三次函数的图象与性质
三次函数的有关性质
（1）若 x = −2是函数 f ( x) 的极值点,求 k 的值及 f ( x) 的单调区间；
（2）若函数 f ( x) 在0, 2 上有且仅有 2 个零点,求 f ( x) 在0, 2 上的最大值 g (k ) .
的图象应为上图中的（1）、（3）、（5）三种情况；而当 a 为负时,原函数的图象则为（2）、（4）、（6）三种情
况.当 0 时,二次方程 f (x) = 0 有两相异实根 x1 , x2 ,且在 x1 , x2 的两边 f (x) 的符号相反,故函数 f (x) 存
在两个极值点,图象为上图中的（3）、（4）两种；当 = 0 时,二次方程 f (x) = 0 有两相等实根,且在根的两
三次函数 f (x) = ax3 + bx2 + cx + d (a 0) 的图象有六种,如图：
200
200
f(x) 0
200
10
0
x
200
f(x) 0
200
10
0
x
200
f(x) 0
图(1)
10
图(3)
10
图(5)
f(x) 0 200 10
图(2)
0
10
x
200
f(x) 0 200 10
200 f(x) 0
三次函数的性质
一、考情分析 函数与导数一直是高考中的热点与难点, 我们知道二次函数是重要的且具有广泛应用的基本初等函数,,学生 对此已有较为全面、系统、深刻的认识,并在某些方面具备了把握规律的能力,由于三次函数的导数是二次函 数,使得我们可以利用二次函数研究三次函数的图象与性质,这使得三次函数成为高考数学的一大亮点. 二、解题秘籍 (一) 三次函数的图象与性质
高中数学常见幂函数、二次函数、三次函数的图象及其性质
（3）当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，所以函数 的最大值为 或 ，最小值为 .
（1）当 时， 在 上单调递增，所以函数 的最大值为 ，最小值为 ；
（2）当 时， 在 上单调递减，所以函数 的最大值为 ，最小值为 ；
（3）当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，所以函数 的最大值为 ，最小值为 或 .
单调增区间为： 和 ；
单调减区间为：
在R上单调递增
单调增区间为：
单调减区间为： 和
在R上单调递减
三次函数的图象和性质
定 义
我们把形如 的函数，称为三次函数.
导 数
判别式
我们把 叫做三次函数的导函数 的判别式.
极值点
当 时，导函数 有两个零点，原函数 有两个极值点，不妨记为 、 ，且 .
拐 点
令三次函数 的二阶导数 ，即 ，解得 ，我们把点 叫做三次函数的拐点.
图 象
定义域
R
值 域
R
对称中心
单调性
高中常见幂函数的图象和性质
定义
形如 的函数（其中 是常数， 是自变量）称为二次函数.
常见的五种幂函数图象
性质
（1）当幂指数 为奇数时，幂函数为奇函数；当幂指数 为偶数时，幂函数为偶函数.
（2）当 时，幂函数的图象都过 、 点，且在 上单调递增；
（3）当 时，幂函数的图象都过 点，不过 点，且在 上单调递减；
（4）在直线 的右侧，幂指数 越大，图象越高.
幂函数
定义域
单调增区间
单调减区间
无
和
无
无
无
二次函数的图象和性质
三次函数的图象与性质
解：（1）由原式，得 = 3 − 2 − 4 + 4，
∴ ′ = 3 2 − 2 − 4.
1
1
（2）由′ −1 = 0，得 = 2.此时有 = ( 2 − 4)( − 2)，
′ = 3 2 − − 4.
4
令′ = 0，得 = 3或 = −1
= −
求导：’ = 3 2 − 3 = 3( + 1)( − 1)
令’ = 0，则 = ±1.
列表：
−∞, −
−
−,
, +∞
’
+
0
−
0
+
增
极大
减
极小
增
y
y
o
−1
x
1
′ 图象
x
o
−1
1
图象
探究二：三次函数 = 3 + 2 + + ( ≠ 0)在R上
2 + 12 ≤ + 6,
由题意可知，1 ≥ −2， 2 ≤ 2，即൝
2 + 12 ≤ 6 − .
解不等式组，得−2 ≤ ≤ 2.
优解：因为′ = 3 2 − 2 − 4的图象是开口向上且过点(0,4)
的抛物线，
4 + 8 ≥ 0,
由条件，得′ −2 ≥ 0, ′ 2 ≥ 0,即ቊ
解：（1） ′ = 3 2 − 3 = 3( 2 − )
当 < 0时，对，有′ > 0，所以 的单调增区间为(−∞, +∞)；
当 > 0时，由′ > 0，解得 < − 或 > ；由′ < 0，解得− < <
11三次函数的性质及其简单应用
所以 1 2 c 3c 或 1 2 c 3c 解之得 0 c 7 4 3或c 7 4 3 7 4 3 ） 故所求c的范围是（0， （ 7 4 3， ）
例5 设
a为实数，函数 f ( ) 的极值； 在什么范围内取值时，曲线 y f ( x)与 x 轴仅有一个交点 （2）当 2 解：(1) f ( x ) 3 x 2 x 1 1 5 f ( x ) f ( ) a ， 极小值是 f (1) a 1 ∴ 的极大值是 3 27 (2)函数
南京一中
孔凡海
由二次函数类比三次函数的图象和性质
二次函数
y ax2 bx c
三次函数
y ax3 bx2 cx d
图象特征 单调性 对称性
a 0 开口向上 a 0 开口向下
单调区间2个 对称轴 x
b 2a
a 0 朝向右上 a 0 朝向右下
单调区间1个或3个
所以
y ax3 bx2 cx d (a ≠0)，函数的对称中心是（
b b ，f ( ) ）。 3a 3a
3 2 f ( x ) ax bx cx d (a ≠0是中心对 ) 性质3：函数 b b ， f ( ) ）。 称图形，其对称中心是（ 3a 3a
尽管如此，我们还要进一步加强对三次函数 的单调性、极值、对称性、图象变化规律、切线 方程等性质的研究，这也有助于提高知识的系统 性以及对三次函数的理解水平，拓宽解题思路。
解：（I）(b 1) 4c 3 2 2 （II）因为 F ( x) f ( x) g( x) x 2bx (b c) x bc ，2 3 x 4bx b 2 c 0 所以F（x）的导方程为：
第37讲 三次函数的图像与性质(学生版)
第37讲三次函数的图像与性质三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)具有丰富的性质，利用导数研究这些性质，其研究的过程与方法具有普遍性,一般性和有效性,可以迁移到其他函数的研究中．本专题主要研究三次函数的单调性,极值,最值,对称性等,并在研究的过程中体会数形结合,分类与整合,化归与转化等思想方法.1.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a,b,c,d∈R),设直线l1,l2分别是曲线y＝f(x)的两条不同的切线,若函数f(x)为奇函数,且当x＝1时f(x)有极小值为－4.①求a,b,c,d的值；②若直线l3亦与y＝f(x)相切,且三条不同的直线l1,l2,l3交于点G(m,4),求实数m的取值范围.2.已知函数f(x)＝x3－tx2＋1,求证：对任意实数t，函数f(x)的图像总存在两条切线相互平行.3.已知函数32()3f x x x ax =-+()a ∈R ，()|()|g x f x =．（1）求以(2,(2))P f 为切点的切线方程，并证明此切线恒过一个定点；（2）若()g x kx ≤对一切[0,2]x ∈恒成立，求k 的最小值()h a 的表达式；（3）设0a >，求()y g x =的单调增区间．4.已知函数f(x)＝2x3－ax2＋b.(1)讨论f(x)的单调性；(2)是否存在a,b,使得f(x)在区间[0,1]的最小值为－1且最大值为1？若存在,求出a,b的所有值；若不存在,说明理由．5.已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数'()f x 的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：33b a >；（3）若(),'()f x f x 这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围．。
三次函数对称轴
三次函数对称轴三次函数是指具有三次方项的多项式函数，其一般形式可以表示为f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中 a、b、c、d 是常数且a ≠ 0。
对于三次函数，一个重要的特性是它的对称轴。
对称轴是指将函数图像分为两部分并且两部分是镜像对称的一条直线。
本文将探讨三次函数对称轴的性质和确定方法。
一、三次函数对称轴的性质三次函数的对称轴具有以下性质：1. 对称轴与 x 轴平行：三次函数的对称轴与 x 轴平行，这意味着对称轴的斜率为零。
从几何意义上理解，对称轴是函数图像左右对称的直线，因此与 x 轴平行。
2. 在对称轴上对称：对于三次函数，对称轴上的一点和它关于对称轴对称的点的纵坐标相等。
这是对称轴的定义，也是三次函数图像的基本性质。
3. 确定函数图像的形状：对称轴是确定三次函数图像形状的关键特征之一。
在对称轴上的点对称地分布在函数图像的两侧，因此对于左右对称的三次函数，对称轴将函数图像分为镜像对称的部分。
二、确定三次函数对称轴的方法确定三次函数的对称轴的方法如下：1. 利用函数的一般形式：对于一般形式为 f(x) = ax^3 + bx^2 +cx + d 的三次函数，可以通过观察系数 b 和 c 的关系来确定对称轴。
如果 b = 0，则对称轴为竖直线 x = 0；如果 c = 0，则对称轴为竖直线 x = -b/3a；如果b ≠ 0 且c ≠ 0，则对称轴为竖直线 x = -b/3a。
2. 利用函数图像的性质：三次函数的对称轴可以通过观察函数图像的形状来确定。
首先绘制函数的图像，然后观察图像左右对称的部分。
对称轴将图像分为两份，并且两份是镜像对称的。
找到对称轴上的一点，并确定其关于对称轴的对称点，连接这两点就是对称轴。
三、实例分析接下来通过实例分析来具体说明三次函数对称轴的确定方法。
例1：考虑三次函数 f(x) = 2x^3 - 4x^2 - x + 3。
首先观察系数，这里 a = 2，b = -4，c = -1。
三次函数的性质和图像
投资决策分析：在金融领域，三次函数可以用于分析投资组合的风险和回 报，以及股票价格的预测。
资源分配问题：在资源分配问题中，三次函数可以用来解决如何将有限的 资源分配到各个领域，以最大化整体效益的问题。
在其他领域的应用
物理学：三次函数在描述物理现象和解决物理问题中有着广泛的应用，例如振动、波动、 热传导等。
经济学：三次函数在经济学中用于描述经济现象和预测经济趋势，例如预测股票价格、 消费需求等。
生物学：三次函数在生物学中用于描述生长曲线、繁殖率等，例如描述细菌生长、动物 繁殖等。
计算机科学：三次函数在计算机科学中用于图像处理、信号处理等，例如图像的缩放、 旋转和平移等。
05
三次函数与其他函数的 比较
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单调性
单调递增：当导数大于0时，函数在对应区间内单调递增 单调递减：当导数小于0时，函数在对应区间内单调递减 单调性的判断：通过求导数并分析导数的符号来判断单调性 单调性的应用：利用单调性研究函数的极值、最值等问题
极值点
极值点的定义：三次函数图像上函数值发生变化的点 极值点的位置：函数图像上凹凸部分的分界点 极值点的求法：通过导数求出极值点的横坐标，再代入原函数求出纵坐标 极值点的性质：极值点处的函数值大于或小于其邻近点的函数值
与指数函数的比较
定义域：三次函数 定义域为全体实数， 而指数函数定义域 为正实数
函数值：三次函数 在定义域内连续且 可导，而指数函数 在定义域内连续但 不可导
单调性：三次函数 可以具有单调递增 、递减或先增后减 等变化趋势，而指 数函数在定义域内 单调递增
奇偶性：三次函数 既可能是奇函数也 可能是偶函数，而 指数函数是偶函数
三次函数图像与性质(解析版)
专题2-2三次函数图像与性质【题型1】求三次函数的解析式【题型2】三次函数的单调性问题【题型3】三次函数的图像【题型4】三次函数的最值、极值问题【题型5】三次函数的零点问题【题型6】三次函数图像，单调性，极值，最值综合问题【题型7】三次函数对称中心【题型8】三次函数的切线问题【题型9】三次函数根与系数的关系1/342/34【题型1】求三次函数的解析式（1）一般式：()³²f x ax bx cx d =+++（a ≠0）（2）交点式：()123()()()f x a x x x x x x =---（a ≠0）1．若三次函数()f x 满足()()()()00,11,03,19f f f f ''====，则()3f =（）A ．38B ．171C ．460D ．965【解析】待定系数法，求函数解析式设()³²f x ax bx cx d =+++，则()232f x ax bx c '=++，由题意可得：()()()()0011031329f d f a b c d f c f a b c ⎧==⎪=+++=⎪⎨==⎪⎪=+'=⎩'+，解得101230a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩，则()3210123f x x x x =-+，所以()32310312333171f =⨯-⨯+⨯=.【题型2】三次函数的单调性问题三次函数是高中数学中的一个重要内容，其考点广泛且深入，主要涉及函数的性质、图像、最值、零点以及与其他函数的综合应用等方面。
以下是对三次函数常见考点的详细分析：1.三次函数的定义与形式∙定义：形如f (x )=ax 3+bx 2+cx +d （其中a ≠=0）的函数称为三次函数。
∙形式：注意系数a ,b ,c ,d 的作用，特别是a 的正负决定了函数的开口方向（a >0开口向上，a <0开口向下）。
专题17 三次函数的图像与性质(解析版)
