大学概率论二维随机变量的边缘分布
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3.2(二维随机变量的边缘分布)
作业：解答题 2 4 5 6
3.2.3
二维连续型随机变量的边缘概率密度
设二维连续型随机变量(X，Y)的分布函数为 F(x，y)，概率密度为f(x，y). 因为 FX ( x ) F ( x,) ( f ( x, y)dy)dx
由分布函数定义知， X 是一个连续型随机变量， 且其概率密度为 f X ( x ) f ( x, y )dy
设 随 机 变 量X 和 Y 具 有 联 合 概 率 密 度 【补充例】 6, x 2 y x , f ( x, y) 0, 其 他. 求关于 X的 边 缘 概 率 密 度 fX ( x) 和 边 缘 分 布 函 数 FX ( x ).
解:
f X ( x)
f ( x , y)
1 2 1 2
1 ( x 1 ) 2 ( x 1 )( y 2 ) ( y 2 ) 2 exp{ [ 2 ]} 2 2 2 2 2(1 ) 1 1 2 2 1
且
( y 2 ) 2
2 2
2
3.2.2
二维离散型随机变量的边缘分布律
于是(X，Y)的分布律和边缘分布律如下：
Y X 0 1 P{Y = yj}
0
9/25 6/25 3/5
1
6/25 4/25 2/5
P{X = xi}
3/5 2/5 1
3.2.2
二维离散型随机变量的边缘分布律
(2) (X，Y)所有可能取值仍然为：(0，0)、(0，1)、 (1，0)、(1，1)则
☺课堂练习
一 整 数N 等 可 能 地 在 1, 2, 3, ,10 十 个 值 中 取 一个值 . 设 D D( N ) 是 能 整 除N 的 正 整 数 的 个 数 , F F(N )是 能 整 除 N的素数的个数 .试 写 出D 和 F 的联合分布律 , 并求边缘分布律 . 解 样本点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
概率论二维随机变量总结
概率论二维随机变量总结二维随机变量是指具有两个随机变量组成的随机向量，用(X, Y)表示。
概率论中研究二维随机变量的分布、期望、方差以及其它统计特性。
1. 二维随机变量的联合分布：联合分布是描述二维随机变量X 和Y的取值情况和对应的概率的函数。
可以通过联合概率密度函数或联合分布函数来表示。
2. 边缘分布：边缘分布是指某个变量的分布，不考虑另一个变量的取值情况。
对于二维随机变量(X, Y)，X的边缘分布是通过对所有可能的Y求和或积分得到的函数，Y的边缘分布同理。
3. 条件分布：条件分布是指在已知一个变量的取值情况下，另一个变量的分布情况。
对于二维随机变量(X, Y)，给定X的条件下Y的条件分布可以通过联合分布和边缘分布得到，形式为P(Y|X)。
4. 期望和方差：对于二维随机变量(X, Y)，期望E(X)表示X的平均取值，E(Y)表示Y的平均取值，方差Var(X)表示X的取值的离散程度，Var(Y)表示Y的取值的离散程度。
5. 协方差和相关系数：协方差描述了X和Y之间的线性相关程度，可以通过公式Cov(X, Y) = E((X - E(X))(Y - E(Y)))计算得到。
相关系数表示X和Y之间的线性相关程度的强度，公式为Corr(X, Y) = Cov(X, Y) / (SD(X) * SD(Y))，其中SD(X)和SD(Y)分别表示X和Y的标准差。
6. 独立性：如果二维随机变量(X, Y)的联合分布可以拆分为X 的边缘分布和Y的边缘分布的乘积形式，即P(X, Y) = P(X) * P(Y)，则称X和Y是独立的。
独立性意味着X和Y之间没有任何关联。
7. 协变和不相关性：如果协方差Cov(X, Y)为0，则X和Y是不相关的，不相关性不一定意味着独立性。
如果协方差Cov(X, Y)大于0，则X和Y是正相关的，如果Cov(X, Y)小于0，则X和Y是负相关的。
以上是二维随机变量的一些基本概念和理论，这些知识可以用于分析和解决涉及二维随机变量的问题。
《概率学》3.2_3.3二维随机变量的边缘分布及独立性
i, j=1, 2, ...,
连续型
f (x, y)
第三章 多维随机变量及其分布
（X，Y）边缘分布
FX(x) = F（x,＋∞） F Y(y) = F（＋∞, y）
pi .=P{X= xi}= pij i=1, 2, ..., j 1
p.j=P{Y= yj}= pij j=1, 2, ..., i 1
连续型 f (x, y)
第三章 多维随机变量及其分布
（X，Y）边缘分布
FX(x)=（
）
F Y(y) =（
）
pi .=P{X= xi}（=
）
p.j=P{Y= yj}=（
）
f X ( x) （
）
fY ( y) （
）
作答
1
8
