单调性与最大最小值
函数的单调性与最大(小)值
2.()下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是()
A．y＝B．y＝e－xC．y＝－x2＋1D．y＝lg|x|
3.()设f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2＞0，则f(x1)＋f(x2)的值()
2.函数单调性的判断
(1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法.
(2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数；
(3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性；
(4)复合函数的单调性：如果y＝f(u)和u＝g(x)的单调性相同，那么y＝f[g(x)]是增函数；如果y＝f(u)和u＝g(x)的单调性相反，那么y＝f[g(x)]是减函数.在应用这一结论时，必须注意：函数u＝g(x)的值域必须是y＝f(u)的单调区间的子集.
8. ()若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝_________.
类型三 抽象函数的单调性
已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.
(1)求证：f(x)在R上是减函数；
(2)求f(x)在[－3，3]上的最大值和最小值.
()f(x)的定义域为(0，
＋∞)，且对一切x＞0，y＞0都有f＝f(x)－f(y)，当x＞1时，有f(x)＞0.
＜0⇔f(x)在(a，b)内是减函数.
(2)(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x)在(a，b)内是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)在(a，b)内是减函数.
函数的单调性与最大(小)值-高考数学复习
f(x)在区间[2,6]上的最大值为 1,最小值为5.
解题心得1.若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),则f(x)在区间[a,b]上的最
小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).
2.若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),在区间[b,c]上单调递减(增),则f(x)
能力形成点2
利用函数的单调性求最值
1
例3 已知函数 f(x)= .
-1
(1)判断f(x)在区间(1,+∞)内的单调性,并加以证明.
(2)求f(x)在区间[2,6]上的最大值和最小值.
解 (1)函数 f(x)在区间(1,+∞)内单调递减.
证明:任取 x2>x1>1,则
1
1
f(x1)-f(x2)=
−
件 都有 f(x1)<f(x2)
都有 f(x1)>f(x2)
那么就称函数 f(x)在区间 D 上
那么就称函数 f(x)在区间 D 上
单调递减
结 单调递增
论 当函数 f(x)在它的定义域上单调 当函数 f(x)在它的定义域上单调
递增时,称它是增函数
递减时,称它是减函数
图
示
结 如果函数 y=f(x)在区间 I 上单调递增或单调递减,那么就说函数 y=f(x)
的上升或下降确定其单调性
导数法
先求导数,再利用导数值的正负确定函数的单调区间
对于由基本初等函数的和、差构成的函数,可根据各初等函数
性质法
的单调性及f(x)±g(x)的单调性进行判断
对于复合函数y=f(g(x)),先将函数分解成y=f(t)和t=g(x),再讨论(
复合法
判断)这两个函数的单调性,最后根据复合函数“同增异减”的规
函数的单调性与最大最小值的教案
函数的单调性与最大最小值的教案一、教学目标1. 让学生理解函数的单调性的概念，掌握判断函数单调性的方法。
2. 让学生了解函数的最大值和最小值的概念，掌握求函数最大值和最小值的方法。
3. 培养学生运用函数的单调性和最值解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 函数的单调性1.1 单调增函数和单调减函数的定义1.2 判断函数单调性的方法1.3 单调性在实际问题中的应用2. 函数的最大值和最小值2.1 最大值和最小值的定义2.2 求函数最大值和最小值的方法2.3 最大值和最小值在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：函数的单调性的概念及判断方法，函数最大值和最小值的求法及应用。
2. 教学难点：函数单调性的判断方法，求函数最大值和最小值的方法。
四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解函数的单调性和最值的概念。
2. 采用案例分析法，让学生通过实际问题体验函数单调性和最值的应用。
3. 采用小组讨论法，培养学生合作解决问题的能力。
五、教学准备1. 教学课件：函数单调性和最值的定义、判断方法和求法。
2. 教学案例：实际问题涉及函数单调性和最值的解答。
3. 练习题：针对本节课内容的练习题，巩固所学知识。
六、教学过程1. 导入：通过复习上一节课的内容，引导学生回顾函数的概念和性质，为新课的学习做好铺垫。
2. 讲解：讲解函数的单调性，通过示例让学生理解单调增函数和单调减函数的定义，介绍判断函数单调性的方法。
3. 案例分析：分析实际问题，让学生运用函数的单调性解决实际问题，体会函数单调性的重要性。
4. 讲解：讲解函数的最大值和最小值的概念，介绍求函数最大值和最小值的方法。
5. 案例分析：分析实际问题，让学生运用函数的最值解决实际问题，体会函数最值的重要性。
6. 练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调函数的单调性和最值在实际问题中的应用。
七、课堂练习1. 判断下列函数的单调性：1. y = x^22. y = -x^23. y = 2x + 32. 求下列函数的最大值和最小值：1. y = x^2 4x + 52. y = -x^2 + 4x 53. 运用函数的单调性和最值解决实际问题。
第2课时 单调性、最大值与最小值
当 x＝___2_k_π_____，k∈Z 时， ymax＝___1__； 当 x＝π＋2kπ，k∈Z 时， ymin＝__－__1____
[基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数 y＝12sin x 的最大值为 1.( ) (2)∃x0∈[0,2π]，满足 cos x0＝ 2.( ) (3)正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数．( )
[母题变式] 把例 3(2)中的函数换为 f(x)＝2sin2x＋2sin x－12，x∈π6，56π，求其值域．
解析 令 t＝sin x，因为 x∈π6，56π， 所以 t∈12，1，则 f(x)可化为 y＝2t2＋2t－12＝2t＋122－1，t∈12，1， 所以当 t＝12时，ymin＝1， 当 t＝1 时，ymax＝72， 故 f(x)的值域是1，72.
