函数的最值问题，后者可用函数的单调性或基本不等式来求.。
2020～2021学年度高二年级第一学期教学质量调研数学试题
江苏南通2020～2021学年度高二年级第一学期教学质量调研（一）数学试题a一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 抛物线23y x =的准线方程为（ ）A. 34x =-B. 34x =C. 34y =-D. 34y =【答案】A 【解析】 【分析】先求出324p =，即得解. 【详解】由抛物线23y x =得323,24p p =∴=， 所以抛物线的准线方程为34x =-. 故选：A【点睛】本题主要考查抛物线准线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点()2,1，则该双曲线的离心率为（ ）B.【答案】C 【解析】【分析】由题得点()2,1在直线by x a=上，化简224a b =即得解. 【详解】由题得点()2,1在直线by x a=上， 所以22122,4,ba b a b a=⨯∴=∴=，所以22222254(),54,,4a c a a c e e =-∴=∴=∴=. 故选：C【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3. 已知椭圆2211612x y +=上一点P 到其左焦点的距离为6，则点P 到右准线的距离为（ ） A 4B. 6C. 8D. 12【答案】A 【解析】 【分析】求出点P 的横坐标，进而可求得点P 到椭圆右准线的距离.【详解】设点P的坐标为(),x y ，则2211612x y +=，223124y x =-，且44x -≤≤， 对于椭圆2211612x y +=，4a =，b =2c ==，椭圆2211612x y +=的左焦点为()2,0F -，右准线方程为28a x c==，.114422PF x x ====+=+6=，解得4x=，因此，点P到右准线的距离为844-=.故选：A.【点睛】本题考查椭圆上的点到准线距离的计算，求出点P的横坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.4. 已知抛物线()220x py p=>的焦点到双曲线22154y x-=的渐近线的距离为2，则p的值为（）A. 4 B. 6 C. 9 D. 12【答案】B【解析】【分析】求出抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程，然后利用点到直线的距离公式求解即可.【详解】双曲线22154y x-=20y±=，抛物线的焦点坐标为：0,2p⎛⎫⎪⎝⎭因为抛物线()220x py p=>的焦点到双曲线22154y x-=的渐近线的距离为2，22p⨯=，解得6p故选：B【点睛】本题考查抛物线和双曲线简单性质的应用，点到直线距离公式的应用，较简单.5. 设抛物线C：24y x=的焦点为F，过点()2,0-且斜率为23的直线与C交于M，N两点，则MF NF+=（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】C 【解析】 【分析】设()11,M x y ，()22,N x y ，将直线方程代入抛物线方程，韦达定理知1210x x +=，利用抛物线焦半径公式可得到结果.【详解】设()11,M x y ，()22,N x y ，直线方程为：()223y x =+ 将直线方程代入抛物线方程得：2540x x -+=，则125x x +=由抛物线焦半径公式可得：()12121127MF NF x x x x +=+++=++= 故选：C【点睛】本题考查抛物线焦半径公式的应用，属于基础题.6. 为了美化校园环境，园艺师在花园中规划出一个平行四边形，建成一个小花圃，如图，计划以相距6米的M ，N 两点为平行四边形AMBN 一组相对的顶点，当平行四边形AMBN 的周长恒为20米时，小花圃占地面积最大为（ ）A. 6B. 12C. 18D. 24【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得出10MB BN +=，在三角形MBN 中，使用余弦定理可得cos B 的关系式，再利用基本不等式可求出cos B 的最小值，从而可求出sin B 的最大值，进而求解． 【详解】设AM x =，AN y =，则由已知可得10x y +=， 在MBN △中，6MN =，由余弦定理可得：222226()363232327cos 1111222525()2x y x y B x y xy xy xy +-+-==-=--=-=+， 当且仅当x y =时等号成立， 此时5x y ==，7cos 25min B =， 所以24sin 25max B ==， 所以四边形AMBN 的最大面积为12425524225⨯⨯⨯⨯=，此时四边形AMBN 是边长为5的菱形， 故选：D【点睛】本题主要考查了解三角形中的余弦定理以及基本不等式的简单应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．7. 已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>，过点()4,0的直线交椭圆E 于A ，B 两点.若AB 中点坐标为()2,1-，则椭圆E 的离心率为（ ）A.12C.13【答案】B 【解析】 【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程，利用点差法得到22221212220x x y y a b--+=，然后根据AB 中点坐标为()2,1-，求出斜率代入上式，得到a ，b 的关系求解.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则22112222222211x y a bx y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得：22221212220x x y y a b--+=， 因为AB 中点坐标为()2,1-， 所以12124,2x x y y +=+=-，所以()()2212122212122x x b y y b x x y y a a+-=-=-+， 又1212011422AB y y k x x -+===--，所以22212b a =，即2a b =，所以2c e a ===， 故选：B【点睛】本题主要考查椭圆的方程，点差法的应用以及离心率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8. 已知双曲线221916x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，以2F 为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，该圆与双曲线在第一象限的交点为P ，则12PF PF ⋅=（ ） A. 8B. C. 4D.【解析】 【分析】根据条件可得24PF =，由双曲线的定义可得110PF =，又1210F F =，由余弦定理得出12F PF ∠的余弦值，再由向量的数量积可得答案.【详解】双曲线221916x y -=的渐近线方程为43y x =±. 则焦点()25,0F到渐近线的距离为4d ==因为以2F 为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，所以4r = 所以24PF =,由双曲线的定义有110PF =又1210F F =，由余弦定理得22212122112||+||||100161001cos 2||||21045PF PF F F F PF PF PF -+-∠===⨯⨯， 1212121||||cos 4085PF PF PF PF F PF ⋅=⋅∠=⨯=，故选：A【点睛】本题考查双曲线的基本性质，双曲线与向量的结合，属于中档题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 已知双曲线222(0)63x y λλ-=≠，则不因λ改变而变化的是（ ） A. 渐近线方程 B. 顶点坐标C. 离心率D. 焦距【答案】AC.【分析】首先将题中所给的双曲线方程化为标准方程，写出22,a b ，求得2c 的值，求得双曲线的离心率和渐近线方程是确定的，得出结果.【详解】双曲线222(0)63x y λλ-=≠可化为2222163x y λλ-=，所以22226,3a b λλ==，所以229c λ=，所以2231()2b e a=+=，渐近线方程为2b y x x a =±=±， 故选：AC.【点睛】该题考查的是有关双曲线的问题，涉及到的知识点有根据双曲线的方程确定双曲线的离心率和渐近线方程，观察双曲线方程研究其性质，属于简单题目.10. 已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为右支上一点，若123PF PF =，则双曲线的离心率可能为（ ）A. 2B.D. 3【答案】AB 【解析】 【分析】由双曲线的定义和已知可得21|||3,|PF PF a a ==，然后再由1212||||||PF PF F F +≥可得答案. 【详解】由已知12||3||PF PF =和12||||2PF PF a -=得， 所以21|||3,|PF PF a a ==，所以1212||||||2PF PF F F c ≥=+， 即42a c ≥，12e <≤，【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，属于基础题.11. 设1F ，2F 为椭圆C ：221167x y +=的左、右焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若12MF F △为等腰三角形，则下列结论正确的是（ ） A. 12MF = B. 22MF =C. 点M 的横坐标为83D. 12MF F S △【答案】BCD 【解析】 【分析】由M 的位置及12MF F △为等腰三角形，知112MF F F =，进而求得1MF ，2MF ，然后在12MF F △中，利用余弦定理求得12cos MF F ∠，再利用112cos M x MF MF F c =⋅∠-和面积公式求解即可.【详解】因为椭圆C ：221167x y +=，所以4,3a b c ===，因为M 为C 上一点且在第一象限，且12MF F △为等腰三角形， 所以12112,26MF MF MF F F c >===，且22MF =，在12MF F △中，由余弦定理得： 22222211221211266217cos 226618MF F F MF MF F MF F F +-+-∠===⋅⨯⨯， 所以112178cos 63183M x MF MF F c =⋅∠-=⨯-=，所以12sin 18MF F ∠==，所以1112111sin 6622MF FSMF F F MF F =⨯⨯⨯∠=⨯⨯=，【点睛】本题主要考查椭圆的交点三角形以及余弦定理和面积公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12. 已知抛物线24x y =的焦点为F ，()11,A x y ，()22,B x y 是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ）A. 点F 的坐标为()1,0B. 若A ，F ，B 三点共线，则3OA OB ⋅=-C. 若直线OA 与OB 的斜率之积为14-，则直线AB 过点F D. 若6AB =，则AB 的中点到x 轴距离的最小值为2 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据抛物线的标准方程，求得焦点F 的坐标，可判定A 错误；设直线AB 的方程为1y kx =+，根据韦达定理和向量的运算，可判定B 正确；设直线AB 的方程为y kx m =+，根据直线的斜率公式、弦长公式等，可判定C 、D 正确.【详解】由抛物线24x y =，可得2p =，则焦点F 坐标为(0,1)，故A 错误；设直线AB 的方程为1y kx =+，联立方程组214y kx x y=+⎧⎨=⎩，可得2440x kx --=，所以12124,4x x k x x +==-，所以2121212()11y y k x x k x x =+++=，所以1212413OA OB x x y y ⋅=+=-+=-，故B 正确； 设直线AB 的方程为y kx m =+，联立方程组24y kx mx y=+⎧⎨=⎩，可得2440x kx m --=，所以12124,4x x k x x m +==-，所以222222121212()44y y k x x k x x m k m mk m m =+++=-++=，因为直线OA 与OB 的斜率之积为14-，即121214y y x x ⋅=-，可得2144m m =--，解得1m =， 所以直线AB 的方程为1y kx =+，即直线过点F ，故C 正确；因为6AB ===，所以224(1)()9k k m ++=，所以2994(1)m k ==+， 因为21212()242y y k x x m k m +=++=+，所以AB 的中点到x 轴的距离：22222299224(1)4(1)d k m k k k k k =+=+-=+++229114(1)k k =++-+1312≥=-=，当且仅当212k =时等号成立，所以AB 的中点到x 轴的距离的最小值为2，故D 正确， 综上所述，正确命题为BCD. 故选：BCD.【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及几何性质，以及直线与抛物线的位置关系的应用，解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，方程22sin cos 1x y αα+=表示焦点在x 轴上的椭圆，则α的取值范围为________.【答案】0,4π⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】变换得到22111sin cos x y αα+=，根据题意得到11sin cos αα>，解得答案. 【详解】22sin cos 1x y αα+=，即22111sin cos x y αα+=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故10sin α>，10cos α>， 方程22sin cos 1x y αα+=表示焦点在x 轴上的椭圆，故11sin cos αα>， 即cos sin αα>，故0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 故答案为：0,4π⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了根据椭圆方程求参数范围，意在考查学生的计算能力和转化能力，属于中档题目.14. 设椭圆221169x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点.在2ABF 中，若有两边之和为10，则第三边的长度为________. 【答案】6 【解析】 【分析】解：先由椭圆的定义得2ABF 的周长为4a ，再由椭圆的标准方程求出4a =，最后求出2ABF 第三边的长度即可.【详解】解：由椭圆的定义得121222AF AF aBF BF a +=⎧⎨+=⎩，所以2ABF 的周长为：4a，因为椭圆的标准方程为：221169x y +=，所以216a =，则4a =，所以2ABF 周长为16，因为2ABF 有两边之和为10，则第三边的长度为16106-=， 故答案为：6.【点睛】本题考查椭圆的定义、根据椭圆的标准方程确定a 的值、求焦点三角形的边长，是基础题15. 双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 是双曲线左支上一点，1290F MF ∠=︒，直线2MF 交双曲线的另一支于点N ，22MN NF =，则双曲线的离心率是________.【解析】 【分析】先设2NF m =并根据题意与双曲线的定义表示出MN ，2MF ，1MF ，1NF ，12F F ，再在直角三角形12F MF △和1F MN △中利用勾股定理建立方程整理得到225c a=，最后求双曲线的离心率. 【详解】解：由题意作图如下，设2NF m =，因为22MN NF =，所以2MN m =，2=3MF m ， 由双曲线的定义可得：1=32MF m a -，1=2NF m a +，122F F c =， 因为1290F MF ∠=︒，在直角三角形1F MN △中，222(32)(2)(2)m a m m a -+=+，整理得：43m a =， 的在直角三角形12F MF △中，222(32)(3)(2)m a m c -+=，又因为43m a =所以222(42)(4)(2)a a a c -+=，整理得：225c a=，所以ce a==【点睛】本题考查双曲线的定义、求双曲线的离心率、焦点三角形的边长关系，是中档题16. 已知F 是抛物线()221y px p =>的焦点，(),1N p ，M 为抛物线上任意一点，MN MF +的最小值为3，则p =________；若过F 的直线交抛物线于A 、B 两点，有2AF FB =，则AB =________.【答案】 (1). 2 (2).92【解析】 【分析】作出图形，过点M 作MP 垂直于抛物线()221y px p =>的准线l ，垂足为点P ，由抛物线的定义可得出MN MF MN MP +=+，由点P 、M 、N 共线时MN MF +取最小值可求得p 的值，设直线AB 的方程为1x my =+，与抛物线方程联立，列出韦达定理，结合2AF FB =可求得2m 的值，利用弦长公式可求得AB .