山东农业大学公共数学系概率统计课程组 版权所有
第2节 二维随机变量的边缘分布
第三章 多维随机变量及其分布
f X (x)
f (x, y)dy
fY ( y)
f (x, y)dx
1
7
山东农业大学公共数学系概率统计课程组 版权所有
主第观2节题二维随2机分变量的填边缘空分布 填空
( X, Y )联合分布 一般 F(x,y)= P{X ≤ x,Y≤y}
离散型 P{X=xi ,Y=y j}= pi j
i, j=1, 2, ...,
1
2
fX (x)
f (x, y)dy
1
exp{ 1 (u2 2u v2)}dv
21 1 2
2(1 2)
1
u2
e2
1
exp{ (v u)2 }dv
2 1
2 1 2
2(1 2)
连续型
f (x, y)
第三章 多维随机变量及其分布
（X，Y）边缘分布
FX(x) = F（x,＋∞） F Y(y) = F（＋∞, y）
pi .=P{X= xi}= pij i=1, 2, ..., j 1
p.j=P{Y= yj}= pij j=1, 2, ..., i 1
连续型 f (x, y)
第三章 多维随机变量及其分布
（X，Y）边缘分布
FX(x)=（
）
F Y(y) =（
）
pi .=P{X= xi}（=
）
p.j=P{Y= yj}=（
）
f X ( x) （
）
fY ( y) （
）
作答
1
8
山东农业大学公共数学系概率统计课程组 版权所有
第2节 二维随机变量的边缘分布
第三章 多维随机变量及其分布
f X (x)
f (x, y)dy
fY ( y)
f (x, y)dx
1
7
山东农业大学公共数学系概率统计课程组 版权所有
主第观2节题二维随2机分变量的填边缘空分布 填空
( X, Y )联合分布 一般 F(x,y)= P{X ≤ x,Y≤y}
离散型 P{X=xi ,Y=y j}= pi j
i, j=1, 2, ...,
1
2
fX (x)
f (x, y)dy
1
exp{ 1 (u2 2u v2)}dv
21 1 2
2(1 2)
1
u2
e2
1
exp{ (v u)2 }dv
2 1
2 1 2
2(1 2)
12 二维连续型随机变量,边缘分布
fY ( y )
f ( x , y )dx
0 y1 1 24 y( 2 x )dx y fY ( y ) 5 0 其它 24 3 y2 y( 2 y ) 0 y 1 5 2 2 0 其它
例5 设随机变量 X 和 Y 具有联合概率密度 2 6 , x y x, f ( x, y) 0, 其他.
1
k 1 kx kx 2 1 0 dx0 kxydy 0 [ 2 y ] 0 dx 0 2 dx 4 1
k 4.
7
( 2) P{ X Y }
1 dx 4 xydy 0 0 2
1
x
y x
(3) P{ X Y 1}
dx
0
1
1 x 0
9
二、边缘分布函数
问题 : 已知( X ,Y )的分布, 如何确定X ,Y 的分布?
F ( x , y ) P{ X x ,Y y } , F ( x ) P{ X x },
P { X x } P { X x ,Y } F ( x , ) FX ( x )
X
Y
0 1
0
16 49 12 49
1
12 49 9 49
解
X Y
0
1
12 42 6 42
pi
012 42 12 142 4 p j 7
3 7
4 7 3 7
1
注意 联合分布 边缘分布
练习 将一枚均匀硬币掷三次 ，设 X 为三次中正 面出现的次数，而Y 为正面次数与反面次数 差的 绝对值, 求( X , Y )的联合概率分布及边缘 分布律。 解： 由已知， ( X , Y )所有可能取值有
2.4 概率论——二维随机变量的独立性
y
FY ( y) F(, y) [ f ( x, v)dx]dv,
故X,Y 的 边缘密度函数为：
fX ( x) FX ( x)
f ( x, y)dy,
fY ( y) FY ( y)
f ( x, y)dx,
例2：设（X，Y）服从下列区域上的二维均匀分布，
试求X，Y的边缘概率密度。
y
(1)D ( x, y) | 0 x 2,0 y 1 1
2.4 二维随机变量的独立性
一、二维随机变量的边缘分布
随机向量( X ,Y )中, X ,Y的分布分别称为关于X、Y的 边缘分布。X, Y的分布函数 FX ( x), FY ( y) 称为边缘分布函数。
巳知 (X, Y) 的联合分布函数为 F(x, y)， 则易知：
FX x PX x PX x,Y F x, FY y PY y PX ,Y y F , y
次击中目标所进行的射击次数，以 Y 表示总共进行 的射击次数 . 试求 X 和 Y 的联合分布及条件分布.
解 依题意，{Y=n} 表示在第n次射击时击中目 标 , 且在前n-1次射击中有一次击中目标. {X=m} 表 首次击中目标时射击了m次 .
