基本不等式教材分析

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2020年人教版新高一数学教学设计基本不等式

教学设计封面题目：人教版必修一第一册第二章2.2基本不等式教学设计学段：2020年新高一数学基本不等式教学设计一、教材分析不等关系和相等关系一样，都是数学中最基本的数量关系，而实际问题中常常需要利用不等关系构造出不等式，进而解决实际问题。

这其中有一类重要的不等式——基本不等式。

新教材中，基本不等式排在必修一“第二章一元二次函数、方程和不等式”的第二节，在第一节“2.1等式性质与不等式性质”之后。

这充分体现了基本不等式在中学数学体系中的重要性和基础性，同时也为学生在高中阶段解决数学内外的相关问题提供了工具上的准备。

此外，掌握好基本不等式也为后续的函数最值、值域问题和选修内容里不等式的相关内容等内容作铺垫，为后续的进一步学习提供了一个良好的开端和奠基。

二、学情分析基本不等式在老教材里是必修五里面的内容，要到高一下学期或高二上学期才会学习，现在在新教材中排到必修一第二章，所以对新高一的学生来说难度略高。

再加上疫情期间的网课中，多数学生的学习效果不很理想，这就注定接受起基本不等式来会有难度，所以在教学中应该降低切入点，减少偏难怪题的出现，辅之以一些简单、常见的知识及例题、习题等来加深对基本不等式的理解和掌握。

三、教学目标1、探究、理解不等式的证明过程。

(),02a b a b+≤>，并能初步应用基本不等式求最值和证明简单的不等式。

3、结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值和最小值问题。

四、教学重难点1、教学重点基本不等式的定义、证明方法和几何解释，用基本不等式解决简单的最值问题。

2、教学难点基本不等式的几何解释，用基本不等式解决简单的最值问题。

五、教学方法启发、引导、小组合作与讨论、讲授结合。

六、教学过程设计（一）引入导入语：在初中我们知道，乘法公式在代数式运算中有重要的作用，那么在解决不等式的问题中是否也有类似作用的“公式”呢？下面就由我们前面刚学习的重要不等式来推导出今天学习的重点——基本不等式。

基本不等式说课稿-北师大版(精美教案)

《基本不等式》说课稿一、教材分析、本节课的地位、作用和意义基本不等式又称为均值不等式，选自普遍高中课程标准实验教科书(北京师范大学出版社出版) 必修8890P P -，第章第节内容。

学生在初中学习了完全平方公式、圆、初步认识了不等式，同时，在本章前面两节学习了比较大小、一元二次不等式等，这些给本节课提供了坚实的基础；基本不等式是后面基本不等式与最大（小）值的基础，在高中数学中有着比较重要的地位，在工业生产等有比较广的实际应用。

、本节课的教学重点和难点我通过解读新课标和分析教材，认为：重点：通过对新课程标准的解读，教材内容的解析，我认为结果固然重要，但数学学习过程更重要，它有利于培养学生的数学思维和探究能力，所以均值不等式的推导是本节课的重点之一；再者，均值不等式有比较广的应用，需重点掌握，而掌握均值不等式，关键是对不等式成立条件的准确理解，因此，均值不等式以及其成立的条件也是教学重点。

突出重点的方法：我将采用①用分组讨论，多媒体展示、引导启发法来突出均值不等式的推导；用重复法（在课堂的每一环节，以各种方式进行强调均值不等式和其成立的条件），变式教学来突出均值不等式及其成立的条件。