专题17 三次函数的图像与性质一、例题选讲题型一 运用三次函数的图像研究零点问题遇到函数零点个数问题,通常转化为两个函数图象交点问题,进而借助数形结合思想解决问题；也可转化为方程解的个数问题,通过具体的解方程达到解决问题的目的.前者由于是通过图形解决问题,故对绘制的函数图象准确度和细节处要求较高,后者对问题转化的等价性和逻辑推理的严谨性要求较高.下面的解法是从解方程的角度考虑的.例1,(2017某某,某某,某某,某某三调)已知函数3()3 .x x a f x x x x a ⎧=⎨-<⎩≥，，，若函数()2()g x f x ax =-恰有2个不同的零点,则实数a 的取值X 围是．【答案】3(2)2-，【解析】：函数()2()g x f x ax =-恰有2个不同的零点,即方程2()0f x ax -=恰有2个不相等的根,亦即方程(Ⅰ)20x ax ax ≥⎧⎨-=⎩和(Ⅱ)3260x a x x ax <⎧⎨--=⎩共有2个不相等的根. 首先(Ⅰ)中20x ax -=,即(2)0a x -=,若2a =,则2x ≥都是方程20x ax -=的根,不符合题意,所以2a ≠,因此(Ⅰ)中由20x ax -=解得0x =,下面分情况讨论(1)若0x =是方程(Ⅰ)的唯一根,则必须满足0a ≥,即0a ≤,此时方程(Ⅱ)必须再有唯一的一个根,即30260x a x x ax <≤⎧⎨--=⎩有唯一根,因为0x ≠,由3260x x ax --=,得226x a =+必须有满足0x a <≤的唯一根,首先60a +>,其次解得的负根需满足0a <≤,从而解得302a -<≤,(2)若0x =不是方程(Ⅰ)的唯一根,则必须满足0a <,即0a >,此时方程(Ⅱ)必须有两个不相等的根,即30260a x ax x ax ⎧>⎪<⎨⎪--=⎩有两个不相等的根,由3260x x ax --=,得0x a =<适合,另外226x a =+还有必须一满足,0x a a <>的非零实根,首先60a +>,a≥,从而解得02a <≤,但前面已经指出2a ≠,故02a <<,综合(1),(2),得实数a 的取值X 围为3(,2)2-.例2,(2017某某学情调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －x3，x ≤0，－2x ，x ＞0.)当x ∈(－∞,m ]时,f (x )的取值X 围为[－16,＋∞),则实数m 的取值X 围是________．【答案】 [－2,8]【解析】思路分析 由于f (x )的解析式是已知的,因此,可以首先研究出函数f (x )在R 上的单调性及相关的性质,然后根据f (x )的取值X 围为[－16,＋∞),求出它的值等于－16时的x 的值,借助于函数f (x )的图像来对m 的取值X 围进行确定．当x ≤0时,f (x )＝12x －x 3,所以f ′(x )＝12－3x 2.令f ′(x )＝0,则x ＝－2(正值舍去),所以当x ∈(－∞,－2)时,f ′(x )＜0,此时f (x )单调递减；当x ∈(－2,0]时,f ′(x )＞0,此时f (x )单调递增,故函数f (x )在x ≤0时的极小值为f (－2)＝－16.当x ＞0时,f (x )＝－2x 单调递减,f (0)＝0,f (8)＝－16,因此,根据f (x )的图像可得m ∈[－2,8]．解后反思 根据函数的解析式来得到函数的相关性质,然后由此画出函数的图像,借助于函数的图像可以有效地进行解题,这就是数形结合的魅力．题型二 三次函数的单调性问题研究三次函数的单调性,往往通过导数进行研究.要特别注意含参的讨论.例3,已知函数32()3f x x x ax =-+()a ∈R ,()|()|g x f x =．(1)求以(2,(2))P f 为切点的切线方程,并证明此切线恒过一个定点；(2)若()g x kx ≤对一切[0,2]x ∈恒成立,求k 的最小值()h a 的表达式；(3)设0a >,求()y g x =的单调增区间．解析 (1)2()36f x x x a '=-+,(2)f a '=,过点P 的切线方程为()224y a x a =-+-,即4y ax =-,它恒过点(0,- 4)；(2)()g x kx ≤即32|3|x x ax kx -+≤． 当0x =时,上式恒成立；当(0,2]x ∈时,即2|3|x x a k -+≤对一切(0,2]x ∈恒成立,设2max ()|3|,[0,2]h a x x a x ∈=-+, ①当94a ≥时,2max |3|x x a -+在0x =时取得,∴()h a a =；②当94a <时,2max 99(),984|3|max{,}994()48a a x x a a a a a ⎧<<⎪⎪-+=-=⎨⎪-⎪⎩≤； 由①②,得9(),8()99()48a a g a a a ⎧>⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩≤； (3)32()3f x x x ax =-+,22()363(1)3f x x x a x a '=-+=-+-,令()0f x =,得0x =或230x x a -+=,当94a <时,由230x x a -+=,解得132x =232x =令()0f x '=,得23(1)30x a -+-=,当3a <时,由23(1)30x a -+-=,解得31x =41x =+1)当3a ≥时,()y g x =的单调增区间为(0,)+∞；2)当934a <≤时,()y g x =的单调增区间为3(0,)x 和4(,)x +∞；3)当904a <<时,()y g x =的单调增区间为3(0,)x 和14(,)x x 和2(,)x +∞．例4,(2018某某期末) 若函数f(x)＝(x ＋1)2|x －a|在区间[－1,2]上单调递增,则实数a 的取值X 围是________．【答案】 (－∞,－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞思路分析 由于条件中函数的解析式比较复杂,可以先通过代数变形,将其化为熟悉的形式,进而利用导数研究函数的性质及图像,再根据图像变换的知识得到函数f(x)的图像进行求解．函数f(x)＝(x ＋1)2|x －a|＝|(x ＋1)2(x －a)|＝|x 3＋(2－a)x 2＋(1－2a)x －a|.令g(x)＝x 3＋(2－a)x 2＋(1－2a)x －a,则g ′(x)＝3x 2＋(4－2a)x ＋1－2a ＝(x ＋1)(3x ＋1－2a)．令g ′(x)＝0得x 1＝－1,x 2＝2a －13.①当2a －13<－1,即a<－1时,令g ′(x)>0,即(x ＋1)(3x ＋1－2a)>0,解得x<2a －13或x>－1；令g ′(x)<0,解得2a －13<x<－1.所以g(x)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a －13,(－1,＋∞),单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，－1. 又因为g(a)＝g(－1)＝0,所以f(x)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，2a －13,(－1,＋∞),单调减区间是(－∞,a),⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，－1,满足条件,故a<－1(此种情况函数f(x)图像如图1)． ,图1)②当2a －13＝－1,即a ＝－1时,f(x)＝|(x ＋1)3|,函数f(x)图像如图2,则f(x)的单调增区间是(－1,＋∞),单调减区间是(－∞,－1),满足条件,故a ＝－1.,图2)③当2a －13>－1,即a>－1时,令g ′(x)>0,即(x ＋1)(3x ＋1－2a)>0,解得x<－1或x>2a －13；令g ′(x)<0,解得－1<x<2a －13.所以g(x)的单调增区间是(－∞,－1),⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，＋∞,单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，2a －13. 又因为g(a)＝g(－1)＝0,所以f(x)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，2a －13,(a,＋∞),单调减区间是(－∞,－1),⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，a ,要使f(x)在[－1,2]上单调递增,必须满足2≤2a －13,即a ≥72,又因为a>－1,故a ≥72(此种情况函数f(x)图像如图3)．综上,实数a 的取值X 围是(－∞,－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞.,图3)例5,(2018某某期末)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x3＋x2，x<0，ex －ax ，x ≥0，其中常数a ∈R .(1) 当a ＝2时,求函数f (x )的单调区间；(2) 若方程f (－x )＋f (x )＝e x －3在区间(0,＋∞)上有实数解,某某数a 的取值X 围；规X 解答 (1) 当a ＝2时,f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x3＋x2，x<0，ex －2x ，x ≥0.①当x<0时,f ′(x)＝－3x 2＋2x<0恒成立,所以f(x)在(－∞,0)上递减；(2分)②当x ≥0时,f ′(x)＝e x －2,可得f(x)在[0,ln 2]上递减,在[ln 2,＋∞)上递增．(4分)因为f(0)＝1>0,所以f(x)的单调递减区间是(－∞,0)和[0,ln 2],单调递增区间是[ln 2,＋∞)．(5分)(2) 当x>0时,f(x)＝e x －ax,此时－x<0,f(－x)＝－(－x)3＋(－x)2＝x 3＋x 2.所以可化为a ＝x 2＋x ＋3x在区间(0,＋∞)上有实数解．(6分) 记g(x)＝x 2＋x ＋3x ,x ∈(0,＋∞),则g ′(x)＝2x ＋1－3x2＝（x －1）（2x2＋3x ＋3）x2.(7分) 可得g(x)在(0,1]上递减,在[1,＋∞)上递增,且g(1)＝5,当x →＋∞时,g(x)→＋∞.(9分)所以g(x)的值域是[5,＋∞),即实数a 的取值X 围是[5,＋∞)．(10分)题型三 三次函数的极值与最值问题①利用导数刻画函数的单调性,确定函数的极值；② 通过分类讨论,结合图象,实现函数的极值与零点问题的转化.函数,方程和不等式的综合题,常以研究函数的零点,方程的根,不等式的解集的形式出现,大多数情况下会用到等价转化,数形结合的数学思想解决问题,而这里的解法是通过严谨的等价转化,运用纯代数的手段来解决问题的,对抽象思维和逻辑推理的能力要求较高,此题也可通过数形结合的思想来解决问题,可以一试.例6,(2018苏锡常镇调研)已知函数32()1f x x ax bx a b =+++∈，，R ． (1)若20a b +=,① 当0a >时,求函数()f x 的极值(用a 表示)；② 若()f x 有三个相异零点,问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列？若存在,试求出a 的值；若不存在,请说明理由；规X 解答 (1)①由2()32f x x ax b '=++及02=+b a ,得22()32f x x ax a '=+-,令()0f x '=,解得3ax =或a x -=.由0>a 知,(,)()0x a f x '∈-∞->，,)(x f 单调递增,(,)()03a x a f x '∈-<，,)(x f 单调递减,(,)()03ax f x '∈+∞>，,)(x f 单调递增,因此,)(x f 的极大值为3()1f a a -=+,)(x f 的极小值为35()1327a a f =-. ② 当0a =时,0b =,此时3()1f x x =+不存在三个相异零点； 当0a <时,与①同理可得)(x f 的极小值为3()1f a a -=+,)(x f 的极大值为35()1327a a f =-. 要使)(x f 有三个不同零点,则必须有335(1)(1)027a a +-<,即332715a a <->或.不妨设)(x f 的三个零点为321,,x x x ,且321x x x <<,则123()()()0f x f x f x ===,3221111()10f x x ax a x =+-+=, ①3222222()10f x x ax a x =+-+=, ②3223333()10f x x ax a x =+-+=, ③②-①得222212121212121()()()()()0x x x x x x a x x x x a x x -+++-+--=, 因为210x x ->,所以222212121()0x x x x a x x a ++++-=, ④ 同理222332232()0x x x x a x x a ++++-=, ⑤⑤-④得231313131()()()()0x x x x x x x a x x -+-++-=,因为310x x ->,所以2310x x x a +++=,又1322x x x +=,所以23ax =-.所以()03af -=,即22239a a a +=-,即327111a =-<-,因此,存在这样实数a =满足条件.例7,(2017⋅某某)已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值,且导函数'()f x 的极值点是()f x 的零点．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b 关于a 的函数关系式,并写出定义域；(2)证明：33b a >；(3)若(),'()f x f x 这两个函数的所有极值之和不小于72-,求a 的取值X 围．解析(1)2'()32f x x ax b =++有零点,24120a b ∆=->,即23a b >,又''()620f x x a =+=,解得3a x =-,根据题意,()03a f -=,即3210333a a a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,化简得2239b a a =+,又203a a b >⎧⎨>⎩,所以3a >,即223(3)9b a a a =+>；(2)设2433224591()3(427)(27)81381g a b a a a a a a a =-=-+=--,而3a >,故()0g a >,即23b a >；(3)设12,x x 为()f x 的两个极值点,令'()0f x =得12122,33b ax x x x =+=-, 法一：332212121212()()()()2f x f x x x a x x b x x +=++++++ 22121212121212()[()3][()2]()2x x x x x x a x x x x b x x =++-++-+++3324242232()202732739a ab a a a a =-+=-++=．