()
A．0，π2 C.π，32π
B．π2，π D．32π，2π
解析 令－π2＋2kπ≤x－π6≤π2＋2kπ，k∈Z. 则－π3＋2kπ≤x≤23π＋2kπ，k∈Z. 当 k＝0 时，x∈－π3，23π， 0，π2⊆－π3，23π， 故选 A． 答案 A
题型二 正弦、余弦函数单调性的应用
比较下列各组数的大小：
[提示] y＝sin x 在－π2，π2上，曲线逐渐上升，是增函数，函数值由－1 增大到 1； 在π2，32π上，曲线逐渐下降，是减函数，函数值由 1 减小到－1.y＝cos x 在[0，π]上， 曲线逐渐下降，是减函数，函数值由 1 减小到－1；在[π，2π]上，曲线逐渐上升，是增 函数，函数值由－1 增大到 1.
[规律方法] 一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等．三角函数 是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质． 常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种： (1)形如 y＝sin(ωx＋φ)的三角函数，令 t＝ωx＋φ，根据题中 x 的取值范围，求出 t 的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出 y＝sin t 的最值(值域)． (2)形如 y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)的三角函数，可先设 t＝sin x，将函数 y＝asin2x ＋bsin x＋c(a≠0)化为关于 t 的二次函数 y＝at2＋bt＋c(a≠0)，再根据二次函数的单调性 求值域(最值)． (3)对于形如 y＝asin x(或 y＝acos x)的函数的最值还要注意对 a 的讨论．
函数单调性和最大值最小值
考点二 求函数的单调区间 1．求函数的单调区间 (1)利用已知函数的单调性． (2) 定义法：先求定义域，再利用单调性定 义． (3)图象法：如果 f(x)是以图象给出的，或 者 f(x)的图象易作出，可直接由图象的直观性 写出它的单调区间． (4) 导数法：利用导函数取值的正负确定原 函数的单调区间．
②由 x2－3x＋2≥0 得 x≥2 或 x≤1 设 u(x)＝x2－3x＋2，则 y＝1－ u x∈(－∞，1]时，u(x)为减函数 x∈[2，＋∞)时，u(x)为增函数 而 u≥0 时，y＝1－ u为减函数 ∴y＝1－ x2－3x＋2的单调增区间为(－∞，1]，单调减区 间为[2，＋∞)． ③y′＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1) 令 y′>0 得 x>1 或 x<－1，
5．(2010 年江苏省苏北四市期末联考模拟试题)函数 y＝ x2＋2x－3的单调减区间是________．
解析：∵y＝ x2＋2x－3，∴x2＋2x－3≥0，∴x∈(－∞， －3]∪[1，＋∞)， ∴y＝ x2＋2x－3的单调减区间为(－∞，－3]．
答案：(－∞，－3]
考点一 函数单调性的判断与证明
由 y′<0 得－1<x<1，
∴y＝x3－3x 的增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，减区间 为(－1,1)．
1 变式迁移 2 (2010 年天津模拟)求函数 y＝log (－x2－2x 2 ＋3)的单调区间．
解析：由－x2－2x＋3>0，得－3<x<1， 1 所以函数 y＝log (－x2－2x＋3)的定义域是{x|－3<x<1}． 2 又函数 μ＝－x2－2x＋3 在区间(－3，－1)上单调递增，在 区间(－1,1)上单调递减，由复合函数单调性的判定方法知函数 1 y＝log (－x2－2x＋3)的单调递减区间是(－3，－1)，单调递增 2 区间是(－1,1)．
第02课函数的单调性与最大(小)值(课件)
【典例】(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ex－e－x
B．y＝|x2－2x|
C．y＝x＋cos x
D．y＝ x2＋x－2
【解析】∵y＝ex 与 y＝－e－x 为 R 上的增函数，∴y＝ex－e－x 为 R 上的增函数，故 A 正确； 由 y＝|x2－2x|的图象知，故 B 不正确；对于选项 C，y′＝1－sin x≥0，∴y＝x＋cos x 在 R 上为增函数，故 C 正确； y＝ x2＋x－2的定义域为(－∞，－2]∪[1，＋∞)，故 D 不正确．
【典例】已知二次函数 f(x)＝x2－2x＋3, 当 x∈[t，t＋1]时，求 f(x)的最小值 g(t).
【解析】①当 t>1 时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数， 所以当 x＝t 时，f(x)取得最小值，此时 g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3. ②当 t≤1≤t＋1，即 0≤t≤1 时，f(x)在[t，t＋1]上先递减后递增， 故当 x＝1 时，f(x)取得最小值，此时 g(t)＝f(1)＝2. ③当 t＋1<1，即 t<0 时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，所以当 x＝t＋1 时，f(x)取得最小值，
函数 f(x)＝ x－1在其定义域内是增函数.
【解析】函数 f(x)＝ x－1的定义域是[1，＋∞)，
设∀x1，x2∈[1，＋∞)，且 x1<x2，则 f(x2)－f(x1)＝ x2－1－ x1－1
＝
x2－1－ x1－1 x2－1＋ x2－1＋ x1－1
x1－1＝
x2－x12－＋x1x1－1.
因为 x1，x2∈[1，＋∞)，且 x1<x2，所以 x2－1＋ x1－1>0，x2－x1>0.
第二节函数的单调性与最大(小)值
(1)当a＝ 围．
时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范
高考总复习•数学（文科） 解析：(1)当a＝ 时，f(x)＝x＋ ＋2.