难点：很多同学对均值不等式成立的条件的认识不深刻，在应用时候常常出错误，所以，均值不等式成立的条件是本节课的难点。

突破难点的方法：我将采用用重复法（在课堂的每一环节，以各种方式进行强调均值不等式和其成立的条件），变式教学等等来突破均值不等式成立的条件这个难点。

二、教学目标分析、知识与技能目标（）学会推导基本不等式：2a b+≥。

（）理解2a b+≥的几何意义。

（）能分钟内写出基本不等式，并说明其成立的条件，准确率为、过程方法与能力目标（）探索并了解均值不等式的证明过程。

（）体会均值不等式的证明方法。

、情感、态度、价值观目标（）通过探索均值不等式的证明过程，培养探索、研究精神。

（）通过对均值不等式成立的条件的分析，养成严谨的科学态度，勇于提出问题、分析问题的习惯。

高中数学必修第一册(人教A版)第二章2.2基本不等式

《基本不等式》教学设计一、教学对象高一三班，班级学生基础稍微薄弱，通过本节课学生能掌握基本不等式的基本应用及其变形，锻炼学生数形结合不同角度的理解能力.二、教材分析本节选自《普通高中教科书·数学必修第一册（人教A版）》的第二章2.2基本不等式，本节课主要是先利用初中学过的完全平方得到基本不等式；并通过在学习算术平均数与几何平均数的定义基础上，引导学生给出基本不等式的代数证明和几何解释；与此同时让学生学会简单应用.算术平均数与几何平均数是不等式这一章的核心，对于不等式的证明及利用基本不等式求最值等应用问题都起到工具性作用.通过本章的学习有利于学生对后面不等式的证明及函数最值、值域的进一步研究，起到铺垫的作用，因此决定了它的重要地位.三、教学目标本节课本着新高考评价体系的“立德树人、服务选才、引导教学”这一高考核心立场，提出如下教学目标：必备知识：1.知道基本不等式的几何背景，能结合具体实例解释基本不等式成立的条件，会运用所学知识证明基本不等式，并能在证明过程中分析不等式成立的条件.2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题，从中领会不等式成立时的三个限制条件（一正、二定、三相等）在求解实际问题的最值中的作用.关键能力：1.用基本不等式数学模型解决实际问题的能力.2.通过适当引导，进一步提高学生独立思考、分析问题、解决问题的能力.学科素养：1.从几何和代数两角度论证基本不等式，培养学生数形结合的思想、直观想象的学科素养.2.结合具体实例，培养学生逻辑推理的数学素养.3.通过解决实际问题，培养学生数学建模和数学抽象的数学素养.核心价值:通过适当引导，加强学生社会主义核心价值体系教育，增强学生社会责任感，形成正确核心价值观.四、教学重点、难点重点：基本不等式的定义、证明方法和几何解释，用基本不等式解决简单的最值问题.难点：基本不等式的几何解释，用基本不等式解决简单的最值问题.五、教学方法与手段教学方法：诱思探究教学法.学习方法：自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结.教学手段：多媒体辅助教学.六、教学过程（一）基本不等式的定义导入以线段a ,b的和为直径作圆，过点C作垂直于直径AB的弦DE，依次连接AD、BD.问题1：你能用a ,b表示我的们的半弦CD吗？如果我们连接OD,用a ,b表示半径呢？师生活动：（思考片刻）一块回答CD=ab，2ba.问题2：显然半径大于半弦，点C在直径上运动时是否始终半径大于半弦？能否相等？(几何画板展示点C运动状态下的半径与半弦)师生活动：始终半径大于等于半弦（点C与圆心重合时相等）师生一块完善基本不等式，并指出算术平均数和几何平均数，及其基本不等式的文字表述.设计意图：不等式的几何解释是教学的重、难点，直接通过几何图形，将半径和半弦放到直角三角形中，并结合几何画板动态展示，使学生通过直观感知就得到了半径是不小于半弦，从而突破难点的同时引入了我们的基本不等式.（二）基本不等式的证明问题3：我们已经从几何图形直观感知得到了基本不等式，你能从其他角度证明我们的基本不等式吗？结合我们上节课学过的比较两个代数式大小的方法.师生活动：根据提示能迅速想到作差法，并书写证明过程，师生一块补充完善.设计意图：根据不等式的性质，用作差法证明基本不等式，让学生从数形两个角度分别论证基本不等式，培养学生的数形结合思想.（三）基本不等式的应用例1 已知x , y 都是正数，求证：(1)如果和x + y 等于定值S,那么当x=y 时，x y 有最大值214S(2)如果积x y 等于定值P ,那么当x=y 时，x + y 有最小值师生活动：师生一起分析后，由学生思考并让学生在黑板上书写证明过程，师生一块补充完善.问题4：通过本题，你能说说用基本不等式能解决什么样的问题吗？师生活动：学生思考后回答，教师总结：满足“两个正数的和为定值，积有最大值”“积为定值和有最小值”并且总结应用基本不等式求最值时应满足的三个条件.设计意图：用本例示范基本不等式可以用来求最值，并且应用时要满足的条件，为后面的应用作铺垫.12x x x 例：(1)已知>0,求+的最小值.111x x x >-+(2)已知,求+的最小值.2--x x ≤≤(3)已知11,求1的最大值. 问题5：代数式是和式形式，结合例1，是否可以利用基本不等式求它的最小值？师生活动：学生思考后回答。

