概率数理统计试题及答案

应用数理统计试题

1．设15,,X X 是独立且服从相同分布的随机变量,且每一个()1,2,,5i X i = 都服从()0,1.N

(1)试给出常数c ,使得()22

12c X X +服从2χ公布,并指出它的自由度;

(2)试给出常数,d 使得

服从t 分布,并指出它的自由度.

2．设总体X 的密度函数为

⎩⎨⎧<<+=其他,

01

0,)1();(x x x f ααα

其中1->α是未知参数, ),,(1n X X 是一样本, 试求: (1) 参数α的矩估计量; (2) 参数α的最大似然估计量.

3．有一种新安眠剂，据说在一定剂量下能比某种旧安眠剂平均增加睡眠时间3小时，为了检验新安眠剂的这种说法是否正确，收集到一组使用新安眠剂的睡眠时间(单位：小时):

26.7， 22.0， 24.1， 21.0， 27.2， 25.0， 23.4.

根据资料用某种旧安眠剂时平均睡眠时间为20.8小时，假设用安眠剂后睡眠时间服从正态分布，试问这组数据能否说明新安眠剂的疗效？()0.05.α=

4．若总体X 服从正态分布()

22.1,1N ，样本n X X X ,,,21 来自总体X ，要使样本均值X 满足不等式{}95.01.19.0≥≤≤X P ，求样本容量n 最少应取多少？

5．在某种产品表明进行腐蚀刻线实验，得到腐蚀深度y 与腐蚀时间x 对应的一

（1）预测腐蚀时间75s 时，腐蚀深度的范围（α-1＝95%）；

（2）若要求腐蚀深度在10～20um 之间，问腐蚀时间应如何控制？

6．简述方差分析,主成分分析的基本思想

附：统计查表数据

0.025(6) 2.447t =，0.025(7) 2.365t =，(1.96)0.975Φ=

参考答案：

1.设15,,X X 是独立且服从相同分布的随机变量,且每一个()1,2,,5i X i = 都服从()0,1.N

(1)试给出常数c ,使得()

22

12c X X +服从2χ公布,并指出它的自由度;

(2)试给出常数,d

使得服从t 分布,并指出它的自由度.

解 (1)由于()()()22

21212~0,1,~0,1, ~2X N X N X X +χ故

因此1c =,1222

X X +服从自由度为2的2χ分布. (2)由于()()~0,11,2,5i X N i = 且独立,则()12~0,2X X N +

()~0,1N

而 ()22223453X X X ++=χ

()~3,t

()~3t

所以d =自由度为3.

2. 设总体X 的密度函数为

⎩⎨⎧<<+=其他,

01

0,)1();(x x x f ααα

其中1->α是未知参数, ),,(1n X X 是一样本, 试求:

(1) 参数α的矩估计量; (2) 参数α的最大似然估计量. 解 (1) ⎰

+∞

∞

-==x x xf EX d );(α

⎰

++=++10

1

2

1d )1(ααααx x

由矩估计的定义知

∑===++n

i i X n X 1

121ˆαα

从而 )2ˆ(1ˆ+=+αα

X 于是α的矩估计为 X

X --=11

2ˆα

(2) 似然函数为

∏∏∏===+=+==n

i n

i i n

i n i i x x x f L 1

1

1

)

1()1();()(αα

αααα

∑=++=n

i i x L L 1

ln )1(ln )(ln ααα

令 0ln 1)(ln 1

=++=∂∂∑=n

i i x n L ααα

得 1ln ˆ1

--=∑=n

i i

x

n

α

所以α的最大似然估计量为 1ln ˆ1

--=∑=n

i i

x

n

α

3.有一种新安眠剂，据说在一定剂量下能比某种旧安眠剂平均增加睡眠时间3小时，为了检验新安眠剂的这种说法是否正确，收集到一组使用新安眠剂的睡眠时间(单位：小时):

26.7， 22.0， 24.1， 21.0， 27.2， 25.0， 23.4.

根据资料用某种旧安眠剂时平均睡眠时间为20.8小时，假设用安眠剂后睡眠时间服从正态分布，试问这组数据能否说明新安眠剂的疗效？()0.05.α= 解 00:23.8H μμ==，10:H μμ≠ 依题意有24.2x =，

()2131.62n s -=，

2.274s =

由于2

σ

未知，故选用()0

1x T t n μ-=

- 为统计量，故拒绝域 为:()()0.0252

16 2.4469T t n t α>-==.

而23.8

0.4654x t -=

=，故t T <. 因此接受0H ，即新药能够说明疗效.

4．若总体X 服从正态分布()

22.1,1N ，样本n X X X ,,,21 来自总体X ，要使样本均值X 满足不等式{}

95.01.19.0≥≤≤X P ，求样本容量n 最少应取多少？

解 由题设易知 ⎪⎭

⎫ ⎝⎛n N X 44.1,

1~，()1,0~2.01

N n X - 故

{}⎭⎬

⎫

⎩⎨⎧≤-=≤≤≤n n X P X P 2.01.02

.011.19.095.0，

()

15.02-Φ=n

即 ()

975.05.0≥Φn ，3664.15,96.15.0≥≥n n

因此样本容量n 最少应取为16。

5．

（1）求y 关于x 的回归方程； （2）若要求腐蚀深度在10～20um 之间，问腐蚀时间应如何控制？ 解 （1）先求出回归方程，由n ＝11易算得

∑∑∑===36750

,214,5102i i i

x y x

∑∑==13910,54222

i i i y x y

故 11510111==

∑i x x 11

214111==∑i

y y 又 55.13104)11

510(113675022

2=-=-=∑x n x l i xx

18.3988)11214

)(11510(1113910=-=-=∑y x n y x l i i xy

73.1258)11

214(11154222

22=-=-=∑y n y l i yy

304.055.13104/18.3988ˆ===xx

xy l l b