∵f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数， ∴f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝ (2)(法一)在区间[1，＋∞)上，f(x)＝ 2x＋a>0恒成立． . >0恒成立⇔x2＋
高考总复习•数学（文科） 解析：(1) 原函数等价于 y＝ 作出如下函数图象：
高考总复习•数学（文科）
由函数图象可知，
函数 y ＝－x2 ＋ 2|x| ＋ 3在 ( － ∞ ，－ 1] ， [0,1] 上是增函数， 在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数． (2)由4x－x2＞0，得函数的定义域是(0,4)． 令t＝4x－x2， ∵t＝4x－x2＝－(x－2)2＋4， ∴t＝4x－x2的递减区间是[2,4)，递增区间是(0,2]．
高考总复习•数学（文科）
(7)(数形结合法)将函数化为分段函数形式，即
高考总复习•数学（文科） 画出它的图象 ( 如右图所示 ) ，由图象可知，函数的值域是
{y|y≥3}．
(几何法)∵函数y＝|x＋1|＋|x－2|表示数轴上的动点x到两定点 －1,2的距离之和，∴易得y的最小值是3.∴函数的值域是 [3， 如下图所示．
时，函数fK(x)的单调递增区间为______．
高考总复习•数学（文科）
解析： 由f(x)＝2－|x|≤
∴|x|≥1.∴x≥1或x≤－1. ∴fK(x)＝
得－|x|≤－1，
当x∈ (1，＋∞)时，
fK(x)＝2－|x|＝ 函数．
，在(1，＋∞)上为减函数．
第2节 函数的单调性与最大(小)值
第2节函数的单调性与最大(小)值考试要求 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；2.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质.知识梳理1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间A上是增加的当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间A上是减少的图像描述自左向右看图像是上升的自左向右看图像是下降的(2)单调区间的定义如果y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间.2.函数的最值前提函数y＝f(x)的定义域为D条件(1)对于任意x∈D，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈D，使得f(x0)＝M(3)对于任意x∈D，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈D，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值[常用结论与微点提醒]1.若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数.2.函数y ＝f (x )(f (x )>0或f (x )<0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f （x ）的单调性相反.3.“对勾函数”y ＝x ＋ax (a >0)的单调增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)；单调减区间是[－a ，0)，(0，a ].诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)对于函数f (x )，x ∈D ，若对任意x 1，x 2∈D ，且x 1≠x 2有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，则函数f (x )在区间D 上是增函数.( )(2)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).( ) (3)对于函数y ＝f (x )，若f (1)<f (3)，则f (x )为增函数.( )(4)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).( ) 解析 (2)此单调区间不能用并集符号连接，取x 1＝－1，x 2＝1，则f (－1)＜f (1)，故应说成单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞). (3)应对任意的x 1＜x 2，f (x 1)＜f (x 2)成立才可以.(4)若f (x )＝x ，f (x )在[1，＋∞)上为增函数，但y ＝f (x )的单调递增区间是R . 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)×2.(老教材必修1P37例1改编)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )A.y ＝x 12 B.y ＝2－x C.y ＝log 12xD.y ＝1x解析 函数y ＝x 12在(0，+∞)上是增函数，函数y ＝2－x ，y ＝log 12x ，y ＝1x 在(0，+∞)上均是减函数. 答案 A3.(新教材必修第一册P61例5改编)函数y ＝xx －1在区间[2，3]上的最大值是________.解析 函数y ＝x x －1＝1＋1x －1在[2，3]上递减，当x ＝2时，y ＝x x －1取得最大值22－1＝2.答案 24.(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A.(－∞，－2) B.(－∞，1) C.(1，＋∞)D.(4，＋∞)解析 由x 2－2x －8>0，得x >4或x <－2. 设t ＝x 2－2x －8，则y ＝ln t 为增函数.要求函数f (x )的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间. ∵函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间为(4，＋∞)， ∴函数f (x )的单调递增区间为(4，＋∞). 答案 D5.(2020·西安模拟)函数y ＝f (x )是定义在[－2，2]上的减函数，且f (a ＋1)<f (2a )，则实数a 的取值范围是________.解析由条件知⎩⎨⎧－2≤a ＋1≤2，－2≤2a ≤2，a ＋1>2a ，解得－1≤a <1.答案 [－1，1)6.(2020·青岛二中月考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________.解析 当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2. 故函数f (x )的最大值为2. 答案 2考点一 确定函数的单调性(区间)【例1】 (1)函数y ＝log 12(－x 2＋x ＋6)的单调增区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12 C.(－2，3)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 由－x 2＋x ＋6>0，得－2<x <3，故函数的定义域为(－2，3)，令t ＝－x 2＋x ＋6，则y ＝log 12t ，易知其为减函数，由复合函数的单调性法则可知本题等价于求函数t ＝－x 2＋x ＋6在(－2，3)上的单调递减区间.利用二次函数的性质可得t ＝ －x 2＋x ＋6在定义域(－2，3)上的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，故选A.答案 A(2)(一题多解)试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1，1)上的单调性. 解 法一 设－1<x 1<x 2<1， f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1， f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝a （x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1），由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上单调递减； 当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上单调递增. 法二 f ′(x )＝（ax ）′（x －1）－ax （x －1）′（x －1）2＝a （x －1）－ax （x －1）2＝－a（x －1）2.当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1，1)上单调递减； 当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1，1)上单调递增.规律方法 1.(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1).(2)单调区间不能用集合或不等式表达，且图像不连续的单调区间要用“和”“，”连接.2.(1)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图像法；③利用已知函数的单调性；④导数法.(2)函数y ＝f [g (x )]的单调性应根据外层函数y ＝f (t )和内层函数t ＝g (x )的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.【训练1】 (1)设函数f (x )＝⎩⎨⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________.解析由题意知g (x )＝⎩⎨⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1，函数的图像如图所示的实线部分，根据图像，g (x )的递减区间是[0，1). 答案 [0，1)(2)判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1<a <3)在x ∈[1，2]上的单调性.解 f (x )在[1，2]上单调递增，证明如下： 设1≤x 1<x 2≤2，则f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－ax 21－1x1＝(x 2－x 1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤a （x 1＋x 2）－1x 1x 2，由1≤x 1<x 2≤2，得x 2－x 1>0，2<x 1＋x 2<4. 