基本不等式说课稿

基本不等式说课稿学习必备欢迎下载一. 教材分析1、教材地位和作用本节是选自人教社普通高中课程实验标准数学（必修5）《不等式》一章的内容，是在学完不等式性质的基础上对不等式的进一步研究．同时也是为了以后学习（选修4―5）《不等式选讲》中的几种重要不等式，以及不等式的证明作铺垫，起着承上启下的作用。

本节内容具有变通灵活性、应用广泛性、条件约束性等特点，所以本节课可以培养学生应用数学知识灵活解决实际问题的能力，是学数学用数学的好素材。

同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，所以有利于培养学生良好的思维品质。

“基本不等式”在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。

求最值是高考的热点。

它在科学研究、经济管理、工程设计上都有广泛的作用。

2、教学目标 A．知识目标：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件.B．能力目标：通过实例探究基本不等式；C．情感目标：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣3、教学重点、难点： a?b重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式ab?的证明过程；2a?b难点：用基本不等式求最大最小值，基本不等式ab?等号成立条件24、教材处理本节分为二个课时进行教学．第一课时讲解重要不等式a2?b2?2ab和基本不等式a?b(a?0,b?0)及它们的几何解释，掌握应用基本不等式解决某些数学问题．第二课时讲解2利用基本不等式：ab?a?b(a?0,b?0)来解决实际问题．2ab?二．教法分析 1、教学方法本节内容从实际问题出发，引导学生通过实验、观察、归纳、抽象、概括，数学地提出、分析和解决问题。

这样安排是为了体现数学知识的产生与发展过程，体现数学的应用价值。

新课标中对知识的发生的过程提出了较高的要求，多次使用了“经历”、“感受”、“探索”等情感，态度与价值观要求行为动词，重视学生对问题的探究能力。

高中数学基本不等式教案设计(优秀3篇)

基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。

其表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。

这次白话文为您整理了高中数学基本不等式教案设计（优秀3篇），如果能帮助到您，小编的一切努力都是值得的。

高中数学教学设计篇一教学目标1、明确等差数列的定义。

2、掌握等差数列的通项公式，会解决知道中的三个，求另外一个的问题3、培养学生观察、归纳能力。

教学重点1、等差数列的概念；2、等差数列的通项公式教学难点等差数列“等差”特点的理解、把握和应用教具准备投影片1张教学过程（I）复习回顾师：上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法通项公式和递推公式。

这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面看一些例子。

（放投影片）（Ⅱ）讲授新课师：看这些数列有什么共同的特点？1，2，3，4，5，6；①10，8，6，4，2，…；②生：积极思考，找上述数列共同特点。

对于数列①（1≤n≤6）；（2≤n≤6）对于数列②—2n（n≥1）（n≥2）对于数列③（n≥1）（n≥2）共同特点：从第2项起，第一项与它的前一项的差都等于同一个常数。

师：也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点。

具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数。

一、定义：等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与空的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。

如：上述3个数列都是等差数列，它们的公差依次是1，—2……二、等差数列的通项公式师：等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。

若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：若将这n—1个等式相加，则可得：即：即：即：……由此可得：师：看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求得其通项。

如数列①（1≤n≤6）数列②：（n≥1）数列③：（n≥1）由上述关系还可得：即：则：=如：三、例题讲解例1：（1）求等差数列8，5，2…的第20项（2）—401是不是等差数列—5，—9，—13…的项？如果是，是第几项？解：（1）由n=20，得（2）由得数列通项公式为：由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得—401=—5—4（n—1）成立解之得n=100，即—401是这个数列的第100项。