【详解】过点M 作MP 垂直于抛物线()221y px p =>的准线l ，垂足为点P ，由抛物线的定义可得MP MF =，1p >，则2212p <，则点N 在抛物线内，如下图所示：MN MF MN MP ∴+=+，当点P 、M 、N 共线时，MN MF +取得最小值32pp +=，解得2p =，所以，抛物线的标准方程为24y x =，该抛物线的焦点为()1,0F ，设点()11,A x y 、()22,B x y ，可知直线AB 不与x 轴重合，设直线AB 的方程为1x my =+，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，可得2440y my --=，216160m ∆=+>恒成立，由韦达定理得124y y m +=，124y y =-，2AF FB =，则()()11221,21,x y x y --=-，122y y ∴=-，所以，1224y y y m +=-=，可得24y m =-，221222324y y y m =-=-=-，可得218m =，因此，()2129412AB y y m =-==+=.故答案为：2；92.【点睛】本题考查利用抛物线的定义求抛物线上的点到定点和焦点距离之和的最值，同时也考查了抛物线焦点弦长的计算，考查计算能力，属于中等题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，P 是E上一点，且在第一象限，满足(2,PF =-.（1）求点P 的坐标和抛物线E 的方程；（2）已知过点P 的直线l 与E 有且只有一个公共点，求直线l 的方程.【答案】（1）P坐标为(2,，抛物线的方程为216y x =；（2）y =y =+【解析】 【分析】（1）先表示出焦点坐标和设点P的坐标，再建立方程组解得0y =8p =，最后求点P 的坐标和抛物线的方程即可；（2）先判断当直线l 的斜率不存在时，l 与抛物线有两个交点，再根据题意设直线l 的方程，求出0k =与k =l 的方程.【详解】（1）焦点坐标,02P F ⎛⎫⎪⎝⎭，设200,2y P y p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为(2,PF =-，所以2222y p p y ⎧-=⎪⎨⎪-=-⎩， 又0p >，解得0y =8p =，所以P坐标为(2,，抛物线的方程为216y x =.（2）当直线l 的斜率不存在时，l 与抛物线有两个交点，故舍去；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx b =+，代入抛物线方程，消去x 得到216320ky y k --+=，若0k =，此时直线l ：y =若0k ≠，则(2564320k k ∆=--+=，解得k =综上：直线l 的方程为y =y =+【点睛】本题考查求抛物线的标准方程、根据直线与抛物线的位置关系求直线方程，是基础题.18. 已知椭圆1C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，抛物线2C 的焦点与椭圆1C 的右焦点F 重合，1C 的中心与2C 的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交1C 于A ，B 两点，交2C 于C ，D 两点.（1）求ABCD的值；（2）设M 为1C 与2C 的公共点，若3OM =，求1C 与2C 的标准方程. 【答案】（1）34AB CD =；（2）椭圆方程为22143x y +=，抛物线方程为24y x =. 【解析】 【分析】（1）设椭圆的方程为2222143x y c c+=，抛物线方程为24y cx =，然后分别求出AB 、CD 即可；（2）联立椭圆和抛物线的方程求出点M 的坐标，然后由3OM =求出c 即可. 【详解】（1）因为椭圆1C 的离心率为12，所以设其方程为2222143x y c c +=，(),0F c ，令x c =解得32y c =±，所以3AB c =，又抛物线2C 的焦点与椭圆1C 的右焦点(),0F c 重合，所以设其方程为24y cx =，令x c =解得2y c =±，所以4CD c =，故34AB CD =. （2）由222221434x y c c y cx⎧+=⎪⎨⎪=⎩消去y 得：22316120x cx c +-=，解得23x c =或6c -（舍）.所以2,33M c c ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭，因为OM =1c =. 即椭圆方程为22143x y +=，抛物线方程为24y x =.【点睛】本题考查的是椭圆和抛物线的综合问题，考查了学生的分析能力，属于基础题.19. 设椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为2，且椭圆上的点到焦点距离的最大值1.（1）求椭圆C 的方程；（2）动直线l ：x ty m =+（m C 交于A ，B 两点，已知()2,0M ，且2MA MB ⋅=，求证：直线l 恒过定点.【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）由题意易得2c a =，1a c +=，解得a 和c 的值，再由222b a c =-得出2b 的值，最后写出椭圆的方程即可；（2）联立直线和椭圆的方程得到关于x 的一元二次方程，由韦达定理可得12y y +和12y y 的表达式，代入2MA MB ⋅=中可得23820m m -+=，解出m 的值即可证明直线过定点.【详解】（1）设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，焦距为2c ，由题意可得2c a =，1a c +=，所以a =1c =， 又2221b a c =-=， 所以椭圆方程为2212x y +=；（2）由2212x y x ty m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x 得()2222220t y mty m +++-=，由>0∆，得222m t <+，设()11,A x y ，()22,B x y ，则12222mt y y t +=-+，212222m y y t -=+，()()()121212122224x x MA y M x x B y x x =--⋅+=-++()()()121222ty m ty m t y y m =++-++⎡⎤⎣⎦()()2212121(2)(2)2t y y t m y y m =++-++-=，所以有23820m m -+=，解得43m ±=，又m <<，所以m =，即直线l恒过定点43⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆的简单几何性质，考查直线过定点问题，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.20. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左顶点为()2,0A -，右焦点()1,0F ，斜率为()0k k ≠的直线l 与C 交于M ，N 两点.（1）当直线l 过原点O 时，满足直线AM ，AN 斜率和为2k -，求弦长MN ； （2）当直线l 过点F 时，满足直线AM ，AN 斜率和为k -，求实数k 的值. 【答案】（1）MN =2）1k =±. 【解析】 【分析】(1）先求出椭圆的方程，设()00,M x y ，()00,N x y --，根据2AM AN k k k +=-可得202x =，代入椭圆方程求出2032y =，从而求出弦长|MN |; (2）直线l 方程为(1)y k x =-，与椭圆方程联立，利用韦达定理代入AM AN k k k +=-，即可求出k 的值. 【详解】（1）由左顶点为()2,0A -，右焦点()1,0F 知2,1a c ==， 所以2223b a c =-=所以椭圆方程为22143x y +=，设()00,M x y ，()00,N x y --，由2AM AN k k k +=-，得0000222y y k x x +=-+-，0000222kx kx k x x +=-+-， 因为0k ≠，所以202x =，代入椭圆方程得2032y =，所以MN ==.（2）设直线l 方程为(1)y k x =-，由22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得，()22223484120k x k x k +-+-=， >0∆恒成立，设()11,M x y ，()22,N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+， 由AM AN k k k +=-，得121222y yk x x +=-++， ()()12121122k x k x k x x --+=-++，又0k ≠，所以()()1212121224124x x x x x x x x ++-=-+++， ()12120x x x x ∴++=，2222412803434k k k k -∴+=++，21k =∴解得1k =±.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题.21. 已知双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的实轴长为F 为右焦点，()0,1M ，()0,1N -，且MNF 为等边三角形. （1）求双曲线E 的方程； （2）过点M直线l 与E 的左右两支分别交于P 、Q 两点，求PQN 面积的取值范围.【答案】（1）2212x y -=；（2）[)4,+∞. 【解析】 【分析】(1)由题意可知c =2a =和2221b c a =-=，即可求出a ， b ， c 的值，从而得到双曲线E 的方程;(2）当直线l 的斜率存在时，直线与双曲线没有交点，当直线l 的斜率存在时，设其方程为1y kx =+，与双曲线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式得到PQNS =,由1200x x ∆>⎧⎨<⎩，求出k 的取值范围，从而求出PQNS的取值范围.【详解】（1）设焦距为2c ，因为()0,1M ，()0,1N -，且MNF 为等边三角形， 所以c=又2a =，所以a =2221bc a =-=，所以双曲线方程为2212x y -=.（2）当直线l 的斜率不存在时，直线与双曲线没有交点， 当直线l 的斜率存在时，设其方程为1y kx =+，22112y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 得到()2212440k x kx ---=， 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122412kx x k +=-，122412x x k =--， 因为直线l 与E 的左右两支分别交于两点，所以1200x x ∆>⎧⎨<⎩，解得22k <<， （或由双曲线的渐近线方程为2y x=±得22k -<<）. 121212PQNx x x x S N M -==-=△=2102k ≤<， 令1,12t ⎛⎤= ⎥⎝⎦，则2441212t S t t t==--，因为12y t t =-在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦单调递增，所以当1t =时，y 最小为4. 即[)4,S ∈+∞.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单几何性质，考查了直线与双曲线的位置关系，属于中档题.22. 已知点()1,0F 为抛物线E ：()220y px p =>的焦点，直线l 与抛物线E 相交于A ，B 两点，抛物线E 在A ，B 两点处的切线交于M .（1）求证：A ，M ，B 三点的纵坐标成等差数列；（2）若AB a ，其中a 为定值，求证：ABM 的面积的最大值为38a p. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由题得抛物线方程为24y x =，先求出两切线的方程分别为1122y y x y =+①，2222y y x y =+②，解之得122M y y y +=，即得证； （2）取AB 的中点Q ，连接MQ ，过M 点作MN AB ⊥，垂足为N ，先证明()212||4y y MN -≤，设直线AB 的方程为x my t =+（由题意可知0m ≠），所以12y y a -≤，所以2||8aMN ≤，即得ABM 的面积的最大值.【详解】（1）证明：由题得抛物线方程为24y x =，设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由题意可知切线的斜率一定存在，设为k ，211244y y y k x y x ⎧⎛⎫-=-⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪=⎩消去x 得，2211440ky y y ky -+-=， 因为直线与抛物线相切，所以0∆=，解得12k y =， 此时切线方程为211124y y y x y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭即112,2y y x y =+① 同理设222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，另一条切线方程为2222y y x y =+②， 将①②联立方程组，解得122M y y y +=， 所以A ，M ，B 三点的纵坐标成等差数列.（2）取AB 的中点Q ，连接MQ ，过M 点作MN AB ⊥，垂足为N ，则()2221212121212||||24844y y x x y y y y y y MN MQ -++≤=-=-=，设直线AB 的方程为x my t =+（由题意可知0m ≠），则12||AB y y a =-=，所以12y y a -≤，即()2212||||48y y a MN MQ -≤=≤， 所以3311||||||22168ABMa a SAB MN a MQ p=⋅≤⋅==.。
20202021学年江苏省启东市高二上学期期中考试数学试题.docx
2020〜2021学年第一学朝朝中老弑畚二散学弑题位猝分建以（考弑时南：120分舛滴分：150分）—、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知命题p： 3reR, A'2 -x + |<0 ,则w 为（▲）A .Vx^R,.子 _ x + 土W 0B.VxCR,-V2— X + -y > 04C .HxER, A：2 - x + 4〉4D.『—x + ^-< 04【答案】B2 22.椭圆公+匕=1的长轴长为（▲）16 4A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】C3.已知关于x的不等式掘+鑫一1>0的解集为（3,4）,则实数a, b的值是（▲）A. 3=12, b=—84B.。
=—12, Z?=84c- a=n, b=~n D- a=~n, b=n【答案】D4.已知1, a, x, b, 16这五个实数成等比数列，则x的值为（▲）A. 4B. -4C. +4D.不确定【答案】A5.已知正数“、/?满足ci+b=2,则有' + JK有（▲）A.最小值1B.最小值2C.最大值1D.最大值2【答案】D6.七>1,力>1"是"logQ+log和N2"的（▲）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【答案】A7.在等差数列｛a,J中,已知前21项和$21=63,则a2~ha5~has-------- 曲的值为（▲）A. 7B. 9C. 21D. 42【答案】C8.Exe § + 8），使得ax2~2x+l>0成立，则实数a的取值范围为（▲）A. [ — 3, +。
B. ( — 3, +。
C. [l, + oo)D. (l, + oo)【答案】B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
2020-2021学年江苏启东中学高二上学期期中文科数学试卷