1 2 ……m…………. n-1 n
n次射击 击中
击中
j
P{[( X xi ) (Y y j )]}
j
P{X xi ,Y y j }
j
pij pi• (i 1,2, ) j
同理，Y的边缘分布
P{Y y j } pij p• j i
( j 1,2, )
XY
x1 x2 xi
p• j
y1 y2 y j pi•
p11 p12 p1 j p1•
暂时固定
二维连续型随机变量的边缘分布函数与边缘概率密度
ｙ→＋∞
数学学习与研究 ２０２１ ２０
ＪＩＥＴＩ ＪＩＱＩＡＯ ＹＵ ＦＡＮＧＦＡ
解题技巧与方法
１５９
－ ∞ ＜ｘ＜＋∞ ，
Ｆ Ｙ（ ｙ）＝ ｌｉｍ Ｆ（ ｘ，ｙ）
ｘ→＋∞
( π１ ａｒｃｔａｎ ｘ＋ ２１ ) ( π１ ａｒｃｔａｎ ３ｙ ＋ ２１ )
０，其他．
－∞
４ ５
＋∞
ｙ ２ ，０≤ｙ≤１，
ｆ Ｙ（ ｙ）＝
ｆ（ ｘ，ｙ） ｄｘ ＝ ３
－∞
０， 其他．
２．２ 已知联合分布函数求边缘概率密度
主要有两种方法：方法一：利用联合分布函数和边缘分
布函数之间的关系求出边缘分布函数，由于边缘分布函数
在其定义域内是可导的，则对边缘分布函数求导即可得到
边缘概率密度，即：
＋∞
＋∞
３
ｆ Ｘ（ ｘ）＝
ｆ（ ｘ，ｙ） ｄｙ ＝
ｄｙ
２
２
２
－∞
－ ∞ π （１＋ｘ ） （９＋ｙ ）
１
＝
，
π（１＋ｘ２ ）
－ ∞ ＜ｘ＜＋∞ ，
＋∞
＋∞
３
ｆ Ｙ（ ｙ）＝
ｆ（ ｘ，ｙ） ｄｘ ＝
ｄｘ
２
２
２
－∞
－ ∞ π （１＋ｘ ） （９＋ｙ ）
３
＝
，
π（９＋ｙ２ ）
－ ∞ ＜ｙ＜＋∞ ．
一般地，当联合分布函数或者联合概率密度已知求边
【 摘要】 二维连续型随机变量（ Ｘ，Ｙ） 的边缘分布函数与
边缘概率密度，能够全面地描述二维连续型随机变量（ Ｘ，
Ｙ） 的分布规律，是概率论与数理统计的重要组成部分．若不
理解相关概念和性质就盲目求解边缘概率密度与边缘分布
12 二维连续型随机变量,边缘分布讲解
第12讲 二维连续型随机变量和边缘分布
主要内容： 1、二维连续型随机变量 2、边缘分布函数 3、离散型随机变量的边缘分布 4、连续型随机变量的边缘分布
重点：1；3；4 难点：1；4
1
一、二维连续型随机变量
1.定义
对于二维随机变量( X ,Y ) 的分布函数 F y) 使对于任意 x, y 有
联合分布
1
pi
12
4
462
7 3
42
7
3
7
1
边缘分布
练 习 将 一 枚 均 匀 硬 币 掷 三 次， 设X 为 三 次 中 正
面 出 现 的 次 数 ， 而Y 为 正 面 次 数 与 反 面 次 数差 的
1
1 x
0 dx 0 4 xydy
1 6
y x
y 1 x
8
练习：设随机变量( X ,Y )的密度函数为
f
( x,
y)＝k(6
x 0,
y),
0 x 2, 2 y 4, 其它
求(1)常数k;
(2)P{X 1,Y 3};
(3)P{X 1.5};
(4)P{X Y 4}.
提 示 ：
f ( x, y)dxdy 1
k1 8
P{X 1,Y 3}
1
dx
31 (6
x
y)dy
3
0
28
8
(3)P{X 1.5} 27 32
(4)P{X Y 4} 2 3
9
二、边缘分布函数 问题 : 已知( X ,Y )的分布,如何确定X ,Y 的分布?
YX
G x
主要内容： 1、二维连续型随机变量 2、边缘分布函数 3、离散型随机变量的边缘分布 4、连续型随机变量的边缘分布
重点：1；3；4 难点：1；4
1
一、二维连续型随机变量
1.定义
对于二维随机变量( X ,Y ) 的分布函数 F y) 使对于任意 x, y 有
联合分布
1
pi
12
4
462
7 3
42
7
3
7
1
边缘分布
练 习 将 一 枚 均 匀 硬 币 掷 三 次， 设X 为 三 次 中 正
面 出 现 的 次 数 ， 而Y 为 正 面 次 数 与 反 面 次 数差 的
1
1 x
0 dx 0 4 xydy
1 6
y x
y 1 x
8
练习：设随机变量( X ,Y )的密度函数为
f
( x,
y)＝k(6
x 0,
y),
0 x 2, 2 y 4, 其它
求(1)常数k;
(2)P{X 1,Y 3};
(3)P{X 1.5};
(4)P{X Y 4}.
提 示 ：
f ( x, y)dxdy 1
k1 8
P{X 1,Y 3}
1
dx
31 (6
x
y)dy
3
0
28
8
(3)P{X 1.5} 27 32
(4)P{X Y 4} 2 3
9
二、边缘分布函数 问题 : 已知( X ,Y )的分布,如何确定X ,Y 的分布?