高中数学_基本不等式教学设计学情分析教材分析课后反思

⾼中数学_基本不等式教学设计学情分析教材分析课后反思教学设计本节课⾸先运⽤2002年国际数学家⼤会会标引⼊，让学⽣动⼿拼图，能让学⽣进⼀步体会中国优秀的数学传统⽂化，感受数学与⽣活的联系，激发学⽣的学习兴趣.运⽤此图标能较容易的观察出⾯积之间的关系，引⼊基本不等式很直观.随后设置⼀系列的问题.学⽣⽴⾜问题，围绕⽬标，借助教材先独⽴思考，归纳概括，尝试知识建构.这些问题，让学⽣直接回答和⿊板板演，提⾼学⽣的数学表达和交流能⼒.通过⼏何图形中⾯积关系获得基本不等式后，让学⽣及时记录，强化记忆.基本不等式的证明过程以填空形式出现，学⽣能够独⽴完成，并能加深学⽣对基本不等式的理解；此种证明⽅法是“分析法”，在选修教材的《推理与证明》⼀章中会重点讲解，此处有必要让学⽣初步了解.由于⼏何直观能启迪思路，帮助理解，因此，借助⼏何直观学习和理解数学，是数学学习中的重要⽅⾯.引导学⽣得出基本不等式的⼏何解释.这样就从三个不同⾓度引导学⽣归纳并认识基本不等式，加深对基本不等式的理解，渗透数形结合的数学思想.课堂练习的设置，可以巩固基本不等式，让学⽣熟悉公式，并学会应⽤.学⽣分组讨论、纠正、争辩，合作交流.引导学⽣体会基本不等式应⽤.强调基本不等式成⽴的前提条件“正”,并为下⼀步利⽤基本不等式求最值奠定基础.课本上的例1，,多数学⽣都会仿照课本上的思路加以解决,学⽣能够加深对基本不等式的理解.并强调解题步骤的完整性,使学⽣体会利⽤基本不等式求最值的条件“正”、“定”和“等”.接着利⽤练习巩固学⽣所学的新知识，将学⽣的思维向外延伸，激发学⽣的发散思维．达到熟练使⽤基本不等式的⽬的，进⼀步巩固利⽤不等式求最值的关键点：“正”“定”“等”.最后让学⽣畅所欲⾔,⾃⼰归纳总结⼀堂课的收获.通过作业,巩固本堂所学知识.总之，本节课的教学通过设问提出问题，引导学⽣发现问题，经历思考交流概括归纳概念，由问题的提出进⼀步加深理解；这⼀过程能够培养学⽣发现问题、分析问题、解决问题的能⼒.学情分析在认知上，学⽣已经掌握了不等式的基本性质，并能够根据不等式的性质进⾏数、式的⼤⼩⽐较，也具备了⼀定的平⾯⼏何的基本知识. 如何让学⽣再认识“基本”⼆字，是本节学习的前提. 事实上，该不等式反映了实数的两种基本运算（即加法和乘法）所引出的⼤⼩变化，这⼀本质不仅反映在其代数结构上，⽽且也有⼏何意义，由此⽽⽣发出的问题在训练学⽣的代数推理能⼒和⼏何直观能⼒上都发挥了良好的作⽤. 因此，必须从基本不等式的代数结构和⼏何意义两⽅⾯⼊⼿，才能让学⽣深刻理解它的本质.另外，在⽤基本不等式解决最值时，学⽣往往容易忽视基本不等式使⽤的前提条件和等号成⽴的条件，因此，在教学过程中，应借助辨误的⽅式让学⽣充分领会基本不等式成⽴的三个限制条件（⼀正⼆定三相等）在解决最值问题中的作⽤.通过对新课程标准的解读，教材内容的解析，并结合学⽣的实际情况，我认为结果固然重要，但数学学习过程更重要，所以在探究本节课的重点，即进⾏基本不等式的推导时，更加注重了培养学⽣的数学思维和探究能⼒。

2基本不等式说课稿-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

2基本不等式说课稿-高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式§2.2《基本不等式》（第1课时）说课稿一、说教材分析本节课是人教A版必修第一册第二章《一元二次函数、方程和不等式》第2节《基本不等式》第1课时的内容。

