大学概率论二维随机变量的边缘分布

显然,可以认为X与Y之间相互独立, 于是，( X ,Y )的联合
密度函数为
f
( x, y)

fX (x) fY ( y)
2 (5 125
y), 0
x
5,0
y
5;
0,
其它.
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§2.11 随机变量的独立性
事件"旅客能乘上火车"可以表示为"Y X ",也就是 "0 Y X 5",因此问题归结为求"0 Y X 5"的概率,
5 /12
1
1/ 6
5 /12 7 /12
pX (xi ) 1/ 4 3/4
1
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§2.10 二维随机变量的边缘分布
2.二维连续随机变量的边缘分布
设二维连续随机变量(X ,Y )的联合分布函数为
F (x, y), 联合概率密度为 f (x, y).
则 X 的边缘分布表为：
X
0
1
pX (xi )
14
34
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§2.10 二维随机变量的边缘分布
类似可得Y 的边缘分布表为：
Ywk.baidu.com
pY ( y j )
0
5 /12
1
7 /12
将它们写在联合分布表上,即得下表 :
X
Y
0
1
pY ( y j )
0
1/12
1/ 3
第二章 随机变量及其分布
§2.10 二维随机变量的边缘分布
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§2.10 二维随机变量的边缘分布
对于二维随机变量(X ,Y ),我们可以对其中的任何 一个变量 X 或 Y 进行个别研究,而不管另一个变量取 什么值,这样得到的分布,称为(X ,Y )的边缘概率分布.
0, 随机变量 X 与Y 是否独立？
x 0,y 0; 其它.
解 : 先求 X ,Y 的边缘概率密度:
当 x 0 时，显然有 fX (x) 0 ; 当 x 0 时，
fX (x)

f (x, y)dy

2 e(x2 y) dy
0
2ex e2 y dy 2ex 1 ex .
[X 的边缘分布函数]
FX (x) P( X x) P(X x,Y )
F(x,)
x
dx f (x, y)dy.
[X 的边缘概率密度]
f X
(x)

d dx
FX
(x)


f (x, y) dy.

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已知二维随机变量( X ,Y ) 的联合分布，求随机变量
的分布.
Z g( X ,Y )
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§2.12 二维随机变量函数的分布
1.和的分布
离散随机变量和的分布
设X ,Y是离散随机变量, 令
Z X Y. ●变量 Z 的任一可能值 zk是 X 的可能值 xi 与Y 的可能值
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§2.10 二维随机变量的边缘分布
从而
2.4x2(2 x), 0 x 1;
f
X
(
x)

0,
其它.
(2) 当 y 0或 y 1 时,
y
1

fY ( y)
f (x, y)d x 0;

y
当0 y 1 时,

1
O
fY ( y)
f (x, y)d x
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§2.10 二维随机变量的边缘分布
于是X 的边缘分布表为：
X
x1
x2

xm

P( X xi ) pX (x1) pX (x2 ) pX (xm )
类似可得,
[Y 的边缘概率函数]

pY ( y j ) P(Y y j ) p(xi , y j ).
i1
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y),
0
y 5;
0 ,
其它.
求旅客能乘上火车的概率 .
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§2.11 随机变量的独立性
解：将7：55作为时间轴(单位 : 分)的起点,则X在区间 [0,5]上服从均匀分布, X 的概率密度函数为
f
X
(
x)

1 5,

0
,
0 x 5; 其它.
P( X xi ,Y y j )
ij
p(xi , y j ),

f (x, y)d x
y
1
y 4.8y(2 x)d x
2.4y(3 4y y2).
yx
y1 x
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§2.10 二维随机变量的边缘分布
从而
2.4 y(3 4 y y2), 0 y 1;
fY ( y)
F(x, y) FX (x)FY ( y), f (x, y) fX (x) f Y( y).
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§2.11 随机变量的独立性
[例1] 已知二维随机变量 (X ,Y )的联合概率密度为
2e(x2 y) , f (x , y)
0
2
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§2.11 随机变量的独立性
由此得 X 的边缘概率密度
ex ,
f
X
(
x)


0
,
x 0; x 0.
同理，可以得 Y 的边缘概率密度
2e2 y ,
fY ( y)
0,
由上面得到的结果易知
y 0; y 0.

fX (x)
f (x, y)d y 0;

O
当 0 x 1 时，

x
fX (x)
f (x, y)d y

0
f (x, y)d y
x 1x
x
4.8y(2 x)d y 2.4x2(2 x). 0
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O
x
x
当 x 0 时，


fX (x)
f (x, y)d y

x
f (x, y)d y
ey d y ex . x
从而
ex , x 0;
f
X
(
x)