记()f x ,()f x '所有极值之和为()S a ,12()()0f x f x +=,2'()33a a f b -=-, 则221237()()()'()3392a a a S a f x f x f b a =++-=-=--≥, 而23()()3a S a a =-在(3,)a ∈+∞上单调递减且7(6)2S =-,故36a <≤．法二：下面证明()f x 的图像关于(,())33a af --中心对称,233232()1()()()1333327a a a ab a f x x ax bx x b x =+++=++-++-+23()()()()3333a a a ax b x f =++-++-,所以()()2()0333a a a f x f x f --+-+=-=,所以12()()0f x f x +=,下同法一．例8,(2018某某学情调研)已知函数f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax,a ∈R .(1) 曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的斜率为3,求a 的值；(2) 若对于任意x ∈(0,＋∞),f (x )＋f (－x )≥12ln x 恒成立,求a 的取值X 围；(3) 若a ＞1,设函数f (x )在区间[1,2]上的最大值,最小值分别为M (a ),m (a ),记h (a )＝M (a )－m (a ),求h (a )的最小值．思路分析 第(3)问,欲求函数f(x)在区间[1,2]上的最值M(a),m(a),可从函数f(x)在区间[1,2]上的单调性入手,由于f ′(x)＝6(x －1)(x －a),且a ＞1,故只需分为两大类：a ≥2,1＜a ＜2.当1＜a ＜2时,函数f(x)在区间[1,2]上先减后增,进而比较f(1)和f(2)的大小确定函数最大值,由f(1)＝f(2)得到分类的节点a ＝53.规X 解答 (1) 因为f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax,所以f ′(x)＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a,所以曲线y ＝f(x)在x ＝0处的切线的斜率k ＝f ′(0)＝6a,所以6a ＝3,所以a ＝12.(2分)(2) f(x)＋f(－x)＝－6(a ＋1)x 2≥12ln x对任意x ∈(0,＋∞)恒成立,所以－(a ＋1)≥2lnxx2.(4分)令g(x)＝2lnx x2,x ＞0,则g ′(x)＝2（1－2lnx ）x3.令g ′(x)＝0,解得x ＝ e.当x ∈(0,e)时,g ′(x)＞0,所以g(x)在(0,e)上单调递增；当x ∈(e,＋∞)时,g ′(x)＜0,所以g(x)在(e,＋∞)上单调递减．所以g(x)max ＝g(e)＝1e,(6分)所以－(a ＋1)≥1e ,即a ≤－1－1e,所以a 的取值X 围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－1－1e .(8分)(3) 因为f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax,所以f ′(x)＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －1)(x －a),令f ′(x)＝0,则x ＝1或x ＝a.(10分)f(1)＝3a －1,f(2)＝4.由f(1)＝f(2)得到分类的节点a ＝53.①当1＜a ≤53时,当x ∈(1,a)时,f ′(x)＜0,所以f(x)在(1,a)上单调递减；当x ∈(a,2)时,f ′(x)＞0,所以f(x)在(a,2)上单调递增．又因为f(1)≤f(2),所以M(a)＝f(2)＝4,m(a)＝f(a)＝－a 3＋3a 2,所以h(a)＝M(a)－m(a)＝4－(－a 3＋3a 2)＝a 3－3a 2＋4.因为h ′(a)＝3a 2－6a ＝3a(a －2)＜0,所以h(a)在⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53上单调递减,所以当a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53时,h(a)的最小值为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫53＝827.(12分)②当53＜a ＜2时,当x ∈(1,a)时,f ′(x)＜0,所以f(x)在(1,a)上单调递减；当x ∈(a,2)时,f ′(x)＞0,所以f(x)在(a,2)上单调递增．又因为f(1)＞f(2),所以M(a)＝f(1)＝3a －1,m(a)＝f(a)＝－a 3＋3a 2,所以h(a)＝M(a)－m(a)＝3a －1－(－a 3＋3a 2)＝a 3－3a 2＋3a －1.因为h ′(a)＝3a 2－6a ＋3＝3(a －1)2>0.所以h(a)在⎝ ⎛⎭⎪⎫53，2上单调递增,所以当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫53，2时,h(a)＞h ⎝ ⎛⎭⎪⎫53＝827.(14分)③当a ≥2时,当x ∈(1,2)时,f ′(x)＜0,所以f(x)在(1,2)上单调递减,所以M(a)＝f(1)＝3a －1,m(a)＝f(2)＝4,所以h(a)＝M(a)－m(a)＝3a －1－4＝3a －5,所以h(a)在[2,＋∞)上的最小值为h(2)＝1.综上,h(a)的最小值为827.(16分)二、达标训练1,(2017某某暑假测试) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x ＞1，x3，－1≤x ≤1，)若关于x 的方程f (x )＝k (x ＋1)有两个不同的实数根,则实数k 的取值X 围是________．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12【解析】思路分析 方程f (x )＝k (x ＋1)的实数根的个数可以理解为函数y ＝f (x )与函数y ＝k (x ＋1)交点的个数,因此,在同一个坐标系中作出它们的图像,由图像来观察它们的交点的个数．在同一个直角坐标系中,分别作出函数y ＝f (x )及y ＝k (x ＋1)的图像,则函数f (x )max ＝f (1)＝1,设A (1,1),B (－1,0),函数y ＝k (x ＋1)过点B ,则由图可知要使关于x 的方程f (x )＝k (x ＋1)有两个不同的实数根,则0＜k ＜k AB ＝12.2,(2017苏北四市期末) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sinx ，x ＜1，x3－9x2＋25x ＋a ，x ≥1，)若函数f (x )的图像与直线y ＝x 有三个不同的公共点,则实数a 的取值集合为________．【答案】 {－20,－16}【解析】当x ＜1时,f(x)＝sin x,联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sinx ，y ＝x ，得x －sin x ＝0,令u(x)＝x －sin x(x ＜1),则u ′(x)＝1－cos x ≥0,所以函数u(x)＝x －sin x(x ＜1)为单调增函数,且u(0)＝0,所以u(x)＝x －sin x(x ＜1)只有唯一的解x＝0,这表明当x ＜1时,函数f(x)的图像与直线y ＝x 只有1个公共点．因为函数f(x)的图像与直线y ＝x 有3个不同的公共点,从而当x ≥1时,函数f(x)的图像与直线y ＝x 只有2个公共点．当x ≥1时,f(x)＝x 3－9x 2＋25x ＋a,联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x3－9x2＋25x ＋a ，y ＝x ，得a ＝－x 3＋9x 2－24x,令h(x)＝－x 3＋9x 2－24x(x ≥1),则h ′(x)＝－3x 2＋18x －24＝－3(x －2)(x －4)．令h ′(x)＝0得x ＝2或x ＝4,列表如下：32数a ＝－20或a ＝－16.综上所述,实数a 的取值集合为{－20,－16}．3,(2019某某,某某二模)已知函数f(x)＝⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+0,3120,33x x x x x 设g(x)＝kx ＋1,且函数y ＝f(x)－g(x)的图像经过四个象限,则实数k 的取值X 围为________．【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫－9，13【解析】解法1 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋3|－（kx ＋1），x ≤0，x 3－（k ＋12）x ＋2，x>0，若其图像经过四个象限．①当x>0时,y ＝x 3－(k ＋12)x ＋2,当x ＝0时,y ＝2>0,故它要经过第一象限和第四象限,则存在x>0,使y＝x 3－(k ＋12)x ＋2<0,则k ＋12>x 2＋2x ,即k ＋12>⎝ ⎛⎭⎪⎫x2＋2x min .令h(x)＝x 2＋2x (x>0),h ′(x)＝2x －2x2＝2（x3－1）x2,当x>1时,h ′(x)>0,h(x)在(1,＋∞)上递增；当0<x<1时,h ′(x)<0,h(x)在(0,1)上递减,当x ＝1时取得极小值,也是最小值,h(x)min ＝h(1)＝3,所以k ＋12>3,即k>－9.②当x ≤0时,y ＝|x ＋3|－(kx ＋1),当x ＝0时,y ＝2>0,故它要经过第二象限和第三象限,则存在x<0,使y ＝|x ＋3|－(kx ＋1)<0,则k<|x ＋3|－1x,即k<⎝⎛⎭⎪⎫|x ＋3|－1x max .令φ(x)＝|x ＋3|－1x＝⎩⎪⎨⎪⎧－1－4x ，x ≤－3，1＋2x ，－3<x<0，易知φ(x)在(－∞,－3]上单调递增,在(－3,0)上单调递减,当x ＝－3时取得极大值,也是最大值,φ(x)max ＝φ(－3)＝13,故k<13.综上,由①②得实数k 的取值X 围为⎝⎛⎭⎪⎫－9，13.解法2 可根据函数解析式画出函数图像,当x>0时,f(x)＝x 3－12x ＋3,f ′(x)＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2),可知f(x)在区间(0,2)上单调递减,在区间(2,＋∞)上单调递增,且 f(2)＝－13<0,当x ≤0时,f(x)＝|x ＋3|.g(x)＝kx ＋1恒过(0,1),若要使y ＝f(x)－g(x)经过四个象限,由图可知只需f(x)与g(x)在(－∞,0)和(0,＋∞)上分别有交点即可(交点不可为(－3,0)和切点)．①当k>0时,在(0,＋∞)必有交点,在(－∞,0)区间内,需满足0<k<13.②当k<0时,在(－∞,0)必有交点,在(0,＋∞)内,只需求过定点(0,1)与函数f(x)＝x 3－12x ＋3(x>0)图像的切线即可,设切点为(x 0,x30－12x 0＋3),由k ＝3x20－12＝x30－12x 0＋3－1x 0,解得x 0＝1,切线斜率k ＝－9,所以k∈(－9,0)．③当k ＝0也符合题意．综上可知实数k 的取值X 围为⎝⎛⎭⎪⎫－9，13.4,(2018苏中三市,苏北四市三调)已知函数310() 2 0ax x f x x ax x x -≤⎧⎪=⎨-+->⎪⎩， ，，的图象恰好经过三个象限,则实数a 的取值X 围是 ▲ ．【答案】a ＜0或a ＞2【解析】当a ＜0时,10y ax x =-，≤的图象经过两个象限,3|2|0y x ax x =-+->在 (0,+∞)恒成立,所以图象仅在第一象限,所以a ＜0时显然满足题意； 当a ≥0时,10y ax x =-，≤的图象仅经过第三象限,由题意 3|2|0y x ax x x =-+->，的图象需经过第一,二象限．【解法1】(图像法)3|2|y x x =+-与y ax =在y 轴右侧的图象有公 共点(且不相切)．如图,3|2|y x x =+-=332,022,2x xx x xx,设切点坐标为3000(,2)x x x ,231yx,则有32000231x x x x ,解得01x ,所以临界直线l 的斜率为2,所以a ＞2时,符合．综上,a ＜0或a ＞2．【解法2】(函数最值法)由三次函数的性质知,函数图象过第一象限,则存()g x 在0x,使得3|2|0,yxax x即2|2|x a xx 设函数22221,02|2|()21,2x x x x g x x xx x x,当02x,322222()2x g x xx x()g x 在(0,1)单调递减,在(1,2)单调递增,又2x时,函数为增函数,所以函数的最小值为2,所以a ＞2,则实数a 的取值X 围为a ＜0或a ＞2．5,(2019某某期末)已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2－4a(a,b ∈R )．(1) 当a ＝b ＝1时,求f (x )的单调增区间；(2) 当a ≠0时,若函数f (x )恰有两个不同的零点,求b a的值；(3) 当a ＝0时,若f (x )<ln x 的解集为(m ,n ),且(m ,n )中有且仅有一个整数,某某数b 的取值X 围．解后反思 在第(2)题中,也可转化为b a ＝4x2－x 恰有两个不同的实数解．另外,由g(x)＝x 3＋kx 2－4恰有两个不同的零点,可设g(x)＝(x －s)(x －t)2.展开,得x 3－(s ＋2t)x 2＋(2st ＋t 2)x －st 2＝x 3＋kx 2－4,所以⎩⎪⎨⎪⎧－（s ＋2t ）＝k ，2st ＋t2＝0，－st2＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧s ＝1，t ＝－2，k ＝3.