基本不等式是一种重要且基本的不等式类型，在中学数学知识体系中也是一个非常重要的、基础的内容，它与很多重要的数学概念和性质有关。

基本不等式的代数结构也是数学模型思想的一个范例，借助这个模型可以求最大值和最小值。

学习基本不等式内容可以进一步发展学生的逻辑推理、数学运算和数学建模等数学核心素养，为后续进一步学习不等式内容打好基础。

二、说学情分析基本不等式是在学生已经学习了等式性质与不等式性质，并且具备了一定的推理论证能力的基础上进行的。

基本不等式是几何平均数不大于算术平均数的最简单和最基本的情形。

基本不等式的代数结构也是数学模型思想的一个范例，借助这个模型可以求最大值和最小值。

在理解和应用基本不等式的过程中，体现了数形结合、数学建模等数学思想。

通过该内容的学习，不仅能进一步发展学生的推理论证能力，数学运算和数学建模的数学素养，而且能使学生把这些认识迁移到后继的学习中去，为以后学习一元二次不等式等打好基础。

三、说教学目标1.通过对赵爽勾股圆方图的观察分析，抽象概括出基本不等式；理解基本不等式的三种不同证明方法；2.结合具体实例，会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题；3.进一步发展数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养和观察分析、抽象概括的能力；4.通过赵爽勾股圆方图，展现中国古代数学成就，厚植爱国主义情怀，增强民族自信。

四、说教学重点和难点重点：基本不等式的内容、意义，应用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。

难点：基本不等式的证明过程。

五、说教法、学法分析1.教法：本节课以赵爽勾股圆方图引入，通过学生观察分析、抽象概括出基本不等式。

以问题驱动课堂，教师不断启发学生自主探究，充分发挥学生的积极性、主动性；在课堂上，教师有效地渗透数学思想方法，发展学生数学素养。

基本不等式教学设计

《基本不等式》教学设计张中华教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书•数学（A版）》必修5课题：3.4 基本不等式（第一课时）一、教材分析《基本不等式》是高中教材人教A版必修五第三章第三节的内容，是《不等式》这一章中继一元二次不等式、简单线性规划之后，从几何背景（赵爽的弦图）中抽离出的基本结论，是证明其他不等式成立的重要依据，也是求解最值问题的有力工具之一。

就本章的编写而言，教材讲究从直观性上学习，注重每个数学模型引领数学思想的教材编排暗线，并且都体现出遵循从几何背景入手，强调数形结合思想。

本节内容在此基本上渗透不等式的证明方法（比较法、综合法、分析法），并且会在后续学习时再次得到加强。

基本不等式的学时安排是3课时，它涉及基本不等式的推导教学和求解最值问题两大部分。

本节课是基本不等式教学的第一课时，其主要学习任务是通过赵爽弦图中面积的直观比较、抽象概括，提炼出不等式a 2+ b 2 > 2 ab （a, b G R）。

在此基础上，通过演绎替换、证明探究、数形结合及实际应用等四种不同的角度引导学生认识基本不等式。

其中基本不等式的证明是从代数、几何多方面展开，既有逻辑推理，又有直观的几何解释，使学生充分运用数形结合的思想方法，进一步培养其抽象概括能力和推理论证能力。

这就使得不等式的证明成为本节课的核心内容。

二、教学重难点教学重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程。

教学难点：从不同角度探索基本不等式的证明，能利用基本不等式的模型求解函数最值。

三、教学目标《课程标准》对本节课的要求有以下两条：①探索并了解基本不等式的证明过程；②会用基本不等式解决简单的最值问题。

根据《课标》要求和本节教学内容，并考虑学生的接受能力，我将本节课的教学目标确定为：1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题；理解算数平均数与几何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等式；培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。