1<x 1x 2<4，－1<－1x 1x 2<－14.又因为1<a <3，所以2<a (x 1＋x 2)<12， 得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2>0，从而f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)， 故当a ∈(1，3)时，f (x )在[1，2]上单调递增. 考点二 求函数的最值【例2】 (1)已知函数f (x )＝a x ＋log a x (a >0，且a ≠1)在[1，2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为( ) A.12B.14C.2D.4(2)(2020·九江一中月考)对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________. 解析 (1)f (x )＝a x ＋log a x 在[1，2]上是单调函数， 所以f (1)＋f (2)＝log a 2＋6， 则a ＋log a 1＋a 2＋log a 2＝log a 2＋6， 即(a －2)(a ＋3)＝0，又a >0，所以a ＝2.(2)法一 在同一坐标系中，作函数f (x )，g (x )的图像，依题意，h (x )的图像如图所示的实线部分. 易知点A (2，1)为图像的最高点， 因此h (x )的最大值为h (2)＝1.法二 依题意，h (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，0<x ≤2，－x ＋3，x >2.当0<x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数， 当x >2时，h (x )＝3－x 是减函数， 因此h (x )在x ＝2时取得最大值h (2)＝1. 答案 (1)C (2)1规律方法 求函数最值的四种常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. 【训练2】 (1)定义max{a ，b ，c }为a ，b ，c 中的最大值，设M ＝max{2x ，2x －3，6－x }，则M 的最小值是( ) A.2B.3C.4D.6(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤1，x ＋6x－6，x >1，则f (x )的最小值是________.解析 (1)画出函数M ＝{2x ，2x －3，6－x }的图像(如图)，由图可知，函数M 在A (2，4)处取得最小值22＝6－2＝4， 故M 的最小值为4.(2)当x ≤1时，f (x )＝x 2的最小值为0，当x >1时，f (x )＝x ＋6x －6≥26－6(当且仅当x ＝6时，取“＝”). 由于26－6<0，所以f (x )min ＝26－6. 答案 (1)C (2)26－6 考点三 函数单调性的应用 多维探究角度1 利用单调性比较大小【例3－1】 已知函数f (x )的图像关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.c >a >bB.c >b >aC.a >c >bD.b >a >c解析 因为f (x )的图像关于直线x ＝1对称，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52.由当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递减.又1<2<52<e ，所以f (2)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>f (e)，即f (2)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12>f (e)，故b >a >c . 答案 D角度2 求解函数不等式【例3－2】 (2018·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ≤0，1，x >0.则满足f (x ＋1)<f (2x )的x的取值范围是( ) A.(－∞，－1]B.(0，＋∞)C.(－1，0)D.(－∞，0)解析 当x ≤0时，函数f (x )＝2－x 是减函数，则f (x )≥f (0)＝1.作出f (x )的大致图像如图所示，结合图像知，要使f (x ＋1)＜f (2x )，当且仅当⎩⎨⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎨⎧x ＋1≥0，2x <0，解得x <－1或－1≤x <0，即x <0.答案 D角度3 求参数的值或取值范围【例3－3】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]上是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D.π(2)如果函数f (x )＝⎩⎨⎧（2－a ）x ＋1，x <1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________.解析 (1)∵f (x )＝cos x －sin x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，∴当x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4时， y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4单调递增，f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4单调递减，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4是f (x )在原点附近的单调减区间， 结合条件得[0，a ]⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，∴a ≤3π4，即a max ＝3π4.(2)对任意x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，所以y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数.所以⎩⎨⎧2－a >0，a >1，（2－a ）×1＋1≤a ，解得32≤a <2. 故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2.答案 (1)C (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2规律方法 1.比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.2.求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，由条件脱去“f ”.3.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图像的升降，再结合图像求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.【训练3】 (1)(角度2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e －x ，x ≤0，－x 2－2x ＋1，x >0，若f (a －1)≥f (－a )，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 (2)(角度1)(2019·全国Ⅲ卷)设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则( )A.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314>f (2－32)>f (2－23) B.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314>f (2－23)>f (2－32) C.f (2－32)>f (2－23)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314D.f (2－23)>f (2－32)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314(3)(角度3)若函数f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A.(－1，0)∪(0，1)B.(－1，0)∪(0，1]C.(0，1)D.(0，1]解析 (1)作出函数f (x )的图像如图所示，知函数f (x )在R 上是减函数，由f (a －1)≥f (－a )，得a －1≤－a ， 解得a ≤12.(2)因为f (x )是定义域为R 的偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314＝f (－log 34)＝f (log 34).又因为log 34>1>2－23>2－32>0，且函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (log 34)< f (2－23)<f (2－32).即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314<f (2－23)<f (2－32).(3)因为f (x )＝－x 2＋2ax ＝－(x －a )2＋a 2在[1，2]上为减函数，所以由其图像得a ≤1.g (x )＝a x ＋1，g ′(x )＝－a（x ＋1）2，要使g (x )在[1，2]上为减函数，需g ′(x )<0在[1，2]上恒成立，故有－a <0，因此a >0.综上可知0<a ≤1. 答案 (1)A (2)C (3)DA 级 基础巩固一、选择题1.(2019·唐山调研)设函数f (x )＝x (e x ＋e －x )，则f (x )( ) A.是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B.是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 C.是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D.