0,
其它.
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§2.10 二维随机变量的边缘分布
(2) 当 y 0 时, fY (x) 0;
y
当 y 0 时，
y

fY ( y)
f (x, y)d x

y ey d x y ey . 0
O
从而
ye y, y 0;
fY
(
y)


0,
其它.
yx
y
x
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§2.11 随机变量的独立性
连续随机变量的独立性
设 X 与Y 为连续随机变量，如果对于它们的任意一对 实数值 x 及 y ，事件 X x 与 Y y 是独立的，则称随机 变量 X 与 Y 是独立的.
由概率乘法定理有： [定理2] 若连续随机变量X 与Y 独立,则
0,
其它.
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§2.10 二维随机变量的边缘分布
[例 3] 设二维随机变量(X ,Y )的联合概率密度为:
ey, 0 x y；
y
f (x, y) 0,
其它.
yx
求 f X (x), fY ( y) .
x
解 : (1) 当 x 0 时, fX (x) 0;
f (x , y) fX (x) fY ( y) ,
所以随机变量 X 与Y 是独立的.
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§2.11 随机变量的独立性
小结
1. 独立性是随机变量之间的一种最基本的关系,是 概率论的重要概念.
2. 独立随机变量的性质： p(xi , y j ) pX (xi ) pY ( y j ), f (x, y) fX (x) fY ( y).
结束
§2.10 二维随机变量的边缘分布
小结
1. 边缘分布的含义,研究边缘分布的目的.
2. 二维连续随机变量的边缘分布的计算公式与具
体求法：

fX (x)
f (x, y)d y,


fY ( y)
f (x, y) d x.

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§2.10 二维随机变量的边缘分布
[例 2] 设二维随机变量(X ,Y )的联合概率密度为:
f
(x,
y)

4.8
y(2
0,
x),
0 x 1,0 y x； 其它.
求 f X (x), fY ( y) .
y yx
解 : (1) 当 x 0或x 1 时，
x
于是,所求概率为
P{0 Y X 5} f (x, y)dx dy y
0 yx 5
D1225(5 y)dxdy
D

5
dx
5
2
(5 y) dy
0
0 x125
1. 3
yx x
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第二章 随机变量及其分布
可能值 xi 及 y j，事件 X xi 与 Y y j 是独立的，则称随机
变量 X 与Y 是独立的.
由概率乘法定理有：
[定理1] 若离散随机变量X 与Y 独立,则
p(xi , y j ) pX (xi ) pY ( y j ),
ji

1,2,, m,, 1,2,, n,.
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§2.10 二维随机变量的边缘分布
[例 1] 已知(X ,Y )的联合分布表为
X
Y
0
1
0
1/12 1/ 6
1
1/ 3 5/12
求 X 与Y 的边缘分布.
解 : P( X 0) 1 1 1 ; P( X 1) 1 5 3.
12 6 4
3 12 4
结束
第二章 随机变量及其分布
§2.11 二维随机变量的条件分布
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第二章 随机变量及其分布
§2.12 随机变量的独立性
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§2.11 随机变量的独立性
离散随机变量的独立性
设 X 与Y 为离散随机变量，如果对于它们的任意一对
[X 的边缘概率函数]
pX (xi )

P( X

xi )

P

(X

xi ,Y

y j )
j1

P( X xi ,Y y j )
j 1
p(xi , y j ), i 1, 2, , m, .
j 1
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3. 在实际问题中,通常根据经验判断随机变量之间 的独立性.
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§2.11 随机变量的独立性
思考题
一旅客到达火车站的时间 X 均匀分布在早上7：55至
8点,而火车在这段时间开出的时刻为Y ,且 Y 具有密度
函数为
fY
(
y)

2 25
(5

问题：已知联合分布,求边缘分布.
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§2.10 二维随机变量的边缘分布
1.二维离散随机变量的边缘分布
设 ( X ,Y )表示二维离散随机变量.联合分布为：
p (xi , y j ) P( X xi ,Y y j ),
i 1, 2, , m, ; j 1, 2, , n, .
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§2.10 二维随机变量的边缘分布
同理可得,
[Y 的边缘分布函数]
y

FY ( y) F(, y )
dy

f (x, y) d x.

[Y 的边缘概率密度]
fY
(
y)

d dy
FY
(
y)


f (x, y) d x.

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y j 的和：
zk xi y j ,
（注意:对于不同的xi 及 y j ,它们的和xi y j可能相等.)
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§2.12 二维随机变量函数的分布
● 变量 Z 的分布 由概率加法定理，
pZ (zk ) P(Z zk )
§2.13 二维随机变量函数的分布
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§2.12 二维随机变量函数的分布
设二元函数 g(x, y)在二维随机变量 (X ,Y )的一切可能值 的集合上有定义，记Z g( X ,Y )
称Z 是二维随机变量( X ,Y )的函数.
本节讨论的问题：