基本不等式说课课件.ppt

3．情感与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提
高学习数学的兴趣。
一、教材分析
（三）教学重难点
重点：创设代数与几何背景，应用数形结合的思想证明基本不等式，从不同角度探索基本不等式的证明过程。
重点突破：动态的可以通过几何画板演示；静态的通过会标、等腰直角三角形及圆的半径和半弦的关系，进行证明。
若a,b∈R，那么a2+b2≥2ab 形的角度数源自角度a>0,b>0
a2+b2－2ab =(a－b)2≥0
若a,b∈R，那么a2+b2≥2ab
（当且仅当a=b时，取“=”号）
形的角度
数的角度
当a=b时
a2+b2－2ab
a=b
=(a－b)2=0
探究二：先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）．假设两个正方形的面积分别为和（ a b），考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发现一个不等式吗？
探究一：在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗？
Ｄ
a2 b2 2ab
Ｇ
Ｆ
Ｃ
Ｈ
Ａ
a
Ｅ
b
a2 +b2
通过面积感知不等关系
Ｂ
几何画板展示
问题1：它们有相等的情况吗？何时相等？
问题2：
当 a,b为任意实数时，上式还成立吗？一般地，对于任意实数a、b，我们有
a2 b2 2ab
（二）教学手段
根据知识特点，引导引导讲解为主，多媒体为辅进行教学。
三、学情分析
学生情况：学生们通过本章前两节的学习对不等式有了初步的了解，学会运用不等式解决简单的问题。但接触的不等式较为单一，灵活度不够，学生在练习时运用困难，而基本不等式相对更为灵活，但也为学生掌握设置了障碍。

初中数学_不等式的基本性质教学设计学情分析教材分析课后反思

课题：不等式基本性质课型：新授执笔：审核：时间：【学习目标】1. 熟记不等式的基本性质。

2 .会运用不等式的基本性质。

3. 知道等式和不等式性质的联系与区别。

【重点难点】重点、难点：探索不等式的基本性质，并能灵活地掌握和应用教学过程：一、【学前准备】挑战记忆：下面判断正确吗？（1）若a=b,b=c,则a=c( )；（2）若a=b,则a+8=b+8( )；（3)若a=b,则-6a=-6b( )(4)若a=b,则a÷c=b÷c( )通过以上四个小题说出等式有哪些性质:等式性质1：；可用符号表示为：；等式性质2：；可用符号表示为：；等式性质3：；可用符号表示为：（通过上面的问题同学们自主学习得出性质1同时体会到“生活处处有数学”，提高学生学习兴趣。

）二、【课中探究】1、(出示幻灯片)：通过进一步观察实例、猜想、类比、归纳不等式基本性质1：（1）若a＜b,b<c则a c；性质1 ；你能用数学方法验证这个结论吗？2、（1）3年后谁的年龄大？（2）10年后谁的年龄大？（3）2年之前呢？（4）再找两个两个负数试一试如-3>-4 观察两组有何发现？总结：性质2：；用数学符号表示：（目的是通过生活中的现象让同学合作探究得出性质2 和3）（设计意图：实现对知识的迁移，培养同学们的创造能力。

）完成题组一：1、选择适当的不等号填空，并说明理由。

（1）若a>0,b<0,则a b;(2)若0<1,则a a+1;(3)若a>0,则a-m -m；(4)a-b>0,则a b; (5)a>b,则a-b 0; (6)因为（a-1）2≥0，所以（a-1）2-2-22、完成图组二：比较下列数的大小：8 ______12 －4 ______ －68×4 ______ 12×4 （-4）×2 ______（-6）×28÷4 ______ 12÷4 （-4）÷2 ______（-6）÷28×(-4) ______ 12×(-4) （-4）×（-2）______（-6）×（-2）8÷(-4) ______ 12÷(-4) （-4）÷（-2）______（-6）÷（-2）归纳：性质3：；用数学符号表示：；3、完成题组三：(1)、若a>b则a÷2 ______ b÷2， (2)若a<b,则-2a ______ -2b（3）-a > -b,则-3a ______ -3b; (4) a<b,ac2______ bc2（5）-2X >-2y,则x ______ y; (6)x<y,则3x -4 ______ 3y-4思考: 2a比a一定大吗？三、应用提升：已知a<0,用不同方法比较2a与a大小（要求：请用不等式性质或其他方法来验证。