2020-2021学年江苏启东中学高二上学期期中文科数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．“p 且q 为真”是“p 或q 为真”的 条件．（填充要，充分不必要，必要不充分，既不充分又不必要）2．命题“x R ∃∈，lg 2x x =-”的否定是 ．3．点1,0A 在圆2222330x y ax a a +-++-=上，则a 的值为__________.4．若椭圆22131x y k k+=-+的焦点在x 轴上，则k 的取值范围为 ． 5．双曲线22122:1x y C a b-=与双曲线22222:1x y C a b -=-的离心率分别为1e 和2e ，则221211e e += ． 6．抛物线2y ax =的准线方程为1y =，则焦点坐标是 ．7．若直线0x y m ++=与圆22x y m +=相离，则m 取值范围是 ．8．下列命题：①2,10x R x ∀∈+>；②2,1x N x ∀∈≥；③3,1x Z x ∃∈<；④2,3x Q x ∃∈=；⑤2,320x R x x ∀∈-+=；⑥2,10x R x ∃∈+=．其中所有真命题的序号是 ． 9．已知点P 是椭圆22221x y a b+=(0,0)a b xy >>≠上的动点，1(,0)F c -、2(,0)F c 为椭圆对左、右焦点，O 为坐标原点，若M 是12F PF ∠的角平分线上的一点，且1F M MP ⊥，则OM 的取值范围是 ．10．已知直线0ax by x ++=与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，且AB =则·=OA OB ________.11．已知直线:,L y x b =+曲线:C y =当直线L 和曲线C 有两个公共点时，b 的取值范围是________.12．下列说法：①函数()ln 36f x x x =+-的零点只有1个且属于区间(1,2)；②若关于x 的不等式2210ax ax ++>恒成立，则(0,1)a ∈；③函数y x =的图象与函数sin y x =的图象有3个不同的交点； ④已知函数2()log 1a x f x x-=+为奇函数，则实数a 的值为1． 正确的有 ．（请将你认为正确的说法的序号都写上）13．已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的离心率是2，过椭圆上一点M 作直线,MA MB 交椭圆于,A B 两点，且斜率分别为12,k k ，若点,A B 关于原点对称，则12k k ⋅的值为 ．14．直线340x y -+=与抛物线2x =和圆221(22x y +-=，从左到右的交点依次为A 、B 、C 、D ，则AB CD的值为 ．二、解答题 15．（本小题满分14分）已知命题p ：实数m 满足227120m am a -+<(0)a >，命题q ：实数m 满足方程22112x y m m+=--表示焦点在y 轴上的椭圆，若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求a 的取值范围．16．（本小题满分14分）在直角坐标系xOy 中，已知(3,0)A -，(3,0)B ，动点(,)C x y ，若直线,AC BC 的斜率AC k ，BC k 满足条件49AC BC k k ⋅=-． （1）求动点C 的轨迹方程；（2）已知12(F F ，问：曲线C 上是否存在点P 满足120PF PF ⋅=？若存在求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．17．已知命题P ：方程210x mx ++=有两个不相等的实根，命题q ：关于x 的不等式22(1)10mx m x m -+++<，对任意的实数x 恒成立，若“p q ∨”为真，“p q ∧”为假，求实数m 的取值范围．18．（本小题满分16分）已知椭圆22:24C x y +=．（1）求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在直线2y =上，点B 在椭圆C 上，且OA OB ⊥，求线段AB 长度的最小值．19．已知圆22:4O x y +=.（1）直线10l y +-=与圆O 相交于A B 、两点，求弦AB 的长度；（2）如图，设()11,M x y ，()22,P x y 是圆O 上的两个动点，点M 关于原点的对称点为1M ，点M 关于x 轴的对称点为2M ，如果直线12PM PM 、与y 轴分别交于()0,m 和()0,n ，问m n ⋅是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由.20．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左．右焦点分别为12,F F ,短轴两个端点为,A B ,且四边形12F AF B 的边长为2 的正方形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若,C D ,分别是椭圆长轴的左,右端点,动点M 满足MD CD ⊥,连结CM ,交椭圆于点P ．证明: OM OP ⋅的定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,试问x 轴上是否存在异于点C ,的定点Q ,使得以MP 为直径的圆恒过直线DP ,MQ 的交点,若存在,求出点Q 的坐标；若不存在,说明理由．参考答案1．充分不必要【解析】试题分析：p 且q 为真，则p ， q 皆为真，所以p 或q 为真，即充分性成立；p 或q 为真，则p ， q 至少有一个为真，p ， q 不一定都为真，因此p 且q 不一定真，即必要性不成立.考点：复合命题真假【名师点睛】充分、必要条件的判定方法．（1）定义法．（2）传递法．（3）集合法：若p 以集合A 的形式出现，q 以集合B 的形式出现，即A ＝{x|p （x ）}，B ＝{x|q （x ）}，则①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；②若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件；③若A ＝B ，则p 是q 的充要条件．（4）等价命题法：利用原命题和逆否命题是等价的这个结论，有时可以准确快捷地得出结果，是反证法的理论基础．2．,lg 2x R x x ∀∈≠-【解析】试题分析：因为命题“x p ∃，”的否定是“x p ∀⌝，”，因此命题“x R ∃∈，lg 2x x =-”的否定是,lg 2x R x x ∀∈≠-考点：命题的否定3．-2【分析】根据2222330x y ax a a +-++-=表示圆的方程，求出a 的取值范围，将点1,0A 代入圆2222330x y ax a a +-++-=即可求解.【详解】圆2222330x y ax a a +-++-=所以()2244330a a a -+->， 解得1a <点1,0A 在圆2222330x y ax a a +-++-=上，所以2102330a a a +-++-=，即220,2a a a +-==-或1a =（舍去）.故答案为：2-【点睛】此题考查根据点在圆上求参数的取值，易错点在于漏掉考虑方程表示圆必须满足的条件，导致产生增根.4．(1,1)-【解析】试题分析：由题意得：31011k k k ->+>⇒-<<考点：椭圆几何性质5．1【解析】 试题分析：由题意得：22222:1y x C b a -=，12e e ==所以2222222212111a b e e a b a b +=+=++考点：双曲线离心率6．(0,1)-【解析】 试题分析：22114y ax x y y a a =⇒=⇒=-，所以111,(0,)(0,1)44F F a a -=-即考点：抛物线焦点及准线7．2m >【解析】02m m >>⇒>考点：直线与圆相离8．①③【解析】试题分析：①2,110x R x ∀∈+≥>；②2,0x N x ∀∈≥；③3=0,1x Z x ∃∈<；④23,x x Q =⇒=；⑤20320x x x =-+≠时；⑥2,110x R x ∃∈+≥>．所以①③为真命题 考点：命题真假判定9．(0,)c【解析】试题分析：延长1F M 交2PF 或其延长线于N 点，则212222111|||||2|||222OM F N PF PF a PF PF a PF ==-=--=-，因为2(,)(,)PF a c a a a c ∈-+，因此OM 的取值范围是(0,)c考点：椭圆定义 【名师点睛】圆锥曲线中求最值与范围问题是高考题中的常考问题，解决此类问题，一般有两个思路：（1）构造关于所求量的函数,本题利用椭圆定义构造函数，通过求函数的值域来获得问题的解；（2）构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解．在解题过程中，一定要深刻挖掘题目中的隐含条件，如判别式大于零等．10．12- 【分析】在等腰三角形OAB 中，求出AOB ∠即可.【详解】由题意得||||1OA OB ==，||AB =过O 作OH AB ⊥于点H ，则||||HA HB ==1||2OH =,所以60AOH BOH ∠=∠=︒.所以120AOB ∠=︒. 所以1cos 11cos1202OA OB OA OB AOB =∠=⨯⨯︒=-. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，弦长问题，一般可以在弦心距、半径、半弦长组成的三角形中解决问题.11．⎡⎣【分析】作出函数y =b 的取值范围．【详解】如图所示，作出函数y 的图象，当直线L 位于图示的两条直线之间时，直线L 和曲线C 有两个公共点．当直线L 1=，解得b =b =(舍去)．根据直线在y 轴上的截距，可知1b ≤<故答案为：⎡⎣．【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，意在考查数形结合思想的应用，属于中档题．12．①④【解析】试题分析：①(1,2)x ∈时1()30,(1)30,(2)ln 20f x f f x '=+>=-<=>，因此函数()ln 36f x x x =+-的零点只有1个且属于区间(1,2)；②当0a =时关于x 的不等式2210ax ax ++>恒成立，所以不对；③函数y x =的图象与函数sin y x =的图象只有1个交点；④已知函数2()log 1a x f x x -=+为奇函数，且在0x =时有意义，因此2log 0,1a a ==，选①④ 考点：函数性质，不等式恒成立13．12-【解析】试题分析：设1111(,),(,),(,)M x y A x y B x y --，则由点差法得2211122211()()=,=,()()b x x b x x k k a y y a y y +-+- 因此224224221111222422422111()()()=()()()()b x x b x x b x x b a b k k a y y a y y a y y a b a +--⨯==⋅-=-+--，因为离心率是，所以a =，从而1212k k =-考点：点差法【名师点睛】在给出的圆锥曲线f （x ，y ）＝0中，求中点为（m ，n ）的弦AB 所在直线方程时，一般可设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），利用A ，B 在曲线上，得f （x 1，y 1）＝0，f （x 2，y 2）＝0.两式相减，结合x 1＋x 2＝2m ，y 1＋y 2＝2n ，可求出k AB ＝2121y y x x --从而由点斜式写出直线AB 的方程．这种方法我们称为点差法．本题利用点差法表示直线斜率.14．116【解析】试题分析：直线340x y -+=过圆心，也是抛物线的焦点(02F ，,由直线340x y-+=与抛物线2x=联立方程组得28A B A Bx x y y=-===,因此2828AB AM r=-=+-=，22CD DM r=-=+=从而1.16ABCD=考点：抛物线定义【名师点睛】“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．15．1338a≤≤【解析】试题分析：先确定命题p,q为真时，m的取值范围，再由p,q关系确定a的取值范围．命题p为真，就是解一元二次不等式，其解集用a表示：34a m a<<；命题q为真，就是根据椭圆标准方程及焦点位置确定分母大小及分母为正：210m m->->；由q⌝是p⌝的充分不必要条件得：p是q的充分不必要条件，即p是q的真子集，结合数轴得31342aa≥⎧⎪⎨≤⎪⎩，进而解得a的取值范围．试题解析：解：由227120(0)m am a a-+<>，则34a m a<<，即命题:34p a m a<<由22112x ym m+=--表示焦点在y轴上椭圆可得：210m m->->，∴312m<<，即命题3:12q m<<由q⌝是p⌝的充分不必要条件，则p是q的充分不必要条件，从而有：31342aa≥⎧⎪⎨≤⎪⎩∴13 38a≤≤考点：充要关系，椭圆标准方程16．（1）22194x y+=(3)x≠±（2），⎛⎝，，⎛⎝【解析】试题分析：（1）直接法求动点轨迹方程：先根据两点斜率公式化简条件49AC BCk k⋅=-得4339y yx x⋅=-+-，整理即得22194x y+=，再根据化简等价性及斜率存在条件得到x限制条件：3x≠±（2）存在性问题，一般从计算出发，列出满足题意的条件，能解出就说明存在，否则就不存在. 首先点(,)P x y满足120PF PF⋅=，由向量数量积可得221250PF PF x y⋅=-+=，再由点(,)P x y在曲线C上，得22194x y+=(3)x≠±，联立方程组解得四个解.试题解析：解：（1）3ACykx=+(3)x≠-，3BCykx=-(3)x≠又49AC BCk k⋅=-，∴4339y yx x⋅=-+-化简整理得22194x y+=(3)x≠±（2）设曲线C上存在点(,)P x y满足120PF PF⋅=1(,)PF x y=--2(5,)PF x y=-∴221250PF PF x y⋅=-+=联立方程组22225194x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得2295165x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴存在四个点满足条件，它们是：，⎛ ⎝，，⎛ ⎝ 考点：直接法求轨迹方程，向量数量积【名师点睛】高考题中求轨迹问题的主要有以下方法：（1）直接法：直接利用条件建立x ，y 之间的关系f （x ，y ）＝0.也就是：建系设点、列式、代换、化简、证明，最后的证明可以省略，必要时加以说明．（2）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知的曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．（3）待定系数法：已知所求的曲线类型，先根据条件设出曲线方程，再由条件确定其待定系数．（4）相关点法：动点P （x ，y ）依赖于另一动点Q （x 0，y 0）的变化而变化，并且Q （x 0，y 0）又在某已知曲线上，首先用x ，y 表示x 0，y 0，再将x 0，y 0代入已知曲线得到要求的轨迹方程．（5）交轨法：动点P （x ，y ）是两动直线（或曲线）的交点，解决此类问题通常是通过解方程组得到交点（含参数）的坐标，再消去参数求出所求的轨迹方程．（6）参数法：当动点P （x ，y ）的坐标之间的关系不易找到，可考虑将x ，y 均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得方程f （x ，y ）＝0. 17．2m >或21m -≤<-． 【解析】试题分析：利用判别式以及根与系数的关系求得命题为真命题对应的数集，讨论二次项系数是否为0，利用判别式得到命题为真命题对应的数集；根据真值表判定命题的真假，再利用集合间的运算进行求解．解题思路:处理简易逻辑问题时，往往先化简各命题为真命题对应的数集，再结合复合命题的真假判定各命题的真假情况分类求解．试题解析：因为方程210x mx ++=有两个不相等的实根，所以△240m =->解得2m <-或2m >，则命题P ：2m <-或2m >2分又因为不等式22(1)10mx m x m -+++<对任意的实数x 恒成立．①当0m =时，原不等式化为12x >不满足题意，所以0m =舍去． 3分 ②当0m ≠时，则1)20{4(4(1)0m m m m +<-+<解得1m <-，即命题：1m <-． 6分 又由于“p q ∨”为真，“p q ∧”为假可知和一真一假． 8分 （1）若真假，则22{1m m m -≥-或解得2m >； 10分（2）若假真，则22{1m m -≤≤<-解得21m -≤<-； 12分综上述，实数m 的取值范围为21m -≤<-或2m >． 13分 考点：1．复合命题与真值表；2．不等式恒成立．18．（1）2c e a ==（2）【解析】试题分析：（1）研究椭圆性质，一般先将方程化为标准方程，再根据标准方程对应量的几何意义确定性质：椭圆22:24C x y +=化为标准方程为22142x y +=，因此2,a b c ===，从而椭圆C的离心率c e a ==（2）求线段AB 长度的最小值，一般需先根据两点间距离公式列出参数关系式，再根据参数间关系，转化为一元函数关系式，最后根据函数关系特点，利用基本不等式求最值. 设(,2)A t ，00(,)B x y 且00x ≠，则线段AB 长度中有三个参数，而由题意有两个条件：一是0OA OB ⋅=，可得0020tx y +=；二是点B 在椭圆C 上，即220024x y +=，因此先消去t ，再消去0y ，即得220208||42x AB x =++，最后利用基本不等式求最值，注意参数取值范围试题解析：解：（1）椭圆22:24C x y+=化为标准方程为22142x y+=，∴2,a b c===∴椭圆C的离心率2cea==；（2）设(,2)A t，00(,)B x y且0x≠，∵OA OB⊥，∴0OA OB⋅=，∴0020tx y+=，∴2ytx=-∵220024x y+=，∴222222220000000020024||()(2)()(2)4y yAB x t y x y x yx x=-+-=++-=+++22220000220042(4)84422x x xxx x--=+++=++2(04)x<≤，∵22842xx+≥2(04)x<≤，当且仅当2282xx=，即24x=时等号成立，∴2||8AB≥．∴线段AB长度的最小值为考点：椭圆离心率，直线与椭圆位置关系【名师点睛】1.求椭圆的离心率的方法．①直接求出a，c来求解，通过已知条件列方程组，解出a，c的值；②构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；③通过取特殊值或特殊位置，求出离心率2.圆锥曲线中最值的求法有两种：（1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．（2）代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等．19．（1）2；（2）见解析. 【解析】试题分析：(1)先求出圆心(0,0)0y +-=的距离,再利用弦长公式求得弦长AB 的值.(2)先求出12M M 、的坐标,用两点式求直线12PM PM 、的方程,根据方程求得他们在y 轴上的截距m,n 的值,计算mn 的值,可得结论.试题解析：（1）由于圆心()0,0到直线10l y +-=的距离d ==圆的半径2r =，所以2AB ==.（2）由于()11,M x y ，()22,P x y 是圆()f x 上的两个动点，则可得()111,M x y --，()211,M x y -，且22114x y +=，22224x y +=.直线1PM 的方程为112121y y x x y y x x ++=++，令0x =求得122121x y x y y m x x -==+.直线2PM 的方程为112121y y x x y y x x +-=+-，令0x =求得122121x y x y y m x x --==-.222221122221x y x y m n x x -⋅==- ()()222221122221444x x x x x x ---=-.显然mn 为定值.20．(Ⅰ) 22142x y +=；(Ⅱ)见解析；(Ⅲ) 存在(0,0)Q ,使得以MP 为直径的圆恒过直线DP ,MQ 的交点.【解析】试题分析：（I）由于四边形为正方形，所以222b c a ===，由此求得椭圆方程为22142x y +=.（II ）设出直线CM 的方程，联立直线方程和椭圆方程，求出P 点坐标，代入OM OP ⋅可求得值为4.（III ）设出Q 点的坐标，利用圆的直径所对圆周角为直角的几何性质得到0MQ DP ⋅=，结合（II ）将,,,M Q D P 的坐标代入上式，可求得()0,0Q . 试题解析：(Ⅰ)由题意得, 22b c ==b c ==2a =所以所求的椭圆方程为22142x y +=(Ⅱ)由(Ⅰ)知, ()20C -，,()20D ， 由题意可设():2CM y k x =+,()11,P x y ． 因为MD CD ⊥ 所以()2,4M k由()221{422x y y k x +==+整理得:()2222128840k x k x k +++-= 因为21284212k x k --=+所以()1124212ky k x k =+=+，222244,1212k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭所以()22222412244=244121212k k k OM OP k k k k+-⋅⋅+⋅==+++ (Ⅲ)设()0,0Q x ,则02x ≠-．若以MP 为直径的圆恒过DP ,MQ 的交点,则MQ DP ⊥, 所以0MQ DP ⋅=恒成立 由(Ⅱ)可知()02,4QM x k =-,22284,1212k k DP k k ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭．所以()2022842401212k kMQ DP x k k k-⋅=-⋅+⋅=++． 即228012k x k=+恒成立． 所以00x =．所以存在()0,0Q ,使得以MP 为直径的圆恒过直线DP ,MQ 的交点．。