是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数解析 f (－x )＝(－x )(e －x ＋e x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，f ′(x )＝e x ＋e －x ＋x (e x － e －x )，当x >0时，e x －e －x >0，e x ＋e －x >0，所以f ′(x )>0.故f (x )在(0，＋∞)上是增函数. 答案 A2.(2020·合肥模拟)已知函数f (x )在R 上单调递减，且a ＝33.1，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13π，c ＝ln 13，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为( ) A.f (a )>f (b )>f (c ) B.f (b )>f (c )>f (a ) C.f (c )>f (a )>f (b )D.f (c )>f (b )>f (a )解析 因为a ＝33.1>30＝1，0<b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13π<⎝ ⎛⎭⎪⎫130＝1，c ＝ln 13<ln 1＝0，所以c <b <a ，又因为函数f (x )在R 上单调递减，所以f (c )>f (b )>f (a ). 答案 D3.已知函数f (x )＝log a (－x 2－2x ＋3)(a >0且a ≠1)，若f (0)<0，则此函数的单调递增区间是( ) A.(－∞，－1] B.[－1，＋∞) C.[－1，1)D.(－3，－1]解析 令g (x )＝－x 2－2x ＋3，由题意知g (x )>0，可得－3<x <1，故函数的定义域为{x |－3<x <1}.根据f (0)＝log a 3<0，可得0<a <1，又g (x )在定义域(－3，1)内的减区间是[－1，1)，∴f (x )的单调递增区间为[－1，1). 答案 C4.函数y ＝2－xx ＋1，x ∈(m ，n ]的最小值为0，则m 的取值范围是( )A.(1，2)B.(－1，2)C.[1，2)D.[－1，2)解析 函数y ＝2－x x ＋1＝3－（x ＋1）x ＋1＝3x ＋1－1在区间(－1，＋∞)上是减函数，且f (2)＝0，所以n ＝2.根据题意，x ∈(m ，n ]时，y min ＝0. ∴m 的取值范围是[－1，2). 答案 D5.(2020·福州调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋（4a －3）x ＋3a ，x <0，log a （x ＋1）＋1，x ≥0(a >0且a ≠1)在R 上单调递减，则a 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 解析 由分段函数f (x )在R 上单调递减，可得0<a <1，根据二次函数图像及性质，可得－4a －32≥0，解得a ≤34，又由3a ≥log a (0＋1)＋1得3a ≥1，解得a ≥13. ∴实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34.答案 C 二、填空题6.函数y ＝|x |(1－x )的单调递增区间是________.解析 y ＝|x |(1－x )＝⎩⎨⎧x （1－x ），x ≥0，－x （1－x ），x <0＝⎩⎨⎧－x 2＋x ，x ≥0，x 2－x ，x <0，函数的大致图像如图所示.由图易知函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，127.设函数f (x )＝ax ＋1x ＋2a在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a 的取值范围是________. 解析 f (x )＝ax ＋2a 2－2a 2＋1x ＋2a ＝a －2a 2－1x ＋2a ，∵函数f (x )在区间(－2，＋∞)上是增函数， ∴⎩⎨⎧2a 2－1>0，－2a ≤－2，即⎩⎨⎧2a 2－1>0，a ≥1，即a ≥1.答案 [1，＋∞)8.设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是________. 解析 作函数f (x )的图像如图所示，由图像可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4. 答案 (－∞，1]∪[4，＋∞) 三、解答题9.已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0). (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值.(1)证明 设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0，∵f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数.(2)解 ∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，又由(1)知f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是单调增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f (2)＝2，易得a ＝25. 10.已知函数f (x )＝a －22x ＋1.(1)求f (0)；(2)探究f (x )的单调性，并证明你的结论； (3)若f (x )为奇函数，求满足f (ax )<f (2)的x 的范围. 解 (1)f (0)＝a －220＋1＝a －1. (2)f (x )在R 上单调递增.证明如下：∵f (x )的定义域为R ，∴任取x 1，x 2∈R 且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝a －22x 1＋1－a ＋22x 2＋1＝2·（2x 1－2x 2）（1＋2x 1）（1＋2x 2）， ∵y ＝2x 在R 上单调递增且x 1<x 2，∴0<2x 1<2x 2，∴2x 1－2x 2<0，2x 1＋1>0，2x 2＋1>0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2). ∴f (x )在R 上单调递增.(3)∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， 即a －22－x＋1＝－a ＋22x ＋1，解得a ＝1. ∴f (ax )<f (2)即为f (x )<f (2)， 又∵f (x )在R 上单调递增，∴x <2. ∴x 的取值范围是(－∞，2).B 级 能力提升11.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≤0，ln （x ＋1），x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( )A.(－∞，－1)∪(2，＋∞)B.(－∞，－2)∪(1，＋∞)C.(－1，2)D.(－2，1)解析 ∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为0，∴函数的图像是一条连续的曲线.又∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，∴函数f (x )是定义在R 上的增函数.因此，不等式f (2－x 2)>f (x )等价于2－x 2>x ，即x 2＋x －2<0，解得－2<x <1. 答案 D12.(2020·皖东名校联盟联考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x ＋m ，x <e ，x －ln x ，x ≥e的值域是[e －1，＋∞)，其中e 是自然对数的底数，则实数m 的最小值是________. 解析 当x ≥e 时，(x －ln x )′＝1－1x >0，此时函数f (x )在[e ，＋∞)上单调递增，值域是[e －1，＋∞).当x <e 时，y ＝－12x ＋m 是减函数，其值域是⎝ ⎛⎭⎪⎫－e 2＋m ，＋∞.因此⎝ ⎛⎭⎪⎫－e 2＋m ，＋∞⊆[e －1，＋∞).于是－e 2＋m ≥e －1，解得m ≥3e2－1，故实数m 的最小值是3e2－1.答案 3e 2－113.已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )是增函数，f (1)＝0，f (3)＝1. (1)解不等式0<f (x 2－1)<1；(2)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0，3]，a ∈[－1，1]恒成立，求实数m 的取值范围.解 (1)由⎩⎨⎧x 2－1>0，1<x 2－1<3，解得2<x <2或－2<x <－ 2.∴原不等式的解集为{x |－2<x <－2或2<x <2}. (2)∵函数f (x )在(0，3]上是增函数， ∴f (x )在(0，3]上的最大值为f (3)＝1，∴不等式f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0，3]，a ∈[－1，1]恒成立转化为1≤m 2－2am ＋1对所有a ∈[－1，1]恒成立，即m 2－2am ≥0对所有a ∈[－1，1]恒成立. 设g (a )＝－2ma ＋m 2，a ∈[－1，1]， ∴需满足⎩⎨⎧g （－1）≥0，g （1）≥0，即⎩⎨⎧2m ＋m 2≥0，－2m ＋m 2≥0，解该不等式组，得m ≤－2或m ≥2或m ＝0， 即实数m 的取值范围为(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞).C 级 创新猜想14.(多填题)(2019·北京卷)设函数f (x )＝e x ＋a e －x (a 为常数).若f (x )为奇函数，则a ＝________；若f (x )是R 上的增函数，则a 的取值范围是________. 解析 若f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )， 即e －x ＋a e x ＝－(e x ＋a e －x )，即(a ＋1)(e x ＋e －x )＝0对任意的x 恒成立，所以a ＝－1.若函数f(x)＝e x＋a e－x是R上的增函数，则f′(x)＝e x－a e－x≥0恒成立，所以a≤e2x恒成立，则有a≤0，即a的取值范围是(－∞，0].答案－1(－∞，0]。
函数的单调性与最大小值
条件
f(x)≤M；
②存在x0∈A，使得f(x0)＝M.