高一数学必修第一册2019(A版)_《基本不等式》教材分析

2.2基本不等式一、本节知识结构框图二、重点、难点重点：基本不等式的定义、证明方法和几何解释，用基本不等式解决简单的最值问题.难点：基本不等式的几何解释，用基本不等式解决简单的最值问题.三、教科书编写意图及教学建议本节在前面研究不等式的性质的基础上，展开了对一种具体的不等式——基本(,0)2a b ab a b +的研究，研究基本不等式的定义、几何解释、证明方法与应用.基本不等式与学生在初中学过的乘法公式有类似的作用，乘法公式能够简化某些特殊形式的代数式的恒等变形，而基本不等式使解决满足一定条件的代数式的最值问题有路可循.1.基本不等式基本不等式可以通过许多有趣的方式建立起来，本节从不等式222a b ab +（上一节由第24届国际数学家大会的会标中抽象得出）说起.取这个不等式的特殊形式，即令a ，0b >，分别代替上式中的a ，b ，2a b ab +.基本不等式中等号成立的条件与不等式222a b ab +相同，教学中可以借助上一节的会标图形，帮助学生从直观上理解a 与b 是否相等与不等式222a b ab +取什么符号之间的关系. 接下来，教科书阐述了基本不等式的代数解释，这不仅有利于加深学生对基本不等式的理解，而且与学生已有的平均数概念建立了联系，便于学生记忆这个不等式.事实上，基本不等式就是均值不等式“链” ()121212·,,,0n n n n a a a a a a a a a n +++中的一环，而它之所以被称为“基本不等式”，主要是因为“它可以作为不等式论的基本定理，成为支撑其他许多非常重要结果的基石”，同时它也是解决许多最值问题的有力工具.2.基本不等式的证明基本不等式有许多证明方法，学生可能最先想到“作差法”，教科书介绍了两种：一种是上一节借助完全平方公式证明的基本不等式的变式；另一种是本节介绍的“分析法”，这也是一种利用不等式的性质进行证明的方法，这样编排不仅把基本不等式与初中学过的完全平方公式建立了联系，进一步研究了如何利用不等式性质进行证明，而且介绍了分析法，为学生高中阶段的推理和证明提供了更丰富的策略.分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，能够用分析法证明的命题的证明过程必须具有推理的可逆性和推理结果的唯一性，基本不等式就具有这样的特点.分析法常用于证明已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，证明中需要用哪些知识不太明确具体的情况.这时可以尝试从结论出发，结合已知条件，逐步反推，寻求使当前命题成立的充分条件. 2a b ab+出发，逐步利用不等式的性质推出能使它成立的充分条件，直至20这个显然成立的事实，从这个不等式中也更容易发现不等式中等号成立的条件.学生可能对分析法证明的格式和为什么可以这样证明难以理解，在证明过程中可能容易出现“充分条件不充分”的错误.教学中可以结合基本不等式的证明过程，对分析法的原理和过程进行充分的剖析，帮助学生通过典型案例理解分析法，掌握基本不等式的证明.3，基本不等式的几何解释在证明了基本不等式后，教科书再次研究了基本不等式的几何背景.与从“赵爽弦图”中的相等关系和不等关系中抽象出基本不等式的变形形式不同的是，这一次是已知基本不等式，寻求它的几何解释，但无论是哪种呈现顺序，基本不等式的几何背景都直观地展示了基本不等式“从不等到相等”的变化过程.教科书设置这个环节的目的，是想让学生从建立过程、证明方法和几何解释多个角度认识基本不等式，从而加深对基本不等式的理解.这个几何解释可以简单地叙述为“圆的弦长的一半小于或等于圆的半径长，当且仅当弦过圆心时，二者相等”.2a b +与图中的几何元素建立起联系，从而将基本不等式与几何元素的大小关系之间联系起来.教师还可以借助信息技术，展示点C 在线段AB 上移动的过程，让学生观察线段CD 的长度与圆的半径长之间的动态关系，从而2a b +之间的关系随着a ，b 大小关系的变化而发生的变化，同时体会基本不等式中蕴含的“等式”与“不等式”的内在联系.4.基本不等式在解决问题中的应用本节共安排了4道基本不等式的应用问题，都是利用基本不等式求最值，例1和例2是在数学中的应用，例3和例4是在实际中的应用.