江苏省启东市2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题
2020～2021学年第一学期期中考试高二数学试题(考试时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． 已知命题p ：∃x ∈R ，2104x x -+≤，则⌝p 为（ ▲ ） A ．∀x ∈R ，2104x x -+≤ B ．∀x ∈R ，2104x x -+> C ．∃x ∈R ，2104x x -+> D ．∃x ∈R ，2104x x -+< 2． 椭圆141622=+y x 的长轴长为（ ▲ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．163． 已知关于x 的不等式ax 2＋bx －1>0的解集为(3,4)，则实数a ，b 的值是（ ▲ ）A ．a ＝12，b ＝－84B ．a ＝－12，b ＝84C ．a ＝112，b ＝－712D ．a ＝－112，b ＝7124． 已知1，a ，x ，b ，16这五个实数成等比数列，则x 的值为（ ▲ ）A ．4B ．－4C ．±4D ．不确定5． 已知正数a 、b 满足a ＋b ＝2，则b a +有（ ▲ ）A ．最小值1B ．最小值2C ．最大值1D ．最大值26． “a >1，b >1”是“log a b ＋log b a ≥2”的（ ▲ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要7． 在等差数列{a n }中，已知前21项和S 21＝63，则a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 20的值为（ ▲ ）A ．7B ．9C ．21D ．428． ∃x ∈)13⎡+∞⎢⎣，，使得ax 2－2x ＋1>0 成立，则实数a 的取值范围为（ ▲ ） A ．[－3,＋∞) B ．(－3,＋∞) C ．[1,＋∞) D ．(1,＋∞)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
2019-2020学年江苏省南通市启东中学高二(上)第一次质检数学试卷(10月份) (含答案解析)
2019-2020学年江苏省南通市启东中学高二（上）第一次质检数学试卷（10月份）一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1. 已知△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b =2√3,a =2，∠B =60°，则∠A =( )A. 120°B. 60°C. 45°D. 30°2. 打靶时，A 每打10次可中靶8次，B 每打10次可中靶7次，若2人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是( )A. 1425B. 1225C. 34D. 353. 已知直线l ：y −1=k(x −2)，点A(1,0)，B(0,4)，若直线l 与线段AB 有公共点，则其斜率k的取值范围是( )A. (−1,15)B. (1,3)C. (1,+∞)D. [−32,1]4. 已知{a n }为等差数列，a 2=100，a 6=10，则a 4=( )A. 8B. 7C. 6D. 555. 过点P(−3,4)作圆x 2+y 2=4的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A. 3x +4y −7=0B. 3x −4y +25=0C. 3x −4y +4=0D. 3x −4y =06. 若直线a ，b 是异面直线，b 与c 也是异面直线，则a 与c 的位置关系是( )A. 平行或异面B. 相交，平行或异面C. 异面或相交D. 异面7. 已知数列{a n }，{b n }满足a 1=b1=3，a n+1−a n =b n+1b n=3，n ∈N ∗，若数列{c n }满足c n =b a n ，则c 2015=( )A. 92014B. 272014C. 92015D. 2720158. 在ΔABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c 满足b 2+c2−a2=bc ，AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >0，a =√32，则b +c 的取值范围是( )A. (1,32)B. (√32,32) C. (12,32)D. (12,32]9. 已知圆心在x 轴上的圆C 过点(0,0)和(1,1)，已知点P 是直线y =k(x +2)上一动点，过点P 作圆C 的两条切线分别与圆C 相切于M ，N 两点，若四边形PMCN 的面积的最小值为√5，则k 的值为( ) A. ±1 B. ±√2 C. ±√3 D. ±210. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3−4a 2+4a 1=0，则S8S 4=( )A. 17B. 18C. 19D. 20二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11. 过点P(1,2)作直线m ，使直线l 与点M(2,3)和点N(4,9)距离相等，则直线m 的方程为______． 12. 若a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，sinA a=cosB b，则角B =______．13. 已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A nB n=3n+1n+1，则a 2+a 5+a 8b 3+b 7=______．14. 已知在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =1，BC =2，AA 1=4，E 是侧棱CC 1的中点，则直线AE 与平面A 1ED 所成角的正弦值为______．15. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，且满足a n a n+1=2S n ，数列{b n }满足b 1=16，b n+1−b n =2n ，则数列{bna n}中第______ 项最小．三、解答题（本大题共7小题，共75.0分）16. 已知向量a =(x,−1)，b =(3,y)，其中x 随机选自集合{−1,1，3}，y 随机选自集合{1,3，9}．(1)求a//b 的概率; (2)求a ⊥b 的概率．17. 如图，几何体E −ABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB =CD ，EC ⊥BD ．(1)求证：BE =DE ；(2)若∠BCD =120°，M 为线段AE 的中点，求证：DM//平面BEC ．18. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bcosC =3acosB −ccosB ．(Ⅰ)求cos B 的值； (Ⅱ)若BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，且b =2√2，求a 和c 的值．19. 已知直线l 的方程为mx −y +1−m =0，圆C 的方程为x 2+(y −1)2=5．(1)证明：直线l 与圆C 相交；(2)已知D(−2,0)，E(2,0)为x 轴上的两点，若圆C 内的动点P 使|PD|，|PO|，|PE|成等比数列，求PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PE⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．20. 已知{a n }为等差数列，且a 1+a 3=8，a 2+a 4=12(1)求{a n }通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，若a 1，a k+1，S k+3成等比数列，求正整数k 的值．21. (本小题满分14分)如图，已知四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧棱，PA =AB =2，AD =4，M 为侧棱PC 的中点．(1)求异面直线AM 与PD 所成角的余弦值； (2)求二面角B −PC −D 的余弦值．22.已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n=2a n−1(n∈N∗)．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)令b n=log2a n，求数列{(−1)n b n2}前2n项的和T．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：在△ABC中，由正弦定理得asinA =bsinB，∴sinA=asinBb =2×√322√3=12．∵a<b，∴A<B，即A是锐角．∴A=30°．故选：D．由已知及正弦定理可求得sin A的值，由a<b，可知A是锐角，从而确定∠A的值．本题考查了正弦定理的应用，是基础题．2.答案：A解析：解：∵A每打10次可中靶8次，B每打10次可中靶7次∴A中靶的概率是810=45，B中靶的概率是710，∵A和B是否中靶是相互独立的，根据相互独立事件同时发生的概率得到它们都中靶的概率是45×710=1425，故选A．根据题意先分别做出两个人中靶的概率，看清楚两个人射击是否中靶是相互独立的，根据相互独立事件同时发生的概率得到结果．本题考查相互独立事件同时发生的概率，是一个基础题，相互独立事件同时发生的概率公式是：P(AB)=P(A)P(B).这个公式应用起来比较简单．3.答案：D解析：【分析】本题考查直线的斜率，属于基础题．求出直线y−1=k(x−2)过定点C(2,1)，再求它与两点A，B的斜率，即可得k的取值范围．【解答】解：直线y−1=k(x−2)过定点C(2,1)，∴k AC=1−02−1=1，k BC=1−42−0=−32，∴k∈[−32,1]．故选D．4.答案：D解析：【分析】本题考查等差数列的通项公式，等差数列的性质，考查运算求解能力，属于基础题． 由等差中项可知a 4=a 2+a 62，由此计算a 4的值．【解答】解：在等差数列{a n }中，由a 2=100，a 6=10， 得a 4=a 2+a 62=100+102=55．故选：D ． 5.答案：C解析：解：x 2+y 2=4的圆心O(0,0)，半径r =2，∵P(−3,4)，∴线段PO 的中点C(−32,2)，|PO|=√(−3)2+42=5， ∴以PO 为直径的圆C 的方程为(x +32)2+(y −2)2=254，即x 2+y 2+3x −4y =0，把圆C ：x 2+y 2+3x −4y =0与圆x 2+y 2=4相减，得：3x −4y +4=0， ∵直线3x −4y +4=0经过两圆的交点，即切点A ，B ， ∴直线AB 的方程为3x −4y +4=0． 故选：C ．x 2+y 2=4的圆心O(0,0)，求出以PO 为直径的圆C 的方程为x 2+y 2+3x −4y =0，把圆C ：x 2+y 2+3x −4y =0与圆x 2+y 2=4相减，得直线AB 的方程．本题考查直线方程的求法，考查直线方程、圆等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 6.答案：B解析：解：正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，①AD 和A 1B 1是异面直线，AD 和BB 1是异面直线， A 1B 1和BB 1是相交线；②AD 和A 1B 1是异面直线，AD 和D 1C 1是异面直线， A 1B 1和D 1C 1是平行线；③AD 和A 1B 1是异面直线，AD 和CC 1是异面直线， A 1B 1和CC 1是异面线．∴若直线a ，b 是异面直线，b 与c 也是异面直线， 则a 与c 的位置关系是相交，平行或异面． 故选：B ．以正方体为载体，利用空间中线线间的位置关系，能判断a 与c 的位置关系．本题考查两直线位置关系的判断，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养． 7.答案：D解析：由已知条件知{a n }是首项为3，公差为3的等差数列；数列{b n }是首项为3，公比为3的等比数列，∴a n =3n ，b n =3n ，又c n =b a n =33n ，∴c 2015=33×2015=272015． 8.答案：B解析：由b 2+c2−a2=bc 得：cosA =b 2+c 2−a 22ab=12，则A =π3，由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >0，可知：B 为钝角，2R =asinA=1，则b =sinB,c =sinC ，b +c =sinB +sinC =sinB +sin(2π3−B)=32sinB +√32cosB =√3sin(B +π6)，由于π2<B <2π3,2π3<B +π6<5π6，所以12<sin (B +π6)<√32，b +c ∈(√32,32)，故选B ． 9.答案：B解析：【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的标准方程，属于中档题． 先求出圆的方程，在利用四边形面积求出｜PC ｜的最小值，代入点到直线距离公式，即可求出答案． 【解答】解：设圆C 的方程为(x −a)2+y 2=r 2(r >0)， 代入点(0,0)和(1,1)的坐标有{a 2=r 2(1−a)2+1=r 2，解得{a =1r =1则圆C 的标准方程为(x −1)2+y 2=1，由切线的性质有．由四边形PMCN 的面积的最小值为√5可得｜PC ｜的最小值为√6， 即√k 2+1=√6，解得k =±√2， 故选B ．10.答案：A解析：【分析】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，属于基础题． 利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出． 【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q ， ∵a 3−4a 2+4a 1=0，∴q 2−4q +4=0，解得q =2． 则S 8S 4=a 1(1−28)1−2a 1(1−24)1−2=17．故选：A ．11.答案：3x −y −1=0或2x −y =0．解析：解：①当直线l 与MN 平行时， k MN =9−34−2=3，∴直线l 的方程为：y −2=3(x −1)， 化为一般方程为：3x −y −1=0；②当直线l 经过线段MN 的中点C(3,6)时， k PC =6−23−1=2，∴直线l 的方程为：y −2=2(x −1)， 化为一般方程是：2x −y =0；综上，所求的直线方程为3x −y −1=0或2x −y =0． 故答案为：3x −y −1=0或2x −y =0．求出直线l 与MN 平行时和直线l 经过线段MN 的中点时对应的直线方程，再化为一般方程即可． 本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、直线方程以及分类讨论方法的应用问题，是中档题．12.答案：π4解析：解：a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，sinA a=cosB b，可得sinAsinA =cosB sinB，可得sinB =cosB ，所以B =π4． 故答案为：π4．直接利用正弦定理以及特殊角的三角函数，化简求解即可． 本题考查正弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力．13.答案：215解析：解：由等差数列的性质可得：a 2+a 5+a 8b 3+b 7=3a 52b 5=32×9(a 1+a 9)29(b 1+b 9)2=32×A 9B 9=32×3×9+19+1=215．故答案为：215． 