YX
G x
第2节 二维随机变量的边缘分布
定理2.1 若随机变量( X , Y )服从二维正态分布 N ( 1 , ; 2 , ; )，则
2 1 2 2
X N (1, ) , Y N (2 , )
2 1 2 2
概率论与数理统计（湘潭大学）
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20
§2.10 二维随机变量的边缘分布
小 结
1. 边缘分布的含义,研究边缘分布的目的. 2. 二维连续随机变量的边缘分布的计算公式与具 体求法： f X ( x ) f ( x, y ) d y ,
1
类似可得 Y 的边缘分布为 y 1 2, 0 y 1; Y ( y ) 其它. 0,
dx f ( x, y) dy.
x
[ X 的边缘概率密度] d f X ( x) FX ( x) f ( x, y ) dy. dx
概率论与数理统计（湘潭大学）
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§2.10 二维随机变量的边缘分布
同理可得,
[Y 的边缘分布函数]
§2.10 二维随机变量的边缘分布
( 2) 当 y 0 时, fY ( x) 0;
y
y
yx
当 y 0 时，
fY ( y) f ( x, y)d x
e d x y e y .
0
y y
O
y
x
从而
y e y , y 0 ; fY ( y ) 其它 . 0,
概率论与数理统计（湘潭大学）
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结束
16
例5 设随机变量( X , Y )服从二维正态分布 N (0,1;0,1; )，求关于X 与Y的边缘概率密度。
概率论与数理统计课件 3.2二维连续型随机变量的边缘密度
设f(x,y)为二元随机变量(X,Y)的联合概率密度函数。 如果我们现在只想考察随机变量X或Y各自的情况， 如何处理？
关于X的边缘概率密度为
f X ( x) f ( x, y)dy
关于Y的边缘概率密度为
fY ( y) f ( x, y)dx
二维连续型随机变量的边缘分布
关于 X的边缘分布函数为
二维连续型随机变量的边缘分布dvdududv的边缘分布函数为关于x的边缘分布函数为关于其它求k值和两个边缘分布密度函数ydyxdx其它所以关于x的边缘分布密度为xydx关于y的边缘分布密度为所以关于x的边缘分布密度函数为1所以关于y的边缘分布密度函数为dxdydxdy分别积分可得两个边缘密度函数为
二维连续型随机变量的边缘密度
1
得 k 1 ydy 0 xdx 2k 1
k1 2
关于X的边缘分布密度为
fX (x)
f ( x, y)dy
当 x [0,1] 时
31
fX (x)
xydy 2x 12
当 x [0,1]时 fX (x) 0
所以，关于X的边缘分布密度为
2x x [0,1]
f
X
(x)
0
其它
关于Y的边缘分布密度为
x
FX
(x)
F
(x,
)
f
(u,
v)dvdu
关于 Y 的边缘分布函数为
y
FY
(x)
F (,
y)
f
(u,
v)du dv
例
设（X, Y）的联合密度为
kxy 0 x 1,1 y 3
3
f (x, y)
0
其它
1
求k值和两个边缘分布密度函数
关于X的边缘概率密度为
f X ( x) f ( x, y)dy
关于Y的边缘概率密度为
fY ( y) f ( x, y)dx
二维连续型随机变量的边缘分布
关于 X的边缘分布函数为
二维连续型随机变量的边缘分布dvdududv的边缘分布函数为关于x的边缘分布函数为关于其它求k值和两个边缘分布密度函数ydyxdx其它所以关于x的边缘分布密度为xydx关于y的边缘分布密度为所以关于x的边缘分布密度函数为1所以关于y的边缘分布密度函数为dxdydxdy分别积分可得两个边缘密度函数为
二维连续型随机变量的边缘密度
1
得 k 1 ydy 0 xdx 2k 1
k1 2
关于X的边缘分布密度为
fX (x)
f ( x, y)dy
当 x [0,1] 时
31
fX (x)
xydy 2x 12
当 x [0,1]时 fX (x) 0
所以，关于X的边缘分布密度为
2x x [0,1]
f
X
(x)
0
其它
关于Y的边缘分布密度为
x
FX
(x)
F
(x,
)
f
(u,
v)dvdu
关于 Y 的边缘分布函数为
y
FY
(x)
F (,
y)
f
(u,
v)du dv
例
设（X, Y）的联合密度为
kxy 0 x 1,1 y 3
3
f (x, y)
0
其它
1
求k值和两个边缘分布密度函数
概率论与数理统计— 二维随机变量及边缘分布
4
42
6
7 3
42
7
3
1
7
边缘分布
三、连续型随机变量的边缘分布
定义 对于连续型随机变量 ( X ,Y ), 设它的概率
密度为 f ( x, y), 由于
x
FX ( x) F ( x,)
[ f ( x, y)d y]d x,
记
fX ( x)
f (x, y)d y,
称其为随机变量 ( X , Y ) 关于 X 的边缘概率密度.
•
1、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。20.1 2.1320. 12.13Sunday, December 13, 2020
•
2、阅读一切好书如同和过去最杰出的 人谈话 。07:4 0:0407: 40:0407 :4012/ 13/2020 7:40:04 AM
•
3、越是没有本领的就越加自命不凡。 20.12.1 307:40: 0407:4 0Dec-20 13-Dec-20
其中 pij 0,
pij 1.
i1 j1
二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为
X Y
y1 y2
yj
x1
x2 xi
p11 p21 pi1
p12 p22 pi 2
p1 j p2 j pij
例1 设随机变量 X 在 1,2,3,4四个整数中等可能地
取值, 另一个随机变量 Y 在 1 ~ X 中等可能地取一
3. 二维连续型随机变量的概率密度
yx
F ( x, y)
f (u,v) dudv.