解：(1)当a ＝b ＝1时,f(x)＝x 3＋x 2－4,f ′(x)＝3x 2＋2x.(2分)令f ′(x)>0,解得x>0或x<－23,所以f(x)的单调增区间是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－23和(0,＋∞)．(4分)(2)法一：f ′(x)＝3ax 2＋2bx,令f ′(x)＝0,得x ＝0或x ＝－2b3a,(6分)因为函数f(x)有两个不同的零点,所以f(0)＝0或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2b 3a ＝0.当f(0)＝0时,得a ＝0,不合题意,舍去；(8分)当f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2b 3a ＝0时,代入得a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2b 3a ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2b 3a 2－4a ＝0,即－827⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 3＋49⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 3－4＝0,所以ba ＝3.(10分)法二：由于a ≠0,所以f(0)≠0,由f(x)＝0得,b a ＝4－x3x2＝4x2－x(x ≠0)．(6分)设h(x)＝4x2－x,h ′(x)＝－8x3－1,令h ′(x)＝0,得x ＝－2, 当x ∈(－∞,－2)时,h ′(x)<0,h(x)递减；当x ∈(－2,0)时,h ′(x)>0,h(x)递增,当x ∈(0,＋∞)时,h ′(x)>0,h(x)单调递增,当x>0时,h(x)的值域为R ,故不论b a取何值,方程b a＝4－x3x2＝4x2－x 恰有一个根－2,此时函数f (x )＝a (x ＋2)2(x －1)恰有两个零点－2和1.(10分)(3)当a ＝0时,因为f (x )<ln x ,所以bx 2<ln x ,设g (x )＝ln x －bx 2,则g ′(x )＝1x－2bx ＝1－2bx2x(x >0),当b ≤0时,因为g ′(x )>0,所以g (x )在(0,＋∞)上递增,且g (1)＝－b ≥0,所以在(1,＋∞)上,g (x )＝ln x －bx 2≥0,不合题意；(11分)当b >0时,令g ′(x )＝1－2bx2x＝0,得x ＝12b,所以g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12b 递增,在⎝⎛⎭⎪⎪⎫12b ，＋∞递减, 所以g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12b ＝ln12b －12,要使g (x )>0有解,首先要满足ln12b －12>0,解得b <12e. ①(13分)又因为g (1)＝－b <0,g (e 12)＝12－b e>0,要使f (x )<ln x 的解集(m ,n )中只有一个整数,则⎩⎪⎨⎪⎧g （2）>0，g （3）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ln2－4b>0，ln3－9b ≤0，解得ln39≤b <ln24. ②(15分)设h (x )＝lnx x,则h ′(x )＝1－lnx x2,当x ∈(0,e)时,h ′(x )>0,h (x )递增；当x ∈(e,＋∞)时,h ′(x )<0,h (x )递减．所以h (x )max ＝h (e)＝1e>h (2)＝ln22,所以12e >ln24,所以由①和②得,ln39≤b ＜ln24.(16分)(注：用数形结合方法做只给2分)6,(2019某某,某某一模)若函数y ＝f(x)在x ＝x 0处取得极大值或极小值,则称x 0为函数y ＝f(x)的极值点．设函数f(x)＝x 3－tx 2＋1(t ∈R )．(1) 若函数f (x )在(0,1)上无极值点,求t 的取值X 围；(2) 求证：对任意实数t ,函数f (x )的图像总存在两条切线相互平行；(3) 当t ＝3时,函数f (x )的图像存在的两条平行切线之间的距离为4,求满足此条件的平行线共有几组．规X 解答 (1)由函数f(x)＝x 3－tx 2＋1,得f ′(x)＝3x 2－2tx.由f ′(x)＝0,得x ＝0,或x ＝23t.因为函数f(x)在(0,1)上无极值点,所以23t ≤0或23t ≥1,解得t ≤0或t ≥32.(4分)(2)令f ′(x)＝3x 2－2tx ＝p,即3x 2－2tx －p ＝0,Δ＝4t 2＋12p.当p ＞－t23时,Δ＞0,此时3x 2－2tx －p ＝0存在不同的两个解x 1,x 2.(8分)设这两条切线方程为分别为y ＝(3x21－2tx 1)x －2x31＋tx21＋1和y ＝(3x22－2tx 2)x －2x32＋tx22＋1.若两切线重合,则－2x31＋tx21＋1＝－2x32＋tx22＋1,即2(x21＋x 1x 2＋x22)＝t(x 1＋x 2),即2＝t(x 1＋x 2)．而x 1＋x 2＝2t 3,化简得x 1·x 2＝t29,此时(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4t29－4t29＝0,与x 1≠x 2矛盾,所以,这两条切线不重合．综上,对任意实数t,函数f(x)的图像总存在两条切线相互平行．(10分)(3)当t ＝3时f(x)＝x 3－3x 2＋1,f ′(x)＝3x 2－6x.由(2)知x 1＋x 2＝2时,两切线平行．设A(x 1,x31－3x21＋1),B(x 2,x32－3x22＋1),不妨设x 1＞x 2,则x 1＞1.过点A 的切线方程为y ＝(3x21－6x 1)x －2x31＋3x21＋1.(11分)所以,两条平行线间的距离 d ＝|2x32－2x31－3（x22－x21）|1＋9（x21－2x 1）2＝|（x2－x1）|1＋9（x21－2x 1）2＝4,化简得(x 1－1)6＝1＋92,(13分)令(x 1－1)2＝λ(λ＞0),则λ3－1＝9(λ－1)2,即(λ－1)( λ2＋λ＋1)＝9(λ－1)2,即(λ－1)( λ2－8λ＋10)＝0.显然λ＝1为一解,λ2－8λ＋10＝0有两个异于1的正根,所以这样的λ有3解．因为x 1－1＞0,所以x 1有3解,所以满足此条件的平行切线共有3组．(16分)7,(2018某某,某某一调)已知函数g(x)＝x 3＋ax 2＋bx(a,b ∈R )有极值,且函数f (x )＝(x ＋a )e x 的极值点是g (x )的极值点,其中e 是自然对数的底数．(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值)(1) 求b 关于a 的函数关系式；(2) 当a >0时,若函数F (x )＝f (x )－g (x )的最小值为M (a ),证明：M (a )<－73.思路分析 (1) 易求得f(x)的极值点为－a －1,则g ′(－a －1)＝0且g ′(x)＝0有两个不等的实数解,解之得b 与a 的关系．(2) 求导得F ′(x)＝(x ＋a ＋1)(e x －3x ＋a ＋3),解方程F ′(x)＝0时,无法解方程e x －3x ＋a ＋3＝0,构造函数h(x)＝e x －3x ＋a ＋3,证得h(x)>0,所以－a －1为极小值点,而且得出M(a),利用导数法证明即可．规X 解答 (1) 因为f ′(x)＝e x ＋(x ＋a)e x ＝(x ＋a ＋1)e x ,令f ′(x)＝0,解得x ＝－a －1.列表如下：所以x ＝－a －1时,f(x)取得极小值．(2分)因为g ′(x)＝3x 2＋2ax ＋b,由题意可知g ′(－a －1)＝0,且Δ＝4a 2－12b>0,所以3(－a －1)2＋2a(－a －1)＋b ＝0,化简得b ＝－a 2－4a －3.(4分)由Δ＝4a 2－12b ＝4a 2＋12(a ＋1)(a ＋3)>0,得a ≠－32.所以b ＝－a 2－4a －3⎝⎛⎭⎪⎫a ≠－32.(6分)(2) 因为F(x)＝f(x)－g(x)＝(x ＋a)e x －(x 3＋ax 2＋bx),所以F ′(x)＝f ′(x)－g ′(x)＝(x ＋a ＋1)e x －[3x 2＋2ax －(a ＋1)(a ＋3)]＝(x ＋a ＋1)e x －(x ＋a ＋1)(3x －a －3)＝(x ＋a ＋1)(e x －3x ＋a ＋3)．(8分)记h(x)＝e x －3x ＋a ＋3,则h ′(x)＝e x －3,令h ′(x)＝0,解得x ＝ln 3.列表如下：所以x ＝ln 3时,h(x)取得极小值,也是最小值,此时,h(ln 3)＝e ln 3－3ln 3＋a ＋3＝6－3ln 3＋a＝3(2－ln 3)＋a＝3ln e23＋a>a>0.(10分)所以h(x)＝e x －3x ＋a ＋3≥h(ln 3)>0,令F ′(x)＝0,解得x ＝－a －1.列表如下：所以x ＝－a －1时,F(x)取得极小值,也是最小值．所以M(a)＝F(－a －1)＝(－a －1＋a)e －a －1－[(－a －1)3＋a(－a －1)2＋b(－a －1)]＝－e －a －1－(a ＋1)2(a ＋2)．(12分)令t ＝－a －1,则t<－1,记m(t)＝－e t －t 2(1－t)＝－e t ＋t 3－t 2,t<－1,则m ′(t)＝－e t ＋3t 2－2t,t<－1.因为－e －1<－e t <0,3t 2－2t>5,所以m ′(t)>0,所以m(t)单调递增．(14分)所以m(t)<－e －1－2<－13－2＝－73,即M(a)<－73.(16分)。
三次函数图像
三次函数的图像和性质1.复习(1)怎么求函数的极大值和极小值;(2)某区间内的最值怎么求?2.形如d cx bx ax x f +++=23)(为三次函数,你能知道其大致图像吗?有什么特点? 我们通过它的导函数来研究它的图像特点. 3.复习二交函数的图像如图X ∈ 时,Y>0 X ∈ 时Y<0三次多项式函数与其导函数（为二次函数）之间的对应关系：设三次多项式函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++>与其导函数2()32f x ax bx c '=++（为二次函数，设它的判别式2412b ac ∆=-），我们先只考虑a>0时的情形4、当0∆>时，它们图象的对应关系为：变化情况如下表x(-∞,x 1) x 1 (x 1, x 2)x2(x2,+∞) y '+ 0 － 0 +y↗极大值f(x 1)↘极小值f(x 2)↗5、当0∆=时，它们图象的对应关系为：x(-∞,x 1) x 0 (x2,+∞) y '+ 0 +y↗无极值↗6、当0∆<时，它们图象的对应关系为：7.当0a <时，可类似研究32()f x ax bx cx d =+++与其导函数2()32f x ax bx c '=++的关系.(画出二种图像) 8.总结:其实三次函数只有四种图像(1) a>0, 0∆< (2) 0a <, 0∆< (3) a>0, 0∆< (3) 0a <, 0∆> (4) a>0, 0∆>9.例一. （浙江）设f x '()是函数f(x)的导函数，y f x ='()的图象如左图所示，则y ＝f(x)的图象最有可能是右图的（ ）10.例二.已知32()26(f x x x m m =-+为常数）在[2,2]-上有最大值3，求此函数在[2,2]-上的最小值 11.练习.函数3()3f x x x a =--在区间[]0,3上的最大值、最小值分别为M ，N ，则M －N 的值为 。
x的三次方图像
x的三次方图像
x的三次方属于奇函数，它的图像是关于原点中心对称。
中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。
x的三次方的图像如下：
函数图像画法：
首先我们要分清是什么类型函数，比如正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、三角函数、对数函数、指数函数等等。
然后找关键点，如果是一次函数，找两个点即可，如果是二次函数，先找对称轴，顶点坐标及与坐标轴交点等等。
如果是三角函数，比如正余弦函数，就用五点法做图，如果是对数函数和指数函数，就先分清它的“底”是大于1还是小于1。
作法与图形：通过如下3个步骤（1）算出该函数图象与Y轴和X轴的交点的坐标（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图象——一条直线。
高二年级数学 《三次函数的图象与性质》教学设计
五、布置作业
1、已知函数 f (x) x3 bx2 cx d （ b,c, d 为常数），当 k (,0) (5, ) 时， f (x) k 0 只 有一个实数根；当 k (0,5) 时， f (x) k 0有 3 个相异实根，现给出下列 4 个命题：
a0
a0
0
图象 =0
0
三次函数的单调性、极值、最值
函
三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0；a,b, c, d是常数)
数
b2 3ac 0
b2 3ac 0
f (x)
f (x)
图
象
x1
x2
极 值
极大值f (x1)，极小值f (x2 )
单 调
增区间：, x1 和 x2, +
人民教育出版社高中数学选修1-1第三章导数及其应用
三次函数的图象和性质
高二 文数 专题课
一、问题情景、引入课题
问题：请你画出下列函数的大致图像
1、f (x) x3 3x 2、f (x) 2x3 5 x2 x 1
2 3、f (x) 2x3 5 x2 x 3
2 4、f (x) x3 3x2 3x 1
二、自主探索，总结规律
1.类比二次函数，三次函数一般式是怎样？
形如：y ax3 bx2 cx d (a 0)
2.我们如何研究三次函数的图象和性质？
f (x) 3ax2 2bx c 4b2 12ac 4(b2 3ac)
二、自主探索，总结规律
函数
二次函数 y ax2 bx c(a 0；a,b,c是常数)
【变 1】已知函数 f x x3 3x ⑴求函数 f x 的单调区间及极值；⑵求 f x 在0,3 上的最值.