由等差数列的性质可得：a 2+a 5+a 8b 3+b 7=3a 52b 5=32×A9B 9，即可得出．本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.答案：49解析：解：在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =1， BC =2，AA 1=4，E 是侧棱CC 1的中点，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，A(2,0，0)，E(0,1，2)，A 1(2,0，4)，D(0,0，0)， EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,−2)，DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，4)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，2)，]设平面A 1ED 的法向量n⃗ =(x,y ，z)，则{n ⃗ ⋅DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +4z =0n⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =y +2z =0，取z =1，得n ⃗ =(−2,−2,1)， 设直线AE 与平面A 1ED 所成角为θ， 则sinθ=|EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||EA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=43×3=49， ∴直线AE 与平面A 1ED 所成角的正弦值为49． 故答案为：49．以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AE 与平面A 1ED 所成角的正弦值．本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 15.答案：4解析：解：当n =1时，2S 1=a 1a 2，即2a 1=a 1a 2，∴a 2=2．当n ≥2时，2S n =a n a n+1，2S n−1=a n−1a n ，两式相减得2a n =a n (a n+1−a n−1)， ∵a n ≠0，∴a n+1−a n−1=2，∴{a 2k−1}，{a 2k }都是公差为2的等差数列，又a 1=1，a 2=2， ∴{a n }是公差为1的等差数列， ∴a n =1+(n −1)×1=n ， ∵b 1=16，b n+1−b n =2n ，∴b n =(b n −b n -1 )+(b n−1−b n -2 )+ (b n−2−b n -3 )+⋯+(b 2−b 1 )+b 1=n(n −1)+16bn an=n +16n−1，利用基本不等式得n =4时n +16n−1最小，∴数列{bna n}中第4项最小．利用递推关系、等差数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出．求a n 通项公式时要比较奇数项和偶数项通项特征，求a n 通项公式时用累加法，最后用基本不等式求最值．16.答案：解：由题意，得(x,y)对应的所有基本事件为(−1,1)，(−1,3)，(−1,9)，(1,1)，(1,3)，(1,9)，(3,1)，(3,3)，(3,9)，共9个． (1)设“a//b ”为事件A ， 则需满足xy =−3，事件A 包含的基本事件有(−1,3)，共1个， 故a//b 的概率P(A)=19．(2)设“a ⊥b ”为事件B ， 则需满足y =3x ，事件B 包含的基本事件有(1,3)，(3,9)，共2个， 故a ⊥b 的概率P(B)=29．解析：本题主要考查古典概型及其概率计算公式的应用，两个向量平行，两个向量垂直的性质． (1)由于a ⊥b 等价于 a =λb ，即xy =−3，由此求得a//b 的概率．(2)由于a ⊥b 等价于 a ⋅b =0，即3x −y =0，即y =3x ，由此求得a ⊥b 的概率．17.答案：(本小题满分12分)证明：(1)设BD 中点为O ，连接OC ，OE ， ∵BC =CD ，∴CO ⊥BD ，又已知CE ⊥BD ，∴BD ⊥平面OCE ．∴BD ⊥OE ，即OE 是BD 的垂直平分线，∴BE =DE ． (2)取AB 中点N ，连接MN ，DN ， ∵M 是AE 的中点，∴MN//BE ，∵△ABD 是等边三角形，∴DN ⊥AB ． 由∠BCD =120°知，∠CBD =30°，∴∠ABC =60°+30°=90°，即BC ⊥AB ， ∴ND//BC ，∴平面MND//平面BEC ， ∴DM//平面BEC ．解析：(1)设BD 中点为O ，连接OC ，OE ，推导出CO ⊥BD ，CE ⊥BD ，从而BD ⊥平面OCE ，再由BD ⊥OE ，由此能证明BE =DE ．(2)取AB 中点N ，连接MN ，DN ，推导出MN//BE ，DN ⊥AB ，BC ⊥AB ，从而ND//BC ，进而平面MND//平面BEC ，由此能证明DM//平面BEC ．本题考查两线段相等的证明，考查线面平行证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．18.答案：解：(I)由正弦定理得a =2RsinA ，b =2RsinB ，c =2RsinC ， 则2RsinBcosC =6RsinAcosB −2RsinCcosB ， 故sinBcosC =3sinAcosB −sinCcosB ， 可得sinBcosC +sinCcosB =3sinAcosB ， 即sin(B +C)=3sinAcosB ，可得sinA =3sinAcosB.又sinA ≠0， 因此cosB =13．(II)解：由BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，可得accosB =2， 又cosB =13,故ac =6，由b 2=a 2+c 2−2accosB ， 可得a 2+c 2=12，所以(a −c)2=0，即a =c ， 所以a =c =√6．解析：(1)首先利用正弦定理化边为角，可得2RsinBcosC =3×2RsinAcosB −2RsinCcosB ，然后利用两角和与差的正弦公式及诱导公式化简求值即可．(2)由向量数量积的定义可得accosB =2，结合已知及余弦定理可得a 2+b 2=12，再根据完全平方式易得a =c =√6．本题考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式、诱导公式、向量数量积的定义等基础知识，考查了基本运算能力．19.答案：(1)证明：由mx −y +1−m =0，得y =m(x −1)+1， ∴直线l 必过定点G(1,1)，又12+(1−1)2<5，∴点G 在圆C 内部，∴直线l 与圆C 相交；(2)解：设P(x,y)，由|PD|，|PO|，|PE|成等比数列，得√(x =2)2+y 2⋅√(x −2)2+y 2=x 2+y 2，即x 2−y 2=2，∴PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PE⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2−x,−y)⋅(2−x,−y)=x 2−4+y 2=2(y 2−1)． 由于点P 在圆C 内，则{x 2+(y −1)2<5x 2−y 2=2． 由此得y 2−y −1<0，解得：1−√52<y <1+√52． 故0≤y 2<(1+√52)2=3+√52．∴2(y 2−1)∈[−2,1+√5)．∴PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PE⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[−2,1+√5)．解析：(1)利用直线系方程求出直线所过定点，判断定点在圆C 内看到直线l 与圆C 相交；(2)设P(x,y)，由|PD|，|PO|，|PE|成等比数列，得到x 2−y 2=2，写出PD⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2−x,−y)⋅(2−x,−y)=x 2−4+y 2=2(y 2−1)，结合点P 在圆C 内，得到关于y 的不等式，求解不等式得到y 的范围，进一步求得PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PE⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围． 本题主要考查直线和圆的位置关系的判断，考查向量数量积的坐标运算，考查推理论证能力及运算能力，是中档题．20.答案：解：(1)设等差数列{a n }的公差等于d ，则由题意可得{2a 1+2d =82a 1+4d =12，解得a 1=2，d =2， ∴{a n }的通项公式a n =2+2(n −1)=2n ；(2)由(1)可得{a n }的前n 项和为S n =n(a 1+a n )2=n(n +1)，∵a 1，a k+1，S k+3成等比数列，∴a k+12=a 1S k+3，∴4(k +1)2=2(k +3)(k +4)，解得k =5或k =−2(舍去)，故k =5．解析：(1)设等差数列{a n }的公差等于d ，则由题意可得{2a 1+2d =82a 1+4d =12，解得a 1=2，d =2，从而得到{a n }的通项公式；(2)由(1)可得{a n }的前n 项和为S n =n(a 1+a n )2=n(n +1)，再由a k+12=a 1S k+3，求得正整数k 的值．本题主要考查等比数列的定义和性质，等差数列的通项公式和求和公式的运用，属于中档题． 21.答案：解：(1)如图所示，以A 为原点，建立空间直角坐标系A −xyz ，则A(0,0，0)，B(2,0，0)，D(0,4，0)，P(0,0，2)，C(2,4，0)，M(1,2，1)，∵AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,1),PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,−2)， ∴cos <AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,PD ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6×2√5=√3010， ∴异面直线AM 与PD 所成角的余弦值为√3010； (2)设平面BPC 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，∵BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,0),BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,2)，并且m ⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,m ⃗⃗⃗ ⊥BP⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴{4y =0−2x +2z =0，令x =1得z =1，y =0， ∴平面BPC 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(1,0，1)，设平面DPC 的法向量为n⃗ =(a,b ，c)， ∵DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0),DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−4,2)，并且n ⃗ ⊥DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ ⊥DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴{2a =0−4b +2c =0，令b =1得c =2，a =0， ∴平面DPC 的一个法向量为n ⃗ =(0,1，2)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√2⋅√5=√105， ∴二面角B −PC −D 的余弦值为−√105．解析：本题考查空间向量的数量积的应用，二面角以及异面直线所成角的求法，考查转化思想以及计算能力．(1)以A 为原点，建立空间直角坐标系A −xyz ，求出AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,1),PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,−2)，利用向量的数量积直接求解异面直线AM 与PD 所成角的余弦值；(2)求出平面BPC 的法向量，平面MBD 的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角B −PC −D 的余弦值．22.答案：解：(Ⅰ)由S n =2a n −1(n ∈N ∗).n ≥2时，S n−1=2a n−1−1，相减可得：a n =2a n−1，n =1时，a 1=2a 1−1，解得a 1=1．∴数列{a n }是等比数列，公比为2，首项为1．∴a n =2n−1．(Ⅱ)b n =log 2a n =n −1．于是数列{b n }是首项为0，公差为1的等差数列．数列{(−1)n b n 2}前2n 项的和T =−b 12+b 22−b 32+b 42+⋯…−b 2n−12+b 2n 2=(b 2−b 1)(b 2+b 1)+(b 4−b 3)(b 4+b 3)+⋯…+(b 2n −b2n −1)(b 2n +b 2n−1)=b 1+b 2+⋯…+b 2n=0+1+2+⋯…+(2n −1)=2n(2n −1+0)2=n(2n −1)．解析：本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(Ⅰ)由S n =2a n −1(n ∈N ∗).n ≥2时，S n−1=2a n−1−1，相减可得：a n =2a n−1，利用等比数列的通项公式即可得出．(Ⅱ)b n =log 2a n =n −1.数列{(−1)n b n 2}前2n 项的和T =−b 12+b 22−b 32+b 42+⋯…−b 2n−12+b 2n 2=b 1+b 2+⋯…+b 2n ，即可得出．。
江苏省启东中学高二数学上学期第一次质量检测试题无答案
江苏省启东中学2019-2020学年高二数学上学期第一次质量检测试题（无答案）一、选择题（本题共10 小题，每小题5 分，共50 分.每题只有一项是符合题目要求的.）1.△ABC 的内角A,B,C 所对边分别为a,b,c 若a=3,b =3 ,B,A,C 成等差数列，则B=( )．A. πB. 5πC.π或5πD. 2π6 6 6 6 32.一人在打靶中，连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( )．A. 两次射击都不中靶B. 两次射击都中靶C. 至多有一次中靶D. 恰有一次中靶3.直线y=k(x-1)与A(2，3)、B(0，1)为端点的线段有公共点,则k 的取值范围是 ( )．A.[-1,1] B.[-1,3]C.(-∞,-1][3,+∞)1D.(-∞,-1] [1,+∞)4.已知数列{a n } 中,a3 =2,a7 =1,又数列{1+a n}是等差数列,则a11 等于( )．A. 0B. 1C.2D. -12 35.过点P(-2,3)向圆x2 +y2 =1引圆的两条切线PA,PB,则弦AB 所在的直线方程为 ()．A. 2x-3y+1=0B. 2x+3y+1=0C. 3x+2y+1=0D. 3x-2y+1=06.设a,b,c 是空间的三条直线,给出以下五个命题：①若a ⊥b,b ⊥c ,则a ⊥c ；②若a,b 是异面直线,b,c 是异面直线,则a,c 也是异面直线；③若a 和b 相交,b 和c 相交,则a 和c 也相交；④若a 和b 共面,b 和c 共面,则a 和c 也共面；⑤a//b,b//c 则a // c ；其中正确的命题的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 37.定义：若a n+ 2 -a n+1=q(n∈N*,q 为非零常数）,则称{a } 为“差等比数列”,已知在“差a n+1 -a n等比数列”{a n } 中,a1 = 1，a2 = 2，a3 =4，则a2019 -a2018 的值是( )A. 22019B.22018C.22017D. 220168.在△ABC 中,A、B、C 的对边分别为a、b、c,且3a2 +3c2 -3b2 = 2ac ,BA⋅BC = 2 ,则△ABC 的面积为( )A. 2B.3C. 222D. 4 2T 9.过直线 l ：y =2x +a 上的点作圆 C ：x 2 + y 2 = 1 的切线,若在直线 l 上存在一点 M ,使得过点 M 的圆 C 的切线 MP ,MQ (P ,Q 为切点)满足 ∠PMQ = 90︒ ,则 a 的取值范围是 （ ）A.[-10,10]B. [-10 , 10 ] C. (-∞,-10][10,+∞)D .(-∞,- 10 ] [10 ,+∞)10.已知等比数列{a n } ，a n ＞0，a 1＝256，S 3＝448，T n 为数列{a n }的前 n 项乘积，则当T n取得最大值时，n ＝（ ）A.8B.9C. 8 或 9 D . 8.5二、填空题：（本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.） 11.已知点 P 1(2，3)、P 2(－4，5)和 A (－1，2)，则过点 A 且与点 P 1、P 2 距离相等的直线方 程为．12.