第二节 边缘分布
一、边缘分布函数 二、离散型随机变量的边缘分布律 三、连续型随机变量的边缘分布 四、小结
边缘分布
把第一行和最后一行拿出来就是Y的分布；把第一列 和最后一列拿出来就是X的分布。
我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边 缘上，由此得出边缘分布这个名词.
练习 袋中有2只白球和3只黑球，从中摸球，记
Xi
1, 第i次 摸 出 白 球 0, 第i次 摸 出 黑 球i
1,2,
试求 ( X1 , X 2 )的联合概率分布和边缘概率分
X 的边缘分布函数
x
FX (x) F(x,)
f (x, y)d y d x,
F x x f t dt
fX (x)
f (x, y)d y.
X 的边缘概率密度.
同理可得Y的概率密度为：fY ( y) f ( x, y)dx
我们称
参量积分
f X ( x) f ( x, y)dy —(X,Y)关于X的边缘概率密度
关于 X 和关于Y 的边缘分布律.
X Y
x1 x2 xi
y1
p11 p21 pi1
y2
p12 p22 pi 2
yj
p1 j
pi 1,2,;
j 1
P{Y y j } pij , j 1,2,.
i 1
【补充例 】已知下列分布律求其边缘分布律.
y)dy
e
y
dy
x
0
x 0 ex
x 0 0
x0 ,
x0
Y 的密度函数 fY ( y) 为
y
fY
( y)
f
(x,
y)dx
0
e ydx
0
y 0 ye y
y 0 0
y0 .
y0
☺课堂练习
一 整 数N 等 可 能 地 在1, 2, 3,,10 十 个 值 中 取
我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边 缘上，由此得出边缘分布这个名词.
练习 袋中有2只白球和3只黑球，从中摸球，记
Xi
1, 第i次 摸 出 白 球 0, 第i次 摸 出 黑 球i
1,2,
试求 ( X1 , X 2 )的联合概率分布和边缘概率分
X 的边缘分布函数
x
FX (x) F(x,)
f (x, y)d y d x,
F x x f t dt
fX (x)
f (x, y)d y.
X 的边缘概率密度.
同理可得Y的概率密度为：fY ( y) f ( x, y)dx
我们称
参量积分
f X ( x) f ( x, y)dy —(X,Y)关于X的边缘概率密度
关于 X 和关于Y 的边缘分布律.
X Y
x1 x2 xi
y1
p11 p21 pi1
y2
p12 p22 pi 2
yj
p1 j
pi 1,2,;
j 1
P{Y y j } pij , j 1,2,.
i 1
【补充例 】已知下列分布律求其边缘分布律.
y)dy
e
y
dy
x
0
x 0 ex
x 0 0
x0 ,
x0
Y 的密度函数 fY ( y) 为
y
fY
( y)
f
(x,
y)dx
0
e ydx
0
y 0 ye y
y 0 0
y0 .
y0
☺课堂练习
一 整 数N 等 可 能 地 在1, 2, 3,,10 十 个 值 中 取
二维随机变量的边缘分布
概率论与数理统计
❖ 3.边缘概率密度 1.概念
➢由连续型随机变量的定义知，X是一个连续型随机变
量，且其概率密度为
fX ( x)
f ( x, y)dy
同样，Y也是一个连续型随机变量，其概率密度为
fY ( y) f ( x, y)dx
➢分别称
fX ( x) f ( x, y)dy 和 fY ( y) f ( x, y)dx
➢ 例3.4.1 设(X，Y)的分布函数为
1
F ( x,
y)
2
(arctan x
)(arctany 2
), 2x,y求关于X和Y的边缘分布函数FX(x)、FY(y)．
➢ 解：由定义知
1
FX (x)
lim F( x,
y
y)
lim [
y
2
(arctan x
)(arctany 2
)] 2
1
(arctanx )
❖ 2.边缘分布律 1.概念
➢ 例3.4.2 袋中有2只白球3只黑球，现从中摸两次，每次摸一球，分
别采用有无放回两种摸球方式，令
1, 第一次摸出白球,
1, 第二次摸出白球,
X 0, 第一次摸出黑球, Y 0, 第二次摸出黑球.
求 X 和 Y 的联合分布律与边缘分布律.
➢ 解 利用古典概型的方法求其分布律.
概率密度为 f(x, y)，因为X的分布函数为
x
FX ( x) F ( x, )
(
f ( x, y)dy)dx
➢由连续型随机变量的定义知, X 是一个连续型随机变量，
且其概率密度为
fX ( x)
f ( x, y)dy
同样, Y 也是一个连续型随机变量，其概率密度为
概率统计及随机过程：3.2 二维随机变量的边缘分布和条件分布
11
pij X 0 1 2 3
p•j
Y
111 1
8
0
27 9 9 27 27
1
1 21 0
4
9 99
9
2
11 00
2
99
9
3
100 0
1
27
27
Pi•
84 2 27 9 9
1 1
27
12
例4 把3 个红球和3 个白球等可能地放入编号为 1，2，3 的三个盒子中, 每盒容纳的球数无 限, 记 X 为落入1号盒的白球数, Y 为落入 1 号盒的红球数. 求( X ,Y )的联合分布律和 边缘分布律.
