专题14 与切线有关的恒成立问题(原卷版)

2019届高三数学临考冲刺秘籍

恒成立与有解问题解法荟萃与题型揭秘

专题十四与切线有关的恒成立问题

一、问题指引

与切线有关的恒成立问题，包括根据恒成立求参数范围与证明不等式，前者常利用切线找出临界点，后者常利用切线型不等式进行放缩．

二、方法详解

(一)借组曲线的切线求参数范围

【例1】【河北省石家庄市2019届高三毕业班模拟】对任意，都存在，使得，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．

【答案】A

【分析】首先求函数的值域，将原问题转化为方程至少有两个实数根，利用切线的性质考查临界条件可得实数的取值范围.

【解析】令，则，

据此可得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

注意到，故函数的值域为.

则原问题等价于方程至少有两个实数根，

即至少有两个实数根，

考查临界情况，当时，直线与指数函数相切，

由可得，则切点坐标为，切线斜率,

切线方程为：，切线过点，

故，很明显方程的根为，

此时切线的斜率.

据此可得实数的取值范围是.

故选A.

【评注】若能把恒成立问题，转化为直线与曲线的位置关系，常可通过直线与曲线相切求参数的临界值。

【类题展示】【贵州省贵阳市2019届高三5月适应性考试】不等式，恒成立，则的最小值为（）

A．B．C．D．

(二) 证明不等式时利用切线型不等式放缩

【例2】【广东省揭阳市2019届高三高考二模】已知函数.

（1）若函数的极小值为0，求的值；

（2）且，求证：.

【答案】(1).(2)见解析.

【分析】（1）根据导数在定义域内是否有零点确定分类讨论的标准为和，然后分别讨论导数的符号，确定当时在处取得极小值，再通过讨论的单调性，从而由有唯一解.（2）一方面，可以将问题等价转化为证当时，恒成立问题，然后构造函数

，通过其导数确定单调性，从而使问题得证；另一方面，也可以直接构造函数

（），由其二阶导数以及的范围确定一阶导数的单调性，从而确定的符号，进而确定的单调性，可得，使问题得证.

【解析】（Ⅰ）因为

所以，

当时，，函数在定义域上递增，不满足条件；

当时，函数在上递减，在上递增，

故在取得极小值0，，

令，，所以在（0，1）单调递增，

在单调递减，故，的解为，

故.

（2）证法1：由，

，所以只需证当时，恒成立.

令

由（1）可知，令得

在 上递增，故 ，所以命题得证. 证法2：

， 设

（ ），则 ，

则 ，又 ， ，得 ， 所以 单调递增，得 ， 所以 单调递增，得 ，得证．

【评注】()1,ln 1,sin 0x

e x x x x x x ≥+≤-≤≥是常见的切线型不等式，高考常以这些不等式为背景命题，

掌握这些不等式可提高解题能力。

【类题展示】【天津市北辰区2019届高考模拟】已知函数 ， ，

（I ）求函数 的单调区间；

（II ）若 在 恒成立，求 的取值范围； （III ）当 ， 时，证明：

三、跟踪训练

1.【福建省泉州市2019届高三第二次（5月)质检】已知函数

若方程 有

四个不等的实数根，则实数 的取值范围是 A ．

B ．

C ．

D ．

2.【湖南省师范大学附属中学2019届高三考前演练】设直线y kx =与曲线2ln f x x sin x cos x =++（）有公共点，则整数k 的最大值是______.

3.

4.【重庆市第一中学校2019届高三下学期第三次月考】设函数()223(0)x

f x e ax a a =-+>，对于x R ∀∈，都有()5f x a ≥成立. （Ⅰ）求实数a 的取值范围； （Ⅱ）证明：

*1232

ln(),23n n n en e n N n n n n

+++++++>+∈L （其中e 是自然对数的底数）.

5

6.【河南省名校-鹤壁高中2019届高三压轴第二次考试】已知函数()2

23x

f x e x x =+-. （1）求函数()f x '在区间[]0,1上零点个数；（其中()f x '为()f x 的导数） （2）若关于x 的不等式()()2

5312

f x x a x ≥+-+在[)1,+∞上恒成立，试求实数a 的取值范围. 7.

8．【河南省安阳市2019届高三毕业班第二次模拟】已知函数f （x ）＝lnx ﹣x 2

+ax ，a ∈R ．

（Ⅰ）证明lnx ≤x ﹣1；

（Ⅱ）若a ≥1，讨论函数f （x ）的零点个数．