在利用基本不等式解决问题之前，教师可以先让学生明确使用基本不等式的条件2a b ab +中，a ，b 只能是非负数；在222a b ab +中，a ，b 可以是任意实数），以及“当且仅当a b =时，等号成立”的两层含义（一是当a b =时，不等式取等号；二是不等式取等号时，必有a b =）.例1是用基本不等式求代数式最小值问题中的最简情形.教科书在解决问题之前，先解释了求代数式最小值的含义，在本例之后，还强调了代数式的最小值必须是代数式能取到的值.本例的解答则从所求代数式与基本不等式在形式上的联系入手：1x x +是x 与1x的算术平均数的2倍，所以利用基本不等式可得当且仅当1x x =时，1x x+取得最小值2.教学中可以用“一正、二定、三相等”这种通俗易懂的语言帮助学生理解和记忆能应用基本不等式解决问题的特点.例2让学生用基本不等式证明两类最值问题.教科书设置例2的目的，一是在例1的基础上再给出一道直接利用基本不等式证明数学问题的例题；二是借此题的题干给出了利用基本不等式解决问题的两个数学模型：已知x ，y 都是正数，如果积xy等于定值P ，那么当x y =时，和x y +有最小值；如果和x y +等于定值S ，那么当x y =时，积xy 有最大值214S .根据这两个数学模型可知，有两类最值问题可以用基本不等式解决，即“两个正数的积为定值，当这两个数取什么值时，它们的和有最小值”和“两个正数的和为定值，当这两个数取什么值时，它们的积有最大值”，这就为解决例3，例4埋下了伏笔.此外，教科书在本课时的练习和习题安排了利用基本不等式求函数的最大值或最小值的变式练习，如第46页“练习”的第4题，习题2.2的第1题的第（1）小题，是通过变形构造两个正数的和为定值或积为定值的问题，教学中可以根据给定代数式的形式，结合基本不等式的使用条件，引导学生对代数式进行变形.对于这类问题，教科书有意控制了这种变式问题的难度，设置的问题都是通过简单变形就符合基本不等式应用条件的问题.教学中也要注意本部分内容的教学重点是“能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题”，不要刻意加大变形的难度.5，基本不等式的实际应用通过例2，教科书提出了用基本不等式解决问题的数学模型.接下来，教科书安排了两道例题，研究了如何应用基本不等式解决实际问题.对这两道例题的教学，要注意引导学生用基本不等式模型理解和识别实际问题中的数量关系，判断它们是否属于用基本不等式能够解决的两类最值问题，如果符合，就可以转化为基本不等式的数学模型解决.例如，例3的问题可以简化为：当矩形的面积为定值时，长与宽取什么值时周长最短；当矩形的周长为定值时，长与宽取什么值时面积最大，由于矩形的面积是两条邻边的积，周长是两条邻边的和的2倍，所以第（1）小题实际上是已知两个正数的积为定值，求当这两个数取什么值时，它们的和有最小值，可以用数学模型“如果正数x ，y 的积xy 等于定值P ，那么当x y =时，和x y +有最小值”解决；第（2）小题实际上是已知两个正数的和为定值，求当这两个数取什么值时，它们的积有最大值，可以转化为数学模型“如果正数x ，y 的和x y +等于定值S ，那么当x y =时，积xy 有最大值214S ”解决. 在例3之后，教科书设置了另一道求最值的问题（例4），本题的背景更加复杂，不容易将其归结为基本不等式模型.因此，对于像例4这样的问题的教学，要引导学生先将问题进行简化，再分析它符合什么数学模型.例4可以简化为“池底的边长取什么值时，水池的总造价最低”，若设池底的相邻两条边的边长分别为x m ，y m ，水池的总造价为z 元，则240 000720z x y =++（），这样求z 的最小值的问题，就转化为了求两个正数x ，y 的和的最小值的问题；而x ，y 的积为定值，于是本例实际上是已知两个正数的积为定值，求当这两个数取什么值时，它们的和有最小值，以及最小值是多少，可以转化为数学模型“如果正数x ，y 的积xy 等于定值P ，那么当x y =时，和x y +有最小值”解决.教科书在练习和习题2.2中编排了利用基本不等式解决实际问题的题目，这些题目按照由简单到复杂的顺序排列，除了“拓广探索”中的两题，其他题目的难度与例3，4相当，教师在进行本部分内容的教学时也要注意把握实际问题的难度，把重点放在用基本不等式数学模型解决实际问题的基本应用上.。