高考数学专题复习：三次函数图像与性质及其应用
三次函数的图像与性质及应用一. 基本命题原理对于三次函数而言，其导函数为一个二次函数，那么根据其导函数的基本性质，可将三次函数的图象和性质梳理如下： 1.根的个数（0>a ）.对于三次函数，其导函数为二次函数:，二次函数的判别式化简为：△=， （1）若，则恰有一个实根；（2）若,且，则0)(=x f 恰有一个实根； （3）若,且，则0)(=x f 有两个不相等的实根； （4）若,且，则0)(=x f 有三个不相等的实根.注：由图像可知：①0)(=x f 含有一个实根的充要条件是曲线)(x f y =与x 轴只相交一次， 即)(x f 在R 上为单调函数（或两极值同号），所以032≤−ac b （或032>−ac b ，且0)()(21>⋅x f x f ）.②0)(=x f 有两个相异实根的充要条件是曲线)(x f y =与x 轴有两个公共点且其中之一 为切点，所以032>−ac b ，且0)()(21=⋅x f x f .③0)(=x f 有三个不相等的实根的充要条件是曲线)(x f y =与x 轴有三个公共点，即)(x f 有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.故032>−ac b 且0)()(21<⋅x f x f .)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f )0(23)(2'≠++=a c bx ax x f ()0f x =d cx bx ax x f +++=23)()0(23)('2≠++=a c bx ax x f )3(412422ac b ac b −=−032≤−ac b 0)(=x f 032>−ac b 0)()(21>⋅x f x f 032>−ac b 0)()(21=⋅x f x f 032>−ac b 0)()(21<⋅x f xf2.极值情况：三次函数（0>a ）,导函数为二次函数，二次函数的判别式化简为：△=， （1） 若，则)(x f 在),(+∞−∞上为增函数；（2）若，则)(x f 在和上为增函数，)(x f 在),(21x x 上为减函数，其中. 证明：c bx ax x f ++=23)('2, △=)3(412422ac b ac b −=−，（1） 当0≤∆ 即032≤−ac b 时，0)('≥x f 在 R 上恒成立， 即)(x f 在),(+∞−∞为 增函数.（2） 当0>∆ 即032>−ac b 时，解方程0)('=x f ，得由0)('>x f 得1x x <或2x x >，)(x f 在),(1x −∞和),(2+∞x 上为增函数.由0)('<x f 得21x x x <<，)(x f 在),(21x x 上为减函数.总结以上得到结论:三次函数d cx bx ax x f +++=23)(（0>a ） （1）若032≤−ac b ，则)(x f 在R 上无极值；（2）若032>−ac b ，则)(x f 在R 上有两个极值；且)(x f 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值.d cx bx ax x f +++=23)()0(23)(2'>++=a c bx ax x f )3(412422ac b ac b −=−032≤−ac b 032>−ac b ),(1x −∞),(2+∞x aacb b x a ac b b x 33,332221−+−=−−−=aacb b x a ac b b x 33,332221−+−=−−−=3.对称中心三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的对称中心为点))3(,3(abf a b f −−，该点是三 次函数的拐点，此点的横坐标也是二阶导数的零点.4.三次方程根与系数得关系（1）已知实系数多项式32()x ax bx cx d ϕ=+++有三个根,设为123,,.x x x123122331123,,.b c dx x x x x x x x x x x x a a a++=−++==−（2）由三次方程根与系数的关系：32()()()()().x a x b x c x a b c x ab bc ca x abc +++=+++++++5.对称中心处的切线拐点是函数凸凹性发生转换的点，即由凸转凹，或者由凹转凸，即0)(0''=x f ，当0x x <时，0)(''<x f 或0)(''>x f ，当0x x >时，0)(''>x f 或0)(''<x f .如图，点A 为函数)(x f 的拐点，做点A 处的切线，可以看到，具有单个拐点的函数)(x f y =可以看作是1个凸函数和1个凹函数通过拐点进行缝合，它们在缝合点处具有相同的切线l ，这条切线l 将平面分别两个半平面，一半包含一个凸函数，另一半包含一个凹函数二．典例应用★应用1.函数的性质考察.例 2.已知曲线3()3f x x x λ=−+在点(,())A m f m 处的切线与曲线的另外一个交点为,B P 为线段AB 的中点,O 为坐标原点.（1）求()f x 的极小值并讨论()f x 的奇偶性.（2）当函数()f x 为奇函数时,直线OP 的斜率记为k ,若34k −,求实数m 的取值范围. 解析：（1）2()333(1)(1)f x x x x '=−=+−，当11x −<<时,()0f x '<；当1x >时，()0f x '>.当0λ=时3()3f x x x =−,显然3()3()f x x x f x −=−+=−，所以()f x 为奇函数.当0λ≠时(1)2,(1)2f f λλ−=+=−+，显然(1)(1)f f −≠. 且(1)(1)20f f λ−+=≠，所以()f x 为非奇非偶函数.（2）2()33f x x '=−,所以曲线在点(,())A m f m 处的切线方程为()()32333()y m m m x m λ−−+=−−，其与原曲线方程33y x x λ=−+，联立化简得:2()(2)0x m x m −+=.从而()32,86(0)B m m m m λ−−++≠.所以3732,22m m m P λ⎛⎫−++− ⎪⎝⎭,3732m m k m λ−−=.由于(0,2),18m k ∀∈； 即当(0,2)m ∈时，都有32721m m λ−.令3()721h m m m =−,则2()212121(1)(1)h m m m m '=−=+−，易知当01m <<时,()0h m '<；当12m <<时,()0h m '>.即()h m 在(0,1)上递减，在(1,2)上递增，所以当(0,2)m ∈时,min ()(1)14h m h ==−，所以2147λλ−⇔−，从而实数λ的取值范国为(,7]−∞−. 注：可以看到，切点的横坐标恰好便是方程①的二重根.例3.（切割线定理）如果我们将上述的内容再结合三次函数韦达定理，就可以得到更多有趣的结论.如图，过切点A ))(,(A A x f x 的切线与三次函数)(x f y =的图象交于B 点，同时，过))(,(00x f x 的割线AD 与三次函数)(x f y =的图象交于C A D ,,三点. 我们有以下结论：三次函数切割线定理. （1）abx x B A −=+2； （2）D C B A x x x x +=+； （3）A F E x x x 2=+.证明：显然，方程①整理可得：0)())((000'23=+−−+++x f x x x f d cx bx ax .结合上述重根个数定理以及韦达定理可得：abx x B A −=+2，结论（1）证毕. （2）设直线AD 的方程为m kx y +=，代入)(x f y =的表达式结合韦达定理可得：abx x x D C A −=++,再联立a b x x B A −=+2，可证得：D C B A x x x x +=+.（3）同理，如图a bx x x E E B −=++，再联立a b x x B A −=+2，可得：A F E x x x 2=+.练习1.（2016年天津卷）设函数R b a b ax x x f ∈−−−=,,)1()(3. （1）求)(x f 的单调区间；（2）若)(x f 存在极值点0x x =，且)()(10x f x f =，其中10x x ≠，求证：3201=+x x . 解析：（2）过极值点0x x =做函数)(x f 图象的切线)(0x f y =，其与)(x f y =交点横坐标为1x x =. 将函数b ax x x f −−−=3)1()(展开可得：)1()3(3)(23+−−+−=b x a x x x f 由上述切割线定理可知：3201=+x x ，证毕.练习2. 下列关于三次函数32()(0)()f x ax bx cx d a x R =+++≠∈叙述正确的是（ ） ①函数()f x 的图象一定是中心对称图形； ②函数()f x 可能只有一个极值点； ③当03bx a≠−时，()f x 在0x x =处的切线与函数()y f x =的图象有且仅有两个交点； ④当03bx a≠−时，则过点()()00,x f x 的切线可能有一条或者三条． A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④由上述结论易得：A.★应用2.三次函数的切线个数例4．已知函数()33f x x x =−．（1）求()f x 在区间[]()0,0m m >上的最大值和最小值； （2）在曲线2yx 上是否存在点P ，使得过点P 可作三条直线与曲线()y f x =相切？若存在，求出其横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 解析：（2）假设存在符合条件的点()2,P a a，切点设为()300,3x xx −.所以，根据导数几何意义可得：()2300200333a x x x a x −−=−−即322002330x ax a a −++=①故问题转化为关于0x 的方程①存在三个不同实根．令()322233g x x ax a a =−++，则()()2666g x x ax x x a '=−=−；当0a =时，()260g x x ='≥，()g x 单调递增，不合题意；当0a >时，易知()g x 在(),0−∞单调递增，在()0,a 单调递减，在(),a +∞单调递增，从而()()000g g a ⎧>⎪⎨<⎪⎩，即2323030a a a a a ⎧+>⎨−++<⎩解得：a >0a <时，易知()g x 在(),a −∞单调递增，在(),0a 单调递减，在()0,+∞单调递增从而()()000g a g ⎧>⎪⎨<⎪⎩，即3223030a a a a a ⎧−++>⎨+<⎩解得：3a −<<，综上，存在符合条件的点()2,P a a，其横坐标的取值范围为⎛⎫−⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 注.三次函数的切线条数是三次函数中典型应用之一，其实质就是在讨论三次方程根的个数，是一类非常典型的函数与方程综合问题，颇受命题人青睐.★应用3.三次方程的根与韦达定理同样是2020年全国三卷23题，不等式选做题，依然以三次方程根与系数的关系命制而 成，下面予以分析，希望各位读者在高三备考时重视对三次方程根与系数关系的认识程度， 有备无患！例5．设直线y t =与曲线()23C y x x =−：的三个交点分别为()()()A a t B b t C c t ，，，，，，且a b c <<．现给出如下结论：①abc 的取值范围是()04，；②222a b c ++为定值；③6a b c ++=. 其中正确结论的为解析：设()()232369y f x x x x x x ==−=−+，则()23129f x x x '=+-，令()0f x '=，解得：1x =或3x =；当1x <或3x >时，0fx，当13x <<时，()0f x '<；∴()f x 在)1,(−∞上是增函数，在（1，3）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数；当1x =时，()f x 取得极大值()14f =，当3x =时，()f x 取得极小值()30f =；作出函数()f x 的图象如图所示：∵直线y t =与曲线()23C y x x =−：有三个交点，由图象知04t ＜＜. 令()()232369g x x x t x x x t =−=+---，则a b c ，，是()0g x =的三个实根．∴()()()3269x x x t x a x b x c +=-----，即()()323269x x x t x a b c x ab ac bc x abc −+−=−+++++−，∴6a b c ++=，9ab bc ac ++=，abc t =，①③正确；∴()()2222218a b c a b c ab bc ac ++=++++=-，∴②正确；综上，正确的命题序号是①②③．故答案为：①②③．★应用4.三次方程根的分布下面这道题目是2020年三卷的导数压轴题，其实质考察了三次函数的零点分布.但其却 具有非常丰厚的数学背景，即三次方程根的三角形式，也是此题的命题原理.为此，此题 先用函数思想求解，再给出其命题背景.例6.（2020全国3卷）设函数c bx x x f ++=3)(，曲线)(x f y =在点))21(,21(f 处的切线与y 轴垂直. （1）求b ；（2）若)(x f 有一个绝对值不大于1的零点，证明:)(x f 所有的零点的绝对值都不大于1.解析：（1）因为'2()3f x x b =+，由题意，'1()02f =，即21302b ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭,则34b =−.（2）由（1）可得33()4f x x x c =−+，故'2311()33()()422f x x x x =−=+−，令'()0f x >，得12x >或12x <−；令'()0f x <，得1122x −<<，所以()f x 在11(,)22−上单调递减，在1(,)2−∞−，1(,)2+∞上单调递增，且111111(1),(),(),(1)424244f c f c f c f c −=−−=+=−=+，若()f x 所有零点中存在一个绝对值大于1的零点0x ，则(1)0f −>或(1)0f <，即14c >或14c <−.