二维随机变量的边缘 分布和条件分布
1
二维随机变量的联合分布函数
定义 设( X , Y ) 为二维随机变量，对于任何 一对实数( x , y ), 事件
(X x) (Y y) (记为 X x,Y y) 的概率 PX x,Y y 定义了一个
二元实函数 F ( x , y )，称为二维随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数，即
推广到 n 维随机变量及其联合分布函数与边缘
分布函数
6
二维离散型随机变量的边缘分布 定义 若二维随机变量(X ,Y )的所有可能的
取值为有限多个或无穷可列多个, 则 称(X ,Y ) 为二维离散型随机变量.
要描述二维离散型随机变量的概率特性及其与 每个随机变量之间的关系常用其联合概率分布 和边缘概率分布
44 24 1 4 4 9 9 9 9 27 9 9 42 22 1 2 2 9 9 9 9 27 9 9 4 1 2 1 1 1 1 9 27 9 27 27 27 27
4
2
11
概率论与数理统计课件 2.6 二维随机变量的边缘分布
xi
pi1
pi 2
pij
pi
p j
p1
p2
p j
1
例2 设随机变量 X 在数1,2,3,4中等可能取值，另一个随机变量 Y
在1至 X 之间等可能取值，试求二维随机变量 (X ,Y )的联合
分布律与边缘分布律.
1
解
P(X i,Y j) P(X i)P(Y j | X i) ,
§2.6 二维随机变量的边缘分布
一、二维随机变量的边缘分布函数
FX (x) P(X x) P(X x,Y ) F(x, )
二、二维离散型随机变量的边缘分布律
pi P( X xi ) pij , i 1, 2, 3, . j 1
三、二维连续型随机变量的边缘密度函数
若二维随机变量 (X ,Y ) 的联合分布函数为 F(x, y) ，则 (X ,Y )
中随机变量 X 的分布函数称为 (X ,Y )关于 X 的边缘分布函数，
记为
FX (x) P(X x) P(X x,Y ) F(x, )
二维随机变量 (X ,Y )关于随机变量 Y 的边缘分布函数
fY
( y)
f
(x,
y)dx
3(1 0,
y ),
0 y 1, 其它.
均匀分布的边缘分布不一定是均匀分布
若 D 是矩形区域, 则 (X ,Y) 的边缘分布仍为均匀分布
解 (X ,Y ) 的联合分布律为
关于X 的边缘分布
关于 Y 的边缘分布
几何分布
帕斯卡分布.
例4 已知随机变量 X 和 Y 的分布律分别为
二维随机变量的概率分布和边缘分布表格
随机变量是统计学和概率论中的一个重要概念，它描述了在一定条件下可能发生的各种数值。
在随机变量中，二维随机变量是一种特殊的形式，它包含了两个变量而不是一个。
为了更好地理解二维随机变量的概念和特性，我们可以通过概率分布和边缘分布表格来进行详细的分析和讨论。
一、二维随机变量的概率分布1.1 概率分布的定义概率分布是描述随机变量各种取值可能性的概率大小的一种数学函数。
对于二维随机变量而言，概率分布可以通过一个二维表格来表示，其中行和列分别代表两个随机变量可能的取值，格子中的数值表示这两个变量同时取某个值的概率。
1.2 二维随机变量的联合分布对于二维随机变量(X, Y)，其联合分布可以表示为P(X=x, Y=y)，表示X取值为x且Y取值为y的概率。
联合分布的表格可以清晰地展示X和Y之间的关系，以及它们各自可能的取值和概率大小。
1.3 二维随机变量的条件分布在给定Y的取值条件下，X的分布称为X在Y的条件下的分布。
条件分布可以通过联合分布和边缘分布的关系来求得，它可以帮助我们更好地了解在不同条件下X的可能取值情况。
1.4 二维随机变量的边缘分布二维随机变量的边缘分布是指在给定一维随机变量的分布后，另一维随机变量的分布。
通过边缘分布表格，我们可以清楚地看到X和Y各自的取值和概率大小，从而更好地了解它们的分布特性。
二、二维随机变量的边缘分布2.1 边缘分布的定义对于二维随机变量(X, Y)，其边缘分布可以表示为P(X=x)和P(Y=y)，分别表示X和Y各自取某个值的概率。
边缘分布表格可以清晰地展示X和Y各自的分布情况。
2.2 边缘分布表格的内容边缘分布表格的横纵坐标分别表示X和Y可能的取值，表格中的数值表示各自的概率。
通过分析边缘分布表格，我们可以得到X和Y各自的取值范围和概率大小，以及它们之间的关系。
2.3 边缘分布与联合分布的关系通过边缘分布表格和联合分布表格的比较，我们可以看到它们之间的关系和差异。
边缘分布可以帮助我们更好地理解在单个随机变量的条件下，另一个随机变量的取值情况和概率大小。
3.4二维随机变量的分布函数、边缘分布
(1) 求常数 A; (2) （X，Y）落在由 y x, x y 及 2 所围区域G内的概率
y0
解
(1) f ( x, y )dxdy 1
y
2 2
f ( x, y)dxdy 1
2 0
D
2 0
A sin( x y )dxdy
0 0
1
x
c [ x ( 2 x ) / 2]dx =5c/24=1,
2 0
1
0
1
c =24/5
解: (2)
24 y(2 x ), 0 x 1, 0 y x f ( x, y) 5 0 , 其它
f X ( x)
y
y=x
(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)
P ( X 0, Y 0) C / C 3 / 15,
2 3 2 6
同理有
P ( X 0, Y 1) C C / C 6 / 15,
1 2 1 3 2 6