结论 M为最大值
考基联动
考向导析
限时规范训练
联动思考
想一想：单调区间与函数定义域有何关系？ 答案：单调区间是定义域的子区间． 议一议：若一个函数出现两个或两个以上单调区间时，能否用“∪”来联结？ 1 答案：不能．如函数y＝ 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，但不能说函数在 x (－∞，0)∪(0，＋∞)上递减，因为若可以这么说，由于－1＜1，由函数递减知 f (－1)＞f (1)，但f (－1)＝－1，f(1)＝1，f (－1)＜f (1)矛盾，故不能将两个单调区间 并起来．
考基联动
考向导析
限时规范训练
考向一 函数单调性判断与证明
2 1 【例1】 试判断函数f (x)＝x － 在(0，＋∞)上的单调性，并加以证明． x 1 解：解法一：函数f (x)＝x2 － 在(0，＋∞)上是单调增函数，设0＜x1 ＜x2 ， x 1 1 1 2 2 则f (x1 )－f (x2)＝x1 －x 2 － － ＝(x1 －x2 )x1 ＋x2 ＋ x1 x2 x1 x2 1 ∵x2 ＞x1 ＞0，∴x1 －x2 ＜0，x1 ＋x2 ＋ ＞0，∴f (x1 )－f(x2 )＜0，即f(x1 )＜f(x2 )． x1 x2 故f (x)在(0，＋∞)上单调递增． 1 解法二：f ′(x)＝2x＋ 2 ，当x＞0时，f ′(x)＞0，故f (x)在(0，＋∞)上为增函数． x
反思感悟：善于总结，养成习惯 对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法，(1)可以结 合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解．(2)可导函数则可以利 用导数解之．但是，对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行．
单调性与最大(小)值——单调性 课件
函数单调性与单调区间的定义
一般地，设函数 f（x）的定义域为 I ，区间 D I :
如果x1, x2 D，当x1 x2时，都有f (x1) f (x2 ), 那么就称函数f (x)在区间D上单调递增（如图（1））.
特别地，函数 f（x）在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.
如果x1, x2 D，当x1 x2时，都有f (x1) f (x2 ), 那么就称函数f (x)在区间D上单调递减（如图（2））.
你能说明为什么 f (x1) f (x2 ) 吗？
x1 x2 0,x1 x2 0.
由不等式性质7可得：（ x1）2 （ x2）2.
即x12 x22 , f (x1) f (x2 ).
在初中，我们利用函数图象研究过函数值随自变量的增大而增大（或减小）的性质，这一性质叫 做函数的单调性. 下面进一步用符号语言刻画这种性质.
1)
由x1, x2 （1， ），得x1 1, x2 1.
所以x1x2 1, x1x2 1 0.
又由x1 x2 , 得x1 x2 0.
于是 x1 x2 x1x2
所以，函数
(
y
x1x2
x
1)
1
0,即y1 y2.
在区间（1， ）上单调递增.
x
总结：虽然我们可以通过函数的图象判断函数的单调性，但证明函数在某个区间上单调递增（减）
图象在 y 轴左侧部分从左到右是下降的，也就是说当x≤0时， y 随 x 的增大而减小.
用符号语言描述就是：
任意取x1, x2 (,0]，得到f (x1) x12 , f (x2 ) x22 ,
那么当x1 x2时，有f (x1) f (x2 ).
这时我们就说，函数 f (x) x2在区间 (,0] 上是单调递减的.
《单调性与最大(小)值》教案
《单调性与最大（小）值》教案教学目标1、理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念.2、掌握增（减）函数的证明和判别.3、学会运用函数图像进行理解和研究函数的性质.教学重难点重点：判断函数单调性，找出单调区间，熟练求函数的最大（小）值.难点：理解函数的最大（小）值，能利用单调性求函数的最大(小)值.教学过程在教法学法方面，采用启发式、探讨式的教学方法，引导学生自主探究，合作交流。
通过学生身边熟悉的事物，教师创造疑问，学生想办法解决疑问，通过教师的启发点拨，学生以自己的努力找到了解决问题的方法。
一、情景导入问题：1、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：（1）随x 的增大，y 的值有什么变化？（2）能否看出函数的最大、最小值？二、新课教学（一）函数单调性定义1．增函数一般地，设函数y =f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是增函数（increasing function ）．思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动）注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性。
○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2) ．注意“任意”两字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换，两个任意的自变量是属于同一个单调区间。
2．函数的单调性定义如果函数y =f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y =f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y =f(x)的单调区间：3．判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：○1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2；○2 作差f(x 1)－f(x 2)；○3 变形（通常是因式分解和配方）；○4 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）；○5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）．4、判定函数单调性的常见方法（1）定义法：如上述步骤，这是证明或判定函数单调性的常用方法（2）图象法：根据函数图象的升降情况进行判断。
函数的单调性与最大(小)值PPT课件
∴f(x)在[-1,0]上是增函数,在(-∞,-1]上是减函数. 又x∈[0,1],u∈[-1,0]时,恒有f(x)≥f(u),等号只在x=u=0时取到,故
f(x)在[-1,1]上是增函数. (3)由(2)知函数f(x)在(0,1)上递增,在[1,+∞)上递减,则f(x)在x=1处
可取得最大值. ∴f(1)=， ∴函数的最大值为 ,无最小值.
x≤1,
.是
,
上的减函数, 那么a的取值范围是(
)
A.(0,1)
C.
1 7
,
1 3
B.
0,
1 3
D.
1 7
,1
[错解]依题意应有
3a 1 0, 0 a 1,
解得0
a
1 3
,
选B.
[剖析] 本题的错误在于没有注意分段函数的特点,只保证了函数
在每一段上是单调递减的,没有使函数f(x)在(-∞,1]上的最小值
【典例2】利用定义判断函数f x x x2 1在区间
R上的单调性.