当14c >时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c −=−>−=+>=−>=+>，又32(4)6434(116)0f c c c c c c −=−++=−<，由零点存在性定理知()f x 在(4,1)c −−上存在唯一一个零点0x ，即()f x 在(,1)−∞−上存在唯一一个零点，在(1,)−+∞上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；当14c <−时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c −=−<−=+<=−<=+<，又32(4)6434(116)0f c c c c c c −=++=−>，由零点存在性定理知()f x 在(1,4)c −上存在唯一一个零点0'x ，即()f x 在(1,)+∞上存在唯一一个零点，在(,1)−∞上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；综上，()f x 所有零点的绝对值都不大于1.应用5.三次函数的拐点切线 例7.已知函数()321132f x x ax bx =++在区间[)(]1,1,1,3−内各有一个极值点. （1）求24a b −的最大值；（2）当248a b −=时，设函数()y f x =在点()()1,1A f 处的切线为l ，若在点A 处穿过()y f x =的图象（即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式. 解析：（1）因为函数()321132f x x ax bx =++在区间[)(]1,1,1,3−内分别有一个极值点， 所以b ax x x f ++='2)(在区间[)(]1,1,1,3−内分别有一个实根，设两实根为1x ，2x （1x <2x ），则b a x x 4212−=−，且4012≤−<x x ，于是4402≤−<b a ，16402≤−<b a ，且当11−=x ，32=x ，即2−=a ，3−=b 时等号成立，故24a b −的最大值是16（2）由b a f ++='1)1(知)(x f 在点()()1,1A f 处的切线l 的方程是)1)(1()1(−'=−x f f y ，即a x b a y 2132)1(−−++=，因为切线l 在点A 处穿过()y f x =的图象所以]2132)1[()()(a x b a x f x g −−++−=在1=x 两边附近的函数值异号，则1=x 不是)(x g 的极值点，而a x b a bx ax x x g 2132)1(2131)(23++++−++=，且)1)(1(1)1()(22a x x a ax xb a b ax x x g ++−=−−+=++−++='，若a −−≠11，则1=x 和a x −−=1都是)(x g 的极值点，所以a −−=11，即2−=a ，又由248a b −=得1−=b ，故x x x x f −−=2331)(.五．习题演练习题1．已知函数()()23f x x x =−，若()()()f a f b f c ==，其中a b c <<，则（ ）A ．12a <<B ．6a b c ++=C ．2a b +>D ．abc 的取值范围是()0,4 解析：因为()()23f x x x =−，所以()231293(3)(1)f x x x x x =−=−−'+，令()0f x '=，解得：1x =或3x =，当0f x 时，3x >或1x <，所以()f x 单调递增区间为(),1−∞和()3,+∞；当()0f x '<时，13x <<，所以()f x 单调递减区间为()1,3；且(3)0f =，(1)(4)4f f ==，如图：设()()()f a f b f c t ===，则04t <<，0134a b c <<<<<<，故选项A 错误； 又()()()()f x t x a x b x b −=−−−，所以()23()()()x x t x a x b x c −−=−−−，即323269()()x x x t x a b c x ab ac bc x abc −+−=−+++++−，对照系数得6a b c ++=，故选项B 正确；(0,4)abc t =∈，故选项D 正确；因为34c <<，所以36()4a b <−+<，解得23a b <+<，故选项C 正确，综上，正确的选项为BCD.故选：BCD习题2.已知函数()313f x x tx t =++． （1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有三个不同的零点1x 、2x 、3x ,求t 的取值范围,并证明：123x x x ++<解析：（1）2()f x x t =+'①当0t 时,()0f x ',则()f x 在R 上单调递增,无递减区间；②当0t <时, ()f x 在(上单调递减,在(,)∞∞−+上单调递增（2）由（1）知函数f (x )有三个零点,则0t <∵()f x 在(上单调递减,在(,)∞∞−+上单调递增∴()f x 的极大值为2(3f t =−且极大值大于0,极小值为23f t =+∵()f x 有三个不同的零点123,,x x x ,∴203f t =+< 解得94t <−,故t 的取值范围为9,4⎛⎫−∞− ⎪⎝⎭． 又∵(0)0f t =<,当x →+∞时,有()f x →+∞,当x →−∞时,有()f x →−∞．∴设123x x x <<,由零点存在性定理知1230x x x <<<． ∴12x x +<又∵31233f t t t =++=−(0f => 3x <<因此123x x x ++习题3已知函数()3134f x x ax =−+,()lng x x =−． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）用{}min ,m n 表示,m n 中较小者,记函数()()(){}min ,h x f x g x =,（0x >）．若函数()h x 在0,上恰有3个零点,求实数a 的取值范围．解析：（1）()3134f x x ax =−+,x ∈R ,()233f x x a '=−当0a ≤时,0f x ,()f x 在R 上为单调递增，当0a >时,()(3f x x x '=,令0f x ,得x <x ()f x 单调递增令0f x ,得x <()f x 单调递减，综上：当0a ≤时,()f x 在(),−∞+∞为增函数当0a >时,()f x 在(,−∞和)+∞为增函数,在(为减函数 （2）当(1,)x ∈+∞时,()ln 0g x x =−<,从而()min{(),()}()0h x f x g x g x =≤<,∴()h x 在（1,+∞）无零点.当x =1时,若512a ≤,则5(1)304f a =−≥,(1)min{(1),(1)}(1)0h f g g ===,故x =1是()h x 的零点；若512a >,则5(1)304f a =−<,(1)min{(1),(1)}(1)0h f g f ==<,故x =1不是()h x 的零点.当(0,1)x ∈时,()ln 0g x x =−>,所以只需考虑()f x 在)1,0(的零点个数.（ⅰ）若0a ≤或1a ≥,则()2()3f x x a '=−在)1,0(无零点,故()f x 在)1,0(单调,而1(0)4f =,5(1)34f a =−,所以当1a ≥时,()f x 在)1,0(有一个零点；当0a ≤时,()f x 在)1,0(无零点.（ⅱ）若01a <<,则()f x 在）单调递减,在单调递增,故当x ,()f x 取的最小值,最小值为124f =−.①若f ＞0,即0＜a ＜14,()f x 在)1,0(无零点.②若f =0,即14a =,则()f x 在)1,0(有唯一零点；③若f ＜0,即114a <<,由于1(0)4f =,5(1)34f a =−,所以当15412a <<时,()f x 在)1,0(有两个零点；当5112a <<时,()f x 在)1,0(有一个零点. 综上,当14a <或512a >时,()h x 由一个零点；当14a =或512a =时,()h x 有两个零点；当15412a <<时,()h x 有三个零点. 所以a 的取值范围是15,412⎛⎫ ⎪⎝⎭习题4．已知函数()()()32111032f x x a x ax a =+−−>． （1）求函数f （x ）的极值；（2）当a ＞1时，记f （x ）在区间[－1,2]的最大值为M ，最小值为m ．已知12,33M m ⎛⎫ ⎪⎝+⎭∈．设f （x ）的三个零点为x 1，x 2，x 3，求()122331f x x x x x x ++的取值范围． 解析：（1）()()()()211f x x a x a x x a '=+−−=−+，令0f x ，解得x a <−或1x >，令()0f x '<，解得1a x −<<，所以()f x 在(),a −∞−，()1,+∞上单调递增，在(),1a −上单调递减，当x a =−时取得极大值，()3322321111132262f f a a a a a a a =−=−+−+=+极大值， 当1x =时取得极小值，()11111132262f f a a a ==+−−=−−极小值，所以()f x 的极大值为321162a a +，极小值为1162a −−. （2）因为1a >，所以()f x 在()1,1−上单调递减，()1,2上单调递增，()11162m f a ==−−， 因为()3521263f a −=−>，()222233f a =−<，所以()35126M f a =−=−， 111352362263a a <−−+−<，解得4533a <<，设123x x x <<，令()()2111032f x x x a x a ⎡⎤=+−−=⎢⎥⎣⎦，所以20x =，313x x a =−，()()3212233193322f x x x x x x f a a a ++=−=−−， 329322y a a =−−在45,33⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，当32934025,223a a ⎛⎫−−∈−− ⎪⎝⎭，所以()122331f x x x x x x ++的取值范围为4025,3⎛⎫−− ⎪⎝⎭.。
三次函数
第28关：三次函数专题—全解全析一、定义：定义1、形如的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）定义2、三次函数的导数，把叫做三次函数导函数的判别式二、三次函数图象与性质的探究：1、单调性一般地，当时，三次函数在上是单调函数；当时，三次函数在上有三个单调区间（根据两种不同情况进行分类讨论）2、对称中心三次函数是关于点对称，且对称中心为点，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。
证明：设函数的对称中心为（m，n）。
按向量将函数的图象平移，则所得函数是奇函数，所以化简得：上式对恒成立，故，得，。
所以，函数的对称中心是（）。
可见，y＝f(x)图象的对称中心在导函数y＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。
3、三次方程根的问题（1）当△=时，由于不等式恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。
（2）当△=时，由于方程有两个不同的实根，不妨设，可知，为函数的极大值点，为极小值点，且函数在和上单调递增，在上单调递减。
此时：①若，即函数极大值点和极小值点在轴同侧，图象均与轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。
②若，即函数极大值点与极小值点在轴异侧，图象与轴必有三个交点，所以原方程有三个不等实根。
③若，即与中有且只有一个值为0，所以，原方程有三个实根，其中两个相等。
4、极值点问题若函数f(x)在点x0的附近恒有f(x0)≥f(x) (或f(x0)≤f(x))，则称函数f(x)在点x0处取得极大值（或极小值），称点x0为极大值点（或极小值点）。
当时，三次函数在上的极值点要么有两个。
当时，三次函数在上不存在极值点。
5、最值问题函数若，且，则：；三、三次函数与导数专题：1. 三次函数与导数例题例1. 函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在区间（1，2）是增函数，求的取值范围.解：（Ⅰ），的判别式△=36（1-a）.（ⅰ）当a≥1时，△≤0，则恒成立，且当且仅当，故此时在R上是增函数.来自QQ群3（ⅱ）当且，时，有两个根：，若，则, 当或时，，故在上是增函数；当时，，故在上是减函数；若，则当或时，，故在和上是减函数；当时，，故在上是增函数；（Ⅱ）当且时, ,所以当时，在区间（1，2）是增函数.当时，在区间（1,2）是增函数，当且仅当且，解得.综上，的取值范围是.例2. 设函数，其中。
三次函数的性质