已知 a 、b 、c 为△ABC 的三个内角 A 、B 、C 的对边,向量m = (-1, 3 ), n = (cos A , sin A ) ,若 m ⊥ n ,且 a cos B + b cos A = c sin C ,则角 B 的大小为．13. 从集合{2,3,4,5} 中随机抽取一个数 a ,从集合{1,3,5} 中随机抽取一个数 b ,则向量m = (a , b ) 与向量 n = (1,-1) 垂直的概率为 ．S n 2n + 70a n 14.已知两个等差数列{a n } 和{b n } 的前 n 项和分别为 S n 和T n ，且 n= n + 3 ，则使得 b n 为整数的正整数 n 的个数是 ． 15.如下图,在三棱锥 P —ABC 中,已知 PA ⊥ 平面 ABC ,△ABC 是边长为 2 的正三角形,E 为PC 的中点，若直线 AE 与平面 PBC 所成角的正弦值为 42 ,则 PA 的长为．716.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学.分形的外表结构极为复杂, 但其内部却是有规律可寻的.一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式, 即一种基于递归的反馈系统.下面我们用分形的方法来得到一系列图形,如图 1,线段 AB 的长度为 a ,在线段 AB 上取两个点 C ,D ,使得 AC = DB = 1AB ,以 CD 为一边在线段 AB 的上4方做一个正六边形,然后去掉线段 CD ,得到图 2 中的图形；对图 2 中的最上方的线段 EF 作 相 同 的 操 作 , 得 到 图 3 中 的 图 形 ； 依 此 类 推 , 我 们 就 得 到 了 以 下 一 系 列 图 形 ：（第15 题）记第n 个图形(图1 为第1 个图形)中的所有线段长的和为S n ,现给出有关数列{S n }的四个命题：①数列{S n }是等比数列；②数列{S n }是递增数列；③存在最小的正数a,使得对任意的正整数n,都有S n >2018 ；④存在最大的正数a,使得对任意的正整数n,都有S n <2018 ．其中真命题的序号是(请写出所有真命题的序号)．三、解答题：（共70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（10 分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1 中，D，E 分别为BC，AC 的中点，AB=BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．18.（12 分）在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c．且满足b2 =ac,cos = 3．41（1）求+1的值；tan A tan C3（2）设BA⋅=,求三边a，b，c 的长度．219.（12 分）已知圆M 的方程为x2 +y2 -2x -2y - 6 =0，以坐标原点O 为圆心的圆O 与圆M 相切．（1）求圆O 的方程；（2）圆O 与x 轴交于E,F 两点,圆O 内的动点D 使得DE,DO,DF 成等比数列,求DE ⋅DF 的取值范围．20.（12 分）一位幼儿园老师给班上 k (k ≥ 3) 个小朋友分糖果.她发现糖果盒中原有糖果数为 a 就先从别处抓 2 块糖加入盒中，然后把盒内糖果的 1分给第一个小朋友;再从别处0 ，2 抓 2 块糖加入盒中，然后把盒内糖果的 1分给第二个小朋友；…,以后她总是在分给一个3小朋友后,就从别处抓 2 块糖放入盒中，然后把盒内糖果的 1 n + 1分给第 n (n = 1, 2, 3, k )个小朋友．如果设分给第 n 个小朋友后（未加入 2 块糖果前）盒内剩下的糖果数为 a n .（1）当 k = 3 , a 0 = 12 时,分别求 a 1 , a 2 , a 3 ；（2）请用a n -1 表示 a n (n = 1, 2, 3, k ) ，令b n = (n + 1)a n ,求数列{b n }的通项公式；（3）是否存在正整数 k (k ≥ 3) 和非负整数 a 0 ,使得数列{a n } (n ≤k ，n ∈ N* ) 成等差数列,如果存在,请求出所有的 k 和 a 0 ,如果不存在,请说明理由.21.（12 分）在直三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 中,底面△ABC 是直角三角 形, AC = BC = AA 1 = 2 ,D 为侧棱 AA 1 的中点．（1）求异面直线DC 1 , B 1C 所成角的余弦值； （2）求二面角B 1 - DC - C 1 的平面角的余弦值．22.（12 分）已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,满足 S n = 2a n - 1(n ∈ N ) ,数列 {b n } 满足nb n +1 -(n + 1)b n = n (n + 1)(n ∈ N) ,且 b 1 = 1（1）证明数列{bn } 为等差数列,并求数列{a } 和{b } 的通项公式；（2）若 c n= (-1)n -1 4(n + 1)2nnn,求数列{c } 的前 n 项和T ；(3 + 2 log 2 a n )(3 + 2 log 2 a n +1 )（3）若 d n = a n ⋅ b n ,数列{d n } 的前 n 项和为 D n ,对任意的 n ∈ N ,都有 D n ≤ nS n - a ,求实数 a 的取值范围．。
江苏省启东中学2020学年高二数学上学期期中试题
4 48.江苏省启东中学2020学年高二数学上学期期中试题、选择题（本大题共10小题，共50.0分）A.充分非必要条件B.必要非充分条件D.既非充分也非必要条件从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（. 戸.nn^+iinC上，则…=(已知两个向量- - .，且.则” "I ；的值为（直线x =的倾斜角为（ ―11.设一 P 则“三：：一”是“一.一”的（ ） 7. A. 1 B. 2 一个圆锥的侧面展开图是 A.B. C. 4 D. 8 的圆面，则这个圆锥的表面积和侧面积的比是（ C. D.C.充要条件 2. 3. 4.A. 如果直线-直线 A.相交B. 在平面直角坐标系B. C. S Z5 n ,且沁°平面：Y,那么n 与工的位置关系是C. D.D.xOy 中，已知—ABC 顶点A （-4 , 0）和C （4, 0）,顶点B 在椭圆二5. A. B. C. D.等比数列｛a n ｝的各项均为正数，且 a s a 6+a 4a 7= 18, 则 log 3a i +log 3a 2+…+log s a i0=(A. 12B. 10C. 86.A. B. C. D.4 3 Z9. 已知△ ABC中，a=1 , . : , A=30° 则B 等于（）A.沱B.:或〕上［『C.血rD. 或l_10. 圆〔「杠--与圆卜护、莎…叭、］—»的公切线有几条（）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11. 己知O v a v 3，那么! + —的最小值是a S-c12. 若等差数列｛a n｝满足a7+a8+a9>0, a7+ae v0,则当n= ________ 时，｛a n｝的前n项和最大.13. 已知点P是椭圆一+一= 1（a>b>0）上的一点，F1,F2分别为椭圆的左、右焦点，已知/ F1PF2=120°,且| PF| = 3| PF|，则椭圆的离心率为_________________________ .14. 已知Gi= （2, -1 , 2），白=（-1 ,3,-3 ），亡=（13, 6,入），若向量 E 共面，则入= _________ .15. 已知直线I : mxy=4,若直线l与直线x+m（m1 ）y=2垂直，则m的值为___________________ .16. 在平面直角坐标系xOy中，以点（1, 0）为圆心且与直线mxy-2m仁0 （m€ R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 _______________ .三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.如图，在直三棱柱ABCABC中，D, E分别为AB BC的中点，点F在侧棱BB上，且BD丄AF, AC丄AB.求证: (1)直线DE/平面ACF;(2)平面BDEL平面AQF.18.已知a, b, c分别是△ ABC内角A, B, C的对边，且满足(b-c) 2=a2- bc.(1)求角A的大小；(2)若a=3，sin C=2sin B,求△ ABC的面积.19. 如图所示，将一矩形花坛工扩建成一个更大的矩形花园.，要求三在-一二上，二在"上，且对角线/过二点，已知= I米，.-二二：米.⑴要使矩形-一匸「的面积大于32平方米，则；「的长应在什么范围内？⑵若的长度不少于6米，则当一"的长度是多少时，矩形.的面积最小？并求出最小面积.20. 已知圆「的圆心在T轴正半轴上，半径为三，且与直线":I •上：；相切.(1)求圆「的方程；(2)设点 '］，过点门作直线「与圆「交于二三两点，若防=：二求直线「的方程；(3)设二是直线「丁匚—｛上的点，过二点作圆匚的切线.、三，切点为三.求证：经过---［三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.21. 设椭圆C： ' =1 (a> b> 0)，过点Q( _ , 1)，右焦点F( , 0),(I)求椭圆C的方程；(n)设直线l : y=k (x-1 ) (k>0)分别交x轴，y轴于C, D两点，且与椭圆C交于MN两点，若一..二；求k值，并求出弦长| MN•22. 若数列｛a n｝是递增的等差数列，它的前n项和为T n,其中T3=9，且a i, a2, a5成等比数列.(1 )求｛a n｝的通项公式；(2 )设b n= ，数列｛b n｝的前n项和为S，若对任意n€ N, 4S < a2-a恒成立，求a的C-H^n+1取值范围.答案和解析1. 【答案】A【解析】【分析】本题考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题•2解不等式a > 1得a> 1或a v -1,由小范围可推大范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可•【解答】2解：由a > 1得a> 1或a v -1,•••由“ a> 1” 能推出“ a> 1 或a v -1"，但“ a> 1 或a v -1 ” 推不出“ a> 1 ” , 即“ a> 1”是“ a2> 1”的充分不必要条件•故选A2. 【答案】B【解析】【分析】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用.从甲、乙等5名学生中随机选出2人，先求出基本事件总数，再求出甲被选中包含的基本事件的个数，同此能求出甲被选中的概率.【解答】解：从甲、乙等5名学生中随机选出2人，设另外三位学生分别为A, B, C基本事件有（甲、乙），（甲、A）、（甲、B）、（甲、0、（乙、A）、（乙、B）、（乙、C、（A, B）,（A, C）、（B, 0 共10 种，甲被选中包含的基本事件的个数有4个，•••甲被选中的概率P===.m 4 271 Id 5故选B.3. 【答案】D4. 【答案】D【解析】【分析】本题考查椭圆的简单性质，考查了正弦定理及椭圆定义的应用，是中档题.由题意画出图形，求出椭圆的长轴及焦距长，再由正弦定理把转化为三角形边的关系得答案.【解答】解：由椭圆=1 ,得C=4,••• B 在椭圆 =1上，••• AB+B(=10, AG8,.• = BC-F-ABsinB AC故选D.5. 【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了等比数列的性质，解题的关键是灵活利用等比中项的性质，以及对数运算，属较易题•先根据等比中项的性质可知 a 5a 6=a 4a 7,进而根据a 5a 6+a 4a 7=18,求得a s a 6的值，最后根据等比数列的性质求得log 3a i +log 3比+…+log 3a io =log 3 (a 5a 6) 5,则答案可得.【解答】解：由等比数列的性质可得a 5a 6=a 4a 7,…a 5a 6+a 4a 7=2a 5a 6=l8, --a 5a 6=9,• log 3a 计log 3a ?+…+log 3a io5=log 3 ( a 5a 6) =5log 39=10.故选B. 6. 【答案】C【解析】【分析】本题考查了空间向量共线定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.由 ，则存在实数k 使得..「，即可得出.【解答】 解: •••存在实数k 使得.廳=1的两个焦点，Zb 9e Af 2 =1 = km i 3 = Jbi解得k= , m=-2, n=6,则m+n=4.故选C7. 【答案】A【解析】【分析】根据圆锥体的侧面展开图是半圆，求出底面半径r与母线长I的关系，再求它的底面面积与侧面积的比，即可得出结论.本题考查了圆锥体的表面积和侧面积的计算问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是基础题目【解答】解：设该圆锥体的底面半径为r,母线长为I，根据题意得；• I=4r；n & n rl=「2：r（4r）=1: 4，所以这个圆锥的底面面积与侧面积的比是£z所以这个圆锥的表面积和侧面积的比是_S故选：A.8. 【答案】D【解析】【分析】本题考查了直线的倾斜角，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.由直线x=与x轴垂直，可得其倾斜角.【解答】解：T直线X=与X轴垂直,因此其倾斜角为ar故选D.9. 【答案】D【解析】【分析】本题主要考查正弦定理，以及边角关系的应用，注意内角的范围，属于基础题.根据题意和正弦定理求出sin B的值，由边角关系、内角的范围、特殊角的三角函数值求出【解答】解：由题意得，△ ABC中，a=1, ；-，A=30°，又b>a, 0°v B< 180°,则B=60°或B=120°. 故选D.10. 【答案】C【解析】【分析】本题考查了圆的一般式方程与标准方程的互化和两圆位置关系的判断等知识点，属于中档题将圆的方程化为标准方程，求出圆心距及半径，可得两圆相外切，由此可确定两圆的公切线的条数.【解答】解：圆°化为标准方程为：(X+1) 2 + (y+2) 2=4,则圆心坐标为Ci (-1 , -2 )，半径为2,圆二：严斗；-4v- 'I ..二化为标准方程为：(x-2 ) 2+ (y-2 ) 2=9,则圆心坐标为C2 (2, 2),半径为3,•••圆心距〔CQF J(2+ l)^ + (2+2^a = 5即两圆的圆心距等于两圆的半径的和,•两圆相外切，•••两圆的公切线有3条.故选C. B.由得, ---- =------sinA si"sin B===，a1 2=2+3【解析】【分析】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题.0 v a v 3, 3-a > 0.可 得 == ，利用基本不等式的性质即可得出.丸彳十3—似）（丄十丄m 丸“十口十判 OL 3-a 3 八0 3-/ 3 a 【解答】解：I 0v a v 3, 3- a >0.=-+ — -(a+3-a)(- + -^-)a 3—a 3K 八0 3—a/弐10 十?十芒）|（10 + 27-I 11IJfJ ： 1 r ；1 『厶■、 当且仅当, ，等号成立。
2020-2021学年江苏省南通市启东中学高二(下)第一次阶段测试数学试卷