[错解]设x1, x2 R,且x1 x2 ,则f x2 f x1
(x2 x22 1) (x1 x12 1)
x2 x1 ( x22 1 x12 1),
因为x1 x2 ,则x2 x1 0,且 x22 1 x12 1 0,
(2)在解答过程中易出现不能正确构造f(x2-x1)的形式或不能将不 等式右边3转化为f(2)从而不能应用函数的单调性求解,导致此 种错误的原因是没有熟练掌握单调性的含义及没弄清如何利 用题目中的已知条件或者不能正确地将抽象不等式进行转化.
错源一不注意分段函数的特点
【典例1】已知f
x
(3a 1)x 4a, logax, x 1
第二节 函数的单调性与最大(小)值
f(x－1)>0 的解集是
()
A．(－∞，－1)∪12，＋∞ C．－∞，－12∪(1，＋∞)
B．－12，1 D．－1，12
[解析] f(x)的定义域为 R ，且 f(－x)＝ax－a1x＝－f(x)，所以 f(x)为奇函数．
__________．
解析：易知f(x)＝x2－2kx＋4的图象的对称轴为x＝k，由题意可得k≤5或 k≥20.
答案：(－∞，5]∪[20，＋∞)
三、“基本思想”很重要 1．(数形结合)设定义在[－1,7]上的函数 y＝f(x)的图象如图所示，则函数 y＝f(x)
的增区间为________．
解析：由图象可知函数的增区间为[－1,1]和[5,7]． 答案：[－1,1]和[5,7]
命题点三 函数单调性的应用(多角探明) [逐点例析]
题点(一) 比较大小
x2＋1，x≥0， [例 1] (2020·湘潭三模)设函数 f(x)＝13x3－32x2＋2x＋1，x<0， a＝f(0.7－0.5)，
b＝f(0.8－0.5)，c＝f(log0.75)，则 a，b，c 的大小关系是
A．b<c<a
3．(2021·石家庄模拟)对于任意实数 a，b，定义 min{a，b}＝ab，，aa≤>bb. ， 设函 数 f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数 h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是 ________．
解析：在同一坐标系中，作出函数 f(x)，g(x)的图象，依题意， h(x)的图象如图中实线所示．易知点 A(2,1)为图象的最高点， 因此 h(x)的最大值是 h(2)＝1. 答案：1
(2)单调区间D必为定义域的子集，所以函数的单调性是函数的局部性质． (3)对于区间端点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减的变化，所
2020-2021学年高中数学人教A版(2019)必修第一册课件：3.2 单调性与最大(小)值
3．已知函数 f(x)＝x－2 1，x∈[2，6]，则 f(x)的最大值为________，最小值为__________． 解析：可判断函数 f(x)＝x－2 1在[2，6]上为减函数，所以 f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)
＝25.
答案：2
2 5
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
2．函数的最值
前提
设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足
条件
(1) 对 于 任 意 x∈I ， 都 有 _f_(_x_)_≤__M___； (2)存在 x0∈I，使得__f_(_x_0)_＝__M__
(1) 对 于 任 意 x∈I ， 都 有 __f_(x_)_≥__M___；
考点二 函数的最值(值域)(基础型)
复习
指导
理解函数的最大(小)值，并能利用函数的单调性求最值．
核心素养：逻辑推理
(1)(一题多解)函数 y＝x＋ x－1的最小值为________． 2x＋a，x≤0，
(2)(2020·福建漳州质检)已知函数 f(x)＝x＋4x，x＞0 有最小值，则实数 a 的取值范 围是________． 【解析】 (1)法一(换元法)：令 t＝ x－1，且 t≥0，则 x＝t2＋1， 所以原函数变为 y＝t2＋1＋t，t≥0. 配方得 y＝t＋122＋34， 又因为 t≥0，所以 y≥14＋34＝1， 故函数 y＝x＋ x－1的最小值为 1.
A．(－∞，0)
B．0，12
C．[0，＋∞)
D．12，＋∞
()
解析：选 B．y＝|x|(1－x)＝ x－（x1（－1x－）x， ）x，≥x0<0＝－ x2－x2＋ x，x， x<x0≥0 ＝－ x－x－ 12212－2＋ 14，14， x<x0≥. 0， 画出函数的草图，如图． 由图易知原函数在0，12上单调递增．
单调性与最大(小)值PPT
【互动探究】 2．(2010 年天津)设函数 f(x)＝x－1x，对任意 x∈[1，＋∞)，f(mx)
＋mf(x)<0 恒成立，则实数 m 的取值范围是___m_<_－__1__. 解析：已知 f(x)为增函数且 m≠0，所以 2mx2＜1＋mm2.显然 m>0
时不符合题意．则 m<0，即有 1＋m12<2x2.因为 y＝2x2 在 x∈[1， ＋∞)上的最小值为 2，所以 1＋m12＜2，即 m2>1，解得 m<－1.
【互动探究】 1．试用函数单调性的定义判断函数 f(x)＝ x－2x1在区间(0,1)上
的单调性． 解：任取 x1，x2∈(0,1)，且 x1<x2. 则 f(x1)－f(x2)＝x12－x11－x22－x21＝x12－x12－xx2－1 1. 由于 0<x1<x2<1，x1－1<0，x2－1<0，x2－x1>0， 故 f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)． 所以，函数 f(x)＝x－2x1在(0,1)上是减函数．
函数的单调性与最（小）值
考纲要求
考纲研读
利用函数单调性、图象等方法求
1.会求一些简单函数的值域． 一些简单函数的值域或最值；或
2．理解函数的单调性、最大值、 以最值为载体求参数的范围，并
最小值及其几何意义.
能解决实际生活中的一些优化
问题.