三次函数的性质2015年11月13日 意琦行 数海拾贝三次函数（）在高中阶段学习导数后频繁出现，同时也是其他复杂函数的重要组成部分，因此有必要对其性质有所了解，才可以做到知己知彼，百战不殆．性质一 单调性以为例，如图1，记为三次函数图象的判别式，则图1 用判别式判断函数图象当时，为上的单调递增函数；当时，会在中间一段单调递减，形成三个单调区间以及两个极值．性质一的证明 的导函数为其判别式为，进而易得结论．性质二 对称性f (x )=a +b +cx +d x 3x 2a ≠0a >0Δ=−3ac b 2Δ⩽0f (x )R Δ>0f (x )f (x )(x )=3a +2bx +c ,f ′x 24(−3ac )b2如图2，的图象关于点对称（特别地，极值点以及极值点对应的图象上的点也关于对称）．图2 图象的对称性反之，若三次函数的对称中心为，则其解析式可以设为其中．性质二的证明 由于即于是性质二得证．例1 设直线与曲线有三个不同的交点，且，求直线的方程．解 由可知为三次函数的对称中心，由性质二可得，进而不难求得直线的方程．例2 设函数，．（1）求导数，并证明有两个不同的极值点，；f (x )P (−,f(−))b 3a b 3aP (m ,n )f (x )=α⋅+β⋅(x −m )+n ,(x −m )3α≠0f (x )=a +(c −)(x +)−++d ,(x +)b 3a 3b 23a b 3a bc 3a 2b 327a2f (x )=a +(c −)(x +)+f (−),(x +)b 3a 3b 23a b 3a b 3al y =+x +1x 3A ,B ,C |AB |=|BC |=5√l |AB |=|BC |B B (0,1)l y =2x +1f (x )=x (x −1)(x −a )a >1(x )f ′f (x )x 1x 2（2）若不等式成立，求的取值范围．（1）解 的导函数而于是有两个变号零点，从而有两个不同的极值点．（2）解 根据性质二，三次函数的对称中心是两个极值点对应的函数图象上的点的中点．于是即结合，可得的取值范围是．注 本题为2004年高考重庆卷理科数学第题．性质三 切割线性质如图3，设是上任意一点（非对称中心），过作函数图象的一条割线与一条切线（点不为切点），、、均在的图象上，则点的横坐标平分、点的横坐标．f ()+f ()⩽0x 1x 2a f (x )(x )f ′=(x −1)(x −a )+x (x −a )+x (x −1)=3−2(a +1)x +a ,x 2(0)f ′(1)f ′(a )f ′=a >0,=1−a <0,=a (a −1)>0,(x )f ′f (x )(,f ())a +13a +13f ()+f ()=2f ()⩽0,x 1x 2a +132⋅⋅⋅⩽0,a +13a −23−2a +13a >1a [2,+∞)20P f (x )P f (x )AB PT P A B T f (x )T A B图3 切割线性质推论1 设是上任意一点（非对称中心），过作函数图象的两条切线、，切点分别为、，如图．则点的横坐标平分、点的横坐标，如图4．图4 切割线性质推论一推论2 设的极大值为，方程的两根为、（），则区间被和极小值点三等分．图5 切割线性质推论二性质三的证明 设（），直线，直线，则分别将直线与直线的方程与三次函数的解析式联立，得P f (x )P f (x )PM PN M P M P N f (x )M f (x )=M x 1x 2<x 1x 2[,]x 1x 2−b 3af (x )=a +b +cx +d x 3x 2a ≠0PT :y =x +k 0m 0PAB :y =kx +m PT PAB ++(−)+−=0,32于是根据三次方程的韦达定理可得即于是命题得证．推论1和推论2的证明留给读者．例3 如图6，记三次函数（）的图象为，若对于任意非零实数，曲线与其在点处的切线交于另一点，曲线与其在点处的切线交于另一点，线段、与曲线所围成的封闭图形的面积分别记为、．求证：是定值．图6解 由性质二，任意三次函数都可以通过平移变化变成然后可以作伸缩变换变成a +b +(c −)x +d −=0,x 3x 2k 0m 0a +b +(c −k )x +d −m =0,x 3x 22+=++,x T x P x A x B x P =,x T +x A x B 2f (x )=a +b +cx +d x 3x 2a ≠0C x 1C (,f ())P 1x 1x 1(,f ())P 2x 2x 2C P 2(,f ())P 3x 3x 3P 1P 2P 2P 3C S 1S 2S 1S 2f (x )g (x )=p +qx ,x 3而无论平移还是伸缩，题中的均保持不变，因此只需要证明命题对三次函数成立即可．根据题意，联立函数与函数在处的切线方程得于是即又由性质三的推论1，可得即于是，线段与曲线所围成的封闭图形的面积类似的，线段与曲线所围成图形的面积h (x )=+rx ,x 3S 1S 2h (x )=+rx x 3h (x )=+rx x 3h (x )P 1(x −⋅(x −)=0,x 1)2x 22+=0,x 1x 2=−2.x 2x 12=+,x 1x 2x 3=4.x 3x 1P 1P 2C S 1=(x −⋅(x −)d x ∣∣∣∫x 2x 1x 1)2x 2∣∣∣=(−3x +2)d x ∣∣∣∫−2x 1x 1x 3x 21x 31∣∣∣=∣∣∣(−+2x )14x 432x 21x 2x 31∣∣∣−2x 1x 1∣∣∣=,274x 41P 2P 3C于是所求的面积之比为注 此题即2010年高考福建卷理科数学第20题第（2）小问（第（1）小问要求证明该结论对成立）．性质四 切线条数如图7，过的对称中心作切线，则坐标平面被切线和函数的图象分割为四个区域，有以下结论：图7 切线条数① 过区域 I、III 内的点作的切线，有且仅有三条；② 过区域 II、IV 内的点以及对称中心作的切线，有且仅有一条；③ 过切线或函数图象（除去对称中心）上的点作的切线，有且仅有两条．性质四的证明 由性质二，不妨设，坐标平面内一点．三次函数图象上处的切线方程为=,S 2274x 42==.S 1S 2()x 1x 24116f (x )=−x x 3f (x )l l f (x )y =f (x )y =f (x )l f (x )y =f (x )f (x )=+mx x 3P (a ,b )x =t即切线过点，即而三次函数对称中心处的切线方程为于是考虑直线与函数的图象公共点个数．函数的零点为和，且为它的一个极值点，由性质二的推论2知，的另外一个极值点对应的函数图象上的点的坐标为，以为例，的草图如下：容易得到结论：当时，时为个公共点，时为个公共点，时为个公共点；当时，无论取何值，均为个公共点；当时，时为个公共点，y =(3+m )(x −t )++mt ,t 2t 3y =(3+m )x −2,t 2t 3P (a,b )b =−2+3a +ma .t 3t 2y =mx ,y =b −ma h (t )=−2+3a t 3t 2h (t )03a 20h (t )(a ,)a 3a >0h (t )a <0b <+ma ∨b >ma a 31b =ma ∨b =+ma a 32+ma <b <ma a 33a =0b 1a >0b >+ma ∨b <ma a 31时为个公共点，时为个公共点．综上，性质四得证．在高考中，对结论 ① 的考察最为常见，例如2007年高考全国II卷理科数学第22题（压轴题）就是证明性质四的结论 ①：已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．例4 设函数，其中．曲线在点处的切线方程为．（1）确定的值；（2）设曲线在点及处的切线都过点．证明：当时，；（3）若过点可作曲线的三条不同切线，求的取值范围．解 （1）的导函数为于是该函数在处的切线方程为因此b =ma ∨b =+ma a 32ma <b <+ma a 33f (x )=−x x 3y =f (x )M (t ,f (t ))a >0(a ,b )y=f (x )−a <b <f (a )f (x )=−+bx +c 13x 3a 2x 2a >0y =f (x )P (0,f (0))y =1b ,c y =f (x )(,f ())x 1x 1(,f ())x 2x 2(0,2)≠x 1x 2()≠()f ′x 1f ′x 2(0,2)y =f (x )a f (x )(x )=−ax +b ,f ′x 2x =0y =bx +c ,b =0,c =1.（2）函数在处的切线方程为当切线过点时可得于是是该方程的两个不等实根．考虑而两式相减并约去，得而于是f(x )x =t y =(−at )(x −t )+−+1,t 213t 3a 2t 2(0,2)−+1=0,23t 3a 2t 2,x 1x 2()−()f ′x 1f ′x 2=(−a)−(−a )x 21x1x 22x 2=(−)⋅(+−a ),x 1x 2x 1x 2⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪−+1=0,23x 31a2x 21−+1=0,23x 32a2x 22−x 1x 2++=,x 21x 1x 2x 2234a 2++x 21x 1x 2x 22=(+−x 1x 2)2x 1x 2>(+−(+x 1x 2)214x 1x 2)2=(+,34x 1x2)2+≠a ,x 1x 2进而可得（3）函数的对称中心为，于是在对称中心处的切线方程为根据性质四的结论 ①，可得解得即的取值范围是．注 此题为2010年高考湖北卷文科数学第21题（压轴题）． 练习题练习1、已知函数，且．（1）试用含的代数式表示；（2）求的单调区间；（3）令，设函数在（）处取得极值，记点，，证明：线段与曲线存在异于、的公共点．()≠().f ′x 1f ′x 2f (x )(,−+1)a 2a 312y =−(x −)−+1,a 24a 2a 3121<2<−+1,a 324a >2,3√3a (2,+∞)3√3f (x )=+a +bx 13x 3x 2(−1)=0f ′a b f (x )a =−1f (x ),x 1x 2<x 1x 2M (,f ())x 1x 1N (,f ())x 2x 2MN f (x )M N练习2、已知在上是增函数，在上是减函数，且方程有三个根，它们分别为从小到大依次为、、．求的取值范围．练习3、如图8，记原点为点，由点向三次函数（）的图象（记为曲线）引切线，切于不同于点的点，再由点引此曲线的切线，切于不同于点的点．如此继续作下去，得到点列．试回答下列问题：图8（1）求数列的递推公式与初始值；（2）求，并指出点列的极限位置在何处？练习4、已知，过点作图象的切线，如果可以作出三条切线，当时，求点所在的区域面积．练习5、已知函数．（1）求在区间上的最大值；（2）若过点存在条直线与曲线相切，求的取值范围；（3）问过点，，分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论）f (x )=+b +cx +d x 3x 2(−∞,0)(0,2)f (x )=0α2β|α−β|(,)P 1x 1y 1P 1y =−3a +bx x 3x 2a ≠0C P 1(,)P 2x 2y 2P 2C P 2(,)P 3x 3y 3{(,)}P n x n y n {}x n lim n →+∞x n {}P n f (x )=−x x 3(,)x 0y 0f (x )∈(0,1)x 0(,)x 0y 0f (x )=2−3x x 3f (x )[−2,1]P (1,t )3y =f (x )t A (−1,2)B (2,10)C (0,2)y =f (x )1练习6、已知函数，且．（1）试用含的代数式表示，并求的单调区间；（2）令．设函数在（）处取值极值，记点，，，．请仔细观察曲线在点处的切线与线段的位置变化趋势，并解答以下问题：① 若对任意的，线段与曲线有异于、的公共点，试确定的最小值；② 若存在点，，使得线段与曲线有异于、的公共点，请直接写出的取值范围（不必写出求解过程）．练习题的参考答案练习1、（1）的导函数为于是所求的代数表达式为（2）在（1）的基础上，有于是当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间是；f (x )=+a +bx 13x 3x 2(−1)=0f ′a b f (x )a =−1f (x ),x 1x 2<x 1x 2M (,f ())x 1x 1N (,f ())x 2x 2P (m ,f (m ))<m ⩽x 1x 2f (x )P MP m ∈(t ,]x 2MP f (x )P Q t Q (n ,f (n ))⩽n <m x 1PQ f (x )P Q m f (x )(x )=+2ax +b ,f ′x 2b =2a −1.(x )=(x +1)⋅(x +2a −1),f ′a <1f (x )(−∞,−1)(1−2a ,+∞)(−1,1−2a )a =1f (x )R当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是．（3）此时而于是，．根据性质二，该公共点为三次函数图象的对称中心．注 本题为2009年高考福建卷文科数学第21题（压轴题）．练习2、根据题意，为的导函数的零点，于是．又，于是即从而因此a >1f (x )(−∞,1−2a )(−1,+∞)(1−2a ,−1)f (x )=−−3x ,13x 3x 2(x )=−2x −3,f ′x 2M (−1,)53N (3,−9)f (x )(1,−)113x =0f (x )(x )=3+2bx +cf ′x 2c =0f (2)=08+4b +d =0,d =−4b −8,f (x )=+b −(8+4b )x 3x 2=(x −2)⋅[+(b +2)x +2b +4],x 2222另一方面，由在上是减函数得，即于是可得的取值范围是从而的取值范围是．练习3、（1） 根据已知，联立出发的切线方程与曲线的方程，得又，切线方程只能改变左边三次式的一次项和常数项，于是可得进而由性质三的推论1可得于是数列的递推公式与初始值为（2）由数列的递推公式不难得到通项于是=−4α⋅β=(2−b −16.(α−β)2(α+β)2)2f (x )(0,2)(2)⩽0f ′12+4b ⩽0,b b <−3.|α−β|[3,+∞)P 1C (x −)(x −=0,x 1x 2)2=0x 1=a .x 232∀n ⩾3∧n ∈,2=+.N ∗x n x n −1x n −2{}x n =,n ⩾3∧n ∈,=0,=a .x n +x n −1x n −22N ∗x 1x 232∀n ∈,=a ⋅[1−],N ∗x n (−)12n −1因此点列的极限位置为，也就是三次函数的对称中心．练习4、函数在对称中心处的切线方程为于是根据性质四的结论 ①，我们可得所求区域面积为练习5、（1）的导函数于是可得在区间上的最大值为（2）函数在对称中心处的切线方程为根据性质四的结论 ①，可得即=a .lim n →+∞x n {}P n (a ,−2+ab )a 3f (x )(0,0)y =−x ,[−x −(−x )]d x =d x =.∫10x 3∫10x 314f (x )(x )=6−3,f ′x 2f (x )[−2,1]max {f (−),f (1)}=.2√22√f (x )(0,0)y =−3x ,−3<t <f (1),于是的取值范围是．（3）根据性质四，可得过存在条直线与曲线相切；过存在条直线与曲线相切；过存在条直线与曲线相切．注 本题为2014年高考北京卷文科数学第20题（压轴题）．练习6、（1）；当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．（2）① 的最小值为，证明从略；② 的取值范围为．注 本题为2009年高考福建卷理科数学第21题（压轴题）．−3<t <−1,t (−3,−1)A (−1,2)3y =f (x )B (2,10)2y =f (x )C (0,2)1y =f (x )b =2a −1a >1f (x )(−∞,1−2a )(−1,+∞)(1−2a ,−1)a =1f (x )R a <1f (x )(−∞,−1)(1−2a ,+∞)(−1,1−2a )t 2m (1,3]。
