桥梁设计理论第四讲

第四讲 薄壁箱梁剪力滞的变分解法第一节 概 述初等梁弯曲理论的基本假定是变形的平截面假定，它不考虑剪切变形对纵向位移的影响，因此，弯曲正应力沿梁宽方向是均匀分布的。

但是，在箱形梁中，产生弯曲的横向力通过肋板传递给翼板，而剪应力在翼板上的分布是不均匀的，在肋板与翼板的交接处最大，随着离开肋板而逐渐减小，因此，剪切变形沿翼板的分布是不均匀的。

由于翼板剪切变形的不均匀性，引起弯曲时远离肋板的翼板之纵向位移滞后于近肋板的翼板之纵向位移，所以其弯曲正应力的横向分布呈曲线形状。

这种由于翼板的剪切变形造成的弯曲正应力沿梁宽方向不均匀分布的现象称为“剪力滞”现象或称为“剪力滞（后）效应”。

肋板相距越宽，“剪力滞”现象越显著。

剪力滞概念与有效分布宽度是一回事，前者用不均匀应力表示，而后者用一等效板宽表示。

有效分布宽度用于开口截面，而剪力滞则用于闭合截面。

在我国的现行规范中，关于T 梁的“翼缘板有效分布宽度”有明确的规定，而对于箱形截面，则非常含糊地写道“在无更精确的计算方法，箱形梁也可参照T 形梁的规定处理”。

最早涉及剪力滞问题的的理论推导是T. V . Karman ，他利用最小势能原理与梁的应力对等原则得到解答。

被称为Karman 理论。

在航空工业上，飞机的金属外壳由板与肋组成，剪力滞效应的分布格外突出。

美国工程界将这种弯曲应力分布的不均匀现象称为“剪力滞后效应”，在英国取名为“应力离散现象”。

过去对这种应力集中状态漠然视之，从1969年11月到1971年11月分别在奥地利、英国、澳大利亚与前联邦德国相继发生四起钢箱梁失效或破坏事故。

事故发生后，许多桥梁专家对四座桥的设计和计算方法进行了研究与分析，揭示出这四座桥的计算方法存在严重的缺陷，其中一项就是设计中没有认真对待“剪力滞效应”，因此导致应力过分集中，造成结构的失稳或局部破坏。

目前，国内外均建造了大量的箱形薄壁梁桥、T 形刚构、斜拉桥。

特别是跨宽比小，上下板的惯矩与整个箱形截面惯矩之比较大的连续箱梁支点处，剪力滞效应更为严重，不容忽视。

如果采用预应力筋，上。

下板的布筋间距更要妥善处理，不能用等间距。

在应力集成区力筋间距要密一些，否则混凝土易开裂。

另外，在高层建筑中，箱壁属于悬壁的筒中筒结构，图4-1 薄壁箱梁的不均匀弯曲应力分布（A ）正剪力滞效应（B ）负剪力滞效应其壁上的应力分布是不均匀的，特别是在风力作用下，正负剪力滞效应均存在。

这点已开始引起结构工程师的认真考虑与关注。

分析箱形梁剪力滞的主要方法有以下两大类：一、解析法1、T. V . Karman 理论（1924年），他第一次给“有效分布宽度”这一概念下了明确的定义。

2、弹性理论解：又分为正交各向异性板法和弹性折板理论。

3、比拟杆法：由H. R. Evaus 与A. R.Taherian 提出。

4、能量变分法：下节作重点介绍二、数值分析法1、有限元法：K. R. Mofatt2、有限条法：3、有限段法：本讲主要讨论能量变分法，即采用变分原理求箱梁的剪力滞。

第二节 求解泛函极值问题的一些基本概念一、简单的例子设有一根放在弹性地基上的梁，承受分布荷载)(x q 的作用，已知梁的一端（0=x ）是固定的，另一端(l x =)是自由的，问梁取什么样的挠度)(x w 曲线能使这个系统的总势能取最小值。

设梁的弯曲刚度为EI ，于是梁的弯曲应变能b π是⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛=l b x dx wd EI 0222d 21π （4-1） 再设弹性地基的刚度系数为k ，于是地贮存的能量f π为⎰=l fx kw 02d 21π（4-2）由于梁的挠度、载荷的势能有了变化，载荷的势能l π可写为⎰-=ll x qw 0d π （4-3）这个系统的总势能是上列三者之和，因此有：图4-2⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=lfx qw kw x w EI 02222d 21d d 21π（4-4） 边界条件：0=x 处，0=w ,0d d =xw 。

这样，上面提出的力学问题，经化为数学问题后变为：在l x ≤≤0区间内找一个函数)(x w ，使它满足预先设定的边界条件，并使随)(x w 而变化的π取最小值。

从这里，我们可以用简单的方法来说明泛函的概念：在一定范围内可变化的函数，称为自变函数，例如)(x w ；依赖于自变函数而变的量，称为自变函数的泛函。

二、由定积分⎰'=b afxy y x F d ),,(π定义的泛函的极值问题。

本节先讨论如何把一类简单泛函的极值问题，化为微分方程的边值问题，通过这类问题的分析，可以建立变分法的基本概念，并说明把变分问题化为微分方程的边值问题的主要步骤。

先考虑如下问题：在自变数x 的区间b x a ≤≤内，决定一个函数)(x y ，使它满足边界条件：在a x =处α=y ；在b x =处，β=y 。

并使泛函⎰'=b ax y y x F V d ),,(取极大（或极小）值。

参考图4-3，其中),(α==y a x G ,),(β==y b x H 是已知的两点，问题是要在GH 间连接一条曲线，使泛函取极值，设想已取了一条曲线GACH ，它的方程是：)(x y y = （4-5）设想在附近另取一条曲线GBDH ，命这条曲线的纵坐标为)(δ)(x y x y y += （4-6）式中y δ是一个无穷小量，称为自变函数的变分。