1．函数的单调性的定义 设函数 y＝f(x)的定义域为 A，区间 I⊆A，如果对于区间 I 内 的任意两个值 x1，x2，当 x1<x2 时，都有__f_(x_1_)_<_f(_x_2)_，那么就说 y ＝f(x)在区间 I 上是单调增函数，I 称为 y＝f(x)的___单__调__增__区__间___； 如果对于区间 I 内的任意两个值x1，x2，当x1<x2 时，都有_f_(_x1_)_>_f_(x_2，) 那么就说 y ＝ f(x) 在区间 I 上 是单调减函数 ，I 称 为 y ＝ f(x) 的 _单__调__减__区__间___．
单调性与最大(小)值
3、最小值定义
谢谢！
设计意图
通过例题的讲解，让学生充 分理解单调性的概念并初步了解 函数单调性的应用，提高学生的 学习兴趣。
四、教学过程
3、观察对比，探究新知（10分钟）
探 究： 画出反比例函数y=1/x的图象。
(1)这个函数的定义域I是什么？ (2)它在定义域I上的单调性是怎样的？ 再观察对比 图1中的图象(1)和图象(2)它 们的图象有什么区别？
定义：
一般地，设f(x)的定义域为I： 如果对于定义域I内某个区间D上的任意 两个自变量的值x1,x2，当x1<x2时，都有 f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是 增函数； 如果对于定义域I内某个区间D上的任意 两个自变量的值x1,x2，当x1<x2时，都有 f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是 减函数。
设计意图：即时训练，使学生及时认识
到自己对知识的掌握情况。
四、教学过程
6、总结归纳，布置作业（3分钟）
提出问题，引导学生回顾定义 及其证明方法，鼓励学生积极回 答，带引学生总结归纳函数单调 性的判定方法和注意事项，了解 函数单调性的应用。
课后作业：
必做题：A组第1，第2题。
选做题：A组第3题。
设计意图
可以发现： 二次函数的图象上有有一个最低 点（0,0），即对于任意的x∈R，都 有f(x) ≥f(0).
当一个函数的图象有最低点时，我们 就说函数f(x)有最小值。
概括 定义：
一般地，设函数f(x)的定义域为I， 如果存在实数M满足： (1)对于任意的x∈I,都有f(x) ≥M; (2)存在x0∈I,使得f(x0)=M。 那么，我们称M是y=f(x)的最小值
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二、学情分析
学生在初中阶段已经学过一次函数、二次函数、反比例函数等初等函数；在本节课之前也学过函数的定义及三种表示方法，对函数已有初步的了解，也具备了一些基本的函数知识。
三、教学重难点
教学重点：函数单调性概念理解、最大值最小值的求解
设计意图：让学生根据直观感受理解函数单调性，为之后理解数学严格定义做铺垫。
下面，我们给出数学上的严格定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2),（即自左向右上升）那么就说函数f(x)在区间D上是增函数。 那么请大家模仿增函数的定义给出减函数的数学严格定义。（叫学生回答）
设计意图：让学生模仿写出最大值的定义可以加深学生对最值的理解。
5、例题讲解
（由教师板书，强调步骤格式）
（由学生做，之后老师叫一个Fra bibliotek生回答，并要求讲出详细过程）
6、练习巩固
A
2/3、1/2
7、小结
函数单调性
函数最大最小值（定义、应用）
六、板书设计
教学难点：函数单调性概念的形成、如何求最大值最小值
四、教学目标
知识与技能：理解单调区间、单调性、增函数、减函数这四个概念；掌握函数单调性及最大最小值的解法。
过程与方法：能观察图像概括出单调性与最大最小值的定义，培养观察和探索能力。
情感、态度、价值观：通过开放探究的方式张扬学生个性、培养学生乐于探究、科学严谨的态度与作风。
单调性与最大最小值
一、学习任务分析
（与旧知识的联系）在“函数的单调性与最大最小值”之前，学生已经学过函数的定义及三种表示方法；并且在初中就已经学过一次函数、反比例函数、二次函数等初等函数。
（教材的地位与作用）函数的单调性与最大最小值在研究函数性质上有着重要的作业，并且在研究不等式、数列性质等其它数学内容时也起着重要作用。可见，这节内容不管在函数内部还是外部都有着重要的地位。
设计意图：通过例题加深学生对单调性定义的理解并逐渐学会应用。
4、函数最大最小值定义
我们再回到y=x2这个图像，可以看到 该图像有个最低点（0,0）。对于（0,0）这个点来说，函数上其它任意一个点的值都比它大。即对任意的 都有 ，所以我们就称f(0)为最小值。下面我们来给出定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：（1）对于任意的 ，都有 ;(2)存在 ，使得f(x0)=m，那么我们就称m是函数y=f(x)的最小值。同样，请大家模仿最小值的定义给出最大值的定义。（叫学生回答）
五、教学过程
1、回顾旧知，引出课题
上节课我们学习了函数的定义和它的三种表示方法，下面请同学们来说一说有那三种表示方法？（预计学生反应：一起说出：列表法、解析式法、图像法）那么，这节课我们就针对图像法，对函数图像展开研究。
设计意图：回顾旧知识，顺理成章地引出课题，不会显得太突兀。
问题1、观察 这三个图像，说说它们有哪些变化规律？（学生可能的反应：第一幅从左到右呈上升趋势且关于原点对称；第二份从左到右有时上升有时下降；第三幅从左到右也是有时上升有时下降，并且关于y轴对称）
设计意图：让学生模仿写出减函数定义可以加深学生对单调性的理解。
如果函数y=f(x)字区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。
3、例题讲解
（这题简单，由学生自己做，叫学生回答）
（这题较难，由教师在黑板上板书讲解，强调严格按照定义来证明）
设计意图：引导学生从形到数对函数单调性进行初步认识。
函数中这种上升下降增减变化我们就称它为函数的单调性。
2、函数单调性定义
问题2、我们来看两个很熟悉的函数f1(x)=x和f2(x)=x2
从图像中我们可以看到f1(x)=x在定义域内是一直（停顿，生答：“上升”），这样的函数我们就称它在该区间是递增的；同样如果f(x)在某个区间内下降我们就称它在该区间内（停顿，生答：“递减”）。下面请同学来说说f2(x)=x2这个函数的增减性。（叫学生回答）