2020-2021学年江苏省南通市启东中学高二（下）第一次阶段测试数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 设复数z =a +bi(其中a 、b ∈R ，i 为虚数单位)，则“a =0”是“z 为纯虚数”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件2. 已知函数y =f(x)在x =x 0处的导数为1，则△x →0limf(x 0+△x)−f(x 0)2△x=( )A. 0B. 12C. 1D. 23. 在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(3,1)，则1z =( )A. 38−18iB. 110−310iC. 34−14iD. 310−110i4. 杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家．在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵(如图所示)，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果．它比西方的“帕斯卡三角形”早了393年．若用a i−j 表示三角形数阵的第i 行第j 个数，则a 100−3=( )A. 5050B. 4851C. 4950D. 50005. “中国梦”的英文翻译为“ChinaDream ”，其中China 又可以简写为CN ，从“CNDream ”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea ”字母组合(顺序不变)的不同排列共有( )A. 360种B. 480种C. 600种D. 720种6. 在(x2−y)(x +y)6的展开式中，x 3y 4的系数是( )A. 20B. 152C. −5D. −2527. 若存在两个正实数x ，y 使得等式x(1+ln x)=x ln y −ay 成立(其中ln x ，ln y 是以e 为底的对数)，则实数a 的取值范围是( )A. (0,1e 2]B. (0,1e ]C. (−∞,1e 2]D. (−∞,13]8. 已知函数f(x)=e |2x|−4ax 2，对任意x 1，x 2∈(−∞,0]且x 1≠x 2，都有(x 2−x 1)(f(x 2)−f(x 1))<0，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,e2]B. (−∞,−e2]C. [0,e2]D. [−e2,0]二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 在复平面内，一个平行四边形的3个顶点对应的复数分别是1+2i ，−2+i ，0，则第四个顶点对应的复数可以是( )A. 3−iB. −1+3iC. 3+iD. −3−i10. 设f(x)=x 3+bx 2+cx +d ，又k 是一个常数．已知当k <0或k >4时，f(x)−k =0只有一个实根；当0<k <4时，f(x)−k =0有三个相异实根，现给出下列命题中正确的是( )A. f(x)−4=0和f′(x)=0有一个相同的实根B. f(x)=0和f′(x)=0有一个相同的实根C. f(x)+3=0的任一实根大于f(x)−1=0的任一实根D. f(x)+5=0的任一实根小于f(x)−2=0的任一实根11. 对于(x 2−3x )6的展开式，下列说法正确的是( )A. 所有项的二项式系数和为64B. 所有项的系数和为64C. 常数项为1215D. 二项式系数最大的项为第3项12. 已知偶函数y =f(x)对于任意的x ∈[0,π2)满足f′(x)cosx +f(x)sinx >0(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式中不成立的是( )A. √2f(−π3)<f(π4) B. √2f(−π3)<f(−π4) C. f(0)>√2f(−π4)D. f(π6)<√3f(π3)三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射“和“御“两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有______ 种.14.已知(a+2b)n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为______ ．15.欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为e ix=cosx+isinx，i虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”根据此公式，|e ix−2|的最大值为______ ．16.已知函数f(x)=e xx −ax2，x∈(0,+∞)，当x2>x1时，不等式f(x1)x2−f(x2)x1<0恒成立，则实数a的取值范围为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设复数z的实部为正数，满足|z|=√10，且复数(1+2i)z在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上．(1)求复数z；(2)若有z1=x2+i⋅√x2+1，z2=(x2+a)(z−−3)，对任意x∈R均有|z1|>|z2|成立，试求实数a的取值范围．18.设(3x−1)8=a0+a1x+a2x2+a3x3+⋯+a8x8．(1)求a0+a2+a4+a6+a8，a1+2a2+3a3+⋯+8a8的值；(2)求s=C271+C272+⋯+C2727除以9的余数．19.已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x，(1)当a=1时，求y=f(x)曲线在x=1处的切线方程；(2)讨论f(x)的单调性．20.某公司设计如图所示的环状绿化景观带，该景观带的内圈由两条平行线段(图中的AB，DC)和两个半圆构成，设AB=xm，且x≥80．(1)若内圈周长为400m，则x取何值时，矩形ABCD的面积最大？m2，则x取何值时，内圈周长最小？(2)若景观带的内圈所围成区域的面积为22500π21.已知函数f(x)=(x−1)e x−ax2(e是自然对数的底数)．(Ⅰ)判断函数f(x)极值点的个数，并说明理由；(Ⅱ)若∀x∈R，f(x)+e x≥x3+x，求a的取值范围．22.已知函数f(x)=(x−a)lnx(a∈R)．(1)若a=1，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若对于任意的正数x，f(x)≥0恒成立，求实数a的值；(3)若函数f(x)存在两个极值点(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：复数z =a +bi(其中a 、b ∈R ，i 为虚数单位)，当a =0，且b ≠0时，z 为纯虚数，则“a =0”是“z 为纯虚数”必要非充分条件， 故选：B ．根据复数的概念可得当a =0，且b ≠0时，z 为纯虚数，再根据充分条件，必要条件的定义可以判断．本题考查了复数的概念，以及充分条件，必要条件，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：因为函数y =f(x)在x =x 0处的导数为1，则△x →0limf(x 0+△x)−f(x 0)2△x=12△x →0limf(x 0+△x)−f(x 0)△x=12f′(x 0)=12．故选：B ．由已知结合导数的定义即可直接求解．本题主要考查了导数的定义的简单应用，属于基础试题．3.【答案】D【解析】解：∵在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(3,1)， ∴1z =13+i=3−i (3+i)(3−i)=3−i 10=310−110i ．故选：D ．由复数的几何意义得1z =13+i ，再由复数的运算法则能求出结果．本题考查复数的求法，考查复数的几何意义、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】B【解析】解：依据二项展开式可知，第i 行第j 个数应为C i−1j−1， 故第100行第3个数为C 992=99×982=4851故选：B ．本题考查二项展开式系数，第i行第j个数应为Ci−1j−1本题考查二项展开式的基础知识，属于基础题．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查排列、组合的实际应用，注意将“ea”看成一个整体．根据题意，分2步进行分析：先从从其他5个字母中任取4个，再将“ea”看成一个整体，与选出的4个字母全排列，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：先从从其他5个字母中任取4个，有C54=5种选法，再将“ea”看成一个整体，与选出的4个字母全排列，有A55=120种情况，则不同的排列有5×120=600个，故选C．6.【答案】D【解析】解：在(x2−y)(x+y)6的展开式中，x3y4的系数为12⋅C64−C63=15−20=−5，故选：D．由题意利用二项展开式的通项公式，求出展开式中，x3y4的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数与方程，考查函数的单调性，属于中档题．对x(1+lnx)=xlny−ay进行变形，将求a的取值范围转化为求f(t)=−t−tlnt的值域，利用导数即可得出实数a的取值范围．【解答】解：x(1+lnx)=xlny−ay可化为a=−x y−x y ln x y，令t=x y，则t>0，f(t)=−t−tlnt，∵f ′(t)=−2−lnt ，∴函数f(t)在区间(0,1e 2)上单调递增，在区间(1e 2,+∞) 上单调递减． 即f(t)≤f(1e 2)=−1e 2+2e 2=1e 2， 则a ∈(−∞,1e 2]． 故选：C ．8.【答案】A【解析】解：根据题意，函数f(x)=e |2x|−4ax 2，其定义域为R ， 有f(−x)=e |−2x|−4a(−x)2=e |2x|−4ax 2=f(x)，即函数f(x)是偶函数， 又由对任意x 1，x 2∈(−∞,0]且x 1≠x 2，都有(x 2−x 1)(f(x 2)−f(x 1))<0，则f(x)在区间(−∞,0)上为减函数， 则f(x)在区间(0,+∞)上为增函数，当x >0时，f(x)=e 2x −4ax 2，则导数f′(x)=2e 2x −8ax ，则有f′(x)=2e 2x −8ax ≥0在(0,+∞)上恒成立， 变形可得a ≤e 2x 4x在(0,+∞)上恒成立，设g(x)=e 2x4x，其导数g′(x)=2x⋅e 2x −e 2x4x 2=(2x−1)⋅e 2x4x 2，在区间(0,12)上，g′(x)<0，函数g(x)为减函数，在区间(12,+∞)上，g′(x)>0，函数g(x)为增函数，故g(x)min =g(12)=e2， 若a ≤g(x)=e 2x 4x 在(0,+∞)上恒成立，必有a ≤e2，故a 的取值范围为(−∞,e2]， 故选：A ．根据题意，分析f(x)的奇偶性，由单调性的定义可得f(x)在区间(−∞,0)上为减函数，结合f(x)的奇偶性可得f(x)在区间(0,+∞)上为增函数，求出f(x)的导数，利用函数的导数与单调性的关系可得f′(x)=2e 2x−8ax ≥0在(0,+∞)上恒成立，变形可得a ≤e 2x 4x在(0,+∞)上恒成立，设g(x)=e 2x 4x，求出g(x)的导数，利用导数求出g(x)的最小值，据此分析可得答案．本题考查导数的应用，涉及函数的奇偶性、单调性和判断以及函数最值的计算，属于综合题．9.【答案】BCD【解析】解：①假设平行四边形ABCD 的A ，B ，C 三点对应的三个复数分别为：1+2i ，−2+i ，0，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)+(2,−1)=(3,1)，则点D 对应的复数可以是3+i ； ②假设平行四边形ABCD 的A ，B ，D 三点对应的三个复数分别为：1+2i ，0，−2+i ， 则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0)+(−3,−1)=(−3,−1)，则点C 对应的复数可以是−3−i ；③假设平行四边形ABCD 的A ，C ，D 三点对应的三个复数分别为：1+2i ，0，−2+i ， 则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)+(−2,1)=(−1,3)，则点B 对应的复数可以是−1+3i ． 故选：BCD ．利用向量的相等及其运算法则、平行四边形的性质即可得出．本题考查了向量的相等及其运算法则、平行四边形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.【答案】ABD【解析】 【分析】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及方程根的应用，是基本知识的考查．画出函数的图象，利用已知条件判断函数的极值，然后判断选项的正误即可． 【解答】解：由题意可知函数的示意图如图， 则函数f(x)的极大值为4，极小值为0，所以当f(a)=4或f(a)=0时对应的f′(a)=0，则A ，B 正确． f(x)+3=0的实根小于f(x)−1=0的实根，所以C 不正确； f(x)+5=0的实根小于f(x)−2=0的实根，所以D 正确． 故选ABD ．11.【答案】ABC【解析】解：对于(x2−3x)6的展开式，所有项的二项式系数和为26=64，故A正确；令x=1，可得所有项的系数和为(−2)6=64，故B正确；根据通项公式为T r+1=C6r⋅(−3)r⋅x12−3r，令12−3r=0，求得r=4，故常数项为C64×81=1215，故C正确；当r=3时，二项式系数C63最大，故第四项的二项式系数最大，故D错误，故选：ABC．由题意利用二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于中档题．12.【答案】ABC【解析】解：偶函数y=f(x)对于任意的x∈[0,π2)满足f′(x)cosx+f(x)sinx>0，构造函数F(x)=f(x)cosx，可得F′(x)=f′(x)cosx+f(x)sinxcos2x>0，可知F(x)是增函数，由F(π4)<F(π3)，可得：f(π4)cosπ4<f(π3)cosπ3=f(−π3)cosπ3，故√2f(−π3)>f(π4)，故A错误，由F(π3)>F(π4)，可得f(π3)cosπ3>f(π4)cosπ4，故f(−π3)12>f(−π4)√22，故√2f(−π3)>f(−π4)，故B错误；由F(0)<F(π4)，得：f(0)cos0<f(−π4)cosπ4，故f(0)<f(−π4)√22，故√2f(0)<f(−π4)，故C错误；由F(π6)<F(π3)，得：f(π6)cosπ6<f(π3)cosπ3，故f(π6)√32<f(π3)12，故f(π6)<√3f(π3)，故D正确；故选：ABC．构造函数，利用函数的导数，判断函数的单调性，然后推出结果．本题考查函数的导数的应用，考查构造法的应用，考查转化思想以及计算能力．13.【答案】120【解析】解：根据题意，“数”必须排在前三节，据此分3种情况讨论：①“数”排在第一节，“射“和“御“两门课程联排的情况有4×A22=8种，剩下的三门课程有A33=6种情况，此时有8×6=48种排课顺序；②“数”排在第二节，“射“和“御“两门课程联排的情况有3×A22=6种，剩下的三门课程有A33=6种情况，此时有6×6=36种排课顺序；③“数”排在第三节，“射“和“御“两门课程联排的情况有3×A22=6种，剩下的三门课程有A33=6种情况，此时有6×6=36种排课顺序；则有48+36+36=120种排课顺序；故答案为：120根据题意，按“数”的排课方法分3种情况讨论，求出每种情况的排课顺序，由加法原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．14.【答案】7、8、9【解析】解：(a+2b)n的展开式中第5项的二项式系数C n4最大，则n的值可以使8、7、9，故答案为：7、8、9．由题意利用二项式系数的性质，得出n的值．本题主要考查二项式系数的性质，属于基础题．15.【答案】3【解析】解：由题意得e ix−2=cosx−2+isinx，则|e ix−2|=√(cosx−2)2+sin2x=√5−4cosx≤3，即最大值为3．故答案为：3．先求出e ix−2，然后结合模长公式及余弦函数的性质可求．本题以新定义为载体，主要考查了复数的模长的求解，还考查了三角形函数的性质，属于基础题．16.【答案】(−∞,e2]12【解析】解：∵x ∈(0,+∞)，当x 2>x 1时，不等式f(x 1)x 2−f(x 2)x 1<0恒成立，∴x 1f(x 1)<x 2f(x 2)恒成立，因此函数g(x)=xf(x)=e x −ax 3在x ∈(0,+∞)上单调递增， ∴g′(x)=e x −3ax 2≥0在x ∈(0,+∞)上恒成立， ∴3a ≤e xx 2在x ∈(0,+∞)上恒成立， 令ℎ(x)=e x x 2，x ∈(0,+∞)， ℎ′(x)=e x (x−2)x 3，可得函数ℎ(x)在x =2时取得极小值即最小值，ℎ(2)=e 24，∴a ≤e 212． 故答案为：(−∞,e 212]. x ∈(0,+∞)，当x 2>x 1时，不等式f(x 1)x 2−f(x 2)x 1<0恒成立，可得x 1f(x 1)<x 2f(x 2)恒成立，于是函数g(x)=xf(x)=e x −ax 3在x ∈(0,+∞)上单调递增，可得g′(x)≥在x ∈(0,+∞)上恒成立，化为3a ≤e x x2在x ∈(0,+∞)上恒成立，令ℎ(x)=e x x 2，x ∈(0,+∞)，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出实数a 的取值范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)设z =a +bi(a >0,b ∈R)∵|z|=√10，∴√a 2+b 2=√10①，∵(1+2i)(a +bi)=(a −2b)+(2a +b)i ，且在一、三象限角平分线上，∴a −2b =2a +b②由①、②得a =3，b =−1，或a =−3，b =1． ∵a >0，∴a =3，b =−1， ∴z =3−i ；(2)∵z 1=x 2+√x 2+1i ，z 2=(x 2+a)(z −−3)，z −=3+i ， ∴z 2=(x 2+a)i ，∵x ∈R 均有|z 1|>|z 2|成立，∴√x 4+x 2+1>x 2+a ，即(1−2a)x 2+(1−a 2)>0对x ∈R 恒成立， ①a =12时，34>0恒成立，②a ≠12，{1−2a >01−a 2>0，解得−1<a <12， 综上所述，−1<a ≤12．【解析】(1)设z =a +bi(a >0,b ∈R)，由|z|=√10，可得2+b 2=√10，根据(1+2i)(a +bi)=(a −2b)+(2a +b)i ，且在一、三象限角平分线上，可得a −2b =2a +b ，即可解出．(2)根据z 1=x 2+√x 2+1i ，z 2=(x 2+a)(z −−3)，z −=3+i ，可得z 2=(x 2+a)i ，由x ∈R 均有|z 1|>|z 2|成立，可得√x 4+x 2+1>x 2+a ，即(1−2a)x 2+(1−a 2)>0对x ∈R 恒成立，解出即可得出．本题考查了复数的运算法则、复数模的计算公式、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)∵(3x −1)8=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+⋯+a 8x 8，令x =1，可得a 0+a 1+a 2+a 3+⋯+a 8=28 ①， 令x =−1，可得a 0−a 1+a 2−a 3+⋯+a 8=48 ②， ①+②并除以2可得，a 0+a 2+a 4+a 6+a 8=28+482，对于(3x −1)8=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+⋯+a 8x 8，两边对x 求导数可得24(3x −1)7=a 1+2a 2x +3a 3x 2+⋯+8a 8x 7， 再令x =1，可得a 1+2a 2+3a 3+⋯+8a 8=24×27．