相应于这两条曲线，可以求得泛函的两个值⎰'=b ax y y x F V d ),,( （4-7）⎰'+'+=∆+b ax y y y y x F V V d ])δ(,δ,[ （4-8）这里V ∆代表泛函的增量。

自变量不变（即x 不变）而仅仅由于曲线（函数）的无穷小变化而引起的纵坐标的增加称为自变函数的变分，记为y δ；另外仍然用高等数学中的定义，曲线不变，由于自变量x 的变化x d 所引起的纵坐标的增加称为函数的微分，记为y d 。

这样，上图中A 、B 、C 三点的纵坐标为：A ：yxxd 图4-3B ：y y δ+C ：x y y y y d d '+=+而D 点的纵坐标，若从C 点算过去是：x y x y y y x y y x y y d δd δ)d (δd '+'++='++'+若从B 点算过去，是：x y x y y y y y y y d )δ(d δ)δd(δ'+'++=+++这两个坐标是相等的，故有y y '='δ)δ(这个公式表明，一个函数的微分运算与变分运算的顺序是可以交换的。

利用这个公式，V V ∆+的算式可写成[]⎰'+'+=∆+bax y y y y x F V V d δ,δ, （4-8）于是有[]{}⎰''+'+=∆bax y y x F y y y y x F V d ),,(-δ,δ, （4-9）对于力学及工程上经常遇到的泛函，被积函数),,(y y x F '是x 、y 、y '的连续可导函数，同时，当y δ、y 'δ很小时，V ∆也很小，当y δ、y 'δ是无穷小量，V ∆也是无穷小量，取等式两端的一阶无穷小量x y y Fy y F V bad δδδ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡''∂∂+∂∂=（4-10） V δ称为V 的一阶变分，用不很严格的通俗的话来讲，泛函的一阶变分便是泛函增量中的一阶小量部分，所以变分的运算服从无穷小量的运算规则。

上式中同时出现了y δ、y 'δ，它们是有内在的联系的，并不能独立地变，可以设法把与y 'δ有关的项转换为只与y δ有关的项，为此可以利用分部积分式b ababauvx v u x v u +'-='⎰⎰d d （4-11）在上式中取y F u '∂∂=，y v δ=。

则：bababay y Fx y y F x x y y F δd )δ(d d d δ'∂∂+'∂∂-=''∂∂⎰⎰（4-12） babay y F x y y F x y F V δd δd d δ'∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'∂∂-∂∂=⎰（4-13） 前面已规定了y 在两端为已知，则y δ在两端不能有变化，故当a x =和b x =时，y δ=0，所以，x y y F x yF V bad δd d δ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'∂∂-∂∂=（4-14） 根据这个公式，我们能够判断函数)(x y 是否能使V 取极值，如果积分号内的方括号内项不等于零，那么，总能找到一个y δ使V δ不为零，因此，V 取极值的必要条件是0d d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'∂∂-∂∂y F x yF （4-15） 这就是欧拉公式。

这样，我们就把泛函的极值问题转化为微分方程。

如果函数)(x y 没有在两端指定边界条件，则必须有在a x =和b x =处：0='∂∂y F 。

三、涉及高阶导数的泛函的极值问题⎰'''=b ax y y y x F V d ),,,( （4-16）用同样的步骤可得x y y Fy y F y y F V bad δδδδ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡''''∂∂+''∂∂+∂∂=（4-17） 然后通过分部积分，最后得到 bababay y F y y F x y F x y y F x y F x yF V '''∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''∂∂-'∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'∂∂-∂∂=⎰δδd d d δd dd d δ22（4-18）由此得到，0d d d d 22=⎪⎪⎭⎫⎝⎛''∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'∂∂-∂∂y F xy F x y F（4-19） 在a x =和b x =处： （1）y 已知，则y δ=0；或0d d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''∂∂-'∂∂y F x y F ； （2）y '已知，则y 'δ=0；或0=''∂∂y F 。

涉及更高阶导数的泛函极值问题的欧拉公式可到相应的参考书中找到。

第三节 变分法求解矩形箱梁剪力滞效应对称带悬臂的单箱单室箱形截面是预应力混凝土薄壁箱形截面的常用截面形式。

对于这类矩形薄壁箱形截面可以应用变分法的最小势能原理来分析其剪力滞效应。

一、基本假定宽箱梁在对称挠曲时，上下翼板因为剪切变形的影响，已经不符合初等梁理论中变形时保持平截面的假定，用一个广义位移即梁的挠度)(x w 来描述箱梁的挠曲变形已经不够。