P ( X 0, Y 2) C / C 1 / 15 ; P ( X 1, Y 0) C C / C 3 / 15,
x
A 2 [ cos( x y )]02 dx
0
A [ cos( x ) cos x]dx 2
2 0
1 A 2
P{( X , Y ) G} 2 1 sin( x y )dxdy 4 2 G y 1 4 dy 2 sin( x y )dx 0 0 y 2 y 1 4 2 [ cos( x y )] y dy 2 0 1 1 [sin 2 y ]04 4 4
y0
解
(1) f ( x, y )dxdy 1
y
2 2
f ( x, y)dxdy 1
2 0
D
2 0
A sin( x y )dxdy
0 0
1
x
c [ x ( 2 x ) / 2]dx =5c/24=1,
2 0
1
0
1
c =24/5
解: (2)
24 y(2 x ), 0 x 1, 0 y x f ( x, y) 5 0 , 其它
f X ( x)
y
y=x
(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)
P ( X 0, Y 0) C / C 3 / 15,
2 3 2 6
同理有
P ( X 0, Y 1) C C / C 6 / 15,
1 2 1 3 2 6
P ( X 0, Y 2) C / C 1 / 15 ; P ( X 1, Y 0) C C / C 3 / 15,
x
A 2 [ cos( x y )]02 dx
0
A [ cos( x ) cos x]dx 2
2 0
1 A 2
P{( X , Y ) G} 2 1 sin( x y )dxdy 4 2 G y 1 4 dy 2 sin( x y )dx 0 0 y 2 y 1 4 2 [ cos( x y )] y dy 2 0 1 1 [sin 2 y ]04 4 4
04边缘分布
边缘分布定义1：对二维随机变量(X,Y)，若已知其联合分布，则称随机变量X或Y的概率分布它的边缘分布。
定义2：二维随机变量(X,Y)的分量X、Y的分布函数F X(x)、F Y(x)分别称为(X,Y)关于X、Y的边缘分布函数。
离散型的边缘分布律二维离散型随机变量(X,Y)的分量X、Y都是一维离散型随机变量，X、Y的分布律P{X=x}、iP{Y=y j}(i,j=1,2, …)分别称为(X,Y)关于X、Y的边缘分布律。
设(X,Y)的联合分布律p ij =P{X=x i , Y=y j } (i,j=1,2, …) 为已知，则(X,Y)关于X 的边缘分布律有{}{}{}{}{}{}⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=∩==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡===+∞<===∑∑∞=∞=11,,j ji j i i i i y Y x X P y Y x X P Y x X P x X P例１一袋中有五件产品，其中两件次品，三件正品，从袋中任意依次取出两件，分别采用有放回与不放回两种方式进行抽样检查，规定随机变量⎩⎨⎧第１次取出正品１第１次取出次品＝,,0ξ⎩⎨⎧第２次取出正品１第２次取出次品＝,,0η则(ξ,η)的联合分布律如下（并可求得边缘分布律）：∫∫∞−∞+∞−=xX dvduv u f x F ),()(边缘分布函数与边缘密度函数∫∫∞−∞+∞−=yY dudvv u f y F ),()(∫∞+∞−=dvv x f x f X ),()(∫∞+∞−=duy u f y f Y ),()(与离散随机变量相同,已知联合分布可以求得边缘分布；反之则不能唯一确定.例设随机变量( X ,Y ) 的联合密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他,0,10,0,),(y y x kxy y x f 其中k 为常数. 求(1)常数k ;(2)P ( X + Y ≥1) , P ( X < 0.5);(3)联合分布函数F (x,y );(4)边缘密度函数与边缘分布函数⎩⎨⎧<≤−=其他,010,44)(3x x x x f X ⎩⎨⎧<≤=其他,010,4)(3y y y f Y。
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§2.10 二维随机变量的边缘分布
[例 2] 设二维随机变量(X ,Y )的联合概率密度为:
f
(x,
y)
4.8
y(2
0,
x),
0 x 1,0 y x； 其它.
求 f X (x), fY ( y) .
y yx
解 : (1) 当 x 0或x 1 时，
x
[X 的边缘分布函数]
FX (x) P( X x) P(X x,Y )
F(x,)
x
dx f (x, y)dy.
[X 的边缘概率密度]
f X
(x)
d dx
FX
(x)
f (x, y) dy.
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问题：已知联合分布,求边缘分布.
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§2.10 二维随机变量的边缘分布
1.二维离散随机变量的边缘分布
设 ( X ,Y )表示二维离散随机变量.联合分布为：
p (xi , y j ) P( X xi ,Y y j ),
i 1, 2, , m, ; j 1, 2, , n, .