(2)由于s =C 271+C 272+⋯+C 2727=(1+1)27−1=227−1=89−1=(9−1)9−1 =C 90⋅99−C 91⋅98+C 92⋅97−C 93⋅96+⋯+C 98⋅9−C 99−1，显然，除了最后二项以外，其余的各项都能被9整除，故s 除以9的余数，即−1−1除以9的余数，故s 除以9的余数为7．【解析】(1)分别令x =1，x =−1，可得a 0+a 2+a 4+a 6+a 8的值；对所给的等式求导数，再令x =1，可得a 1+2a 2+3a 3+⋯+8a 8的值．(2)根据s =C 271+C 272+⋯+C 2727=(1+1)27−1=89−1=(9−1)9−1，按照二项式定理展开，可得结论．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求函数的导数，属于中档题．19.【答案】解：(1)a =1时，f(x)=lnx +x 2+3x ，则f′(x)=1x+2x+3，故f(1)=4，f′(1)=6，故切线方程是：y−4=6(x−1)，即y=6x−2；(2)因为f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x，对f(x)求导，f′(x)=1x +2ax+(2a+1)=2ax2+(2a+1)x+1x=(2ax+1)(x+1)x，(x>0)，①当a=0时，f′(x)=1x+1>0恒成立，此时y=f(x)在(0,+∞)上单调递增；②当a>0，由于x>0，所以(2ax+1)(x+1)>0恒成立，此时y=f(x)在(0,+∞)上单调递增；③当a<0时，令f′(x)=0，解得x=−12a，因为当x∈(0,−12a )，f′(x)>0，当x∈(−12a,+∞)，f′(x)<0，所以y=f(x)在(0,−12a )上单调递增，在(−12a,+∞)上单调递减．综上可知，当a≥0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增，当a<0时，f(x)在(0,−12a )上单调递增，在(−12a,+∞)上单调递减．【解析】(1)代入a的值，求出函数的导数，计算f(1)，f′(1)，求出切线方程即可；(2)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可．本题考查了函数的单调性，切线方程问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是中档题．20.【答案】解：(1)设半圆的半径为r，可得2x+2πr=400，即x+πr=200，矩形ABCD的面积为S=2xr=2πx⋅πr≤2π⋅(x+πr2)2=20000π，当且仅当x=πr=100m时，矩形的面积取得最大值20000πm2；(2)设半圆的半径为r，由题意可得πr2+2xr=22500π，可得2x=22500πr−πr，即有内圈周长c=2x+2πr=22500πr+πr，由x≥80，可得22500πr−πr≥160，解得0<πr≤90，可得f(r)=22500πr +πr，f′(r)=π−22500πr2，即有f(r)在(0,90π]上递减，即有πr =90，即x =80m 时，周长c 取得最小值340m ．【解析】本题考查应用题中函数的的解法，考查最值的求法，注意运用基本不等式和函数的单调性，正确理解题意求得函数式是解题的关键．(1)设半圆的半径为r ，可得x +πr =200，矩形ABCD 的面积为S =2xr =2πx ⋅πr ，运用基本不等式即可得到所求最小值及x 的值； (2)设半圆的半径为r ，由题意可得2x =22500πr−πr ，即有内圈周长c =2x +2πr =22500πr+πr ，由x ≥80，求得r 的范围，设出f(r)=22500πr+πr ，求得导数，判断单调性，即可得到所求最小值及x 的值．21.【答案】解：(Ⅰ)∵f′(x)=xe x −2ax =x(e x −2a)，当a ≤0时，f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增， ∴f(x)有1个极值点；当0<a <12时，f(x)在(−∞,ln2a)上单调递增， 在(ln2a,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增， ∴f(x)有2个极值点；当a =12时，f(x)在R 上单调递增， 此时f(x)没有极值点；当a >12时，f(x)在(−∞,0)上单调递增，在(0,ln2a)上单调递减，在(ln2a,+∞)上单调递增， ∴f(x)有2个极值点；∴当a ≤0时，f(x)有1个极值点； 当a >0且a ≠12时，f(x)有2个极值点； 当a =12时，f(x)没有极值点．(Ⅱ)由f(x)+e x ≥x 3+x 得xe x −x 3−ax 2−x ≥0． 当x >0时，e x −x 2−ax −1≥0，即a ≤e x −x 2−1x对∀x >0恒成立．设g(x)=e x −x 2−1x，则g ′(x)=(x−1)(e x −x−1)x 2．设ℎ(x)=e x −x −1，则ℎ′(x)=e x −1．∵x >0，∴ℎ′(x)>0，∴ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增， ∴ℎ(x)>ℎ(0)=0，即e x >x +1，∴g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增， ∴g(x)≥g(1)=e −2，∴a ≤e −2; 当x =0时，不等式恒成立，a ∈R ； 当x <0时，e x −x 2−ax −1≤0．设k(x)=e x −x 2−ax −1，则k′(x)=e x −2x −a ． 设φ(x)=e x −2x −a ，则φ′(x)=e x −2<0， ∴k′(x)在(−∞,0)上单调递减， ∴k′(x)≥k′(0)=1−a ． 若a ≤1，则k′(x)≥0， ∴k(x)在(−∞,0)上单调递增， ∴k(x)<k(0)=0，符合题意． 若a >1，则k′(0)=1−a <0，∴∃x 0<0，使得x ∈(x 0,0)时，k′(x)<0， 即k(x)在(x 0,0)上单调递减，∴k(x)>k(0)=0，不符合题意，舍去． ∴a ≤1．综上可得，a 的取值范围是(−∞,e −2]．【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，考查导数中的恒成立问题，考查了分类讨论思想与转化思想，属于难题．(Ⅰ)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值点的个数即可；(Ⅱ)对x 的取值进行分类讨论，构造函数，利用导数判断函数的单调性和最值，从而求出a 的范围即可．22.【答案】解：(1)a =1时，函数f(x)=(x −1)lnx ，(x >0)，∴f′(x)=lnx +1−1x ，f(1)=0，f′(1)=0． 曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为：y =0； (2)∵x ≥1时，lnx ≥0，0<x ≤1时，lnx ≤0，对于任意的正数x ，f(x)≥0恒成立，必有{x −a ≤0,0<x ≤1x −a ≥0,x ≥1，∵y =x −a 时单调函数，∴x =1时y =x −a 的零点，∴a =1； (3)f′(x)=lnx +1−ax，要使函数f(x)存在两个极值点，则方程lnx +1−ax =0有两个变号零点， ∴方程a =xlnx +x 有两个不等正实根， 令ℎ(x)=xlnx +x ，(x >0)，ℎ′(x)=lnx +2，令ℎ′(x)=0，可得x =e −2，x ∈(0,e −2)时，ℎ′(x)<0，x ∈(e −2,+∞)，ℎ′(x)>0， ∴ℎ(x)在(0,e −2)递减，在(e −2,+∞)递增， ∴函数ℎ(x)的草图如下：ℎ(e −2)=−e −2，∴实数a 的取值范围为(−e −2,0)．【解析】本题考查导数的运用：求切线的斜率、单调区间和极值、最值，考查不等式恒成立问题的解法，属于综合题．(1)求得f(x)的导数，可得切线的斜率，即可求解；(2)可得x ≥1时，lnx ≥0，0<x ≤1时，lnx ≤0，必有{x −a ≤0,0<x ≤1x −a ≥0,x ≥1，可得a =1；(3)要使函数f(x)存在两个极值点，则方程lnx +1−ax =0有两个变号零点，方程a =xlnx +x 有两个不等正实根，令ℎ(x)=xlnx +x ，(x >0)，利用导数求解．。
江苏省启东中学2020-2021学年高二上学期期初考试数学试题 Word版含答案
启东中学2020～2021学年第一学期期初测试高二数学试题命题人：一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成的原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A ．100,10B ．200,10C ．100,20D ．200,20图1 图22、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 4＝26，则a 4＋a 5＋a 6等于( )A ．38B ．39C ．41D ．423、函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4 (x ∈R )的图象的一条对称轴方程是( )A.x ＝0 B ．x ＝－π4 C ．x ＝π4D ．x ＝π24、我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和dc (a ，b ，c ，d ∈N *)，则b ＋d a ＋c 是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道e ＝2.718 28…，若令135<e<145，则第一次用“调日法”后可得2710是e 的更为精确的不足近似值，即2710<e<145.若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得e 的更为精确的近似值为( )A.10940B.197C.6825D.167605、已知正项数列{a n }满足：a 1＝1，a 2n ＋1 －a 2n ＝2，则使a n <7成立的n 的最大值为( )A ．3B ．4C ．24D ．256、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，则( )A ．MN ∥C 1D 1B ．MN ⊥BC 1 C ．MN ⊥平面ACD 1 D ．MN ⊥平面ACC 1 7、《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺，蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？意思是今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍，若蒲、莞长度相等，则所需时间为(结果精确到0.1，参考数据： lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)( )A ．2.2天B ．2.4天C ．2.6天D ．2.8天8、△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2 a ，则ba 等于( )A ．2 3B ．2 2C ． 3D ． 2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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11．已知点P1（2，3）、P2（-4，5）和A（-1，2），则过点A且与点P1、P2距离相等的直线方程为______．
12．已知a、b、c为△ABC的三个内角A、B、C的对边，向量 =（-1， ）， =（cosA，sinA），若 ⊥ ，且acosB+bcosA=csinC，则角B的大小为______．
记第 个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为 ，现给出有关数列 的四个命题：
①数列 是等比数列；
②数列 是递增数列；
③存在最小的正数 ，使得对任意的正整数 ，都有 ；
④存在最大的正数 ，使得对任意的正整数 ，都有 ．
其中真命题的序号是________________（请写出所有真命题的序号）.
16．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段 的长度为a，在线段 上取两个点 ， ，使得 ，以 为一边在线段 的上方做一个正六边形，然后去掉线段 ，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段 作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：
江苏省南通市启东中学2020-2021学年高二上学期第一次质量检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c若a=3，b= ，B，A，C成等差数列，则B=（）
A． B． C． 或 D．
A． B． C． D．
6．设a,b,c是空间的三条直线，给出以下五个命题：
①若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；
②若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面直线；
③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；
④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面；
⑤若a∥b，b∥c，则a∥c；
其中正确的命题的个数是（）
三、解答题
17．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．
求证：（1）A1B1∥平面DEC1；
（2）BE⊥C1E．
18．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足b2=ac，cosB= ．
（1）求 + 的值；
（2）设 • = ，求三边a、b、c的长度．
2．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）
A．两次都不中靶B．两次都中靶C．只有一次中靶D．至多有一次中靶
3．直线 与 、 为端点的线段有公共点，则k的取值范围是（）
A． B． C． D．
4．已知数列 中， ，又数列 是等差数列，则 等于（ ）
A．0B． C． D．
5．过点P（-2，3）向圆x2+y2=1引圆的两条切线PA，PB，则弦AB所在的直线方程为（）
19．已知圆M的方程为x2+y2-2x-2y-6=0，以坐O与x轴交于E，F两点，圆O内的动点D使得DE，DO，DF成等比数列，求 • 的取值范围．
20．一位幼儿园老师给班上k（k≥3）个小朋友分糖果．她发现糖果盒中原有糖果数为a0，就先从别处抓2块糖加入盒中，然后把盒内糖果的 分给第一个小朋友；再从别处抓2块糖加入盒中，然后把盒内糖果的 分给第二个小朋友；…，以后她总是在分给一个小朋友后，就从别处抓2块糖放入盒中，然后把盒内糖果的 分给第n（n=1，2，3，…k）个小朋友．如果设分给第n个小朋友后（未加入2块糖果前）盒内剩下的糖果数为an．
A． B． C． D．
9．过直线l： 上的点作圆C： 的切线，若在直线l上存在一点M，使得过点M的圆C的切线MP， Q为切点 满足 ，则a的取值范围是
A． B．
C． D．
10．已知等比数列{an}，an＞0，a1=256，S3=448，Tn为数列{an}的前n项乘积，则当Tn取得最大值时，n=（）
A．8B．9C．8或9D．
（2）若cn=（-1）n-1 ，求数列{cn}的前n项和T2n；
（3）若dn=an ，数列{dn}的前n项和为Dn，对任意的n∈N*，都有Dn≤nSn-a，求实数a的取值范围．
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
B，A，C成等差数列，可得2A＝B+C＝π﹣A，解得A．利用正弦定理可得sinB ，即可得出．
A．0B．1C．2D．3
7．定义：若 =q（n∈N*，q为非零常数），则称{an}为“差等比数列”，已知在“差等比数列”{an}中，a1=1，a2=2，a3=4，则a2019-a2018的值是（）
A． B． C． D．
8．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且3a2+3c2-3b2=2ac， ⋅ =2，则△ABC的面积为（）
（1）求异面直线DC1，B1C所成角的余弦值；
（2）求二面角B1-DC-C1的平面角的余弦值．
22．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=2an-1（n∈N*），数列{bn}满足nbn+1-（n+1）bn=n（n+1）（n∈N*），且b1=1．
（1）证明数列{ }为等差数列，并求数列{an}和{bn}的通项公式；
13．从集合 中随机抽取一个数 ，从集合 中随机抽取一个数 ，则向量 与向量 垂直的概率为______.
14．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且 = ，则使得 为整数的正整数n的个数是______．
15．三棱锥 中，已知 平面 ， 是边长为 的正三角形， 为 的中点，若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，则 的长为_____.
（1）当k=3，a0=12时，分别求a1，a2，a3；
（2）请用an-1表示an；令bn=（n+1）an，求数列{bn}的通项公式；
（3）是否存在正整数k（k≥3）和非负整数a0，使得数列{an}（n≤k）成等差数列，如果存在，请求出所有的k和a0，如果不存在，请说明理由．
21．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC是直角三角形，AC=BC=AA1=2，D为侧棱AA1的中点．