三次函数 性质大全
三次函数)0(≠a d cx bx ax x f +++=23)(性质大全本文从三个专题（专题一 三次函数的图象及单调性，专题二 三次函数的对称性，专题三 三次函数切线问题）来介绍三次数的性质，对同学们学习三次函数大有帮助，可以解绝三次函数涉及到的高考题，是能够充分准备，应对高考。
专题一 三次函数的图象及单调性c bx ax x f ++='23)(2,当01242≤-=∆ac b 时，函数是单调增函数，或单调减函数，当时042>-=∆ac b ，设0)(='x f 的两根分别为,,21x x 则原函数0>a 时函数)(x f 图象 （先上升） 0<a 时函数)(x f 图象（先下降）1.0>a 时)(x f 在),(1x x -∞∈或),(2+∞∈x x 单调递增；)(x f 在),(21x x x ∈单调递减在1x x =处)(x f 取得极大值)(1x f ，在2x x =处)(x f 取得极小值)(2x f ．2.0<a 时)(x f 在),(1x x -∞∈或),(2+∞∈x x 单调递减；)(x f 在),(21x x x ∈单调递增在1x x =处)(x f 取得极小值)(1x f ，在2x x =处)(x f 取得极大值)(2x f ．注意：三次函数f(x)有极值导函数(x)f '的判别式0>∆3.一般地d cx bx ax x f +++=23)()0(>a 在导数023)(2=++='c bx ax x f 有两根,,21x x 且21x x <时，在1x 处有1()()f x f x M ==极大值；在2x 处有2()()f x f x m ==极小值，4 .三次方程根的个数问题，由三次函数图象极易得到以下结论:若()y f x =为三次函数,其导数为()y f x '=,则: ⑴若()0f x '≥或()0f x '≤恒成立,则()0f x =仅有一实数解。
三次函数的图像和性质
导数是新课标下高考的必考内容之一，利用导数研究函数的 性质，主要是利用导数求函数的单调区间、极值和最值等，这 些年来也是高考的重点.考纲的主要要求有：(1)导数的概念及其 意义；(2)导数的运算；(3)导数在研究函数中的应用.其中第（3） 点有两个小点：①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数 研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般 不超过三次).②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件； 会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过 三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一 般不超过三次).括号中的内容：其中多项式函数一般不超过三次. 这提示着我们，如果考与多项式有关的导数问题，多项式函数 中一元三次函数是重点.从近几年各地的高考题来看这一点也是 值得肯定的，特别是文科的高考题.基于导数高考大纲多项式函 数中一元三次函数的重要地位，因此我们有必要着重于对一元 三次函数的图象进行深入的研究，其目的在于通过研究函数
y
f ( x)
y
f / ( x)
o
x
图1
o
图1中函数f ( x)在x R
x
y
严格递增,没有极值点;
y
f ( x)
f / ( x)
图2中函数f ( x)在x R 严格递增,有一拐点x0 ;
o x0 x
图2
o
y
x1
图3
x0
x
y
x1o x2
f ( x)
f / ( x) 图3中函数f ( x)有两个
f ( x) x 3x.
3
4.已知f ( x) ax3 bx 2 3x在x 1处取得极值. (1)求函数f ( x)的解析式. 求实数m的取值范围.
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三次函数的图象与性质河源市河源中学 钟少辉三次函数()f x =32(0)ax bx cx d a +++≠是中学阶段一个重要的函数，已经成为高考的高频考点。
本文研究了三次函数的图象，并且得到它的几个性质，以及例说性质的应用。
已知三次函数：32(0)y ax bx cx d a =+++≠定义域(,)-∞+∞则232y ax bx c '=++ ， 62y ax b ''=+。
由0y '=得 2320ax bx c ++= (1)依一元二次方程根的判别式知：1.1若24120b ac ∆=-＞ ， 即23b ac ＞。
则方程（1）必有两个不相等的实根12,x x ，即三次函数必有两个驻点12,x x （这里不妨设21x x ＞）， 且123()()y a x x x x '=--。
由函数极值的判定定理则有： 1.a ＞0当1(,)()0x x f x '∈-∞时,＞，()f x 单调递增。
当12(,)()0x x x f x '∈时,＜， ()f x 单调递减。
当2(,)()0x x f x '∈+∞时,＞ ，()f x 单调递增。
驻点即为极值点，且在两个驻点中值较小的一个点上取得极大值，在值较大的一个点上取得极小值，且12,x =。
Ⅱ.0a ＜情况正好与I 相反，在此不再赘述。
由以上讨论知：1223b x x a +=-，而由0y ''= 得33b x a=-，因而：6()3by a x a ''=+，当a>0， (,)3b x a ∈-∞-时，()0f x ''＜，曲线是（向下凹）。
(,)3bx a∈-+∞时，()0f x ''＞曲线是（向上凹）。
当 0a ＜， (,)3b x a ∈-∞-时，()0f x ''＞，曲线是（向上凹），(,)3bx a∈-+∞时，()0f x ''＜曲线是（向下凹）。
所以，无论a 的正负，3x 为曲线拐点的横坐标，且1232x x x +=即：曲线拐点的横坐标为两极值点（或二驻点）连线的中点通过以上的讨论知：三次函数32y ax bx cx d =+++，当23b ac ＞时，其图形的一般形状见图1。
图10a > 0a <1.2若24120b ac ∆=-=，即23b ac =，则由0y '=， 得123b x x a ==-。
故23()3b y a x a'=+ 显然0a ＞ ，()0f x '＞ ，()f x 单调递增。
0a ＜ ，()0f x '＜ ，()f x 单调递减 。
驻点不是极值点。
而由6()3b y a x a ''=+，0y ''= ， 得33b x a=-。
0a ＞，(,)3bx a ∈-∞-时，()0f x ''＜，曲线是（向下凹）。
(,)3b x a ∈-+∞时，()0f x ''＞曲线是（向上凹）。
0a ＜，(,)3bx a∈-∞-时，()0f x ''＞，曲线是（向上凹），(,)3bx a∈-+∞时，()0f x ''＜曲线是（向下凹）。
故对于三次函数32(0)y ax bx cx d a =+++≠，若23b ac =有且仅有一个驻点，则该点一定是曲线拐点的横坐标1233bx x x a===-，其图形形状见图2。
图2 单一型图象1.3 24120b ac ∆=-＜ ， 即23b ac ＜，则由二次函数的性质：0a ＞ ，()0f x '＞ ，()f x 单调递增 。
0a ＜ ，()0f x '＜， ()f x 单调递减 。
函数无驻点，也无极值点。
由0y ''= 。
得33b x a=-，6()3b y a x a ''=+0a ＞ 曲线在 (,)3b a -∞-内是（向下凹），在(,)3ba-+∞内是（向上凹）。
0a ＜曲线在 (,)3b a --∞内是（向上凹），在(,)3b a -+∞内是（向下凹）。
33bx a=-仍是曲线拐点的横坐标。
故对于三次函数32y ax bx cx d =+++若23b ac ＜时，其图形形头见图3。
0a >0a <0a > 0a <图3 单一型图象性质1 函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，若0,a ＞当0∆≤时,y=()f x 是增函数：当0∆＞时，其单调递增区间是12(,),),x -∞+∞和(x 单调递减区间是12(,);x x若0,0()a f x ∆≤＜当时,y=是减函数；当0∆＞时，其单调递减区间是12(,),),x -∞+∞和(x ，单调递增区间是12(,)x x 。
推论 函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠当0∆≤时,不存在极大值和极小值：若0,a ＞当0∆＞时，有极大值()f x 、极小值2()f x ;若0,a ＜当0∆＞时，有极大值()f x 、极小值1()f x .根据a 和∆的不同情况，其图象特征分别为：性质2 函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠,[,],x m n ∈若0[,],x m n ∈且0()0f x '=,则:max 0()max{(),(x ),()};f x f m f f n = min 0()min{(),(x ),()};f x f m f f n =由函数()f x 图象易知, ()[,]f x x m n ∈在上的最值出现在0,,x m x x x n ===处性质3 任何三次函数曲数32(0)y ax bx cx d a =+++≠都存在唯一拐点,并且曲线关于拐点对称,即经坐标变换后,都可以将曲线所表示的函数化为奇函数。
证明 为方便起见，不妨设32(0)y ax bx cx d a =+++＞。
求导，得2'32,62.y ax bx c y ax b ''=++=+令0y ''=，得03bx a=-，将0x 代入32y ax bx cx d =+++，得3232022927()()()33327b b b b abc a dy a b c d a a a a -+=-+-+-+=当0(,x )x ∈-∞时，y ''＜0；当0(,)x x ∈+∞时，y ''＞0∴点320022927(,)(,)327b b abc a do x y a a-+'=-是32y ax bx cx d =+++的唯一拐点。
作代换00x X x y Y y =+⎧⎨=+⎩，代入原曲线方程得320000()()()Y y a X x b X x c X x d +=++++++=323201()()()(3)3333b b b a X b X c X d ax b ac X y a a a a-+-+-+=--+, 321(3)3Y aX b ac X a∴=--。
它是一个关于XO Y '为坐标系的奇函数，该函数表示的曲线对称于点00(,)O x y '，即原曲线32(0)y ax bx cx d a =+++≠关于拐点对称。
推论 函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠是中心对称图形，其对称中心是(,()33b b f a a--) 证明 设函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的对称中心为(m , n).按向量(,)a m n =--将函数的图象平移，则所得函数()y f x m n =+-是奇函数， 所以()()20f x m f x m n ++-+-=,化简得 232(3)0,ma b x am bm cm d n +++++-=上式对x R ∈恒成立，故3ma+b=0 ,m=-3b a.所以32()3bn am bm cm d f a =+++=-，函数的对称中心是(,()33b bf a a--)，可见，()y f x =图象的对称中心在导函数'()y f x =的对称轴上，且又是两个极值点的中点。
性质４ 直线与三次函数图象相切，切点唯一。
证明 设三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠。
曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线方程为：()()()y f t f t x t '-=-即232(32)2y at bt c x at bt d =++--+，假设l 与曲线y 相切，切点不唯一。
不妨设l 与曲线()y f x =相切于点11(,())A x f x ,22(,())B x f x ,其中12x x ≠。
所以2211223232ax bx c ax bx c ++=++ ①3232112222ax bx d ax bx d --+=--+ ②由于12x x ≠，由①得123()20a x x b ++=即123()2ab x x =-+ ③ 由②得221122122()()0a x x x x b x x ++++= ④ 将③代入④得212()0x x -=，所以12x x =，与假设矛盾。
所以原命题得证！性质５ 三次函数图象上任一点的切线存在情况。
设00(,)P x y 是()f x 图象上任一点，过点P 的切线有以下两种情况：（1）以点P 为切点的切线有一条.方程为000()()y y f x x x '-=-；（2）以不同于点P 的点00(,)M x y ''为切点并过点P 的切线，方程为因切线过点P ，所以00000()()y y f x x x ''''-=-，化简得： 22000002()()0ax b ax x ax bx ''+--+= , 2220000()8()(3)b ax a ax bx ax b ∆=-++=+，当03bx a=-时，解得00x x '=（舍去），即03b x a =-时这种切线不存在；当03bx a≠-时，解得00x x '=（舍去），0022x b x a '=--，即03bx a≠-时这种切线存在1条。
于是有： 当点P 是拐点(即03bx a=-)时，过点P 的切线有且仅有1条，即以点P 为切点的切线；当点P 不是拐点(即03bx a≠-)时，过点P 的切线有且仅有2条，且它们的切点分别为点P 和点M 00(,())2222x xb b f a a ----。