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第二章 随机变量及其分布
§2.11 二维随机变量的条件分布
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第二章 随机变量及其分布
§2.12 随机变量的独立性
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§2.11 随机变量的独立性
离散随机变量的独立性
设 X 与Y 为离散随机变量，如果对于它们的任意一对
fX (x)
f (x, y)d y 0;
O
当 0 x 1 时，
x
fX (x)
f (x, y)d y
0
f (x, y)d y
x 1x
x
4.8y(2 x)d y 2.4x2(2 x). 0
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P( X xi ,Y y j )
ij
p(xi , y j ),
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§2.10 二维随机变量的边缘分布
同理可得,
[Y 的边缘分布函数]
y
FY ( y) F(, y )
dy
f (x, y) d x.
[Y 的边缘概率密度]
fY
(
y)
d dy
FY
(
y)
f (x, y) d x.
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显然,可以认为X与Y之间相互独立, 于是，( X ,Y )的联合
密度函数为
f
( x, y)
fX (x) fY ( y)
2 (5 125
y), 0
x
5,0
y
5;
0,
其它.
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§2.11 随机变量的独立性
事件"旅客能乘上火车"可以表示为"Y X ",也就是 "0 Y X 5",因此问题归结为求"0 Y X 5"的概率,
则 X 的边缘分布表为：
X
0
1
pX (xi )
14
34
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§2.10 二维随机变量的边缘分布
类似可得Y 的边缘分布表为：
Y
pY ( y j )
0
5 /12
1
7 /12
将它们写在联合分布表上,即得下表 :
X
Y
0
1
pY ( y j )
0
1/12
1/ 3
f (x , y) fX (x) fY ( y) ,
所以随机变量 X 与Y 是独立的.
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§2.11 随机变量的独立性
小结
1. 独立性是随机变量之间的一种最基本的关系,是 概率论的重要概念.
2. 独立随机变量的性质： p(xi , y j ) pX (xi ) pY ( y j ), f (x, y) fX (x) fY ( y).
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§2.10 二维随机变量的边缘分布
[例 1] 已知(X ,Y )的联合分布表为
X
Y
0
1
0
1/12 1/ 6
1
1/ 3 5/12
求 X 与Y 的边缘分布.
解 : P( X 0) 1 1 1 ; P( X 1) 1 5 3.
12 6 4
3 12 4
5 /12
1
1/ 6
5 /12 7 /12
pX (xi ) 1/ 4 3/4
1
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§2.10 二维随机变量的边缘分布
2.二维连续随机变量的边缘分布
设二维连续随机变量(X ,Y )的联合分布函数为
F (x, y), 联合概率密度为 f (x, y).
结束
§2.10 二维随机变量的边缘分布
小结
1. 边缘分布的含义,研究边缘分布的目的.
2. 二维连续随机变量的边缘分布的计算公式与具
体求法：
fX (x)
f (x, y)d y,
fY ( y)
f (x, y) d x.
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0
2
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§2.11 随机变量的独立性
由此得 X 的边缘概率密度
ex ,
f
X
(
x)
0
,
x 0; x 0.
同理，可以得 Y 的边缘概率密度
2e2 y ,
fY ( y)
0,
由上面得到的结果易知
y 0; y 0.
[X 的边缘概率函数]
pX (xi )
P( X
xi )
P
(X
xi ,Y
y j )
j1
P( X xi ,Y y j )
j 1
p(xi , y j ), i 1, 2, , m, .
j 1
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可能值 xi 及 y j，事件 X xi 与 Y y j 是独立的，则称随机
变量 X 与Y 是独立的.
由概率乘法定理有：
[定理1] 若离散随机变量X 与Y 独立,则
p(xi , y j ) pX (xi ) pY ( y j ),
ji
1,2,, m,, 1,2,, n,.
y),
0
y 5;
0 ,
其它.
求旅客能乘上火车的概率 .
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§2.11 随机变量的独立性
解：将7：55作为时间轴(单位 : 分)的起点,则X在区间 [0,5]上服从均匀分布, X 的概率密度函数为
f
X
(
x)
1 5,
0
,
0 x 5; 其它.
(2) 当 y 0 时, fY (x) 0;
y
当 y 0 时，
y
fY ( y)
f (x, y)d x
y ey d x y ey . 0
O
从而
ye y, y 0;
fY
(
y)
0,
其它.
yx
y
x
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F(x, y) FX (x)FY ( y), f (x, y) fX (x) f Y( y).
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§2.11 随机变量的独立性
[例1] 已知二维随机变量 (X ,Y )的联合概率密度为
2e(x2 y) , f (x , y)
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§2.11 随机变量的独立性
连续随机变量的独立性
设 X 与Y 为连续随机变量，如果对于它们的任意一对 实数值 x 及 y ，事件 X x 与 Y y 是独立的，则称随机 变量 X 与 Y 是独立的.
由概率乘法定理有： [定理2] 若连续随机变量X 与Y 独立,则
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§2.10 二维随机变量的边缘分布
于是X 的边缘分布表为：
X
x1
x2
xm